UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LÓGICA.

MAPA CONCEPTUAL

LÓGICA MATEMÁTICA

Ciencia de la razón

Acción Pedagógica

Habilidades de Pensamiento Aprendizaje

Autónomo. Autogestión Formativa

Nuevos Saberse

Estrategias Pedagógica

s

Análisis

Lógica

Inducción

Deducción

Razonami ento

Inferencia

Teoría de Conjuntos

Síntesis

Abstracción

Inducción y deducción

Comparación

Como

Aporta Es

Desarrolla Genera

Que desarrollan

Como

Como

Para

Comprender

UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LÓGICA.

Competencias:

• Relacionar e interpretar expresiones del lenguaje simbólico y natural, en la formulación y representación de estructuras lógicas, en términos de variables y conectores lógicos, siendo estos los elementos estructurales de la lógica proposicional; y de esta manera, articular las diferentes formas de comunicación en diversos contextos.

• Interpretar e identificar, en forma clara, la estructura y fundamento conceptual de los métodos de inferencia lógica por inducción y deducción, en formulaciones y demostraciones de razonamientos válidos, en situaciones específicas, derivadas del estudio de contextos, donde es pertinente su aplicabilidad.

PRINCIPIOS DE LÓGICA.

1.1 CONCEPTO Y PROPÓSITO DE LA DE LÓGICA.

La lógica es la ciencia que expone las leyes, modos, formas y estructuras del conocimiento inferido. 1

Permite obtener conclusiones, a partir de proposiciones admitidas como verdaderas, llamadas premisas 2 . En cuanto al tema de interés, la lógica Matemática es aquella que opera el conocimiento, utilizando un lenguaje simbólico artificial 3 y haciendo abstracción de los contenidos 4 .

Las formas del pensamiento son:

1.1.1 La Inferencia lógica

Es el estudio de la validez de los razonamientos. Se dice que es lógica formal porque se ocupa de las formas o estructuras que adopta el raciocinio; ésta se clasifica en:

• Inferencia deductiva • Inferencia inductiva

El principal objetivo de la lógica formal es evaluar la fiabilidad de las inferencias, investigar esquemas de razonamiento que llevan, desde las premisas a la conclusión, en un argumento lógico; para ello, se deben, de manera imprescindible, distinguir dos tipos de inferencia, cada uno de los cuales tiene unas características especiales y unos criterios de corrección; se distuinguen las inferencias deductivas y las inferencias inductivas.

1 Diccionario Real Academia Española 2 Cada una de las dos primeras proposiciones del silogismo, de donde se infiere y saca la conclusión. 3 Simbología utilizada para representar de manera artificial la lógica en términos matemáticos para su análisis 4 Separar por medio de una operación intelectual las cualidades de un conocimiento para considerarlas aisladamente o para considerar el mismo objeto en su pura esencia o noción.

• Conceptos: Pensamientos expresados con palabras • Juicios: Operación del entendimiento, que consiste en comparar dos ideas para conocer y determinar sus relaciones.

• Raciocinios: Usar la razón para conocer y juzgar.

1.1.1.1 Inferencia deductiva

Es en la que, un argumento asegura que la verdad de sus premisas, garantiza la verdad de su conclusión. El razonamiento deductivo proporciona criterios de corrección muy altos.

La inferencia deductiva logra su objetivo cuando sus premisas proporcionan un apoyo completo e indudable para la conclusión a la que se llega, o sea que es inconsistente o absurdo, suponer que de manera simultanea, la verdad de unas premisas y la falsedad de la conclusión.

Cualquier argumento que se analice o cumple con este criterio, o no lo cumple; la validez de la inferencias deductivas es un asunto de todo o nada; no pude ser a medias. La inferencia deductiva, permite determinar conclusiones seguras, yendo de lo general a lo particular.

1.1.1.2 Inferencia inductiva

Se dice que hay inferencia inductiva cuando un argumento únicamente asegura que la verdad de sus premisas hace más probable que la conclusión sea verdadera. Un argumento inductivo tiene éxito cuando las premisas proporcionan alguna evidencia que apoye la verdad de su conclusión. La inferencia inductiva va de lo part icular hacia lo general.

“Para saber si está ante un argumento deductivo o inductivo, existe una clave; si el argumento posee un tipo de inferencia en la que se garantiza la verdad de la conclusión, a partir de la verdad de las premisas, o no se garantiza, éste será deductivo; de lo contrario, es inductivo.

Un argumento es inductivo cuando posee un tipo de inferencia, la cual sólo asegura la verdad de la conclusión, a partir de la verdad de las premisas.

1.2. HISTORIA Y CLASIFICACIÓN.

1.2.1. Historia

Historia y Clasificación de la Lógica

1.2.2. Clasificación de la lógica

Periodo 1 (Lógica Clásica, tradicional o Aristotélica) Siglo IV a.C. Hasta mediados Siglo XIX. Sistematizada por Aristóteles. Se plantearon las tres leyes del pensamiento:

­ Principio de la identidad ­ La no contradicción ­ La exclusión

Periodo 2 (Lógica simbólica, matemática o moderna) Siglo XIX, 1850 hasta nuestros días. Siendo sus representantes más sobresalientes George Boole, August Morgan, G. Frege, Bertrand Russell, A. Whithehead y Kart Godel. Y sus principales aportes son:

­ Algebra de Boole ­ Leyes de Morgan ­ Representación lógica del Conocimiento en estructuras Simples

­

Representación del Conocimiento

REPRESENTACIÓN DE LA LÓGICA

2.1 LENGUAJES LÓGICOS.

Un lenguaje es un conjunto de símbolos, denominados alfabetos, que sirven para representar y expresar una idea (latin, mandarin, árabe) y reglas con las que se administra y se ordena para que tengan sentido.

.

Existen dos clases de lenguajes, los lenguajes naturales (el francés, inglés, el castellano y otros) y los lenguajes formales (el de las matemáticas, la lógica, la programación)

Lenguajes Son

Símbolos Reglas

Ordenados Que

Representan Expresan

Idea

y

y

una

Lógica

Clasificación Características

Tradicional Formal o Simbólica Claridad Generalidad Precisión

Uso de signos

Mediante

Familiarización de elementos

Lenguaje simbólico

Us Fácil

la

Interpretar y distinguir el razonamiento

Permite

Investiga, desarrolla y

establece reglas

Permite

en

.

2.1.1 LENGUAJE NATURAL

Un lenguaje es natural cuando no es un lenguaje construido o artificial; es un lenguaje creado por la necesidad humana de comunicarse.

Un ejemplo es el lenguaje ingles o el español, los cuales son un conjunto de todas las oraciones en ingles o en español; dichas oraciones se crean de forma natural, a partir de la experiencia y práctica del hombre y tienen consistencia y coexistencia con él; son organizadas automáticamente, conforme a la necesidad de comunicarse de éste.

2.2.1 Propiedades

Las principales propiedades de los lenguajes naturales son:

1. Enriquecer progresivamente al ser humano, con el objeto de que éste se comunique y exprese sus ideas y raciocinios. 2. Son de carácter expresivo, debido a la riqueza del componente semántico que tienen. Una evidencia de esto, son los muchos lenguajes

existentes (español, ingles, francés, alemán, etc.) 3. No pueden ser formalizados completamente.

2.1.2 Lenguaje Formal

Un lenguaje es formal cuando tiene reglas y axiomas de formación, y dan lugar al lenguaje artificial. Un lenguaje formal es un conjunto de oraciones, llamadas fórmulas o expresiones bien formadas (fbfs), las cuales se pueden obtener de la aplicación de leyes.

Una de sus características es el poder ser definido completamente, sin que haya necesidad de darle interpretación alguna. Son exactos en lo que quieren representar; un ejemplo de ésto es el lenguaje para representar la matemática, la lógica o la programación de computadores.

Para definir un lenguaje formal se requiere:

• Establecer el conjunto de símbolos del lenguaje. • Establecer las reglas de formación que determinan qué secuencias de símbolos lenguaje serán fórmulas bien formadas (fbfs).

Clasificación Lenguajes

Natur ales Formales

No construidos

Son No Artificiales Son artificiales

Utilizados para comunicación,

No se pueden formalizar

Son construidos

Se definen totalmente

No definidos por su complejidad Son precisos

Pueden formalizarse

Son

• Denominar los conjuntos de símbolos y de reglas, sin recurrir a interpretaciones de cualquier tipo.

Luego de definirlo se debe:

• Establecer la noción de interpretación del lenguaje. • Especificar para el lenguaje, un mecanismo de deducción o demostración del mismo.

Propiedades

Una palabra en un lenguaje formal mantiene en todo momento el mismo significado, sin importar el contexto o su uso; el cual es determinado por la sintaxis. Las relaciones =, , , , ,>, <; los conectivos lógicos , , , ↔ y los operadores algebraicos , , mantienen un significado especial y permiten escribir fórmulas. Las propiedades de los lenguajes formales son:

1. Desarrollan una teoría preestablecida 2. Poseen un componente semántico mínimo. 3. Se puede aumentar el componente semántico, de acuerdo con la teoría a formalizar. 4. La sintaxis produce oraciones no ambiguas. 5. En los lenguajes formales es importante el rol de los números. 6. Están completamente formalizados, y ésto ayuda a la construcción computacional.

Ejemplo 1:

El lenguaje A se define de la siguiente forma: Alfabeto: ab

Fbf: toda cadena de símbolos del alfabeto A que comience con 'a' es una fbfs. A es un lenguaje formal.

Cuáles de las siguientes fórmulas son fbfs:

a) aaaa b) abbb c) baaa d) f e) abacd

Respuesta: a) Si, Porque cumple con la regla para la fbfs ya que sus elementos son de A

b) Si, cumple con la regla para la fbfs sus elementos hacen parte de A

c) No, No cumple con la regla para que sea una fbfs del alfabeto A, se aclara que sus elementos pertenecen a A.

d) No, los elementos de la fórmula no pertenecen a A.

e) No, Aunque cumple con la regla para ser un fbfs, algunos elementos no pertenecen a A.

2.1.3 Teoría de Modelos

Para interpretar un lenguaje formal, se asignan significados a sus símbolos o a sus fórmulas; y se recurre a la teoría de modelos, la cual permite interpretar un lenguaje formal, veamos:

2.1.4. Demostración de un Lenguaje Formal

La demostración es la forma por medio de la cual el autor de un lenguaje formal muestra la validez de su lenguaje y su coherencia. Un mecanismo de deducción esta compuesto por:

• Axiomas y reglas de inferencia • Por sólo de axiomas • Por sólo de reglas de inferencia.

2.1.5. La Semiótica y su Importancia dentro de la Lógica

Recuerde que los lenguajes están constituidos por un conjunto de símbolos y otro de reglas; su estudio lo hace la ciencia de la semiótica, la cual se divide en tres ramas:

“ La Sintaxis: estudia las relaciones de los símbolos entre sí, independientemente de los objetos que ellos puedan designar; es, en consecuencia, la teoría de la construcción del lenguaje”. 5

En el contexto del trabajo sintáctico, está asociado con lenguajes formales o con sistemas formales, sin una referencia esencial a su interpretación.

“ La Semántica: estudia las relaciones entre los signos y los objetos que ellos designan.” 6 Para efectos de este objetivo, se asocia semántica con la interpretación de los lenguajes formales, o sea con la teoría de modelos.

“ La Pragmática: estudia las relaciones entre los símbolos y los sujetos que los utilizan”. 7

5 Diccionario Real Academia Española 7 ­ 7 Diccionario Real Academia Española

Ejemplo 2

Al interpretar el lenguaje formal X de la siguiente forma: ‘&' significa el dígito decimal ‘1' y ‘$' significa el dígito decimal ‘0'. Cada fórmula corresponderá a una cifra decimal compuesta por unos y ceros,

comenzando siempre en uno.

Si se tiene &&&& interpretado según la teoría de modelos: 1111, ó si se tiene &$$; ésto, interpretado será 100

A continuación aparece un ejemplo de cómo funciona la semiótica:

2.1.6 Metateoría de la Lógica

En síntesis, es la teoría que estudia los lenguajes o sistemas formales y sus interpretaciones. Su objetivo es estudiar los problemas de consistencia 8 , completitud 9 , decidibilidad 10 e independencia de conjuntos de fórmulas. La teoría de modelos y la teoría de la demostración pertenecen a la metateoría.

2.1.7 Uso y Mención dentro del Lenguaje

Antes de empezar seriamente el estudio de la lógica, se debe tener claro la diferencia entre las palabras ‘uso' y ‘mención' , ejemplo:

Se hace mención de un objeto enunciando, algo acerca de él. Hay varias formas para indicar que se menciona un objeto: encerrando el objeto entre comillas o subrayándolo. Se usa un objeto o palabra, cuando éste se incorpora a una oración, dando su significado o representando una situación sobre el objeto.

Al lenguaje utilizado para describir los lenguajes objeto, se le designa metalenguaje 11

8 Solidez y coherencia entre los elementos de un lenguaje, visto este como un conjunto. 9 Se refiera a lo completo que es un lenguaje, en términos de su estructura 10 Característica de un lenguaje de permitir formar juicios definitivos sobre algo dudoso o contestable

11 Lenguaje utilizado para describir un sistema de lenguaje de programación. || Lenguaje que se usa para hablar del lenguaje. Diccionario Real Academia Española

Ejemplo 4

1. ¨Bogotᨠes una palabra aguda.

2. Bogotá es una ciudad.

En el ejercicio 1, se dice que la palabra ‘Bogotá' ha sido mencionada. Y en el ejercicio 2, se dice que la palabra ‘Bogotá' ha sido usada.

Ejemplo 3 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa)

1. En el lenguaje ordinario, una regla de la sintáctica del lenguaje castellano, prohíbe que cualquier palabra comience con rr.

2. El enunciado (a+b) / c indica que luego de sumar a y b se debe dividir este resultado por b. Rta. Este caso corresponde a la pragmática.

3. Que una fórmula denote números. Rta. Es una propiedad Semántica: La expresión ‘que una fórmula denote números' puede sustituirse mediante la expresión que pueda interpretarse que una fórmula denota un número.

4. Que una fórmula sea verdadera. Rta. Es una propiedad semántica ya que puede sustituirse mediante la expresión que puede interpretarse que una fórmula exprese algo verdadero

2.1.8 Demostración de Lenguajes Formales

A una cadena de fórmulas de un lenguaje formal que satisfacen ciertos requisitos sintácticos y que no posee significado alguno, se le denomina demostración. Esta es una parte o fragmento de símbolos, que representan y significan algo, y que se expresan en metalenguaje, con el fin de justificar un enunciado y darle validez.

Un teorema de un lenguaje formal es una fórmula que satisface ciertos requisitos sintácticos y que no tiene significado alguno, mientras que un teorema acerca de un lenguaje formal (metateorema), es un enunciado verdadero, acerca del sistema. expresado en el metalenguaje.

2.2 SIMBOLIZACIÓN: PROPOSICIONES.

El área que estudia las proposiciones y sus operaciones se denomina Cálculo Proposicional.

La simbolización o representación de la lógica, requiere de un lenguaje preciso, que estructura, de manera dinámica, rigurosa y a prueba de inconsistencias, los procesos y operaciones de la lógica matemática.

2.2.1 El lenguaje

Es un conjunto de elementos de esencial importancia para el ser humano, el lenguaje es el medio para enunciar hechos o describir situaciones; ésto lo hace complejo.

Las proposiciones son frases que son verdaderas o falsas; razón por la cual, las preguntas no tienen sentido si son verdaderas o falsas. Veamos unos ejemplos:

El Lenguaje

Hacer preguntas

Sirve para

Expresar ideas Dar órdenes

Hacer solicitudes Hacer afirmaciones

Las proposiciones surgen de las afirmaciones que se hacen y del interrogante de si son o no verdaderas. Recuerde que la lógica se ocupa de los procesos que buscan la verdad o falsedad de las afirmaciones que se hacen; razón por la cual, la lógica estudia enunciados, a fin de determinar su validez y crear, a partir de estos nuevos enunciados, para construir el conocimiento.

Una proposición o enunciado lógico, es una frase u oración hecha en modo indicativo y que puede ser verdadera o falsa. A los valores que puede tomar, se les llama valores de verdad (verdadero (V) o el boléanos (1) y falso (F) o (0))

El objetivo del razonamiento es generar una conclusión a partir de unas premisas (proposiciones), utilizando reglas de inferencia; y la lógica se ocupa de la validez de los razonamientos, no de la verdad o falsedad de éstos. Todo razonamiento tiene un contenido, y éste tiene forma, veamos:

Ejemplo 6

• La frase "5=5" es un enunciado, ya que, o es falso o es verdadero. Al ser un enunciado verdadero, su valor de verdad es V.

• "Lloverá mañana", es una proposición. Es falsa o verdadera, dependiendo de lo que pase mañana. • "Si soy Simón Bolívar, entonces no soy Simón Bolívar". Este enunciado, como se verá más adelante, equivale al

enunciado "No soy Simón Bolívar". Como el hablante no es Simón Bolívar, es un enunciado verdadero. • "Haz los ejercicios de lógica", no es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad

(Está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa) • "Haz el amor y no la guerra" tampoco es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad

(También está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa) • El perro" no es una proposición, puesto que no es ni siquiera una frase completa (al menos en este contexto).,

Ejemplo 5

Alguien desea apoyar la causa que busca paz entre los colombianos?

El color rojo es mejor que el color azul?

Cuando será la tutoría de lógica?

Las preguntas antes planteadas no son ni verdaderas ni falsas. Veamos otros ejemplos:

¡Quédese ahí quieto!

¡No lo quiero ver ahi!

Si se diligencian los espacios vacíos con letras mayúsculas en el ejemplo anterior, dichas letras representarán el contenido de las proposiciones y la expresión quedará:

Si P entonces no Q

La lógica sólo analiza la forma de los razonamientos y se le denomina lógica formal o ciencia de las formas válidas del razonamiento; para representarla y trabajar con ella, se utiliza el cálculo proposicional.

2.2.2. Calculo Proposicional

Sirve para representar la lógica formal y realizar las operaciones de las proposiciones, a fin devalidarlas. No olvide que cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un nombre.

Las proposiciones se clasifican en:

Los términos de enlace 12 son:

Veamos el siguiente ejemplo:

12 Son aquellas letras o símbolos que permiten unir dos o más proposiciones sin perder el sentido lógico.

Ejemplo 7

Si la mañana es muy fría, entonces no entrenaré.

Si estudio la lógica, entonces no tendré problemas para desarrollar mis ideas.

Estas son 2 proposiciones de contenidos diferentes. Pero forma es la misma. Y su estructura se representa: Si ______, entonces no _____

Simples: cuando en ellas no interviene ninguna conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si... entonces..., si y sólo si) Compuesta: Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace

"y" "o" "si...entonces" "si y sólo si"

Y se usan para ligar dos proposiciones, en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición.

Ejemplo 8

Estamos en el mes de diciembre Se va a celebrar la navidad

Ambas proposiciones son simples. Y con estas proposiciones se pueden construir proposiciones compuestas:

Estamos en el mes de diciembre y se va a celebrar la navidad. Estamos en el mes de diciembre o se va a celebrar la navidad.

Si estamos en el mes de diciembre, entonces se va a celebrar la navidad. No estamos en el mes de diciembre.

La forma de una proposición compuesta se determina según el término de enlace utilizado. En una proposición compuesta las proposiciones simples se pueden sustituir por otras proposiciones simples y si se conserva.

Para representar una proposición, se utilizan letras mayúsculas ( P, Q, R, etc). Veamos el ejemplo 10:

También se usan símbolos para representar los términos de enlace:

Conectivo o término de Enlace Símbolo que lo representa

Para la "y" ^ Para la "o" v Para el "no" ~ ó ¬ Para el "si ... entonces ..." → Para el "si y sólo si"

Se utiliza el símbolo

↔

Las proposiciones compuestas básicas son:

• La conjunción, la cual se da cuando el término de enlace es “y”. • La disyunción dada cuando el término de enlace es “o”. • La implicación o condicional dada cuando el término de enlace es “si… entonces”. • La equivalencia ó bicondicional dada cuando el termino de enlace es “si y solo si”. • La disyunción exclusiva dada cuando el conectivo es “o pero no ambas”.

Conectivo o término de Enlace Símbolo que lo representa

Lectura Proposición Compuesta

"y" Conjunción "o" Disyunción "no" ~ ó ¬ Negación

"si ... entonces ..." → Condicional "si y sólo si" ↔ Bicondicional

" o pero no ambas" ⊕ Disyunción exclusiva

Cuando las proposiciones tienen más de un término de enlace, hay que indicar la manera de agruparlas, ya que cada forma de agrupación, tiene su propio significado. En lógica, la agrupación se hace con paréntesis o corchetes. Veamos:

Ejemplo 9

P: Estamos en el mes de diciembre.

Q: Se va a celebrar la navidad.

La proposición: Estamos en el mes de diciembre y se va a celebrar la navidad

Se simboliza así: P y Q

La dominancia u orden de los diversos conectivos es la siguiente; la condicional y el bicondicional (↔ y →) dominan a la conjunción disyunción, disyunción exclusiva (^, v, ⊕ ); lo cual indica que primero se resuelve ya sea a la derecha o izquierda de los conectivos (↔ y →) y luego se resuelven estos conectivos como tal.

La otra proposición especial es la negación dada por el “no” y representada por ¬P; ésta se utiliza para negar proposiciones simples y compuestas, y cambia el valor de verdad de la proposición. P ^ Q su negación es ¬ (P ^ Q)

2.2.3. Signos definidos

Cuando ya se han establecido las reglas de formación de las fórmulas se pueden agregar abreviaciones para simplificar su escritura. Unas de las abreviaciones existentes son los signos definidos, los cuales por demostración, son equivalentes con la fórmula que abrevian:

• La conjunción lógica: la fórmula ¬ ( ¬ R v ¬ S) se denota abreviadamente como R ^ S y se llama conjunción lógica de R y S y se lee "R y S".

• El condicional: la fórmula ¬ R v S se denota como R→ S y se llama condicional de R y S. La figura lógica del condicional, responde a conectar dos proposiciones mediante el esquema "si ... entonces ". Para leer una

Términos de Enlace o Conectivos Lógicos Sirven para

Unir Relacionar Operacionalizar

Proposiciones

Y Si y Solo Si Si … Entonces O

las

Y son

Ejemplo 10

Si el equipo de football tiene delanteros regulares, o si el rival tiene buena defensa, entonces el equipo no marcara un gol.

Este texto se simboliza de la siguiente forma: P: el equipo de football tiene delanteros regulares

Q: el rival tiene buena defensa.

R: el equipo no marcara un gol.

La proposición compuesta es: P v (Q → R) ‐ La cual tiene un sentido distinto de la proposición (P v Q) → R)

Ingrese a la página Web http://www.cibernous.com/logica/ Allí encontrara un simulador que le permitirá ingresar y ver el resultado de esta proposición (Su tabla de verdad y el tipo de función que es)

proposición de la forma R → S, se dice: Si R entonces S. La fórmula R se denomina antecedente, y la S, consecuente. Cuando el condicional es lógicamente verdadero, existe implicación y se lee R implica S, la cual se denota R → S

• El bicondicional: la fórmula (R→S) ^ (S→R) se denota por R ↔ S y se llama bicondicional de R y S. Esta expresión se lee R si y sólo si S

Cuando el bicondicional es verdadero, hay equivalencia. Se lee: R equivale a S. Denota R ↔ S

TABLA DE SIMPLIFICACIÓN, UTILIZANDO SIGNOS DEFINIDOS

Nombre Estructura definida Simplificación Conjunción lógica ¬ ( ¬ R v ¬ S) R ^ S Condicional ¬ R v S R → S Bicondicional (R → S ) ^ (S → R) R ↔ S

Nota: Se debe tener presente que el nombre de signos definidos, se les ha dado porque a toda fórmula que tenga dicha estructura, se le podrá de inmediato, aplicar la simplificación correspondiente. Veamos un par de ejemplos:

Ejemplo 11 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa)

Analizar la siguiente fórmulafórmula y por medio de signos definidos, simplificarla:

­(­(­(XЄA) v –(XЄB))) v (X Є A∩B)

Para resolver este ejercicio, Identifique si la estructura corresponde a alguno de los signos definidos:

Si analiza la parte a la izquierda del “o”, tiene la forma de la conjunción lógica ¬ ( ¬ R v ¬ S) y se puede simplificar, quedando de la siguiente manera: (XЄA) ^ (XЄB). De manera completa quedaría:

­((XЄA) ^ (XЄB)) v (XЄA∩B)

Y si analiza esta fórmulafórmula, tiene la forma de la condicional: ¬ R v S. Aplicando esta simplificación se tendría: ((XЄA) ^ (XЄB)) →(XЄA∩B)

Ingrese a la página Web http://www.cibernous.com/logica/ Allí encontrará un simulador que le permitirá ingresar y ver el resultado de esta proposición (Su tabla de verdad y el tipo de función que es)

2.3 TABLAS DE VERDAD.

Son la forma de representar y de validar la veracidad de una o más proposiciones, según los valores de verdad posibles. Los valores de verdad son binarios, ya que sólo pueden ser de tipo positivo o negativo, Verdadero o falso, Si o No, 1 o 0.

2.3.1 Interpretación en el lenguaje ordinario de las tablas de Verdad

Para construir e interpretar las tablas de verdad, se analizan los conectivos o términos de enlace o signos lógicos (Negación, Y, O, Si… Entonces y Si y Sólo Si (¬, v, ^,→,↔).

Se puede establecer correspondencia entre los resultados de las tablas de verdad y los procesos de la deducción en lógica matemática,. haciendo que las tablas de verdad sean un método de decisión que permite validar si una proposición es o no un teorema. Veamos las equivalencias de los dos valores posibles:

Valor de Verdad Equivalencia Binaria Equivalencia lenguaje natural Verdadero (V) 1 Si Falso (F) 0 No

2.3.2. Funciones lógicas y su representación en tablas de verdad

La Negación (No): cuyo valor corresponden al valor contrario de la proposición negada. Se escribe ¬P ó ~P y se lee: Negación de P, veamos su tabla de verdad:

P ¬ Q 1 0 0 1

Signos Definidos

Usados para Abreviar Simplificar

Fórmulas de la Lógica Formal

Sus formas son La Conjunción Lógica, que simplifica la forma ¬ ( ¬ R v ¬ S) en R ^ S

El Condicional, que simplifica la forma ¬ R v S en R → S

El bicondicional, que simplifica la forma (R → S) ^ (S → R) en R↔ S

Disyunción (o ­ v): Denominada OR, su valor es negativo o falso sólo cuando el valor de las proposiciones o fórmulas valoradas es Falso. Se escribe: P v Q y se lee como: P o Q, su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

P Q P v Q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Disyunción Exclusiva (⊕): Denominada XOR, su valor es negativo o falso, sólo si las proposiciones o fórmulas valoradas tienen el mismo valor de verdad, o bien, ambas falsas o ambas verdaderas. Su tabla de verdad queda:

P Q P ⊕Q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Conjunción (y ­ ^ ) : Denominada AND, su valor es positivo o verdadero solamente cuando el valor de las proposiciones o fórmulas valoradas es Verdadero. Se escribe: P ^ Q y se lee: P y Q. La tabla de verdad queda así:

P Q P ^ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Implicación o Condicional (Si… Entonces ­ →): Su valor solamente es falso cuando la primera proposición o fórmula, denominada antecedente o hipótesis es verdadera y la segunda proposición o fórmula denominada, consecuente o tesis es falsa. Se escribe: P→Q y la leemos: P implica Q ó Si P, entonces Q. Su tabla de verdad es la siguiente:

P Q P → Q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Equivalencia o Bicondicional (Si y solo si ­ ↔): Su valor es verdadero cuando ambas proposiciones o fórmulas valoradas tienen el mismo valor de verdad o bien, ambas falsas o ambas verdaderas. Se escribe: P ↔ Q y se lee: P si y sólo si Q ó P es necesario y suficiente para Q. Su tabla de verdad queda:

P Q P↔Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Antecedente o Hipótesis

Consecuente o tesis

2.3.3. Funciones o proposiciones compuestas

Tautologías: Si son proposiciones cuyo valor siempre es verdadero para cualquier valor de verdad de las proposiciones simples o fórmulas. Por tanto, la última columna de la tabla de verdad estará formada únicamente por unos. Una tautológica es una identidad lógica, o sea que siempre es verdadera.

Contradicciones: si son la negación de las tautologías, luego son proposiciones falsas, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples o fórmulas. Concluyendo la última columna de la tabla de verdad de una contradicción, estará formada únicamente por ceros.

Contingencias: si son proposiciones cuyo valor final está compuesto por valores de verdad falsos y verdaderos, la última columna de su tabla de verdad estará formada por ceros y unos.

Una Contingencia es una ecuación lógica; éstas adquieren su valor de verdad para determinadas combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples o fórmulas.

Tablas de Verdad

Formas de representar

Proposiciones

Y validar la veracidad

Son

Las

Operaciones con

Proposiciones

Disyunción

Disyunción Exclusiva

Conjunción

Implicación

Negación

Equivalencia

Simples

Compuesta Clases

Proposiciones Compuestas

Tautológicas Contradicciones Contingencias

Valor siempre Verdadero Valor siempre Falso Valor Verdadero y Falso

2.4 RAZONAMIENTOS.

Uno de los propósitos más importantes del desarrollo de este curso es aprender y practicar el proceso de razonamiento deductivo en el desarrollo del pensamiento lógico matemático de los participantes, debido a que la vida de hoy exige ser analíticos, investigativos y por ende, constructores de nuevo conocimiento. A continuación aparecen algunos conceptos que permiten comprender este tema.

2.4.1. Teoría deductiva

La teoría deductiva es la que se fundamenta en los principios de las definiciones 13 y las demostraciones 14 .

Para desarrollarla se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. Aprender a enunciar con claridad los términos iniciales, con los cuales se pretende definir los términos de la teoría. 2. Aprender a enunciar claramente las relaciones iniciales, con las que se busca definir las demás relaciones; por lo general, son relaciones

en las que los seres humanos fundamentamos nuestro conocimiento. 3. Aprender a detallar con claridad las proposiciones iniciales (simples), con las que nos proponemos demostrar las demás proposiciones de

la teoría. Comúnmente sw denominan Axiomas y su objetivo es relacionar los términos iniciales y las relaciones iniciales. 4. Todas las relaciones enunciadas entre los términos deben ser relaciones lógicas, y deben permanecer independientes del sentido concreto

o la interpretación que se le de a los términos. 5. En las demostraciones sólo deben intervenir relaciones enunciadas.

Cuando se dan estas condiciones, la teoría deductiva se da gracias a que presenta contenidos que conservan su sentido y su verdad derivados de la experiencia.

2.4.2. Axiomas o postulados

Son proposiciones primitivas o iniciales, las cuales se admiten como ciertas desde el comienzo.

Al construcción una teoría de axiomas debemos partir de un conjunto de axiomas, que sean compatibles, suficientes, e independientes. Veamos que significa cada una de estas características:

“ Compatibilidad: Dos axiomas no pueden fórmular en ellos, ni producir en sus resultados derivados, relaciones contradictorias 15 .

Suficiencia: Toda proposición verdadera ha de ser deducible dentro del sistema 16 .

Independencia: Ningún axioma ha de poderse deducir de otros” 17 .

2.4.3. La demostración

Consiste en probar algo, a partir de verdades universales y evidentes, las cuales no son más que proposiciones; se denominan premisas y permiten llegar a otra proposición denominada conclusión. Para probarlas, se aplican las reglas lógicas 18 . Ver capitulo 2 Lección 3. Los pasos para demostrar o probar una proposición en la teoría deductiva son:

1. Enunciar con claridad los axiomas de la teoría.

13 Proposición que expone con claridad y exactitud los caracteres genéricos y diferenciales de algo. Real Academia Española 14 Prueba de algo, partiendo de verdades universales y evidentes. Comprobación, por hechos ciertos o experimentos repetidos, de un principio o de una teoría. Fin y término del procedimiento deductivo. Real Academia Española 15 17 18 . Definición tomada del Libro Matemática Digital. Edit. Mc Graw Hill. 1999. Pág. 53. Carlos Barco Gómez y otros. 18 Conjunto de operaciones que deben llevarse a cabo para realizar una inferencia o deducción correcta. Real Academia Española

2. Establecer las reglas para validar el proceso de demostración; a estas reglas se les denomina reglas de val idez; básicamente son tres:

1: Todo axioma puede ser utilizado en cualquier paso del proceso de demostración.

2: Si P → Q aparecen en una demostración y P también aparece en la misma demostración, se puede concluir Q en la demostración. Esta es una regla universal y se conoce como Modus Ponendo Ponens o Modus Ponens. Ir al capitulo 2 lección 3 para profundizar.

3: Cuando dos proposiciones son equivalentes, es posible sustituir una por la otra, en cualquier parte de la demostración. Regla denominada sustitución por equivalencia.

3. Realizar la demostración de una proposición específica, es obtener la proposición final en el proceso demostrativo por aplicación reiterada de las reglas de validez 1, 2 y 3.

En nuestro lenguaje tendemos a confundir cierto con verdadero. En lógica, la certeza es subjetiva, y dice que la correspondencia de un enunciado con lo que sucede en la realidad, debe resultar igual para todos los sujetos que investiguen la verdad de dicho enunciado. De igual forma, a diario se confunde verdadero con correcto o válido. En lógica se debe distinguir entre conclusiones verdaderas y argumentaciones correctas o válidas.

Cuando un razonamiento es correcto o válido se le llama validez del razonamiento. Cuando la argumentación se apoya en argumentos válidos en todos sus pasos, toma el nombre de deducción.

2.4.4. Reglas de inferencia básicas

Para garantizar que una conclusión es válida en el diseño de pruebas, se deben emplear las leyes de la lógica; a estas leyes se les conoce como reglas de inferencia. Estas sirven para probar que, a partir de premisas, es posible demostrar la validez de una conclusión. Su principal objetivo es abreviar las demostraciones, utilizando las leyes de algebra de proposiciones y sus equivalencias.

2.4.5. Leyes de Algebra de proposiciones y Equivalencias Fundamentales

En el siguiente cuadro se observan las leyes de inferencia básicas; su objetivo es facilitar la identificación de las equivalencias básicas en el cálculo proposicional y se deben utilizarlas cuando se hacen demostraciones; se recomienda tener muy presente este cuadro.

2.4.6. Métodos de demostración

2.5.6.1. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar

Si se tiene un conjunto de premisas en una teoría, partiendo del supuesto que una proposición P es verdadera y haciendo uso de las premisas disponibles, es posible demostrar que una proposición Q es verdadera, dando como conclusión que P → Q es verdadero”.

Proceso de demostración:

Para demostrar que la proposición P → Q es teorema se debe:

1. Suponer que antecedente P es verdadero. Esta es la hipótesis auxiliar. 2. Luego, con esta hipótesis, se diseña la argumentación lógica, haciendo uso de axiomas y teoremas demostrados, a fin de obtener, por

medio de las reglas de validez y de inferencia de la validez de Q. 3. Finalmente, se concluye la prueba y se establece la validez de P → Q.

Sintetizando la demostración de la proposición P → Q, utilizando el método directo, se desarrollaría de la siguiente forma:

Suponer que P es verdadera (A ésto se le llama hipótesis auxiliar)

Q Aplicar argumentación lógica (Demostración subordinada)

P → Q Conclusión

2.4.6.2. Método del contrarrecíproco

Este parte del teorema con su mismo nombre, el cual dice que la proposición de la forma (P → Q) ↔ (¬ Q → ¬ P), da lugar a una variante del método directo.

Para su desarrollo se parte del supuesto que se quiere demostrar la proposición P → Q, la cual es un teorema y que no es posible obtener la conclusión deseada por medio del método directo. Debido a ésto, demostrar, con el método directo, la contrarrecíproca de P → Q, (¬ Q → ¬ P); al lograr este objetivo, se establece la validez de si se consigue este objetivo, entonces queda establecida la validez de P → Q, haciendo usos de la sustitución por equivalencia.

Leyes de Ídempotencia 1. P v P ↔ P 2. P ^ P ↔ P

Leyes Asociativas 1. (P v Q) v R↔ P v (Q v R) 2. (P ^ Q) ^ R↔ P ^ (Q ^ R)

Leyes Conmutativas 1. P v Q↔ Q v P 2. P ^ Q↔ Q ^ R

Leyes Distributivas 1. P v (Q ^ R) ↔ (P v Q) ^ (P v R) 2. P ^ (Q v R) ↔ (P ^ Q) v (P ^ R)

Leyes de Identidad 1. P v 0↔P P ^ 1 ↔ P 2. P ^ 1 ↔ P P ^ 0 ↔0

Leyes del complemento 1. P v ¬ P ↔ 1 , P ^ ¬ P ↔ 0 2. ¬ (¬ P)↔ P i ¬1 ↔ 0 1, ¬ 0 ↔1

Leyes D´Morgan 1. ¬(P v Q) ↔ ¬ P ^ ¬ Q 2. ~(P ^ Q) ↔ ¬ P v ¬ Q

Proceso de demostración

Para hacer la demostración que la proposición P → Q es un teorema se debe:

1. Tomar como hipótesis auxiliar ¬ Q. 2. Diseñar la argumentación lógica que permita concluir ¬ P 3. Concluir, utilizando el método directo que (¬ Q → ¬ P) es un teorema. 4. Aplicar la regla de validez 3, para concluir que P → Q es válida, mediante la equivalencia del contrarrecíproco.

En síntesis, la demostración de la proposición P→ Q por este método, se hace bajo la siguiente forma:

Suponer que ¬ Q es la hipótesis auxiliar. Aplicar argumentación lógica

¬ P

¬ Q → ¬ P Método Directo

P → Q Por contrareciproco

2.4.6.3. Método de demostración por contradicción

Para entender este método, es necesario aclarar los conceptos de, Contradicción: es aquella proposición que corresponde a la conjunción entre una proposición y su negación.

Este método se fundamenta en la condición de no contradicción para una teoría, y supone, de manera explícita, la negación de la proposición a demostrar. De manera más simple, se dice que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o lo que es equivalente: que su negación es verdadera, quedando validada la proposición inicial. Veamos el siguiente ejemplo para explicar mejor lo anterior:

Ejemplo 12 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa)

Demostrar que si ¬ P → (Q ^ ¬ Q) es verdadera, entonces P es verdadera.

1. ¬ P → (Q ^ ¬ Q) Premisa

2. ¬ (Q ^ ¬ Q) → P Regla de validez 3 de paso 1 ( Contrareciproco)

3. ¬ (¬ Q v Q) → P Regla de validez de paso 2) Ley D ´Morgan. Doble Negación

4. ¬ Q v Q Teorema del medio excluido

5. P Modus Ponens de paso 4) y 3).

Ingrese a la página Web http://www.cibernous.com/logica/ Allí encontrará un simulador que le permitirá ingresar y ver el resultado de esta proposición (Su tabal de vendad y el tipo de función que es)

Las que tienen sentido completo y su valor es falso o Verdadero

Proposiciones

Simples Compuestas

Expresiones lingüísticas

Son

Clasifican

Se

en

Son

Unión entre dos o más proposiciones simples a través de términos de enlace

Son

Términos de enlace

Letras o símbolos que permiten unir proposiciones sin perder el sentido lógico

Son

Clasifican

Se

O=Disyunción

Si … entonces= Condicional

en

Razonamiento

Proceso que permite establecer conclusiones de acuerdo a proposiciones

Un

Se clasifica en

Inductivo Deductivo Analógico

Establece un principio general basado en experiencias

Se Es

El ideal por excelencia y parte de lo general hacia lo particular

Es

El que traslada las propiedades de un objeto ya conocido a otro semejante

Y=Conjunción

No=Negación

Si y solo Si= Bicondicional

Lenguaje

Sistema de signos que expresan ideas a fin de establecer comunicación

Se clasifica en

Natural Artificial

Un

Capacidades lingüísticas de una comunidad

Aquel que utiliza signos para obtener una comunicación más precisa y clara

Es Nace

Glosario de términos

Para dar inicio a este curso debemos recordar los siguientes conceptos y familiarizarnos con ellos ya que estaremos utilizándolos muy a menudo:

Axioma: Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración. Conocimiento: Averiguar por el ejercicio de las facultades intelectuales la naturaleza, cualidades y relaciones de las cosas Deducción: Sacar consecuencias de un principio, proposición o supuesto. Inferir: Sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa Pragmática: Rama de la semiótica que estudia las relaciones entre los símbolos y los sujetos que los utilizan. Proposición: Es un enunciado o frase a la cual puede asignársele uno de los dos valores de verdad. Razonar: Discurrir, ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión. Razonamiento: Serie de conceptos encaminados a demostrar algo o a persuadir o mover a oyentes o lectores Semiótica: Ciencia que se dedica al estudio del lenguaje o sea el estudio de los sistemas de signos, compuesta por 3 ramas: Sintaxis, Semántica y Pragmática. Sintaxis: estudio de las relaciones entre los símbolos entre sí, independientemente de los objetos que ellos puedan designar; es, en consecuencia, la teoría de la construcción del lenguaje.

Semántica: Rama de la semiótica que estudia las relaciones entre los signos y los objetos que ellos designan.

Teoremas: Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.

Valor de verdad: Unidades para validación de los procesos de la lógica, puede ser Verdadero y/o Falso ó en su defecto Si y/o No ó 1 y/o 0.

BIBLIOGRAFIA

Nota: Los ejercicios desarrollados como ejemplos para ilustrar los conceptos, son tomados de las siguientes fuentes:

Libro: Matemática Digital, Gómez Carlos, Gómez German, Botero William. Editorial Mc Graw Hill. Bogotá. 1998 Libro: Lógica Matemática, Galindo Patiño Nubia Janeth. Lógica matemática.

Editorial Universidad Abierta y A Distancia. Bogotá. 2001 Paginas Web: http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/

Fundamentos de lógica y teoría de conjuntos. Universidad de Antioquia. Compendiados por el Lic. Alberto Jaramillo Atehortua. (Ejercicios 15, 16)