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La matemática es un mapa y la incógnita es el tesoro.J. S.

Unidad 3Ec ua c iones entera s d e p rimer grado

Objetivos

elementales de la aritmética.

elementales de la aritmética.

ecuación.

ÁLGEBRA

95

Introducción

E l álgebra está íntimamente relacionada con el estudio de las ecuaciones, y en la práctica

son muchos los problemas que se modelan y se resuelven a través de una ecuación. En

la Antigüedad los babilonios y los egipcios ya hacían álgebra. Sin embargo, la notación,

o sea, la forma como ellos expresaban sus desarrollos, dista mucho de la usada en la actualidad.

Uno de los grandes problemas fue que el alfabeto

no había sido inventado aún, por lo cual en esos

tiempos no podían utilizarse letras para representar

las incógnitas y en su lugar usaban pequeños

símbolos. En las ecuaciones los primeros intentos

de simbolismo se le deben a Diofanto y tuvieron

lugar precisamente mediante el uso de letras para

representar las variables.

Como hemos mencionado en la introducción de este libro, la palabra "álgebra" se deriva del

término árabe al–jabr que significa "unir". En la Edad Media, un algebrista era un "pega–huesos"

o bien alguien que resolvía ecuaciones.

3.1. Nociones básicas

Una ecuación (del latín aequare, que significa "igualar") es una igualdad que involucra variables;

es, dicho de esta manera, un enunciado que asegura la igualdad entre dos expresiones algebraicas .

Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad en donde el exponente

de cada una de las variables es 1. Tiene la forma: a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, en donde las a con

subíndice no son todas cero y representan números reales y b es también un número real.

a1, a2, ..., an se llaman coeficientes . x1, x2, ..., xn se llaman variables (son las incógnitas).

a1 es el coeficiente de x1, a2 es el coeficiente de x2, an es el coeficiente de xn. La b se llama término

independiente.

Una ecuación entera de primer grado es una ecuación lineal de primer grado con

coeficientes y término independiente enteros.

Unidad 3

96

Ejemplos:

1. 3 873

21 2 3x x x es una ecuación de primer grado con 3 incógnitas que son x1, x

2 y

x3. El coeficiente de x

1 es 3, el de x

2 es 8, el de x

3 es

73

y el término independiente es 2 .

2. 7 8 151 2x x es una ecuación entera de primer grado con dos incógnitas que son x1 y x

2. El coeficiente de x

1 es 7, el de x

2 es –8 y el término independiente es 15.

3. 5 71x es una ecuación entera de primer grado con una incógnita x1. El coeficiente de x

1 es –5 y el término independiente es 7.

4. Cuando el número de variables no es muy grande, se acostumbra utilizar las últimas letras

del alfabeto para evitar escribir subíndices. Así, la igualdad 543

5 03x y z w es una ecuación

de primer grado con cuatro incógnitas, que son x, y, z y w. El coeficiente de x es –5, el de y es 43

y

el de z es –1, porque –z = (–1)z = –1z y el de w es 53 . El término independiente es 0.

3.1.1. Propiedades básicas de las igualdades

1. Propiedad simétrica. 3+ 2 = 5 es lo mismo que 5 = 3+ 2; –76 = x es lo mismo que x = –76. En general, a= x es lo mismo que x= a.

2. Propiedad transitiva . Si –3+ 6 = 2+ 1 y 2+ 1= 65–62, entonces –3+ 6= 65–62. Si

x73

512

y 73

512

2312

, entonces x2312

. En general, si x = a y a = b, entonces x= b.

3. x

x2

12

. En general, si b 0, entonces xb b

x1

.

4. 4

41

x x. En general, si x 0, entonces

ax

ax1

.

5. 2

32

13

23

23

x xx

x .

En general, si b 0, entonces ab

x ab

x axb

ab

x1

.

6. En general, abx

abx

ab x

ab x

ax

1 1 1 1 11b

.

Cuando en una ecuación cada variable toma un valor real específico y se satisface la igualdad, se dice que se ha encontrado una solución particular de la ecuación. Cuando se encuentran todos los valores reales que pueden tomar las variables, de tal forma que se satisface la igualdad, entonces se ha encontrado la solución general de la ecuación, sólo entonces puede decirse que la ecuación está resuelta.

ÁLGEBRA

97

Ejemplos:

5. x = –2 es solución particular de 3x – 2 = 7x + 6, ya que 3(–2) – 2 = 7(–2) + 6. Así,

x = 0 no es solución de esta ecuación porque: 3(0)–2 7(0) + 6.

6. x = 1 y y = 73

, es una solución particular de 5x – 3y = –2, ya que:

5(1) – 3(73

) = 5 – 7 = –2.

La solución general deberá incluir todos los valores que pueden tomar

x y y para que la igualdad se cumpla. En este caso existe un número infinito de soluciones, entre

las cuales se encuentran: x = 0 y y = 23

; x = 15

y y = 1; x = 2 y y = 2 5 2

3. Sustituye estos

valores para comprobar que cada pareja es una solución de la ecuación 5x – 3y = –2.

Ejercicio 1

Determina si los valores numéricos de las variables son solución de la ecuación dada.

1. x58

; ecuación 7x – 2 = 3 – x.

2. x= –3 y y= 2; ecuación 3x+ 2y= –5.

3. x = –1, y = –2 y z = 0; ecuación 7x – 3y – 5z = – 3x+ 6y–z.

4. La suma de 2 números, uno 24 unidades mayor que el otro, es 100. Considerando que la ecuación

es x+ (x+ 24)= 100, determina si el número menor es 38.

5. Tres veces la edad de Pedro, más 30 da 87. Si la ecuación correspondiente es 3x+ 30= 87,

determina si la edad de Pedro es 12 años.

3.2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

En esta unidad estudiaremos cómo resolver las ecuaciones enteras de primer grado con

una incógnita.

¿Qué

resolver una ecuación?

Unidad 3

98

Forma general: ax = b, a 0.

La solución o la raíz de una ecuación de este tipo es única, con a y b enteros.

a x = b

3.2.1. Solución de ecuaciones enteras usando suma o resta

Dos personas A y B nacieron el mismo día y, por lo tanto, tienen la misma edad, digamos

a años: simbólicamente se escribe como a = a. Dentro de un año ambas tendrán un año más:

simbólicamente a+ 1= a+ 1. Suponiendo que ninguna de las dos fallezca y que k sea un número

"razonable", dentro de k años A y B tendrán k años más: simbólicamente a+ k = a+ k.

Dos tiendas en competencia ofrecen al público el mismo producto al mismo precio, digamos

x pesos, simbólicamente se escribe como x = x. Ambas tiendas deciden rebajarlo una misma

cantidad y, por lo cual los precios siguen siendo iguales. Simbólicamente, x – y = x – y, o de

manera equivalente x+ (–y)= x+ (–y). Estos sencillos ejemplos nos sirven para ilustrar la propiedad

en la cual está basado nuestro primer método de solución:

Propiedad de adición de una igualdad.Sean , y , números reales. Si = , entonces + = + .

Si = y < 0, + = + , significa que se restó lo mismo en ambos miembros.

Por ejemplo: 3 = 3, entonces 3+ (–2) = 3+ (–2), es decir 3 – 2 = 3 – 2.

Una ecuación es como una balanza en equilibrio, en donde cada platillo representa un

miembro de la ecuación.

Primer miembro Segundo miembro

ÁLGEBRA

99

Si en ambos lados de una ecuación se suma o se resta un mismo número, entonces la nueva

igualdad es una ecuación equivalente a la primera. Esto significa que las dos ecuaciones tienen

exactamente los mismos resultados, las mismas incógnitas y el mismo grado.

A continuación estudiaremos algunos ejemplos en los que se aplicará la propiedad de adición

de las igualdades para encontrar la solución de una ecuación. La forma de resolver una ecuación de

este tipo es dejar en un miembro de la ecuación la variable con coeficiente igual a 1, y en el otro el

término independiente. A este procedimiento se le conoce como despejar la incógnita.

Ejemplos:

7. x + 3 = 8

Restando 3 en ambos miembros de la ecuación: x + 3 – 3 = 8 – 3

Reduciendo términos semejantes: x = 5

8. x – 5 = 4

Sumando 5 en ambos miembros de la ecuación: x–5+ 5 = 4+ 5


9. El precio de un artículo con un descuento de $16.00 es $42.00. ¿Cuál es el precio original?

Al precio original lo llamamos: x

Precio original menos $16.00 igual a $42.00: x – 16 = 42 Ec. a resolver.

Sumando 16 en ambos miembros de la ecuación: x – 16 + 16 = 42+ 16


Precio original del artículo $58.00. Comprobación. Sustituyendo en la ecuación: (58) – 16 = 42

Ejercicio 2

Resuelve las ecuaciones siguientes:

1. 2 + x = –7

Unidad 3

10 0

2. –13 – x = 6

3. –8 – x = –9

4. –7 – x + 3 = 8 – 12

5. El largo de un terreno es 5 m mayor que su anchura. Si su anchura mide 97 m, ¿cuántos metros

tiene de largo?

3.2.2. Solución de ecuaciones enteras usando división

En la sección anterior aprendimos a resolver ecuaciones enteras de primer grado en donde el

coeficiente de la variable x era 1 ó –1. Ahora aprenderemos a resolver ecuaciones enteras de primer

grado con coeficiente (entero) cualquiera.

Consideremos el siguiente problema: la altura de un triángulo es el triple de su base. Si la

altura mide 75 cm, ¿cuánto mide la base?

A la base la llamamos: x

La altura es 3 veces la base y mide 75 cm: 3x = 75

¿Cómo despejar x cuando su coeficiente no es 1 ó –1?

La propiedad que nos indica la manera de hacerlo es la siguiente:

Ahora ya estamos en condiciones de despejar x en la ecuación: 3x= 75

Dividiendo entre 3 ambos miembros de la ecuación: 33

753

x

D ividiendo para despejar x: x= 25

Por lo tanto, la base mide 25 cm.

Comprobación: 3(25)= 75

Ejemplos:

10. 3x = 20

Cantidades iguales divididas por una cantidad igualsiguen siendo iguales.

Propiedad de división de una igualdad

Sean , y , números reales, 0 . Si a = , entonces ac

bc

.

ÁLGEBRA

10 1


203

x

Dividiendo para despejar x: x=203

11. –5x= 40

Dividiendo entre –5 ambos miembros de la ecuación: 55

405

x

Despejando x: x = –8

12. El precio de cierta chamarra es 5 veces el precio de cierto par de calzado. Si la chamarra

cuesta $1 857.00, ¿cuánto cuesta el calzado?

Al precio del calzado lo llamamos: x

La chamarra de $1 857.00 cuesta 5 veces el precio del calzado: 5x = 1 857 Ec. a resolver

Dividiendo entre 5 ambos lados de la ecuación: 55

18575

x

Dividiendo para despejar x: x = 371.40

Por lo tanto, el calzado cuesta $371.40. Comprobación 5(371.40) = 1 857

Ejercicio 3

1. –7x = –35

2. 8x – 12x = 7

En los problemas 3, 4 y 5 escribe la ecuación correspondiente y resuélvela.

3. La edad de un padre es el cuádruple de la de su hijo. Si ambas edades suman 60 años, ¿cuántos

años tiene el padre y cuántos años tiene el hijo?

4. Una maestra compró el triple número de lápices que de cuadernos para sus alumnos. Por cada

lápiz pagó $3.00 y por cada cuaderno $13.00. Si el importe de la compra fue de $198.00, ¿cuántos

lápices y cuántos cuadernos compró?

5. Se tienen 3 cestas de naranjas. La segunda contiene el doble de la primera y la tercera el triple

de la primera, ¿cuántas naranjas hay en cada cesta si el total es 144?

Unidad 3

10 2

3.2.3. Solución de ecuaciones enteras usando varias operaciones

La mayoría de las ecuaciones que plantean un problema requieren de más de una operación

para encontrar su solución. En esta sección estudiaremos cómo resolver este tipo de ecuaciones.

Consideremos el siguiente problema: la suma de las edades de José y Juan es 75 años; si

José tiene 15 años más que Juan, ¿cuál es la edad de cada uno?

A la edad de José la llamamos: x

La edad de Juan es 15 años menos que la de José: x – 15

La suma de las edades es 75 años: x + (x – 15) = 75

2x – 15 = 75 Ec. a resolver

Sumando 15 en ambos miembros de la ecuación: 2x – 15 + 15 = 75 + 15

Sumando: 2x = 90


902

x

Despejando x: x = 45

Por lo tanto, José tiene 45 años y Juan tiene: x – 15 = (45 – 15) = 30 años.

Comprobación: 45 + 30 = 75

Ejemplos:

13. 7x + 4 = 25

Restando 4 en ambos miembros de la ecuación: 7x + 4 – 4 = 25 – 4

Efectuando operaciones: 7x = 21


217

x

Despejando x: x = 3

14. La suma de 3 enteros consecutivos es 84. H allar los números.

Al menor de los números lo llamamos: x

Entonces los dos enteros que siguen son: x + 1 y x + 2

La suma de estos 3 enteros es 84: x+ (x+ 1)+ (x+ 2)= 84 Ec. a resolver

Conmutando y asociando: 3x + 3 = 84


Sumando: 3x = 81


813

x


Por lo tanto, los números son: 27, 28 y 29

Comprobación: 27 + 28 + 29 = 84

ÁLGEBRA

10 3

15. H allar 2 números impares consecutivos cuya suma sea 380.


Entonces el impar que sigue de x es: x + 2

La suma de estos 2 números debe ser 380: x + (x + 2) = 380. Ec. a resolver.

Asociando: 2x + 2 = 380

Restando 2 en ambos miembros de la ecuación: 2 x + 2 – 2 = 380 – 2

Sumando: 2 x = 378


3782

x

Despejando x: x = 189 impar.

Por lo tanto, los números son: x + 2 = 189 + 2 = 191

Comprobación: 189 + 191 = 380

16. Los problemas no siempre tienen solución. Por ejemplo: hallar dos números pares

consecutivos cuya suma sea 40.


Entonces el par que sigue de x es: x + 2

La suma de estos 2 números debe ser 40: x + (x + 2) = 40. Ec. a resolver.

Asociando: 2x + 2 = 40


Sumando: 2 x = 38


382

x

Despejando x: x = 19 impar

Por lo tanto, no existen números pares consecutivos cuya suma sea 40.

Ejercicio 4

1. –308 + 12 x = –65

En los problemas 2, 3, 4 y 5 escribe la ecuación correspondiente y resuélvela.

2. Dividir 320 objetos en dos partes, de tal forma que la primera exceda en 32 a la segunda.

3. Luis tiene el cuádruple del dinero que Rosario; si juntos tienen $6 785.00, ¿cuánto dinero tiene

cada uno?

Unidad 3

10 4

4. La suma de las edades de 3 personas es 106 años. La de enmedio tiene 14 años más que la menor

y la menor tiene 17 años menos que la mayor. H allar las edades de las 3 personas.

5. Cinco cajas contienen 884 libros. La primera caja tiene 25 libros más que la segunda, 12 menos

que la tercera, 34 menos que la cuarta y 7 más que la quinta. ¿Cuántos libros tiene cada caja?

3.3. Solución de ecuaciones enteras con la variable en ambos lados de la igualdad

H asta ahora hemos estudiado cómo resolver una ecuación entera de primer grado cuando

la variable se encuentra en un solo lado de la igualdad. Sin embargo, son varios los problemas que

tienen a la variable en ambos lados de su ecuación. Por ejemplo, 3x + 8 = x + 28, o el siguiente

problema: Dos personas: A y B tienen en conjunto $78.00. Si A gana $30.00 más y tiene el doble

de lo que B posee en este momento, ¿cuánto dinero tiene cada una?

A la cantidad que tiene A la llamamos: x

Entonces B tiene: 78 – x

Si A gana $30.00 más tendría: x + 30

30 + x es el doble de lo que tiene B: x+ 30 = 2(78– x). Ec. a resolver.

Multiplicando: x + 30 = 156 –2x

Sumando 2x en ambos miembros de la ecuación:

x + 30 + 2x = 156 – 2x + 2x



Sumando: 3x = 126


1263

x

Despejando x: x126

342

Por lo tanto, A tiene $42.00 y B tiene $(78–42) = $36.00.

Comprobación: 42 + 30 = 72 = 2(36)

Las ecuaciones de la forma:

ax + b = cx + d, a, b, c, d Z

se resuelven sumando –cx en ambos miembros de la igualdad, para desaparecer la incógnita del

segundo miembro de la ecuación.

¿Cómo despejar la incógnita cuando está en ambos lados de la ecuación?

ÁLGEBRA

10 5

Ejemplos:17. La suma de dos números es 385 y el triple del mayor equivale al cuádruple del menor.

H allar los números.Al menor lo llamamos: xEntonces el mayor es: 385 – xEl triple del mayor es igual al cuádruple del menor: 3(385 – x) = 4x. Ec. a resolver.Multiplicando: 1 155 – 3x = 4xSumando 3x en ambos miembros de la ecuación: 1 155 – 3x + 3x = 4x + 3xSumando: 1 155 = 7x


777x


Por lo tanto, el menor de los números es 165 y el mayor es: 385 – 165 = 220Comprobación: 3(220) = 660 = 4(165)

18. Las edades de un tío y su sobrino suman 87 años. Si la edad del tío se disminuyera en

19 años tendría el triple de la edad del sobrino. H allar las edades del tío y del sobrino.

A la edad del sobrino la llamamos: xEntonces la edad del tío es: 87 – x

La edad del tío disminuida en 19 es 3 veces la del sobrino: (87–x)–19 = 3x. Ec. a resolver.Conmutando y asociando: 68 – x = 3x

Sumando x en ambos miembros de la ecuación: 68 –x + x = 3x + xSumando: 68 = 4 x


44x


Por lo tanto, la edad del sobrino es 17 años y la del tío: 87 – 17 = 70 años. Comprobación: 70 – 19 = 51= 3(17)

19. En una clase en donde hay 45 alumnos, el doble de mujeres menos 13 excede en 15 al triple del número de varones, disminuido en 8. H allar el número de mujeres y de varones.

Al número de mujeres lo llamamos: xEntonces el número de varones es: 45 – xEl doble del número de mujeres menos 13 es: 2x – 13El triple del número de varones disminuido en 8 es: 3(45 – x) – 8El doble del número de mujeres menos 13 excede en 15 el triple del número de varones

disminuido en 8: (2x –13) –15 = 3(45 – x) – 8 . Ec. a resolver.

Asociando, distribuyendo y conmutando: 2x – 28 = –3x + 127Sumando 3x en ambos lados de la ecuación: 2x – 28 + 3x = –3x + 127 + 3x

Unidad 3

10 6

Conmutando y asociando: 5x – 28 = 127


Sumando: 5x = 155


1555

x


Por lo tanto, el número de mujeres es 31 y el número de varones es 45 – 31 = 14

Comprobación: 2(31) – 13 = 49 excede en 15 a 3(14) – 8 = 34

Ejercicio 5

En cada uno de los siguientes problemas escribe la ecuación que corresponde y resuélvela.

1. La suma de dos números es 67 y el número menor aumentado en 52 equivale al triple del mayor

disminuido en 19. Encuentra los números.

2. El número de horas que ha trabajado Karina es 5 veces el número de horas que ha trabajado

Manuel. Si Karina hubiera trabajado 18 horas menos y Manuel 34 horas más, ambos habrían

trabajado el mismo número de horas. ¿Cuántas horas trabajó cada uno?

3. Sergio tiene el triple de dinero que Lucía. Si Sergio pierde $45.00 y Lucía pierde $9.00, Sergio

tendrá $25.00 más que Lucía. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

4. La edad de Elia es el doble de la de Graciela y hace 2 años la edad de Elia era el cuádruple de la

de Graciela. ¿Cuántos años tiene cada una?

5. En una cesta en donde hay 98 frutas entre manzanas y naranjas, el triple del número de manzanas,

menos 9, excede en 21 al triple del número de naranjas, disminuido en 12. Encuentra el número

de manzanas y el de naranjas.

3.4. Ecuaciones lineales enteras con más de una variable

Al principio de esta unidad mencionamos que la forma general de una ecuación lineal es: a x a x a x bn n1 1 2 2 ... , en donde las a representan números reales y no todos son cero; las x con

subíndice representan las variables, y la b es el término independiente, también un número real.

ÁLGEBRA

10 7

En esta sección estudiaremos la forma como se resuelve una sola ecuación lineal con más

de una variable. El procedimiento es muy similar al que hemos seguido hasta ahora. La única

diferencia es que, cuando se despeja una variable, digamos z, su valor depende de las otras. En

lenguaje matemático esto se expresa como: resolver la ecuación con respecto a la variable z, en

donde z puede ser cualquiera de las variables que aparecen en la igualdad.

Cuando una ecuación de este tipo se resuelve con respecto a z, se dice que z es una variable

dependiente y el resto de las variables se llama independiente.

Variable independiente– variable dependienteUna variable es independiente si puede tomar cualquier valor real, excepto los que carezcan

de sentido en la ecuación estudiada.

Una variable se llama dependiente si su valor está sujeto a los valores que tomen la otra

u otras variables en la ecuación estudiada.

El tipo de ecuaciones lineales con varias variables que resolveremos en esta unidad serán enteras.

Ejemplos:20. Resolver con respecto a x la siguiente ecuación lineal con tres incógnitas: –3z+ 8x= –5y+ 9

–3z+ 8x= –5y+ 9. Ec. a resolver.

Sumamos 3z en ambos miembros de la ecuación: –3z+ 8x+ 3z = –5y+ 9+ 3z

Conmutando y asociando: 8x = –5y+ 3z+ 9


5 3 98

x y z

Despejando x: xy z5 3 9

8

Por lo tanto, xy z5 3 9

8 es la solución general respecto a x. Observa que esta expresión

involucra un número infinito de valores para x, ya que y y z son las variables independientes y, por

lo tanto, pueden tomar cualquier valor real. Por ejemplo, si y = 1 y z= –1, entonces:

x5 1 3 1 9

818

( ) ( )

Comprobación: 3 1 818

3 1 4 5 1 9( ) ( )

Por lo tanto, x18

, y = 1 y z = –1 es una solución particular.

Si y = 0 y z = –4, entonces: x5 0 3 4 9

838

( ) ( )

Comprobación: –3(–4)+ 838

= 12 – 3= 9 = –5(0)+ 9

Por lo tanto, x38

, y = 0 y z= –4 es una solución particular.

Unidad 3

10 8

21. Resolver la misma ecuación: –3z + 8x = –5y + 9, con respecto a y.

Por simetría obtenemos: –5y + 9 = –3z + 8x

Restando 9 en ambos miembros de la ecuación: –5y + 9 – 9 = –3z + 8x – 9

Sumando: –5y = –3z + 8x – 9


3 8 95

y z x

Despejando y: yz x3 8 9

5

Por lo tanto, yz x3 8 9

5 es la solución general respecto a y. En el ejemplo anterior

comprobamos sólo dos casos con valores particulares. Esto no es suficiente para asegurar que la

solución que encontramos es correcta. Para estar completamente seguros debemos sustituir en la

ecuación original –3z+ 8x= –5y+ 9 ese valor que encontramos (en este caso) para y y verificar que

se cumple la igualdad:

5 9 53 8 9

59

55

3 8 9 9 3 8 9yz x

z x z x( ) 9 3 8z x

Por lo tanto, hemos demostrado que yz x3 8 9

5 sí es la solución general de la ecuación.

22. Se han comprado varios metros de 3 tipos de tela, de tal forma que 7 veces la cantidad

de la tela A, menos el doble de la cantidad de la tela B, menos el triple de la cantidad de la tela

C, es igual al triple de la cantidad de la tela A, menos la cantidad de la tela C disminuida en 9 m.

Encontrar 3 formas diferentes de cómo se pudo haber realizado la compra.

A la cantidad en metros de la tela A la llamamos: x

A la cantidad en metros de la tela B la llamamos: y

A la cantidad en metros de la tela C la llamamos: z

7 veces la cantidad de la tela A, menos el doble de la de B, menos el triple de la de C es:

7x – 2y – 3z

La cantidad de la tela C disminuida en 9m es: z – 9

El triple de la cantidad de la tela A, menos la cantidad de la tela C disminuida en 9m es:

3x – (z – 9)

7 veces la cantidad de la tela A, menos el doble de la de B, menos el triple de la de C es igual

al triple de la cantidad de la tela A, menos la cantidad de la tela C disminuida en 9m:

7x–2y–3z = 3x–(z–9). Ec. a resolver.

Resolvemos respecto a y:

Sumando –7x+ 3z en ambos miembros de la ecuación: 7x–2y–3z–7x+ 3z= 3x–(z–9)–7x+ 3z

Conmutando y asociando: –2y = –4x + 2z + 9

ÁLGEBRA

10 9


4 2 92

y x z

Despejando y: yx z4 2 9

2

Por lo tanto la solución general con respecto a y es yx z4 2 9

2. En la siguiente tabla

las 3 últimas columnas representan 3 formas diferentes de realizar la compra:

A x 5 8 12

B y 2.5 6.5 12.5

C z 3 5 7

Ejercicio 6

1. Comprueba que yz x5 32 15

2 es solución general de 3x – 2y + 5z = 35x – 15.

2. En un almacén un cliente compró dos tipos de artículos por los que pagó $51.00. Si un artículo

cuesta $7.00 y el otro cuesta $5.00, ¿cuántos artículos compró de cada uno, si la suma de artículos es 9?

En los problemas del 3 al 5, encuentra la solución general y da tres soluciones particulares.

3. H allar dos números enteros positivos de tal forma que si uno se multiplica por –5 y el otro por

8 la suma de los productos sea 135.

4. ¿De cuántas formas se pueden pagar $128.00 con billetes de $10.00 y $20.00, y monedas de

$1.00 y de $5.00?

5. Ocho veces la edad de x, menos el triple de la edad de y, más el doble de la edad de z es igual

al cuádruple de la de y, menos la edad de x hace 8 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? Encontrar

3 soluciones distintas.

6. Resuelve para y la siguiente ecuación –12x + 7z – y + 67 = 15y + 7x + 7z – 45.

Caso práctico de aplicación

Un hombre recibió un cheque por una cantidad de 2 cifras, pero al cobrarlo el cajero confundió

la cifra de las decenas con la cifra de las unidades y viceversa. Sin darse cuenta de la confusión, el

Unidad 3

110

hombre gastó $15.00. Cuando regresó a su casa, descubrió sorprendido que tenía el doble del dinero

que importaba el cheque. ¿De qué cantidad era el cheque?

Antes de iniciar la solución de este problema, veamos algunos ejemplos sobre el error que

cometió el cajero: si el cheque era de $26.00 el cajero pagó $62.00. Si el cheque era de $71.00 el

cajero pagó $17.00.

También es importante recordar cómo se descompone un número en potencias de 10. Por

ejemplo 26 = 10(2)+ 6; 71 = 10(7) + 1.

Solución:

A la cifra que representa a las unidades la llamamos: x

A la cifra que representa a las decenas la llamamos: y

El importe real del cheque es: y x = 10( y) + x

El cajero pagó: x y = 10(x) + y

El hombre gastó $15.00 y se quedó con el doble de la cantidad original:

10(x) + y – 15 = 2[10( y)+ x]

D istribuyendo y simplificando: 10x+ y – 15 = 20y + 2x

Restando 20 y + 2x en ambos lados de la ecuación: 10x + y – 15 – 20y – 2x =

20y + 2 x – 20y – 2 x

Conmutando y asociando: 8 x –19y – 15 = 0

Sumando 15 en ambos miembros de la ecuación: 8 x – 19 y – 15 + 15 = 0 + 15

Sumando: 8x – 19y = 15

Resolvemos para x:

Sumando 19y en ambos miembros de la ecuación: 8 x – 19 y + 19y = 15 + 19y

Sumando: 8 x = 15 + 19 y


15 198

x y

Despejando x: xy15 19

8

Tenemos entonces que la solución general es xy15 19

8, pero falta considerar que x y y

son las cifras del importe del cheque y en consecuencia son números enteros entre 0 y 9 (incluyendo

los extremos).

Por lo tanto, los únicos valores que satisfacen las condiciones son: y = 3, x = 9, lo que

significa que la cantidad del cheque era de $39.00.

Comprobación: 93 – 15 = 78 = 2(39)

ÁLGEBRA

111

Ejercicios resueltos

1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) –x + 6 = 25x – 18b) 4[ (x – 4) – (2x + 3)] – 7 = 5x – 2

Soluciones:a) –x + 6 = 25x – 18. Ec. a resolver.

Restando 25x + 6 en cada miembro de la ecuación: –x + 6 – (25x+ 6)= 25x –18 – (25x+ 6)Efectuando operaciones: –26 x = –24

Dividiendo entre –26 cada miembro de la ecuación: 2626

2426

x

Despejando x y simplificando: x = 1213

Comprueba este resultado.

b) 4[ (x – 4) – (2x + 3)]–7 = 5x – 2. Ec. a resolver.

Efectuando operaciones: 4[–x–7]–7 = 5x–2 –4x–35 = 5x–2

Restando 5x – 35 en cada miembro de la ecuación: –4x – 35 – (5x – 35) = 5x – 2–(5x –35)

Efectuando operaciones: –9x = 33

Dividiendo entre –9 cada miembro de la ecuación: 99

339

x

Despejando x y simplificando: x = 113

Comprueba este resultado.

2. Entre vacas y gallinas se cuentan 150 patas. Si el números de vacas excede en 12 al número de

gallinas, ¿cuántas vacas y cuántas gallinas hay?

Al número de gallinas lo llamamos: x

Entonces el número de vacas es: x + 12

El total de patas de gallinas es: 2 x

El total de patas de vacas es: 4(x + 12)

La suma total de extremidades es 150: 2x + 4(x + 12) = 150. Ec. a resolver.

Asociando y sumando: 6x + 48 = 150


Restando: 6x = 102


1026

x


Por lo tanto, hay 17 gallinas y 17 + 12 = 29 vacas. Comprobación. 2(17)+ 4(29) = 150.

Unidad 3

112

3. La suma de 3 números impares consecutivos es igual a 57. ¿Cuáles son los números?


Entonces los siguientes dos impares consecutivos son: x + 2 y x + 4

La suma de los 3 números es 57: x+ (x+ 2)+ (x+ 4) = 57. Ec. a resolver.



Restando: 3x = 51


513

x


Por lo tanto, los números son 17, 19 y 21.

Comprobación: 17 + 19 + 21 = 57

4. Se pagaron 1 160 dólares por una computadora, un mouse y un regulador. El regulador cuesta el

doble de lo que cuesta el mouse y 1 040 dólares menos de lo que cuesta la computadora. ¿Cuánto

cuesta cada artículo?

Al precio del mouse lo llamamos: x

Entonces el regulador cuesta: 2x

Y la computadora cuesta: 2x + 1 040

El importe total de los 3 artículos es 1 160 dls: x+2x+(2x+1 040)=1 160. Ec. a resolver.

Asociando y sumando: 5x + 1 040 = 1 160

Restando 1 040 en ambos miembros de la ecuación: 5x + 1 040 – 1 040 = 1 160 – 1 040

Restando: 5x = 120


1205

x


Por lo tanto, el mouse cuesta 24 dls, el regulador 2(24) dls= 48 dls y la computadora cuesta

2(24) + 1 040 dls = 1 088 dls.

Comprobación: 24 + 48 + 1 088 = 1 160

5. Si me pagaran $189.00 tendría el triple de lo que tengo ahora menos $45.00. ¿Cuánto dinero

tengo?

A la cantidad que tengo ahora la llamamos: x

Si me pagan $189.00 más tengo: x + 189

El triple de lo que tengo ahora menos $45.00 es: 3x – 45

La cantidad actual más $189.00 es igual al triple de la cantidad actual menos $45.00:

x + 189 = 3x–45. Ec. a resolver.

Restando x en ambos miembros de la ecuación: x + 189 – x = 3x–45–x

ÁLGEBRA

113

Conmutando y asociando: 189 = 2x– 45

Por la propiedad 1: 2x – 45 = 189


Sumando: 2x = 234


2342

x


Por lo tanto, actualmente tengo $117.00.

Comprobación: 117+ 189 = 306 = 3(117) – 45

6. La edad de un padre es el doble de la edad de su hijo. La edad que tendrá el padre dentro de 12

años será el triple de la edad que tuvo su hijo hace 8 años. H allar las edades del padre e hijo.

A la edad actual del hijo la llamamos: x

Entonces la edad actual del padre es: 2x

La edad del padre dentro de 12 años será: 2 x + 12

La edad del hijo hace 8 años fue: x – 8

La edad del padre dentro de 12 años será el triple de la edad que tuvo el hijo hace 8 años:

2x+ 12 = 3(x–8). Ec. a resolver.

Distribuyendo: 2x+ 12 = 3x –24

Restando 2x en ambos miembros de la ecuación: 2x+ 12 – 2x = 3x – 24 – 2x

Conmutando y asociando: 12 = x – 24

Por la propiedad 1: x – 24 = 12

Sumando 24 en ambos miembros de la ecuación: x – 24 + 24 = 12 + 24


Por lo tanto, el hijo tiene 36 años y el padre 2(36)= 72 años.

Comprobación: 72 + 12 = 84 = 3(36 – 8)

7. El cuádruple de un número, más 3 equivale al triple de otro número disminuido en 1.

H allar la solución general y 2 soluciones particulares.

Al primer número lo llamamos: x

Al segundo número lo llamamos: y

El cuádruple del primer número, más 3 es: 4x + 3

El triple del segundo número disminuido en 1: 3( y – 1)

El cuádruple del primer número, más 3 es igual al triple del segundo número disminuido en 1:

4x + 3 = 3(y – 1). Ec. a resolver.

Distribuyendo: 4x + 3 = 3y – 3

Unidad 3

114

Restando 3 en ambos miembros de la ecuación: 4x + 3 – 3 = 3y – 3 – 3

Restando: 4x = 3y–6


3 64

x y

Despejando x: xy3 64

Por lo tanto la solución general es xy3 64

. Las soluciones particulares pueden ser:

si y = 6, x3 6 6

4124

3

Si y = 7, x3 7 6

421 6

4154

8. La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 172. H allar los números.


Entonces el par que le sigue es: x + 2

La diferencia de sus cuadrados es 172: ( )x x2 1722 2 . Ec. a resolver.

Elevando al cuadrado: x x x2 24 4 172

Conmutando y asociando: 4 x + 4 = 172

Restando 4 en ambos miembros de la ecuación: 4 x + 4 –4 = 172 – 4

Restando: 4 x = 168


1684

x

Despejando x: x = 42 par

Por lo tanto, los números son 42 y 44.

Comprobación: 442–422= 172

9. El largo de una alberca en forma rectangular es el triple de su ancho. Si el ancho se aumenta

en 18m y el largo se disminuye en 7m el área de la alberca no varía. H allar las dimensiones de la

alberca.

Al ancho le llamamos: x

Entonces el largo es: 3 x

El área real es: (3 x)(x) = 3x2

El ancho aumentado en 18m es: x + 18

El largo disminuido en 7m es: 3 x – 7

El área con los cambios no varía: (3x – 7)(x + 18) = 3x2. Ec. a resolver.

Efectuando el producto del primer miembro de la ecuación: 3x2 – 7x + 54 x – 126 = 3x2

Restando 3x2 en ambos miembros de la ecuación: 3x2–7x + 54x – 126 – 3x2= 3x2– 3x2

ÁLGEBRA

115

Conmutando y asociando: 47 x – 126 = 0


Sumando: 47x = 126


12647

x

Despejando x: x 23247

Por lo tanto, las dimensiones de la alberca son 23247

m de ancho y

3 23247

312647

37847

82

47m de largo.

Comprobación: Área real es 23247

82

4712647

37847

47 6282 209

21122392 209

m2.

Área con los cambios:

23247

18 82

477

12647

1837847

7126 846

47378 329

47

97247

4947

47 6282209

2112392209

2m

Área real = Área con cambios.

10. Demuestra que z = –5x – 6y + 13, es la solución general de la ecuación:

2x – 3z + 2y – 5= –3x – 4y – 4 z + 8

con respecto a z.

Sustituyendo z por –5x – 6y + 13 en el primer miembro de la ecuación:

2x – 3z + 2y – 5 = 2x – 3(–5x – 6y + 13)+ 2y – 5

Distribuyendo: = 2x + 15x + 18y – 39 + 2y – 5

Conmutando, asociando y sumando: = 17x + 20y – 44

Sustituyendo z por –5x–6y+ 13 en el segundo miembro de la ecuación:

–3x – 4y – 4 z + 8 = –3x – 4y – 4(–5x – 6y + 13)+ 8

D istribuyendo: = –3x – 4y + 20x + 24y – 52 + 8

Conmutando, asociando y sumando: = 17x + 20y – 44

Como se obtienen resultados iguales, concluimos que z = –5x – 6y + 13 es la solución

general de la ecuación: 2x – 3z + 2y – 5 = –3x – 4y – 4z + 8, con respecto a z.

Unidad 3

116

Ejercicios propuestos

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x – 8 = 15

b) –6 x + 7 = –45

c) –x + 8 = 15x – 8

d) 4[ (x – 5) – (2x – 7)] – 9 = –6x + 4

2. La base de un rectángulo excede a su altura en 3 unidades. Si su perímetro es de 24 u, ¿cuáles

son sus dimensiones?

3. Reparte $3 786.00 de tal forma que A reciba $1 205.00 menos que B.

4. Encuentra 3 enteros consecutivos cuya suma sea 48.

5. Si la edad que tenía Francisco hace 2 años se quintuplica, es 4 años más del doble de la edad que

tendrá dentro de 5 años. ¿Cuántos años tiene Francisco?

6. Se tienen 3 libreros. El segundo contiene el cuádruple de libros que el primero, el tercero el doble

de libros que el segundo. Si en total hay 1 625 libros, ¿cuántos libros hay en cada librero?

7. La suma del largo y el ancho de un rectángulo es 770 cm y el séxtuple del largo equivale a ocho

veces el ancho. H allar las dimensiones del rectángulo.

8. El triple de un número, menos 18, es igual al doble de la suma de su inverso aditivo más 6.

H allar el número.

9. La edad de Carmen es el triple de la de Marta y dentro de 3 años la edad de Carmen será el doble

de la de Marta. ¿Cuántos años tiene cada una?

ÁLGEBRA

117

10. Diez veces la edad de A; más el doble de la edad de B, más 1; más el triple de la edad de C es

igual al cuádruple de la de B, más 5; menos la edad de A hace 3 años. ¿Cuál es la edad de cada

uno? Encontrar 2 soluciones distintas.

Unidad 3

118

Autoevaluación

1. Encuentra la ecuación que plantea el siguiente enunciado: Un joven ha comprado una cantidad

de vasos igual a 5 veces el número de refrescos. Por cada refresco pagó $5.00 y por cada vaso

$2.00. El importe de la compra fue de $225.00.

a) x número de refrescos Ecuación: 5x + 2(25x) = 225

b) x número de refrescos Ecuación: 5x + 2(5x) = 225

c) x número de refrescos Ecuación: x + 2(5x) = 225

d) x número de refrescos Ecuación: x + 25x = 225

e) x número de refrescos Ecuación: 5x + 2 x = 225

2. El producto de la edad de José hace 3 años por su edad dentro de 6 años es igual al cuadrado

de su edad actual. ¿Cuántos años tiene José?

a) 6 años.

b) 4 años.

c) 15 años.

d) 12 años.

e) 70 años.

3. H allar 3 números enteros consecutivos, tales que el triple del menor menos el doble del mediano

más el cuádruple del mayor sea 36. ¿Cuál es la ecuación que plantea el problema?

a) Los números son: 6, 7 y 8. La ecuación es: 5x – 6 = 36.

b) Los números son: 6, 10 y 20. La ecuación es: 5x – 11 = 36.

c) Los números son: –5, 7 y 34. La ecuación es: 7x – 5 = 36.

d) Los números son: 6, 7 y 8. La ecuación es: 5x + 6 = 36.

e) Los números son: 10, 12 y 14. La ecuación es: 5x – 20 = 30.

4. Se tienen $45.00 en billetes de $10.00, de $20.00 y monedas de $5.00. ¿Cuántas monedas y

cuántos billetes puede haber de cada denominación? ¿Cuál es la solución general del problema si

se resuelve con respecto al número de monedas?

a) 3 de $5.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00 ó 1 de $5.00, 2 de $10.00 y 1 de $20.00

Solución general: z = 9 – 2 x – 4y

b) 2 de $5.00, 2 de $10.00 y 1 de $20.00 Solución general: z = 9 – 2x – 4y.

c) 2 de $5.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00 ó 1 de $5.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00

Solución general: z = 9 – 2x – 4y

ÁLGEBRA

119

d) 15 de $1.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00 ó 1 de $5.00, 2 de $10.00 y 1 de $20.00

Solución general: z = 9 – 2x – 4 y

e) 1 de $15.00, 1 de $10.00 y 1 de $20.00 ó 3 de $5.00, 2 de $10.00 y 1 de $20.00

Solución general: z = 9 – 2x – 4 y

5. Un grupo de excursionistas ha recorrido 195 km. En automóvil recorrieron el cuádruple que

en bicicleta y a pie 9 km menos que en bicicleta. ¿Cuántos kilómetros recorrieron en cada una de

las 3 formas?

a) 22 km a pie, 36 km en bicicleta y 137 km en carro.

b) 25 km a pie, 32 km en bicicleta y 138 km en carro.

c) 25 km a pie, 34 km en bicicleta y 136 km en carro.

d) 24 km a pie, 33 km en bicicleta y 138 km en carro.

e) 25 km a pie, 30 km en bicicleta y 140 km en carro.

Unidad 3

120

Respuestas a los ejercicios

1. Sí es solución.


3. No es solución.


5. No es solución.

1. x = –9

2. x = –19

3. x = 1

4. x = 0

5. 102 m

1. x = 5

2. x= 74

3. 4x + x = 60; edad del hijo 12, edad del padre 48.

4. 13x + 3(3x) = 198; Compró 9 cuadernos y 27 lápices.

5. Primera canasta 24 naranjas; segunda, 48 y tercera, 72.

1. x= 20.25

2. (x+ 32)+ x= 320; 144 y 176.

3. x+ 4x= 6785; Rosario tiene $1 357.00 y Luis tiene $5 428.00

4. 3x+ 31= 106; la persona de menor edad tiene 25 años, la de enmedio 39 y la

mayor 42.

5. 5x+ 14= 884; la primera caja tiene 174 libros; la segunda, 149; la tercera, 186; la

cuarta 208 y la quinta, 167.

Ej. 1

Ej. 2

Ej. 4

Ej. 3

ÁLGEBRA

121

1. x + 52 = 3(67 – x) – 19; 32.5 y 34.5

2. 5x –18 = x + 34; Manuel 13h y Karina 65h.

3. 3x – 45= x – 9 + 25; Lucía tiene $30.50 y Sergio tiene $91.50.

4. 2 x – 2 = 4(x – 2); Graciela tiene 3 años y Elia 6.

5. 3 x – 9 = 21 + 3(98 – x) –12; 52 manzanas, 46 naranjas.

1. 3 25 32 15

25 35 15

3 5 32 15 5 35 15

35 15

xz x

z x

x z x z x

x 35 15x

2. 3 de $7.00 y 6 de $5.00.

3. yx135 5

8; soluciones particulares: x= 5, y= 20; x= 37, y= 40; x= 21, y= 30.

4. x= 128–5y–10z–20w; soluciones particulares: x= 48, y= 8, z= 2, w= 1; x= 23, y= 5,

z= 4, w= 2; x= 3, y= 1, z= 2, w= 5.

5. zy x7 9 8

2 soluciones particulares: x= 2, y= 4, z= 9; x= 14, y= 20, z= 11; x= 50,

y= 72, z= 31.

6. yx19 11216

1.

a) x = 233

b) x = 263

c) x = 1

d) x = 52

2. Altura 4.5u y base 7.5u.

3. A recibe $1 290.50 y B $2 495.50.

4. 15, 16 y 17

Ej. 6

Ej. 5

Ejercicios propuestos

Unidad 3

122

5. Francisco tiene 8 años.

6. El primer librero tiene 125 libros; el segundo, 500 y el tercero, 1 000.

7. Ancho 330 cm y largo 440 cm.

8. 69. Marta tiene 3 años y Carmen 9.

10. A tiene 3 años, B tiene 25 y C tiene 8, ó A tiene 6 años, B tiene 31 y C tiene 1.

1. b)

2. a)

3. d)

4. a)

5. c)

Autoevaluación

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