Unidad 3

Ecuaciones E Inecuaciones, Funciones Y Gráficas, Funciones Especiales

Contenido

INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 2

1. DESIGUALDADES .............................................................................................. 2

1.1 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES ................................................ 3

1.2 INECUACIONES ........................................................................................... 5

1.3. INTERVALOS SOBRE LA RECTA DE LOS NÚMEROS REALES ............... 5

1.3.1 Clases de Intervalos ............................................................................... 6

1.3.2. Operaciones con Intervalos .................................................................... 8

1.3.3. Valor Absoluto de Ecuaciones y Desigualdades: ................................. 17

1.3.4. Propiedades de Valor Absoluto ............................................................ 18

1.4. ECUACIONES ............................................................................................ 19

1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ................................................. 24

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales ............................. 24

1.6. ECUACIÓN CUADRÁTICA ......................................................................... 39

2. FUNCIÓN LINEAL, FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y FUNCIÓN EXPONENCIAL .. 42

2.1 FUNCIÓN LINEAL ....................................................................................... 42

2.1.1 Pendiente de una Función Lineal .......................................................... 43

2.2.2. Ecuación Punto Pendiente ................................................................... 45

2.2.3. Modelos Lineales ................................................................................. 46

2.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA ........................................................................... 49

2.3. FUNCIONES ESPECIALES ....................................................................... 54

Función Logarítmica ....................................................................................... 54

2.4 ECUACIONES LOGARÍTMICAS ................................................................. 56

2.5 FUNCIONES EXPONENCIALES ................................................................ 57

BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS DIGITALES ......................................................... 60

INTRODUCCIÓN Apreciado(a) estudiante: en esta unidad, se tratarán los conceptos básicos del Álgebra, como las desigualdades e inecuaciones, los sistemas de ecuaciones lineales, las ecuaciones cuadráticas, ecuaciones logarítmicas; se hará un breve repaso, sobre razones y proporciones, regla de tres simple y compuesta, y algunas aplicaciones sobre interés simple y compuesto. La aplicación de los conceptos claros, que enmarcan los conceptos básicos de Álgebra, dan claridad de los conceptos fundamentales de las Matemáticas, ya que constituyen la base de otras asignaturas, como lo es la Trigonometría, las Matemáticas Financieras, el Cálculo, la Geometría Analítica, entre otras. En esta unidad, se profundizará en las características especiales que tienen los temas a tratar, donde se involucran diferentes contextos, con problemas de aplicación, basados en la teoría explicada. Conocimientos previos requeridos

Operaciones con el conjunto de los números reales (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación, logaritmación).

Mínimo común múltiplo, y máximo común divisor.

Descomposición en factores primos.

Análisis e interpretación de problemas.

Operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, división)

Productos notables

Factorización de expresiones algebraicas.

Simplificación de fracciones algebraicas.

Competencias Al finalizar la unidad, el estudiante estará en capacidad de:

Identificar las variables de una ecuación lineal

Realizar operaciones basadas en el contexto de los polinomios

Factorizar adecuadamente, expresiones algebraicas.

Desarrollar adecuadamente los métodos de solución de los sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3, o según sea el caso.

Aplicar correctamente los sistemas de ecuaciones, en su entorno diario.

1. DESIGUALDADES

Según Montoya. R Juan C. Docente ECT. Definición: Una desigualdad, es una expresión matemática, que contiene los siguientes signos:

Sea 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 , se expresan las siguientes relaciones, en este conjunto: 𝑎 < 𝑏, 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑎 > 𝑏, 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏

Estos se conocen como desigualdades estrictas.

𝑎 ≤ 𝑏, 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏

Ejemplos: Sean las siguientes relaciones: 𝑎. 3 < 4, 3 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 4 𝑏. −2 > −100, − 2 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 − 100 c. −3 ≤ 6 − 3 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 6 d. 2 ≥ 2, 2 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 2

1.1 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Se pueden resolver desigualdades, utilizando las propiedades de la suma y la sustracción, según sea el caso: Propiedades de la adición y sustracción.

a. 𝑎 > 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 b. 𝑎 > 𝑏 → 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐

Ejemplo: Solucione las siguientes desigualdades: Determine el valor de la incógnita:

3 + 𝑥 > 6 = 𝑥 > 6 − 3 = 𝑥 > 3

Solución: 𝑥 > 3

𝑥 − 5 < −12 = 𝑥 < −12 + 5 = 𝑥 < −7

Solución: 𝑥 < −7

0,5𝑥 ≤ 7 − 0,5𝑥𝑥 ≤ 0𝑥 ≥ 35𝑥 ≤ 7𝑥 ≥ 5𝑥 ≤ 0𝑥0,5𝑥𝑥 ≤ 7𝑥 ≥ 35, 𝑥0,5𝑥𝑥 ≤ 7𝑥≤ 70,5𝑥1𝑥, 𝑥 ≤ 7𝑥 ≥ 5 𝑥0,5𝑥𝑥 ≤ 7

Propiedades de las desigualdades de la Multiplicación y de la División:

Según Montoya. R Juan C. Docente ECT En estas propiedades, debe tener presente, que cuando multiplica por un número negativo, debe revertir el signo de la desigualdad; es decir, cuando multiplica o divide a ambos lados de la expresión, por un número negativo, el signo de la desigualdad, debe cambiar; para esto, se utilizan las siguientes propiedades:

a. 𝑎 > 𝑏 → 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐, 𝑠𝑖 𝑐 > 0 b. 𝑎 > 𝑏 → 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐, 𝑠𝑖 𝑐 < 0

c. 𝑎 > 𝑏 →𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐, 𝑠𝑖 𝑐 > 0

d. 𝑎 > 𝑏 →𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐, 𝑠𝑖 𝑐 < 0

Comentario del Tutor: Se puede tener presente, que sólo cambia el signo, cuando multiplica o divide por un número negativo. Si realiza adición o sustracción, con un número negativo, la desigualdad no va a cambiar. Ejemplos:

a. Resuelva las siguiente desigualdad:

− 1

4> −12𝑥

Divide a ambos lados entre −12 , para despejar la variable; como está dividendo entre un negativo, debe cambiar la dirección del signo de la desigualdad.

− 1

4× (−

1

12) <

−12

−12𝑥

1

48< 𝑥

b. Resuelva las siguiente desigualdad:

4𝑥 > 24 Dividimos a ambos lados de la desigualdad entre 4, para despejar la variable.

4𝑥 > 24

4

4𝑥 >

24

4

𝑥 > 6

c. Resuelva las siguiente desigualdad:

−3𝑥 > 15

Divido cada lado de la desigualdad entre −3, para despejar la variable, y cambia el sentido del signo de la desigualdad, ya que estamos dividiendo entre un número negativo.

−3

−3𝑥 <

15

−3

𝑥 < −5

Comentario del tutor: Cuando a ambos lados de la desigualdad, se divide por un número negativo, el

símbolo de la desigualdad, cambia, es decir, > 𝑎 <

−10𝑦 ≥ 150𝑦 = −15𝑦 ≥ −15𝑦 ≤ −15𝑦 ≥ 15𝑦 = −15 − 15𝑦 ≤ −15𝑦 ≥ −15𝑦= 0 − 15, 𝑦 ≤ −15𝑦 ≤ −15 − 10 − 15 ≥ 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟𝑠𝑒 ≤ 𝑦≥ 15𝑦 ≤ −15

1.2 INECUACIONES Según Montoya. R Juan C. Docente ECT Las inecuaciones, son desigualdades algebraicas, que en sus dos miembros, se relacionan con los signos: menor que, menor o igual que, mayor que, mayor o igual que. La solución de una inecuación, es un conjunto de valores, tomados en un intervalo.

1.3. INTERVALOS SOBRE LA RECTA DE LOS NÚMEROS REALES

La relación de orden, permite escribir subconjuntos importantes en los números reales.

1.3.1 Clases de Intervalos

De acuerdo a sus características especiales, se pueden tener las siguientes definiciones:

a. Definición 1: Intervalos cerrados a izquierda y derecha

Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, entonces, [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

En el intervalo cerrado 𝑎 𝑦 𝑏, incluye todos los puntos extremos de la recta de los números reales entre 𝑎 𝑦 𝑏

b. Definición 2: Intervalos abiertos a izquierda y derecha Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, entonces, (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

En el intervalo abierto 𝑎 𝑦 𝑏 , no incluye todos los puntos extremos de la recta de los números reales entre 𝑎 𝑦 𝑏.

c. Definición 3: Intervalo abierto a izquierda, cerrado a derecha Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, entonces, (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} Intervalo cerrado a izquierda, abierto a la derecha Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, entonces, [𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} Para este tipo de intervalos, sólo se toman los extremos, cuando la expresión es cerrada.

d. Definición 4: Intervalos infinitos a derecha Si 𝑎 ∈ 𝑅, entonces, (𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 > 𝑎} Si 𝑎 ∈ 𝑅, entonces, [𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 ≥ 𝑎}

Sólo se toman los extremos, cuando el intervalo es cerrado.

e. Definición 5: Intervalos infinitos a izquierda Si 𝑏 ∈ 𝑅, entonces, (−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 < 𝑏} Si 𝑏 ∈ 𝑅, entonces, (−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 ≤ 𝑏} Sólo se toma el punto, cuando es cerrado.

Las anteriores definiciones, se ven ilustradas en la siguiente tabla:

Notación de

conjunto

Notación

de

intervalo

Notación grafica

{𝑥|𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

(𝑎, 𝑏)

(⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣)

𝑎 0 𝑏

Intervalo abierto

en ambos

extremos

{𝑥|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

[𝑎, 𝑏]

−[⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣] −

𝑎 0 𝑏

Intervalo cerrado

en ambos

extremos

{𝑥|𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

[𝑎, 𝑏)

−[⊣⊣⊣⊣⊣⊣) −

𝑎 0 𝑏

Intervalo cerrado

en “a” y abierto en

“b”

{𝑥|𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

(𝑎, 𝑏]

−(⊣⊣⊣⊣⊣⊣] −

𝑎 0 𝑏

Intervalo abierto

en “a” y cerrado

en “b”

{𝑥|𝑥 ≥ 𝑏}

[𝑏, ∞)

→ ∞

⊣ [⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣

𝑏 0

Intervalo cerrado

en “b” y abierto

hasta infinito

{𝑥|𝑥 ≤ 𝑏}

(−∞, 𝑏]

− ∞ ←

⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣] −

0 𝑏

Intervalo abierto

desde menos

infinito y cerrado

“b”

{𝑥|𝑥 < 𝑏} (−∞, 𝑏)

− ∞ ←

⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣) −

0 𝑏

Intervalo abierto

desde menos

infinito y abierto

hasta “b”

{𝑥|𝑥 > 𝑏} (𝑏, ∞)

→ ∞

⊣ (⊣⊣⊣⊣⊣⊣⊣ −

𝑏 0

Intervalo abierto

en “b” y abierto

hasta infinito

Tomado de: https://ybarrera.wordpress.com/

1.3.2. Operaciones con Intervalos Para las operaciones con intervalos, se utilizará la simbología de la lógica proposicional, y la teoría de conjuntos, en cuanto a las operaciones dadas entre ellos.

a. Unión entre intervalos: Se define bajo la siguiente expresión.

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝐴 ∨∈ 𝐵}

b. Intersección entre intervalos: Se define bajo la siguiente expresión.

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∈ 𝐵}

Ejemplo 1:

a. Solucione las siguientes desigualdades

Resuelva y grafique:

2(2𝑥 + 3) − 10 < 6(𝑥 − 2)

4𝑥 + 6 − 10 < 6𝑥 − 12 4𝑥 − 4 < 6𝑥 − 12 4𝑥 − 4 + 4 < 6𝑥 − 12 + 4

4𝑥 < 6𝑥 − 8

4𝑥 − 6𝑥 < −8

−2𝑥 < −8 −2𝑥

−2>

−8

−2

𝑥 > 4 Solución gráfica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∞ Solución: El intervalo solución es: (4, ∞) El intervalo es abierto a izquierda y a derecha, ya que no toma ninguno de los puntos extremos. Ejemplo 2:

b. Solucione las siguientes desigualdades:

Resuelva y grafique

3(𝑥 − 1) ≥ 5(𝑥 + 2) − 5 3𝑥 − 3 ≥ 5𝑥 + 10 − 5

3𝑥 − 3 ≥ 5𝑥 + 5

3𝑥 − 3 + 3 ≥ 5𝑥 + 5 + 3 3𝑥 ≥ 5𝑥 + 8

3𝑥 − 5𝑥 ≥ 8

−2𝑥 ≥ 8 −2𝑥

−2≤

8

−2

𝑥 ≤ −4 Solución gráfica:

−∞ −4 Solución:

Es el intervalo (−∞, −4]

Para este caso, toma el punto −4 , ya que es cerrado Ejemplo 3:

c. Solucione las siguientes desigualdades:

Resuelva y grafique 2𝑥 − 3

4+ 6 ≥ 2 +

4𝑥

3

12 (2𝑥 − 3

4) + 12(6) ≥ 12(2) + 12 (

4𝑥

3)

3(2𝑥 − 3) + 72 ≥ 24 + 4(4𝑥)

6𝑥 − 9 + 72 ≥ 24 + 16𝑥

6𝑥 + 63 ≥ 24 + 16𝑥 63 − 24 ≥ 16𝑥 − 6𝑥 39 ≥ 10𝑥 39

10≥

10𝑥

10

39

10≥ 𝑥

Solución gráfica:

−∞ 39

10

Solución:

Está dada por el intervalo (−∞,39

10]

Para este caso, el intervalo es cerrado a derecha, y toma el punto 39

10

Ejemplo 4:

d. Solucione las siguientes desigualdades:

Resuelva y grafique

(4𝑥 − 3

3) + 8 < 6 +

3𝑥

2

6 (4𝑥 − 3

3) + 6(8) < 6(6) + 6 (

3𝑥

2)

2(4𝑥 − 3) + 48 < 36 + 9𝑥

8𝑥 − 6 + 48 < 36 + 9𝑥

8𝑥 + 42 < 36 + 9𝑥 8𝑥 − 9𝑥 < 36 − 42 −1𝑥 < −6 −1𝑥

−1>

−6

−1

𝑥 > 6 Solución gráfica:

6 ∞ Solución: En el intervalo abierto (6, ∞); como el intervalo es abierto en 6, no se toma el punto extremo

Ejemplo 5: Problema de aplicación.

e. Solucione las siguientes desigualdades:

Resuelva En un experimento químico, una solución de ácido clorhídrico, se va a mantener

entre 300C y 350C, es decir, 30 ≤ 𝐶 ≤ 35. ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Fahrenheit de conversión Celsius / Fahrenheit, si se conoce la fórmula de

conversión que es: 𝐶 =5

9(𝐹 − 32).?

Solución:

30 ≤ 𝐶 ≤ 35, si 𝐶 =5

9(𝐹 − 32).

30 ≤5

9(𝐹 − 32) ≤ 35

9

5(30) ≤

9

5×

5

9(𝐹 − 32) ≤

9

5(35)

270

5≤

45

45(𝐹 − 32) ≤

315

5

54 ≤ 𝐹 − 32 ≤ 63 54 + 32 ≤ 𝐹 − 32 + 32 ≤ 63 + 32

86 ≤ 𝐹 ≤ 95 El rango de la temperatura es de 860F a 960F. En total.

Ejemplo 6: Problema de aplicación.

f. Solucione las siguientes desigualdades:

El aire seco, tiende a avanzar hacia arriba y a expandirse, y al ir avanzando, se enfría a una razón constante de 5.50F, por cada 1000 ft (pies) que asciende hasta alcanzar una altitud de 400000 ft (pies). Si la temperatura en el suelo es de 700F, entonces la temperatura T una altura h, estará dada

aproximadamente por 𝑇 = 70 − 0,0055ℎ , para un rango de altitud, la temperatura estará entre 260F y 400F, en total. Solución:

𝑇 = 70 − 0,0055ℎ ℎ = 40000 𝑓𝑡 Temperatura del suelo 700F

−40 ≤ 𝑇 ≤ 26 −40 ≤ 70 − 0,0055ℎ ≤ 26

−40 − 70 ≤ 70 − 0,0055ℎ − 70 ≤ 26 − 70 −110 ≤ −0,0055ℎ ≤ −44

−110

−0,0055≥

−0,0055ℎ

−0,0055≥

−44

−0,0055

20000 ≥ ℎ ≥ 8000 Solución: La altura está entre 8000 ft y 20000 ft

Ejemplo 7: Problema de aplicación.

g. Solucione las siguientes desigualdades:

Suponga que una llamada a larga distancia cuesta 36 Euros, los tres primeros minutos, y 11 Euros, cada minuto adicional. ¿Durante cuántos minutos puede hablar una persona con menos de 200 Euros?.

Solución:

𝑥: 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Número

𝑥 − 3 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Costo de los tres primeros minutos

Costo de los minutos adicionales

Costo

36 11(𝑥 − 3) 200 Euros

Entonces, la desigualdad sería: 36 + 11(𝑥 − 3) < 200

36 + 11𝑥 − 33 < 200 3 + 11𝑥 < 200

3 − 3 + 11𝑥 < 200 − 3 11𝑥 < 197 11𝑥

11<

197

11

𝑥 < 17,90 Solución: Como la empresa no cobra fracciones, el tiempo máximo es de 17 minutos.

Ejemplo 8: Ejercicios de desigualdades, que involucran factorización.

h. Solucione las siguientes desigualdades:

𝑥2 − 5𝑥 ≤ −6

𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≤ 0 Comentario: Como (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≤ 0 ambos factores tiene el mismo signo, existe una Solución. (𝑥 − 2) ≥ 0 𝑦 (𝑥 − 3) ≥ 0 𝑥 − 2 ≥ 0 𝑥 − 3 ≥ 0 𝑥 ≥ 2 𝑥 ≤ 3

Solución gráfica:

−∞ 2 3 ∞ Recuerde que la gráfica muestra que el intervalo es cerrado; por eso, tomo los puntos extremos, en este caso 2 y 3. Solución por operación de intervalo: (−∞, 2] ∩ [3, ∞) = [2,3] Ejemplo 9: Ejercicios de desigualdades que involucran factorización.

i. Solucione las siguientes desigualdades:

6𝑥2 + 𝑥 − 2 > 0 6(6𝑥2) + 6(𝑥) − 6(2) > 0

36𝑥2 + 6(𝑥) − 12 > 0 (6𝑥 + 4)(6𝑥 − 3) > 0 (6𝑥 + 4)(6𝑥 − 3)

3 × 2> 0

(3𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) > 0 Comentario: Como los signos de los factores son diferentes, se pueden tener dos posibilidades, así: Primera Posibilidad: (3𝑥 + 2) > 0 𝑦 (2𝑥 − 1) > 0

3𝑥 + 2 > 0 2𝑥 − 1 > 0

𝑥 > −2

3 𝑥 >

1

2

Solución gráfica:

−∞ −2

3

1

2 ∞

(∞,1

2) ∩ (−

2

3, ∞) = (

1

2 , ∞)

Segunda Posibilidad: (3𝑥 + 2) < 0 𝑦 (2𝑥 − 1) < 0

3𝑥 + 2 < 0 2𝑥 − 1 < 0

𝑥 < −2

3 𝑥 <

1

2

Solución gráfica:

−∞ −2

3

1

2 ∞

(−∞, −2

3) ∩ (−∞,

1

2) = (−∞, −

2

3)

Solución general:

(1

2 , ∞) ∪ (−∞, −

2

3)

El conjunto solución, es:

{ 𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 >1

2 ∨ 𝑥 < −

2

3}

Ejemplo 10: Ejercicios de desigualdades que involucran factorización.

j. Solucione las siguientes desigualdades:

𝑥2 − 5𝑥 ≤ 6

𝑥2 − 5𝑥 − 6 ≤ 0 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≤ 0 Primera posibilidad: (𝑥 − 2) ≥ 0 𝑦 (𝑥 − 3) ≤ 0

𝑥 ≥ 2 𝑦 𝑥 ≤ 3 Solución gráfica: 2 3

(−∞, 2] ∩ [3, ∞) = [2,3] Segunda posibilidad: (𝑥 − 2) ≤ 0 𝑦 (𝑥 − 3) ≥ 0

𝑥 ≤ 2 𝑦 𝑥 ≥ 3 Solución gráfica: 2 3

(−∞, 2] ∩ [3, ∞) = ∅ Entonces la solución general, es:

[2,3] ∪ ∅ = [2,3] Ejemplo 11: Desigualdades Que Involucran Expresiones, Los Racionales. Resuelva la siguiente desigualdad: 𝑥 + 4

2𝑥 + 3> 0

Se pueden presentar dos posibilidades: Primera posibilidad:

2𝑥 + 3 > 0 𝑥 + 4 > 0 2𝑥 > −3 𝑥 > −4

𝑥 > −3

2

−4 −3

2

Solución:

(−3

2, ∞) ∩ (−4, ∞) = (−

3

2, ∞)

Segunda Posibilidad:

2𝑥 + 3 < 0 𝑥 + 4 < 0

2𝑥 < −3 𝑥 < −4

𝑥 < −3

2

−4 −3

2

(−3

2, ∞) ∩ (−∞, −4) = (−∞, −4)

Solución General:

(−3

2, ∞) ∪ (−∞. −4) = (−∞, ∞)

2(2𝑥 + 3) − 10 < 6(𝑥 − 2)𝑎. (4, ∞)𝑏. (−4, ∞)𝑐. (−4, −∞)𝑑. (4, −∞) − 3

≤ 4 − 7𝑥 ≤ 18𝑎. (−2, 1]𝑏. (−2, 1)𝑐. (2, 1]𝑑. [−2,1] − 2 −𝐵

4

≤1 + 𝐵

3𝑎. [−4, ∞)𝑏. [4, ∞)𝑐. [−4, −∞)𝑑. (−4, ∞) − 12

<3

4(2 − 𝑥) ≤ 24𝑎. [−30,18)𝑏. [30,18)𝑐. [−30, −18)𝑑. (−30,18)

1.3.3. Valor Absoluto de Ecuaciones y Desigualdades: Según Montoya. R Juan Carlos Docente. ECT El Valor absoluto de un número, se define como la distancia que existe entre dicho número y el cero.

Se tiene que si 𝑎 ∈ 𝑅, el valor absoluto de 𝑎 se denota |𝑎|, para todo número 𝑎, se define su valor absoluto, como sigue:

|𝑎| = {𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0

−𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 < 0

Ejemplos: Determine el valor absoluto de las siguientes expresiones:

a. |𝑎| = 𝑎 b. |−2| = 2

c. |𝑎 + 𝑥| = 𝑎 + 𝑥 d. |2𝑥 − 1| = 2𝑥 − 1

Comentario: Si se observa la expresión |2𝑥 − 1| , se puede aplicar correctamente, la definición dada, así:

|2𝑥 − 1| = {2𝑥 − 1, 𝑠𝑖 2𝑥 − 1 ≥ 0

−(2𝑥 − 1), 𝑠𝑖 2𝑥 − 1 < 0

1.3.4. Propiedades de Valor Absoluto

Si 𝑎 𝑦 𝑏 son números reales, y 𝑛 es un número entero, se tiene que:

1. |𝑎| = |−𝑎| 2. |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|

3. |𝑎

𝑏| =

|𝑎|

|𝑏|

4. |𝑎𝑛| = |𝑎|𝑛

Ejercicio: Solucione las siguientes expresiones, encontrando las soluciones de las igualdades:

a. |2𝑥 − 1| = |𝑥 + 2|

|2𝑥 − 1|2 = |𝑥 + 2|2 (2𝑥 − 1)2 = (𝑥 + 2)2

4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

4𝑥2 − 4𝑥 + 1 − 𝑥2 − 4𝑥 − 4 = 0

3𝑥2 − 8𝑥 − 3 = 0

(3)3𝑥2 − 8(3𝑥) − (3)3 = 0

9𝑥2 − 8(3𝑥) − 9 = 0

(3𝑥 − 9)(3𝑥 + 1)

3𝑥1= 0

(𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) = 0 𝑥 − 3 = 0 3𝑥 + 1 = 0

𝑥 = 3 𝑥 = −1

3

Solución del sistema:

𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −1

3

b. |7𝑥 − 6| ≤ 3

−3 ≤ |7𝑥 − 6| ≤ 3

−3 ≤ 7𝑥 − 6 ≤ 3 −3 + 6 ≤ 7𝑥 − 6´6 ≤ 3 + 6 3 ≤ 7𝑥 ≤ 9 3

7≤

7

7 𝑥 ≤

9

7

3

7≤ 𝑥 ≤

9

7

Conjunto solución:

{𝑥 ∈ 𝑅/3

7≤ 𝑥 ≤

9

7 } = [

3

7 ,

9

7]

1.4. ECUACIONES Una ecuación, es una expresión matemática, que busca dar solución a una incógnita, basado en ciertos valores que puede tomar, para satisfacer una igualdad.

a. Ecuaciones Lineales: una ecuación lineal, es una variable 𝑥; es una ecuación, cuya forma general, es 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. Donde para dar una solución, se utilizan las

propiedades de los números reales, presumiendo que 𝑎 ≠ 0 (con 𝑎 diferente de cero).

Ejemplos: De las siguientes expresiones, despeje la variable adecuada:

a. 𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥−𝑑= 2

Solución:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 2(𝑐𝑥 − 𝑑)

𝑎𝑥 + 𝑏 = 2𝑐𝑥 − 2𝑑 𝑎𝑥 − 2𝑐𝑥 = −(2𝑑 − 𝑏) 𝑥(𝑎 − 2𝑐) = −(2𝑑 + 𝑏)

𝑥 = −2𝑑 + 𝑏

𝑎 − 2𝑐

b. 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐𝑥 = 𝑑 Solución:

𝑎𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝑑 − 𝑏

𝑥(𝑎 + 𝑐) = 𝑑 − 𝑏

𝑥 =𝑑 − 𝑏

𝑎 + 𝑐

c. 𝑥+5

4−

3𝑥

2= 𝑥

Solución:

2(𝑥 + 5) − 4(3𝑥)

8= 𝑥

2𝑥 + 10 − 12𝑥 = 8𝑥 −10𝑥 − 8𝑥 = −10 −18𝑥 = −10

𝑥 = −10

−18

𝑥 =5

9

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN INCÓGNITAS Para la solución de problemas que involucran incógnitas, se debe tener claridad, entre lo que es el lenguaje gramatical, y su contextualización al lenguaje algebraico. A continuación, se dan algunos ejemplos de su contextualización:

Lenguaje Gramatical Lenguaje Algebraico

Un número 𝑥

El doble de un número 2𝑥

La mitad de un número 𝑥

2 ,

1

2𝑥

La tercera parte de un número 𝑥

3 ,

1

3𝑥

La suma de dos números 𝑥 + 𝑦

La diferencia de dos números 𝑥 − 𝑦

El producto de dos números 𝑥. 𝑦

El cociente de dos números 𝑥

𝑦

La suma de dos números entre su producto 𝑥 + 𝑦

𝑥. 𝑦

El cuadrado de un número 𝑥2, (𝑥)2 4

5 de la suma de 𝑥 y 𝑦 4

5(𝑥 + 𝑦)

Un número aumentado en cinco 𝑥 + 5

Un número disminuido en cinco 𝑥 − 5

Tres números consecutivos. 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2

Elaborada por: Montoya R. Juan Carlos. Docente ECT TABLA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS, QUE INVOLUCRAN FÓRMULAS DE CANTIDAD, RAZÓN Y TIEMPO En la siguiente tabla, encontrará expresiones que le permitirán desarrollar ejercicios de aplicación, que contengan: Razón, Cantidad, Tiempo y Distancia

Elaborada por: Montoya R. Juan Carlos. Docente ECT SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Se sugiere seguir los pasos que se presentan a continuación, para el planteamiento de problemas; recuerde tener presente la anterior tabla, donde se contextualiza el lenguaje gramatical, al lenguaje algebraico, así: a. Determinar las incógnitas y representarlas con variables. b. Expresar algebraicamente, en términos de las variables, según la información

que proporciona el problema. c. Plantear y resolver la ecuación. d. Identificar si la solución dada, cumple con las condiciones del problema.

Ejemplo: Solucione los siguientes ejercicios:

𝑹 = 𝑹𝒂𝒛𝒐𝒏 𝑸 = 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑻 = 𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑫 = 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒏𝒄𝒊𝒂

𝑅 =𝑄

𝑇

𝑄 = 𝑅. 𝑇 𝑇 =

𝑄

𝑅

𝐷 = 𝑅. 𝑇

𝑅 =𝐷

𝑇

𝑇 =

𝐷

𝑅

a. El interés anual producido por $24000, excede en $156 al producido por $17000. Si la tasa anual que se aplica a los $17000, es del 8% mayor que la aplicada a los $24000. ¿Cuál es la tasa anual de interés, aplicada a cada cantidad?.

Solución:

Sea 𝑥% la tasa anual buscada. (𝑥 + 1,8%) La tasa de interés anual que se aplica a los $17000

24000.𝑥

100 Interés producido por los $24000

17000.𝑥+1,8

100 Interés producido por $17000

24000.𝑥

100− 17000.

𝑥+1,8

100= 156

240𝑥 − 170(𝑥 + 1,8) = 156

240𝑥 − 170𝑥 − 306 = 156 70𝑥 = 156 + 306 70𝑥 = 462

𝑥 =462

70

𝑥 = 6,6 Respuesta: El 6,6% es la tasa de interés de los $24000, y el 6,6% + 1,8%= 8,4%, que es el interés producido por los $17000.

b. Si A es capaz de realizar un trabajo en 3 días, y B puede realizarlo en 6 días. ¿Cuánto demorarán efectuando, juntos el trabajo? Solución:

A efectúa 1

3 de trabajo en un día.

B efectúa 1

6 de trabajo en un día

A y B juntos efectúan 1

𝑥 de trabajo en un día

𝑥 Tiempo de trabajo de A y B 1

3+

1

6=

1

𝑥

2

6+

1

6=

1

𝑥 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟

2 + 1

6=

1

𝑥

3

6=

1

𝑥

3𝑥 = 6

𝑥 =6

3

𝑥 = 2

Por consiguiente, 𝑥 = 2 donde serán 2 días, el tiempo que demoran A y B en realizar el trabajo.

c. Una compañía de publicidad, tiene computadoras viejas, que para preparar todo

el correo, tarda 6 horas; con la ayuda de un nuevo modelo, se termina el trabajo en dos horas. ¿Cuánto tiempo le tomará al nuevo modelo, hacer solo el trabajo? Solución:

Sea 𝑥 Tiempo (horas) que emplea el nuevo modelo

Trabajo terminado: 𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 × 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Rapidez modelo viejo: 1

6 trabajo por hora

Rapidez del modelo nuevo: 1

𝑥 trabajo por hora

𝑄 = 𝑅. 𝑇 1

6(2) +

1

𝑋(2) = 1 𝐶𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0

2

6+

2

𝑋= 1

1

3+

2

𝑋= 1

𝑥 + 6

3𝑥= 1

𝑥 + 6 = 3𝑥 6 = 2𝑥

𝑥 = 3 Por consiguiente, la nueva computadora podrá hacer sola el trabajo en 3 horas.

6𝜋𝑚3𝑑 = √363

𝑑 = 63√123

𝑑= 63 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎4 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎3 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜3 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜|𝑃− 500| ≤ 20|𝑃 + 500| < 20|𝑃 − 500| ≥ 20|𝑃 + 500| < 20$ 2060≤ 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 ≤ $ 34560$ 2060 < 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛< $ 34560$ 2060 < 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 ≤ $ 34560$ 2060≤ 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 < $ 34560

1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Según Montoya. R Juan C. Docente ECT Los sistemas de ecuaciones lineales, presentan ciertas características en su solución, así:

a. Sistema de ecuaciones compatibles: un sistema de ecuaciones, es compatible, cuando tiene una única solución.

b. Sistemas de ecuaciones inconsistentes o incompatibles: un sistema de ecuaciones, es compatible, cuando no tiene solución.

c. Sistemas de ecuaciones independientes: cuando las ecuaciones de un sistema, tiene gráficas distintas.

d. Sistemas de ecuaciones dependientes: cuando las dos ecuaciones o más, tienen la misma gráfica

e. Sistemas de ecuaciones equivalentes: dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, cuando tienen el mismo conjunto solución.

Comentario del tutor: A continuación, se resumirán las posibilidades que se pueden presentar, cuando se grafican dos ecuaciones, cada una con dos variables.

a. Si las rectas son distintas y se intersectan, las ecuaciones son independientes, y el sistema es consistente. Existe una solución:

b. Si las rectas son distintas y paralelas, las ecuaciones son independientes, y el sistema es inconsistente. No existe solución.

c. Si las rectas coinciden, las ecuaciones son dependientes, y el sistema es consistente. Existe un número infinito de soluciones.

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales

2 × 2, 3 × 3 𝑜 𝑚 × 𝑛

Los sistemas de ecuaciones 2 × 2, 3 × 3 𝑜 𝑚 × 𝑛 , dependen del número de ecuaciones y variables que tengan las ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones 2 × 2, significa que el sistema tiene dos ecuaciones y dos variables.

Un sistema de ecuaciones 3 × 3, significa que el sistema tiene tres ecuaciones y tres variables.

Un sistema de ecuaciones 𝑚 × 𝑛 , significa que se tienen m ecuaciones y n variables. Para la solución de estos sistemas, existen varios métodos, A continuación, se presentarán varios ejemplos de cada método:

a. Método gráfico: Se pueden seguir los siguientes pasos.

En un solo conjunto de ejes coordenados, graficar cada ecuación.

Determinar las coordenadas del o los puntos, en donde se intersectan las gráficas. Esas coordenadas expresan la solución del sistema.

Si las gráficas no tienen punto común, el sistema no tiene solución.

Si en las gráficas de las ecuaciones, el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.

Comprobar la solución, en ambas ecuaciones originales. Ejemplo: Grafique las siguientes ecuaciones. 𝑥 + 𝑦 = 1 (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1) Ecuación

2𝑥 − 𝑦 = 3 ( 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2) Ecuación

Despejar la variable 𝑦, en las dos ecuaciones, así: 𝑥 + 𝑦 = 1 (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1) Ecuación

𝑦 = 1 − 𝑥 2𝑥 − 𝑦 = 3 ( 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2) Ecuación

𝑦 = 2𝑥 − 3

Realizar una tabla de valores para cada ecuación. Para la ecuación uno:

𝑦 = 1 − 𝑥

𝒙 −𝟑 −𝟐 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑

𝒚 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏 𝟎 −𝟏 −𝟐

(𝒙, 𝒚) (−𝟑, 𝟒) (−𝟐, 𝟑) (−𝟏, 𝟐) (𝟎, 𝟏) (𝟏, 𝟎) (𝟐, −𝟏) (𝟑, −𝟐)

Remplazamos los valores de 𝑥 en la ecuación dada, para obtener el valor de

𝑦. La continuidad de remplazos se deja al estudiante, para que determine los valores que se encuentran en la tabla

𝑦 = 1 − 𝑥 Si 𝑥 = −3 𝑦 = 1 − (−3)

𝑦 = 1 + 3 𝑦 = 4

Para la ecuación dos:

𝑦 = 2𝑥 − 3

𝒙 −𝟑 −𝟐 −𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑

𝒚 −𝟗 −𝟕 −𝟓 −𝟑 −𝟏 𝟏 𝟑

(𝒙, 𝒚) (−𝟑, −𝟗) (−𝟐, −𝟕) (−𝟏, −𝟓) (𝟎, −𝟑) (𝟏, −𝟏) (𝟐, −𝟏) (𝟑, 𝟑)

Remplazamos los valores de 𝑥 en la ecuación dada, para obtener el valor de 𝑦 . La continuidad de remplazos, se deja al estudiante, para que determine los valores que se encuentran en la tabla.

𝑦 = 2𝑥 − 3

𝑦 = 2(−3) − 3 𝑦 = −6 − 3 𝑦 = −9

Graficando los resultados obtenidos en las tablas de valores en el plano cartesiano: y

6

5

4

3

2

1

-x -3 -2 -1 1 2 3 x -1

-2

-3

-4

-5

-y En el método anterior, se observa cómo se grafican dos ecuaciones lineales y podemos notar que tiene un punto de corte entre las dos rectas, el cual se determinara, utilizando uno de los métodos algebraicos, así:

b. Método de Igualación: Se pueden seguir los siguientes pasos:

Despeje la misma variable en las ecuaciones dadas.

Iguale las expresiones encontradas

Despeje la variable que tiene producto de la igualación.

Una vez despejada, y encontrando un valor, remplaza en una de las ecuaciones originales, para determinar el valor de la otra variable.

Compruebe su resultado Ejemplo: Solucione los siguientes sistemas, utilizando el método de igualación:

𝑥 + 𝑦 = 1 (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1) (Ecuación 1)

2𝑥 − 𝑦 = 3 ( 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2) (Ecuación 2) Solución:

Despejo 𝑦 en las ecuaciones 1 y 2 𝑥 + 𝑦 = 1 (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1) (Ecuación 1)

𝑦 = 1 − 𝑥 2𝑥 − 𝑦 = 3 ( 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2) (Ecuación 2)

𝑦 = 2𝑥 − 3 Igualando:

𝑦 = 1 − 𝑥 𝑦 = 2𝑥 − 3

1 − 𝑥 = 2𝑥 − 3

1 + 3 = 2𝑥 + 𝑥 4 = 3𝑥

𝑥 = 4

3

Sustituimos el valor de 𝑥 = 4

3 en la ecuación 1

𝑥 + 𝑦 = 1 4

3+ 𝑦 = 1

Despejo 𝑦 4

3+ 𝑦 = 1

𝑦 = 1 −4

3

𝑦 =3 − 4

3

𝑦 = −1

3

Comprobando los resultados obtenidos, remplazamos los valores de

𝑥 = 4

3 y 𝑦 = −

1

3

Remplazando en la ecuación 1

𝑥 + 𝑦 = 1 (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1) (Ecuación 1) 4

3−

1

3= 1

4 − 1

3= 1

3

3= 1

1=1

Remplazando en la ecuación 2: 2𝑥 − 𝑦 = 3 ( 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2) Ecuación

2 (4

3) +

1

3= 3

8

3+

1

3= 3

8 + 1

3= 3

9

3= 3

3 = 3

La solución es: 𝑥 = 4

3 y 𝑦 = −

1

3 o la pareja ordenada (

4

3, −

1

3)

Ejemplo: PROBLEMA DE APLICACIÓN:

La cantidad de un producto que la gente está comprando voluntariamente, durante algún periodo, depende de su precio. Por lo general, a mayor precio, la demanda es menor; a menor precio, la demanda es mayor. De manera similar, la cantidad de unos productos que un proveedor está vendiendo voluntariamente, durante algún periodo, también depende del precio. Por lo general, un proveedor estará abasteciendo más de un producto a precios altos, y menos de un producto, a precios bajos. El modelo más simple que el proveedor demanda, es un modelo lineal. Suponga que se está interesado en el análisis de la venta diaria de cerezas, en una ciudad en particular. Usando técnicas especiales de análisis (análisis de regresión) y recolección de datos, un analista obtiene las siguientes ecuaciones de precio-demanda, y de precio-abastecimiento:

𝑝 = −0,3𝑞 + 5 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑜𝑑𝑜𝑟) (Ecuación demandada)

𝑞 = 0,06𝑞 + 0,68 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑏𝑎𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑛𝑒𝑡𝑜 (𝑝𝑟𝑜𝑣𝑒𝑒𝑑𝑜𝑟) (Ecuación abastecimiento)

Donde 𝑞 representa la cantidad en miles de libras, y 𝑝 representa el precio en dólares.

𝑝 = −0,3𝑞 + 5 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 (Ecuación) 𝑝 = 0,06𝑞 + 0,68 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2)𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (Ecuación) Para la solución de este problema, utilizaremos el método de igualación, ya que

para ambas ecuaciones, está despejada 𝑝, que representa el precio en dólares. Igualando las ecuaciones 1 y 2

𝑝 = −0,3𝑞 + 5 𝑝 = 0,06𝑞 + 0,68

−0,3𝑞 + 5 = 0,06𝑞 + 0,68 Despejo 𝑞

5 − 0,68 = 0,06𝑞 + 0,3𝑞 4,32 = 0,36𝑞 4,32

0,36= 𝑞

𝑞 = 12

Sustituimos el valor de 𝑞 = 18 en 𝑝 = −0,3𝑞 + 5

𝑝 = −0,3𝑞 + 5 𝑝 = −0,3(12) + 5

𝑝 = −3,6 + 5 𝑝 = 1,4 Solución:

𝑝 = 1,4 Por libra (cantidad de equilibrio) 𝑞 = 12 Mil libras (cantidad de equilibrio) Ejemplo: Grafique el siguiente sistema de ecuaciones:

𝑥 − 𝑦 = 4 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación)

𝑥 + 3𝑦 = 12 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) (Ecuación) Se realiza una tabla de valores: Para la ecuación 1

𝑥 − 𝑦 = 4 𝑥 − 4 = 𝑦

𝑥 −2 −1 0 1 2 6

𝑦 −6 −5 −4 -3 −2 2

Para la ecuación 2

𝑥 + 3𝑦 = 12 3𝑦 = 12 − 𝑥

𝑦 =12 − 𝑥

3

𝑥 −2 −1 0 1 2 6

𝑦 14

3

13

3

4 11

3

10

3

2

Graficando los valores determinados en las tablas de las ecuaciones 1 y 2

y

4

2

−𝑥 6 x

−4

−𝑦

Punto de corte o punto solución del sistema de ecuaciones (6,2) Método de Sustitución: Para solucionar este método, es recomendable seguir los siguientes pasos:

Si es necesario, despejar una variable de una de las ecuaciones de preferencia.

Sustituir la variable, despejada en la otra ecuación, y resolver la ecuación resultante.

Determinar el valor de la primera variable, sustituyendo el valor que se determina.

Enunciar la solución.

Comprobar la solución en las dos ecuaciones originales.

c. Ejemplo: Solucione el siguiente sistema, utilizando el método de sustitución.

4𝑥 + 𝑦 = 13 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación)

−2𝑥 + 3𝑦 = −17 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) (Ecuación)

Despejo 𝑦 en la ecuación (1) y sustituimos en la ecuación (2) 4𝑥 + 𝑦 = 13 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación)

𝑦 = 13 − 4𝑥 Sustituimos en la ecuación (2) −2𝑥 + 3𝑦 = −17 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2)(Ecuación) −2𝑥 + 3(13 − 4𝑥) = −17 −2𝑥 − 12𝑥 + 39 = −17 −14𝑥 = −17 − 39

−14𝑥 = −56

𝑥 =−56

−14

𝑥 = 4 Sustituimos en la ecuación (2) −2𝑥 + 3𝑦 = −17 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) Si 𝑥 = 4

−2(4) + 3𝑦 = −17 Despejo 𝑦

−8 + 3𝑦 = −17

3𝑦 = −17 + 8 3𝑦 = −9

𝑦 =−9

3

𝑦 = −3 Remplazando los valores en las ecuaciones (1) y (2) Para la ecuación (1)

4𝑥 + 𝑦 = 13 4(4) + (−3) = 13 16 − 3 = 13

13 = 13 Para la ecuación (2)

−2𝑥 + 3𝑦 = −17 −2(4) + 3(−3) = −17 −8 − 9 = −17

−17 = −17 Como los valores encontrados, satisfacen la ecuación, conservando la igualdad, entonces la soluciones: (4, −3)

d. Ejemplo: PROBLEMA DE APLICACIÓN. Un almacén anuncia dos tipos de teléfonos: uno cuesta $67, y el otro $100. Si las ventas de 36 teléfonos, totalizaron $2940, ¿Cuántos teléfonos de cada tipo se vendieron?

Solución: Con la formulación del problema, se pueden formular las siguientes ecuaciones:

La cantidad de teléfonos de menor precio

La cantidad de teléfonos de mayor precio

La cantidad total de teléfonos.

𝑥 𝑦 36

Las ventas de teléfonos de menor precio

Las ventas de teléfonos de mayor precio

Las ventas totales

67𝑥 100𝑦 2940

Ahora, con esta información, tenemos las siguientes ecuaciones: 𝑥 + 𝑦 = 36 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación) 67𝑥 + 100𝑦 = 2940 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) (Ecuación)

Despejamos 𝑥 en la ecuación (1) y la sustituimos en (2).

𝑥 = 36 − 𝑦 67(36 − 𝑦) + 100𝑦 = 2940

2412 − 67𝑦 + 100𝑦 = 2940 −67𝑦 + 100𝑦 = 2940 − 2412 33𝑦 = 528

𝑦 =528

33

𝑦 = 16

Sustituimos el valor de 𝑦 = 16 en la ecuación (1) 𝑥 + 𝑦 = 36 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación)

𝑥 + 16 = 36 𝑥 = 36 − 16 𝑥 = 20

Una vez que se han encontrado los valores de 𝑥 = 20 y 𝑦 = 16, los sustituimos en las ecuaciones, para determinar si cumplen la igualdad. Para la ecuación (1) 𝑥 + 𝑦 = 36 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación)

20 + 16 = 36 36 = 36 Para la ecuación (2)

67𝑥 + 100𝑦 = 2940 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) (Ecuación)

67(20) + 100(16) = 2940 1340 + 1600 = 2940 2940 = 2940 Como los resultados obtenidos, satisfacen las igualdades de las ecuaciones, es la solución adecuada. Por tanto:

El almacén vendió 20 teléfonos de menor precio, y 16 teléfonos de mayor precio. Método de la suma o método de reducción.

Escribimos ambas ecuaciones del sistema, en su forma general.

Multiplicar los términos de una o ambas ecuaciones, por constantes elegidas,

para que los coeficientes de 𝑥 o 𝑦, sólo difieran del signo.

Sumar las ecuaciones y, si es posible, resolver la ecuación que resulta.

Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales, y despejar la variable restante.

Enunciar la solución que se obtuvo.

Comprobar la solución en ambas ecuaciones originales. Ejemplo: Solucione el siguiente sistema, utilizando el método de la suma. 𝑥 − 𝑦 = 30 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) Ecuación 𝑥 + 𝑦 = 110 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) Ecuación Sumo las ecuaciones (1) y (2)

𝑥 − 𝑦 = 30 𝑥 + 𝑦 = 110 2𝑥 = 140

𝑥 =140

2

𝑥 = 70

Remplazamos el valor de 𝑥 = 70 en la ecuación (2) 𝑥 + 𝑦 = 110 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) (Ecuación)

70 + 𝑦 = 110 𝑦 = 110 − 70

𝑦 = 40

Comprobación: Sustituimos los valores 𝑥 = 70 y 𝑦 = 40 en las ecuaciones (1) y (2) Para la ecuación (1) 𝑥 − 𝑦 = 30 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación)

70 − 40 = 30 30 = 30 𝑥 + 𝑦 = 110 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) (Ecuación)

70 + 40 = 110 110 = 110 Como los resultados obtenidos, satisfacen las igualdades de las ecuaciones, entonces son una solución al sistema.

Solución: 𝑥 = 70 y 𝑦 = 40 Ejemplo: PROBLEMA DE APLICACIÓN Los costos de arreglo de una máquina son $400, y su costo unitario es de $1,50. Otra máquina tiene costo de arreglo de $500, y su costo unitario es de $1,25. Determinar el punto de equilibrio.

El costo de usar La máquina 1

El costo de fabricar x unidades

El costo de arreglo

𝑦 1,5𝑥 400

El costo de usar La máquina 2

El costo de fabricar x unidades

El costo de arreglo

𝑦 1,25𝑥 500

𝑦 = 1,5𝑥 + 400 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) Ecuación 𝑦 = 1,25𝑥 + 500 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) (Ecuación) Ordenando las ecuaciones 𝑦 = 1,5𝑥 + 400 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación) 1,5𝑥 − 𝑦 = −400 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación)

𝑦 = 1,25𝑥 + 500 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) (Ecuación) 1,25𝑥 − 𝑦 = −500 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) (Ecuación) A la ecuación (1) la multiplico por (−1,25) y la ecuación (2) por (1,5) Para la ecuación (1) 1,5𝑥 − 𝑦 = −400 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (−1,25) (Ecuación)

1,25𝑥 − 𝑦 = −500 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2)(1,5) (Ecuación) Sumo las ecuaciones

−1,9𝑥 + 1,25𝑦 = 500 1,9𝑥 − 1,5𝑦 = −750 −0,25𝑦 = −250

𝑦 =−250

−0,25

𝑦 = 1000

Sustituimos el valor de 𝑦 = 1000 en (1)

1,5𝑥 − 𝑦 = −400 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación)

1,5𝑥 − 1000 = −400 1,5𝑥 = −400 + 1000 1,5𝑥 = 600

𝑥 =600

1,5

𝑥 = 400

Comprobación: sustituimos los valores de 𝑥 = 400 y 𝑦 = 1000 en las ecuaciones (1) y (2) Para la ecuación (1)

1,5𝑥 − 𝑦 = −400 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación) 1,5(400) − 1000 = −400 600 − 1000 = −400 −400 = −400 Para la ecuación (2)

1,25𝑥 − 𝑦 = −500 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (Ecuación) 1,25(400) − 1000 = −500

500 − 1000 = −500 −500 = −500 Como los valores encontrados, satisfacen las igualdades de las ecuaciones, entonces los valores son la solución al sistema.

Solución: 𝑥 = 400 y 𝑦 = 1000

El punto de equilibrio es: 𝑥 = 400 Como conocemos el punto de equilibrio, observemos cómo es el comportamiento de las ecuaciones, de una forma gráfica

1,5𝑥 − 𝑦 = −400 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (Ecuación)

1,25𝑥 − 𝑦 = −500 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) Tabla de valores para la ecuación (1)

1,5𝑥 − 𝑦 = −400

𝑥 0 −266

𝑦 400 0

Tabla de valores para la ecuación (2)

1,25𝑥 − 𝑦 = −500

𝑥 0 400

𝑦 500 0

𝑌 500

400

−𝑋 − 266 400 X

−266

−𝑌 1.6. ECUACIÓN CUADRÁTICA Según Montoya R. Juan C. Docente ECT

La ecuación cuadrática, son expresiones de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0, donde los coeficientes 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐, son números reales, es decir, esta ecuación tiene solución, en el conjunto de los números reales. De las cuales se pueden diferenciar algunas formas, así:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 Ecuación

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑐 = 0 Ecuación

𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑏 = 0 Ecuación 𝑎𝑥2 =0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = 0 Ecuación La ecuación cuadrática, es un polinomio que involucra el séptimo caso de

factorización, que es el trinomio cuadrado de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0, cuando la ecuación es completa, y cuando la ecuación es incompleta, se pude recurrir al caso de factorización, diferencia de cuadrados, si cumple las condiciones dadas para ser factorizable; una vez se determine una solución, se pueden encontrar los valores en el conjunto de los números reales, que le permitan satisfacer la condición dada. Cuando la ecuación no es factorizable por el séptimo caso, trinomio cuadrado de la

forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0, o por una diferencia de cuadrados, cuando la ecuación es incompleta, se recurre a la siguiente ecuación, que relaciona los valores de los coeficientes, determinando el valor correcto de la variable deseada. La expresión que representa esta relación, es:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Veamos algunos ejemplos:

a. Solucione la siguiente expresión:

Ejemplo: PROBLEMA DE APLICACIÓN

El ancho de una armadura triangular, es el triple de su altura. El área del triángulo

es de 96 𝑓𝑡2 (pies cuadrados), calcular el ancho y la altura.

𝑥

3𝑥 Solución:

Hagamos que 𝑥 sea el número positivo que representa la altura de la armadura.

Entonces, 3𝑥 representa el ancho. En la fórmula del área de un triángulo, podemos sustituir a ℎ por 𝑥, a 𝑏 por 3𝑥 y a 96, por el área de 𝐴, y despejar 𝑥:

𝐴 = 96 ℎ = 𝑥 𝑏 = 3𝑥

𝐴 =1

2𝑏ℎ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 Ecuación del área de un triángulo

Remplazando los datos obtenidos

96 =1

2(3𝑥)𝑥

96 =1

2(3𝑥2)

2(96) = 3𝑥2

192 = 3𝑥2

𝑥2 =192

3

𝑥2 = 64

𝑥2 − 64 = 0 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝑥 − 8)(𝑥 + 8) = 0

𝑥 − 8 = 0 𝑦 𝑥 + 8 = 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠. 𝐴𝑠𝑖: para ambos casos, así:

𝑥 − 8 = 0 𝑥 = 8

𝑥 + 8 = 0

𝑥 = −8 Solución general: La altura de un triángulo, no puede ser negativa, y por ello, debemos desechar la solución negativa, entonces, la altura de la armadura es 8 ft y el 24 ft de ancho Ejemplo 3: Solucione la siguiente expresión, utilizando la fórmula de la ecuación cuadrática.

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

6𝑥2 + 5𝑥 = 6

6𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0 𝑎 = 6 𝑏 = 5 𝑐 = −6

𝑥 =−5 ± √52 − 4(6)(−6)

2(6)

𝑥 =−5 ± √25 + 144

12

𝑥 =−5 ± √169

12

𝑥 =−5 ± 13

12

𝑥 =−5 + 13

12

𝑥1 =2

3

𝑥 =−5 − 13

12

𝑥2 =3

2

Los valores obtenidos, son llamados raíces de la ecuación; para comprobar las respuestas obtenidas, podemos sustituir los valores obtenidos, directamente en la ecuación original, y así podemos validar la expresión. Comprobación:

Para 𝑥1 =2

3

6𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0

6 (2

3)

2

+ 5 (2

3) − 6 = 0

6 (4

9) + 5 (

2

3) − 6 = 0

24

9+

10

3− 6 = 0

8

3+

10

3− 6 = 0

8 + 10

3− 6 = 0

18

3− 6 = 0

6 − 6 = 0

0 = 0 La comprobación del siguiente valor, se deja al estudiante para que evalúe el resultado, y retome sus conclusiones.

41

2%

2. FUNCIÓN LINEAL, FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y FUNCIÓN EXPONENCIAL

Para determinar el concepto de función lineal, debemos determinar el concepto de función. Según: Stewar James, Pre-cálculo, matemáticas para el cálculo. 5 Edición, edición progreso. S.A der C.V. Las funciones en nuestro entorno, y en cada fenómeno físico, se observa que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la estatura depende de la edad; la temperatura depende de la fecha; el costo de enviar por correo un paquete, depende del peso. Se usa el término función, para describir esta dependencia, de una cantidad sobre otra.

Una función 𝑓, es una regla que asigna a cada elemento x, en un conjunto A, exactamente un elemento, llamado 𝑓(x), en un conjunto B. Como se conoce la definición de función, podemos abordar el tema de función lineal. 2.1 FUNCIÓN LINEAL Una función lineal, es una función definida por una ecuación, que se puede escribir

de la forma𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde m es la pendiente de su gráfica lineal, y b es la ordenada al origen, es decir, el punto intercepto en el eje y.

Ejemplo:

De la ecuación 3𝑥 + 𝑦 = 12, determine la pendiente y el punto intercepto en y. Solución: Despejo la ecuación en función de y

3𝑥 + 𝑦 = 12 𝑦 = −3𝑥 + 12

Donde 𝑚 = −3 es la pendiente y 𝑏 = 12 es el punto intercepto en y 2.1.1 Pendiente de una Función Lineal TABLA DE RESUMEN DE FÓRMULAS PARA ECUACIONES LINEALES

NOMBRE DE LA FÓRMULA ECUACIÓN DADA

Pendiente de una recta Δ𝑦

Δ𝑥= 𝑚 =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 Siempre que 𝑥2 ≠ 𝑥1

Fórmula punto pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Fórmula pendiente ordenada al origen

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Fórmula general 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶= 0 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 𝑦 𝐵 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠

Recta horizontal 𝑦 = 𝑏 Recta vertical 𝑦 = 𝑎 Rectas paralelas 𝑚1 = 𝑚2 Rectas perpendiculares 𝑚1. 𝑚2 = −1

Elaborada: Montoya R. Juan C. Docente ECT Sea 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) puntos distintos sobre una recta 𝑙. Entonces la pendiente (𝑚) de 𝑙, se denota por 𝑚, está dada por: Δ𝑦

Δ𝑥= 𝑚 =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 Siempre que 𝑥2 ≠ 𝑥1

Vemos que si 𝑥2 = 𝑥1 , la recta es paralela al eje 𝑦 , y de acuerdo con la definición, la pendiente no está definida. Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que contiene los puntos:

a. 𝐴(3,2) 𝑦 𝐵(5, −2)

Solución: Para los valores dados, tomaremos la siguiente descripción:

𝑥1 = 3 𝑦1 = 2 , 𝑥2 = 5 𝑦2 = −2 Remplazando, tenemos:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚 =2 − (−2)

5 − 3

𝑚 =2 + 2

5 − 3=

4

2= 2

Por tanto la pendiente es 𝑚 = 2

b. 𝐶(4,1) 𝑦 𝐷(5,7) Solución: Para los valores dados, tomaremos la siguiente descripción:

𝑥1 = 4 𝑦1 = 1 , 𝑥2 = 5 𝑦2 = 7 Remplazando, tenemos:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚 =7 − 1

5 − 4

𝑚 =6

1= 6

Por tanto, la pendiente es 𝑚 = 6 Comentario:

Recordemos que la pendiente significa el incremento de la ordenada 𝑦, cuando la

abscisa 𝑥, se incrementa en una unidad.Δ𝑦

Δ𝑥= 𝑚 =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1, la expresión.

Δ𝑦

Δ𝑥 Delta de 𝑦

y Delta de 𝑥, significa incremento.

Es importante ver, que la pendiente de una recta, es la tangente del ángulo 𝛼 (alfa),

que forma la recta con la parte positiva del eje 𝑥 . Entonces, la expresión para calcular el ángulo, es 𝑇𝑎𝑛𝛼.

Veamos que en el ejercicio anterior, vimos que la pendiente era 𝑚 = 6, calculemos el ángulo de inclinación, así:

𝑇𝑎𝑛𝛼 = 6 𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1(6)

𝛼 = 80.5 Es decir, tiene un ángulo de inclinación de 80.5 grados. Es de recordar, que el dominio de la función lineal, son los números reales y su recorrido o rango, es el conjunto de los números reales 2.2.2. Ecuación Punto Pendiente

Esta ecuación, como su nombre lo indica, basta tener un punto que pertenezca a la recta y la pendiente; la ecuación que determina esta expresión, es: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Veamos un ejemplo:

Sea el punto 𝐷(4,3)𝑦 𝑝é𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚 = 3 pendiente, la ecuación de la recta, es: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 3 = 3(𝑥 − 4)

Despejamos el 𝑦

𝑦 − 3 = 3𝑥 − 12

𝑦 = 3𝑥 − 12 + 3 𝑦 = 3𝑥 − 3

Esta es la ecuación que contiene el punto 𝐷(4,3) y tiene pendiente 𝑚 = 3 , si observamos la ecuación, es de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.

El análisis de la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, determina que la gráfica es una línea recta. Comentario:

Si observamos la ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 donde 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 ∈ 𝑅 y 𝐴 𝑦 𝐵 , no son ambos ceros. Podemos calcular la pendiente y el punto intercepto, de la siguiente forma:

𝑚 = −𝐴

𝐵 𝑦 𝑏 = −

𝐶

𝐵 Es decir,

𝐴

𝐵𝑥 + 𝑦 +

𝐶

𝐵= 0

𝑦 = −𝐴

𝐵𝑥 −

𝐶

𝐵

Entonces: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 2.2.3. Modelos Lineales

Un modelo líneal, puede definirse, como una relación entre las variables dadas. Veamos algunas funciones que nos permiten realizar modelos lineales, así:

a. Funciones para ingresos: 𝑅(𝑥) = 𝑚𝑥 , donde 𝑅 es la función ingreso; 𝑥 representa el número de unidades vendidas, y 𝑚 representa el ingreso por unidad o precio de venta.

b. Función para costos, costo total= Costos variables + Costos fijos, o sea,

𝐶(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝐶 es la función de costos total; 𝑥 representa el número de unidades producidas, 𝑚 representa el costo por unidad, 𝑚𝑥 representa

los costos variables, y 𝑏 los costos fijos. c. Función utilidad: Utilidad=Ingresos- Costos totales, es decir, 𝑈(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏,

donde 𝑈 es la función utilidad, 𝑥 representa el número de unidades producidas y vendidas, 𝑚 representa la utilidad por unidad vendida, y 𝑏 la pérdida, cuando no se venden unidades. Este valor corresponde a los costos fijos.

Si el costo 𝐶(𝑥) de producción es mayor a los ingresos 𝑅(𝑥) , hay pérdida (al

producir 𝑥 unidades); si los ingresos son mayores a los costos, hay ganancias. Cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir, 𝑅(𝑥) = 𝐶(𝑥) , o

equivalentemente, 𝑈(𝑥) = 0 , el valor de 𝑥 que cumple esta igualdad, genera el punto (𝑥, 𝑅(𝑥)), que se denomina punto de equilibrio. Ejemplo: El costo de procesar un kilo de café, es de US $ 0,50 y los costos fijos diarios, son de US $300 Hallar:

a. La ecuación de costo y su representación gráfica. Solución: Si 𝐶(𝑥) representa el costo en dólares de procesar 𝑥 kilos de café por día, de

acuerdo al modelo lineal, tenemos que 𝑚 = 50 centavos de dólar, o sea, US $0,50, y los costos fijos diarios son 𝑏 = 300, por tanto, la ecuación sería de la forma 𝐶(𝑥) = 0,5𝑥 + 300. Para realizar la gráfica de la ecuación, se trata de una recta; es suficiente

encontrar dos puntos, si remplazamos 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 200 en 𝐶, tenemos 𝐶 =300 𝑦 𝐶 = 400 respectivamente, que corresponde a los puntos (0,300)𝑦 (200,400). Por tanto, la gráfica es:

𝑥 0 200

𝐶(𝑥) 300 400

y 400 300

200 x

b. El costo de procesar 1000 kilos de café en un día

Sustituimos 𝑥 por 1000 en 𝐶(𝑥) = 0,5𝑥 + 300. Ahora:

𝐶(𝑥) = 0,5𝑥 + 300 𝐶(𝑥) = 0,5(1000) + 300

𝐶(𝑥) = 500 + 300

𝐶(𝑥) = 800 Por lo tanto, el costo de procesar 1000 kilos de café al día, es de US $800

c. Con un presupuesto de US $2000. ¿Cuántos kilos se pueden procesar diariamente?

Para un presupuesto de US $2000, reemplazamos en 𝐶(𝑥) = 0,5𝑥 + 300 obtenemos:

Si 𝐶(𝑥) = 2000 entonces: 𝐶(𝑥) = 0,5𝑥 + 300 2000 = 0,5𝑥 + 300 2000 − 300 = 0,5𝑥 1700 = 0,5𝑥

𝑥 =1700

0,5

𝑥 = 3400 Kilos Ejemplo2: Si definimos las funciones de ingreso R, de costo C y de utilidad U, como

𝑅(𝑥) = 250𝑥, 𝐶(𝑥) = 150𝑥 + 200000 𝑦 𝑈(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥), tenemos que 𝑈(𝑥) = 100𝑥 − 200000 , donde 𝑥 es el número de unidades producidas y vendidas. Determinar: a. ¿Cuántas unidades se deben vender, para obtener un ingreso de

$2000000? Solución:

Si 𝑦 = 𝑅(𝑥) = 250𝑥, entonces 𝑅−1(𝑥) = 𝑥

250 para obtener un ingreso de

2000000, necesitamos vender 𝑅−1(2000000) =2000000

250= 8000 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

b. ¿Cuántas unidades se producen con un capital de $1850000?

Solución:

Si 𝑦 = 𝐶(𝑥) = 150𝑥 + 200000 , entonces 𝐶−1(𝑥) =𝑥−200000

150. Con

$1850000 se producen:

𝐶−1(1850000) =1850000−200000

150=

1650000

150= 11000 Unidades

c. ¿Cuántas unidades se deben producir y vender, para obtener una utilidad

de $500000? Solución:

Si 𝑦 = 𝑈(𝑥) = 100𝑥 − 200000, entonces, 𝑈−1(𝑥) =𝑥+200000

100 para obtener

una utilidad de $500000, necesitamos producir y vender:

𝑈−1(500000) =500000 + 200000

100= 7000 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

d. Halle el punto de equilibrio

Solución:

Para encontrar el punto de equilibrio, resolvemos la ecuación 𝑈(𝑥) =100𝑥 − 200000 = 0, donde 𝑥 = 2000. Significa que se deben producir y vender 2000 unidades, que generan unos ingresos iguales a los costos

𝑅(2000) = 𝐶(2000) = 500000 . El punto de equilibrio es la pareja (2000,500000)

2.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Según Montoya R. Juan C Docente ECT Una función cuadrática, es una expresión polinómica de grado dos. Cuya gráfica corresponde a una parábola, que en algunos casos, cortan al eje de la abscisa en

dos puntos, donde se puede escribir de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 , son números reales y 𝑎 diferente de cero

Ejemplo: Grafique las siguientes funciones

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2

Realizamos una tabla de valores, para poder establecer la gráfica

𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3

𝑓(𝑥) 9 4 1 0 1 4 9

Comentario: a. El dominio es todos los valores que le puede dar a la función; por lo regular (si

no hay una restricción), el dominio serán "todos los numero reales", el rango de la función, es común definirlo con la gráfica; éste siempre está restringido; el mínimo valor, será el vértice de la parábola y va hasta el infinito. La gráfica

𝑓(𝑥) = 𝑥2el dominio “todos los números reales", porque la x puede ser cualquier número, el rango sería del "0 al infinito" (o también puede decir: "todos los reales positivos, incluyendo al cero (0); esto es debido a que la gráfica es una parábola, con vértice en (0,0), que abre hacia arriba.

Comentario:

La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0, es una parábola que se abre hacia arriba si 𝑎 > 0 y hacia abajo si 𝑎 < 0, Su vértice que es el punto más bajo si 𝑎 > 0 y el punto más alto 𝑎 < 0, es el punto con coordenadas.

𝑥 = −𝑏

2𝑎 𝑦 𝑦 =

4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎

Tomado de: http://acadmate.blogspot.com.co/2011/01/grafica-funcion-cuadratica.html Ejemplo1: PROBLEMA DE APLICACIÓN Una compañía de dulces, vende sus cajas de chocolates a $2 cada una. Si x es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador sabe que los costos de producción, están dados en dólares, por

𝑦𝑐 = 1000 + 1300𝑥 + 100𝑥2 Determine el nivel de producción, en que la compañía no obtiene utilidades, ni pérdidas (punto de equilibrio). Solución: Los ingresos por vender x miles de cajas a $2 cada una, están dados por:

𝑦1 = 2000𝑥 Con el objeto de quedar en el punto de equilibrio, los ingresos deben ser iguales a los costos, de modo que

𝑦𝑐 = 𝑦1

1000 + 1300𝑥 + 100𝑥2 = 2000𝑥 Para un desarrollo más fácil, dividimos la expresión entre 100, con el fin de simplificarla:

100𝑥2

100+

1300𝑥

100+

1000

100=

2000𝑥

100

𝑥2 + 13𝑥 + 10 = 20𝑥

𝑥2 + 13𝑥 − 20𝑥 + 10 = 0

𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0

La expresión dada 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0 , se puede solucionar por el sexto caso de factorización, o en su defecto, podemos utilizar la fórmula de la ecuación cuadrática. Para este caso, utilizaremos el sexto caso de factorización, así:

𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0 (𝑥 − 5)(𝑥 − 2) = 0

Igualo a cero cada expresión.

𝑥 − 5 = 0 𝑦 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 5 𝑦 𝑥 = 2

Por tanto, encontramos que hay dos puntos de equilibrio en este problema. La

compañía decide fabricar 200 cajas a la semana 𝑥 = 2, con ingresos y costos iguales a $4000. O puede fabricar 5000 cajas a la semana 𝑥 = 5, cuando los ingresos y los costos estén otra vez en un equilibrio de $10000.

𝑈 = 𝑦1 − 𝑦𝑐 𝑈 = 2000𝑥 − (100 + 1300𝑥 + 100𝑥2)

𝑈 = −1000 + 700𝑥 − 100𝑥2 𝑈 = −100(𝑥 − 2)(𝑥 − 5)

Cuando 𝑥 = 2 𝑜 5, la utilidad es cero, y estos son los puntos de equilibrio. Cuando 2 < 𝑥 < 5, tenemos que 𝑥 − 2 > 0 𝑦 𝑥 − 5 < 0. Dado que el producto contiene dos signos negativos, 𝑈 es positiva, en este caso. En consecuencia, la compañía obtiene una utilidad positiva, cuando 2 < 𝑥 < 5; es decir; cuando fabrica y vende entre 2000 y 5000 cajas a la semana. Ejemplo 2: PROBLEMA DE APLICACIÓN La demanda mensual x de cierto artículo, al precio de p dólares por unidad, está dada por la relación

𝑥 = 135 − 45𝑝 El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto, es de $5 por unidad, y los costos fijos son de $200 al mes. ¿Qué precio por unidad p, deberá fijarse al consumidor, con la finalidad de obtener una utilidad máxima mensual? Solución:

El costo total 𝐶 (en dólares) de producir x unidades al mes, es:

𝐶 = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠

𝐶 = 5𝑥 + 2000 La demanda x está dada por

𝑥 = 1350 − 45𝑝

Sustituyendo este valor de x en 𝐶, resulta que

𝐶 = 5(1350 − 45𝑝) + 2000 = 8750 − 225𝑝

El ingreso 𝐼 (en dólares) obtenido por vender x unidades a p dólares por unidad, es: 𝐼 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑥 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 Número

𝐼 = 𝑝𝑥 = 𝑝(1350 − 45𝑝) = 1350𝑝 − 45𝑝2

La utilidad 𝑈 (en dólares), está dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo.

𝑈 = 𝐼 − 𝐶

𝑈 = −45𝑝2 + 1350𝑝 − (8750 − 225𝑝)

𝑈 = −45𝑝2 + 1575𝑝 − 8750

La utilidad 𝑈, es una función cuadrática de p. Puesto que 𝑎 = −45 < 0, la gráfica es una parábola que se abre hacia abajo, y la utilidad máxima se alcanza en el vértice. En este caso, tenemos que:

𝑎 = −45, 𝑏 = 1575 𝑦 𝑐 = −8750 El vértice de la parábola, está dado por:

𝑝 = −𝑏

2𝑎= −

1575

2(−45)=

1575

90= 17.5

𝑝 = 17.5

En consecuencia, un precio 𝑝 = 17.5 por unidad, debe fijarse al consumidor, con el propósito de obtener una máxima utilidad, será:

𝑈 = −45𝑝2 + 1575𝑝 − 8750

𝑈 = −45(17.5)2 + 1575(17.5) − 8750 𝑈 = −45(306.25) + 27563.5 − 8750

𝑈 = −13781.25 + 27563.5 − 8750

𝑈 = 5032.25

Entonces, el valor de utilidad al mes, es: $ 5032.25

2.3. FUNCIONES ESPECIALES Una función especial, sigue siendo una relación, donde tiene un comportamiento muy particular, y su importancia en el campo de las matemáticas, es porque permite el análisis funcional de las áreas del conocimiento. Función Logarítmica La regla de asociación de la función logarítmica, tiene la forma 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥),

donde 𝑎 ∈ 𝑅+ llamado base del logaritmo, su dominio son todos los números reales positivos, su rango son todos los números reales, los logaritmos no están definidos para los números negativos y el cero. Ejercicio 1:

Determine el dominio y el rango para la función f(x) = log 𝑥

𝑥 0,5 0,1 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥) -0,3 -1 0 0,3 0,5 0,6 0,7

Tomado de: http://clasesdefunciones2013.blogspot.com.co/p/funcion-logaritmica.html

Dominio: 𝐷𝑥: 𝑅+

Rango: 𝑅𝑦: 𝑅 Ejemplo 2: Determine el dominio y el rango para la función 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 + 1)

Determinamos la asíntota vertical con 𝑥 + 1 = 0 entonces 𝑥 = −1

𝑥 0,5 0,1 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥) 0,4 0,1 0,7 1,1 1,4 1,6 1,8

Tomado de: http://clasesdefunciones2013.blogspot.com.co/p/funcion-logaritmica.html

Dominio: 𝐷𝑥: 𝑅+

Rango: 𝑅𝑦: 𝑅 Ejemplos 3: PROBLEMA DE APLICACIÓN.

Suponga una población, cuyo modelo de crecimiento, está dado por 𝑃(𝑡) = 4𝑒0.02𝑡 millones a partir del año 2000. ¿Cuándo la población tendrá 5 millones de habitantes? Comentarios: Pre-conceptos (no es tan difícil como parece) Es importante en el concepto de los logaritmos, identificar las diferentes propiedades que se pueden desarrollar, y las diferentes formas en que se pueden desarrollar las ecuaciones que involucran esta operación especial. En la UNIDAD UNO, se estudiaron las propiedades de los logaritmos, y a su vez, las propiedades de la potenciación y de la radicación, se indicó, por qué la radicación y la logaritmación, son inversas a la potenciación. Basados en estos pre-conceptos, estudiaremos lo que son las ecuaciones logarítmicas.

2.4 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Las ecuaciones logarítmicas, son aquellas ecuaciones, en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolver ecuaciones logarítmicas, es necesario tener presentes las propiedades de los logaritmos: PROPIEDADES DE LA LOGARITMACIÓN

𝑆𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑛 ∈ 𝑁 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: Elaborado por Montoya. R Juan Carlos ECT Tomado UNIDAD UNO OVA ECAE

Ejercicio. Solucione las siguientes ecuaciones, aplicando los criterios y propiedades de los logaritmos.

a. log 2 + log(11 − 𝑥2) = 2 log(5 − 𝑥)

PROPIEDAD FORMA GENERAL EJEMPLO

Logaritmo de la multiplicación de dos

números:

log𝑏 (ac) = log𝑏 (a) + log𝑏

(c) log3(9)(81) = log39 + log381

= 2 + 4 = 6

Logaritmo de la división entre dos

números.

log𝑏 𝐶

𝑎 = log𝑏 (a) - log𝑏 (c) log3 (

9

81) = log39 − log381

= 2 − 4 = −2 Logaritmo de la potencia enésima de

un número.

log𝑏 (𝑎𝑛) = n log𝑏 (a) log332 = 2log33 = 2𝑥1 = 3

Logaritmo de la raíz enésima de un

número.

log𝑏 √𝑎𝑛

= 1

𝑛log𝑏𝑎 log3 √81

3 =

1

3log381 =

1

3 𝑥 4 =

4

3

Logaritmo del recíproco de un

número.

log𝑏 ( - a ) = - log𝑏 (a) log3(-9)= - log39 = −2

Logaritmo de 1 en cualquier base.

log𝑏 (1) = 0 log31 = 0

Logaritmo cambio de Base log𝑎 𝑏 =

log𝑏 𝑏

log𝑏 𝑎 log2 4 =

log4 4

log4 2=

1

12

= 2

Solución:

log 2 + log(11 − 𝑥2) = 2 log(5 − 𝑥)

log[2(11 − 𝑥2)] = log(5 − 𝑥)2

2(11 − 𝑥2) = (5 − 𝑥)2

3𝑥2 − 10𝑥 + 3 = 0 Para solucionar esta expresión, utilizaremos el séptimo caso de factorización, el cual le dejamos al lector, para que ilustre su solución. Factorizando la expresión, tenemos:

𝑥 = 3 𝑦 𝑥 =1

3

b. log2 𝑥 = log2 24 − log212

log2 𝑥 = log2

24

12

log2 𝑥 = log2 2 𝑥 = 2

c. log3 𝑎 + log3 𝑏 = 2 log3(𝑎 × 𝑏) = 2

Por potenciación 32 = 9 log3(𝑎 × 𝑏) = log3 9 (𝑎 × 𝑏) = 9

d. 5 log 𝑥 − log 243 = 4 log𝑥

3

log𝑥5

243= log

𝑥4

81

𝑥5

𝑥4=

243

81

𝑥 = 3

2.5 FUNCIONES EXPONENCIALES Según Montoya. R Juan C. Docente ECT

Una función exponencial, se conoce formalmente, como la función real 𝑒, donde 𝑒 representa el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición, el conjunto de los números reales. La función exponencial, se puede considerar, como la inversa de la función logarítmica. Ejemplo:

Grafique la función 𝑦 = 𝑒𝑥

Tabulando la función 𝑦 = 𝑒𝑥

𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3 𝑦 0,05 0,14 0,37 1 2,71 7.39 20,1

Dominio 𝐷𝑥: 𝑅

Rango: 𝑅𝑦: 𝑅+

Tomado de: http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/funcion%20exponencial%20precalculo.htm La función exponencial, se puede también definir, bajo los siguientes aspectos: sea

𝑎 un número real (R). La función que a cada número real 𝑥, le hace correspondencia la potencia 𝑎𝑥 , se llama función exponencial de base 𝑎 y exponente 𝑥. Teoremas (leyes de los exponentes). Es de tener presente, que estos teoremas se relacionan con las propiedades de la potenciación que se trató en la unidad uno.

1. 𝑎𝑥. 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦

2. 𝑎𝑥

𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦

3. (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥.𝑦 4. (𝑎 . 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥. 𝑏𝑥

5. (𝑎

𝑏)

𝑥

=𝑎𝑥

𝑏𝑥

6. (𝑎

𝑏)

−𝑥

=𝑎−𝑥

𝑏−𝑥=

𝑏𝑥

𝑎𝑥= (

𝑏

𝑎)

𝑥

Ejemplo: Grafique la función

Tomado de: http://artigoo.com/funcion-exponencial Ejemplos 1: APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL México tiene una población aproximada de 100 millones de personas, y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿Cuál será la población?

a. ¿En 15 años a partir de ahora? Solución:

𝑃: 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 Población 𝑃0: 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 = 0 Población 𝑑: 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑃 = 𝑃02𝑑𝑑

= 𝑃 = 𝑃021 → 𝑃 = 𝑃02𝑡𝑑

𝑃0 = 100 𝑑 = 21 𝑎ñ𝑜𝑠 Cuando 𝑃 =? 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 15 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑃 = 𝑃02𝑡𝑑

𝑃 = 100 (21521) = 164 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠

Ejemplos 2: APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Suponga que se invierten $ 2500000, a una tasa de interés anual al 8%. Hallar el capital al cabo de:

a. Un año. Solución:

Equivale a hallar el 8% por encima de $ 2500000, por lo tanto, el capital en un año es:

𝑃(1) = 2500000(1,08) = 2700000

b. Dos años Solución:

𝑃(2) = 2500000(1,08)2 = 2916000

Ejemplos 3: APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL El valor futuro de un capital de 5000000, colocado a un interés compuesto del 3%

mensual, depende del número de meses que esté colocado. Si 𝑥 representa el número de meses, tenemos: 𝑓(𝑥) = 5000000(1,03)𝑥 Solución:

En particular, si el capital se coloca durante un año, tenemos que 𝑥 = 12 𝑓(12) = 5000000(1,03)12 = 7128804,43 BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS DIGITALES

Gustafson David R.(1997). Algebra Intermedia. México Internacional Thomson Editores, S.A de C.V.

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George B. Thomas Jr. Ross L. Finney (1998). Calculo de una variable 9ª edición. México Ed. Pearson Educación LTDA.

Studer Marilyn R. (1982). Pre calculo, Algebra, trigonometría y geometría analítica. Ed. Cultura Moderna LTDA. Editorial Educativa.

Escudero Trujillo Rafael, Rojas Álvarez Carlos. Matemáticas Básicas 3ª edición revisada y aumentada. Ed. Universidad del Norte.

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Salgado Ramírez Diana Constanza. Nuevas Matemáticas edición para el docente. Ed Santillana.

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George B. Thomas Jr, Ross L. Finney,(1998). Calculo de una variable. Ed Pearson Educación.

VERSIÓN: 1.0 FECHA EDICIÓN: 01/10/2015

CRÉDITOS UPTC EQUIPO DE PRODUCCIÓN

Autor / compilador: Juan Carlos Montoya Ramírez

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