Unidad 1 LÓGICA PROPOSICIONAL

22 Intelectum 2.°Intelectum 2.°

PRACTIQUEMOSPRACTIQUEMOS

Nivel 1 (página 8) Unidad 1Nivel 1 (página 8) Unidad 1

Comunicación matemática Comunicación matemática

1.1.

2.2.

3.3.

Razonamiento y demostraciónRazonamiento y demostración

4.4. I. (4I. (4 ++ 3 3 == 7) 7) // (2 (2 ++ 5 5 == 8) 8)

VV // FF // FF

II. II. (3(3 ++ 2 211 5) 5) 00 (2 (2 ++ 4 411 8) 8)

FF 00 VV // VV

III. III. (3(3 ++ 4 4 == 7) 7) && (3 (3 ++ 4 4 == 8) 8)

VV && FF // FF

Los Los valores valores de de verdad verdad serán: serán: FVFFVFClave Clave DD

5.5. (p(p && aaq)q) 00 ( (aarr && s) s) // F F

F F FFpp && aaqq // F F aarr && ss // F F " " " " "" " "

V V F F V V FF

aaqq // F F aarr // V V " " " "

qq == V V rr == F F

Los Los valores valores de de verdad verdad de de p, p, q, q, r r y y s s respectivamente respectivamente son: son: VVFFVVFFPiden Piden los los de de r, r, q q y y p: p: FVVFVV

Clave Clave AA

Resolución de problemas Resolución de problemas

6.6. pp qq (p(p 00 ++q)q) && (p(p // q)q)

V V V V F V V V VV V V V F V V V V

V F V V V F V F FV F V V V F V F F

F V F F F V F F VF V F F F V F F V

F F F V V F F F FF F F V V F F F F

En En la la matriz matriz principal principal existen existen combinaciones combinaciones de de V V y y F, F, entonces entonces el el esquemaesquemaes contingente.es contingente.

Clave BClave B

7.7. Se tiene que pSe tiene que p == V y q V y q == F, entonces: F, entonces:

I.I. ++pp 00 qqF F FF

FF II. II. ++qq ++ ++pp

V V FFFF

III. III. qq && ppF F VV

VV Clave DClave D

8.8. p: 6 es un número par.p: 6 es un número par.

I.I. pp 00 ++ppVV 00 FF

VV

II. II. ++pp // ppFF // VV

FFClave AClave A

9.9. Por dato,Por dato,++pp && q es falso, entonces: q es falso, entonces:

++pp && qq // F F. . ..

V V FF(p(p == F) F)

Luego: Luego:I.I. (p(p // q) q) 00 pp

F F F F FFF F FF

FFII. II. (p(p && q)q) && qq

F F FFV V FF

FF Clave CClave C

10.10.

p p qq (p(p ϕϕ q)q) ϕϕ (q(q ϕϕ ++p)p)

VV VV VV VV VV VV FF

VV FF VV VV FF VV FF

FF VV FF FF VV VV VV

FF FF VV VV FF FF VV

Clave AClave A

Nivel 2 (página 9) Unidad 1Nivel 2 (página 9) Unidad 1 Comunicación matemática Comunicación matemática

11.11.

12.12. I. I. Colombia Colombia es es un país un país sudamericano.sudamericano.

Es Es una una proposición proposición lógica.lógica.

II. 13 II. 13 es es un un número número primo.primo.Es una proposición lógica.Es una proposición lógica.

III. ¿Cómo III. ¿Cómo llegaste? llegaste? (Es (Es una una pregunta)pregunta)No es una proposición lógica.No es una proposición lógica.

`̀ Son proposiciones lógicas I y II. Son proposiciones lógicas I y II.Clave Clave BB

Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración

13.13. I. (3I. (3 ++ 7 7 ## 10) 10) && (4 (4 ## 0 0 == 4) 4)

VV && FF // FF

II. (12II. (12 ++ 5 511 15) 15) 00 (5 (522 --10)10)

FF 00 VV // VV

III. (7III. (7 ## 1 1 == 7) 7) // (12 (12 $$ 9 9 ++ 3) 3)

VV // VV // VV

`̀ Son verdaderos II y III. Son verdaderos II y III.Clave Clave BB

14.14.pp qq ((∼∼pp // q)q) ++ (p(p 00 ∼∼q)q)

V V F F V F V V FV V F F V F V V F

V F F F F F V V VV F F F F F V V V

F V V V V F F F FF V V V V F F F F

F F V F F F F V VF F V F F F F V V

`̀ El número de valores falsos en la matriz El número de valores falsos en la matriz principal es 4.principal es 4.Clave Clave DD

Unidad 1Unidad 1 LÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONAL

33ARITMÉTICA - SOLUCIONARIOARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1UNIDAD 1


15.15.pp qq ∼∼ (p(p && ∼∼q)q) ++ (q(q && ∼∼p)p)

V V V V F F F V F FV V V V F F F V F F

V F F V V V F F V FV F F V V V F F V F

F V F F V F F V V VF V F F V F F V V V

F F F F V V F F V VF F F F V V F F V V

En la matriz principal existe combinaciones de F, entonces es unaEn la matriz principal existe combinaciones de F, entonces es unacontradicción.contradicción.

Clave Clave CC

16.16. Se tiene:Se tiene:

++pp++ q q // F F , , pp // q q // FF

Si Si p p = = F F : : VV ++ q q // F F , , FF // F F // F F

FFEntonces: Entonces: pp == F F y y qq == F F

Luego:Luego:

I.I. ++pp // q q " "

V V FFVV

II. pII. p&& q qF F FF

VV

III.III. ++qq 00 ++pp " " " "

V V VVVV

Clave EClave E

17.17. Elaboramos la tabla de verdad:Elaboramos la tabla de verdad:

pp qq (p (p // ++q)q) && ((++pp 00 q)q)

V V VV V V F F V F VF F V F V VV

V F VV F V V VV V F F FF F F FF

F V F F FF V F F F V VV V VV VV

F F F F VF F F F V V VV V VV FF

Clave CClave C


pp qq (p (p && ++q)q) 00 (q(q ++ p)p)

V V V F F V V V VV V V F F V V V V

V F V V V V F F VV F V V V V F F V

F V F V F V V F FF V F V F V V F F

F F F V V V F V FF F F V V V F V F

Clave BClave B

19.19.pp qq ((++pp 00 q)q) ++ (p(p && q)q)

V V FV V F V V V VV V V V V VV V

V F F F FV F F F F VV V F FV F F

F V V V VF V V V V VV F V VF V V

F F V V FF F V V F VV F V FF V F

Por lo tanto en la matriz principal, hay 4 valores verdaderos.Por lo tanto en la matriz principal, hay 4 valores verdaderos.Clave Clave EE

20.20. pp&& q q // F F

&& p p == V V y y qq == F F

I. (I. (++pp&& q) q) // ( (++pp&& aaq)q)

(F(F && F) F) // (F (F&& V) V)

VV // VV // V V

II. II. (p(p // ++q)q)&& ( (++pp 00 q) q)

(V(V // V) V)&& (F (F 00 F) F)

VV && FF // F F

Los valores de verdad serán: VFLos valores de verdad serán: VFClave Clave BB

Nivel 3 (página 9) Unidad 1Nivel 3 (página 9) Unidad 1

Comunicación matemática Comunicación matemática

21.21.

22.22.

I. I. El sol El sol es la es la unidad monetaria del unidad monetaria del Perú.Perú.Es Es una una proposición proposición lógica.lógica.

II. II. El violeta El violeta es un es un color secundario.color secundario.Es Es una una proposición proposición lógica.lógica.

III. III. ¿Dónde está Miguel Grau? (Es una pregunta).¿Dónde está Miguel Grau? (Es una pregunta).No es una proposición lógica.No es una proposición lógica.

IV. IV. 49 49 es es un un cubo cubo perfecto.perfecto.Es Es una una proposición proposición lógica.lógica.

V. Buenos V. Buenos días. días. (No (No se se puede puede afirmar afirmar o o negar)negar)No No es es una una proposición proposición lógica.lógica.

Por Por lo lo tanto, tanto, hay hay 3 3 proposiciones proposiciones lógicas.lógicas.

Clave Clave CC

Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración

23.23.p p qq (p(p 00 ++q)q) && (p(p // ++q)q)

V VV V VV VV F FF F V FV F FF

V FV F VV VV V VV V V VV V VV

F VF V FF FF F VF V F FF F FF

F FF F FF VV V FV F F FF F VV

Por Por lo lo tanto, tanto, el el n.° n.° de de valores valores verdaderos verdaderos en en la la matriz matriz principal principal es es 2.2.Clave Clave CC

44 Intelectum 2.°Intelectum 2.°

24.24. pp && (q (q 00 r) r) // F F

V V FFqq 00 rr // FF

F F FF Luego: Luego:

pp == V, q V, q == F, r F, r == F F..

I. I. p p es es necesariamente necesariamente verdadero. verdadero. (V)(V)II. II. q q es es siempre siempre verdadero. verdadero. (F)(F)III. III. r r es es verdadero. verdadero. (F)(F)Se Se puede puede afirmar afirmar solo solo I.I.

Clave AClave A


25.25. (p(p // q) q)&& (r (r 00 t) t) // F F

V V FFpp // q q // V V rr 00 t t // F F

V V V V F F FF

`̀ Son Son verdaderas: p y verdaderas: p y qqClave BClave B


pp qq r r [(p[(p && ++q)q) // r]r] ++ (p(p 99 q)q)

V V V V F F F V V V F VV V V V F F F V V V F V

V V F V F F F F V V F VV V F V F F F F V V F V

V F V V V V V V V V V FV F V V V V V V V V V F

V F F V V V F F F V V FV F F V V V F F F V V F

F V V F V F V V V F V VF V V F V F V V V F V V

F V F F V F F F F F V VF V F F V F F F F F V V

F F V F V V V V F F F FF F V F V V V V F F F F

F F F F V V F F V F F FF F F F V V F F V F F F

`̀ 5 5 -- 3 3 == 2 2Clave BClave B

27.27. I.I. pp qq (p (p && aaq)q) // (q(q // p) p)

VVVVFFFF

VVFFVVFF

VVVVFFFF

FFVVVVVV

FFVVFFVV

FFFFFFFF

VVFFFFFF

Luego, I es contradictorio (F).Luego, I es contradictorio (F).

II. II. pp qq [(q[(q&& p) p) // ( (aaqq 99 p)]p)] // aapp

VVVVFFFF

VVFFVVFF

V V V V F F V V

VVFFFFVV

FFVVFFVV

VVFFFFVV

VVVVFFFF

FFFFFFVV

FFFFVVVV

Luego, II es contingente (C).Luego, II es contingente (C). III. III.

pp qq [p[p && ( (aaqq // p)]p)] 00 [((p[((p ++ q) q) 00 q)q) // qq

VV

VV

FF

FF

VV

FF

VV

FF

VV

VV

FF

FF

FF

VV

VV

VV

FF

VV

FF

FF

VV

VV

VV

VV

VV

FF

FF

VV

VV

FF

VV

VV

VV

FF

VV

FF

VV

FF

VV

FF

VV

FF

VV

FF

Luego, Luego, III III es es tautológica tautológica (T).(T).

Por Por lo lo tanto, tanto, los los esquemas esquemas mostrados mostrados son son FCTFCT..

Clave Clave BB

28.28. (p(p // aat)t)&& (p (p&& r) r) // F F

V V FF

pp // aatt // V V pp && rr // F F

V V V V V V FF

aatt // V V

tt == F F

pp == V, r V, r == F, t F, t == F F..

I. I. (p(p ++ t) t) // ++r r (V(V ++ F) F) // VV

FF // VV // FF

II. II. ((aarr 00 p) p) && ( (aatt // r) r)(V(V 00 V) V) && (V (V // F) F)

VV && FF // FF`̀ FFFF

Clave Clave DD

29.29. (p(p // aaq)q) && (p (p && r) r) // F F

V V FF

pp //aaqq // V y V y pp && rr // F F

V V V V V V FF

aaqq // VV

Luego:Luego:pp == V, q V, q == F, r F, r == F F..

I. I. (V) (V) pp // qq

VV // FF // F F

II. II. (V) (V) rr && qq

FF && FF // VV

III. III. (V)(V) aaqq 00 pp

VV 00 VV // V VClave Clave DD

30.30. Si Carlos Si Carlos no es abogado no es abogado yy

++qq //

no es cierto que Luis es doctor, entoncesno es cierto que Luis es doctor, entonces

++pp &&

Luis Luis no no es es doctor o doctor o Pedro Pedro es es ingeniero.ingeniero.++pp 00 r r

La forma simbólica será:La forma simbólica será:((++qq // ++p)p)&& ( (++pp 00 r) r)

Clave Clave CC

5ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1

TEORÍA DE CONJUNTOS

PRACTIQUEMOS

Nivel 1 (página 13) Unidad 1

Comunicación matemática

1. Tenemos:A= {m; {m}; Q; {Q}}Luego:I. {m} ! A V

II. Q 1 A VIII. {Q} ! A VIV. {m; Q}! A F

2. Tenemos:B = {a; m; {m; n}; {a; m; p}}I. m " B F

II. {m; n} ! B V

III. a 1 B F

IV. {a; m; p} 1 B F

3. Tenemos:A= {11; 12; 13; 14; 15}; B= {12; 13}

a) A + B = {12; 13} = B

b) A= {x / x !N; 10 < x < 16}

c) n(A,B) = 5

d) n(B) = 2

Razonamiento y demostración

4. A= {1; 2; {3; 4}; {{5}}; {{{6}}}}Q 1A …(V)

2 ! A …(V)

{5} 1 A …(F)

{{5}} 1 A …(F)

{{{5}}}1 A …(V)

{{{6}}}1 A …(F)

` 3 son verdaderasClave A

5. Tenemos:5a1 2a + 123a 1 12a 1 4

0; 1; 2; 3& a + 7: 7; 8; 9; 10

Luego:G = {7; 8; 9; 10}

a) F b) V c) V d) V

Resolución de problemas

6. Q = {x / x !Z+; -2 1 x 1 6}

Q = {1; 2; 3; 4; 5} & n(Q) = 5

Piden: n[P(Q)] = 2n(Q) = 25 = 32

` n[P(Q)] = 32Clave D

7. M = {a + b; 12}N = {a - b; 6}Por ser conjuntos unitarios se cumple:a + b = 12 / a - b = 6Resolviendo: a = 9 / b = 3

Clave A

8. P = {x2 + 3; 28}R = {y + 5; 12}Por ser conjuntos unitarios se cumple:& x2 + 3 = 28 / y + 5 = 12

x2 = 25 y = 7x = 5

Piden: x - y = 5 - 7 = -2Clave B

9. Si: n(A) = 2& n[P(A)] = 2n(A) = 22 = 4

El conjunto P(A) tiene 4 elementos.

& El conjunto P(P(A)) tendrá:

n[P(P(A))] = 2n[P(A)] = 24 = 16

` n[P(P(A))]= 16Clave E

10. M = {...; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 7; 9; ...}N = {...; -4; -2; 0; 2; 4; 6; 8; 10; ...}

I. M + N = {0} (F), M + N = QII. Mc = N (V)

III. M , N ! Z+ (F), M , N 1 ZClave E



11. Tenemos:A = {2; {2; 4}; {{1; 4}}; {{{6}}}}

Luego:I. Q ! A F

II. 4 ! A F

III. 5 " A V

IV. {2; 4} ! A V

12. Tenemos:A = {1; 4, 9}B = {4; 5; 6}

Luego:a) A= {x2 / x !N; 1 G x G 3}

B = {x / x !N; 4 G x G 6}b) A + B = {4}

c) n(B) = 3

d) n(A,B) = 5


13. Determinamos por extensión a los conjuntosA y B:

; ; ; A5

1

5

4

5

72= ' 1

B = {2} Luego:

a) F b) F c) F d) V

14. Tenemos que a ≠ b, entonces:A = B = {a; b}

Luego:

I. A,B ≠ A+B F

II. A = B V

III. Ac≠ Bc F

IV. A 1 B V


15. M = {1; 2; 3; 4;...}N = {...; -4; -3; -2; -1}

I. M + N = {0} (F), M + N = QII. Mc = N (F), Mc = {0} , NIII. M , N ! Z+ (F), M , N 1 Z

Clave D

16. Dato: A 1 B 1 C n(B) = n(A) + 5 n(C) = 2 # n(B) n(A)+ n(B)+ n(C) = 27 Sea: n(A) = a n(B) = b n(C) = c

& b = a + 5a = b - 5

& c = 2ba + b + c = 27

4b - 5 = 27b = 32b = 8

& b = 8 / a = 3 / c = 16

C

B

A3

5

8

Del gráfico: n(C - B) = 8 n[P(C - B)] = 28

` n[P(C - B)] = 256Clave C

17. Datos:

• n(A - B) = 2

• n[P(B - A)] = 16

& 2n(B - A) = 24

n(B - A) = 4

• n [P(A , B)] = 256

& 2n(A , B) = 28

n(A, B) = 8

Sabemos:

n(A , B) - n(A + B) = n(A - B) + n(B - A)8 - n(A + B) = 2 + 4

n(A + B) = 2

Piden:

n[P(A + B)] + n(A + B)= 2n(A + B) + 2 = 22 + 2 = 6

Clave D

18. Como A y B son comparables y por daton(B - A) = 6, se deduce que A 1 B.

A

B

x 6

6 Intelectum 2.°

Además, del enunciado:n(A , B) = 9

x + 6 = 9 & x = 3` n(A) = 3

Clave C

19. n(U) = 70n(Ac) = 43 & n(A) = n(U) - n(A’)

n(A) = 70 - 43 n(A) = 27

n(Bc) = 34 & n(B) = n(U) - n(B’) n(B) = 70 - 34 n(B) = 36 Además: n(A - B) = 19

A (27) B (36)

19 x

70& 19 + x = 27

` x = 8Clave A

20. I (574) A (726)

1000

574 x- x 7 26 x-

250

& 574- x+ x+ 726- x+ 250= 1000 1550 - x = 1000 550 = x

Clave A



21. Tenemos:A= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}B = {0; 1; 2}C = {5; 7; 8}a) A= {x / x !N / x G 6}

b) n(A) = 7c) B = {x / x !N / x 1 3}

d) n(C) = 3

22. B = {0; 1; 2; 3}A= Qa) n(A) + n(B) = 0 + 4 = 4b) B = {x / x !N; x 1 4}c) A = {x / x !N / 2x = 3}d) B + U = B = {0; 1; 2; 3}


23. Por dato:n.º subconjuntos propios de A= 2n(A) - 1

Entonces:15 = 2n(A)- 116 = 2n(A)

& n(A) = 4; n[P(A)] = 24 = 16Por lo tanto, la afirmación incorrecta es n[P(A)] = 8.

Clave D

24. I. (V)Como A= B, a; b!Z+ entonces a≠ 2a≠ 4aa = 3 / 2b = 6

b = 3 Luego:

a + b = 6

II. (F)

n(A) = 3

III. (V)

De (I): a = 3 = b

IV. (F)


25. C (124) P (187)

500

124 x- x 1 87 x-

200

& 124 - x + x + 187 - x + 200 = 500 511- x = 500

11= xClave D

26. U (120)

30

x65 - x 58 - x

F(65) C(58)

Luego:30 + 65 + 58 - x = 120` x = 33

Clave E

27. Del enunciado tenemos:

2 8 3

1010

6

9

2

50C(35)

M (30) F(30)

Se observa que 2 no aprueban ningún curso.Clave C

28. U (120)

M(60)

H(90)

F(80)

a c

b

40 - c

50 - a - c

40 - b

Dato: todos aprobaron por lo menos 1 curso.& 120 = 60 + 90 - b - c - a` a + b + c = 30 Clave B

29.

50 x-

B A

C

0

0 40 x-

60 x-

0

100

x

& 40 - x + 60 - x + 50 - x + x = 100 150 - 2x = 100

50 = 2x25 = x

` Hay 25 personas que leen las 3 revistas.

Clave C

30. En el salón hay m alumnos.Los conjuntos A y B son los cursos.

A(n)

n- x x p- x

B(p)

U(m)

n- x+ x+ p- x= mx= n- m + p

Piden los que prefieren solo A:n - x = n - (n - m + p)n - x = m - p

Clave C


PRACTIQUEMOSNivel 1 (página 18) Unidad 1


1.

2.

3.


4. I. (V)

aaaa(b) = b4 - 1

aaaa(b) = (b- 1) (b- 1) (b- 1) (b- 1)(b)

a = b - 1

II. (F)

111213= 10+ 1+ 2+ 3= 16= 42

! 43

III. (V)

V. R. (2) = 2 # 10

= 4 # 5

= V. A.(4) # V. A. (5)Clave A

5. De la expresión:

a(a - 3)(a - 3)(n) = mn(2m)(6)

Se observa:a $ 3m: 1; 2n1 6

Luego:I. F II. F III. V

Clave C


6. ab = 88(9)

ab = 9(8) + 8ab = 80Piden: a + b = 8 + 0 = 8

Clave C

7. 110(5) = ab

52(1) + 5(1) + 0 = ab25 + 5 = ab = 30` a = 3 / b = 0Piden: a + b = 3 + 0 = 3

Clave B

8. 202(3) = pq

32(2) + 3(0) + 2 = pq

18 + 2 = pq

20 = pq & p = 2 / q = 0

Piden: p2 + q2 = 22 + 02 = 4Clave C

9. 130(7) = mn

72(1) + 7(3) + 0 = mn49 + 21 = mn & mn = 70` m = 7 / n = 0Piden: m + n2 = 7 + 02 = 7

Clave B

10. 46(n) = 74

4n + 6 = 744n = 68` n = 17

Clave C



11.

12.


13. I. (V)

Si el numeral a a a1 a2 3

22_ _ _i i i está bien

escrito, entonces:

a31 2a2

a 1 2

& a = 1; (2a2$ 2)

II. (F)

a12

10n

b _ li = (n + a)2 ! (2n + a)2

III. (V)

ma(2) = 1a(2); 01 m1 2

1

mb(2) = 1b(2);

Luego:

1a(2)+ 1b(2)= 2+ a+ 2+ b= 4+ a+ b

14. Se observa que n puede ser 0 ó 1.

Si: n = 0

101010 2_ i

= 2 (no cumple)

Si: n = 1

3211

11 2_ i= 322 + 2 = 32(4) = 14 (sí cumple)

Luego:I. F II. V III. F

Clave B


15. 53(a) = 48

5a + 3 = 48

5a = 45

a = 9

Piden: a3 + 1 = 93 + 1 = 730Clave E

16. 10 = a3(4) - 1

11= 4a + 3

8 = 4a

` a = 2Clave A

17. n5(6) = 29

6n + 5 = 29

6n = 24

` n = 4

Clave E

18. 1101(2) = ab

23(1) + 22(1) + 2(0) + 1 = ab

8 + 4 + 1 = ab

13 = ab

& a = 1 / b = 3

Piden:a + b = 1 + 3 = 4

Clave A

19. nn(9)= 80

9n + n = 80

10n = 80

` n = 8Clave D

20. 2ab + ba + 7 = 31a

(200+ 10a+ b)+ (10b+ a)+ 7= 310+ a

207 + 11a+ 11b= 310 + a

11b + 10a = 103. .

3 7& a = 7 / b = 3

Piden:

a2 - b2 = 72 - 32 = 49 - 9 = 40Clave A



21.

22. Se observa:

31 a1 c; b 1 c; c 1 7

Además:

aa(c)1 ba(c)

a # c 1 b # c

a1 b

Luego:

31 a1 b 1 c 1 7. . .

4 5 6

Nos piden:a + b + c = 4 + 5 + 6 = 15

Clave E

NUMERACIÓN

40 - b

8 Intelectum 2.°


23. I. V

m2# ab = 2200(m)

m2# ab = 22(m) # m2

ab = 22(m)

ab = (2m + 2)2

Sabemos que m > 2; además, para que(2m + 2)2 sea de dos cifras, m solo puede serigual a 3.

ab = (2(3) + 2)2 = 64

II. V

b b1 2 2

( )a^ ^h h = a2 + (2b) # a + b2

= a2 + 2ab + b2

= (a + b)2

Se sabe que a > 2 y que b puede ser iguala cero, entonces:(a + b)2 = (a + 2b)2

a2 = a2

III. V

b ab n n07

2 ab2

=`^

^^

jh

hh

Se observa:01 b12 y 0 1 a 1 2 & b = a = 1

Luego:

n n1 11 027

11 2=^ ^

^ ^hh

h h

13(7) = n0n(3)

10 = 9n + n

10 = 10n

& n = 1Se cumple

a2 + b2 = 1 + 1 = 2 = n2 + 1

24. I. V

[(n - 1)(n - 1) (n - 1)(n) + 1]2 =

[(m - 1) (m - 1)(m) + 1]3

[(n3 - 1) + 1]2 = [(m2 - 1) + 1]3

(n3)2 = (m2)3

n6 = m6

& n = m

II. F

Por dato, el conjunto A es unitario, entonces:56(n) = aab(4) = 65(n - 1)

Luego:

56(n) = 65(n - 1)

5n + 6 = 6(n - 1) + 5

5n + 6 = 6n - 1

7 = n

Entonces: aab(4) = 41 = 221(4)

Por lo tanto: a + b = 2 + 1 = 3

III. V

ab # ba(n) = 169

ab # ba(n) = 13 # 13

a = 1 / b = 3

Luego:31(n) = 133n + 1 = 13n = 4

Por lo tanto:n2 + a2 + b2 = 42 + 12 + 32 = 26


25. x01(5) = 203(7)

A base 10:x . 52 + 0 . 5 + 1 = 2 . 72 + 0 . 7 + 3

25x + 1 = 98 + 3 25x = 100

` x = 4Clave B

26. n53(7) = 1n1n(5)

A base 10:

n . 72+ 5 . 7+ 3= 1 . 53

+ n . 52+ 1 . 5+ n

49n + 35 + 3 = 125 + 25n + 5 + n

49n + 38 = 130 + 26n

49n - 26n = 130 - 38

23n = 92

` n = 4Clave E

27. 235(7) a base 3:

235(7) = 2 . 72 + 3 . 7 + 5 = 124

124 a base 3:

124 3

1 41 3

2 13 3

1 4 3

1 1

` 235(7) = 11121(3)

Clave E

28. aa0(5) = 30

52(a) + 5(a) = 30

25a + 5a = 30

30a = 30 & a = 1

Piden:E = a3 + a2 - a = 13 + 12 - 1 = 1

Clave E

29. 11ba a ab21( )3+ = -

11b+ 10a = 103. .

3 7& a = 7 / b = 3

Piden:a2 - b2 = 72 - 32 = 49 - 9 = 40

Clave A

30. 3yy(9) = (y + 1)(y + 1)3(7)

A base 10:

3 . 92+ y . 9+ y= (y+ 1) . 72

+ (y+ 1)7+ 3

243 + 10y = 49y + 49 + 7y + 7 + 3

243 + 10y = 56y + 59

56y - 10y = 243 - 59

46y = 184

` y = 4

Clave C

31. 125(6) = 104(n)

1 # 62 + 2 # 6 + 5 = n2 + 4

53 = n2 + 4

49 = n2

& n = 7

Clave B

32. ppp(3) + qq(4) = 111(5)

p # 111(3) + q # 11(4) = 111(5)

13p + 5q = 31" "

2 1

Piden: p2 - q3 = 4 - 1 = 3

Clave B

33. pr (a); aab(c); 4abc(5); 1a(b)

1 < a < b < c < 5" " "

2 3 4

Piden: 2 + 3 + 4 = 9

Clave B


34.+ -

164(n) = 13(m � 1)(m)- +

6< n< m

13(m � 1)(m)= 115(9)

& 6< n< m< 9" "

7 8

Piden: n2 + m = 49 + 8 = 57

Clave A

35. m(m + 1)(m + 3)(5) = abc(m + 3)

m + 3 < 50 < m < 2

"

1

& 124(5) = 39 = abc(4)

& abc(4) = 213(4)

a = 2; b = 1; c = 3

Piden: a2 + b2 + c2 = 22 + 12 + 32 = 14

Clave E

36.

- +

+ �

n54(x) = n30(9)

5 < x < 9; n < 9

6; 7; 8

nx2 + 5x + 4 = 81n + 27

nx2 + 5x = 81n + 23

5x = n(81 - x2) + 23 & n =x

x

81

5 232

-

-

• x = 6: n45

7g= Z

+

• x = 7: n32

12g= Z

+

• x = 8: n17

17!= Z

+

Clave C

37. 156(a)= a2+ 5a+ 6= (a+ 3)(a+ 2)= (a+ 2)0(a+ 3)

Por dato:a + 2 = 9a = 7Piden: a2 + 1 = 50

Clave C

38. 1a1(b) + 2b(c) + xxxx(a) = def (5)

1 < a < b < c < 5

2 3 4121(3) + 23(4) + 1111(2) = def (5)

16 + 11+ 15 = def (5)

42 = def (5)

132(5) = def (5)

d = 1; e = 3; f = 2

Piden: 12 + 3 + 2 = 6

Clave D

39. p3 - 1 = 508(12)

p3- 1 = 728

p3 = 729

p = 9

Clave D

40. xyxy + 79xy = 4140

101xy + 79xy = 4140

180xy = 4140

xy = 23

` xyxy = 2323Clave B

41. 143(10)(11)+ 2= 1441(11)

Clave C

42. ab(5)+ a+ b= 28; a; b < 5

6a+ 2b= 28

3a+ b= 14

1 11

2 8

3 5

4 2

Piden:

2 # 4 = 8 = 1000(2)

Clave E

10 Intelectum 2.°

PRACTIQUEMOS



1.

2. cba +321ba9

a + 1 = 9 & a = 8

b + 2 = 8 & b = 6

c + 3 = 6 & c = 3

Luego:

I. a + b + c = 8 + 6 + 3 = 17

II. ab - cc = 86 - 33 = 53

III. (1c)a - b = 132 = 169

3. I. 16 * 10 + 17 * 18 = 1160 + 1178 = 2338

II. *

100

10 10

100

1100= = 11

III. C. A. (20 * 30) = C.A. (3200) =

= 10 000 - 3200 = 6800


4. aa + bb + cc + dd = 44

& a, b, c, d ! Z+

Luego:

a # 11+ b # 11+ c # 11+ d # 11= 44

11(a+ b + c + d) = 44

a + b + c + d = 4. . . .

1 1 1 1

Por lo tanto:I. F II. F III. V

5. Del enunciado:

k términos

2pq; ...; ba - r; ba; ...; 2ab

(k - 1) términos k términos

Donde b > a, entonces:

r

ba pq

r ab ba2

1 2 1-

+ =-

+

ba - 2pq = 2ab - ba

2ba - 2ab = 2 # pq

ba - ab = pq (b > a)

Luego:I. V

p + q = 9

II. F(b - 1) - a = p b - a - 1 = p

III. Vtn = 2(54) + 12(n - 1) = 96 + 12n


6. x + y + z = 17

111 xyxy +

& zxyz yzzx 18887

Clave A

7. M + S + D = 400

& 2M = 400

M =2

400

` M = 200

Clave B

8.

7 +

77 777

777757 sumandos

(57 cifras)" 7…7777…abc

En las unidades: 7 # 57 = 399

& Colocamos 9 y llevamos 39 & c = 9

En las decenas: 39 + 7 . 56 = 431

56 sumandos

& Colocamos 1 y llevamos 43 & b = 1

En las centenas: 43 + 7 # 55 = 428

55 sumandos& Colocamos 8 y llevamos 42 & a = 8

Piden: a . b . c = 8 . 1 . 9 = 72

Clave D

9. xyz - zyx = 4ab

Por propiedad: a= 94 + b = 9 & b = 5

Piden:

a2 + b2 = 92 + 52 = 106

Clave B

10. 11a+ 22a+ 33a+ …+ 99a= d(c - 4)b3

(110+ a)+ (220+ a)+ (330+ a)+…+ (990+ a)

9 sumandos = d(c- 4)b3

110(1 + 2 + 3+ … + 9) + 9(a) = d(c - 4)b3

110 .

2

9 10d n + 9(a) = d(c - 4)b3

4950 + 9a = d(c - 4)b3.

7 termina en 3

& 4950 + 9(7) = d(c - 4)b3

5013 = d(c - 4)b3

& d = 5; c = 4; b = 1

Piden:

a + b + c + d = 7 + 1 + 4 + 5 = 17

Clave C



11. Como: a0c -

c0a

xyz

Entonces:

I. y = 9

II. x + z = 9

III. SI x = 1, entonces a - c = 1 + 1 = 2(a - c = x + 1)

12.

3 #

4 7

3 3

8

5 8 1

2

3 9 0 1

I. 581 + 332 = 913

II. 3 + 9 + 1 = 13

III. 8 # 3 = 24


13. ba7 + mn = 7ab

& 7ab - ba7 = mn, b < 7

Luego:

m = 9; n = 9; (7 - 1) - b = 0b = 6

Por lo tanto

I. V

II. F

III. V

14. p + p + p + ... + p = ab0(m)

m veces

OPERACIONES BÁSICAS EN EL CONJUNTO Z+

Unidad 1 LÓGICA PROPOSICIONAL

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