Unidad 1 Números

1.- Números Naturales

Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un

conjunto.

El conjunto de números naturales se representa por la letra N

,....}1234,...123,...,12,...,6,5,4,3,2,1{N

Operaciones con Números Naturales.

Para operar vatios números naturales tenemos que aplicar la jerarquía de operaciones:

Ejercicios:

1. Opera:

a) (8 + 7 + 5) : 5 – 3 : (8 – 5)

b) 2 · (6 – 2 · 3) + 12 · (7 – 4)

c) 12 + (7 + 2) : 3 – 5 · 3

d) (17 – 4 · 2) : 3 + 2 · (8 – 6)

e) 13 : (5 + 4 · 2) + 3 · (5 – 4)

f) 10 + (14 + 12) : 13 – 7

2. Resuelve:

15 · (6 + 5 – 3 · 3) – 5 · (6 + 4 – 7) + 9 : (7 + 4 – 2 · 4)

Divisibilidad

Si dividimos un número a entre otro b y la división es exacta decimos que a es divisible

entre b o que a es múltiplo de b.

Un número primo es aquel que tiene como únicos divisores el 1 y él mismo. En caso

contrario se dice que el número es compuesto.

El orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente:

1.- Paréntesis.

2.- Multiplicaciones y divisiones. Si hay varias se opera de izquierda a

derecha.

3.- Sumas y restas. Si hay varias se opera de izquierda a derecha.

Descomposición factorial

Llamamos descomposición factorial o descomposición en factores primos a la forma

de expresar un número como producto de potencias de los números primos que lo componen.

Ejemplos

• 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3

• 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 3

2

Veamos cómo se consigue la factorización de un número.

Tomemos como ejemplo el número 120:

1. Dividimos el número 120 entre el menor número primo posible. En nuestro caso,

como 120 es par, se puede dividir entre 2: 120 : 2 = 60

2. Seguimos dividiendo entre ese primo hasta que el resultado deje de ser divisible.

Como 60 es par se puede dividir nuevamente entre 2: 60 : 2 = 30. Volvemos a

dividir entre 2, 30 : 2 = 15

3. Como 15 ya no se puede seguir dividiendo entre 2, buscamos el siguiente número

primo, que es 3. 1 + 5 = 6, como es múltiplo de 3, 15 se puede dividir entre 3:

15 : 3 = 5

4. El resultado ya sólo es divisible entre 5, que es el último primo que compone a 120.

Criterios de Divisibilidad

Un número es divisible entre 2 si es par, es decir, si acaba en 0, 2, 4, 6 u 8.

Un número es divisible entre 3 si es la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Un número es divisible entre 4 si las dos últimas cifras son 00 o son múltiplo de 4.

Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó 5.

Un número es divisible entre 6 si lo es de 2 y de3 a la vez.

Un número es divisible entre 8 si las tres últimas cifras son 000 o son múltiplo de 8.

Un número es divisible por 9 si es la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Un número es divisible entre 10 si acaba en 0.

Un número es divisible entre 11 si al sumar las cifras que ocupan posición impar y restarle

las que ocupan posición par el resultado es 0 u 11.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (mcm) de un conjunto de números es el menor de los

múltiplos comunes de esos números.

Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 8 y 12.

Múltiplos de 8 → 8, 16, 24, 32, 40, 48 ... Múltiplos de 12 → 12, 24, 36, 48 ...

Múltiplos comunes → 24, 48, 72...

Por lo tanto, mcm(8, 12) = 24

Para obtener el mínimo común múltiplo de varios números existe un método más rápido

que se basa en la descomposición factorial. El cálculo se realiza siguiendo los siguientes pasos:

1. Obtenemos la descomposición factorial de todos los números.

2. Tomamos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente.

El mínimo común múltiplo será el producto de todos estos números.

3. Calcula el mínimo común múltiplo de:

a) 4 y 9 b) 6 y 8 c) 8 y 10 d) 30 y 15

4. Calcula el mínimo común múltiplo de:

a) 16 y 18 b) 12 y 18 c) 14 y 36 d) 100 y 220

5. Andrés y María van al cine cada 4 y 6 semanas respectivamente. Si fueron al cine juntos el

sábado pasado, ¿cuántas semanas pasarán hasta que vuelvan a coincidir juntos en el cine?

6. Calcula el mínimo común múltiplo de:

a) 4, 8 y 24 b) 8, 12 y 36 c) 60, 90 y 150

7. Explica por qué si 10 es múltiplo de 2 y 5, 30 también lo es.

8. Obtén los múltiplos comunes a 3 y 5 que estén entre 65 y 90.

Máximo común divisor

El máximo común divisor (MCD) de un conjunto de números es el mayor de los

divisores comunes de esos números.

Ejemplo: Calcular el máximo común divisor de 8 y 12.

Divisores de 8 → 1, 2, 4, 8 Divisores de 12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12

Divisores comunes → 1, 2 y 4

Por lo tanto, MCD(8, 12) = 4

Al igual que para calcular el mcm, se puede utilizar el método de factorización para

resolver de manera sencilla el cálculo del máximo común divisor. El cálculo se realiza

siguiendo los siguientes pasos:

1. Obtenemos la descomposición factorial de todos los números.

2. Tomamos los factores primos comunes con el menor exponente. El máximo común

divisor será el producto de todos estos números.

Si dos números no tienen divisores comunes se dice que son primos entre si

Ejercicios:

9. Calcula el máximo común divisor de:

a) 4 y 9 b) 6 y 8 c) 8 y 10 d) 30 y 15

10. Calcula el máximo común divisor de:

a) 16 y 18 b) 12 y 18 c) 14 y 36 d) 100 y 220

11. Tenemos 20 caramelos de fresa, 30 caramelos de menta y 15 caramelos de nata. Queremos

guardarlos en bolsas iguales, lo más grandes posible, y de manera que los sabores no se mezclen.

¿Cuántos caramelos contendrá cada bolsa? ¿Cuántas bolsas de cada sabor usaré?

12. Calcula el máximo común divisor de:

a) 4, 8 y 24 b) 8, 12 y 36 c) 60, 90 y 150

2.- Números Enteros

El conjunto de los números enteros (Z) está compuesto por los números negativos y

los números naturales.

Z = {... –100..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5..., +100...}

2.1.Representación de los números enteros en la recta

En la recta el cero marca el origen. A la izquierda del cero aparecerán los números enteros

negativos y a la derecha del cero los números enteros positivos, es decir, los números naturales.

2.2. Opuesto de un número entero

Todo número entero tiene su opuesto, que se corresponde con el simétrico respecto del

0. Por ejemplo, el opuesto de –3 es 3 y el opuesto de 5 es –5.

2.3. Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el mismo número sin el signo. Por tanto, el

valor absoluto de un número es siempre positivo:

• El valor absoluto de un número positivo es él mismo.

• El valor absoluto de un número negativo es su opuesto.

• |+5| = 5 • |–3| = 3 • |18| = 18

2.4 Operaciones con números enteros

2.4.1. Suma y resta de números enteros

Las reglas básicas para sumar y restar números enteros son las siguientes:

1. Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los

números y se deja el signo que tienen.

(+a) + (+b) = +(a + b) (–a) + (–b) = –(a + b)

2. Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de los

números y se deja el signo del que tenga mayor valor absoluto.

(+a) + (–b) = +(a – b) si |a| > |b| (+7) + (-4) = + ( 7 – 4 )

(+a) + (–b) = –(b – a) si |b| > |a| (+3) + (-9) = - ( 9 – 3 )

3. La resta de dos números enteros es la suma del primero más el opuesto del segundo.

(+a) – (+b) = (+a) + (–b) (+3) – (+7) = (+3) + (-7) = + 3 - 7

(+a) – (–b) = (+a) + (+b) (-4) – (-8) = (-4) + (+8) = -4 + 8

Ejemplos

• (+3) + (+5) = 3 + 5 = 8

• (+4) + (–3) = 4 – 3 = 1

• (–5) – (+ 4) = –5 – 4 = –9

• (+16) – (+12) – (–12) – (+32) = 16 – 12 + 12 – 32 = (16 + 12) – (12 + 32) = 28 – 44 = –16

• 12 + 13 – 8 + 5 +17 = (12 + 13 + 5 + 17) – 8 = 47 – 8 = 39

• –13 – 15 + 14 – 8 = 14 – (13 + 15 + 8) = 14 – 36 = – 22

Ejercicios:

13. Opera:

a) (+4) + (+3) c) (–5) + (+1) e) (–8) + (–2)

b) (+3) + (–5) d) (+1) + (+9) f) (–6) + (–4)

14. Resuelve las siguientes restas de números enteros:

a) (+5) – (+1) c) (–7) – (–9) e) (–21) – (+23)

b) (+6) – (+3) d) (+1) – (+11) f) (–5) – (–4)

15. Realiza las siguientes operaciones de sumas y restas:

a) 11 + 3 – 18 + 3 +7 c) –3 – 1 + 5 – 18 e) 15 + 1 + 17 – 2 – 4

b) –3 – 15 + 15 + 16 d) 3 + 8 + 5 – 4 + 9 f) 35 + 21 – 6 + 27 + 4

16. Resuelve las operaciones con paréntesis:

a) –(3 – 5 + 15) + (6 – 5 + 13) c) +4 – 8 + (5 + 6 + 7) – (10 – 4)

b) (2 + 3 – 4) – (5 +7) – (3 – 5 + 2) d) (–4 + 2 + 5) – (16 – 3 + 15)

2.4.2.Producto de números enteros

Para multiplicar números enteros tenemos que:

1. Multiplicar los valores absolutos de los números.

2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos.

Ejemplos

• (+2) · (+4) = +8

• (+8) · (–3) = –24

• (–5) · (–4) = +20

• (+2) · (–3) · (–4) = (+ · – · –) (2 · 3 · 4) =

+24

• (–3) · (–5) · (–3) = –45

• (–7) · (+2) · (–3) = +42

2.4.3.División de números enteros

Para dividir números enteros tenemos que:

1. Dividir los valores absolutos de los números.

2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos.

Ejemplos

• (+4) : (+2) = +2

• (+8) : (–4) = –2

• (–55) : (–5) = +11

• (+20) : (–2) : (–5) = (+ : – : –) (20 : 2 : 5)

= +2

• (–30) : (–5) : (–3) = –2

• (–70) : (+2) : (–7) = +5

Ejercicios:

17. Opera los siguientes productos de números enteros:

a) (+1) · (+5) c) (–16) · (–2) e) (–2) · (+2)

b) (+18) · (+3) d) (+6) · (+2) f) (–5) · (–14)

18. Opera las siguientes divisiones de números enteros:

a) (+10) : (+5) c) (–16) : (–2) e) (–2) : (+2)

b) (+18) : (+3) d) (+6) : (+2) f) (–50) : (–10)

19. Realiza las siguientes operaciones:

a) (+2) · (–3) · (+5) c) (+27) : (–3) : (+3)

b) (–4) · (+3) · (–14) d) (–40) : (+8) : (–5)

2.5. Potencias de números enteros

Una potencia es la forma abreviada de representar un número multiplicado varias veces

4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 45

Elementos de una potencia

Dada una potencia an:

• La base es el factor que se está multiplicando (a).

• El exponente es el número de veces que se multiplica

el factor (n).

Ejemplos

• 2 · 2 = 22 → Se lee 2 elevado a 2 ó 2 al cuadrado → Su valor es 4.

• 4 · 4 · 4 = 43 → Se lee 4 elevado a 3 ó 4 al cubo → Su valor es 64.

• 6 · 6 · 6 · 6 = 64 → Se lee 6 elevado a 4 ó 6 a la cuarta → Su valor

es 1.296.

2.5.1. Potencias de números negativos

El signo de una potencia de base negativa es positivo si el exponente es par y negativo

si el exponente es impar.

nnn baba )(

mnmn aaa

nnn baba )(

mnmn aaa

mnmn aa )(

Ejemplos

• (–2)2 = (–2) · (–2) = +4

• (–4)3 = (–4) · (–4) · (–4) = –64

• (–6)4 = (–6) · (–6) · (–6) · (–6) = 1.296

• (–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243

Ejercicios

20. Calcula el resultado de las siguientes potencias:

a) (–5)2 b) (–6)

3 c) (–9)

4 d) (–3)

3 e) (–7)

1

2.5.2. Operaciones con potencias

Producto de potencias

Producto de potencias de distinta base y mismo exponente

Para multiplicar dos potencias de distinta base y el

mismo exponente se multiplican las bases y se deja el

exponente.

Producto de potencias de la misma base

El resultado de multiplicar potencias de la misma

base es otra potencia de igual base y de exponente la suma

de los exponentes.

Cociente de potencias

Cociente de potencias de distinta base y mismo exponente

Para dividir dos potencias de distinta base y el mismo exponente se dividen las bases y

se deja el exponente.

Cociente de potencias de la misma base

El resultado de dividir potencias de la misma base es otra potencia de igual base y de

exponente la diferencia de los exponentes.

Potencia de una potencia

El resultado de operar una potencia de potencia es otra potencia de igual base y

exponente el producto de los exponentes.

Ejemplos:

• 43 · 2

3 = (4 · 2)

3 = 83

• 53 · 6

3 = (5 · 6)

3 = 303

• 63 · 6

2 = 6

3+2 = 65

• 27 · 2

3 = 2

7+3 = 210

• 96 : 3

6 = (9 : 3)

6 = 36

• 84 : 4

4 = (8 : 4)

4 = 24

• 37 : 3

2 = 3

7–2 = 35

• 83 : 8

2 = 8

3–2 = 81

• (65)

2 = 6

5·2 = 610

• (53)

4 = 5

3·4 = 512

Ejercicios

21. Opera:

a) 33 · 3

4 b) 7

4 · 7 c) 2

3 · 4

3 d) 3

2 · 5

2

22. Opera:

a) 42 : 4 b) 7

7 : 7

4 c) 12

4 : 3

4 d) 1

5 : 1

2

23. Opera:

a) (52)

6 b) (4

4)

4 c) (8

3)

3 d) (12

3)

0

24. Calcula el resultado:

a) 32 · 3

2 b) 2

2 · 2

2 · 2

2 c) (5

4 : 5

2)

3 d) (6

2 · 6)

3

3.- Números Racionales

El tipo de números que nos indican una parte de un todo

reciben el nombre de números racionales. El conjunto de estos

números se representa con la letra Q.

Podemos decir que una fracción es el cociente entre dos números. b

a

Todo número entero admite una expresión racional:

cualquier número entero a admite la expresión racional 1

a. De

esto se deduce que los números enteros están contenidos en los

racionales.

3.1. Tipos de Fracciones

Fracción propia: es una fracción cuyo numerador es menor que el denominador y que, al hacer

el cociente, resulta un número menor que la unidad

Fracción impropia: es una fracción cuyo numerador es mayor que el denominador

y cuyo cociente es mayor que la unidad.

Con las fracciones impropias se pueden dar los dos casos siguientes:

Caso 1: el numerador es un múltiplo del denominador. En este caso tenemos un número

entero.

Caso 2: el numerador no es múltiplo del denominador. En este caso aparece el concepto

de número mixto. Un número mixto es un número racional que consta de parte entera y

parte fraccionaria.

3.2. Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si y sólo si representan el mismo valor. O dicho de otra

manera si el producto de medios es igual al producto de extremos

cbdad

c

b

a 9466

6

9

4

6

Consideremos las fracciones 4

3y

20

15. Vamos a observar las siguientes operaciones:

20

15

54

53

4

3

520

515

En el primer caso diremos que hemos amplificado las fracción 4

3 y que hemos

encontrado una fracción equivalente. En el segundo caso diremos que hemos simplificado la

fracción 20

15.

Para simplificar una fracción dividiremos numerador y denominador por su máximo

común divisor.

La fracción b

a es irreducible si y solo si el numerador y el denominador son primos entre sí. Por

ejemplo: 4

3,

4

13,

41

12,

17

5, …

Ejercicios

25. De las siguientes fracciones , indica cuales son equivalentes:

a) 6

10

6

5y b)

6

12

7

4y c)

50

15

25

3y d)

36

8

9

2y

26. Simplifica las siguientes fracciones utilizando los dos métodos:

a) 120

60 b)

49

28 c)

2160

432 d)

96

84 e)

32

30

3.3. Suma y resta de números racionales

3.3.1 Fracciones con igual denominador

Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los

numeradores y se conserva el mismo denominador.

7

5

7

32

7

3

7

2

3.3.2. Fracciones con distinto denominador

Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador, las reducimos a

denominador común y después sumamos o restamos los numeradores.

35

31

35

2110

35

21

35

10

35

3)535(

35

2)735(

5

3

7

2

Ejercicios:

3.4. Producto y Cociente de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los

numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

db

ca

d

c

b

a

35

6

57

32

5

3

7

2

Dada una fracción b

a con b ≠ 0, su inversa es la fracción

a

b

Para dividir la fracción b

a entre la fracción

d

cmultiplicamos la fracción

b

apor la

inversa de d

c

cb

da

d

c

b

a

21

10

37

52

5

3

7

2

Ejercicios

4.- Números Decimales

Los números decimales expresan cantidades con unidades incompletas.

Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una

parte decimal, situada la derecha .

Parte Entera Parte Decimal

Decena Unidades decimas centésimas milésimas diezmilésimas

3 7, 0 9 0 7

37,0907 → Treinta y siete unidades novecientas siete diezmilésimas.

Tipos de números decimales.

Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de cifras decimales.

Un número decimal es periódico si tiene infinitas cifras decimales y, además , una o

varias de ellas se repiten periódicamente. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llaman

periodo.

-Si el periodo empieza inmediatamente después de la coma, es un decimal periódico

puro.

- En caso contrario, es un decimal periódico mixto. La cifra o cifras decimales que no

se repiten llaman anteperiodo.

Un número decimal es no exacto y no periódico si tiene infinitas cifras decimales y

ninguna de ellas se repite periódicamente.

Ejemplos:

12,152 → Decimal exacto

12,6666666… = 12,6 → Decimal periódico puro

42,32515151515… = 42,3251 → Decimal periódico mixto

782,145563569854115…. → Decimal ni exacto ni periódico,

Ejercicios:

27. Indica la parte entera, la decimal, el periodo y el anteperiodo

a) 0.3333333 b) 234,4562525… c) 3,37888… d) 0,012333…

28. Clasifica los siguientes números decimales

a) 2.022333… b) 1.236 c) 0.252525… d) 2.3658489697…

Paso de Fracción a Número Decimal

Cualquier fracción, dividiendo su numerador entre su denominador, puede expresarse

mediante:

- Un número entero, si el numerador es múltiplo del denominador.

- Un número decimal exacto, cuando su denominador solo tiene como factores2, 5 o

ambos números.

- Un número decimal periódico, en caso de que no ocurra ninguno de las condiciones

anteriores.

Paso de decimal a fracción

La fracción generatriz de un numero decimal es la fracción irreducible tal que, al

dividir el numerador entre el denominador, el resultado es ese número decimal.

Decimal Exacto

Llamamos N al número decimal 39.6N

Multiplicamos ambos miembros por la unidad

seguida de tantos ceros como cifras decimales

haya 639100

39.6100100

N

N

Despejamos N, obteniendo la fracción

buscada GeneratrizFracción

N

100

63939.6

100

639

Decimal Periódico Puro

Llamamos N al número decimal 56.4

N

Multiplicamos ambos miembros por la unidad

seguida de tantos ceros como cifras tiene el

periodo 56.465100

56.4100100

N

N

Restamos a este resultado el primer número.

46199

56.465100

56.465100

N

N

N

Despejamos N, obteniendo la fracción

buscada GeneratrizFracción

N

99

46156.4

99

461

Decimal Periódico Mixto

Llamamos N al número decimal 547.3

N

Multiplicamos ambos miembros por la unidad

seguida de tantos ceros como cifras tiene el

anteperiodo 54.3710

547.31010

N

N

Multiplicamos ambos miembros por la unidad

seguida de tantos ceros como cifras tiene el

periodo 54.37451000

547.310010100

N

N

A este resultado restamos el primero.

3708990

54.3710

54.37451000

N

N

N

Despejamos N, obteniendo la fracción

buscada GeneratrizFracción

N

56

206547.3

56

206

990

3708

Ejercicios

29. Sin realizar la división, clasifica estas fracciones. Explica por qué.

a) 3

5 b)

6

7 c)

5

9 d)

25

175

e) 240

111 f)

17

85 g)

6

17 h)

222

84

30. Clasifica y calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales.

a) 25,1 b) 52,1

c) 52,1

d) 524,3

e) 524,3

f) 542,3

h) 425,3 i) 9.0 j) 36.15

k) 200.3

l) 63.7

m) 978,4