CAPITULO 2 (CINEMATICA)

IETA SAN JACINTO BOLIVAR MODULO DE FISICA GRADO 10º CAP 2: CINEMATICA LIC: EDGAR A. CASTILLO

- 11 -

CINEMATICA Es la rama de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin atender las causas que lo producen, tomando además cada cuerpo como una partícula. En la cinemática, se consideran tres tipos o clases de movimientos, los cuales son: 1. Movimiento Unifórmenme Continuo (MUC) 2. Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) 3. Movimiento Circular Uniforme (MCU) CONCEPTOS BASICOS: MOVIMIENTO: Es el cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro que se lo toma como punto o sistema de referencia. POSICIÓN (X): Es el sitio que ocupa un cuerpo en un momento determinado, mientras éste se mueve respecto a un punto o marco de referencia que para el estudio tomaremos el elemento cero (0) en la recta numérica. La posición de un punto móvil queda determinada por una sola coordenada. Llamamos “x” a la recta donde se halla dicho punto móvil. Su posición será en distintos instantes, sucesivamente, x1, x2, x3, ... ,xn

El subíndice representa una secuencia temporal, es decir que la posición x1 fue ocupada por el punto móvil antes que la x2 mientras que x3 la ocupó con posterioridad a la x2 La figura siguiente muestra como ejemplo, las distintas posiciones en las que se ha detectado a un punto “P” en sucesivos instantes. Observamos que las posiciones que están a la derecha del elemento cero (0) se toman como positivas y las posiciones que se encuentran a su izquierda se toman como negativas.

DESPLAZAMIENTO ( )x : Es la distancia en línea recta que hay desde el punto inicial hasta el final de la

trayectoria de una partícula, es decir, es un vector que representa el cambio total de posición. El desplazamiento es la diferencia entre dos posiciones ocupadas por el punto móvil. El desplazamiento, nos da una información más amplia que la mera distancia que existe entre esas dos posiciones. Nos dice además, en

que sentido se ha movido el punto. Se simboliza con x (se lee “delta equis”). Su formula es

Desplazamiento = posición final – posición inicial.

Es decir: f ix x x

Donde:

x = desplazamiento xf = posición final xi = posición inicial. El desplazamiento se mide en unidades de longitud o sea. km, m, cm, mm, pulg, pie, etc. Ejemplo: 1. Que desplazamiento sufre un cuerpo si cambia la posición de – 3m a 6m. Datos:

x =?, xi =- 3m.; xf = 6m. Sol: Graficamente: Analíticamente: 2. determina el desplazamiento de un cuerpo si cambia la posición de 8m a - 5m. Datos:

6 ( 3 )

6 3

9

f ix x x

x m m

x m m

x m


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x =?, xi = 8m.; xf = - 5m. Sol: Graficamente: Analíticamente: El signo negativo indica que el desplazamiento se hace de derecha a izquierda. TRAYECTORIA: Es el conjunto de todas las posiciones ocupadas por un cuerpo mientras se mueve, es decir, la trayectoria es la huella dejada o el camino verdadero del movimiento del cuerpo. Dependiendo de la forma de la trayectoria, ésta se puede clasificar en dos casos generales: 1. Movimiento Rectilíneo: Aquel cuya trayectoria es una línea recta. 2. Movimiento Curvilíneo: Su trayectoria NO es una línea recta/ pudiendo ser de cualquier forma geométrica. • Observación: El desplazamiento es una magnitud vectorial, ya que debe de indicársele una dirección desde la posición inicial a la final. En cambio, el valor de la trayectoria es una magnitud escalar, porque sólo indica su longitud o distancia. ELEMENTOS DE UN MOVIMIENTO Sea el cuerpo P que se mueve desde A hasta B, sus partes son:

CASO ESPECIAL: Cuando un cuerpo realiza su movimiento y termina exactamente en el mismo punto de donde partió, su desplazamiento es nulo (cero) aunque halla realizado un recorrido determinado, puesto que la posición inicial y final, al ser las mismas, indican que no hubo un desplazamiento neto. ESPACIO (x): Es la longitud o medida de la trayectoria del movimiento de una partícula, es una magnitud escalar, siempre positiva el cual se mide en unidades de longitud, o sea: km, m, cm, mm, pulg, pie, etc. Ejemplo: Un móvil parte de la ciudad A y llega a la ciudad B ubicada a 80 km al este de A, luego regresa a la ciudad C ubicada a 30 km al oeste de B. Determina el desplazamiento total que hace el móvil y la distancia total recorrida: Sol: 1).Teniendo en cuenta la representación grafica el desplazamiento del móvil se puede calcular de dos maneras:

5 8 )

13

f ix x x

x m m

x m


- 13 -

Primera forma: Se calculan cada uno de los desplazamientos parciales que hace el móvil

1

2

1 2

80 0 80

50 80 30

80 ( 30 ) 80 30 50

50

f i B A

f i c B

t

t

x x x x x km km km

x x x x x km km km

luego se suman estos desplazamientos

x x x km km km km km

x km

Segunda forma: Se calcula el desplazamiento total teniendo en cuenta su posición final y su posición inicial:

50 0 50

50

t f i c A

t

x x x x x km km km

x km

2).Para calcular el espacio total recorrido por el cuerpo se suman cada uno de los espacios recorrido por el cuerpo en cada desplazamiento realizado:

1 2 80 30 110

110

t

t

x x x km km km

x km

TIEMPO DE RECORRIDO O INTERVALO DE TIEMPO ( )t :

Es la cantidad de tiempo que se gasta la partícula para recorrer su trayectoria, desde el punto de partida al de

llegada. Se calcula mediante la expresión: f it t t .

Es una magnitud escalar y se mide en hr, min, seg, etc.

VELOCIDAD MEDIA ( )mv :

Se define la velocidad media como el desplazamiento ( )x que realiza el móvil en un intervalo de tiempo

determinado ( t ). Es una magnitud de carácter vectorial por que depende del desplazamiento y se calcula mediante la expresión: La velocidad media se mide en km/h, m/s, cm/s, ft/seg, etc.

RAPIDEZ MEDIA ( )v :

Es el Espacio que se ha avanzado o recorrido el móvil en una unidad de tiempo. Es una magnitud de carácter escalar y se calcula mediante la siguiente expresión: La rapidez media o simplemente velocidad se mide en km/h, m/s, cm/s, ft/seg, etc.

desplazamiento

intervalo de tiempom

m

f i

m

v

xv

t

x xv

t

espacio recorrido

unidad de tiempov

xv

t


- 14 -

GRAFICOS DE POSICION CONTRA TIEMPO O DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO. Como los desplazamientos se realizan mientras transcurre el tiempo, se facilita la descripción del movimiento al hacer gráficos ya sea de posición contra tiempo o de velocidad contra tiempo. En el eje vertical se representan las posiciones o la velocidad según sea el caso y en el eje horizontal el tiempo EJERCIOCIOS DE APLICACIÓN: 1. En la figura se muestra la trayectoria seguida por un objeto que parte en x = 0m cuando t =0 seg. Determina:

a) El desplazamiento del móvil en cada intervalo. b) El desplazamiento total realizado. c) El espacio total recorrido. d) La velocidad media en cada intervalo. e) La velocidad media total. f) La rapidez media en cada intervalo. g) La rapidez media total h) Realiza un grafico de posición contra tiempo. i) Realiza un grafico de velocidad media contra tiempo.

Sol: a) El desplazamiento en cada intervalo:

1

2

14 0 14

8 14 6

f i

f i

x x x m m m

x x x m m m

b) El desplazamiento total realizado:

1ª forma:

1 2 14 ( 6 ) 14 6 8tx x x m m m m m .

2ª forma: 8 0 8f ixt x x m m m

c) El espacio total recorrido.

Para calcular el espacio recorrido se suma cada uno de los espacios recorrido en cada intervalo:

1 2 14 6 20tx x x m m m

d) La velocidad media en cada intervalo.

11

1

22

2

147 / .

2

62 / .

3

m

m

x mv m seg

t seg

x mv m seg

t seg

e) La velocidad media total.

81,6 / .

5

tt

t

x mv m seg

t seg

f) La rapidez media en cada intervalo.

11

1

22

2

147 / .

2

62 / .

3

x mv m seg

t seg

x mv m seg

t seg

g) La rapidez media total

204 / .

5

tt

t

x mv m seg

t seg

h) Grafico de posición contra tiempo.

i) Realiza un grafico de velocidad media contra tiempo


- 15 -

2. A continuación se muestra una tabla donde se registran las posiciones en metros que ocupa un móvil en diferentes tiempos.

x(m) 0 4 4 6 0 0 -3

t(seg) 0 2 4 5 6 7 10

A partir de la tabla: a). Realiza un grafico de x vs t. b). Determina el desplazamiento en cada intervalo de tiempo. c). Determina el desplazamiento total del móvil. d). Determina el espacio total recorrido por el móvil. e). Determina la velocidad media en cada intervalo de tiempo. f). Determina la velocidad media total. g). Determina la rapidez media total. h) realiza un grafico de vm vs t SOL: a). Realiza un grafico de x vs t. b). Determina el desplazamiento en cada intervalo de tiempo.

1

2

3

4

5

6

4 0 4

4 4 0

6 4 2

0 6 6

0 0 0

3 0 3

f i

f i

f i

f i

f i

f i

x x x m m m

x x x m m m

x x x m m m

x x x m m m

x x x m m m

x x x m m m

c). Determina el desplazamiento total del móvil. 1ª forma:

1 2 3 4 5 6

4 0 2 6 0 3

3

t

t

t

x x x x x x x

x m m m m m m

x m

2ª forma:

3 0 3t f ix x x m m m

d). Determina el espacio total recorrido por el móvil.

1 2 3 4 5 6

4 0 2 6 0 3

15

t

t

t

x x x x x x x

x m m m m m m

x m

e). Determina la velocidad media en cada intervalo de tiempo.

11

1

22

2

33

3

44

4

55

5

66

6

42 / .

2

00 / .

4

22 / .

1

66 / .

1

00 / .

1

31 / .

3

m

m

m

m

m

m

x mv m seg

t seg

x mv m seg

t seg

x mv m seg

t seg

x mv m seg

t seg

x mv m seg

t seg

x mv m seg

t seg

f). Determina la velocidad media total.

30,3 / .

10

tmt

t

x mv m seg

t seg

g). Determina la rapidez media total.


- 16 -

151,5 / .

10

tt

t

x mv m seg

t seg

h) realiza un grafico de vm vs t 3. Un auto se mueve por una carretera recta y su movimiento se registra en el siguiente grafico. a) Describe el movimiento del auto. b) calcula el desplazamiento en cada intervalo. c) calcula el desplazamiento total. d) Calcula el espacio total recorrido e) Calcula la rapidez media total del auto. f) realiza un grafico de x vs t SOLUCION: a) Describe el movimiento del auto. El grafico muestra las velocidades que registra un auto el cual se mueve durante dos horas y media. En el primer intervalo de tiempo que fue de 0,5 horas el cuerpo se mueve con velocidad constante de 40 km/h. En el siguiente intervalo que va de 0,5 h a 1h el cuerpo disminuye su velocidad y la mantiene constante en 20 km/h, luego el cuerpo permanece en reposo en el intervalo que va de 1h a 1,5h. Por ultimo en la siguiente hora el auto regresa con velocidad constante de 20 km/h. b) calcula el desplazamiento en cada intervalo. Para calcular el desplazamiento en cada intervalo hacemos uso de la formula de la velocidad media, osea.

m

xv

t

Y de ésta despejamos el desplazamiento así:

.mx v t

Por tanto al calcular los desplazamientos tenemos:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

. 40 / .0,5 20

. 20 / .0,5 10

. 0 / .0,5 0

. 20 / .1 20

m

m

m

m

x v t km h h km

x v t km h h km

x v t km h h km

x v t km h h km

c) calcula el desplazamiento total. Para calcular el desplazamiento total del auto se suman los desplazamientos que realizó en cada intervalo:

1 2 3 4

20 10 0 20

10

t

t

t

x x x x x

x km km km km

x km

d) Calcula el espacio total recorrido Para calcular el espacio total se suman los espacios recorridos por el auto en cada intervalo:

1 2 3 4

20 10 0 20

50

t

t

t

x x x x x

x km km km km

x km

e) Calcula la rapidez media total del auto. Para calcular la rapidez media total hacemos uso de la formula:

tmt

t

xv

t por tanto:

5020 /

2,5

20 /

tmt

t

mt

x kmv km h

t h

v km h

e) realiza un grafico de x vs t EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para la situación mostrada en la figura, determina:


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CALCULAR: a) El desplazamiento en cada intervalo. b) El desplazamiento total. c) La distancia total recorrida por el móvil d) La velocidad media en cada intervalo. e) La velocidad media total. f) La rapidez media total del móvil en cm/seg g) Realiza un grafico de posición contra tiempo h) Realiza un grafico de velocidad contra tiempo

2. En una experiencia de laboratorio se registraron las posiciones ocupadas por un móvil en diferentes tiempos: x(mts) 0 5 10 10 - 5 0 t(seg) 0 1 3 5 8 10

a). Realiza un gráfico de X vs. T b). La velocidad media en cada intervalo. c). La velocidad media en todo el intervalo. d). El espacio total recorrido. e). La rapidez media en todo el intervalo. f). Realiza un grafico de velocidad contra tiempo

1. un móvil se mueve en una carretera rectilínea y su movimiento se describe en el siguiente grafico

Determina a. el desplazamiento en cada intervalo. b. el desplazamiento total. c. espacio total recorrido e. realiza un grafico de x. vs t 3. La gráfica ilustra las posiciones que ha tomado un

móvil en diferentes tiempos, estudia con cuidado la

grafica y responde los siguientes interrogantes.

a) El desplazamiento del móvil entre t = 0 y t = 5 h b) El espacio recorrido entre t = 2 h y t = 7 h es: c) El desplazamiento total del móvil d) El espacio recorrido entre t = 2 h y t = 7 h e) La velocidad media del móvil entre t = 1 h y t = 5

h f) La rapidez del móvil entre t = 2 h y t = 7 h. g) La velocidad media total del móvil es: h) La rapidez media total del móvil es:

ACELERACION ( )a :

Es la variación o cambio de velocidad ( )v que hace un móvil en un intervalo de tiempo determinado ( )t .

Es una magnitud de carácter vectorial. Cuando un móvil aumenta su velocidad se dice que tiene aceleración positiva, y cuando la disminuye se tiene una desaceleración o aceleración negativa. Se calcula mediante la expresión:

variacion de velocidad

intervalo de tiempoaceleracion o sea:

f iv vva o a

t t

Donde:

f

i

v variacion de velocidad

v velocidad final

v velocidad inicial

La aceleración se mide en m/s2, cm/s

2, mm/s

2, ft/s

2, etc.

GRAFICAMENTE:

Ó

32 74 5 61

- 40

- 20

60

40

20

t (h)

x (km)

32 74 5 61

- 40

- 20

60

40

20

t (h)

x (km)


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MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (m. u). Un móvil posee movimiento rectilíneo uniforme cuando recorre espacios iguales en tiempos iguales, es decir posee velocidad constante, esto implica que el móvil no posee aceleración o que su aceleración es nula ( a =0). Debido a que su velocidad ni aumente ni disminuye. GRAFICAMENTE: El movimiento rectilíneo uniforme queda expresado ecuacionalmente como: Notas: 1. En el grafico de velocidad contra tiempo el área bajo la curva representa el espacio recorrido por el cuerpo.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN: Analiza con mucho cuidado los procedimientos que se utilizaran para resolver los problemas que se dan a continuación. 1. Que distancia recorre un móvil que con velocidad constante de 108 km/h se mueve durante 10 seg. Datos: X = ?; v = 108 km/h; t = 10 seg. Formula: x = v.t. Sol: Antes de resolver los ejercicios en conveniente analizar los datos que nos dan y verificar que todas estén trabajando en el mismo sistema de unidades. En este caso vemos que la velocidad esta trabajando en km/h y nos conviene tenerlas en el sistema M. K. S o sea en m/seg. Lo cual es lo que vamos a realizar a continuación.

108 1000 108000108 / 30 / .

3600 . 3600

x m mv km h m s

seg seg

Luego utilizamos la formula x = v.t para calcula la distancia pedida:

. 30 / .10 300

300

x v t m s s m

x m

2. Cuanto tarda en recorrer un móvil 0,5 km con velocidad constante de 25 m/s. Datos: X = 0,5 km; v = 25m/s; t = ?. Formula: x = v.t. Transformando la distancia a metros tenemos: X = 0,5 km =0,5x1000m = 500m. En la formula x = v.t despejamos el tiempo:

.

50020 .

25 /

20 .

x v t

x mt seg

v m s

t seg

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Un auto se mueve con velocidad de 216 km/h. Expresa esta velocidad en m/s y calcula en m el espacio recorrido en 15 seg. 2. Un móvil viaja con velocidad de 0,58 km/h; calcula el espacio recorrido en 20 seg. 3. La velocidad de un avión es de 980 km/h y la de otro 320 m/s, ¿Cuál de los dos es mas veloz?. 4. ¿Cuánto tarda un vehículo en recorrer 6 km con velocidad constante de 30 m/s? 5. El sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340 m/s. ¿Qué tiempo tarda en escucharse el estampido de un cañón situado a 15 km?

.x

v o x v tt


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6. Un auto que viaja en línea recta 200 Km. luego regresa 100 km y gasta un tiempo de 5 horas en todo el recorrido. Calcula la velocidad y la rapidez media del móvil. 7. Un auto viaja de la ciudad A a la ciudad B separada 120 Km, en 2 horas y regresa en 4 horas. a) Calcula La velocidad media en cada intervalo.

b) Calcula la velocidad media total.

c) calcula la rapidez media total

d) realiza los gráficos de posición y velocidad contra tiempo.

8. En el problema anterior si el conductor del auto decide hacer el recorrido de ida y regreso en 4 horas. Cual debe ser la

rapidez media total a que debe viajar es.

9. Un atleta recorre la mitad de la trayectoria en 20 minutos y la segunda mitad en 40 minutos. Si el recorrido total es de 36

kilómetros. Cual es la rapidez media del atleta.

10. Un automóvil realiza un viaje de 180 Km. a una rapidez media de 45 Km./h. otro automóvil sale 1 hora más tarde y llega al mismo lugar en el mismo tiempo. Cual es la rapidez media del segundo automóvil.

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME ACELERADO (m. u. a) Un móvil se mueve con movimiento uniforme acelerado cuando su velocidad cambia uniformemente con el tiempo, es decir, su aceleración permanece constante. Veamos el siguiente ejemplo de un auto que se mueve por una carretera recta. Mira como varía la velocidad en cada intervalo de tiempo igual. Podemos concluir que en cada intervalo la aceleración permanece constante por tanto el movimiento que presenta el auto es un movimiento uniformemente acelerado. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME ACELERADO. Las ecuaciones que rigen el movimiento uniforme acelerado se pueden demostrar con procedimientos matemáticos, pero para el caso solamente queremos ilustrar las ecuaciones las cuales se van familiarizando en la medida que resolvamos situaciones problemicas o ejercicios de aplicación. Estas ecuaciones son: ECUACIONES HORARIAS

Dan la posición, la velocidad y la aceleración del móvil.

21. .

2

.

i

f i

f i

x v t a t

v v a t

v va cte

t


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Ecuación complementaria: 2 2 2. .f iv v a x

Donde:

f

i

a aceleracion

v velocidad final

v velocidad inicial

x espacio recorrido

t tiempo transcurrido

GRAFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME ACELERADO El movimiento de una partícula puede ser registrado y analizado con mayor comprensión por medio de una gráfica que ilustre el comportamiento de las magnitudes que intervienen. Para ello, los valores de los registros son indicados en un plano cartesiano, en el cual dos magnitudes distintas se indican en cada uno de los ejes "x" y y" (ver Gráficas de Ecuaciones, en el libro de Matemáticas). Cuando una de estas magnitudes es el tiempo, ésta se la indica siempre en el eje horizontal positivo y la otra magnitud restante en el eje vertical. PARA EL MOVIMIENTO UNIFORME CON ACELERACION POSITIVA

PARA EL MOVIMIENTO UNIFORME CON ACELERACION NEGATIVA.

NOTAS: 1. EN EL GRAFICO DE X vs T. La pendiente (m) que igual a x/t representa la velocidad del móvil (v). Es decir:

tanx

m vt

.

2. EN EL GRAFICO DE V vs T

La pendiente (m) que igual a v/t representa la aceleración del móvil (a).

Es decir:

tanv

m at

El área (A) bajo la recta representa el espacio (x) recorrido. O sea:

1. .

2A b h v t x

3. EN EL GRAFICO DE V vs T

El área (A) bajo la recta representa la velocidad del móvil (V) O sea:

. .A b h a t v


- 21 -

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN: 1. Un móvil viaja con velocidad de 10 m/s y en 5 s su velocidad es de 30 m/s. Calcula la aceleración que experimenta y el espacio recorrido en dicho tiempo. Solución: Se recomienda realizar un dibujo con base a las condiciones del problema para así tener una idea clara de la situación planteada. Datos: Ecuaciones: Primeramente calculamos la aceleración del móvil Utilizando la formula:

f iv va

t

O sea: En segunda instancia calculamos el espacio recorrido para lo cual ilustramos dos procedimientos: 1ª forma: Utilizamos la ecuación:

21. .

2ix v t a t Remplazando valores tenemos:

2ª forma:

Utilizamos la ecuación: 2 2 2. .f iv v a x

En la cual despejamos el espacio x: Remplazando valores tenemos: 2. Un móvil parte del reposo con m. u. a, cuando a recorrido 30 m tiene una velocidad de 6 m/s. Calcula el valor de la aceleración y el tiempo transcurrido. Solución: Dibujo representativo: DATOS: FORMULAS: Primero calculamos el valor de la aceleración

utilizando la ecuación: 2 2 2. .f iv v a x .

Como ( )iv o por que el móvil parte del reposo

Queda la ecuación: 2 2. .fv a x y en esta despejamos

La aceleración Asi:

2

2 2

1. .

2

2. .

f i

i

f i

v va

t

x v t a t

v v a x

2

2

30 / 10 /

5

20 /4 /

5

4 /

f iv v m s m sa

t s

m sa m s

s

a m s

2

2 2

2 2

1. .

2

110 / .5 (4 / )(5 )

2

150 (4 / )(25 )

2

50 50

100

ix v t a t

x m s s m s s

x m m s s

x m m

x m

2 2

2 2

2 2

2. .

2. .

2.

f i

f i

f i

v v a x

v v a x

v vx

a

2 2

2 2

2

2 2 2 2

2

2 2

2

2.

(30 / ) (10 / )

2(4 / )

900 / 100 /

8 /

800 /

8 /

100

f iv vx

a

m s m sx

m s

m s m sx

m s

m sx

m s

x m

10 /

30 /

5

?

?

i

f

v m s

v m s

t seg

a

x

0

6 /

30

?

?

i

f

v

v m s

x m

a

t

2 2 2. .

.

f i

f i

v v a x

v v a t


- 22 -

2

2

2. .

2.

f

f

v a x

va

x

Remplazando valores tenemos:

Ahora calculamos el tiempo pedido utilizando la

ecuación: .f iv v a t y sabiendo que ( )iv o nos

queda que: .fv a t y despejamos el tiempo:

vt

a Entonces remplazando valores tenemos:

3. Un automóvil parte del reposo con aceleración constante de 3m/s

2, recorre 150 m. ¿En cuanto

tiempo hizo el recorrido y con que velocidad llegó al final? Solución: Dibujo representativo: Datos: Formulas: Primero calculamos el tiempo utilizando la formula:

21. .

2ix v t a t pero según las condiciones del

problema ( )iv o por lo tanto la expresión ( . 0)iv t

Quedando la formula ya simplificada 21

.2

x a t y

despejamos el tiempo:

Luego remplazando valores tenemos.

Calculando el valor de la velocidad utilizando la

formula: .f iv v a t pero sabemos que ( )iv o por

lo tanto queda la expresión: .fv a t

Entonces remplazando valores tenemos:

4. El siguiente grafico muestra las velocidades que

adquiere un móvil durante 10 s.

a) Describe el movimiento del móvil.

2

2

2 2

2

2.

(6 / )

2(30 )

36 /

60

0,6 /

fva

x

m sa

m

m sa

m

a m s

2

6 /

0,6 /

10 .

vt

a

m st

m s

t seg

2

0

150

3 /

?

?

i

f

v

x m

a m s

t

v

21. .

2

.

i

f i

x v t a t

v v a t

2

2

2

1.

2

2 .

2

2

x a t

x a t

xt

a

xt

a

2

2

2

2

2(150 )

3 /

300

3 /

100

10 .

xt

a

mt

m s

mt

m s

t s

t seg

2. 3 / .10 30 /

30 /

f

f

v a t m s s m s

v m s


- 23 -

b) Calcula el espacio recorrido en cada intervalo.

c) Calcula el espacio total recorrido.

d) Calcula la aceleración en cada intervalo

e) Realiza los gráficos de (a vs t) y el de (x vs t)

Solución:

a) Describe el movimiento del móvil.

El grafico anterior muestra el movimiento del móvil en

una carretera rectilínea, el cual parte del reposo

(v i = 0) Y en tres segundos adquiere una velocidad de

10 m/s (presenta un m. u. a con aceleración positiva),

sigue con este mismo movimiento (v = 10 m/s)

durante 4 segundos. Por ultimo aplica los frenos y

vuelve al reposo (presenta un m.u.d o sea

aceleración negativa) durante 3 segundos.

b) Calcula el espacio recorrido en cada intervalo.

Para esto se calculan las áreas 1 2, 3( , )A A A las cuales

determinan el espacio recorrido en cada intervalo

1 2, 3( , )x x x respectivamente.

c) Calcula el espacio total recorrido.

Para calcula el espacio total recorrido utilizaremos

dos procedimientos:

1ª forma:

Se suman los espacios recorridos en cada intervalo:

2ª forma:

Se calcula el área del trapecio que muestra el grafico

lo cual determina el espacio total recorrido:

1 1( ). (10 4).(10)

2 2

1(14).(10) 70

2

70

t t

t t

t

A x B b h

A x m

x m

d) Calcula la aceleración en cada intervalo

2

1

2

2

2

1

10 / 0 / 10 /3,33 /

3 3

10 / 10 / 0 /0 /

4 4

0 / 10 / 10 /3,33 /

3 3

f i

f i

f i

v v m s m s m sa m s

t s s


t s s


t s s

e) Realiza los gráficos de (a vs t) y el de (x vs t)

Grafico de a vs t

Grafico de x vs t

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. ¿Qué velocidad inicial debería tener un móvil cuya aceleración es de 2 m/s

2, se debe alcanzar una

velocidad de 108 km/h a los 5 s de su partida? 2. Un automóvil que se desplaza a 54 km/h, se detiene un segundo después de que el conductor frena. a) ¿Cuál es el valor de la aceleración, que suponemos constante, que los frenos deben imprimir al vehículo? b) ¿Cuál es la distancia que recorre el vehículo en esta frenada?

1 1

2 2

3 3

1 1. (3).(10) 15

2 2

. (4).(10) 40

1 1. (3).(10) 15

2 2

A x b h m

A x b h m

A x b h m

1 2 3

15 40 15

70

t

t

t

x x x x

x m m m

x m


- 24 -

3. La siguiente tabla indica en varios instantes, los valores de la velocidad de un automóvil que se mueve en una carretera plana y recta:

t(s) 1 2 3 4 5

v(m/s) 6 10 14 18 22

a) ¿Cuál es la variación de la velocidad en cada uno

de los intervalos considerados?

¿Son iguales entre sí estas variaciones? ¿Cómo

clasificarías el movimiento?

b) ¿Cuál es el valor de la aceleración del automóvil?

c) ¿Cuál era el valor de la velocidad inicial del auto

en t = 0?.

4. Un cuerpo parte del reposo con aceleración constante y recorre 12 m en 4 segundos. La velocidad ganada es: A. 0 m/s. B. 48 m/s C. 3 m/s. D. 6 m/s 5. Un cuerpo parte del reposo con aceleración constante y recorre 12 m en 4 segundos. La velocidad ganada es: A. 0 m/s. B. 48 m/s C. 3 m/s. D. 6 m/s 6. Un cuerpo parte del reposo con aceleración constante y cuando a recorrido 20 m tiene una velocidad de 4 m/s. su aceleración es:

Conteste las preguntas 7 a 10 de acuerdo con

el siguiente gráfico de v contra t que describe el movimiento de una partícula:

7. El movimiento de la partícula es m. u en el intervalo. A. t=0 s y t=1 s. B. t=1 s y t=2 s. C. t=2 s y t=3 s. D. t=4 s y t=6 s. 8. El movimiento de la partícula es m. u retardado en el intervalo. A. t=0 s y t=1 s. B. t=1 s y t=2 s. C. t=5 s y t=6 s. D. t=3 s y t=5 s. 9. la aceleración de la partícula en el intervalo t=0s y t=2s es:

A. 6 m/s2.

B. 2 m/s2.

C. 3 m/s2.

D. 4 m/s2..

10. El espacio recorrido por la partícula entre t=4s y t=6s fue: A. 6m. B. 18m. C. 7m. D. 12m. 11. Un cuerpo parte del reposo con aceleración constante y recorre 12 m en 4 segundos. La velocidad ganada es: A. 0 m/s. B. 48 m/s C. 3 m/s. D. 6 m/s Mediante el grafico siguiente contesta las preguntas 12 a 13. 12. El móvil A alcanza al móvil B cuando han transcurrido un tiempo de: A. 4 s. B. 9 s C. 10 s. D. No lo alcanza. 13. Cuando han trascurrido 8 seg. El movida A. A. Recorre mas distancia que el móvil B. B. Recorre menos distancia que el móvil B. C. Recorre igual distancia que el móvil B. D. Recorre 8 mts mas que el móvil B. 14. Teniendo en cuenta los movimientos de los móviles: A. El móvil A se mueve con movimiento uniforme. B. El móvil B se mueve con m. u. a. C. El móvil B se mueve con movimiento uniforme. D. El móvil A se mueve con aceleración nula. 15. En el intervalo entre t=4 s y t=9 s. es correcto afirmar que: A. El móvil A recorre 15m más que B. B. El móvil B recorre el doble de distancia que A. C. Los móviles recorren la misma distancia. D. El móvil B recorre la mitad de distancia que B.

1 2 3 54 6

2

4

6

8

- 4

- 2

- 6

V( m / s)

1 2 3 54 6

2

4

6

8

- 4

- 2

- 6

V( m / s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4

6

8

10

12

14

2

T(s)

v(m/s)

A

B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4

6

8

10

12

14

2

T(s)

v(m/s)

A

BB


- 25 -

CAIDA LIBRE:

Cuando los cuerpos se mueven hacia abajo debido a la aceleración gravitacional, al movimiento se le llama CAÍDA LIBRE. Todo cuerpo en caída libre recorre una distancia o espacio, el cual se le llama "altura (h)", debido a que su trayectoria es vertical. Cuando un movimiento acelerado (MUA) se debe a la aceleración gravitacional "g", las fórmulas cinemáticas para la caída libre son las mismas; sólo que a = g y x = h, o sea:

Aceleración gravitacional:

Todos los cuerpos que están cerca de la superficie terrestre, experimentan una aceleración vertical dirigida hacia abajo, debido al campo gravitacional del planeta. Esta aceleración se le llama: aceleración gravitacional o simplemente "gravedad". La aceleración gravitacional se representa como "g" y su valor medio es:

EN EL

SISTEMA

VALOR

MKS g = 9,8 m/s2

CGS g = 980 cm/s2

PLS g = 32 ft/s2

El valor de "g" NO es fijo o constante, ya que cambia levemente de un sitio a otro de la Tierra (debido a la latitud, longitud, altitud, etc), por lo que se considera siempre su valor medio para ejercicios teóricos. En general, el mayor valor de "g" está en los polos y su valor mínimo en la Línea del Ecuador. Para efectos prácticos se acostumbra también redondear el valor de g = 9,8 m/s

2 por 10 m/s

2.

Signo de g: Cuando un objeto se impulsa hacia arriba con una velocidad inicial Vi, éste realiza un recorrido de subida y otro de bajada. El punto más alto del recorrido determina la altura (h) del movimiento. Se observa que: • En la subida, el objeto partió con una velocidad inicial (Vi) y se desaceleró hasta frenar momentáneamente y quedarse quieto en el punto más alto, es decir, experimentó una aceleración NEGATIVA. • En la bajada, el objeto partió del reposo y se aceleró hasta llegar a alcanzar una velocidad final (Vf), es decir, experimentó una aceleración POSITIVA. En este tipo de movimiento, la gravedad fue la causa de la desaceleración en la subida y la aceleración en la bajada, por lo que se considera el signo de "g" como: Positivo: g = + 9,8 m/s

2 cuando es en bajadas.

Negativo: g = - 9,8 m/s2 cuando es en subidas

Dependiendo del tipo de trayecto (subida o bajada) el signo de "g" es (+) o (-), y se lo reemplaza internamente en su valor numérico cuando se usan las fórmulas del Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA). Por este motivo, y para evitar confusiones, no es recomendable indicar el signo (-) directamente en un término de las fórmulas donde está la "g", es decir, no escribir " - g" sino (-9.8 m/s

2).

2 2 2 2

2 2

. .

2. . 2. .

1 1. . . .

2 2

f i f i

f i f i

i i

v v a t v v g t

v v a x v v g h

x v t a t h v t g t


- 26 -

EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1. desde una torre se deja caer una piedra que tarda 6 s en llegar al suelo. Calcula la velocidad con que llega y la altura de la torre. Datos:

2

0

6 .

10 /

?

?

i

f

v

t s

g m s

v

h

Solución: Primero calculamos la velocidad final utilizando la

formula: .f iv v g t . Pero como 0iv por que la

piedra cae libremente la formula queda: .fv g t

Remplazando valores:

Luego calculamos la altura de la torre ( ?)h

utilizando la formula: 21. .

2ih v t g t remplazando

valores: 2. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba, con velocidad inicial de 10 m/s, calcula el tiempo de subida de la pelota y la altura máxima que alcanza: Datos:

2

10 /

10 /

0

?

?

i

f

v m s

g m s

v

t

h

Solución: Primero calculamos el tiempo utilizando la formula:

.f iv v g t . Para lo cual despejamos el tiempo:

Remplazando valores:

2 2

0 10 / 10 /1

10 / 10 /

1

f iv vt

g

m s m st s

m s m s

t s

Luego calculamos la altura de la torre ( ?)h

utilizando la formula: 2 2 2.f iv v gh . Para lo cual

despejamos la altura: Remplazando valores:

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2.

(0) (10 / ) 0 100 / 100 /

2.( 10 / ) 20 / 20 /

5

f iv vh

g

m s m s m sh

m s m s m s

h m

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 5 m/s. ¿Cuanto tarda en el aire? Y ¿Qué altura máxima alcanza? 2. Una pelota se lanza hacia arriba, con velocidad de 20 m/s. Calcula la distancia que recorre durante el primer segundo. 3. La pelota de la pregunta anterior. ¿hasta que altura máxima sube? 4. Se lanza una piedra hacia abajo. Con una velocidad inicial de 1 m/s. Al cabo de 1 segundo, ¿Qué distancia recorrida lleva?:

5. Se deja caer una piedra sin velocidad inicial. Al cabo de 1 segundo, ¿Qué distancia recorrida lleva?:

2

.

10 / .6 60 /

60 /

f

f

f

v g t

v m s s m s

v m s

2

2 2

2 2

1. .

2

1(0).(6 ) (10 / ).(6 )

2

10 (10 / ).(36 )

2

180

ih v t g t

h s m s s

h m s s

h m

.

.

f i

f i

f i

v v g t

v v g t

v vt

g

2 2

2 2

2 2

2.

2.

2.

f i

f i

f i

v v gh

v v gh

v vh

g


- 27 -

6. Una piedra lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Calcula: a) La altura máxima que alcanza la piedra b) El tiempo que transcurre en alcanzar la altura máxima c) El tiempo que transcurre en regresar a su posición original. 7. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 5 m/s, ¿Qué tiempo tarda en el aire? 8. ¿Con que velocidad se debe lanzar verticalmente hacia arriba un cuerpo para que alcance una altura de 500 m?, ¿Qué tiempo tarda en llegar nuevamente al suelo? 9. ¿Que velocidad alcanza al cabo de 10 s un cuerpo que se deja caer libremente?, ¿Se puede afirmar que al duplicar el tiempo de caída, se duplica la velocidad adquirida por el cuerpo? 10. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo. Un estudiante que se encuentra en una ventana ve que la pelota pasa frente a el con una velocidad de 6 m/s hacia arriba, la ventana se encuentra a 12 m de altura. a) ¿Qué altura máxima alcanza la pelota? b) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar a la altura máxima desde que la ve el estudiante frente a él? 11. Por una llave cae una gota de agua cada segundo. En el instante que va a caer la cuarta gota. ¿Qué distancia separa la primera de la segunda gota?, ¿Qué velocidad posee la tercera gota?. 12. Un objeto s lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando alcanza la mitad de la altura máxima, su velocidad es de 24 m/s. a) ¿Qué altura máxima alcanza? b) ¿Qué tiempo tarda en alcanzarla? c) ¿Con que velocidad se lanzó? CINEMATICA DEL MOVIMIENTO EN EL PLANO: MOVIMIENTO EN EL PLANO CON VELOCIDAD CONSTANTE:

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Vamos a analizar ciertos tipos de movimientos que se presentan con frecuencia, como por ejemplo, el movimiento de una barca avanzando río abajo, o río arriba, o atravesando un río. El estudio de este tipo de movimientos se aborda empleando la composición de movimientos más sencillos que realiza el móvil de forma simultánea, pero que son independientes entre sí. Cuando un móvil, está sometido simultáneamente a dos o más movimientos, se dice que está sujeto a una composición de movimientos. El estudio de este fenómeno se fundamenta en el principio de independencia, enunciado por Galileo en los siguientes términos: Si un móvil está sometido a dos movimientos, su cambio de posición es independiente de si la ocurrencia de los movimientos se produce de forma sucesiva o de forma simultánea. A continuación vamos a examinar con más detalle algunos ejemplos de movimientos compuestos. MOVIMIENTOS UNIFORMES DEL MISMO SENTIDO

Para la barca arrastrada por la corriente de agua del río se cumple la igualdad: R n rv v v , donde

nv Velocidad del nadador o de la barca

rv = velocidad de las aguas del rio

Rv = velocidad resultante.

Por ejemplo, si la velocidad que desarrolla el motor de la barca es de 10 m/s y la de la corriente es de 1 m/s, ¿Cuál será la velocidad de la barca con respecto a la orilla?


- 28 -

Datos: Solucion:

10 /

1 /

?

n

r

R

v m s

v m s

v

MOVIMIENTOS UNIFORMES DE SENTIDO CONTRARIO En este caso, que es el de una barca que se mueve por el río corriente arriba se cumple la igualdad:

R n rv v v

Por ejemplo, Si la velocidad que desarrolla el motor de la barca es de 10 m/s y la de la corriente es de 1 m/s, ¿Cuál será la velocidad de la barca con respecto a la orilla? Datos: Solucion:

10 / 1 /

9 /

R n r

R

R

v v v

v m s m s

v m s

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS PERPENDICULARES En el caso de la barca que atraviesa el cauce de un río, el movimiento de la misma se ve influenciado por la dirección y sentido tanto de la velocidad de la barca como de la velocidad del agua. La barca, impulsada por el motor, se mueve hacia adelante y simultáneamente, por efecto de la corriente, se mueve lateralmente. La composición de los dos movimientos considerados por separado, el de la barca y el de la corriente, da lugar al movimiento que se observa en la siguiente figura:

La velocidad, Rv , que resulta de la composición de los dos movimientos se expresa como: R n rv v v

Siendo n rv y v las velocidades respectivas de los movimientos de la barca y del rio respectivamente. Y el

modulo de la velocidad resultante Rv se calcula utilizando el teorema de Pitágoras: lo cual se expresa

mediante la siguiente ecuación: 2 2

R n rv v v

Por ejemplo, Una barca se mueve perpendicularmente a la corriente de agua de un río. Sabiendo que la velocidad que desarrolla su motor es 36 km/h y que la velocidad del agua es de 2 m/s, determina la velocidad (módulo) con que la barca se mueve con respecto a la orilla. DATOS:

36 /

2 /

?

n

r

R

v km h

v m s

v

Solución Expresemos la velocidad de 36 km/h en m/s:

36 100036 / 10 /

3600n

x mv km h m s

s

10 / 1 /

11 /

R n r

R

R

v v v

v m s m s

v m s

10 / 1 /

9 /

R n r

R

R

v v v

v m s m s

v m s


- 29 -

La barca intenta cruzar el río en sentido perpendicular a la corriente. Por tanto: 2 2

R n rv v v

Remplazando valores tenemos: EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Un avión en aire en reposo se mueve con velocidad de 400 km/h en la dirección oeste, cuando empieza a correr un viento a velocidad de 100 km/h en la dirección norte. Determina la velocidad (módulo) con que el avión se mueve con respecto a la Tierra. 2. Imagina que un avión realiza un vuelo de Bogotá a Cali con el viento a su favor y que regresa de Cali a Bogotá con el viento soplando con la misma rapidez que antes, pero ahora en contra. En el trayecto de ida y regreso, ¿emplearía el mismo tiempo si ese trayecto se hubiera realizado sin viento? Para argumentar tu respuesta puedes tomar 315 km como distancia Bogotá-Cali en línea recta; 900 km/h, la velocidad del avión y 100 km/h la velocidad del viento. 3. Un joven que aguas tranquilas nada con velocidad de 3 m/s, desea atravesar un rio de 16 m de ancho, cuyas aguas llevan una corriente de 1 m/s. Calcular: a) la velocidad del nadador medida por una persona situada en tierra. b) El tiempo que gasta el nadador en atravesar el rio. c) La distancia que separa el lugar de llegada al punto exactamente opuesto al sitio de salida del nadador. MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACION CONSTANTE LANZAMIENTO HORIZONTAL O MOVIMIENTO SEMIPARABOLICO: Se le da el nombre de lanzamiento horizontal al movimiento que describe un proyectil cuando se dispara horizontalmente desde

cierta altura h con una velocidad inicial v . Bajo estas

condiciones, el vector velocidad inicial es perpendicular a la aceleración de la gravedad, g . Analicemos ahora cuál es la diferencia entre este movimiento de lanzamiento horizontal y el movimiento de caída libre que estudiamos anteriormente. Para ello, imagina que se lanza una pelota desde la azotea de un edificio en forma horizontal. Observa cómo, el objeto además de caer, se mueve horizontalmente. Es decir, podemos analizar el movimiento de la pelota, como el resultado de dos movimientos diferentes. Si representamos esta situación en un plano de coordenadas cartesianas, uno de los movimientos ocurrirá en el eje x, mientras el otro lo hará en el eje y. Supongamos que iluminamos la pelota desde arriba y estudiamos el movimiento de la sombra proyectada sobre el piso, que es equivalente a estudiar el movimiento horizontal de la pelota. Veremos que la sombra recorre distancias iguales en tiempos iguales, es decir, que el movimiento de la pelota se realiza con velocidad constante. Más aún, si calculáramos la velocidad con la que avanza la sombra, veríamos que coincide con la velocidad con que la pelota abandonó la superficie de la azotea. Es decir, la pelota se mueve en la dirección horizontal, siempre con la misma velocidad. Diremos entonces que: El movimiento horizontal de la pelota es rectilíneo y uniforme; es decir, no existe aceleración en el eje x. Ahora supongamos que iluminamos la pelota desde un costado y estudiamos el movimiento de la sombra proyectada sobre la pared del edificio. Veremos que la sombra recorre distancias cada vez mayores en intervalos iguales de tiempo, es decir, que el movimiento vertical de la pelota se realiza con velocidad variable.

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

(10 / ) (2 / )

100 / 4 /

104 /

10,2 /

R n r

R

R

R

R

v v v

v m s m s

v m s m s

v m s

v m s


- 30 -

Además, si midiéramos cómo se va desplazando de la sombra sobre la pared, veríamos que lo hace como cualquier objeto que se encuentra en caída libre. Diremos, entonces, que: El movimiento vertical de la pelota es uniformemente acelerado, con una aceleración igual a la aceleración de la gravedad. Es muy importante destacar que la componente horizontal de la velocidad de la pelota es independiente de la componente vertical. Decimos, entonces, que: El movimiento de un proyectil está compuesto por dos movimientos: uno rectilíneo y uniforme (en el eje x); y otro, rectilíneo uniformemente acelerado (en el eje y). La combinación de estos dos movimientos determina la trayectoria que describe el cuerpo. Para estudiar esta composición de movimientos rectilíneos elijamos como sistema de referencia el formado por dos ejes de coordenadas cartesianas x - y en cuyo origen (0,0) se sitúa en el punto de disparo (ver figura) En cualquier punto de la trayectoria la velocidad del objeto tiene dos componentes vx y vy, es decir, que la velocidad es v = (vx, vy) y su dirección es tangente a la trayectoria. Resumamos algunas características de la composición de los movimientos: Si el lanzamiento horizontal se produce con velocidad inicial v0, en cualquier posición P, la componente vx de la velocidad del proyectil coincide con la velocidad de disparo v0, puesto que se desprecia la resistencia del aire. Es decir, vx = v0 y la coordenada de la posición en el eje x está dada por x = v0.t El movimiento rectilíneo vertical es un movimiento de caída libre, con velocidad inicial cero. Para cualquier posición, P, la componente vy de la velocidad del proyectil coincide con la velocidad de caída. Es decir, vy = voy + g • t, donde voy = O, por tanto vy = g • t y la coordenada de la posición en el eje y se obtiene

a partir de:

2

0 .2

y

gty v t

Pero como vy =0, tenemos que

2

2

gty .

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Una esfera es lanzada horizontalmente desde una altura de 24 m con una velocidad de 100 m/s. Calcular el tiempo que tarda en caer y el alcance horizontal del proyectil. Grafico: Datos. Formulas: Solución: Primero: para calcular tiempo Utilizamos la formula:

2

2

gty y despejamos el valor de t:

2

2

2

2

2

2

2

gty

y gt

yt

g

yt

g

Luego remplazamos valores

2

2

2 2(24 )4,8 2,19

10 /

2,19

y mt s s

g m s

t s

Segundo calculamos el valor de x=? para lo cual

utilizamos la formula: .x v t y reemplazamos valores:

. 100 / .2,19 219

219

x v t m s s m

x m

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Desde un avión que vuela a 1.000 m de altura y a una velocidad de 720 km/h, se deja caer un proyectil. ¿A qué distancia (horizontal) del blanco debe dejar caer el proyectil para que éste haga explosión justo en el punto deseado? 2. Si desde el borde de una mesa se deja caer libremente una esfera A y al mismo tiempo se lanza horizontalmente desde el mismo punto otra esfera B con determinada velocidad inicial, ¿Cuál de las dos esferas cae al suelo con mayor velocidad? ¿Cuál llega primero al piso?

24 /

24

?

?

v m s

h m

t

x

2

2

.

gty

x v t


- 31 -

3. Desde lo alto de un edificio de 20 m de altura se lanza horizontalmente una pelota con una velocidad v = 2 m/s. ¿Cuál es la posición de la pelota 0,5 segundos después de ser lanzada? 4. Un carpintero lanza un trozo de madera desde el techo de una casa que está a 8,4 m de altura, con una velocidad horizontal v = 6,4 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo la madera?, ¿Qué fue su alcance horizontal? 5. Una persona empuja una pelota por una mesa de 80 cm de alto y cae a 50 cm del borde de la mesa, como se observa en la figura. ¿Con qué velocidad horizontal salió la pelota? 6. Desde lo alto de un edificio una persona lanza horizontalmente una pelota que tarda 6 segundos en llegar a la base del edificio. Si la pelota cae a 12 m de la base del edificio, ¿con qué velocidad horizontal se lanzó la pelota? ¿Cuál es la altura del edificio? 7. Un avión de rescate vuela horizontalmente con una velocidad vox y a una altura h sobre la superficie del océano, para arrojar un paquete de alimentos a unos náufragos. ¿En qué ángulo de la línea visual debe soltar el piloto el paquete? LANZAMIENTO DE PROYECTILES O MOVIMIENTO PARABOLICO.

Imagina que se lanza un objeto con velocidad v que forma con la horizontal un ángulo (ver fig.). La velocidad

inicial tiene dos componentes: vx y vy, representados como: .cos .x yv v y v v sen

Al igual que en el lanzamiento horizontal, este movimiento se puede considerar como la composición de dos movimientos: uno vertical, como el de un objeto lanzado hacia arriba con velocidad vy que regresa a Tierra y otro horizontal con velocidad constante vx (ver fig.). Observa que la velocidad en el movimiento vertical disminuye exactamente en la misma proporción en la que aumenta cuando se dirige hacia abajo. El cuerpo asciende y pierde velocidad hasta que, por un instante, su velocidad vertical es cero, en el punto más alto, y luego desciende empleando en regresar al nivel desde el que fue lanzado el mismo tiempo que empleó en subir. El movimiento del proyectil es un movimiento combinado: el proyectil tiene movimiento vertical y además, se desplaza horizontalmente recorriendo distancias iguales en tiempos iguales. Observa que si tomamos el origen (0, 0) en el punto de partida del proyectil, al cabo de determinado tiempo el

objeto ocupa la posición (x, y) y se mueve con velocidad ( . )x yv v v , donde

.xx v t

Siendo xv constante

A partir de las anteriores expresiones para x y para y es posible determinar la posición del objeto en cualquier instante de tiempo. Puesto que la componente de la velocidad en el eje x es constante, su valor en cualquier instante es el mismo que en el momento del lanzamiento, vx. La aceleración sólo tiene componente en el eje y, que es la aceleración de la gravedad (ver fig.). Como lo hemos dicho, la velocidad de un objeto con trayectoria curva es un vector tangente a la misma, en la figura se ha trazado el vector velocidad en algunos puntos de la trayectoria.

2

0

.2

.

y

y y

gty v t

v v g t


- 32 -

A partir de lo anteriormente expuesto es posible determinar unas expresiones para calcular el valor de la altura

máxima (maxh ), el alcance horizontal máximo

max( )x y el tiempo de vuelo ( )vt , estas ecuaciones son:

2 2

max

2

max

2.

2

2 .v

v senh

g

v senx

g

v sent

g

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Un objeto se lanza con velocidad de 5 m/s formando con la horizontal un ángulo de 53°. a) Determina las componentes vx y vy de la velocidad inicial. b) Determina la altura máxima. c) determina el alcance horizontal máximo. d) Calcula el tiempo de vuelo DATOS: Formulas

0

2

max

max

5 /

53

10 /

) ?

?

) ?

) ?

) ?

x

y

v

v m s

g m s

a v

v

b h

c x

d t

Solución:

) ?

?

x

y

a v

v

2. Un jugador de tejo lanza el hierro con un ángulo de 40º y cae en un punto situado a 24 m del jugador. ¿Con que velocidad se lanzó el tejo? DATOS: FORMULA:

0

max

2

0,79

40

24

10 /

?

vt s

x m

g m s

v

SOLUCION: Para calcular el valor de la velocidad esta se despeja en la expresión: De la siguiente forma:

2 2

max

2

max

.cos

.

2.

2

2 .

x

y

v

v v

v v sen

v senh

g

v senx

g

v sent

g

0

0

.cos 5 / .cos53 5 / .0,6 3 /

3 /

. 5 / . 53 5 / .0,79 3,95 /

3,95 /

x

x

y

y

v v m s m s m s

v m s

v v sen m s sen m s m s

v m s

max

2 2 2 2 2 2 2

max 2 2

2 2

max 2

max

) ?

(5 / ) ( 53) (25 / )(0,79)

2. 2.(10 / ) 20 /

(25 / )(0,62)0,77

20 /

0,77

b h

v sen m s sen m sh

g m s m s

m sh m

m s

h m

max

2 2 0 2 2 0

max 2 2

2 2

max 2

max

) ?

2 (5 / ) 2(53 ) (25 / ). 106

10 / 10 /

(25 / ).(0,96)2,4

10 /

2,4

c x

v sen m s sen m s senx

g m s m s

m sx m

m s

x m

0

2 2

) ?

2 . 2(5 / ). 53 10 / .0,79

10 / 10 /

0,79

v

v

v

d t

v sen m s sen m st

g m s m s

t s

2

max

. 2v senx

g

2

max

. 2v senx

g

2

max

2 max

max

. . 2

.

2

.

2

g x v sen

g xv

sen

g xv

sen


- 33 -

Remplazando valores tenemos:

2 2 2

max

0 0

2 22 2

. 10 / .(24 ) 240 /

2 2(40 ) 80

240 /244,89 /

0.98

15.64 /

g x m s m m sv

sen sen sen

m sv m s

v m s

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Un motociclista desea atravesar un charco de 12 m de ancho, utilizando la pendiente que hay a la orilla del charco de 15° con la horizontal. ¿Qué velocidad debe tener la moto en el momento que salta para lograr pasar el charco? 2. Un jugador lanza una pelota con un ángulo de 38° con la horizontal y tarda 3 s en llegar al suelo. ¿Qué velocidad inicial le proporcionó a la pelota?. ¿Que alcance horizontal logra la pelota? 3. Un obrero lanza una herramienta con movimiento parabólico a un amigo. Si lanza la herramienta con una velocidad de 20 m/s y formando un ángulo con la horizontal de 30°, ¿a qué distancia debe estar el amigo para que reciba la herramienta en las manos? 4. Un jugador de béisbol golpea la pelota con un ángulo de 45° y le proporciona una velocidad de 38 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Cuál fue su alcance horizontal? MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (m. c. u) Se denomina movimiento circular, al que realiza todo cuerpo cuya trayectoria sea una circunferencia. Se trata de un movimiento que se realiza en un plano, es decir que involucra a dos coordenadas de posición, aunque en este caso una coordenada pueda estar en función de la otra. La descripción de un movimiento de estas características, requiere de la revisión de algunos aspectos de la geometría y la definición de nuevos conceptos, ya que no nos alcanza con los estudiados en la cinemática del movimiento rectilíneo. Entre estos, tenemos: medición de ángulos; definición de la velocidad tangencial, definición de la velocidad angular, definición de período y definición de frecuencia. Denominamos uniforme a todo movimiento circular en el cual el módulo del vector velocidad permanece constante. Y decimos que sólo permanece constante el módulo, porque la dirección del vector velocidad cambia permanentemente, ya que siempre es tangente a la trayectoria.

Observar en la figura, que todos los vectores velocidad son tangentes a la trayectoria, conservando el módulo. Sólo cambian su dirección. Para el estudio del movimiento circular uniforme es necesario conocer algunos conceptos básicos, los cuales definiremos a continuación: FRECUENCIA: Definimos a la frecuencia (f), como el número de vueltas o revoluciones que realiza un cuerpo en la unidad de tiempo. Se calcula mediante la siguiente expresión:

nºde vueltas

unidad de tiempo

nfrecuencia osea f

t

La frecuencia se mide en: Rev/seg, vueltas/seg, r. p. m. Operacionalmente se utiliza es segundo elevado a la menos uno o sea: seg-1 a lo que se le denomina Herz (hz).


- 34 -

PERIODO: Se define al período (T), como el tiempo en dar una sola revolución o vuelta completa. Se calcula mediante la siguiente expresión:

unidad de tiempo

nºde vueltas

tperiodo osea T

n

El periodo se mide en segundos (seg). El periodo y la frecuencia están en relación inversa y ésta se expresa ecuacionalmente mediante así:

1 1f o T

T f

VELOCIDAD ANGULAR (w):

Es el ángulo barrido ( : )theta medido en radianes

en una unidad de tiempo (t). s

e calcula mediante la expresión: wt

Si consideramos una vuelta completa dada por un punto que se mueve con M.C.U., el ángulo barrido será

2 y al tiempo empleado en barrerlo lo habíamos designado período (t=T), en consecuencia, la velocidad

angular ω, quedará expresada de la siguiente manera: 2

wT

o también 2w f

La velocidad angula se mi en: rad/seg. VELOCIDAD TANGENCIAL O VELOCIDAD CIRCULAR (Vt o vc): Es el cociente entre el arco recorrido (∆s) y el lapso (∆t) empleado en recorrerlo

Su expresión matemática es: t

sv

t

Pero .s R luego .

t

s Rv

t t

Si consideramos una vuelta completa dada por un punto que se mueve con M.C.U., el ángulo barrido será

2 y al tiempo empleado en barrerlo lo habíamos designado período (t=T), en consecuencia, la velocidad

tangencial Vt, quedará expresada de la siguiente manera: 2

t

Rv

T

o también 2tv Rf

La velocidad tangencial se mide en: km/h, m/s. cm/s, ft/s, etc. NOTA: Como se ve en la formula anterior la velocidad tangencial depende del radio de la circunferencia o del radio del arco recorrido por el cuerpo, es decir:

- A mayor radio, mayor velocidad tangencial. - A menor radio, menor velocidad tangencial

RELACION ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR (w) Y LA VELOCIDAD TANGENCIAL (vt)

Teniendo en cuenta las ecuaciones de velocidad angular 2

wT

y le de velocidad tangencial

2t

Rv

T

podemos concluir que .tv w R . O que también tvw

R


- 35 -

ACELERACION CENTRIPETA (ac): A pesar de haberlo llamado uniforme, existe una aceleración que es la responsable del cambio en la dirección del vector velocidad. La aceleración centrípeta es una magnitud de carácter vectorial que apunta radialmente hacia el centro de la trayectoria descrita por el cuerpo. (ver figura).

Se calcula mediante la expresión: 2

tc

va

R o también: 2.ca w R .

La aceleración centrípeta se mide en: m/s2. cm/s2, ft/s2, etc.. TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO: Consideremos dos poleas con radios R y r respectivamente, unidas por una banda de transmisión, la cual comunica el movimiento entre las poleas, tal como se ilustra en la figura. La banda de transmisión se mueve con una velocidad (vb), que es la misma que la velocidad tangencial con adquieren ambas poleas, por lo tanto podemos concluir que: Entonces

t tV v y como . .t tv wr y V W R la expresión queda como:

. .W R wr Que es la formula que rige la transmisión de movimientos. Donde:

W Velocidad angular de la polea mayor.

R Radio de la polea mayor. F Frecuencia de la polea mayor.

1T Periodo de la polea mayor.

w Velocidad angular de la polea menor. r Radio de la polea menor. f Frecuencia de la polea menor.

2T Periodo de la polea menor.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1. Un volante de 0,5 m de radio, realiza 240 revoluciones cada minuto. Calcula: a) La frecuencia del volante. b) El periodo del volante. c) Velocidad angular. d) Velocidad tangencial e) Aceleración centrípeta Datos: Formulas r = 0,5 m. n = 240 rev. t = 1 min = 60 seg. a) f = ? b) T = ? c) w = ? d) Vt = ? e) ac = ?

SOLUCION:

a) f = ?

2404 /

60

n revf rev seg

t seg

b) T = ? (Lo calcularemos de dos formas) Primera forma:

600,25

240

t segT seg

n rev

Segunda forma:

1 10,25

4 /T seg

f rev seg

c) w = ? (La calcularemos de dos formas) Primera forma:

2 2.(3,14 )25,12 /

0.25

radw rad seg

T seg

b t tv de la banda V de la polea mayor v de la polea menor

2

1

2

2t

tc

nf

t

tT

n

Tf

wT

rv

T

va

R


- 36 -

Segunda forma:

2 2.(3,14 ).4 / 25,12 /w f rad rev seg rad seg

d) Vt = ? (La calcularemos de tres formas) Primera forma:

2 2.(3,14 )(0,5 )12,5 /

0.25t

r rad mv m seg

T seg

Segunda forma:

2 2.(3,14 )(0,5 ).4 / 12,5 /tv rf rad m rev seg m seg

Tercera forma:

. (25,12 / ).(0,5 ) 12,5 /tv wr rad seg m m seg

e) ac = ? (La calcularemos de dos formas) Primera forma:

2 2 2 22(12,5 / ) 156.25 /

312,5 /0,5 0,5

tc

v m seg m sega m seg

R m m

Segunda forma: 2 2 2. (25,12 / ) .(0,5 ) 312,5 /ca w r rad seg m m seg

2. Un cuerpo describe una trayectoria circular de 2m de diámetro con una velocidad tangencial de 0,5 m/seg. Calcula: a) El numero de vueltas que realiza este cuerpo en un minuto. b) Determina la velocidad angular. Datos: D = 2m Vt= 0,5 m/seg. a) n = ? en t = 60seg. b) w =?. SOLUCION: 1º) Determinamos el radio de la trayectoria. asi:

21

2 2

D mr m

a) n = ? en t = 60seg.

1º) calculamos la frecuencia despejándola en la

ecuación: 2tv rf asi:

0,5 /0,08 /

2 2.(3,14 )(1 )

0,08 /

tv m sf rev seg

r rad m

f rev seg

2º) calculamos el valor de n despejándola de la

ecuación n

ft

de la siguiente forma: .n f t

Luego:

. (0,08 / ).(60 ) 4,8

4,8

n f t rev seg seg rev

f rev

b) w =?. Calculamos el valor de w despejándola de la

ecuación: .tv wr quedando entonces:

0.5 /0,5 /

1

0,5 /

tv m segw rad seg

r m

w rad seg

3. Dos poleas de 5 y 20 cm de radio respectivamente giran conectadas por una banda de transmisión. Si la polea de menor radio realiza 48 rev. Cada 6 seg. Calcula: La frecuencia y periodo de la polea mayor. Datos r = 5 cm. n = 48 rev en t = 6 seg. R = 20cm F = ? T1=?. Solucion: 1º) calculamos la frecuencia de la polea menor asi:

488 /

6

8 /

n revf rev seg

t seg

f rev seg

2º) calculamos la frecuencia de la polea mayor despejándola de la formula de la transmisión de

movimiento: . .W R wr de la siguiente manera: EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. ¿Cuál es el periodo y frecuencia de un movil que da 36 vueltas en 15 segundos? 2. Una rueda de automóvil realiza 360 vueltas en dos minutos. Calcula: su velocidad angular. 3. Calcular la velocidad tangencial y la velocidad angular de un móvil que describe una circunferencia de 18 cm de radio en 0,8 seg. 4. Dos poleas de 8 y 12 cm de radio respectivamente, giran conectadas por una banda de transmisión. Si la polea de menor radio tiene una frecuencia de 20 vueltas/seg, ¿Cuál será frecuencia de la polea de mayor radio? 5. Calcula la velocidad con que se mueven los cuerpos que están en la superficie de la Tierra

. .

2 . 2 . 2

. .

. (8 / ).(5 )2 / .

20

2 / .

W R w r

F R f r cancelamos el factor en ambos miembros

de la igualdad

F R f r y despejamos a f

f r rev seg cmF rev seg

R cm

F rev seg


- 37 -

Sabiendo que su periodo es de 24 horas y el radio es de 6400 km aproximadamente6. Dos poleas de 28 y 45 cm de radio respectivamente, giran conectadas por una banda de transmisión. Si la polea de mayor radio da 6 vueltas cada 3 segundos., ¿Cuál será frecuencia de la polea de menor radio? 7. Un móvil recorre una circunferencia de 5 m de radio dando 3 vueltas cada segundo. Calcula la velocidad tangencial y su aceleración centrípeta. 8. ¿Cuál es la rapidez del extremo de la manecilla (de 2 cm de largo) de los minutos de un reloj? 9. Un cuerpo gira en un círculo de radio 0,5 m con velocidad de 10 m/seg. ¿Cuál es su aceleración centrípeta? 10. ¿Cuál es la velocidad de un cuerpo que gira en un círculo de radio 10 m si su aceleración centrípeta es 40 m/seg

2?

11. Un objeto que gira con una rapidez de 10 m/seg tiene una aceleración centrípeta de 50 m/seg

2. ¿Cuál es el

radio del círculo que describe? 12. ¿Cuál es la velocidad de una persona que recorre un círculo de 10 m de radio, si su aceleración centrípeta es igual a la aceleración de la gravedad? 13. ¿Cuántas vueltas por segundo debe efectuar un cuerpo que gira sobre una circunferencia de 1 metro de radio, cuando su aceleración centrípeta es 400 m/seg

2? .

14. Una rueda de radio 40 cm está girando a 800 rpm. ¿Cuál es la velocidad de un punto situado en la parte más lejana del eje? 15. Un auto que viaja a 72 km/hora tiene ruedas de 40 cm de radio. ¿Cuál es la velocidad angular de estas ruedas?.

CAPITULO 2 (CINEMATICA)

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