Unidad 1. Transformada de Laplace

Matemticas Aplicadas a la Ingeniera Unidad 1. Transformada de Laplace

Ciencias de la Salud Biolgicas y Ambientales | Ingeniera en Biotecnologa

Ingeniera en Biotecnologa

Noveno cuatrimestre

Matemticas aplicadas a la ingeniera

Unidad 1. Transformada de Laplace

Clave

190930934

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico



ndice

Presentacin de la unidad .............................................................................................. 3

Propsitos ...................................................................................................................... 3

Competencia especfica ................................................................................................. 3

1. Transformada de Laplace ........................................................................................... 4

1.1. Definicin y clculo de la transformada de Laplace .............................................. 4

Actividad 1 ................................................................................................................... 14

1.2. La transformada inversa de Laplace .................................................................. 43

Actividad 2 ................................................................................................................ 59

1.3. Aplicaciones de la transformada de Laplace ...................................................... 60

Actividad 3 ................................................................................................................... 72

Autoevaluacin ......................................................................................................... 72

Evidencia de aprendizaje. Solucin de problemas aplicados a la Biotecnologa ....... 75

Cierre de la unidad ................................................................................................... 76

Para saber ms ........................................................................................................ 76

Fuentes de consulta ................................................................................................. 76



Presentacin de la unidad

Mucho de los modelos que se estudian en biotecnologa se resuelven a travs de una

ecuacin diferencial, Qu herramientas crees que utiliza para resolver dichas

ecuaciones?, una respuesta adecuada a la pregunta anteriores es la transformada de

Laplace. En esta unidad se presenta un breve estudio sobre la transformada de Laplace,

comenzando con su definicin, sus propiedades y las trasformadas de algunas funciones

bsicas. Posteriormente se estudia el concepto de transformada inversa de Laplace, junto

con sus propiedades.

Para finalizar, se expone la aplicacin de la transformada de Laplace a la solucin de

ecuaciones diferenciales.

Propsitos

Calcular la transformada de Laplace de una funcin.

Calcular la transformada inversa de Laplace de una

funcin.

Aplicar la transformada de Laplace a la solucin de ecuaciones diferenciales.

Competencia especfica

Aplicar la transformada de Laplace, mediante la resolucin de problemas, para el anlisis de procesos dinmicos



1. Transformada de Laplace

Una de las herramientas ms poderosas que existe en las

matemticas que se aplican a la ingeniera son las

transformadas integrales, estas consisten en transformar

funciones por medio de integrales. La transformada de Laplace

tiene sus orgenes en el ao 1744, cuando el matemtico suizo

Leonard Euler presenta la solucin de ecuaciones diferenciales

en trminos de integrales. La idea de representar una funcin

por medio de una integral es tomada por el fsico-matemtico

talo-francs Joseph-Louis de Lagrange en el estudio del

clculo de la probabilidad de un evento. Pierre Simon Laplace.

Esta forma de representar a una funcin influy en el matemtico francs Pierre-Simon

Laplace en sus estudios sobre ecuaciones diferenciales, y es debido a los mismos que la

transformacin integral toma el nombre de Laplace.

1.1. Definicin y clculo de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace se aplica a funciones reales que dependen de un tiempo, es

decir, cuando la variable est definida para valores positivos. Hay que mencionar que no

todas las funciones tienen transformada de Laplace.

1.1.1. Definicin de la transformada de Laplace

Dada una funcin f de valores reales definida sobre la variable 0t y s una variable

real. Se define la Transformada de Laplace de ( )f t por la integral impropia

( ) ( )0

stf t f t e dt

L

Partiendo del hecho que:

lima a

b

bf t dt f t dt



Cuando el lmite anterior existe se dice que la integral converge, en caso contrario se

dice que la integral diverge. En consecuencia la transformada de Laplace se obtiene

calculando:

( ) lim ( )0

b

b

stf t f t e dt

L

Hay que observar que la transformada de Laplace de la funcin ( )f t es una funcin de la

variable s , por simplicidad se denota por F s , es decir ( ) ( )f t F sL , donde F s

estar definida para todos los valores s tal que el lmite lim ( )0

sb

t

bf t e dt

existe.

Ahora se presentan algunos ejemplos de la transformada de Laplace de algunas

funciones obtenidas a partir de la definicin de la misma.

Ejemplo: Dada la funcin ( ) 1f t para toda 0,t . Calcular ( )f tL .

Solucin: Para resolver este ejemplo, basta aplicar la definicin del siguiente modo:

0 0

0

lim lim

lim

(t) 1 (1)

1 1 1lim

stst st

b b

sbsb

b b

bb e

dt df e es

s s s s

t

ee

L L

Observacin: La definicin de la transformada de Laplace de , requiere integrar

la funcin , en muchos casos, esta integral requiere la tcnica de integracin

por partes. Un lmite importante que hay que tener en cuenta es cuando

. Grficamente se tiene lo siguiente:



Por la observacin anterior, hay que tomar en cuenta que 0lim sbb

e

cuando 0s . Por lo

tanto 1

1 ( )F ss

L cuando 0s . Grficamente se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Dada la funcin ( ) 2 1f t t para toda 0,t . Calcular ( )f tL .

Solucin: Para resolver este ejemplo, basta aplicar la definicin del siguiente modo:

0 0

( ) 2 l m2 i1 1 2 1st stb

b

dtf t t t e t e dt

L L

Como lo menciona la observacin anterior, para calcular la integral 2 1 stdt te se utiliza

integracin por partes cuya frmula es udv uv vdu , tomando 2 1u t y stdv e dt

entonces 2du dt y 1 stes

v , en consecuencia:

2

2

1 12 12 1

2

2

2

12 1

12 1

2 2

st st st

st st

st st

st

udv uv vdu

dt t e e dtt e

dts

s

s s

t e es

t e es

es st

s



Evaluando la integral anterior de 0 a b se tiene que:

2 2 200

12 22 2 21 2

b bst sbst e edt st e st s sb s

s s s

Tomando b se llega al siguiente resultado:

0

2 2

2 2

2

2 21

lim 2 1 lim

1l

2

2 2

2 1

im 2

sb

b b

bst

sb

b

edt s sb s

s s

es sb s

s

t

s

s

e

s

ya que 2

im 2l 02sb

b

es sb

s

cuando 0s . Por lo tanto

2

2 1( )f t F s

s s L para

0s . Grficamente se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Dada la funcin ( ) sen 3f t t para toda 0,t . Calcular ( )f tL .

Solucin: Hay que aplicar la definicin del siguiente modo:

0 0

(t) sen 3 lisen 3 senm 3stb

st

bf t t dt dte t e

L L



Utilizando la frmula udv uv vdu , cuando sen 3u t y stdv e dt entonces

3cos 3du t dt y 1 stes


1 13cos

1cos

sen 3 sen 3 3

3sen 3 3

st st st

st st

dt e e dts

t e t ts

e es

t t dts

Aplicando nuevamente integracin por parte a cos 3 stet dt , cuando cos 3u t y

stdv e dt entonces 3sen 3du t dt y 1 stes


cos 3 3 3

33 sen

1 1cos 3sen

1cos 3

st st st

st st

t e t t

t t dts

dt e e dts s

e es

Lo que implica:

2 2

3sen 3 sen 3 3

3 3sen 3 3 sen 3

3 9sen 3 3 s

1cos

1

en 3

1cos

1cos

st st st

st st st

st st st

t e t t dts

t t t dt

dt e es

s s

t t t d

e e es s

e e es s

ts

Despejando sen 3 stt e dt en la relacin anterior se tiene:

2 2

2 2

2

2 2

2 2

9 3sen 3 sen 3 sen 3 3

9 31 sen 3

1cos

1cos

1cos

sen 3 3

3sen 3 sen 3 3

9

3sen 3 sen 3 3

9 9cos

st st st st

st st st

st st st

st st st

t e t dt t ts

t dt t t

dt e e es s

e es

st dt t t

s

st d

es s

e e e

t t ts s

s s

e e e



Evaluando la integral anterior de 0 a b se tiene que:

2

2

0

2

0

2 2 2

3sen 3 sen 3 3

9 9

3

cos

cos co3

sen 3 3 sen 0 09 9 9

s9

b

st st st

sb sb

bs

t e t ts s

s sb b

s s s s

dt e e

e e

Cuando b se tiene que:

2 2

3sen 0 cos3 3

9 90ysb sb

sb e eb

s s

Por lo tanto 23

9F s

s

para 0s . Grficamente se tiene lo siguiente:

Se dice que una funcin ( )f t definida en un intervalo ,a b , es continua a pedazos si y

solo si existe un nmeros finito de discontinuidades entre a y b y en tales

discontinuidades los limites unilaterales son finitos. Grficamente se una funcin continua

a pedazos se ve de la siguiente forma:



Ahora toca el turno de presentar ejemplos de la transformada de Laplace de funciones

definidas en pedazos.

Ejemplo: Dada la funcin

3 0( )

cos(2 ) 1

1t tf t

t t

Calcular ( )f tL .

Solucin: Como en los ejemplos anteriores, hay que aplicar la definicin de

transformada de Laplace, teniendo en cuenta como se secciona la integral:

00

1

1

3 co( 2) s( ) st st stdt t e df t f t e t t dte

L

Aplicando integracin por partes se tienen las siguientes igualdades:

2 23 cos 23

1 cos 2 2sen 24

yst st

st stt e te e

dt st dt s t ts

es

Evaluando la primera integral se tiene:

11

0

2 2 2

0

3 3 313 1

st sst e edt st

st

s se s

Evaluando la segunda integral se tiene:

2

1

2 2

1

cos 2 2sen 24

cos 2 2sen 2 cos 2 2

cos 2

sen 24 4

bst

st

sb

b

s

edt s t t

s

e es b

t e

b ss s

Haciendo b se tiene que



1

2 2

2 2

2

1

cos 2 2sen 2 cos 2 2sen 24 4

cos 2 2sen 2 cos 2 2sen 24 4

cos 2 2sen

cos 2 lim cos 2

lim

lim

2 04

, cuando

st st

sb

b

b

b

s

s

b

s

sb

dt t dt

e es b b s

s s

e es b b s

s s

es

e e

ss

t

Por lo tanto 2 2 23 3

1 cos 2 2sen 24

s se esF s s

s s s

, para 0s .

Grficamente se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Dada la funcin

2 0( )

0 2

2t tf t

t

Calcular ( )f tL .

Solucin: Se procede de manera similar al ejemplo anterior del siguiente modo:

0

2 2

0 2 0

( ) ( ) 2 0 2st st st stdt t e dtf t f t e dt de t e t

L

Por medio de la integracin por parte se tiene que:

2

2 1 2st

stt e dt s ts

e



Evaluando de 0 a 2 la integral anterior se tiene:

22 2

2 2 2

0 0

2 1 2 11

2st s

stt e dt s t ss s s

e e

.

Por lo tanto 2

2 22

11

seF s

s ss

, con 0s . Grficamente se tiene:

Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la funcin ( )f t con 0t , cuya

grfica se presenta en la siguiente figura:

Solucin: La dificultad que presenta este ejemplo radica en el hecho que no se da

la regla de correspondencia de la funcin, esta hay que encontrarla, para ello hay que

observar lo siguiente:

En el intervalo 0,2 la grfica de ( )f t es el segmento de recta que va del punto

0,0 al punto 2,2 , aplicando la frmula de la ecuacin de la recta que pasa por

dos puntos se tiene que la relacin buscada es y t .



En el intervalo 2,3 la grfica de ( )f t es el segmento de recta que va del punto

2,2 al punto 3,1 , aplicando la frmula de la ecuacin de la recta que pasa por

dos puntos se tiene que la relacin buscada es 4y t .

En el intervalo 3, la grfica de ( )f t es el segmento de recta horizontal a altura

1 , as la relacin buscada es 1y .

Por consiguiente la funcin ( )f t est dada por la siguiente regla de correspondencia:

0 2

( ) 4 2

1 3

3t

t t

f t t

t

Aplicando la definicin de transformada de Laplace se tiene lo siguiente:

2 3

0 0 2 3

( ) ( ) 4 1st st st stf t f t e dt t e dt t e dt e dt

L

Las primeras dos integrales se calculan aplicando integracin por partes, lo que permite

obtener las siguientes igualdades:

2 21 4 1 4yst st

st stte t st te

e t ss

ed t

sd

Evaluando cada integral en los parmetros antes presentados se tiene:

3222 2

0

3

2

1 1 21 1 24y

s ss

st sts e se s

te t t e ts

ds

ed

Finalmente la tercera integral se calcula directamente del siguiente modo: Cuando 0s

3

3

3

3

3

1 1 1 1lim lim lim

b

st st st sb s s

b

b b be dt e dt e e e e

s s s s

Por lo tanto

2 33 22 2 2

2 1 2 1 31 3( )

4s ss s e s se e

s s s

e

sF

ss



Actividad 1. Solucin de la transformada de Laplace

1. Busca algunas funciones ( )f t que satisfagan la condicin lim ( ) 0sb

bf b e

.

2. Si se consideran dos funciones que cumplen con la condicin anterior: Crees que su suma tambin cumple dicha condicin? Qu crees que un mltiplo escalar de tales funciones tambin lo cumplen?

3. Sube tus respuestas al foro y compralas con las de tus compaeros. Realiza los comentarios que consideres pertinentes.

1.1.2. Propiedades bsicas y existencia de la transformada de Laplace

Como se mencion anteriormente, no todas las funciones tienen transformada de

Laplace: por ejemplo si se considera la funcin 22( ) tf t e definida para 0t , en

consecuencia para toda s se cumple

2 2

0 0 0

2 2( ) st t st t stf t e e e edt dt dt

Por lo tanto 22teL no existe. Una pregunta natural que te puedes plantear en este

momento es la siguiente: qu condiciones debe de tener una funcin para garantizar

la existencia de su transformada de Laplace?, Si se observa el ltimo ejemplo de la

seccin anterior, la transformada existe porque

2

im 2l 02sb

b

es sb

s

Lo cual no se ve inmediatamente. La funcin 2

2 2sbe

s sbs

es el producto de las

funciones 2

sbe

s

y 2 2s sb , partiendo del hecho que 0s , se tiene que

2lim 0 lim 2 2ysb

b b

es sb

s



Dado que 2

im 2l 02sb

b

es sb

s

significa que la funcin exponencial

2

sbe

s

domina a la

funcin polinomial 2 2s sb . Este es un ejemplo de lo que se necesita para garantizar

la existencia de la transformada de Laplace.

Primero, se dice que una funcin ( )f t es de orden exponencial cuando t si

existen ,N M , con 0M , tales que ( ) tf t Me para todo t N . Intuitivamente, la

definicin anterior dice que una funcin es de orden exponencial si esta es dominada por

una exponencial.

Ejemplo: Todo polinomio con coeficientes reales es una funcin de orden

exponencial.

El siguiente resultado presenta las condiciones de suficiencia para garantizar la

existencia de la transformada de Laplace.

Debes de tener claro que el resultado anterior es de suficiencia, esto quiere decir, que

hay funciones que no cumplen lo anterior pero que s tienen transformada de

Laplace.

Por la forma en cmo se define la transformada de Laplace, si dos funciones ( )f t y ( )g t

definidas para 0t , difieren solo en nmero finito de punto entonces ( ) ( )F s G s . De

manera inversa, se puede mostrar que si dos funciones ( )f t y ( )g t satisfacen que

( ) ( )F s G s entonces ( ) ( )f t g t salvo un conjunto finito de puntos. Por consiguiente se

tiene el siguiente resultado:

Teorema: Dada una funcin definida para que satisface las siguientes

condiciones: es continua a pedazos en el intervalo cerrado finito y es de

orden exponencial en , entonces la transformada de Laplace

existe para todo .



Debido a que la transformada de Laplace se define en trminos de una integral, muchas

de las propiedades de la integral se heredan a la transformada de Laplace. En un principio

se parte del hecho de que todas las funciones presentadas tienen transformada de

Laplace.

Para dos funciones reales ( )f t y ( )g t definidas para toda 0t se tiene que:

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

st st stf t g s f t g s e f t edt dt dtg s e

f t g t

L

L L

Adems, para c se tiene lo siguiente:

0 0

( ) ( ) ( ) ( )st stdcf t cf t e c f t e c f tt dt

L L

Las dos relaciones anteriores juntas toman el nombre de propiedad de linealidad, es

decir:

( ) ( ) ( ) ( )cf t g t cF s G s L

Ejemplo: En la seccin anterior se calcul por definicin 2 1t L , sin embargo, la

propiedad anterior garantiza que puede tomar el siguiente camino:

2 1 2 1 2 1t t t L L L -L L

As, conociendo tL y 1L puede obtener 2 1t L .

Antes de continuar recuerda que cuando en una funcin ( )f x la variable x se sustituye

por x a (en smbolos x x a ) para a , se obtiene una nueva funcin definida por

f x a y su grfica es la traslacin a unidades de la grfica de ( )f x . Concretamente,

cuando 0a la grfica se traslada hacia la derecha, si 0a la grfica se traslada hacia la

izquierda.

Teorema: Dada una funcin definida para si existe entonces

es nica.



Ejemplos: A partir de la grfica funcin 2 1( )f x x , graficar la funcin que resulta de

sustituir 3x x .

Solucin: Se tiene que la grfica de la funcin 2 1( )f x x es la siguiente:

Cuando se realiza la sustitucin 3x x , la nueva funcin que se obtiene es

2 2 21( 3) 3 6 9 1 6 8f x x x xx x

La grfica se tiene que trasladar 3 unidades hacia la derecha, en consecuencia la grfica

buscada es la siguiente:



En resumen se tiene lo siguiente:

Las siguientes propiedades se conocen como propiedades de traslacin, para presentar

dichas propiedades hay que recordar que

0

( ) ( ) ( )stdtf t f t e F s

L

Observa que la variable s se obtiene de la expresin ste .

La primera propiedad de traslacin es la siguiente: Dado 0a entonces

(0 00

)( ) ( ) ( ) ( )at at st at st s a te f t e f t e f t e dt e dt f td t

L

Observa que de la expresin ( )s a te se tiene la nueva variable s a en consecuencia

( )0

( () ( ) )at s a te f t f t e dt F s a

L

Ejemplo: Calcular 3 2 1te t L .

Solucin: Hay que observar que 3 2 1te t L tiene la forma ( )ate f tL , identificando objetos se tiene que 3a y ( ) 2 1f t t , como se vio en la seccin anterior

se present que 2

22

11

s st L , as

2

2s)

1(

sF

s . La propiedad afirma que hay que

realizar la sustitucin s s a , en este caso 3s s , por consiguiente:



3

22

3

2 1

31

12

2

3

t

s ss se

sst

L .

Ejemplo: Calcular 4 sen(3 )te tL .

Solucin: Hay que observar que 4 sen(3 )te tL tiene la forma ( )ate f tL donde

4a y ( ) sen(3 )f x t en consecuencia 2

3( )

9F s

s

. Entonces se tiene lo siguiente:

4 2 24

3 3sen(3 ) ( ) ( )

( 4)9 9

t at

s s

e t e f t F s as s

L L

Por lo tanto 4 23

sen(3 )258

t

se t

s

L .

Para la segunda propiedad de traslacin se define la funcin escaln unitario del

siguiente modo:

0 0

1 0

si

si

tt

t

U

Grficamente la funcin escaln unitario se presenta:

Adems en el primer ejemplo de la seccin anterior se muestra que 1

ts

L U .



Observa que cuando se multiplica una funcin definida sobre todos los nmeros reales

por la funcin escaln unitario, esta se anula para valores menores o iguales que cero y

se conserva para valores mayores a cero. De manera grfica se tiene lo siguiente:

La transformada de Laplace se aplica a funciones que estn definidas para valores

mayores a cero, estas funciones se pueden ver como una funcin multiplicada por la

funcin escaln unitario. Ahora se presentar la segunda propiedad de traslacin. Dado

0a se tiene lo siguiente:

0

( ) ( ) ( )st st

a

t a f t a t a f t a e f t a edt dt

U UL

Haciendo el cambio de variable u t a se tiene que t u a y du dt entonces

0 0

( ) ( ) ( ) ( )s u ast sa su sa

a

f t a e f u e e fdt d u e su ue Fd

Por lo tanto se tiene:

( ) ( )sat a f t a e F s L U

Ejemplo: Calcular 2x L U .

Solucin: La expresin 2t L U tiene la forma ( )t a f t a L U donde 2a

y ( ) 1f t , en la seccin anterior se present que 1

1s

L , as 1

( )F ss

. Esta propiedad

asegura que basta realizar el producto ( )ase F s , en este caso se tiene lo siguiente:

21

2 ( ) ( )as st t a f t a e F s es

L U UL



Por lo tanto 2

2se

ts

L U .

Como se mencion antes, cuando una funcin dada ( )f t es multiplicada por la funcin

escaln unitario tU esta se anula para 0t y se conserva para 0t , en

consecuencia, si ( )f t se multiplica por un traslado de la funcin escaln t aU , se

tiene que ( )f t t aU es nula para t a y toma el valor de ( )f t para t a , como lo

muestra la siguiente figura:

La propiedad de corte se obtiene del siguiente modo:

0

( ) ( ) ( )st st

a

dtf t t a f t t a e f dtt t a e

L U U U

Tomando u t a se tiene que du dt y adems:

0

( )

0

( ) ( ) ( )st s u

a

a as sf t t a e dt duf u a e e f u dua e

U

Por lo tanto

( ) ( )asf t t a e f t a L LU .

Ejemplo: Calcular cos(2 ) 3t t UL .

Solucin: La expresin 3t L U tiene la forma ( )f t t aL U donde 3a y( ) cos(2 )f t t , entonces aplicando la propiedad anterior:



3

3

cos(2

( ) ( )

3 cos 2 3

cos 2

)

6

as

s

s

f t t a e f t a

tt e t

e t

U

U

L L

L L

L

En la siguiente seccin se presentar como calcular cos 2 6t L de forma rpida.

La siguiente propiedad toma el nombre de propiedad de escalamiento: sea 0a ,

entonces:

0

( ) ( ) stf at f at de t

L

Haciendo u at implica que u

ta

y 1

dt dua

, en consecuencia:

0 0 0

1 1( ) ( ) ( )

u ss u

st a as

f at e f u e f u e Fa a a

dudt du

a

Es decir

1

( )s

f at Fa a

L

Ejemplo: Calcular sen(6 )tL .

Solucin: La expresin sen(6 )tL tiene la forma ( )f atL , para aprovechar el

tercer ejemplo presentado en la seccin anterior hay que hacer la identificacin 2a y

( ) sen(3 )f t t , donde 2

3sen(3 )

9t

s

L , lo que implica que 2

3

9F s

s

. En

consecuencia:

22 22

1 1 3 1 3 6sen(6 ) ( )

2 9 2 369

2

ss

st f at F

a a s ss

L L

Por lo tanto 2

6sen(6 )

36t

s

L .



Una funcin ( )f t es peridica y de periodo T si y solo si ( )f t f t T para todo 0t .

Esto quiere decir que una funcin peridica se repite despus de recorrer un intervalo de

longitud T . Grficamente una funcin peridica de periodo T se ve de la siguiente forma:

Ahora se presenta como encontrar la transformada de Laplace de una funcin ( )f t

peridica de periodo T :

0 0

( ) ( ) ( ) ( )st stT

T

stf dtt f t e f t e f tdt dte

L

Tomando la ltima integral y haciendo el cambio de variable u t T se tiene que du dt ,

luego:

0 0

( ) ( )s u Tst sT su sT

T

f t e f u T e e f u e edt du u f td

L

Sustituyendo lo anterior se tiene que:

0

0

0

( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

1( ) ( )

1

st sT

sT st

st

T

s

T

T

T

dt

dt

dt

f t f t e e f t

e f t f t e

f t f t ee

L L

L

L



Ejemplo: Calcular ( )f tL para la funcin peridica cuya grfica es la siguiente:

Solucin: Hay que observar que la funcin ( )f t es peridica y de periodo 4T ,

adems esta funcin se define del siguiente modo:

1 0 2(t) ( ) ( 4)

0 4

si y

si 2

tf f t f t

t

Aplicando la relacin 0

1( ) ( )

1

T

st

sTf t f t e

edt

L se tiene lo siguiente:

4

0 0

4

4 4

2

2

4 4

0

2 4

0 2

1 1( ) ( ) ( )

1 1

1 11 0

1 1

1 1 1 1 1

1 1

st st

sT s

st st

s s

st s

s s

T

f t f t e f t ee e

e ee

dt dt

dt dte

e ee s e s s

L

Por lo tanto 24

1 1 1( )

1

s

sf t e

e s s

L .

Ahora toca el turno de presentar la transformada de Laplace de la funcin derivada '( )f t

de ( )f t con para 0t , la definicin de transformada es:

0

'( ) '( ) stf t f t de t

L



Haciendo uso de la integracin por partes tomando stu e y '( )dv f t dt , esto implica que

stdu se dt y ( )v f t en consecuencia:

00 0

'( ) ( ) ( )st st stdt dtf t e f t e s f t e

Ahora para que la integral anterior sea finita se tiene que cumplir ( ) 0stf t e cuando

t , por consiguiente

0

'( ) (0) ( )stdtf t e f s f t

L

Por lo tanto

'( ) ( ) (0)f t sF s f L

Ejemplo: Calcular cos(3 )tL .

Solucin: Hay que observar que la expresin cos(3 )tL tiene la forma '( )f tL

donde '( ) cos(3 )f t t , en consecuencia 1

( ) sen(3 )3

f t t , esto implica que (0) 0f y

adems

2 21 1 1 3 1

( ) ( ) sen(3 ) sen(3 )3 3 3 9 9

F s f t t ts s

L L L

Finalmente sustituyendo en la relacin '( ) ( ) (0)f t sF s f L se tiene lo siguiente:

2 29 9

1cos(3 ) 0

st s

s s

L .

De manera similar, para la segunda derivada ''( )f t de una funcin ( )f t se tiene lo

siguiente:

0

''( ) ''( ) stdf f t e tt

L



Aplicando integracin por partes se tiene:

00

0

''( ) '( ) '( )st st stdtf t e f t e s f de tt

Observa que 0

'( ) '( )stdtf t e f t

L y que la integral anterior converge si '( ) 0stf t e

cuando t , en consecuencia:

0

''( ) ( ) ( )'(0) 0stdt ff t e s sF s f

Por lo tanto:

2''( ) ( ) '(0)(0)f t s F s sf f L

En general, por medio de induccin matemtica, se puede mostrar que para la n -sima

derivada ( ) ( )nf t de una funcin ( )f t se tiene que:

( ) 1 2 ( 2) ( 1)( ) (0) '(0) (0) (0) )(n n n n n nF s f s f s f s ff t s L

Ejemplo: Utilizando la propiedad de la transformada de una derivada calcular

cos(4 )tL

Solucin: Hay que observar que la funcin ( ) cos(4 )f t t satisface la relacin

''( ) 16 ( ) 0f t f t

Entonces

2

2

2

'(0)

''( ) 16 ( ) 0

''( ) 1 ( ) 0

( ) (0) 16 ( ) 0

( ) ( ) (0) '(0) 0

(0) '(

16

0)( )

16

f t f t

f t f t

s F s sf F s

s F s sf

f

f

sf fF s

s

L

+ 6

L

L L

Recuerda que (0) cos(0) 1f y '(0) sen(0) 0f entonces



2( )

16

sF s

s

.

Ahora para una funcin ( )f x definida para 0x se define la funcin 0

( ) ( )

t

t f x dx ,

grficamente la funcin ( )t es el rea bajo la funcin ( )f x en el intervalo 0,t , como lo

muestra la siguiente figura:

Aplicando la definicin de transformada de Laplace a ( )t se tiene lo siguiente:

00 0

( ) ( ) ( )

t

st stdt f x dx dtt t e e

L

Para aplicar integracin por partes, hay que tomar 0

( )

t

u f x dx y stdv td e , entonces

1 stv es

y el teorema fundamental del clculo garantiza que ( )du f t dt , luego:

00 00 0

1 1( )( ) ( )

t t

st st stf x dx dt f x de e t e ds s

tfx

Como ya se ha mencionado antes se tiene que tener que 0

( ) 01

t

stf x dx es

cuando

t , adems 0

( ) 0

t

f x dx cuando 0t lo que implica que:

0 0

( 0)1

t

stf x dx es



Es decir

0

( )( )

tF s

f x dxs

L

Por otro lado, dada una funcin ( )f t definida para 0t , entonces

0 0

( ) ( ) ( )n n n

st st

n n ndt dt

d d dF s f t e f t e

ds ds ds

Observa que:

( ) 1 ( )n

nst n st

n

df t e t e

dst f

Por consiguiente:

0

( ) 1 ( )n

n n st

n

dF s f t e

dst dt

Por lo tanto:

( ) 1 ( )n

nn

n

dt f t F s

ds L

Finalmente se presenta el teorema de convolucin, dadas dos funciones ( )f t y ( )g t

definidas para 0t se define la funcin convolucin * ( )f g t del siguiente modo:

0

* ( ) ( ) ( )

t

g f t g x f t x dx

En consecuencia

0 0 0

0 0

* ( ) * ( ) ( ) ( )

lim ( ) ( )

st st

st

t

b t

b

g f t g f t e g x f t x ddt dt

d

x e

g x f t x x te d

=L

La regin de donde se est calculando la integral anterior es la siguiente:



Fijando t e integrando con respecto a t se tiene lo siguiente:

0 0 0

0

lim ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

b t

bt

st st

s

t

t

g x f t x e dx g x f t x e dt

g x f t x e dt

dt dx

dx

Tomando u t x se tiene du dt y adems:

0 0

( )( ) ( ) ( ) ( )st s u x sx su s

t

xf t x e dt f u e e f u edu du e F s

Luego:

0 0

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

st sx

sx

t

g x f t x e dt g x e F s

g x e F s G s F s

dx dx

dx

Por lo tanto:

* ( ) ( ) ( )g f t G s F sL .

Ejemplo: Dadas las funciones ( ) 2f t t y 2( )g t t calcular * ( )g f t .

Solucin: Basta aplicar la definicin de convolucin de funciones del siguiente

modo:



2 2 3

3 4 3 43 4

0 0 0

0

4 4 4

* ( ) ( ) ( ) 2( ) 2 2

2

4 2 2

2

2 0 02 2

3 3 3

3 2 6

t t t

t

tx x

t t t tt

g f t g x f t x dx x t x dx dx

t

x

t

x

t

Por lo tanto 4

* ( )6

tg f t .

En resumen las propiedades de la transformada de Laplace se presentan en la siguiente

tabla:

Linealidad ( ) ( ) ( ) ( )cf t g t cF s G s L

Traslados ( ) ( )ate f t F s a L

( ) ( )ast a f t a se F L U

Corte ( ) ( )asf t t a e f t a L LU

Escalamiento 1

( )s

f at Fa a

L

Funcin peridica 0

1( ) ( )

1

T

st

sTf t f t e

edt

L

n -sima derivada ( ) 1 ( 1)( ) (0) ) (0)(n n n nf t F s fs s f L

Integral 0

( )( )

tF s

f x dxs

L

Multiplicacin por la potencia n -sima ( ) 1 ( )

nnn

n

dt f t F s

ds L

Teorema de convolucin

* ( ) ( ) ( )g f t G s F sL



1.1.3. Transformada de algunas funciones bsicas

En esta seccin se presentan las transformadas de Laplace de funciones elementales,

todas ellas se consideran que estn definidas para valores mayores o iguales a cero.

Recuerda que la transformada de Laplace de la funcin escalonada es

1

ts

L U .

Cuando la funcin escalonada es trasladada su transformada de la place es la siguiente:

( )at

at et a e ts

UL U L

Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la funcin ( )f t cuya grfica es la

siguiente figura:

Solucin: Primero hay que observar que la funcin:

0

1

0

si

si

si

a

a

t

t a t t b

b t

b

U U

La figura muestra la grfica de ( )f t es una dilatacin con factor A de la funcin

t a t b U U , lo que implica que ( )f t A t a t b U U , en consecuencia:



( )

at bt

f t A t a t b

A t a A u b

e eA A

s s

L L

L L

U U

U U

Por lo tanto ( ) at btA

f t e es

L .

Para la funcin exponencial ( ) atf t e donde a , se aplica el teorema de traslacin de

la siguiente forma:

1 1

.donde at at

s s a

e e t s as s a

L UL

Ejemplo: Calcular 4t

e

L .

Solucin: Basta observar que la expresin 4t

e

L es similar a ateL , cuando

1

4a , por consiguiente:

41 1 1

.1 4

4

donde att

e e ss a

s

L L

Por lo tanto 44

4 1

t

es

L , donde

1

4s .

Ejemplo: Calcular 3 4te t L U .

Solucin: Para este ejemplo se presentan dos formas de hallar la respuesta:

Opcin 1: La expresin 3 4te t L U es similar a ( )f t t aL U donde 4a

y 3( ) tf t e . Aplicando la propiedad adecuada se tiene:



3

4 4 3( 4) 4 12 3

4 12

4 ( ) ( )

( 4)

1

3

t as

s s t s t

s

e t f t x a e f t a

e f t e e e e

es

e

U =L UL L

L L L

Por lo tanto 4 12

3 43

st ee t

s

L U .

Opcin 2: Hay que observar que la expresin 3 4te t L U es parecida a la

expresin ( )x a f t a L U , claramente 4a , pero la expresin 3te no tiene la

forma ( 4)f t , para ello hay que realizar lo siguiente 3 3( 4) 12t te e . En

consecuencia 3 12( ) tf t e , esto implica que,

12

3 12 12 3( ) ( )3

t t ef t e e e F ss

L L L

Por consiguiente:

12

3 44 ( )3

( )t as se

e t x a f t e sa eFs

U UL L

Por lo tanto 4 12

3 43

st ee t

s

L U .

En ambos casos se obtiene que obtener el mismo resultado 4 12

3 43

st ee t

s

L U .

Como una aplicacin inmediata de lo anterior se obtiene lo siguiente:

2 2

1 1 1senh( )

2 2 2

1 1 1 1 ( ) ( )

2 2 2( )( )

| | donde

kt kt kt ktkt e e e e

s k s k

s k s k s k s k

ks

ka

s

L L L L



Utilizando la propiedad de la transformada de Laplace de la derivada se tiene que para la

funcin '( ) cosh( )f t kt implica que 1

( ) senh( )f t ktk

. La relacin '( ) ( ) (0)f t sF s f L

implica lo siguiente:

2 2 2 21

cosh( ) senh(0) | | donde k s

kt s s ak s ksk

L .

Ejemplo: Calcular senh(2 )tL .

Solucin: Hay que observar que la expresin senh(2 )tL es similar a senh( )ktL

donde 2k en consecuencia:

2 2 2 22

senh(2 ) senh(2

) 2 donde k

kt kt s

s s

L=L

Por lo tanto 22

senh(4

2 )ts

=L donde 2s .

Ejemplo: Calcular 3 cosh

2

t te

L .

Solucin: Hay que observar que la expresin 3 cosh

2

t te

L es similar a

( )ate f tL donde 3a y ( ) cosh2

tf t

, luego

2 2

2

4( )

4 11

2

s sF s

ss

, en

consecuencia:

3

2 2

3

4 4( 3) 1cosh ( 3)

2 4 1 4( 3) 1 2 donde t

s s

t s se F s s

s s

L

Por lo tanto 3

235 24

4 12cosh

2 4

t t

s s

se

L donde 1

2s .

Para la funcin potencia ( ) nf t t con n se aplica la propiedad de la potencia n -

sima del siguiente modo:



1 11 ! !

( 1) ( 1) 1n

nn n n n

n n n

d n nt t t

ds s s s

L UL

Ejemplo: Calcular 2 33 5 3 5t t t L .

Solucin: Basta aplicar el resultado anterior junto con la propiedad de lineal de la

siguiente manera:

2 3 2 3

2 3

2 3 4

3 5 3 5 3 5 3 5

3 1 5 5

1 1! 2! 3!3 5 3 5

t t t t t t

t t t

s s s s

-3

L L L L L

L L L L

Por lo tanto 2 3 2 3 43 5 6 30

3 5 3 5t t ts s s s

L .

Ejemplo: Calcular 2 23 2 4te t t L .

Solucin: La expresin 2 23 2 4te t t L es similar a ( )ate f tL donde 2a y 2( ) 3 2 4f t t t esto implica que

22

2 3

( ) ( ) 3 2 4 3 1 2 4

3 2 8

F s f t t t t t

s s s

L L L L L

Por consiguiente:

2 2

2 3

2

2 3

3 2 4 ( ) ( )

3 2 8

3 2 8

( 2) ( 2) ( 2)

t at

s s

e t t e f t F s a

s s s

s s s

L L

Por lo tanto 2 2 2 33 2 8

3 2 42 ( 2) ( 2)

te t ts s s

L .



Ejemplo: Calcular la transformada de Fourier de la funcin ( )f t representada

grficamente en la siguiente figura:

Solucin: Hay que observar que la grfica de la funcin es el segmento de recta

que une el punto 1,1 con el punto 3,3 , la recta que pasa por estos dos puntos tiene

por ecuacin 2 2t y , es decir 2 2y t . La figura muestra que hay que cortar en los

valores 1t y 3t , la funcin que realiza estos cortes es 1 3t t U U por

consiguiente se tiene que ( ) 2 2 1 3f t t t t U U . Luego:

( ) 2 2 1 4

2 2 1 2 2 4

f t t t t

t t t t

L

L

U U

U U

L

L

Aplicando la relacin ( ) ( )asf t x a e f t a L LU se tiene lo siguiente:

2

2 2 1 ( 1) 2( 1) 2

22 2

s s

ss s

t t e f t e t

ee t e t

s

L L

L

U L

L

De manera similar:

3 3

3 3

3

2

2 2 3 ( 3) 2( 3) 2

4 1

2 4

22 4

s s

s s

s

t t e f t e t

e t e t

es s

L L L

L L L

U




( )s

sef t es s s

L .

Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la funcin ( )f t cuya grfica es la

siguiente figura:

Solucin: Dado que la funcin es constantemente igual a 1 en el intervalo 0,2 la

funcin toma la regla 2t t U U , despus toma el valor constante de 3 en el

intervalo 2,3 y se escribe por 3 2 3t t U U , luego la funcin es

constantemente igual a 2 en el intervalo 3,5 por lo que en este intervalo la funcin es

2 3 5t t U U , finalmente en el intervalo 5,8 la funcin es constantemente

igual a 1 por lo que la funcin es 5 8t t U U , por lo tanto se tiene que:

( ) 2 3 2 3 2 3 5 5 8

2 2 5 3 3 5 8

f t t t t t t t t t

t t t t t

U U U U U U U U

U U U U U



Aplicando transformada de Laplace se tiene lo siguiente:

2 3 5 8

( ) 2 2 5 3 3 5 8

2 2 5 3 3 5 8

12 5 3

t t t t

f t t t t t t

t t t t t

e e e e

s s s s s

L L

L L L

U U U U U

U U U UL U L


( ) 1 2 5 3t t t tf t e e e es

L .

Cuando la potencia t , donde 0 , se emplea la funcin gamma que se define de la

siguiente forma 10

te dtt

. Luego 0

stt t de t

L , tomando u st se tiene que

ut

s y

dudt

s en consecuencia:

1

( 1) 1

1

0 0 0

0

1

1 1

1st u u

u

u dut e e u e du

s s s

u e dus s

dt

De forma similar a las funciones hiperblicas se presentan las transformadas de Laplace

de las funciones seno y coseno. Para la funcin seno se tiene lo siguiente:

0

sen( ) sen( ) stdt t e tk k

L

Aplicado integracin por partes se tiene lo siguiente:

2 2 cos ss ) enen(st

st edt kk kt s ktk

t es

Evaluando la integral anterior de 0 a se tiene que:

2 2 2 20

2 2

cos sen cos 0 sen1

sen( ) l m

0

i 0

cuando

sbst

bdt k k

ek b s kb k s

k s k s

k

s

e

s

t

k

Por lo tanto:



2 2sen( )k kk

ts

L

De forma similar se tiene que:

0

cos( ) cos( ) stdt t e tk k

L

Aplicado integracin por partes se tiene lo siguiente:

2 2 cos sencos( )st

stdt s kt k ktk

es

ekt

Evaluando la integral anterior de 0 a se tiene que:

2 2 2 20

2 2

cos sen cos 0 sen 0

0

1cos( ) lim

cuando

sbs

b

tdt s ke

kt b k kb s kk s k s

e

ss

k s

Por lo tanto:

2 2cos( )k ks

ts

L

Ejemplo: Calcular sen2

t

L .

Solucin: Observa que la expresin sen2

t

L es similar a sen( )ktL donde

1

2k , en consecuencia:

22 22

1

2sen1

2

sen( )2

t kkt

kss

L L

Por lo tanto: 2

2sen

2 4 1

t

s

L .



Ejemplo: Calcular 4 cos(3 )te tL

Solucin: Observa que la expresin 4 cos(3 )te tL es similar a ( )ate f tL donde 4a y ( ) cos(3 )f t t , luego

2 22( ) cos(3

93)

s sF s t

ss

L

En consecuencia:

4

22

4

4cos(3 ) (

9 9( ) )

4

t at

s s

s se t e f t F s a

s s

L L

Por lo tanto 24 4cos(

23 )

8 5

t se ts s

L .

Finalmente se presenta la funcin delta de Dirac o funcin de impulso, la cual se define de

la siguiente manera: para un valor fijo a , considera un rectngulo con base r de tal

forma que este centrado en a y que su altura sea 1

r, este rectngulo tiene rea 1A ,

como lo muestra la siguiente figura:

Esta funcin se define por:

1( )

2 2r

r rt a t a t a

r

U U



La delta de Dirac se define por:

0 0

1( )( lim

2 2

0

) lim

si

si

r rr

r rt t a t a

r

t a

a

a

t

t

U U

Adems se tiene que:

0 0 0

( ) ( )lim li im( )m l 1 1rr r r

rt a dt t a dt t a dt

Observa que la delta de Dirac no se comporta como una funcin usual. Para calcular la

transformada de Laplace de la funcin ( )t se realiza lo siguiente:

0 0

0

2 2

0

2

0

1lim ( ) lim

2 2

1lim

2 2

1li

(

m

)

m li

r

r ra s a s

as

r r

r

r rs

r r

r rt t a t a

r

r rt a t a

r

e e ee e

r s s rs

t a

U U

U U

L L L

L L

2

0

senh2

lim

2

as as

s

r

rs

e ers

Por lo tanto ( ) aset a L , en particular para 0a se tiene que 1( )t L .

En resumen, la siguiente tabla presenta las transformadas de algunas funciones

elementales:

Funcin escalonada 1

0 donde t ss

L U

Funciones escalonada trasladada

( ) 0 donde ate

t a ss

L U

Funciones exponencial

1

donde ate s as a

L



Funciones hiperblicas

2 2senh( ) | | donde k

kt s as k

L

2 2

cosh( ) | | donde s

kt s as k

L

n -sima potencia entera

1!

0 donde nn

nt s

s L

-sima potencia real

1

10 donde t s

s

L

Funciones trigonomtricas

2 2sen( 0) cuando k

k ss k

t

L

2 2cos( 0) cuando s

k ss k

t

L

Delta de Dirac ( ) aset a L



1.2. La transformada inversa de Laplace

Muchos de los procesos que se presentan en matemticas son invertibles, por ejemplo la

suma, el producto tienen en la resta y la divisin sus procesos inversos. La transformada

de Laplace no es la excepcin, es esta seccin se presenta la definicin y las propiedades

de la transformada inversa de Laplace.

1.2.1. Definicin y propiedades bsicas de la transformada inversa de

Laplace

En la seccin anterior se presenta que la transformada de Laplace una funcin, cuando

existe, es nica. Ahora toca el turno de realizar el proceso inverso va la siguiente

relacin: si la transformada Laplace de ( )f t es la funcin ( )F s entonces la

transformada inversa de Laplace de ( )F s es ( )f t , en smbolos lo anterior se presenta

del siguiente modo:

1 ( ) ( ) ( ) ( )si y solo siF s f t f t F s L L .

Grficamente se tiene lo siguiente:

Las propiedades que posee la transformada inversa de Laplace se obtiene de las

propiedades que tiene la trasformada de Laplace como se presenta a continuacin:

La linealidad se obtiene de observa que:

( ) ( ) ( ) ( )cf t g t cF s G s L



Por lo tanto:

1 ( ) ( ) ( ) ( )cF s G s cf t g t L

De las propiedades de traslacin se obtiene lo siguiente:

1

1 ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

atat

asas

F s a e f te f t F s a

e t a f t at a f t a e F sF s

L

UL U

L

L

De la propiedad de escalamiento 1

( )s

f at Fa a

L y haciendo

1a

k se obtiene:

11

( )1t t t

f kF ks f F ks F ks fk k kk k

L L L

De la relacin ( ) 1 ( )n

nn

n

dt f t F s

ds L se tiene que:

1 ( ) 1 ( )n

n n

n

dF s t f t

ds

L

Del teorema de convolucin se tiene lo siguiente:

1* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )g f t G s F s G s F s g f t L L

Para las transformadas de Laplace que se obtienen por medio de funciones elementales

se tiene lo siguiente: De la relacin 1!n

n

nt

s L se tiene que:

1 1 1

1 1 1

! 1 1!

!

nn n

n n n

n tt t

s s sn

n

L L L

En particular cuando 0n se tiene que 0

1 1 10!

t

s

L = .

Ejemplo: Calcular 1

4

10

s

L .

Solucin: Observa que la expresin 1

4

10

s

L es similar a 11

1ns

L , donde

1 4n , es decir 3n . En consecuencia:



1 1 1 3

4

3

4 1

10 1 110

5

! 3!10 1 10

30

n

n

t t

s s st

n

L L L .

Por lo tanto 1 3

4 3

10 5

st

L .

Ejemplos: Utilizando la relacin anterior y la propiedad de linealidad, las siguientes

transformadas inversas de Laplace se obtiene de forma inmediata:

1 14 14 4

s s

L L .

2

1 1 2

3 3

3 3 1 3 3

2 2 2 2! 4

tt

s s

L L .

2

1 1 1 1 2

3 2 3 2

2 5 1 1 1 1 1 1 12 5 2 5 5

2 2 2! 1! 2 2

t tt t

s s s s s s

L L L L .

Ejemplo: Calcular

1

2

1

3s

L .

Solucin: Observa que la expresin

2

1

3s tiene la forma ( )F s a donde

3

1( )F s

s y 3a , lo que implica que

21

3

1( )

2

tf t

s

L . Aplicando la propiedad de

traslacin se tiene lo siguiente:

21 1 3

2

1( ) ( )

23

at t tF s a e f t es

L L

Por lo tanto

1 3 2

2

1 1

23

te ts

L .

Luego tomando el hecho que 1ate

s a

L se obtiene que:

1 1 ates a

L



Ejemplo: Calcular 1 3

2 5s

L .

Solucin: Observa que la expresin 1 3

2 5s

L es similar a 1

1

s a

L , pero hay

que tener cuidado ya que el coeficiente de s siempre tiene que ser igual a 1 por lo que

factorizar el 2 en el denominador para encontrar el valor de a :

1 1 13 3 3 1

552 5 22

22

sss

L L L

As 5

2a , finalmente se tiene lo siguiente:

5

1 1 1 23 3 1 3 1 3 3

52 5 2 2 2 2

2

tate e

s s as

L L L

Por lo tanto 5

1 23 3

2 5 2

t

es

L .

Ejemplo: Aplicando la relacin anterior, las siguientes transformadas inversas de

Laplace se obtiene de forma inmediata:

1 1 34 14 4

3 3

tes s

L L .

1 1 53 13 3

5 ( 5)

tes s

L L

1 1 1

1

43 1 3 1 3

3114 1 4 4

444

t

es

ss

L L L

1

1 1 21 32 1 1 1 1 1

2 213 2 1 3 2 2

2

tt

e es s s

s

L L L



Para el siguiente ejemplo se emplear el siguiente resultado, conocido como el teorema

de la descomposicin en fracciones parciales:

Teorema: Para un fraccin polinomial ( )

( )

f x

g x con coeficiente reales, donde el grado de

( )g x es mayor que el grado de ( )f x , supngase que 1 )( )) ( (nxg x g g x donde ( )kg x

son polinomios con coeficientes reales irreducibles para , ,1k n , entonces existen

( )kf x polinomios con coeficientes reales donde el grado de ( )kg x es mayor que el grado

( )kf x y que satisfacen:

1

1

( )( )( )

( ) ( ) ( )

n

n

f xf xf x

g x g x g x .

En el caso de polinomios con coeficientes reales, los polinomios irreducibles son de

grado 1 y algunos de grado 2 , en el primer caso, al numerador le corresponde una

constante y para el segundo un polinomio de grado 1.

Ejemplo: Calcular 1

2

2 6

3 2 8

s

s s

L .

Solucin: Este ejemplo se puede resolver por dos mtodos, para el primero aplica

fracciones parciales y para el segundo se aplica una propiedad traslacin.

Opcin 1: Para aplicar el teorema de las fracciones parciales a la expresin 2

2 6

3 2 8

s

s s

primero se factoriza el denominador, en este caso 23 2 8 1 2 3 4s s s s , despus

como los polinomios 1 2s y 3 4s son de grado 1 el teorema de las fracciones parciales

afirma que existen constantes A y B (polinomios de grado 0 ) tales que satisfacen:

2

2 6

3 2 8 1 2 3 4

s A B

s s s s

De lo anterior se obtienen las siguientes relaciones:

2

3 4 1 2 3 4 22 6

3 2 8 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

A s B s A B A B ss A B

s s s s s s s s

Igualando los numeradores se tiene:

6 2 3 4 2s A B A B s



Como dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales trmino a

trmino, se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

3 6 4 2 2A B A B

De donde se obtiene que 1A y 3B . Lo que implica que:

2

2 6 1 2

3 2 8 1 2 3 4

s

s s s s

Aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene:

1 1

2

1

3

4

1

1

2

1 1 2 1

1 32 4

2 4

1 1

2 2

2 6 1 2

3 2 8 1 2 3 4

t t

s

s

s ss

e

s

e

s

L L L L

Adems, para las funciones hiperblicas se tienen las siguientes relaciones:

1

2 2 2 2

1

2 2 2 2

senh( ) senh( )

cosh( ) cosh( )

k kkt kt

s s

s skt kt

s s

k k

k k

L L

L L

Ejemplos: Aplicando la relacin anterior, las siguientes transformadas inversas de


1 1

22 2

1 1 4 1senh(4 )

16 4 44t

s s

L L .

1 1 22

2

22 2cosh 3

3 3

s st

s s

L L .

1 1 1 1

2 222

2 2

31 1 1 1 1 1 2 1 32 senh

94 9 4 4 4 3 6 23 34 2 2

ts

s s s

L L L L



1 1 12 22

2 2

3 4 4 2 43 3cosh 2 senh 2

2 2 22 2

s st t

s s s

L L L

Cuando se tengan polinomios de cuadrticos en el denominador, se puede expresar como

suma o diferencia de cuadrados, de ah se aplica la propiedad de traslado, como se

muestra a continuacin.

Ejemplo: Calcular 1

25

5

4s s

L .

Solucin: Hay que expresar el polinomio 2 4 5s s como suma o diferencia de

cuadrados, del siguiente modo:

2 2 2

2 2 2

4 5 4 5 4 4 5 4

2 9 2 3

s s s s s s

s s

Luego la expresin

2 2

5

2 3s tiene la forma ( )F s a donde

2 2

5)

3(F s

s

y 2a ,

luego

1 1

2 2 2 2

5 5 3 5( ) senh

3 33 33

tf t

s s

L L

Aplicando la propiedad de traslacin se tiene lo siguiente:

1 1 1

2 22 2 2

2

5 5 5 3

32 3 2 3

5senh

3

4

3

5

t

s ss

t

s

e

L L L

Ejemplo: Calcular 1

23

3

2s

s

s

L .

Solucin: Hay que expresar el polinomio 2 2 3s s como suma o diferencia de

cuadrados, del siguiente modo:

2 2 2

2 2 2

2 3 2 3 2 1 3 1

1 4 1 2

s s

s

s s

s

s s



Luego la expresin

2 2

3

1 2

s

s no es propiamente un traslado de

2 2

s

s k, para resolver

esta situacin se realizar lo siguiente:

2 2 2 22 2 2 2

3 1 3 3 13 3

1 2 1 2 1 2 1 2

s ss

s s s s

Aplicando la propiedad de traslacin se tiene lo siguiente:

1 1 1

2 2 22 2 2 2

1 1

2 22 2

3 13 3 3

1 2 1 2 1 2

1 3 23

21 2 1 2

13

3 2

cosh senh2 2 2

t t

ss s

s s s

s

s s

t te

s s

e

L L L

L L

Por lo tanto 1

2

3 13 cosh se

22n

23h

2

t ts t tes s

e

L .

Para funciones trigonomtricas se tiene lo siguiente:

1

2 2 2 2

1

2 2 2 2

sen( ) sen( )

cos( ) cos( )

k kkt kt

s s

k skt kt

k k

k ks s

L L

L L

Ejemplos: Aplicando la relacin anterior, las siguientes transformadas inversas de


1 1

22 2

1 1 3 1sen(3 )

9 3 33t

s s

L L .

1 1 22

2

33 3cos 5

5 5

s st

s s

L L .



1 1 1 1

2 222

2 2

2

5 5 1 5 1 1 3 3 23 sen49 4 9 9 4 2 8 32 29 3 3

ts

s s s

L L L L

1 1 12 22

2 2

2 1 1 3 12 2cos 3 senh 3

3 3 33 3

s st t

s s s

L L L

Ejemplo: Calcular 1

213 6

2 1

s s

s

L .

Solucin: Se comienza expresando el polinomio 213 6s s como suma o

diferencia de cuadrados del siguiente modo:

2 2 2

2 2 2

6 13 6

4 2

13 6 9 13 9

3 3

s s s s s s

s s

En consecuencia se tiene lo siguiente:

1 1 1

2 22 2 2

1 1

2 22 2

1 1

2 22 2

3

2 3 1 62 1 2 1

2 2

2 3 7

2 2

13 6 3 3

3 3

3

3 7 22

22 2

72 co

3

s sen2 2 2

t

ss s

s

s

s s s s

s

t

s

s

te

s

L L L

L L

L L

Por lo tanto 1 3

2

2 1 72 cos s

26 213en

2

t

s s

s t te

L .

Finalmente, de la relacin ( ) aset a L se tiene lo siguiente:

1 ( )as t ae L .



Ejemplo: Calcular 1 4te L .

Solucin: La expresin 1 4teL es similar a 1 ase L , donde 4a , aplicando la relacin anterior se tiene lo siguiente:

1 4 1 ( ) 4t as a te te L L .

Por lo tanto 1 4 4t te L .

En resumen, la siguiente tabla presenta las propiedades elementales de la transformada

inversa de Laplace:

Linealidad 1 ( ) ( ) ( ) ( )cF s G s cf t g t L

Traslados 1 ( ) ( )atF s a e f t L

1 ( ( ))asF se t a f t a UL

Escalamiento 11

( )t

F ks fk k

L

Derivada n -sima 1 ( ) 1 ( )n

n n

n

dF s t f t

ds

L

Teorema de convolucin

1 ( ) ( ) * ( )G s F s g f t L

Potencia n -sima 11 !

1 n

n n

t

s

L

Funcin exponencial 1 1 ate

s a

L

Funciones hiperblicas

1

2 2senh( )

kkt

ks

L

1

2 2cosh( )

skt

ks

L

Funciones trigonomtricas

1

2 2sen( )

kkt

ks

L

1

2 2cos( )

skt

ks

L

Delta de Dirac 1 ( )as t ae L



Ejemplo: Calcular 2

1

4

te

s

L

Solucin: Observa que la expresin 2

1

4

te

s

L es similar a 1 ( )as se F L donde

2a y 1

( )4

F ss

, lo que implica que 4( ) tf t e .Finalmente

21 1

4 4( 2)

2

( )4

( )

2 2

tas

t t

t t

ee t a f t a

s

t e t e

F s

U U

L UL

Por lo tanto 2

1 4 824

tte x e

s

UL .

Ejemplo: Aplicando el teorema de convolucin calcular

1 1

3 4s s

L .

Solucin: Observa que la expresin

1

3 4s s tiene la forma ( ) ( )G s F s donde

1( )

3G s

s

y

1( )

4F s

s

, esto implica que

3( ) tg t e y 4( ) tf t e , aplicando el teorema

de convolucin se tiene lo siguiente:

1 1

3 4( ) 4 4

0

0

0 0

4 3 4

1( ) ( ) * ( ) ( ) ( )

3 4

1

tx t x t x t x

t t t t

t

t t

G s F s g f t g x f t x dxs s

e e dx e e dx e e

e e e e

L L

Por lo tanto

1 3 41

3 4

t te es s

L .

Ejemplo: Calcular

21

2

11 17 6

4 5 2

s s

s s s

L .



Solucin: Como se ha visto en ejemplos previos hay que aplicar el teorema de las

fracciones parciales del siguiente modo:

2

22

2

2

2

2

11 17 6

4 5 24 5 2

5 2

4 5 2

5 4 2 4

4 5 2

4

s s A Bs C

s s ss s s

s s Bs C

s s s

A C A B C

A

s A B s

s

s s s

Igualando numeradores se llaga al siguiente sistema:

5 4 11

2 4 17

6

A C

A B C

A B

Cuya solucin es:

3 3 1A B C

En consecuencia:

2

22

11 17 6 3 3 1

4 5 24 5 2

s s s

s s ss s s

Aplicando transformada inversa se tiene lo siguiente:

21 1

22

1 1

2

4 1

22

4 1 1

2 22 2

4

11 17 6 3 3 1

4 5 24

3

3

3 3 2

3 3

5 2

1 3 1

4 5 1 1 2

3 1 1 3

2 1

1 2

2 1 2

c

1

t

t

t t

s s s

s s s

e

e

e

s s

e

s

s

s s s

s

s

s

s s

L L

L L

L

L L

os 2 2 sen 2tt e t



Por lo tanto

2

1 4

23 3 cos 2 2 sen 2

11 17 6

4 5 2

t t ts s

s se t e t

se

L .

1.2.2. Mtodo de Heaviside

Como se vio en la seccin anterior, se puede emplear fracciones parciales para

descomponer una fraccin algebraica como suma de fracciones simples, para esto hay

que resolver un sistema lineal, en muchos casos este sistema es tedioso de resolver. El

mtodo de Heaviside permite obtener simplificar un poco el proceso de las fracciones

parciales, el cual se enuncia del siguiente modo:

Teorema: Dados dos polinomios ( )p s y ( )q s donde el grado de ( )q s es mayor que el

grado de ( )p s . Supngase que el polinomio ( )q s es el producto de n factores de grado 1

de la forma 1 nas a s donde j ka a para j k . Entonces

1

1

( )( )

( ) '( )Kak

k

nt

k

p ap se

q s q a

L

Lo anterior se obtiene de observar que el teorema de las fracciones parciales se tiene

que:

1

11

( )

( )

nk

kn k

nA AAp s

q s s a s a s a

Para 1 j n se multiplica ambos lado de la igualdad por js a para obtener:

1

1

( )

( )

j

j

n

j n

j

A s a s ap ss a

q s

AA

s as a



Haciendo js a se tienen las siguientes relaciones:

1

1

1

1

( )lim lim

( )

1( ) lim

( ) (

( )

'

)

( )

j j

j

j n

s a s a

j n

s

j

j j

n

j j j

j jj j j n

j

j

j

j

a

A s a s ap ss a

q s s a

A a a a ap a

q s q a a a

s a

AA

s a

AA

a a

p aA

q a

En consecuencia:

1

( ) 1 ( )

'( ) ( )

k

k k

n

k

p a p s

q a s a q s

Aplicando la transformada inversa en ambos lados se tiene lo siguiente:

1 1 1

1 1

1 1

1

( ) ( )( ) 1 1

( ) '( ) '( )

( ) ( )1

'( ) '( )k

n n

k k

n nt

k

k k

k k k k

ak

k

k

k k k

p a p ap s

q s q a s a q a s a

p a p ae

q a s a q a

L L L

L

Por lo tanto 1 1

1 1( ) ( )( ) 1

( ) '( ) '( )kak k

k k

nt

k k

n

k

p a p ap se

q s q a s a q a

L L .

La dificultad de este mtodo radica (como se ha mencionado antes) que no siempre se

puede factorizar un polinomio con coeficientes reales como producto de factores distinto

de grado 1. Otra cosa que hay que resaltar es que todos los coeficientes de grado 1 en el

denominador son 1. En esta seccin se presenta ejemplos donde se puede aplicar el

resultado anterior:

Ejemplo: Calcular 1 2 1

( 2)( 3)

s

s s

L .

Solucin: Observa que la expresin 2 1

( 2)( 3)

s

s s

tiene la forma

( )

( )

p s

q s donde



2( ) 2 1 ( ) ( 2)( 3) 5 6yp s s q s s s s s

Luego 1 2a , 2 3a y '( ) 2 5q s s . Aplicando el mtodo de Heaviside se tiene lo

siguiente:

1 21 2 31

1

2 3 2

2

1

3

2

2

( ) ( ) ( )2 1 (2) (3)

( 2)( 3) '( ) '( ) '( ) '(2) '(3)

2(2) 1 2(3) 1 5 7

2(2) 5 2(3) 5 1 1

ka a t a t t tk

k

t t t t

t

k

p a p a p as p pe e e e e

s s q a q a q a q q

e e e e

L

Por lo tanto 1 2 32 1 5 7

( 2)( 3)

t ts e es s

L .

Ejemplo: Calcular 1

2

1 7

4 7 2

s

s s

L .

Solucin: Primero se comienza factorizando el polinomio que se encuentra en el

denominado, es este caso se tiene:

24 7 2 4 1 2ss s s

Despus se realiza lo siguiente:

2 4 1 2

17 1

1 7 1 7 7 1 21 14 7 2

2 4 42 2

ss s s

s ss s s

ss

s

Lo anterior se realiz para poder aplicar el mtodo de Heaviside. Con la notacin del

teorema anterior se tiene que:

1 21 1

42

1( ) 7 1 4 ( )

22p s s a a q ss s

Lo anterior implica que '( )7

22q s s .



Finalmente se tiene:

1 221 1

2

1

2

1

42

42

17 1

1 7 214 7 2

42

1 1 17 1 7 4 12 2 2

77

2

( ) ( )

'( ) '( )

2

32

12 42

2

1

a t a t

t

t

t

t

p a p ae e

q a q

ss

s ss s

e

a

e e

e

L L

Por lo tanto 1 422

1 73

4 7 2 2

1t

ts e es s

L .

Ejemplo: Calcular 2

1 2 1

( 3)( 1)( 5)

s s

s s s

L .

Solucin: Se procede de manera similar a los ejemplos anteriores observando los

siguientes elementos:

2

1 2 32 1 ( 3)( 1)(( ) 5)( ) 13 5p s qs s a as s s as

De los datos anteriores se tiene que 2 315 13 3( )q s s s s lo que implica que

213 3' ) 6(q s s s . El mtodo de Heaviside afirma que 2

1 2 1

( 3)( 1)( 5)

s s

s s s

L es

igual a:

2 2 2

3 5

2 2 2

3 2 3 1 1 2 1 1 5 2 5 1

13 6 3 3 3 13 6 1 3 1 13 6 5 3 5

t t te e e

Por lo tanto 2

1 3 52 1 1 1 9

( 3)( 1)( 5) 8 4 8

t t ts s e e es s s

L .



Actividad 2. Clasificacin de problemas en la aplicacin de

transformada y transformada inversa de Laplace

Nota previa: para la correcta visualizacin de las actividades es necesaria la instalacin

del editor de ecuaciones MathType en tu computadora. Puedes descargar la versin de

prueba para 30 das en: http://www.dessci.com/en/products/mathtype/trial.asp

1. Descarga el documento titulado Actividad 2 en la pestaa de la asignatura y

resuelve los ejercicios que se te presentan.

2. Guarda tu documento con la nomenclatura BMAI_U1_ACT2_XXYZ y envalo a

tu Facilitador (a) mediante la seccin de Tareas para que lo revise y te

retroalimente.

*Recuerda que tu documento deber pesar menos de 4 MB.



1.3. Aplicaciones de la transformada de Laplace

Una de las razones por la cual la transformada de Laplace es una herramienta muy til en

la ingeniera es dada por la siguiente propiedad:

( ) 1 ( 1)( ) (0) ) (0)(n n n nf t F s fs s f L

La relacin anterior dice que la transformada de Laplace convierte la derivada en un

polinomio, as un problema que involucre derivadas la transformada de Laplace lo

convierte en un problema algebraico.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuacin diferencial:

'( ) 2 ( ) 0y t y t

Donde (0) 1y .

Solucin: Se comienza aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin

diferencial se tienen las siguientes relaciones:

'( ) 2 ( ) 0

'( ) 2 ( ) 0

( ) (0) 2 ( ) 0

( 2) ( ) 1 0

1( )

2

y t y t

y t y t

sY s y Y s

s Y s

Y ss

L L

L L

Las relaciones anteriores afirman que la funcin ( )y t que es solucin de la ecuacin

diferencial '( ) 2 ( ) 0y t y t tiene transformada de Laplace 1

( )2

Y ss

, por

consiguiente:

1 1 21

( ) ( )2

ty t Y s es

L L

Por lo tanto 2( ) ty t e .

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuacin diferencial:

''( ) 4 '( ) 4 ( ) cos(2 )y t y t y t t



Donde (0) 0y y '(0) 1y .

Solucin: Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin diferencial se tienen

las siguientes relaciones:

2 2

2

2

2

2

2

2

2

''( ) 4 '( ) 4 ( ) cos(2 )

''( ) '( ) 4 ( )2

( ) (0) '(0) 4 ( ) (0) 4 ( )4

( ) (0) '(0) 4 ( ) (0) 4 ( )4

( ) (0) (1) 4 ( ) (0) 4 ( )4

(

4

) 1

y t y t y t t

sy t y t y t

s

ss Y s y s y sY s y Y s

s

ss Y s y s y sY s y Y s

s

ss Y s s sY s Y s

s

s Y s

L L

L + L L

2

2

2

2

2

22

2

2

2 2

4 ( ) 4 ( )4

4 4 ( ) 14

4 4 ( ) 14

4 4 (4

4

4( )

4

)

4 4

ssY s Y s

s

ss s Y s

s

s s

s

s sY s

s

ss s Y s

s

s s Y s

s s

De manera similar al ejemplo anterior, La funcin ( )y t que satisface

''( ) 4 '( ) 4 ( ) cos(2 )y t y t y t t

tiene transformada de Laplace

2

2 2

4( )

4 4 4

s sY s

s s s

por consiguiente:

21

2 2( )

4

4

4 4

s sy t

s ss

L



Aplicando fracciones parciales se tiene que:

2

2 22 2

1

44 4

4 3 1 1

4 44 2

s s

ss ss s

Aplicando transformada inversa al desarrollo anterior, se tiene lo siguiente:

21 1

2 22 2

1 1

2 2

2

4 3 1 1

4

1

44 4

1

4

1 1s

44 2

3 1 1

en(2 )1

4 42

! 2

3

4 4

t

s s

ss s

ss

s s

et

t

L L

L L

Por lo tanto 23

4

1( ) sen(2 )

8

ty t tte .

1.3.1. Aplicacin a problemas de poblacin

Los comportamientos de crecimiento o decrecimiento de una poblacin se pueden

modelar por medio de una ecuacin diferencial, para ellos se observa la razn con la que

cambia dicha poblacin.

El modelo que se presenta plantea que considerando que una poblacin comienza con un

nmero determinado de individuos, la razn de crecimiento de esta poblacin es

proporcional a su tamao (esta proporcin no tiene porque se constante), en trminos de

matemticos, si 0p es el nmero de individuos que tiene inicialmente la poblacin, ( )p t y

( )k t denotan a la poblacin y la constante de proporcionalidad en el instante 0t ,

entonces la poblacin crece bajo la siguiente regla:

0'( ) ( ) ( ) (0) cuando p t k t p t p p

Observa que si ( ) 0k t la poblacin crece en el instante 0t y de forma similar si

( ) 0k t la poblacin decrece en el tiempo 0t .

Cuando ( )k t es constante, esta ecuacin se resuelve fcilmente aplicando transformada

de Laplace de la cual se obtienen las siguientes relaciones:



0

0

'( ) ( )

( ) (0) ( )

( )

( )

p t kp t

sP s p kP s

s k P s p

pP s

s k

L L

Aplicando transformada inversa de Laplace se tiene lo siguiente:

1 1 0 0( )) (ktpP s p e

s kp t

L L

Por lo tanto la poblacin 0( )ktpp et para 0t .

Ejemplo: Una poblacin de bacterias se triplica cada hora. Si la poblacin inicial es

de 1000 bacterias, Cundo llegar la poblacin a 10000 ?

Solucin: Primero hay que observar que el tiempo t esta medio en horas, la

constante de proporcionalidad es 3k y que la poblacin inicial es 0 1000p . Luego la

ecuacin diferencial que modela lo anteriores es:

'( ) 3 ( ) (0) 1000 cuando p t p t p

Aplicando transformada de Laplace se obtienen las siguientes relaciones:

1 1'( ) 3 ( )

( ) (0) 3 ( )

3 ( ) 1000

1000( )

3

p t p t

sP s p P s

s P s

P ss

L L

Aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene:

1 1 1 31000 1

( ) ( ) 1000 10003 3

tp t P s es s

L L L

Tomando ( ) 10000p t se tienen las siguientes relaciones:



3

3

10000 1000

10

3 ln10

ln10

3

t

t

e

e

t

t

En el instante ln10

3t hay 10000 bacterias.

Ejemplo: En un cultivo hay una plaga que tiene una poblacin inicial 750 individuos,

despus de un da la poblacin de la plaga se ha duplicado. Si la razn con la que crece

la poblacin de la plaga con respecto al tiempo es proporcional al nmero de elementos

que conforman la plaga Cunta poblacin de plaga hay despus de 5 das?

Solucin: Se tiene que cuando 0t , entonces 0(0) 750p p . Dado que la

poblacin de la plaga con respecto al tiempo es proporcional al nmero de elementos que

conforman la plaga, se sigue que:

'( ) ( )p t kp t

Aplicando transformada de Laplace a la relacin anterior se sigue que:

'( ) ( )

( ) (0) ( )

( ) 750

750( )

p t kp t

sP s p kP s

s k P s

P ss k

L L

Aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene lo siguiente:

1 1750

( 0) 75( ) ktP s es

tk

p

L L

Luego como despus de un da la poblacin se duplica, se sigue que:

(1) 1500p

La anterior relacin permite obtener el valor de la constante k por medio de las siguientes

relaciones:



11500 750

2

ln 2

k

k

e

e

k

As la poblacin en cualquier instante t en das est dada por la relacin:

2( ) 750 tlnp t e

En particular para 5t se tiene lo siguiente:

5 2(5) 750 24000lnp e

Por lo tanto despus de 5 das la plaga tiene 24000 individuos.

1.3.2. Aplicacin a circuitos elctricos

En esta seccin se presenta una aplicacin de la transformada de Laplace en el estudio

de algunos circuitos elctrico sencillos.

Considera el siguiente circuito elctrico en serie:

Que est formado por un inductor, un resistor y capacitor (por tal motivo toma el nombre

de circuito LRC), donde L es la inductancia en henry ( h ), R es la resistencia en ohm (

) y C es la capacitancia en farads ( f ). La corriente que circula en el circuito anterior se

denota por ( )i t , la carga que hay en el capacitor en el instante 0t es ( )q t , observa que

( )dq

i tdt

.

Los voltajes que hay en cada componente del circuito se presentan en la siguiente tabla:



Inductor Resistor Capacitor

Voltaje di

Ldt

iR 1q

c

La segunda ley de Kirchhoff afirma que el voltaje ( )E t sobre un circuito cerrado es igual a

la suma de los voltajes aplicados en el circuito. Aplicando esto en el circuito anterior se

tiene que:

( ) L R CE t V V V

Aplicando la informacin de la tabla anterior se tiene:

1( )

diE t L iR q

dt c .

Dado que ( )dq

i tdt

implica que 2

2

di d q

dt dt en consecuencia:

2

2

1( )

d q dqE t L R q

dt dt c .

En particular cuando 0L se tiene un circuito RC en serie, grficamente tiene la

siguiente forma:

La carga ( )q t en un instante dado 0t esta modelado por la ecuacin diferencial:

1( )

dqE t R q

dt c

De forma similar cuando 0R se tiene un circuito LC en serie, grficamente tiene la

siguiente forma:



La carga ( )q t en un instante dado 0t esta modelado por la ecuacin diferencial:

2

2

1( )

d qE t L q

dt c

Ejemplo: Encontrar la carga

Unidad 1. Transformada de Laplace

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