Cinemtica

En cinemtica lo que hacemos es ver cmo se mueve un cuerpo. Ese cuerpo puede

ser un coche, un pjaro, una nube, una galaxia, lo que sea; sin tener en cuenta sus causas, es decir que hace que se mueva.

Ver cmo se mueve un objeto significa para la fsica saber dnde est, qu

velocidad tiene, y si esta velocidad cambia o es todo el tiempo la misma.

Posicin, velocidad y aceleracin son tres conceptos que tenemos que conocer bien

porque se usan todo el tiempo y son la base de un montn de otras cosas que vienen

despus.

El lugar en donde est la cosa que se est moviendo (mvil) en un determinado instante de tiempo, se llama Posicin. Esta posicin debe estar siempre referida a un determinado sistema de referencia. Puede suceder que mi mvil este movindose respecto de un determinado sistema de referencia y que est en reposo respecto de algn otro sistema de referencia.

En la figura tenemos un automvil que se encuentra movindose hacia las x positivas y va desde la posicin x1 a x2 . Como vemos esta referido a un sistema cartesiano de referencia

Sistema de Referencia, puede ser cualquier objeto que me sirva como referencia para algo determinado

En el lugar que elijo como cero pongo el par de ejes x-y, y si es necesario tambin pongo el z. Estos ejes forman el sistema de referencia. Todas las distancias que se miden estn referidas a l. Para resolver los problemas hay que elegir siempre el sistema de referencia necesario. Si con definir x-y me alcanza entonces pongo estos dos ejes, si necesito una tercera coordenada tendr que agregar la z

x

y

Las ecuaciones que uno plantea despus para resolver el problema, van a estar

referidas al par de ejes x-y-z que uno eligi. Por eso es tan importante este

asunto. Cuando empieces a resolver los problemas lo vas a entender mejor.

Trayectoria: es el caminito que recorre el cuerpo mientras se mueve .

Puede haber muchos tipos de trayectorias.

Puede ser una trayectoria recta, como la del auto de

la grfica, siempre y cuando el camino sea recto. Puede parablica, circular, o elptica, o incluso puede tener una forma indefinida

Hoy en da con la invencin del GPS uno puede registrar los recorridos o trayectorias que hacen cuando caminan o van en auto o avin. De hecho se utiliza mucho para poder grabar un camino para un mapa, o un ro o los lmites de los campos, siguiendo un alambrado.

Espacio recorrido ( X ): El lugar donde el mvil est se llama posicin. La distancia que el mvil recorre al ir de una posicin a otra se llama espacio recorrido.

Posicin y espacio recorrido NO son la misma cosa.

Vamos a llamar:

x0 = posicin inicial (lugar de donde el mvil sali).

xf = posicin final (lugar a donde el mvil lleg).

x = espacio recorrido = xf x0

Si el mvil sali de una posicin inicial (por ejemplo x0 = 4 m) y lleg a una posicin final

(por ejemplo xf = 10 m) , el espacio recorrido se calcula haciendo esta cuenta:

x = xf x0

Es decir, en este caso me queda: X = 10 m 4 m X = 6 m.

El espacio recorrido por el auto sera

x = x2 x1

La rapidez con que se mueve el mvil que se est analizando se llama velocidad

Recordemos que la velocidad es una magnitud vectorial, al igual que la posicin, es decir que se pueden representar por un vector, y como tal tiene sus mismas propiedades.

Vamos a decir que la velocidad es positiva si el mvil se dirige en la direccin de las x o y positivas, y va a ser negativa en caso contrario.

En este caso vemos que lo que se invierte es el sentido del vector velocidad, pero no cambia su direccin ni su punto de aplicacin

El intervalo de tiempo t es el tiempo que el mvil estuvo movindose. Delta t

puede ser 1 segundo, 10 segundos, 1 hora, lo que sea... Si el objeto sali en un

determinado instante inicial t0 ( por ej. a las 16 hs ), y lleg en un determinado

instante final tf (por ej. a las 18 hs), el intervalo de tiempo delta te se calcula

t = tf t0 , ( Es decir 18 hs 16 hs = 2 hs ).

Recordemos que habamos dicho que la velocidad es una magnitud derivada. Es decir que para poder determinarla (medirla) era necesario conocer primero la distancia recorrida y el tiempo que se tardo en recorrerla. Esto podemos expresarlo como:

Donde t es el intervalo de tiempo que tardo el movil en recorrer la distancia x. Ac vamos a notar que la velocidad del mvil pudo haber variado mientras recorra x, por lo tanto vamos a tener que esto que hemos definido ac es la velocidad media del mvil.

Si pudiramos medir espacios infinitesimales y tiempos infinitesimales encontraramos lo que se conoce como velocidad instantnea del mvil

vm = x = xf x0

t = tf t0

Recordemos que al ser la velocidad una magnitud vectorial, puede variar su modulo, o puede variar su direccin o su sentido. Por ejemplo si un auto en una autopista dobla sin que la aguja del velocimetro baje, igual vamos a decir que el vector velocidad vara, dado que esta variando la direccin del vector velocidad

Movimiento Rectilneo y Uniforme (MRU)

Es cuando un mvil se mueve en lnea recta y recorre espacios iguales en tiempos iguales. Es decir que su velocidad es constante. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distanciaerecorrida a velocidad constante v ser igual al producto de la velocidad por el tiempo.

e = v.t

Como dijimos se recorren distancias iguales en tiempos iguales, entonces para hacer una grfica damos por ejemplo 3 puntos. Los podemos graficar como se muestre y lo podemos generalizar. Siempre tenemos que prestar atencin a que tengo representado en cada eje de mi grfico. En este caso si grfico la velocidad en funcin del tiempo tengo la grfica en verde. Pero si mi velocidad es cero y mi posicin inicial es distinta de cero, puedo tener un grfico muy parecido y sin embargo es algo diferente

v = 0

v = cte = 0

v = cte = 0

t

Ecuaciones Horarias en el MRU

xf x0 = vm (tf t0) xf = x0 + vm (tf t0)

Como pueden ver obtuve la ecuacin de una recta cuya ordenada al origen es x0 y su pendiente es vm Es la ecuacin de las grficas que vimos

vm = tg

Notemos que la pendiente no es slo un nmero, sino que tiene unidades. En este caso esas unidades me dieron en metros por segundo.

vm = x = xf x0

t = tf t0

La definicin de velocidad era:

Si ahora despejo xf x0 me queda :

x0

MOVIMIENTO RECTLNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Supongamos un coche que est quieto y arranca. Cada vez se mueve ms rpido.

Primero se mueve a 10 por hora, despus a 20 por hora, despus a 30 por hora y

as siguiendo. Su velocidad va cambiando (vara). Esto vendra a ser un movimiento variado. Un movimiento es uniformemente variado si la velocidad cambia lo mismo en el mismo intervalo de tiempo

Para tener algo que me indique qu tan rpido est cambiando la velocidad, divido ese cambio de velocidad V por el tiempo t que tard en producirse.

Cuando se habla de aceleracin, hablamos de aumentar o disminuir la velocidad.

Lo que importa es que la velocidad CAMBIE.

Ej: Un coche que se mueve con MRUV tiene en un determinado momento una velocidad de 30 m/s y, 10 segundos despus, una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleracin.

Para calcular lo que me piden aplico la definicin anterior

ACELERACIN: es la rapidez con la que est cambiando la velocidad.

am = v = vf v0

t = tf t0

am = v = vf v0

t = tf t0

am = 40 m/s 30 m/s

10 s 0 s

am = 10 m/s = 1 m/s2

10 s

La caracterstica del movimiento uniformemente variado es, justamente, que tiene aceleracin constante.

Si v < 0 con el modulo de v aumentando sgn(v) = - la aceleracin es -

La aceleracin que tiene un objeto que se mueve puede ser (+) o (-) Si

Si v > 0 con el modulo de v aumentando sgn(v) = + la aceleracin es +

Si v > 0 con el modulo de v disminuyendo sgn(v) = + la aceleracin es -

Si v < 0 con el modulo de v disminuyendo sgn(v) = - la aceleracin es +

Hay que destacar que el resultado dio en m/s2. stas son las unidades en las que se mide la aceleracin. Es decir, metro dividido segundo cuadrado o cualquier otra unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado ( como Km/h2 ).

Si el mvil va cada vez ms rpido, su aceleracin va a ser positiva y si va cada vez ms despacio, su aceleracin va a ser negativa. Cuidado!. Esto vale solamente si el tipo se mueve en el sentido positivo del eje x, o sea que la velocidad es positiva. Pero si el mvil va para el otro lado, los signos son exactamente al revs.

ECUACIONES HORARIAS Y GRFICOS EN EL MRUV

vf v0 = am (tf t0) vf = v0 + am (tf t0)

La posicin en funcin de esta velocidad variable queda expresada como sigue:

xf = x0 + v0 (tf t0) + am (tf t0)2

Como pueden ver sta es la ecuacin de una parbola donde la variable independiente es (tf t0) y la dependiente es xf

Ej: Supongamos que tengo sta ecuacin horaria para algo que se mueve con MRUV

xf = 4 m + 1 m/s . t + 2 m/s2 . t2

Este sera el caso de algo que sali de la posicin inicial 4 m con una velocidad de 1 m/s y una aceleracin de 4 m/s2. Para saber cmo es el grfico le voy dando valores a t y voy sacando los valores de x. Es decir, voy haciendo las cuentas y voy armando una tablita.

Recordemos las propiedades de la parbola. Se abre hacia arriba cuando el coeficiente del termino cuadrtico es +

am = v = vf v0

t = tf t0

La definicin de velocidad era:

Si ahora despejo (vf v0) me queda :

1

2

Ej: Una hormiga sale de la posicin X0 = 0 hacia las x > 0, y comienza a moverse con aceleracin constante a = 2 m/s2. Arranca del reposo (V0 = 0).

a) Escribir las ecuaciones horarias (aquellas donde aparece el tiempo).

b) Hacer los grficos x(t), v(t) y a(t).

Voy a hacer un esquema de lo que pasa y tomo un sistema de referencia:

Las ecuaciones horarias para un mvil que se mueve con movimiento rectilneo uniformemente variado son:

x0 y v0 valen cero. Reemplazando por los otros datos las ecuaciones quedan as

Ahora, dando valores a t voy sacando los valores de x y de v. Con estos valores hago las tablas:

Calcular la velocidad que tiene la hormiga despus de recorrer 1 m.

t = 1 s

vf = 0 + 2 m/s2 1 s = 2 m/s

MOVIMIENTO CIRCULAR

Es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual latrayectoria es una circunferencia. Si, adems, la velocidad de giro es constante, se produce elmovimiento circular uniforme. Una vez situado el origen O de ngulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posicin angular: en el instantetel mvil se encuentra en el punto P. Su posicin angular viene dada por el nguloq, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ngulos O. El ngulo q, es el cociente entre la longitud del arcosy el radio de la circunferenciar,q = s/r.La posicin angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

En el instantet'el mvil se encontrar en la posicin P' dada por el ngulo q. El mvil se habr desplazado

q = q ' - q en el intervalo de tiempo t = t - tcomprendido entretyt'.

Podemos definir la velocidad angular w = q / t

Si en el instantetla velocidad angular del mvil eswy en el instantet'la velocidad angular del mvil esw'. La velocidad angular del mvil ha cambiado w = w' - wen el intervalo de tiempo t = t - tcomprendido entretyt'. Entonces decimos que = w / t es la aceleracin angular

ECUACIONES HORARIAS Y GRFICOS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Un movimiento circular uniforme es aqul cuya velocidad angularw es constante, por tanto, la aceleracin angular es cero. La posicin angular qdel mvil en el instantetlo podemos calcular como sigue:

q-q0 = w (t - t0) q= q0 + w (t - t0)

ECUACIONES HORARIAS Y GRFICOS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracinangular es constante. Dada la aceleracin angular podemos obtener el cambio de velocidad angularw-w0entre los instantest0yt, mediante

Dada la velocidad angularwen funcin del tiempo, obtenemos el desplazamiento q-q0del mvil entre los instantest0yt, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o mediante

w- w0 = (t - t0)

q-q0 = w0 (t - t0) + = (t - t0)2