UNIDAD 1 DE LA ARITMETICA AL ALGEBRA El conjunto de los nmeros naturales o enteros positivos. Los primeros nmeros con quien el hombre se familiariz son los nmeros naturales, cuyo conjunto est formado por los siguientes elementos: N=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.] Nmeros enteros y fraccionarios La necesidad de efectuar mediciones de longitud, rea, volumen, peso, etc. Obliga al ser humano a introducir otros conjuntos de nmeros, como son: Nmeros enteros: son aquellos que se expresan el cociente de una divisin exacta: ELEMENTO E=[.-3,-2,-1,1,2,3,]

Nmeros fraccionarios: son los que nos permiten expresar el cociente de una divisin inexacta. ELEMENTO F=[..1/2,1/5,2/3,2/7,.]

Nmeros racionales Un nmero racional es aquel que puede expresarse como el cociente de dos enteros. En el conjunto de los racionales estn incluidos los enteros positivos y negativos, el cero y las fracciones positivas y negativas. Son racionales -3,-2,-1 o +1,+2,+3 +1/4,+1/5,-1/3,-1/2

Nmeros irracionales El filsofo griego Pitgoras de Samos (540 a.c.) descubri estos nmeros al establecer la relacin entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo. Nmero irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos nmeros enteros. POR EL TEOREMA DE PITGORAS

d2=e2+e2 d=12+12 d=2

2 (es un nmero irracional)

2=1.732.} obsrvese que estos nmeros son son nmeros irracionales: 3=1.41} expresiones decimales infinitas =3.1416} que no se repiten peridicamente.

REPRESENTACIN GEOMETRICA DE LOS NMEROS REALES Recta numrica: cada punto de la recta corresponde a un nmero real y solamente a uno y cada nmero real corresponde a un punto de la recta y solamente a uno.

Nmero imaginario: Resulta de la raz cuadrada De un nmero negativo.

Nmero complejo: son aquellos que se forman De una parte real y de una Imaginaria.

SISTEMA NUMERICO Un sistema numrico es un lenguaje formado por un conjunto ordenado de smbolos llamados dgitos, con reglas bien definidas para operaciones tales como: suma, resta, multiplicacin y divisin. Base o Raz La base o raz ( r ) de un sistema numrico, se refiere al total de smbolos diferentes que se pueden incluir o involucrar en un conjunto ordenado. N10= 1,2,3,4,5,6,7,8,9 N=nmero NS=0,1,2,3,4 Nr donde} r= base o raz N2=0,1 PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES 1. Las operaciones fundamentales- suma, resta, multiplicacin y divisin son operaciones binarias, en el conjunto de los nmeros reales, se llaman binarias porque si escogemos 2 nmeros generan un tercer nmero: 2+4=6 10-3= -7 8x4=32 102=5

2. La adicin y la multiplicacin son operaciones conmutativas. b+a operacin conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma b*a operacin conmutativa: el orden de los factores no altera el producto 13-88-13 la resta no es conmutativa 3. La adicin y la multiplicacin son operaciones asociativas X+(y+z) operacin asociativa: los sumandos pueden agruparse de cualquier modo a.(b*c) operacin asociativa: el orden de los factores no altera el producto 4. Los nmeros reales, tienen un elemento neutro en la multiplicacin 1=b 1 es el elemento neutro en la multiplicacin 5. Los nmeros reales tienen un elemento neutro aditivo nico que es el cero. x+0=0 0 es el elemento neutro en la adicin.

6.Todo nmero real tiene un inverso aditivo -5 es inverso aditivo de +5 ya que -5+5=0 todo inverso aditivo se llama (opuesto simtrico) +7 es inverso aditivo de -7 ya que +7-7=0 7. Todo nmero real (n) diferente de cero tiene inverso multiplicativo nico (1/n) 1/6 es inverso multiplicativo de 6 ya que 1/6(6)=1 1/3 es inverso multiplicativo de 3 ya que 1/3(3)=1 8. Propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicin a( b+c)= ab+ac 9. La suma de dos nmeros positivos da como resultado un nmero positivo +3+5=8 10.El valor absoluto de un nmero real cualquiera, es igual al mismo nmero pero siempre con signo positivo. [+3]=3 Las dos lneas verticales paralelas indican [-5]=+5 el valor absoluto del nmero comprendido. [-4]=+4 11. La suma de dos nmeros negativos da como resultado un nmero negativo. (-3)+(-5)= -8 12. La diferencia (sustraccin) de dos nmeros reales se realiza en la forma siguiente: 8-5=3 se restan los nmeros y al resultado se le da el signo (+) porque es mayor el valor absoluto de +8 que el de -5 +9-10=-6 se restan los numero y el resultado es (-) porque es mayor [-10] que [+4] 13. El producto de 2 nmeros con idntico signo es positivo (+3). (+2)=+6 mas por mas da mas (-5). (-4)=+20 menos por menos da mas 14 .El producto de 2 nmeros con diferente signo es negativo (+4). (-2)=-8 mas por menos da menos (-3). (-4)=-12 menos por mas da menos 15. El cociente de 2 nmeros con igual signo es positivo (-4)(+2)=+2 mas entre mas da mas (-10)(-2)=+5 menos entre menos da menos 16. El cociente de 2 nmeros con signos diferentes es negativo (+4) (-2)=-2 mas entre manos da menos (-15) (+5)=-3 menos entre mas da menos Numero primos y nmeros no primos o compuestos Numero primo es aquel que solo es divisible por si mismo y por la unidad Son primos {2, 3, 5, 7, 11, 13 ,17.}

Numero no primo o compuesto es aquel que es divisible por la unidad, por si mismo y por otros nmeros Son no primos {4, 6, 8, 9, 10} Para descomponer un numero primo en sus factores primos, se divide el numero dado por el menor de sus divisores primos y as sucesivamente por los dems cocientes, hasta hallar un cociente primo, que se divida por si mismo. Los factores primos de 804 son: {2,2,3,67 } Un nmero ser primo si no es divisible por ninguno de los primos cuyo cuadrado es menor que dicho numero. 1) 101 es nmero primo? 22= 4, 32= 9, 52= 25, 72=49, 112=121 4, 9, 25 y 49 < 101 2) 93 es nmero primo? 4, 9, 25, y 49b} solo una a0.303 1/4n

se aplican los siguientes pasos: 1. Dividir los cocientes 2. Se usa la ley de los signos 3. Se usa la ley de los exponentes

DIVISIN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Ademas de los pasos mencionados en el caso anterior, aqu se usa la propiedad distribuida en la divisin

Divisin de polinomios

residuo dividiendo divisor = cociente ----------divisor (x4-9x2+x+3)(x+3)

Divisin sinttica Se usa solo si se divide en x c

Teora del residuo Un polinomio dividido entre (x-c) es igual a f (c) DIVISIN VALOR NUMERICO x-1 0=2 p (x)= x2-3x+5 2 x-2 x -3x+5 p (2)=(2)2-3(2)+5 x2-2x p(2)=4-6+5 -x+5 p(2)=3 -1-x+2 3 2x3-x2+3x-11____ Division x+3 /2x4+5x3+0x2-2x-8 (-) 2x4+6x3 -x3+0x2 -x3-3x2 3x2-2x 3x2+9x Uno de los productos notables mas utilizados en operaciones algebraicas es el binomio cuadrado. (a+b)2 (a-b)2 Mtodo para factorizar} Un T.C.P. 1. Se ordena al binomio 2. Se extrae la raz del 1 y 3 termino 3. Se separan las races con el signo del Segundo termino. 4. Este binomio debe estar al cuadrado.

a2+2 ab+ b2= (a + b)(a + b)

(a2-2 ab+ b2)= (a-b)(a-b)

En un binomio conjugado (uno positivo y otro negativo) el producto es una diferencia de cuadrados

Trinomio de la forma x2+bx+c a) el coeficiente del primer termino es 1 b) el primer termino es una literal cualquiera elevada al cuadrado c) el segundo termino tienen la misma literal que el primer exponente uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa d) el tercer termino es independiente de la literal y es una cantidad cualquiera positiva o negativa. PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA FORMA X2+BX+C SE PROCEDE COM O SIGUE: 1) El trinomio dado se descompone en dos factores binominales cuyo 1 termino es la raz cuadrada del 1 termino del trinomio 2) En el primer factor, despus de la literal se escribe el signo que resulta de multiplicar trinomio y en el 2 factor, despus de la literal, se escribe el signo que resulta la multiplicacin signo del 2 termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio. 3) Si los factores binomiales tienen signos en medio iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo termino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del segundo termino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer termino del trinomio, estos nmeros son los del segundo termino de los binomios . x2+7x+10 (x) (x ) (x+5) (x+2) y2-9y+20 (y ) (y ) (y-5) (y-4) x2-2x-3 (x ) (x ) (x-3) (x+1)

CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO Para que una expresin algebraica sea un cubo perfecto debe cumplir lo siguiente. a) tener cuatro trminos b) que el primero y el cuarto sean cubos perfectos c) que el segundo termino sea mas o menos el triple del cuadrado de la raz cbica del ultimo. d) Que el tercer trmino sea mas el triple del producto de la raz cbica del primero por el cuadrado de la raz cbica del ultimo. (a+b)2= a3+3 a2b+3 ab2+b3 (a-b)3= a3-3 a2b+3 ab2+b3 Factorizar: 27-27x+9x2-x3 1. La raiz cubica de 27 327=3 2. El 2 trmino -27x -3 (3)22x 27-27x+9x2-y3=33-3(3)2x+3(3)y2-x3=(3-x)3 3. El 3 trmino 9x2=3(3)x2 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Si tenemos la diferencia o suma dividimos los cubos por el mismo trmino sin exponente. A3+b3 A+b =a2-ab+b2 A3-b3 a-b =a2+ab+b2 Por lo tanto, usando el hecho de que toda divisin exacta, el dividiendo es igual al producto del divisor por el coeficiente, tenemos que: A3+b3= (a+b) (a2-ab+b2) A3-b3= (a-b) (a2+ab+b2) (a+b)2 (a-b)2 (a+b) (a-b) (a+b)3 (a-b)3 A3-b3 A3+b3 (a+b)2 (a-b)2 (a+b)2+(a-b)2 (x+a) (x+b) A2+2ab+b2 A2-2ab+b2 A2-b2 A3+3 a2b+3ab2+b3 A3-3 a2b+3 ab2-b 3 (a-b) (a2+ab+b2) (a+b) (a2-ab+b2) 4 ab 2 (a2+b2) X2+(a+b)x+ab

PRINCIPALES COCIENTES NOTABLES a2- b2/ a+b a2-b2/ a-b a3+b3/ a+b a3-b3/ a-b an-bn/a-b an-bn/ a+b an+bn/ a+b a-b a+b a2-ab+b2 a2+ab+b2 an-1+an-2b+an-3b2+abn-2 an-1-an-2b+an-3b2+abn-2 an-1-an-2b+an-3b2-abn-2

n cualquier nmero n entero par n entero impar

PRINCIPALES TIPOS DE FACTORIZACIN Ax+ay (a+b+c)x+(a+b+c)y X2+-2xy+y2 X2-y2 X2+(a+b)x+ab A3+-3 ab+3 ab2+-b3 A3+-b3 A(x+y) (a+b+c) (x+y) (x+-y)2 (x-y) (x+y) (a+x) (b+x) (a+-b)3 (a+-b) (a2+-ab+b2) Monomio factor comn Polinomio factor comn Trinomio cuadrado perf. Diferencia de cuadrados Trinomio de la form. Cubo perf. De un binom. Suma y dif. De cub. Perf.

PRINCIPALES SUMA Y DIFERENCIAS DE LA MISMA POTENCIA An + b n =(a +b)(an-1-an-2b+an-3b2-an-5b3+bn-1) An b n=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b3++bn-1) An b n=(a +b)(an-1-bn-2b+an-3b3-an-4b3+-bn-1) Si n es par Si n es par impar Si n es par

CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO Para que una expresion algebraica seas un cubo cuadrado perfecto debe cumplir lo sig. a) tener cuatro terminos b) que el primer y cuarto sean cubos perfectos c) que el segundo termino sea mas o menos el triple del cuadrado de la raiz cubica del ultimo d) que el tercer termino sea mas el triple del producto de la raiz cubica del primero por el cuadrado de la raiz cubica del ultimo (a+ b) 3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b) 3 = a3-3a2b+3ab2-b3 UNIDAD 5 ECUACIONES Y FUNCIONES LINEALES

SISTEMA DE ECUACIONES Solucion por suma o resta para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas por el metodo de eliminacin de suma o resta, se aplica el sig procedimiento 1. multiplicamos los dos miembros de una ecuacin, o de ambas, por factores tales que igualen los coeficientes de una misma incognita. 2. sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, las restamos si son del mismo signo. 3. resolvemos la ecuacin resultante del paso interior, con lo cual obtenemos el valor de una incognita 4. sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para la otra incognita Ejemplos X+Y=4 -(1) X-Y=2 -(2) SUMAMOS EN AMBAS X+2Y=5 -(1) X+Y=4 -(2) RESTAMOS (2)A(1) X+2Y=5 (-)X+Y=4 Y= 1 SUSTITUIMOS EN (1) X+Y=4 3+Y=4 Y=4-3 SUSTITUIR EN (1) X+2Y=5 X+2(1)=5 X=5-2 X=3 COMPROBACION X+2Y=5 3+2(1)=5 5=5

Y=1

COMPROBACION X+Y=4 3+1=4 4=4

SOLUCION POR IGUALACION para resolver un sistema de 2 ecuaciones simultaneas, eliminado por el metodo de igualacin, aplicando el siguiente procedimiento. 1. despejamos en cada ecuacin la incogmita que se quiere eliminar 2. igualamos las dos expresiones del paso anterior 3. resolvemos la ecuacin resultante de la igualacin, con lo cual obtenemos el valor de una de las incognitas 4. sustituimos erl valor hallado en una de las expreciones que representan el valor de la otra incognita y resolvemos

EJEMPLOS x+y=12 --(1)

5xy40=2y --- (1)

5x-40=2y

x-y= 8 --(2) DESPEJAMOS X EN AMBAS

5x-z6= 2x --- (2)

5y-26=2x

DESPEJAMOS Y EN AMBAS

Igualamos a (3)y(4)

Sustituimos en y (2)

sutituimos en (3)

1. despejamos una incognita en una de las ecuaciones 2. sustituimos la exprecion que representa su valor en la otra ecuacin 3. resolvemos la otra ecuacin con la cual se obtiene el valor de la incognita no eliminada 4. sustituimos el valor asi hallado en la exprecion que representa el valor de la otra incognita y resolvemos EJEMPLO: x+y=23 - - - (1) x-y=7 - - - - (2) 2x+y=3 - - - -(1) de (1) despejamos y 3x-7y=30 - - -(2) y=3-2x - - - - -(3) Sustituimos (3) en (2) Desp. y en (2) 3x-7(3-2x)=30 x-(23-x)= 7 3x-21+14x=30 x-23+x=7 17x=30+21 2x-23=7 x=51/17 x=3 X=7+23/2 x=5 Sustituimos en (3) Sustituimos x en (3) y=3-2(3)=3-6 y=-3 Y=23-x=23-15 y=8 Comprobamos 2(x)+y=3 2(3)+(-3)=6-3=3 SOLUCIN GRFICA 2x+y=10 - - - (1) Si se trata de resolver el siguiente sistema { x+y=10 - - - - (2)} se produce como sigue.

En la ecuacin (1) despejamos el valor de (y), colocando a esta incgnita en funcin de (x) como se indica y=10-2x ahora efectuamos la tabulacin (damos valores a x y vemos que valores da a y) De (1) y=16-2x X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 De (2) y=10-x

X4+2y=-4 5x+7y=13

ECUACIONES CUADRATICAS DE SEGUNDO GRADO Una ecuacin con una sola incognita es de segundo grado o cuadratica cuando despus de reducida a su mas simple exprecion, el m,as grande grado de la incognita es de 2 grado Forma general de la ecuacin de segundo grado Toda ecuacin de segundo grado con incognita puede redicirse a la forma general

EJEMPLOS 8x2-2x=0 a b x=-(-2)+(-2)2-4(8)(0)/2(8) x=4+4/16=4+2/16 x1=6/16=2/8 x2=2/16=1/8 7x2+21=0 x=-21+(21)2-4(7)(0) x=-21+231=-21+21/14 x1=-21+24/14=0

2x2+2x+1=0 a b c x=-2+(2)2-4(2)(1)/2(2) x=-2+4-8/4 x=-2+-4 - - no existe/4

PROCEDIMIENTO

{1.Igualamos la cuadrtica a una nueva variable {2. Tabulamos, dando valores a x calculamos los valores que adopte y {3. Graficamos {4. Los vectores de x para los cuales y vale cero, sern las races solucin de la ecuacin.

RESUELVE LA SIG. ECUACIN

X2+X-2=0 X= -1+(1)2-4(1)(-2)/2(1) X= -1+1+8= -1+9/2 X1= -1+3/2=2/2=1 X2= -2-2/2=-4/2=2

RESOLUCION DE LAS ECUACIONES CUIADRATICAS MIXTAS COMPLETAS POR FACTORIZACION

PROCEDIMIENTOS

{1 factorizamos la ecuacin {2 igualamos a cero cada factor y resolvemos cada caso,

Obtenemos las races. X2+x-20=0 (x+5)= 0 x= -5 x-4= 0 x= 4 2x2-5x-3=0 2x2+6x+x-3=0 2x(x-3)+1(x-3)=0 (2x+1)(x-3)=0 x-3=0 x=1 2x+1=0 x= -1/2

Resolucion de cuadraticas completando el cuadrado. X2+6-16=0 X2+6x=16 X2+6x+9=16+9 (x+3)2=25 X+3=+25 X+3= +5 X=+5-3 X1= +5-3=2 X2= -5-3=-8 x2+4x-21=0 x2+4x+4=21+4 (x+2)= +25 x+2= +5 x= +5-2 x1=+5-2=3 x2=5+3=8 2x2+7x+9=0 x2+7x= -9 x2+7x+12.5=-9+12.5 (x+3.5)=3.5 x+3.5= -+1.87 x1=1.87-3.5=-1.63 x2= -1.87-3.5=-5.37

Solucion de ecuaciones simultaneas con mas incognitas para resolver estos sistemas se puede recoger cualquier sistema de los metodos vistos antes Ejemplo: 2x-6y-5z=-11 - (1) 10x+9y-3z=50 -- (2) 4x-8y+z=15 -- (3) 3x-2y+4z= 1 4x+y-5z=2 2x-3y+z=-6 x+y+z=11 2x-y+z=5 3x+2y+z

Antes de entrar a la resolucion de ecuaciones simultaneas por determinantes vemos que esa determinante y como se resuelve. Determinante de segundo orden. Es el orden de 4 numeros y se desarrolla de la siguiente manera

Determinante de tercer orden: es una ordenacin cuadricular de numeros que consta de 3 columnas y 3 renglones y se desarrolla de la siguiente manera: