Unidad 3 Transformada de Laplace

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CIUDAD SERDÁN.

ECUACIONES DIFERENCIALES. UNIDAD 3

INGENIERÍA MECÁNICA.

FAUSTINO ALBERTO ONORATO HERRERA

NUMERO DE CONTROL:12CS0127.

ING. JOSÉ RUBÉN PÉREZ GONZALES.

INDICE

1.-TEORIA PRELIMINAR DE LA TRANSFOMADA DE LAPLACE

2.-PRIMER TEOREMA DE TRASLACION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

3.-SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

4.-TRANSFORMADA INVERSA.

5.-FUNCION ESCALON UNITARIO

6.-TRANSFORMADA DE DERIVADAS

7.-TRANSFORMADA DE INTEGRALES.

8.-TRANSFORMADA DE FUNCIONES PERIODICAS

TEROIA PRELIMINAR DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición de las transformadas de Laplace

Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que contiene las diferenciales de una función indefinida, a partir de una ecuación t-espaciada hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. También pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial.

La transformada de Laplace se denomina a veces transformada operacional; esto esporque transforma las operaciones de integración en simples operaciones algebraicas que son mucho más convenientes de resolver. Después de la cual la aplicación de la técnica de la transformada inversa produce la solución exacta para la ecuación diferencial dada. El procedimiento completo puede demostrarse como,

Matemáticamente, la transformada de Laplace puede definirse como: “Para una función dada f(t), la transformada de Laplace se define como la integración de los productos de esa función con el núcleo de la transformación cuyos límites de integración son[0, )”.

Aquí, el kernel de la transformada es e-st, donde t es el parámetro de entrada de la función valorada real y s es el parámetro de la función compleja nueva, la cual es el resultado de la transformada de Laplace. La función de entrada se define en el intervalo cerrado [0, ). La notación convencional de la transformada de Laplace es L{f(t)} o F(s).

Existen dos pre-requisitos que deben cumplirse con el fin de tener una transformada de Laplace de la función de entrada. Estos son:

1. La entrada de la función valorada real debe ser una función a trozos que esté continuamente definida por el intervalo cerrado [0, ).

2. A medida que el valor de t se aproxima a cero, la función debe alcanzar el orden exponencial. En términos simples, debe existir una constante de tres términosa, K, t donde,

Sin embargo, estos dos pre-requisitos no son condiciones necesarias sino suficientes.

Una transformada de Laplace puede considerarse como un superconjunto de la representación Fasor, ya que se compone de una parte real y una parte compleja. La parte real de la transformada de Laplace se utiliza para representar la parte transitoria, mientras que la parte compleja se utiliza para representar la respuesta de la posición estática. Sin embargo, también es posible utilizarla para modelar la tasa de variación de algún sistema.

A continuación se mencionan los pasos para aplicar la transformada de Laplace:

1. El primer paso es transformar el dominio de la ecuación diferencial dada. Esto se hace mediante la sustitución de d/ dt con s, el cual es el parámetro de la ecuación transformada.

2. Ahora, haciendo uso de la tabla Laplace transforma la función de entrada en el dominio de s.

3. Haz uso de los métodos algebraicos para combinar la función de transferencia con la función de entrada con el fin de determinar la función de salida.

4. Factoriza la función de salida con la ayuda de la técnica de fracciones parciales.

5. Ahora usa la transformada inversa y transforma el dominio de la solución de nuevo al dominio t.

Demos un vistazo a un ejemplo ilustrativo para entender claramente el concepto.

q’ - 6q’ + 15q = 2sin (3t) given y(0) = −1 y’(0) = −4

s2Y(s) – sy(0) – y’(0) −6(sY(s) –y(0)) +15Y(s) = 2[3/ s2 + 9]

Y(s) = [-s3 +2s2 −9s + 24]/ [(s2 + 9) (s2 −6s + 15)]

Y(s) = [As + B]/ [(s2 + 9)] + [Cs + D]/ [(s2 −6s + 15)]

-s3 +2s2 −9s + 24 = (As + B)(s2 −6s + 15) + (Cs + D)[(s2 + 9)

= (A + C)s3 + (−6A + B + D)s2 + (15A – 6B + 9C)s + 15B + 9D

A = 1/10

B = 1/10

C = -(11/10)

D = 5/2

Y(s) = (1/10){[s + 1]/[(s2 + 9)] + [−11s + 25]/[(s2 −6s + 15)]}

Y(s) = (1/10){[s]/[(s2 + 9)] +[1.(3/3)]/[(s2 + 9)] – [11(s – 3)]/ [(s – 3) + 6] – [8.( )]/[(s – 3) + 6]}

y(t) = (1/10){cos (3t) +1/3 sin (3t) – 11e3tcos ( t) – 8/ e3t sin ( t)}

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE S

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Si £ { f ( t )}=F (s ) y a es cualquier número real, entonces :

£ {eat f ( t )}=F ( s−a)

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento

Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica

de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad a

Para dar énfasis a esta traslación en el eje s, a veces es útil usar el simbolismo siguiente:

ass

at tf£tfe£

)()(

Donde ass significa que la transformada de Laplace F(s) de f(t) el símbolo s se remplaza por s-a siempre que aparezca.

USO DEL PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

EJEMPLO 1: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace .

SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula 2 de la tabla 4.2 se tiene lo siguiente.

EJEMPLO 2: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace.

SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula 5 de la tabla 4.2 se tiene lo siguiente.

£ {e−2 tcos 4 t }=£ {cos4 t }|s→s−(−2)=s

s2+42|s→ s+2=

s+2( s+2 )2+16

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Si )()( tf£sF

y 0a , entonces

)()()( sFeatatf£asu

£ {e5 t t3}

£ {e5 t t3}=£ {t3}|s→s−5=3 !

s4|s→s−5=

6

( s−5)4

£ {e−2 tcos 4 t }

Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento.

En el teorema anterior se puede observar que un múltiplo exponencial de f(t) da como resultado una traslación de la transformada F(s) en el eje s. Como una consecuencia del segundo teorema se nota que siempre que F(s) se multiplique por una función

exponencial 0, ae as

, la transformada inversa del producto

)(sFe as es la función f desplazada a lo largo del eje t.

Usando la definición de la transformada de Laplace y haciendo la sustitución u = t – a , se obtiene la fórmula siguiente:

)()()( atg£eattg£ asu

EJEMPLO 3: Utilizando la forma alternativa del segundo teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace.

SOLUCIÓN: Con g(t) = cos t y a = , entonces

tttg cos)cos()( fórmula de adición de la función coseno.

Transformada inversa de Laplace

Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), esto es,

£ {cos t u (t−π )}

£ {cos t u (t−π )}=−e−πs £ {cos t }=− s

s2+1e−πs

Entonces f(t) se denomina la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe como,

Aquí L-1 es llamado el operador de la transformada inversa de Laplace. Aunque existe una fórmula de inversión compleja la cual proporciona un medio directo para determinar la transformada inversa de Laplace de una función, esta implica un conocimiento amplio de la integración compleja. Sin embargo, no es posible encontrar una transformada inversa de Laplace de todas las funciones por este camino.

Un punto interesante a destacar aquí es que la transformada inversa de Laplace de una función puede no ser única. Por ejemplo, sabemos que la transformada de Laplace de f(t) = 1 es 1/ s. Sin embargo, existe una función más para la que la transformada de Laplace resulta en el mismo término, esta es,

f(t) = 1 si 0 < t < 3

−8 si t = 3

1 si t > 3

Por lo tanto, se puede concluir que la transformada inversa de Laplace de 1/s resulta para dos funciones como se describe anteriormente. Sin embargo, entre las dos, sólo f(t) = 1 es continua, por lo tanto, f(t) = 1 es la única función que tiene la transformada de Laplace como 1/ s.

También es posible escribir una transformada inversa de Laplace en la forma de integración, la cual es llamada integral de Fourier Millen o integral Bromwich o fórmula inversa de Millen. Se trata de una integral de línea y es denotada como,

Esta integración de la línea es continua con respecto a la ecuación de la recta Re(s) = . Esta es una recta vertical situada en un plano complejo y el valor de es siempre mayor que la parte real de las singularidades de la función F(s)de Laplace. Esto es

porque el trazado del contorno siempre debe encontrarse dentro del área de convergencia.

En el caso que no existan singularidades o que las singularidades existan sólo en la porción izquierda del plano, entonces podemos sustituir el cero en el lugar de . Además, esto reduciría la fórmula a la fórmula de la transformada inversa de Fourier.

Diferenciación de las transformadas Inversas de Laplace:

1. Si L-1{F(s)} = f(t) entonces, L-1{F’(s)} = -t f(t). También esto puede probarse como,

Por la propiedad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{t f(t)} = -F’(s)

Al invertirlo obtenemos,

t f(t) = L-1{-F’(s)} = -L-1{F’(s)}

o L-1{F’(s)} = -t f(t)

2. Si −1{F’(s)} = f(t)entonces L-1{Fn(s)} = (−1)tn f(t) para n = 1, 2, 3, …


L{tn f(t)} = (−1) Fn(s)


tn f(t) = L-1{(−1)nFn(s)} = (−1)n L-1{Fn(s)}

o, L-1{Fn(s)} = (−1) tn f(t)

Integración de las transformadas Inversas de Laplace:

1. Si L-1{F(s)} = f(t) entonces L-1{ F(u) du} = f(t)/ t. También esto puede probarse como,


L{f(t)/ t} = F(s) ds


f(t)/ t = L-1{ F(s) ds}

o, L-1{ F(u) du} = f(t)/ t

Transformada inversa de Laplace de F(s) multiplicada por potencias de s:

1. Si L-1{F(s)} = f(t) y f(0) = 0entoncesL-1{sF(s)} = f’(t).


L-1{f’(t)} = sF(s) – f(0)

L-1{f’(t)} = sF(s) – f(0)


L-1{sF(s)} = f’(t)

Función escalón unitario

La función escalón unitario o función escalón unitario de Heavisideu(t - a) está definida como,

Aquí el valor de a es siempre mayor o igual que cero.

El gráfico de una función escalón unitario es parecido al siguiente,

Entonces, al observar el gráfico de la función, este se puede comparar con un interruptor que se encuentra cerca de un tiempo en particular, que abre por un tiempo y luego vuelve a cerrar.

Existen ciertas propiedades de una función escalón unitario relacionadas con la transformada de Laplace. Estasse analizan a continuación:

1.La transformada de Laplace deu(t – a) is e-as/ s. La prueba se muestra abajo.

L[u(t – a)] = e-st u(t – a) dt

= e-stu(t – a) dt + e-st u(t – a) dt

= e-st (0) dt + e-st (1) dt

= 0 + [e-st/ -s

= -(1/ s)(0 - e-st)

= e-as/ s

2. El segundo teorema de desplazamiento de la transformada de Laplace puede escribirse también en términos de la función escalón unitario, de la siguiente manera,

SiL{f(t)} = F(s) y g(t) = f(t – a) u(t – a) entonces,

L{g(t)} = e-as F(s)

O,

L[f(t – a) u(t – a)] = e-as F(s)

3.Si L{f(t)} = F(s) entonces,

L[f(t) u(t – a)] = e-as L{f(t + a)}.

La prueba se muestra abajo

.L[f(t) u(t – a)] = e-st f(t) u(t – a) dt

= e-stf(t) u(t – a) dt + e-st f(t) u(t – a) dt

= e-stf(t) (0) dt + e-st f(t) (1) dt

= 0 + e-stf(t) dt

= e-as e-sx f(x + a) dx

[Fijando t = x + a dt = dx]

= e-as e-stf(t + a) dt

L[f(t) u(t – a)] = e-as L{f(t + a)}

En la propiedad anterior hemos tomado dos funciones, u(t) y f(t). Aquí la función f(t) tiene valor de cero cuando el valor de t es menor que cero y tiene valor de uno cuando el valor de t es mayor o igual que cero. La razón detrás de esto es, cuando f(t) = 0, entonces u(t) f(t) = 0 y cuando f(t) = f(t), entonces u(t) f(t) = 1.

La transformada de Laplace de una función escalón unitario puede definirse de forma similar que para una función periódica. Esto esporque una función escalón unitario es un caso especial de una función periódica. Por lo tanto, para calcular la transformada de Laplace de esta función, primero sustituye la definición de la función en la fórmula de la transformada de Laplace, y luego divide el integrando en los sub-intervalos como se define en la definición de la función escalón unitarioy cada integrando se calcula por separado de sus respectivos límites. La solución obtenida a partir de la integración es entonces reducidapara obtener el resultado final.

Demos ahora un vistazo a un ejemplo ilustrativo para entender la transformada de Laplace de una función escalón unitario.

Determina la transformada de Laplace de la función,

Sabemos que,

f(t) = 0, t < 2

= (t - 2 ) cos (t - 2 ) + 2 cos (t - 2 ), t < 2

Por lo tanto, L{f(t)} = {[(s2 – 1)/ (s2 + 1)2] + 2 [s/ (s + 1)]}

TRANFORMADA DE DERIVADAS

Teorema del Derivado Transformado

Al igual que en una función ordinaria, la transformada de Laplace también puede aplicarse al diferencial de una función. En tal situación, colocamosen la fórmula el diferencial de la función en el lugar de la función real para derivar la transformada de Laplace, que es,

Sin embargo, mientras nos ocupamos de los diferenciales de la función,necesitamos modificar el límite inferior de integración y colocar un valor mayor que cero en el lugar de cero, como el límite inferior de integración. Esto se hace principalmente porque el cero no manipula la solución obtenida a partir de la integración, y de esta forma nos limitamos a la función clásica.

Existen, sin embargo, ciertas condiciones para que esto sea verdadero. La función real debe ser definida para la variable tiempo ty el diferencial debe existir para todos los valores mayores que cero. Asimismo, la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). De igual manera, el diferencial de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, este es, [0, ).

Y, por último, tanto la función real, así como el diferencial de la función real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos números reales positivos M y , y un número T tal que,

Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T.

Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada, entonces la transformada de Laplace del diferencial de la función real puede darse como,

En la fórmula anterior podemos ver que en el lugar de cero como límite inferior de integración hemos mantenido un valor de 0 +. Esto significa que podemos mantener cualquier valor mayor que cero, en lugar de cero, y que el valor que se va a mantener en el lugar de cero no es significativo, por lo tanto, se escribe de la forma 0 +.Pero, es importante señalar que ese valor no debería ser mucho mayor que cero, porque de lo contrario, puede obtenerse una salida manipulada.

La fórmula puede reescribirse como,

La fórmula anterior es una restringida, porque es específica para el caso de la diferenciación única solamente. Aunque, también es posible extender esta para la diferenciación múltiple. Sin embargo, las condiciones anteriormente mencionadas deben cumplirse en este caso. La función real y todos los diferenciales n-1 de la función real deben ser definidos de forma continua en el intervalo [0, ) y el enésimodiferencial de esta función debe ser una función continua a trozospara el mismo intervalo, es decir, [0, ).Por lo tanto, la fórmula de la transformada de Laplace de la diferenciación múltiple de alguna función se da en forma de,

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para encontrar la transformada de Laplace del diferencial.

SiL{2 } = 1/ s3/2entonces muestra que,

L{1/ } = s1/2

Seaf(t) = 2

= f’(t) = (2/ ) (1/ 2 ) = 1/

Además f(0) = 0 y F(s) = 1/ s3/2

Ahora, L{f’(t)} = s F(s) – f(0)

= L{1/ } = s(1/ s3/2) – 0

= s1/2.

TRANSFORMADA DE INTEGRALES.

Hasta ahora hemos estudiado la forma de determinar la transformada de Laplace de una función dada. Pero, como sabemos, existen varias operaciones que pueden realizarse en una determinada función. Una de las principales operaciones entre ellas es la integración. Como sabemos, la integración de una función nos da otra función. Por lo tanto, es esencial saber si la técnica de la transformada de Laplacepuede aplicarse a la integral de una función real.

La respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, hasta cierto punto. La cláusula de “hasta cierto punto”, se añade aquí porque esto no es cierto para todas las integrales. Existen ciertos pre-requisitos que deben ser verdaderos para obtener la transformada de Laplace de la integral de la función real.

La función real debe estar definida para la variable de tiempot, también la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). Asimismo, el integral de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, esto es, [0, ).

Y, por último, ambas, la función real como el diferencial de la función real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos números reales positivos M y , un número T tal que,

Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T.

Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada y L{f(t)} = F(s), entonces la transformada de Laplace de la integral de la función real puede darse como,

La fórmula anterior también puede demostrarse mediante el uso de las propiedades de la transformada de Laplace. La prueba de la fórmula está dada como,

Seag(t) = f(t) dt

Entonces, g(0) = 0 y g’(t) = f(t)

Ahora, L{g’(t)} = s L{g(t)} – g(0)

= s L{g(t)} [dado que el valor de g(0) = 0]

O, L{g(t)} = (1/ s) L{g’(t)}

Sustituyendo los valores de g(t) y g’(t) obtenemos,

L[ f(t) dt] = (1/ s) L{f(t)}

= (1/ s) F(s)

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para encontrar la transformada de Laplace de la integral.

Calcula la transformada de Laplace de (1 – e-t) dt

Seaf(t) = 1 – e-t entonces,

L{f(t)} = L[1 – e-t]

= L(1) – L(e-t)

= (1/ s) – [1/ (s+ 1)]

= [1/ s (s + 1)]

= F(s)

Dado que,L[ f(t) dt] = (1/ s) F(s)

= L[ (1 – e-t) dt

= (1/ s) [1/ s (s + 1)]

= 1/ s2 (s + 1)

Apliquemos el teorema anterior a una función escalón unitario y a una función rampa para averiguar el efecto de este en ellos.

Asumamos que la transformada de Laplace de un impulso se define como (t), este es dado por (s) = 1 entonces la transformada de Laplace de la función escalón unitario se da como,

Tenemos que, (t) = (t) dt

= (s) = (1/ s) (s) = (1/ s)

De manera similar, la transformada de Laplace del signo rampa puede determinarse como,

Rampa(t) = (t) = (t) dt

Rampa(s) = (1/ s) (s) = 1/ s2 .

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCION PERIODICA.

Se dice que una función f(t) es una función periódica de período a> 0 si,

Esto significa que la gráfica de tal función a repetirá su forma para cada intervalo (na, (n + 1)a). Un ejemplo de tal función es el seno ( ),el cual es una función periódica del período 2 .

El valor de la función debe convertirse en cero en la porción negativa de la recta numérica real.

Si f(t) es una función periódica con período a entonces,

Esto puede reorganizarse como,

En términos simples, podemos decir que para la función periódica f(t) con período a, la transformada de Laplace es equivalente a la transformada de Laplace en un período único de esafunción dividida por el término (1 - e-as).

También existe una prueba del teorema indicado arriba. Dado que f(t) es una función periódica con período a,

f(t + a) = f(t), f(t + 2a) = f(t) y así sucesivamente.

Ahora, L{f(t)} = e-st f(t) dt

= e-stf(t) dt + e-st f(t) dt + e-st f(t) dt + …

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, t = (u + 2a) en el tercer integral etc. Entonces obtenemos,

= e-stf(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du + e-s(u + 2a) f(u + 2a) du + …

= e-suf(u) du + e-su f(u + a) du + e-2sa e-su f(u) du + …

= (1 + e-as + e-2as+ …) e-su f(u) du

= (1 - e-as)−1 e-stf(t) dt [Dado que 1 + x + x2 + … = (1 – x)−1]

L{f(t)} = [1/ (1 - e-as)] e-st f(t) dt

Por consiguiente, podemos ver que para llevar a cabo la operación de transformación de Laplace a una función periódica necesitamos romper esa función en los sub-intervalos, lo cual depende de los intervalos para los cuales la función dada

estádefinida. La sumatoria de todas las integrales produce la transformada de Laplace para esa función.

Sin embargo, es posible aplicar directamente el teorema discutido anteriormentecon propósitos de conveniencia para la solución de problemas. Se provee un ejemplo ilustrando el uso de este teorema para hacer más claro los conceptos.

Muestra que si f(t + a) = -f(t), entonces,

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

Dado quef(t + 2a) = f[(t + a) + a)] = -f(t + a)

= -[-f(t)] = f(t)

La función f(t) dada es una función periódica con período 2a.

Ahora, utilizando el teorema para la transformada de Laplace de funciones periódicas con el período areemplazado por 2a tenemos que,

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] e-st f(t) dt

= [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt + e-st f(t) dt]

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, tenemos que

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] [ e-st f(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du]

= [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt – e-as e-su f(u) du]

= [(1 - e-as)/ (1 - e-2as)] e-stf(t) dt

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

Unidad 3 Transformada de Laplace

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