Unidad 3 Controladores Industriales

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CONTROLADORES INDUSTRIALES

Los controladores de carácter industrial pueden agruparse en dos categorías: Continuos o

Discontinuos. Los primeros se caracterizan por producir cambios continuos en la salida si el error

varía continuamente. A su vez, el controlador discontinuo contiene elementos de interrupción,

normalmente del tipo Todo-Nada, que causan discontinuidades en la acción de control.

Analizaremos los controladores continuos del tipo PID, se analizarán las propiedades de los diferentes

modos de control, las formas de ajustar los parámetros, además de entregar otro tipo de información

que pudiera ser útil en el momento de seleccionar un controlador.

Antes de comenzar debemos de recordar los parámetros de la respuesta de un sistema sobre los

cuales se desea actuar. Aunque son muchos, los más importantes desde el punto de vista del control

automático son los siguientes:

ess : error de estado estacionario

Parámetro porcentual que representa la desviación en estado estacionario que tiene la salida

del sistema respecto al Setpoint o referencia deseada.

tr : tiempo de subida o Rise Time

Tiempo en que la respuesta alcanza el 90% del valor estacionario final. Este parámetro

representa la rapidez con que reacciona el sistema frente a cambios o perturbaciones.

ts : tiempo de establecimiento

Tiempo en que el sistema alcanza el estado estacionario. Corresponde al intervalo de tiempo

medido desde el momento en que se produce el cambio o la perturbación, hasta el instante

en que la respuesta entra en la banda del 98% de su valor final.

MP : sobreimpulso

Tiene existencia sólo en respuestas subamortiguadas, esto es, respuesta en forma de una

oscilación cuya magnitud se atenúa en forma exponencial. Su valor se obtiene de la siguiente

expresión:

𝑀𝑃(%) = 100 (𝑦𝑚 − 𝑦𝑠𝑝𝑛

𝑦𝑠𝑝𝑛 − 𝑦𝑠𝑝𝑜)

En donde ym es el valor máximo de la oscilación, yspo es el punto de operación original, e yspn

es el nuevo punto de operación.

No existen reglas que permitan sistematizar la selección del valor que deberían tomar estos

parámetros. Cada caso deberá estudiarse de forma independiente, de modo que la elección final

dependerá de la experiencia y conocimiento que se tenga sobre el proceso.

Los parámetros anteriores están relacionados entre sí y muchas veces tienen efectos cruzados, en

otras palabras, la mejora de uno de ellos está siempre acompañada de un desmejoramiento de otro

de los parámetros. Por ejemplo, cuando se trata de sistemas con respuesta subamortiguada, un

mejoramiento en la velocidad de reacción del sistema (tr más cortos) viene acompañada por aumento

en MP y ts, de igual forma una disminución en el error de estado estacionario viene acompañado por

menor estabilidad relativa, etc. El recordar estas relaciones es especialmente importante cuando se

ajustan los lazos de control, de lo contrario se corre el riesgo que por tratar de corregir alguna

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situación particular en la respuesta se termine por empeorar otros rasgos de ella que pudiesen dañar

en forma irreparable el proceso (sobreimpulso excesivo, por ejemplo).

CONTROLADORES CONTINUOS

La respuesta de un lazo de control depende de gran medida de la acción o modo de control utilizado,

y del ajuste de los parámetros respectivos. En consecuencia, para establecer la selección correcta del

controlador, y los modos más convenientes de lograr una buena regulación del sistema, es

importante tener de las características y propiedades de las diferentes acciones de control. El saber

¿Qué efecto tiene la Acción Proporcional sobre un lazo de control?, una acción PI o PID, será siempre

información importante para el ingeniero de procesos al momento de tomar decisión es de control.

Prácticamente todos los controladores continuos usados en la industria son del tipo PID. Cada una

de las acciones de control, Proporcional (P), Integral (I) y Derivativa (D), se puede ajustar en forma

independiente, pudiéndose además obtener efectos combinados estableciendo controladores PI,

PIL, PD u otras.

Un controlador del tipo PID, ideal, matemáticamente queda expresado por la ecuación siguiente:

𝑚(𝑡) = 𝐾𝐶 [𝑒(𝑡) +1

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑇𝑑

𝑑

𝑑𝑡𝑒(𝑡)]

En donde: m(t)= Salida de control

e(t) = error dinámico del sistema

KC = Ganancia proporcional del controlador

Ti = Constante de Integración

Td = Constante Derivativa

Además, se acostumbra definir:

𝑇𝑅 =1

𝑇𝑖= 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛

𝑇𝐷 =1

𝑇𝑑= 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

La ganancia proporcional Kc puede ser reemplazada por la Banda Proporcional PB. Este parámetro es

adimensional, porcentual y se define como:

𝑃𝐵 = 100 (∆𝑦

𝑅𝑚𝑎𝑥)

En donde: Rmax =Valor máximo posible de la Referencia

y = Rango de variación de la salida

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La banda proporcional y la Ganancia KC están relacionados a través de la expresión:

𝑃𝐵 =100

𝐾𝐶

Ejemplo de comprensión

En un sistema térmico la escala de un control de temperatura llega a un máximo de 400°C. si la

Referencia está puesta en 200°C y se ha seleccionado una ganancia Kc=4, ello implica una PB=25% lo

cual arroja un y=100°C.

𝑃𝐵 =100

4= 25%

25% = 100% (∆𝑦

400°𝐶) −→ ∆𝑦 =

25% ∙ 400°𝐶

100%= 100°𝐶

Ahora bien, supóngase que el control de la temperatura se realiza mediante una válvula que comanda

la adición de fluido a mayor temperatura. Así, el valor calculado para y indica que la válvula estará

totalmente abierta para una temperatura de 150°C. de igual forma, la válvula estará totalmente

cerrada para 250°C

𝑉𝑚í𝑛. = 𝑆𝑃 −∆𝑦

2= 200°𝐶 −

100°𝐶

2= 150°𝐶

𝑉𝑚á𝑥. = 𝑆𝑃 +∆𝑦

2= 200°𝐶 +

100°𝐶

2= 250°𝐶

Si ahora, Kc=2, es decir, PB=50% y por lo tanto y=200°C. en esta nueva situación la válvula cerrará

totalmente para 100°C y se abrirá totalmente para 300°C.

Evidentemente en el segundo caso se tiene un mayor rango de control sobre la temperatura, sin

embargo, ello va directamente en perjuicio de la rapidez de respuesta.

En general a medida que decrece la Banda Proporcional (crece Kc) el sistema responde con mayor

rapidez. Se debe tener presente, sin embargo, que el aumento de rapidez en respuesta va

acompañado normalmente de un deterioro en la estabilidad relativa y por lo tanto deben

considerarse ambos factores en la determinación de la Banda Proporcional.

PROPIEDADES DE LOS CONTROLADORES CONTINUOS

Para apreciar las características de los distintos controladores se considerará sus respuestas a una

entrada del tipo escalón y rampa respectivamente. En tales circunstancias sus respuestas serán como

se muestran en las siguientes figuras:

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Controlador Escalón Rampa

P

I

PI

PD

PID

Respecto a estas respuestas pueden hacerse los siguientes comentarios:

1. El controlador tipo P es relativamente rápido pues entrega una corrección instantánea. Su

principal desventaja está en que esta acción no asegura un error de estado estacionario cero.

2. Cuando existe la acción integral el error estacionario inevitablemente llegará a cero. Sin

embargo, la acción integral por sí sola es un tanto lenta pues no reaccionará inmediatamente.

Es por ello que normalmente va acompañada de una acción proporcional para proporcionar

al sistema la rapidez deseada.

3. El término derivativo produce un impulso si la entrada es un escalón. Por lo tanto, la acción

puede utilizarse para lograr mayor rapidez en la respuesta, especialmente en los sistemas

lentos. Sin embargo, este tipo de acción suele introducir ruido en el lazo de control.

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En la mayoría de los casos los controladores tipo PI dan una respuesta satisfactoria. Sólo se usan los

PID cuando la calidad del controlador es muy importante.

AJUSTE DE CONTROLADORES CONTINUOS

Existe una gran variedad de técnicas para ajustar os parámetros de los controladores. Probablemente

el 90% de ellos se basan en procedimientos experimentales, realizados por un operador, y un 75% de

las veces es posible “adivinar” los valores, basado en su experiencia en lazos similares.

METODO DE INTENTO Y ERROR EN LINEA

Este es el primer intento en el ajuste de los controladores consiste en el siguiente procedimiento:

1. Eliminar las acciones integral y derivativa (Ti y Td = 0).

2. Poner la Banda Proporcional en un valor alto (ejemplo 200%).

3. Introducir un cambio pequeño en el punto de trabajo o en la carga y observar la respuesta

de la variable controlada. La ganancia es baja por lo que probablemente la respuesta será

lenta.

4. Reducir la Banda Proporcional a la mitad (doblar la ganancia) e introducir otro cambio en la

referencia o en la carga.

5. Seguir reduciendo la Banda Proporcional, repitiendo el paso 4, hasta que el lazo se hace

oscilatorio. La ganancia a la cual ocurre esta situación se denomina ganancia crítica (Kcr).

6. Seleccionar una Banda Proporcional igual al doble del valor crítico.

7. Comenzar a introducir la acción integral reduciendo Ti en factores de dos, haciendo

pequeños cambios en la referencia o carga para observar el efecto.

8. Encontrar el valor de Ti que hace el lazo bastante subamortiguado y seleccionar Ti igual al

doble de este valor.

9. Comenzar a introducir la acción derivativa aumentando Td hasta que el ruido en la señal del

proceso comience a observarse en la salida del controlador.

10. Seleccionar Td igual a la mitad de este valor.

11. Reducir la Banda Proporcional nuevamente en pasos de 10% hasta lograr las especificaciones

de sobre impulso, razón de decaimiento, etc.

Cabe destacar que existen lazos en que este procedimiento no funciona. Un ejemplo de ello lo

constituyen los procesos condicionalmente estables, los cuales se caracterizan por ser inestables para

valores de ganancia altos y para valores bajos de esta ganancia. Estos procesos son estables sólo en

un rango intermedio de ganancia.

Otro de los inconvenientes está en que en algunos casos resulta inaceptable, o imposible de lograr,

una oscilación de carácter permanente.

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METODOS DE ZIEGLER-NICHOLS

Los ajustes proporcionales por los métodos de Ziegler-Nichols son pseudos-standars en el capo del

control de procesos. Se caracterizan por ser fáciles de determinar y utilizar, además de proporcionar

un comportamiento razonable en la mayoría de los lazos de control.

Los ajustes de Ziegler-Nichols suelen utilizarse como referencia para comparaciones de

comportamiento de otros esquemas. Cabe destacar, sin embargo, que a pesar de su gran aplicación

los ajustes propuestos por estos métodos deben considerarse como una buena primera

aproximación. Siempre será conveniente hacer algunas pruebas en torno a estos valores; en la

mayoría de los casos se logrará algún mejoramiento.

El primer método consiste en encontrar la ganancia crítica, Kcr, para la cual el lazo se encuentra en

el límite de la estabilidad (oscilaciones sostenidas), previamente a ello se deben desconectar las

acciones integral y derivativa del controlador. De la salida del sistema se observa el periodo de la

oscilación resultante, Pu (minibús), para luego determinar los valores parámetros de acuerdo a la

siguiente tabla:

Método de ganancia límite

Controlador Kc Ti (min) Td (min)

P 0,5 Kcr -- --

PI 0,45 Kcr Pu /1,2 --

PID 0,6 Kcr Pu /2 Pu /8

El segundo método considera la respuesta a escalón a lazo abierto. Suponiendo que cualquier sistema

se puede aproximar con una constante de tiempo y un retardo y de acuerdo a la siguiente figura es

que Ziegler-Nichols proponen los ajustes indicados en la siguiente tabla:

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Método de curva de respuesta

Controlador Kc Ti (min) Td (min)

P 1 /Tm -- --

PI 0,9 /Tm 3,3 T (min) --

PID 1,2 /Tm 2T (min) 0,5 T (min)

CRITERIOS DE COMPORTAMIENTO

El criterio más popular utilizado para definir un comportamiento óptimo, al ajustar un controlador,

es una razón de decaimiento de la salida especificada. La mayoría de las técnicas de ajuste

desarrolladas actualmente están diseñadas para proporcionar una respuesta con una razón de

decaimiento ¼.

La idea que hay detrás de este criterio es hacer que la diferencia entre máximos sucesivos y el valor

de estado estacionario sea igual a un cuarto de la diferencia anterior. Así la salida del proceso

retornará rápidamente al estado estacionario después de cualquier perturbación.

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Curva respuesta con razón de decaimiento 1/4

Este razonamiento implica que la ganancia de lazo abierto debe ser igual a 0,5. En referencia a la

siguiente figura, es posible plantear que:

|𝐺𝑐 (𝑗𝑤)||𝐺𝑎||𝐺𝑝 (𝑗𝑤)||𝐺𝑚 (𝑗𝑤)| = 0,5

Es decir;

|𝐺𝑐 (𝑗𝑤)| =0,5

|𝐺𝑎||𝐺𝑝 (𝑗𝑤)||𝐺𝑚 (𝑗𝑤)|

Así, para un controlador del tipo PI, por ejemplo:

𝐺𝑐 (𝑗𝑤) = 𝐾𝑐 (1 +1

𝑗𝑤 𝑇𝑖)

|𝐺𝑐 (𝑗𝑤)| = 𝐾𝑐 √ 1 ± (1

𝑤𝑇𝑖)

2

=0,5

|𝐺𝑎||𝐺𝑝 (𝑗𝑤)||𝐺𝑚 (𝑗𝑤)|

De acuerdo a estos desarrollos se desprende que este criterio de razón de decaimiento de la salida

no determina una combinación única de parámetros del controlador. Existe una infinidad de valor Kc

y Ti que hacen cumplir la ecuación anterior.

Otra desventaja de este criterio reside en que tiende a indicar valores para los parámetros del

controlador que determinan un comportamiento más oscilatorio que lo normalmente aceptado.

En general los criterios basados en razón de decaimiento ¼ son sólo válidos para sistemas de segundo

orden; para sistemas de orden superior o para aquellos que contienen tiempo muerto los resultados

son bastante malos. En general el requisito de razón de decaimiento ¼ en todo instante se cumple

sólo para sistemas de segundo orden y es por ello que este criterio no siempre proporciona un tiempo

de respuesta corta.

El propósito de un sistema de control realimentado es el minimizar el error en la salida, después que

se ha introducido una perturbación. Ello indica que tanto la magnitud del error como el tiempo sobre

el cual existe, son parámetros que deben considerarse en un ajuste del controlador. Parece lógico

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pensar, por tanto, en introducir en la resolución de este problema los conceptos de optimización. En

vista de ello se puede postular que el índice de comportamiento estará dado por la funcional:

𝐽 = ∫ 𝐹(𝑒(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡∞

0

En donde F es una función del error y del tiempo.

Evidentemente J no será nunca cero, sólo lo será si e(t) es cero todo el tiempo lo cual es imposible;

en consecuencia, los criterios de ajuste basados en los principios de la optimización buscan un juego

de valores para el controlador que minimiza el valor de J. es decir, el comportamiento óptimo será

aquella respuesta en el tiempo que proporcione un valor mínimo de J en comparación con todas las

otras respuestas que pudieran haberse obtenido para el mismo estímulo con otros parámetros del

controlador.

Puesto que J es función de los parámetros del controlador, Kc, Ti, Td, el mínimo, de acuerdo los

criterios de optimización, se encuentra resolviendo.

𝜕

𝜕𝐾𝑐𝐽 = 0

𝜕

𝜕𝑇𝑖𝐽 = 0

𝜕

𝜕𝑇𝑑𝐽 = 0

La función F(e,t), a fin de completar la definición de control óptimo, debe tener las siguientes

propiedades:

a. 𝐹(𝑒, 𝑡) = 0 𝑆𝑖 𝑒(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 > 0

b. Poseer un valor mínimo.

Existen muchas funciones que cumplen con estos requisitos, sin embargo, en la práctica se suelen

considerar las siguientes tres:

Integral del error al cuadrado (ISE):

𝐼𝑆𝐸 = ∫ 𝑒2(𝑡)𝑑𝑡∞

0

Este criterio es relativamente insensible a errores pequeños, pero los errores grandes contribuyen

fuertemente al valor de la integral. Es por ello que de la aplicación de un criterio como el ISE resultan

normalmente sistemas con sobreimpulsos pequeños y tiempos de establecimiento largos.

Integral del valor absoluto del error (IAE):

𝐼𝐴𝐸 = ∫ |𝑒(𝑡)|𝑑𝑡∞

0

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Este criterio, en comparación con el ISE, es más sensible a los errores pequeños y menos a los errores

grandes. Por lo tanto, de la aplicación de este criterio se obtendrán respuestas con un mayor

sobreimpulso, pero con tiempos de establecimientos más cortos.

Integral del valor absoluto del error por tiempo (ITAE):

𝐼𝐴𝐸 = ∫ 𝑡|𝑒(𝑡)|𝑑𝑡∞

0

Este criterio es insensible a los valores iniciales (en cierto modo inevitables), pero pondera

fuertemente los errores que ocurren más tarde en el tiempo. Esto implica que las respuestas óptimas

definidas por ITAE mostrarán tiempos de respuestas cortos y mayores sobreimpulsos que los criterios

anteriores.

Los parámetros de ajuste determinados mediante estos métodos dependen directamente la planta

a controlar. Se acostumbre, por lo tanto, a asumir que todos los procesos pueden aproximarse por

un modelo de primer orden más retardo; esta aproximación permite desarrollar métodos

generalizados de aplicación de estas técnicas de ajuste.

En la figura se muestra el sistema generalizado en el cual se basará el estudio a realizar. En ella se ha

asumido un controlador del tipo PID, un modelo de primer orden representativo de la planta,

medición y actuación, además de una perturbación D(s).

Sistema a ser ajustado

Ahora bien, la respuesta del proceso a un cambio en la referencia viene dada por:

𝐶(𝑠) =𝐾 𝐾𝑐(𝜏𝑑𝑠2 + 𝑠 + 1

𝜏𝑟⁄ ) 𝑒−𝑇𝑜 𝑠

𝜏 𝑠2 + 𝑠 + 𝐾 𝐾𝑐 𝑒−𝑇𝑜 𝑠 (𝜏𝑑𝑠2 + 𝑠 + 1𝜏𝑟

⁄ )

De igual modo la respuesta a perturbación viene dada por:

𝐶(𝑠) =𝐾 𝑠 𝑒−𝑇𝑜 𝑠

𝜏 𝑠2 + 𝑠 + 𝐾 𝐾𝑐 𝑒−𝑇𝑜 𝑠 (𝜏𝑑𝑠2 + 𝑠 + 1𝜏𝑟

⁄ )

De las ecuaciones se desprende que los numeradores de ambas ecuaciones son distintos; es decir,

las respuestas a un cambio en la referencia sean distintos a los necesarios si el objetivo es minimizar

el efecto de la perturbación. En todo caso debe considerarse que en la mayoría de los procesos la

perturbación cambia con mayor frecuencia que la referencia. Normalmente esta última se fija en un

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cierto valor por un largo tiempo. Es decir, en la mayoría de los casos es más deseable optimizar la

respuesta frente a cambios en la perturbación.

Ajustes óptimos controlador P Ajustes óptimos controlador PI

Ajustes óptimos controlador PID

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Función de transferencia de la planta: 𝐺𝑝(𝑠) =𝐾 𝑒−𝜃 𝑠

𝑇 𝑠+1

Valor alpha: 𝛼 =𝜃

𝑇

Ganancia del controlador: 𝐾𝑐 =𝐴 𝛼𝐵

𝐾

Tiempo de integración: 𝑇𝑖 =𝑇

𝐶 𝛼𝐷

Tiempo de derivación: 𝑇𝑑 = 𝑇 𝐸 𝛼𝐹

Función de transferencia del controlador: 𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑐 (1 +1

𝑇𝑖 𝑠+ 𝑇𝑑 𝑠)

Constantes a considerar para cada tipo de controlador:

CRITERIOS DE COMPORTAMIENTO

Controlador Criterio A B C D E F

P ISE 0,6659 -1,027

IAE 0,4373 -1,098

ITAE 0,3620 -1,119

PI ISE 1,305 -0,960 0,492 -0,739

IAE 0,984 -0,986 0,608 -0,707

ITAE 0,859 -0,977 0,674 -0,680

PID ISE 1,495 -0,945 1,101 -0,771 0,560 1,006

IAE 1,435 -0,921 0,878 -0,749 0,482 1,137

ITAE 1,367 -0,947 0,842 -0,738 0,381 0,995

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Ejercicios desarrollados en clases

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