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Universidad Austral de Chile. Sede Puerto Montt Cálculo Diferencial e Integral en R

Unidad 2. La derivada. La derivada de una función en un punto Muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden transferirse o hacerse depender de un problema básico que ha sido de interés para los matemáticos desde los griegos (alrededor de 300-200 a. de J.C.). Es éste el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto específico a ella. Este problema está relacionado, no solo con la geometría, sino que en otros ámbitos del conocimiento como la física, la economía, la astronomía, etc. Interpretación geométrica: La recta tangente a una curva. Empezamos con el problema de la tangente no solo por su importancia histórica y práctica, sino también porque la intuición geométrica con la que puede tratarse. Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación )x(fy = , donde f es una función continua.

Si trazamos una secante y la tangente en el punto )y,x(P 00 , la pendiente de esta

secante, denotada sm , está dada por:

h

)x(f)hx(fms

00 −+=

Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X, y como hα es ese ángulo para la recta secante, entonces:

h

)x(f)hx(fmsh

00 −+==α

2

Si mantenemos ahora el punto P fijo y acercamos la recta secante a la tangente, la diferencia entre 0x y hx +0 , es cada vez mas pequeña ( 0→h ). Además

αα tantan h →

Por lo tanto, si denotamos por )x(mt 0 la pendiente de la recta tangente a la curva en

( )00 y,xP , entonces ( )h

)x(f)hx(flimxmh

t00

00

−+=

→ , si es que este límite existe.

El cociente h

)x(f)hx(f 00 −+ se denomina “cociente de incrementos” de la función

f . En este caso, este “cociente de incrementos” indica el valor de la pendiente de la

recta que pasa por los puntos ( ))x(f,x 00 y ( ))hx(f,hx ++ 00 , sin embargo hay

múltiples situaciones en las que este “cociente de incrementos” juega un papel fundamental. Algunos ejemplos de esto son:

Si )x(f indica la cantidad de electricidad que pasa por la sección transversal de un conductor en el tiempo x , el límite del “cociente de incrementos” cuando

0→h determina la intensidad de corriente que pasa a través de la sección transversal del conductor, en el instante de tiempo 0x .

Si en el proceso de calentamiento de un cuerpo )x(f indica la cantidad de calor que hay que comunicar al cuerpo para calentarlo de º0 a ºx , entonces el “cociente de incrementos” determina la capacidad calorífica media del cuerpo al

calentarlo de ox0 a ( )ohx +0 . En este caso el límite del cociente de incrementos

cuando 0→h , indica la capacidad calorífica del cuerpo para la temperatura dada 0x .

Si f describe la ley del movimiento de un punto en una línea recta, el “cociente de incrementos” define la velocidad media del punto en el intervalo de tiempo [ ]ht,t +00 , y el límite cuando 0→h nos entrega la velocidad instantánea en el

tiempo 0t . Es decir si una partícula se mueve en una línea recta, de tal forma que

su distancia dirigida s, a un punto fijo de la recta está dada en función del tiempo por la ecuación )t(ss = , entonces la velocidad en cualquier instante 0t

está dada por h

)t(s)ht(slim)t(vh

00

00

−+=

→, siempre que este límite exista.

Definición de la derivada de una función en un punto Sea f una función real definida en un intervalo IRI ⊂ . Sea Ix ∈0 , se define la

derivada de f en el punto 0x , denotada por )x('f 0 =h

)x(f)hx(flimh

00

0

−+→

, si el

límite existe. Notas: - la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la curva con ecuación

)x(fy = en el punto ( ))x(f,x 00 , es precisamente la derivada de f evaluada

en 0x .

3

- si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecuación de movimiento )t(ss = , puede observarse que )t(v 0 en la definición

de velocidad instantánea de la partícula en 0t , es la derivada de s respecto a t ,

evaluada en 1t . La función derivada Si )x('f existe para cada xen un intervalo , ( )IRI ⊂ , se dice que la función f es derivable en , y el proceso por medio del cual se obtiene )x('f , da origen a una nueva función que recibe el nombre de función derivada. Así

)x('f =h

)x(f)hx(flimh

−+→0

El dominio de )x('f está formado por todos los números del dominio def para los que exista )x('f .

Por ejemplo, si x)x(f = con 0≥x entonces x

)x('f2

1= está definida únicamente

para 0>x . Nota: Si )x(fy = con f una función derivable, entonces la derivada de f puede denotarse por:

� )x(fDx que se lee: derivada de )x(f respecto a x

� yDx que se lee: derivada de y respecto a x

� 'y que se lee: y prima � )x('f que se lee: f prima de x

� dx

dy que se lee: derivada de y con respecto a x

Ejemplos: Determine la derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición.

(a) 1 , x >= x)x(f

(b) 1 , 1 >+= tt)t(f

(c) 42 23 −+= xx)x(f

(d) 2 , 2

3 −≠+

= yy

y)y(g

Continuidad y derivabilidad

Teorema

Si una función f es derivable en un punto 0x , entonces f es continua en 0x .

Nota: El recíproco del teorema, como veremos a continuación, es falso.

4

Si f es una función continua definida en 0xx = , entonces definimos:

La derivada por la derecha, que se denota )x('f 0+ , se define por la igualdad:

h

)x(f)hx(flim)x('fh

00

00

−+=

+→+ , siempre que el límite exista.

La derivada por la izquierda, denotada )x('f 0− , se define por la igualdad:

h

)x(f)hx(flim)x('fh

00

00

−+=

−→− , siempre que el límite exista.

Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que )x('f 0 existe si y solo si

existen las derivadas laterales y ambas son iguales.

Así : )x('f)x('f)x('f 000 existe −+ =⇔

Ejemplos:

1. Consideremos la función

≥+−<+

=1 si 3

1 si 1

xx

xx)x(f

Determinaremos si f es continua en 1 y si existe )('f 1 . - Para lo primero tenemos que: (a) 2311 =+−=)(f , luego existe.

(b) Como 2 entonces 1231111

=+==+−=→−→+→+→

)x(flimxlimxlim)x(flimxxxx

(c) Finalmente, como )(f)x(flimx

121

==→

, entonces f es continua en 1=x

- Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.

(i) 123111

1000

−=−=−+−−=−+=+→+→+→

+ h

hlim

h

hlim

h

)(f)h(flim)('f

hhh

(ii) 121111

1000

==−++=−+=+→+→−→

− h

hlim

h

hlim

h

)(f)h(flim)('f

hhh

Como )('f)('f 11 −+ ≠ , no existe )('f 1

Luego, se ha comprobado que aunque f es continua en , se tiene que f no es derivable en .

Podemos decir que f es continua pero no derivable en 1=x

La representación gráfica de la función es la siguiente:

5

Note que en la gráfica de f tiene una "punta", siendo precisamente en donde no es derivable la función.

2. Sea

≤−>

=0 si

0 si 2

xx

xx)x(f

Determine si f es continua en 0=x y si existe )('f 0 . Haga un bosquejo de la gráfica de .f

3. Sea

≥−<−

=2 si 2

2 si 42

xx

xx)x(g . Determine si la g es continua y derivable en .x 2=

Haga un bosquejo de la gráfica de g

iDerivadas de algunas funciones especiales Sea IRIR:f →

(1) La función constante Si cxf =)( , entonces 0)(' =xf

(2) Las funciones potenciales Si nx)x(f = , entonces 1−= nnx)x('f

(3) Las funciones trigonométricas (a) xsen)x(f = , entonces xcos)x('f = (b) xcos)x(f = , entonces xsen)x('f −=

(c) x entonces 2sec)x('f,xtan)x(f ==

(d) xcsc)x('f,xcot)x(f 2 entonces −== (e) xtanxsec)x('f,xsec)x(f == entonces (f) xcotxcsc)x('f,xcsc)x(f −== entonces

(4) Las funciones logarítmicas

Si ( )10 ,0 ≠<>= ax,xlog)x(f a . Entonces elogx

)x('f a

1=

6

En particular si ea = , se tiene que ( )x

xln)x('f ' 1==

(5) Las funciones exponenciales

Si xa)x(f = , entonces alna)x('f x=

En el caso particular en que ea = , se tiene que ( ) x'x ee)x('f == Teorema (Reglas de derivación) Sean IRIRA:g,f →⊂ y supongamos que f y g son derivables en Ax∈ . Entonces:

� )x('g)x('f)x()'gf( ±=± � )(')()'( xfcxfc ⋅=⋅ � )x('g)x(f)x(g)x('f)x()'gf( ⋅+⋅=⋅

� [ ]2)x(g

)x('g)x(f)x(g)x('f)x(

g

f'

⋅−⋅=

, siempre que 0≠)x(g

Teorema (Regla de la cadena) Sea IRIRA:f →⊂ y IR)A(f:g → , tales que f es derivable en Ax∈ y g es derivable en )A(f)x(f ∈ . Entonces la función compuesta IRA:fg →o , es derivable en Ax∈ y se cumple que:

( ) ( ) )x('f)x(f'g)x('fg ⋅=o Teorema (Derivación de la función inversa) Sea IRIRA:f →⊂ estrictamente monótona y continua en A , y g la función inversa de f Si )x('f existe y es diferente de cero para Ax∈ , entonces la )y('g también existe y no es nula en el correspondiente "y" donde )x(fy = .

Además se tiene que )x('f

)y('g1= , es decir [ ]

))(('

1)(

1

'1

yffyf −

− =

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

(1) Sea [ ]

−→−2

,2

1,1:ππ

f tal que xarcsenxf )( = , entonces 21

1)('

xxf

−=

7

(2) Sea [ ] [ ]π,01,1: →−f tal que xxf arccos)( = , entonces 21

1)('

xxf

−

−=

(3) Sea

−→2

,2

:ππ

IRf , tal que xxf arctan)( = , entonces 21

1)('

xxf

+=

(4) Sea ] [π,0: →IRf , tal que xarcxf cot)( = , entonces 21

1)('

xxf

+−=

(5) Sea ] [ ] [

∪

−−→+∞∪−∞−2

,02

,,11,:πππf , tal que xarcxf sec)( = , entonces

1

1)('

2 −=

xxxf para 1|| >x

(6) Sea ] [ ] [

∪

−−→+∞∪−∞−2

,02

,,11,:πππf , tal que xarcxf csc)( = , entonces

1

1)('

2 −

−=xx

xf para 1|| >x

Ejercicios: Determine la derivada de las siguientes funciones

(1) 735)( 23 −+= xxxf (2) 7)( 3 −+= xxxf (3) 32

73)(

2

++=

x

xxxf

(4) xsenxxf 5)( 4= (5) 22

ln3)(

x

xxxf = (6) ( )23arccos)( xxf =

Derivadas de orden superior

Si f es una función derivable, y existe el h

xfhxfh

)(')('lim

0

−+→

, se dice que existe la

segunda derivada de la función f que se denota por )('' xf o )(2 xfDx , que equivale a

)]([ xfDD xx . O sea, la segunda derivada de la función f se obtiene derivando la

primera derivada de la función.

Ejemplos:

(1) Si 1555)( 23 +−+= xxxxf entonces:

51215)(' 2 −+= xxxf y 1230)('' += xxf

(2) Si 1

3)(

2

−+=

x

xxxg , entonces:

( )( ) ( )( ) ( )2

2

2

2

1

32

1

3321)('

−−−=

−+−+−=

x

xx

x

xxxxxg

8

( ) ( ) ( )( )

( )4

22

1

2232221

−−−−−−−=

x

xxxxx)x(''g

( )( )

( )4

22

1

321222

−++−+−−=

x

xxxxx

( )

( ) ( )34 1

8

1

18

−=

−−=

xx

x

De igual manera podemos decir que la derivada de ''f respecto a "x" es la tercera derivada de f respecto a "x" que se denota )(''' xf .

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada )(xf iv y así podríamos

continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de f que se denota por )()( xf n . Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n.

(3) Determine 32)( si )('' 2 ++= xxxgxg

(4) Determine xxxxfxf +−= 5

2

3

1

42)( si )('''

Una aplicación de la segunda derivada

Anteriormente hemos estudiado que si )(tss = nos indica la distancia de una partícula al origen en un tiempo t , entonces )(' tsv = es la velocidad en el tiempo t . Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular )(' tv se obtiene la aceleración instantánea en el tiempo t . Si denotamos esta aceleración por

)(ta se tiene que )('')( tsta = , es decir, la aceleración es la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo.

Ejemplo: Sea 0con 12

322

≥+

= tt

s , la ecuación que determina la distancia en el tiempo

(en segundos) de una partícula al origen en un movimiento rectilíneo. Determine el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleración es nula.

Solución: ( ) ( )32

2

22212

768192)(')(y

12

64)(')(

12

32

t

ttvta

t

ttstv

ts

+−==

+−==⇒

+=

Si queremos averiguar el tiempo en que la aceleración se hace cero:

2407681920)( 22 =⇔=⇔=−⇔= tttta Luego, la distancia recorrida cuando 2=t es 2=s metros y la velocidad en 2=t es

smv

2

1−= .

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Funciones implícitas y su derivada

Al considerar la función con ecuación 153)( 24 +−= xxxf , es posible determinar )(' xf con los teoremas enunciados anteriormente, ya que f es una función dada

implícitamente en términos de la variable independiente x . Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes: 553 322 =+− xxyyx ó 422 5 yxyxx −=− Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para "y" en términos de "x". Se dice que la función f está definida implícitamente por las ecuaciones:

5)]([5)]([3 322 =+− xxfxxfx y 422 )]([)]([53 xfxfxxx −=− respectivamente. Note que ambas expresiones son de la forma general 0),( =yxf . Para determinar la derivada de una función dada en forma implícita, consideremos cada una de las ecuaciones anteriores: (a) 553 322 =+− xxyyx o de otra forma 5)]([5)]([3 322 =+− xxfxxfx Observe que el primer factor involucra un producto de funciones y que para derivar

[ ]2)(xf se debe utilizar la regla de la cadena.

Se tiene entonces derivando: 01'355'236 2322 =+⋅−−⋅+ yyxyyyxxy

01'155'66 2322 =+−−+ yxyyyyxxy

Despejando 'y se tiene que: 22

23

156

165'

xyyx

xyyy

−−−=

El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivación implícita, y puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que la ecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido. La derivación implícita determina una fórmula para )(' xf , que es válida para toda función derivable f tal que )(xf esté definida implícitamente por una ecuación dada. Ejemplo: Determine una ecuación para la recta tangente y una ecuación para la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el puntoP . Grafique la curva, la recta tangente y la recta normal.

)3,1( ,0246422 Pyxyx =−+−+ Solución: primero obtenemos )(' xy que nos da la pendiente de la recta tangente:

0'64'22 =+−+ yyyx de donde 3

2'

+−=

y

xy . Evaluando 'y en )3,1(P se tiene que

6

1=tm , luego la ecuación de la recta tangente es 6

17

6

1 += xy

La pendiente de la recta normal es 6−=Nm de donde la ecuación de esta recta normal

es: 96 +−= xy

La ecuación 0246422 =−+−+ yxyx puede escribirse como ( ) ( ) 3632 22 =++− yx que representa la ecuación de una circunferencia con centro en )3,2( y radio 6 . La representación gráfica de la curva y las rectas es la siguiente:

10

Ejercicio: Pruebe que las rectas tangentes en el origen a las curvas con ecuaciones 054 23 =+−− yxyxy , 054 34 =++− yxyx son perpendiculares entre sí.

Teorema de Rolle (o teorema sobre las raíces de la derivada) Sea f una función que cumple las condiciones siguientes:

1. f es continua sobre un intervalo cerrado [ ]b,a

2. f es derivable sobre un intervalo abierto ] [b,a 3. 0== )b(f)a(f

Entonces existe por lo menos un número real c tal que bca << y 0=)c('f . O sea 0=)x('f para cierto c entre a y b .

Este teorema puede interpretarse geométricamente de la manera siguiente:

Si una curva continua interseca al eje en ( )0,a y ( )0,b y tiene una recta tangente en

cada uno de los puntos del intervalo ] [b,a , entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es paralela al eje .

Gráficamente se tiene:

11

El teorema también es válido para una función derivable que aunque en los extremos del intervalo[ ]b,a no interseque al eje , sí tome valores iguales para "a" y "b", es decir,

)b(f)a(f = .

Es necesario que la función posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la función sea continua en el intervalo, si no es derivable en algún punto, puede suceder que no exista ningún valor "c" para el que 0=)c('f .

Por ejemplo, la función f con ecuación 3 22 x)x(f += es continua en el intervalo

[ ]11,− y además se cumple que )(f)(f 11 =− , pero la derivada de 33

2

x)x('f,f =

no está definida para ] [( )110 0 ,,x −∈= , y se tiene que )x('f no se hace cero en el intervalo dado.

La representación gráfica de esta función en el intervalo[ ]11,− es la siguiente:

Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange) Sea f una función que cumple las propiedades siguientes:

1. Es continua sobre un intervalo cerrado[ ]b,a

2. Es derivable sobre un intervalo abierto] [b,a

Entonces existe por lo menos un número c tal que bca << y ab

)a(f)b(f)c('f

−−=

Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral. El teorema del valor medio puede interpretarse geométricamente como sigue:

12

Consideremos la representación gráfica de una curva continuaf :

La recta secante que une los puntos ( ) ( ))b(f,bQ,)a(f,aP tiene como pendiente

ab

)a(f)b(fms −

−= . Según el teorema del valor medio, debe existir algún punto sobre la

curva, localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela a la recta secante que pasa por P y Q; es decir, existe algún número ] [b,ac∈ tal que

ab

)a(f)b(f)c('fms −

−==

Teorema de Cauchy del valor medio (o extensión del teorema del valor medio para derivadas) Sean f y g dos funciones continuas sobre un intervalo cerrado [ ]b,a y derivables

sobre el intervalo abierto ] [b,a .

Si 0y ≠≠ )x('g)a(g)b(g para ] [b,ax∈ , entonces existe un número ] [b,ac∈ tal

que )c('g

)c('f

)a(g)b(g

)a(f)b(f =−−

.

Estudio de la variación de funciones

Es posible, por medio de la derivada, obtener información sobre el comportamiento de una función, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a precisar ciertos puntos que quedaron poco claros con el método de las “regiones de desarrollo”.

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

Sea f una función continua con ecuación )x(fy = , definida en un intervalo [ ]b,a .

La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[ ]b,a .

13

y

x

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1. Creciente en los intervalos ] [ ] [653 x,x,x,a

2. Decreciente en los intervalos ] [ ] [b,x,x,x 653

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece. Note además que en los puntos ( ) ( ) ( ))x(f,x)x(f,x,)x(f,x 665533 y , la recta tangente es

horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos. Teorema Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ ]b,a y derivable en el intervalo

abierto ] [b,a .

� Si 0>)x('f para toda x en ] [b,a , entonces la función f es creciente en [ ]b,a .

� Si 0<)x('f para toda x en ] [b,a , entonces la función f es decreciente en] [b,a .

Ejemplos:

(1) Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función (intervalos de

monotonía) ( )142

1 2 +−= xx)x(f .

Solución: Como 020 >−⇔> x)x('f , o sea si 2>x , entonces f es creciente. Como 020 <−⇔< x)x('f , o sea si 2<x , entonces f es decreciente. En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

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(2) Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación

22 1

xx)x(f += con 0≠x .

Solución: ( )( )( )

3

2 1112

x

xxx)x('f

++−=

entonces ( )( )

011

03

>+−⇔>x

xx)x('f y

( )( )0

110

3<+−⇔<

x

xx)x('f

- + - + -1 0 1

Luego la función es creciente si ] [ ] [∞∪−∈ ,,x 101 pues 0>)x('f , y la

función es decreciente si ] [ ] [101 ,,x ∪−∞−∈ pues 0<)x('f

La representación gráfica de la función es la siguiente:

(3) Determinar los intervalos de monotonía de la función f con ecuación

1

1

−+=

x

x)x(f , con 1≠x .

Solución: ( )21

2

−−=

x)x('f ., entonces 0<)x('f para todo x en ( )1≠x , por

lo que la función f es decreciente para x en , ( )1≠x . La siguiente, es la representación gráfica de dicha función:

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Valor máximo y valor mínimo de una función

Si f es una función dada, entonces )c(f es un valor máximo relativo de f, si existe un

intervalo abierto ] [b,a tal que bca << y )x(f)c(f ≥ para ] [b,ax∈ , siendo x un valor del dominio de la función. Si )x(f)c(f ≥ para toda x en el dominio de f, entonces )c(f es el valor máximo de f o máximo absoluto. Similarmente, )c(f es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo

abierto] [b,a tal que bca << y )x(f)c(f ≤ para ] [b,ax∈ , con x en el dominio de f. Si )x(f)c(f ≤ para toda x en el dominio de f, entonces se dice que )c(f es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto. Ejemplo: Considere una función f definida en un intervalo] [d,c , cuya representación gráfica es la siguiente:

Note que )x(f 1 , es un máximo relativo y )x(f 3 es el máximo valor que toma la

función en el intervalo en que está definida.

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Similarmente, )x(f 4 es un valor mínimo relativo y )x(f 2 es el mínimo absoluto de la

función en ] [d,c .

Teorema

Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si )c(f es un valor máximo relativo, o mínimo relativo de f y si existe )c('f entonces

0=)c('f . Ejemplo: Considere la función f definida por [ ] 7641 2 +−=→ xx)x(f,IR,:f Su representación gráfica es la siguiente: Note que la función f tiene un valor mínimo relativo en

3=x dado por ( ) 23 −=f . El punto ( )23, es el vértice

de la parábola con ecuación 762 +−= xxy . De acuerdo con el teorema anterior, debe cumplirse que ( ) 0=x'f .

Como ( ) 62 −= xx'f entonces ( ) 06323 =−⋅='f y se verifica lo enunciado respecto al valor mínimo. Nota: El recíproco del teorema anterior no es cierto. Es decir, el hecho de que ( )c'f sea

igual a cero, no implica que en cx = exista un máximo o un mínimo. Ejemplo: Sea ( ) 3xxf = , se tiene que

( ) 23xx'f = , y ( ) 0=x'f si 0=x ; sin embargo, en 0=x no hay ni un valor máximo ni un valor mínimo, como puede observarse en la representación gráfica de la función.

Definición. Sea f una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de f, aquellos en los que ( )x'f es igual a cero o en los que ( )x'f no existe.

Ejemplos: Determine los valores críticos de las siguientes funciones:

(a) ( ) IRxxxxf ∈−= ,2 42 (b) ( ) 0 ,1 >= xx

-xxf

Solución: (a) Como ( ) 422 xxxf −= , entonces ( ) 344 xxx'f −=

17

Ahora: ( ) ( ) 0140 2 =−⇔= xxx'f , luego los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.

(b) Como ( )x

-xxf1= , entonces ( )

32

1

2

1

xxx'f += , luego ( )

32

1

x

xx'f

+=

de donde ( ) 010 =+⇔= xx'f , o sea, si 1−=x , por lo tanto el valor crítico de f es

1−=x . Nota. Aunque ( )x'f se indefine en 0=x , como este valor no pertenece al dominio de

f, entonces no es valor crítico de dicha función. Definición. Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Valores críticos de una función en un intervalo cerrado I Dada una función f cuyo dominio es el intervalo I, un valor Ic∈ será un valor crítico de x para la función f si: i) ( ) 0=c'f ó

ii) ( )c'f no existe ó iii) c es un extremo del intervalo I. En este último caso,

� si [ ]b,aI = , entonces "a" y "b" son valores críticos,

� si [ [b,aI = o si [ [+∞= ,aI , entonces "a" es un valor crítico,

� si ] ]b,aI = , o si ] ]b,I ∞−= , entonces "b" es un valor crítico,

� si ] [b,aI = , entonces ni "a" ni "b" son valores críticos. Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función Teorema. Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ ]b,a , que es derivable en todo punto

del intervalo abierto] [b,a . Sea c un punto crítico de f,

� Si ( )x'f es positiva para todo cx < , y negativa para todo cx > , entonces ( )cf

es un valor máximo relativo de ( )xf .

� Si ( )x'f es negativa para toda cx < , y positiva para toda cx > , entonces ( )cf

es un mínimo relativo de ( )xf .

� Si ( )x'f es positiva para todo cx < y también lo es para todo cx > ; o si ( )x'f

es negativa para todo cx < y a su vez para todo cx > , entonces ( )cf no es un

valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de ( )xf .

18

máximo relativo en cx = mínimo relativo en cx =

no hay máximo ni mínimo en cx =

Ejemplos Determine los valores extremos de las siguientes funciones

(1) 3

3

14)( xxxf −=

Solución. f está definida para IRx∈ Como 24)(' xxf −= entonces 2 ó 20)(' −==⇔= xxxf , entonces los valores críticos son 2=x y x=-2. Hacemos el análisis de signos de ( )( )xxxf +−= 22)(' --- + + + --- | | -2 2 Por lo que f tiene un mínimo en 2−=x y un máximo en 2=x . Como la función decrece en ] [2,−∞− , crece en ] [2,2− y luego decrece en ] [+∞,2 , entonces

3

16)2( −=−f es un mínimo relativo y

3

16)2( =f es un máximo relativo en el

dominio de la función

19

(2) ( ) ( )33/2 11)( +−= xxxf , [ ]1,1−∈x

Solución.

( ) ( )3

2

13

7111)('

−−+=

x

xxxf , luego 1 ó, ,

11

70)(' −==⇔= xxxf . Además, )(' xf no

existe si 1=x .

Los valores críticos de f son 11

7=x , 1=x , 1−=x . Haciendo el análisis de signo de

)(' xf tenemos + + + --- | | | -1 7/11 1

)(xf es creciente en

−11

7,1 , por lo que 0)1( =−f es un mínimo relativo de la

función.

11

7f es un máximo relativo de la función.

)(xf es decreciente en

1,

11

7, por lo que 0)1( =f es un mínimo relativo de la función.

Ejercicios. Haga un estudio similar para las siguientes funciones

(1) 8126)( 23 −+−= xxxxf (2) [ ]2,2 ,1

2)( −∈

+−= x

x

xxg

(3) 5|| ,5)( 2 <−= xxxxh Concavidad y puntos de inflexión Definición. Se dice que la gráfica de una función f es cóncava (cóncava hacia arriba) en un intervalo I, ( )DomfI ⊆ , si ( )x'f es creciente sobre I.

Si ( )x'f es decreciente sobre I, entonces se dice que la gráfica de f es convexa (cóncava hacia abajo). y En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava en el intervalo ] [b,a

y convexa en el intervalo ] [c,b

x

20

Teorema

� Si f es una función tal que ( ) 0>x''f cuando ] [b,ax∈ , entonces la gráfica de f

es cóncava sobre ] [b,a .

� Si f es una función tal que ( ) 0<x''f cuando ] [b,ax∈ , entonces la gráfica de f

es convexa sobre ] [b,a .

Ejemplo. Determine la concavidad de la gráfica de ( )312

34 xxxf −=

Solución. Calculamos ( ) 23

3x

xx'f −= y ( ) ( )222 −=−= xxxxx''f

Para ver la concavidad de la gráfica debemos hacer el análisis de signo de la segunda derivada y usar el teorema anterior, así : ( ) ( ) 020 =−⇔= xxx''f 2 ó, 0 ==⇒ x,x +++ --- +++ | | 0 2 Como ( ) 0>x''f si ] [ ] [+∞∪∞−∈ ,,x 20 , entonces la gráfica de f es

cóncava ] [ ] [+∞∪∞−∈∀ ,,x 20

y, ( ) 0<x''f si ] [20,x∈ , entonces la gráfica de f es convexa ] [20 ,x∈∀ . Representación gráfica de la función f:

Definición Se dice que ( )( )00 xf,x es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si existe

un intervalo ] [b,a tal que ] [b,ax ∈0 , y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre

] [0x,a , y cóncava hacia abajo sobre ] [b,x0 , o viceversa.

Ejemplo. Determine los puntos de inflexión de la gráfica de ( ) 1612

234

+−+= xxx

xf

Solución. ( ) xxx

x'f 223

23

−+= , y ( ) ( )( )2122 +−=−+= xxxxx''f

Si analizamos los signos de ( )x''f tenemos: +++ --- +++ | | U -2 I 1 U

21

Como en 2−=x la gráfica de la función cambia de cóncava a convexa, entonces el punto ( )32 −− , es un punto de inflexión. Como en 1=x la gráfica de la función cambia de convexa a cóncava , entonces el punto

4

11, es un punto de inflexión.

En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.

Teorema Sea f una función continua sobre un intervalo I, y 0x es un punto interior de I tal que

( )0x''f existe y ( ) 00 =x''f . Si además existe un intervalo ] [b,a con ] [b,ax ∈0 ,

] [( )Ib,a ⊆ tal que:

� Si f es cóncava en ] [0x,a y f es convexa en ] [b,x0 entonces ( )( )00 xf,x es un

punto de inflexión de la gráfica de f. � Si f es convexa en ] [0x,a y f es cóncava en ] [b,x0 entonces ( )( )00 xf,x es un

punto de inflexión de la gráfica de f. � Si f no cambia de concavidad en 0xx = , entonces ( )( )00 xf,x no es punto de

Ejemplo. Determine, si existen puntos de inflexión en la grafica de ( ) ( ) 2313

8 /xxf −= ,

con 1≥x Solución. Como se tiene que ( )x''f nunca se hace cero y que ( )1''f no existe, además

( )x''f es mayor que cero para ] [+∞∈ ,x 1 , por lo que f siempre es cóncava hacia arriba

en su dominio, entonces ( )( )11 f, no es punto de inflexión.

Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y los valores mínimos relativos de una función

El siguiente teorema se puede utilizar, si se conoce la segunda derivada de una función. En algunos casos es más útil que el de la primera derivada

Teorema Sea f una función con dominio D. Si 0x es un punto crítico de f , entonces:

� ( )0xf es un valor máximo relativo de f si se cumple que ( ) 00 <x''f

� ( )0xf es un valor mínimo relativo de f si se cumple que ( ) 00 >x''f

Ejemplo Determine los extremos relativos de ( ) ( )( ) 35198

3 /xxxg −−=

22

Solución. Tenemos que IRDomg= . La primera derivada de g está dada por

( ) ( )( ) 3216 /xxx'g −−= , vemos que los valores críticos de g son 6y , 1 == xx La

segunda derivada de g es ( ) ( )3 13

35

−−=

x

xx''g .

Según el criterio de la segunda derivada, evaluando tenemos ( ) 0356 3 >=''g , por lo

que ( ) 3 258

456 −=g es un mínimo relativo de g .

Pero observamos que ''g no puede evaluarse en 1=x pues hace cero el denominador por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada.

Analizando los signos de( ) ( )( ) 3216 /xxx'g −−= se obtiene --- --- +++ | | 1 6 Al no existir cambio de signo resulta que ( )1f no es ni máximo ni mínimo. Nota. Con lo estudiado hasta aquí de análisis de funciones y curvas, podemos precisar

la gráfica de cada una de las funciones bosquejadas con el Método de las Regiones de Desarrollo.

Resolución de problemas de máximos y mínimos:

En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:

� Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra. � Hacer un dibujo cuando sea necesario. � Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una

ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo. � Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación

(ecuación auxiliar) � Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola

variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.

� Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos. � Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda

derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos. � Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema � Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema. � En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que se

deberán repasar las fórmulas sobre áreas y volúmenes.

Ejemplo. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

23

Solución. Se debe maximizar el área A de un rectángulo: Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo. Luego xyA = Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es: 12022 =+ yx , de donde

xy −= 60 , luego ( ) ( ) 26060 xxxxxA −=−= , [ ]600,x∈ Buscamos los valores críticos: Como ( ) xx'A 260−= ( ) 300 =⇔=⇒ xx'A , entonces 30=x es un valor crítico. Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada. Como ( ) ( ) 060302 <−=⇒−= ''Axx''A , entonces 30=x es un valor máximo. Si 30=x , entonces 30=y .

Si además evaluamos los extremos del intervalo, tenemos que ( ) ( ) 0600 == AA Por lo tanto, el rectángulo de mayor área y perímetro 120m, es un cuadrado de lado 30.

La regla de L'Hopital

Es un método que se le atribuye al matemático francés Guillaume Francois de L'Hopital

(1661-1707). Este escribió el primer libro de cálculo conteniendo su método, junto con J.

Bernoulli. Fue publicado en 1696.

Este método permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados anteriormente no era posible resolver.

Teorema Sean f y g funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en cierto

intervalo [ ]ba, y tales que 0)()( == agaf .

Entonces, si )('

)('lim

xg

xfax→

existe , también existirá )(

)(lim

xg

xfax→

y además

)(

)(lim

xg

xfax→

=)('

)('lim

xg

xfax→

También, si ∞=→ )('

)('lim

xg

xfax

entonces x ∞=→ )(

)(lim

xg

xfax

Ejemplos:

(1) Calcule senx

ee xx

x

−

→

−0

lim

Solución: Observe que 01100 =−=− ee , 00 =sen por lo que se tiene la forma 0

0

Luego utilizando el teorema anterior tenemos

24

21

2

coslim

cos

)1(limlim

000==+=−−=− −

→

−

→

−

→ x

ee

x

ee

senx

ee xx

x

xx

x

xx

x

Nota: Si 0)(' =af y 0)(' =ag y las derivadas )(' xf y )(' xg satisfacen las condiciones que se especificaron para las funciones f y g , según la hipótesis del teorema de la Regla de L'Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo obteniéndose

)('

)('lim

xg

xfax→

=)(''

)(''lim

xg

xfax→

Puede operarse así sucesivamente siempre que se presente la forma 0

0.

(2) Calcule senxx

xxx −

−→

tanlim

0

(3) Calcule 20

1lim

y

yey

y

−−→

Se puede aplicar la regla de L'Hôpital a límites en que se presenta la forma 0

0, cuando

la variable independiente tiende hacia ∞+ ó a ∞− . Ejemplos:

(1) Calcule

−

+∞→

xsen

xx 2lim

2

2

Solución: cuando +∞→x se tiene que 01

2→

x , y 0

2 →x

por lo que 022 →x

sen .

Luego se presenta la forma 0

0 y podemos aplicar la regla de L’Hôpital

=

=

−

−=

−

+∞→−

−

+∞→

−

+∞→

−

+∞→

xsen

x

xsenx

x

xxxsen

x

xsen

xxxxx 4lim

4lim

22cos

22

2lim

2lim

1

2

3

2

3

2

2

, que

es nuevamente de la forma 0

0 por lo que volvemos a aplicar la regla:

4

14

cos4

1lim

44cos

lim4

lim

2

21

=

=

−⋅

−=

+∞→

−

+∞→

−

+∞→

xxx

x

xsen

xxxx

(2) Calcule

+∞→

x

xsen

x 1arctan

1

lim

25

Aplicación de la Regla de L'Hôpital a otxras formas indeterminadas

La Regla de L'Hôpital también se aplica en los casos en que un cociente presenta algunas de las formas siguientes:

Ejemplo: Calcule xx

xx

x ee

ee−

−

+∞→ −+

2lim

Solución: 1

1limlim

3

2

2 −+=

−+

+∞→−

−

+∞→ x

x

xxx

xx

x e

e

ee

ee que presenta la forma

∞+∞+

, luego

01

lim3

2

3

2lim

1

1lim

3

2

3

2

===−+

+∞→+∞→+∞→ xxx

x

xx

x

x ee

e

e

e

Límites que presentan la forma

Si 0)(lim =→

xfax

y ∞=→

)(lim xgax

entonces el )]()([lim xgxfax→

puede designarse por la

forma que no coincide con ninguna de las expresiones en las que es posible aplicar la Regla de L'Hôpital.

Sin embargo, es posible hacer transformaciones algebraicas de manera que se obtengan

las formas 0

0 ó

∞∞

, como sigue:

i) )(

1

)()]()([lim

xgax

xfxgxf =

→ y se tiene

0

0 cuando

ii) )(

1

)()]()([lim

xfax

xgxgxf =

→ y se tiene

∞∞

cuando

En estos dos casos sí es posible aplicar la Regla de L'Hôpital.

Ejemplos: (1) Calcule ]ln2[lim

0xx

x +→

Solución: ]ln2[lim0

xxx +→

, como +→ 0x entonces +→ 02x y −∞→xln . Entonces

xxx

xxx

2100

lnlim]ln2[lim

++ →→= que presenta la forma

∞+∞−

lo que permite aplicar la Regla de

L'Hôpital :

02limlimln

lim]ln2[lim0

21

1

02100

2

=−===++++ →−→→→

xx

xxx

x

x

xx

xx

(2) Calcule xsenxx

lnlim0+→

(3) ( )

−−→ 2

tan1lim1

xx

x

π

26

Otras formas indeterminadas Si en el )()]([lim xg

axxf

→ presenta una las formas ∞∞ 1,,0 00 , haciendo un procedimiento

algebraico, se puede transformar en una de las formas necesarias para aplicar la regla de L’Hôpital Consideremos la igualdad )()]([ xgxfy = , aplicando logaritmo natural a ambos lados de ella se tiene que )]()[ln(ln xfxgy = . Note que en la expresión )]()[ln( xfxg presenta en todos los casos la forma . Ejemplos:

(1) Calcule 11

1lim −

+→

xxx

Solución: tenemos la forma +∞1 , entonces x

xeyxx

yxy xln

1

1

ln1

1ln1

1−=⇔

−=⇔= − ,

luego 1

lnlimln

1

1limln

1

1

11

11limlim −−−

→→

+→+→

++=== x

xx

xx

x

xx

xx eeey Note que 1

lnlim

1 −+→ x

xx

presenta la forma

0

0por lo que puede aplicarse la Regla de L'Hôpital. Entonces

eeeeex xx

x

x

x

x

xxx ===== +→+→+→−

+

−

→

11

lim1

lim1

lnlim

1

1

1

1111

lim

(2) Calcule x

x x

tan

0

1lim

+→

Otra forma indeterminada En algunos límites se presenta la forma )()( +∞−+∞ de la cual no se puede dar un resultado inmediato. Sin embargo, mediante algunas transformaciones algebraicas es

posible obtener la forma 0

0 y aplicar luego la Regla de L'Hôpital.

Ejemplo: Calcule

−−

−→ 1

1

1

2lim

21 xxx

Solución: consideramos los límites laterales, así )()(1

1

1

2lim

21+∞−+∞=

−−

−+→ xxx y

∞−+∞=−∞−−∞=

−−

−−→)()()(

1

1

1

2lim

21 xxx. Como en ambos casos tiene la misma

forma, resolvemos el límite de la siguiente forma 1

1lim

1

1

1

2lim

2121 −−=

−−

− →→ x

x

xx xx que

es de la forma 0

0, aplicamos la regla de L’Hôpital

2

1

2

1lim

1

1lim

121

−=−=−

−→→ xx

xxx

i Material extraído de:

- Apuntes de CDeIR (08-2). UACh Pto Montt. Dr. Francisco Cala. - http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/index.htm