UNIDAD 1 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

UNIDAD 1. PROGRAMACIÓN LINEAL.

1.1 Modelo de programación lineal con dos variables.

1.2 Solución gráfica.

1.3 Análisis gráfico de sensibilidad.

1.4 Método simplex.

1.5 Solución artificial de inicio.

1.5.1 Método M.

1.5.2 Método de dos fases.

PROGRAMACIÓN LINEAL.

La programación lineal se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica en una amplia variedad de casos, en los campos de agricultura, industria, transporte, economía, salud, ciencias sociales y de la conducta, y militar. También produce algoritmos eficientes de cómputo para problemas con miles de restricciones y variables. En realidad, debido a su tremenda eficiencia de cálculo, la programación lineal forma la columna vertebral de los algoritmos de solución para otros modelos de investigación de operaciones, como las programaciones entera, estocástica y no lineal.Comenzaremos con el caso de un modelo de dos variables, y presenta su solución gráfica. Esta solución gráfica permite tener una perspectiva del desarrollo del método símplex, técnica algebraica general

1.1 MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES.

Esta sección explicará la solución gráfica de una programación lineal con dos variables. Aunque en la práctica casi no existen problemas con dos variables, la presentación aportará ideas concretas para el desarrollo del algoritmo de solución general que se presentará en el capítulo 3.

Ejemplo 2.1-1 (La compañía Reddy Mikks)

Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema.

Ton de materia prima de

Pinturas para

Pinturas para

Disponibilidad diaria

Materia prima, M1 6 4 24Materia prima, M2 1 2 6Utilidad por ton (miles de $)

5 4

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas.

Reddy Mikks desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.

El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos.

1. Las variables de decisión que se trata de determinar.

2. El objetivo (la meta) que se trata de optimizar.

3. Las restricciones que se deben satisfacer.

La definición correcta de las variables de decisión es un primer paso esencial en el desarrollo del modelo. Una vez hecha, la tarea de construir la función objetivo y las restricciones se hace en forma más directa.

Para el problema de Reddy Mikks, se necesita determinar las cantidades a producir de pinturas para exteriores e interiores. Así, las variables del modelo se definen como sigue:

x₁ = Toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores

x₂ = Toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores

Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible. Si z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el objetivo de la empresa se expresa así:

Maximizar z = 5x₁ + 4x₂

A continuación se definen las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda. Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente como sigue:

Según los datos del problema,

Uso de la materia prima M1, por día = 6x₁ + 4x₂ toneladas

Uso de la materia prima M2, por día = 1x₁ + 2x₂ toneladas

Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6 toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan como sigue:

6x₁ + 4x₂ ≤ 24 (Materia prima M1)

x₁ + 2x₂ ≤6 (Materia prima M2)

La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la producción diaria de pinturas para interiores y exteriores, x₂ - x₁ no debe ser mayor que una tonelada, y eso se traduce en x₂ - x₁ ≤ 1.

La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda máxima diaria de pintura para interiores se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como x₂ ≤ 2.

Una restricción implícita (o que se sobre entiende) es que las variables x₁ y x₂ no pueden asumir valores negativos.

Las restricciones de no negatividad, x₁ ≥0, x₂≥0, expresan ese requisito.

El modelo de Reddy Mikks completo es: Maximizar z = 5x₁ + 4x₂ sujeta a:

6x₁ + 4x₂ ≤ 24

x₁ + 2x₂ ≤ 6

-x₁ + x₂ ≤ 6

x₂ ≤ 2

x₁, x₂ ≥ 0

Cualquier valor de ₁ y x₂ que satisfaga todas las restricciones del modelo es una solución factible.

Por ejemplo, la solución x₁ = 3 toneladas diarias y x₂ = 1 tonelada diaria es factible, porque no viola alguna de las restricciones, incluyendo las de no negatividad. Para comprobar este resultado se sustituye (x₁ = 3, x₂ = 1) en el lado izquierdo de cada restricción.

Por ejemplo, en la primera restricción:

6x₁ + 4x₂ = 6 x 3 + 4 x 1 = 22

Que es menor que 24 en el lado derecho. El valor de la función objetivo correspondiente a la solución :

(x₁ = 3, x₂ = 1) es z = 5 x 3 + 4 x 1 = 19 (miles de dólares).

Desde el punto de vista de todo el modelo, nos interesa determinar la solución óptima factible que produzca la utilidad total máxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones.

No se acepta enumerar las soluciones factibles, porque el modelo tiene una cantidad infinita de ellas. En su lugar, se necesita un procedimiento sistemático que ubique con eficiencia la solución óptima. El método gráfico de la sección 2.3, y su generalización algebraica en el capítulo 3, resuelven este punto.

(En el ejemplo anterior, las funciones objetivo y restricciones son lineales, todas. La linealidad implica que la programación lineal debe satisfacer dos propiedades: proporcionalidad y aditividad.)

1. La proporcionalidad requiere que la contribución de cada variable de decisión en la función objetivo, y sus requerimientos en las restricciones, sea directamente proporcional al valor de la variable. Por ejemplo, en el modelo de Reddy Mikks, las cantidades 5x₁ y 4x₂ expresan las utilidades por producir x1 y x2 toneladas de pintura para exteriores y para interiores, respectivamente, y las utilidades unitarias por tonelada son 5 y 4, que definen las constantes de proporcionalidad. Si, por otra parte, Reddy Mikks ofrece alguna clase de descuentos por cantidad cuando las ventas son mayores que ciertas cantidades, la utilidad ya no será proporcional a las cantidades producidas x₁ y x₂.

2. La aditividad estipula que la contribución total de todas las variables en la función objetivo y sus requerimientos en las restricciones, sean la suma directa de las contribuciones o requerimientos individuales de cada variable. En el modelo de Reddy Mikks, la utilidad total es igual a la suma de dos componentes individuales de utilidad. Sin embargo, si los dos productos compiten por la misma parte de mercado en forma tal que un aumento de ventas de uno afecte negativamente al otro, ya no se satisface la propiedad de aditividad.

CONJUNTO DE PROBLEMAS 2.1A

1. Para el modelo de Reddy Mikks, defina cada una de las siguientes restricciones y exprésela con una constante del lado derecho:

a) La demanda diaria de pintura para interiores es mayor que la de pintura para exteriores en al menos 1 tonelada.

b) El uso diario de la materia prima M2 es 6 toneladas cuando mucho, y 3 toneladas cuando menos.

c) La demanda de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de pintura para exteriores.

d) La cantidad mínima que se debe producir de pinturas para interiores y para exteriores es de 3 toneladas.

e) La proporción de pintura para interiores entre la producción total de pinturas para interiores y para exteriores no debe ser mayor que 0.5.

2. Determine la mejor solución factible entre las siguientes soluciones (factibles y no factibles) del modelo de Reddy Mikks:

a) x₁ = 1, x₂ = 4

b) x₁ = 2, x₂ = 2

c) x₁ = 2, x₂ = 1.5

d) x₁ = 2, x₂ = 1

e) x₁ = 2, x₂ = -1

3. Para la solución factible x₁ = 2, x₂ = 2, del modelo de Reddy Mikks, determinea) La cantidad no usada de la materia prima M1.b) La cantidad no usada de la materia prima M2.

4. Suponga que Reddy Mikks vende su pintura para exteriores a un mayorista, con un descuento por volumen. La utilidad por tonelada es $5000 si el mayorista no compra más de 2 toneladas diarias, y de $4500 en los demás casos. ¿Se puede traducir esta situación a un modelo de programación lineal?

1.2 SOLUCIÓN GRÁFICA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

El procedimiento de solución gráfica comprende dos pasos:

1. Determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo.

2. Determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles del espacio de soluciones.

Usaremos dos ejemplos en el procedimiento, para mostrar cómo se manejan las funciones objetivo de maximización y de minimización.

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1.3 ANÁLISIS GRÁFICO DE SENSIBILIDAD.

Un modelo de programación lineal es una foto instantánea de una situación real en la que los parámetros del modelo (coeficientes de la función objetivo y de las restricciones) asumen valores estáticos. Para aumentar la aplicación de la programación lineal en la práctica, se necesita agregar una dimensión dinámica que investigue el impacto que tiene hacer cambios en los parámetros del modelo (coeficientes de la función objetivo y de las restricciones) sobre la solución óptima. A este proceso se le llama análisis de sensibilidad, porque estudia la sensibilidad de la solución óptima respecto a los cambios que se hagan en el modelo.

En esta sección se investigarán dos casos de análisis de sensibilidad basados en la solución gráfica de la programación lineal: 1) cambios en los coeficientes de la función objetivo y

2) cambios en el lado derecho de las restricciones. Aunque la presentación es elemental y su alcance es limitado, proporciona perspectivas fundamentales del desarrollo del análisis de sensibilidad. En el capítulo 4 se describe una presentación completa del tema.

1.4 MÉTODO SIMPLEX.

El método gráfico del capítulo 2 indica que la solución óptima de un programa lineal siempre está asociada con un punto esquina del espacio de soluciones. Este resultado es la clave del método símplex algebraico y general para resolver cualquier modelo de programación lineal.

La transición de la solución del punto esquina geométrico hasta el método símplex implica un procedimiento de cómputo que determina en forma algebraica los puntos esquina. Esto se logra

convirtiendo primero a todas las restricciones de desigualdad en ecuaciones, para después manipular esas ecuaciones en una forma sistemática.

Una propiedad general del método símplex es que resuelve la programación lineal en iteraciones. Cada iteración desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tiene potencial de mejorar el valor de la función objetivo. El proceso termina cuando ya no se pueden obtener mejoras.

El método símplex implica cálculos tediosos y voluminosos, lo que hace que la computadora sea una herramienta esencial para resolver los problemas de programación lineal. Por consiguiente, las reglas computacionales del método símplex se adaptan para facilitar el cálculo automático.

CASOS ESPECIALES DE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO SÍMPLEX

En esta sección se examinarán cuatro casos especiales que se presentan al aplicar el método símplex.

1. Degeneración.

Al aplicar la condición de factibilidad del método símplex, se puede romper un empate en la razón mínima en forma arbitraria. Cuando se presenta un empate, al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración, y se dice que la nueva solución es degenerada.

No hay que alarmarse al manejar una solución degenerada, a excepción de una pequeña incomodidad teórica de ciclado, que describiremos en breve. Desde el punto de vista práctico, la condición indica que el modelo tiene al menos una restricción redundante. Para poder presentar mejor perspectiva de los impactos prácticos y teóricos de la degeneración presentaremos un ejemplo numérico, que resolveremos en forma algebraica y gráfica.

2. Óptimos alternativos.

Cuando la función objetivo es paralela a una restricción obligatoria (es decir, una restricción que se satisface como ecuación en la solución óptima), la función objetivo asumirá el mismo valor óptimo, que se llama óptimos alternativos, en más de un punto de solución. El siguiente ejemplo muestra que hay una cantidad infinita de esas soluciones. También demuestra un significado práctico de encontrar óptimos alternativos.

3. Soluciones no acotadas.

En algunos modelos de programación lineal, los valores de las variables pueden aumentar en forma indefinida sin violar alguna de las restricciones, y eso significa que el espacio de soluciones es no acotado al menos en una dirección. El resultado es que el valor objetivo puede aumentar (en caso de maximización) o disminuir (si se trata de minimización) en forma indefinida.

En ese caso, tanto el espacio de soluciones como el valor óptimo objetivo no están acotados.

La no acotación apunta hacia la posibilidad de que el modelo esté mal construido. Las irregulares más probables en esos modelos son que no se hayan tomado en cuenta una o más restricciones no redundantes, y que los parámetros (constantes) de algunas restricciones puedan no haberse estimado en forma correcta.

Los siguientes ejemplos muestran cómo se puede reconocer la no acotación, tanto del espacio de soluciones como del valor objetivo, en la tabla símplex.

4. Soluciones inexistentes (o no factibles).

Los modelos de programación lineal con restricciones inconsistentes no tienen solución factible.

Estos casos nunca suceden si todas las restricciones son del tipo ≤ (suponiendo lados derechos no negativos), porque las holguras permiten tener una solución factible. Para otros tipos de restricciones se usan variables artificiales. Aunque esas variables artificiales se penalizan en la función objetivo, para obligarlas a ser cero en el óptimo, eso sólo puede suceder si el modelo tiene un espacio factible. En caso contrario, al menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima.

Desde el punto de vista práctico, un espacio no factible indica la posibilidad de que el modelo no esté bien formulado.

El interés de estudiar esos casos especiales es doble: 1) presentar una explicación teórica de esos casos, y 2) presentar una interpretación práctica de lo que pudieran significar esos resultados especiales en un problema en la vida real.

1.5 SOLUCIÓN ARTIFICIAL DE INICIO.

Los programas lineales en los que todas las restricciones son (≤) con lados derechos no negativos ofrecen una cómoda solución factible básica de inicio con todas las holguras. Los modelos donde intervienen restricciones del tipo (=) o (≥) no poseen esta propiedad.

El procedimiento para iniciar programas lineales “de mal comportamiento” con restricciones (=) y (≥) es permitir que variables artificiales desempeñen el trabajo de holguras en la primera iteración, para después, en alguna iteración posterior, desecharlas en forma legítima.

Aquí presentaremos dos métodos muy relacionados: el método M y el método de dos fases.

1.5.1 MÉTODO M.

El método M comienza con la programación lineal en forma de ecuación.

Una ecuación i que no tenga una holgura (o una variable que pueda hacer el papel de una holgura) se aumenta con una variable artificial, Ri, para formar una solución de inicio parecida a la solución básica con todas las holguras.

Sin embargo, como las variables artificiales son ajenas al modelo de programación lineal, se usa un mecanismo de retroalimentación en el que el proceso de optimización trata en forma automática de hacer que esas variables tengan nivel cero.

En otras palabras, la solución final será como si las variables artificiales nunca hubieran existido en primer lugar. El resultado deseado se obtiene penalizando las variables artificiales en la función objetivo.

1.5.2 MÉTODO DE DOS FASES.

Debido al impacto potencial adverso del error de redondeo sobre la exactitud del método M, donde se manipulan en forma simultánea coeficientes grandes y pequeños, el método de dos fases reduce el problema eliminando por completo la constante M. Como su nombre indica, el método resuelve la programación lineal en dos fases: la fase I trata de determinar una solución básica factible de inicio y, si se encuentra, se invoca la fase II para resolver el problema original.

Fase I. El problema se pone en forma de ecuación y se agregan a las restricciones las variables artificiales necesarias (exactamente como en el método M) para asegurar una solución básica de inicio. A continuación se determina una solución básica de las ecuaciones resultantes, que minimice la suma de las variables artificiales. Si el valor mínimo de la suma es positivo, el problema de programación lineal no tiene solución factible, y termina el proceso (recuerde que una variable artificial positiva significa que no se satisface una restricción original). En caso contrario, se prosigue a la fase II.

Fase II. Se usa la solución factible de la fase I como solución básica factible de inicio para el problema original.