Uno no puede escapar al pensamiento de que estas fórmulas matemáticas tienen una existencia independiente y una inteligencia propia, que son más inteligentes que nosotros y que sus descubridores y

que nosotros recibimos más de ellas que ellas de nosotros.H einrich H ertz (1857-1894)

Unidad 1

Productos notablesObjetivos:

ÁLGEBRA

17

Introducción

¿ En cuántas ocasiones al leer desarrollos matemáticos sientes que es imposible seguir los pasos

que en el los se indican? ¿Cuántas veces te has preguntado cuál es el t ruco de los

grandes calculistas que son capaces de resolver con asombrosa rapidez operaciones extensas

y complicadas? Intenta calcular mentalmente las siguientes operaciones: 21 19, 232, 392 y 113.

¿Imposible? Estamos seguros de que al terminar esta unidad tus opiniones con respecto a este tipo

de cálculos habrán cambiado por completo. Aparentemente los comentarios sobre los desarrollos

matemáticos y los calculistas son totalmente ajenos; no obstante, existe una importante relación entre

ellos, que radica en gran parte en el dominio de una rama del álgebra: los productos notables .

Como su nombre lo indica, los productos notables son multiplicaciones entre expresiones

algebraicas a los que, debido a la regularidad con la que aparecen en los desarrollos matemáticos,

se optó por clasificar en diferentes tipos y estudiar su comportamiento al efectuar las operaciones

para encontrar una forma que permitiera calcularlos fácilmente.

La importancia de estudiar el tema de productos notables se encuentra, por un lado, en que

te evitará tener que realizar desarrollos engorrosos en los que la probabilidad de cometer errores

en los cálculos aumenta dramáticamente y, por otro, en que el contenido de esta unidad es una

herramienta básica para poder continuar con éxito el estudio de otros temas de matemáticas.

Antes de iniciar con el tema enfatizaremos algunas bondades de la notación algebraica.

Recuerda que una expresión algebraica se encuentra establecida por términos que están

formados por un coeficiente, una(s) variable(s) y su(s) exponente(s).

Lo que interesa destacar es que, por ejemplo, una expresión algebraica

del tipo x+ y+ z es la representación más simple de un trinomio, pero

es sólo eso, una representación, lo que significa que a x, y y z se les

pueden atribuir expresiones tan complicadas como x a b2 5 , y a bc3 3

y zad

b

4

2. De esta forma la expresión x + y + z es la representación

general de una expresión algebraica del tipo a b a bcad

b2 5 3 3

4

2 .

1.1. Producto de un binomio por su conjugado

El primer tipo de producto notable que estudiaremos es la multiplicación de un binomio por

su conjugado. Empezaremos por recordar cada uno de estos términos: un binomio es una expresión

algebraica de dos términos de la forma x+ y, en donde x y y representan monomios.

¿Qué hay detrás de una

expresión como x + y?

Unidad 1

18

Con base en esta definición, ¿llamarías a la expresión a–b binomio? La respuesta es sí, ya

que basta considerar que a–b= a+ (–b).

Ésta es una buena oportunidad para hacer hincapié en que restar no es otra cosa que sumar negativos y esto es válido tanto para números como para expresiones algebraicas.

Es usual referirnos al binomio conjugado solamente como conjugado.

Binomio conjugado

Si a uno de los términos del binomio x+ y se le cambia de signo: x –y ó –x+ y, se obtiene

su binomio conjugado.

Ejemplos:

1. Un conjugado de x y3 2 es x y3 2 .

2. Un conjugado de 2 53 5a b c es 2 53 5a b c .

3. Un conjugado de 2 2 1y x es 2 2 1y x .

Si lo que pretendemos es encontrar el producto de un binomio por su conjugado, lo adecuado

es tomar la representación más simple de un binomio: x + y, considerar uno de sus conjugados,

por ejemplo x – y, y efectuar el producto de la manera tradicional.

x + y

x – y

x2 + xy

– xy – y2

x2 – y2

Aun cuando la operación ha sido sumamente sencilla, hemos obtenido nuestra primera regla:

El producto de un binomio por su conjugado está dado por el cuadrado del primer

término menos el cuadrado del segundo. Simbólicamente se escribe como:

( )( )x y x y x y2 2

(1.1)

Ejemplos:

4. ( )( )5 5xy yz xy yz . Como podrás notar, los factores sí son conjugados. Por otra parte,

aunque no es estrictamente necesario, resulta conveniente ordenar los términos para efectuar el

producto con mayor facilidad. Entre binomios conjugados lo usual es que los dos primeros términos

sean iguales y los segundos términos sean iguales con signos diferentes: ( )( )yz xy yz xy5 5 . Aplicando

la regla (1.1):

ÁLGEBRA

19

( )( )yz xy yz xy5 5 = (yz)2 – (5xy)2

= y2z2 – 25x2y2

5. La expresión algebraica que representa al enunciado: se tienen dos números tales que

el producto del triple del primero, más el segundo, por el triple del primero, menos el segundo

(conjugado), es igual a 1 025, está dada por: (3x+ y)(3x–y)= 1 025, en donde x es el primer número

y y el segundo. Aplicando la regla (1.1) obtenemos: 9 10252 2x y .

6. La expresión algebraica que representa al enunciado: se tiene un número tal que el producto

de la suma del número, más 7 veces su recíproco por su diferencia es 48, está dada por:

x

xx

x7 7

48

en donde x es el número. Aplicando la regla (1.1) obtenemos:

xx

xx

22

4

2

49 4948

7. Para calcular mentalmente el producto 21 19 puedes aplicar la regla (1.1) como sigue:

21 19 20 1 20 1 20 1 400 1 3992 2( )( ) . El truco consiste en escribir el producto como

un producto de binomios conjugados, de tal forma que los cuadrados de los términos que los

forman sean fáciles de calcular.

Ejercicio 1

1. Un conjugado de ( x y xy2 3 5 ) es:

2. ( )( )2 4 2 43 2 3 2xy z xy z

3. Calcula, con la ayuda del binomio conjugado, los siguientes productos: 32× 28= ___ y

93× 87= ____.

En los ejercicios 4 y 5 escribe la expresión algebraica que representa cada uno de los enunciados y

efectúa los productos.

4. El producto de la suma de dos números por su diferencia es 336.

5. El producto del cuádruple de un número x, más el doble de un número y, por el cuádruple de

x, menos el doble de y, es: 2 204.

Unidad 1

20

1.2. Potencia cuadrada

1.2.1. Cuadrado de un binomio

Multiplicar el binomio x+ y por sí mismo significa elevar la expresión x+ y al cuadrado.

Simbólicamente se representa como (x+ y)2.

Aun cuando podemos efectuar un procedimiento análogo al que se siguió en la sección 1.1

para deducir la regla, optamos por mostrarte un camino diferente. Nuestra finalidad es proporcionarte

el mayor número de recursos para que apliques en tus desarrollos algebraicos el que consideres más

adecuado. Éste es el secreto de "saber matemáticas".

A continuación te damos varios ejemplos que te conducirán a la conclusión deseada.

Empecemos con: (2a+ 5)2, lo que significa que debemos multiplicar (2a+ 5)(2a+ 5). Al efectuar

la multiplicación obtienes como resultado 4a2+ 20a+ 25. Compáralo con el binomio original 2a+ 5

y reflexiona al respecto:

i. ¿Qué operación u operaciones se deben realizar para que 2a solo, ó 2a operado con 5, ó

5 solo, se conviertan en 4a2?

ii. ¿Qué operación u operaciones se deben realizar para que 2a solo, ó 2a operado con 5,

ó 5 solo, se conviertan en 20a?

iii. ¿Qué operación u operaciones se deben realizar para que 2a solo, ó 2a operado con 5,

ó 5 solo, se conviertan en 25? Escribe tu conjetura y ve si funciona para el siguiente ejemplo:

(3ab+ 7c)2= 9a2b2+ 42abc+ 49c2

¿Funcionó? Si la respuesta es afirmativa prueba con otros ejemplos y compara con la regla

que te damos un poco más adelante. Si la respuesta es negativa, no te desesperes, tómate tu tiempo

junto con tu lápiz y papel, y pregúntate de nuevo: ¿qué operación u operaciones se deben realizar

para que 3ab solo, ó 3ab operado con 7c, ó 7c solo, se conviertan en 9a2b2 primero, 42abc después

y por último en 49c2? Si todavía tienes dificultades en encontrar las relaciones, te ayudaremos un

poco más: las operaciones que debes considerar son: potencia cuadrada y multiplicación (de hecho,

está involucrada una multiplicación por 2).

Seguramente ya obtuviste tu conjetura y tendrás un enunciado muy parecido al siguiente:

El cuadrado de un binomio x+ y está dado por:

i. El cuadrado del primer término;

ii. más el doble producto del primero por el segundo término;

ÁLGEBRA

21

iii. más el cuadrado del segundo término.

Simbólicamente se escribe como ( )x y x xy y2 2 22 . (1.2)

Si hubieras optado por el procedimiento que se siguió en la sección 1.1, el primer

paso hubiera sido considerar el tipo de expresión algebraica con la que se iba a operar. En este

caso sería x+ y.

Posteriormente se hubiera efectuado, de la manera habitual, el producto de x y

por sí mismo, obteniendo como resultado x xy y2 22 , que es precisamente la regla buscada.

Una consecuencia de la regla (1.2) es el cuadrado del binomio x–y, ya que basta considerar

la igualdad x y x y( ) y aplicar la regla.

Al aplicar la regla cada término se considera con todo y su signo.

Ejemplos:

8. ( ) ( ) ( )( ) ( )2 5 2 2 2 5 5 4 20 252 2 2 2 2 2 2 2ab bc ab ab bc bc a b ab c b c

9. ( ) ( ) ( )( ) ( )ab c bd ab c ab c bd bd a b c ab c d2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 4 6 3 32 2 bb d2 2

10. La expresión algebraica que representa el enunciado: el cuadrado de un número aumentado

en 5 es 169, está dada por ( )x 5 1692 . Efectuando el producto obtenemos: x x2 10 25 169 .

11. La expresión algebraica que representa el enunciado: se tienen dos números tales que la

suma del doble del primero más el triple del segundo, multiplicada por sí misma, da 144, está dada por ( )( ) ( )2 3 2 3 2 3 1442x y x y x y .

Efectuando el producto obtenemos: 4 12 9 1442 2x xy y .

Ejercicio 2

En los ejercicios 1, 2 y 4 escribe la expresión que representa el enunciado y efectúa el producto.

1. El lado de un cuadrado es un número que disminuido en 4 hace que su área sea 2.25 cm2.

2. Se tienen dos números tales que el cuadrado del doble del primero menos el segundo es 9.

3. ( )x y3 3 2

4. Calcula, utilizando el cuadrado de un binomio: 25 2= _____________ y 68 2= _____________.

Unidad 1

22

1.2.2. Cuadrado de un trinomio

Como recordarás, un trinomio es una expresión algebraica de la forma x y z , en donde

x, y y z representan monomios .

Analiza muy bien la expresión ( )3 22 3 2 2a b bc de . ¿Consideras que con lo que has estudiado

en este libro tienes los recursos suficientes para resolver la operación sin recurrir al desarrollo completo

de multiplicar 3 22 3 2a b bc de ? ¡Por supuesto! La propiedad asociativa nos permite manejar

expresiones de este tipo "como si fueran binomios"; por ejemplo, podemos escribir 3 22 3 2a b bc de

como 3 22 3 2a b bc de( ) . O cualquier igualdad que tenga la forma x+ y.

H agamos los cálculos. El primer término es 3 2a b y el segundo ( )2 3 2bc de .

3 2 3 2 3 2 22 3 2 2 2 2 2 3 2 3a b bc de a b a b bc de bc de( ) ( ) ( )( ) ( 22 2)

Observamos que el tercer término es el cuadrado de un binomio, efectuando el producto

obtenemos:

9 6 2 2 2 24 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2a b a b bc de bc bc de de( )( ) ( ) ( )( ) ( )

9 12 6 4 44 2 2 2 3 2 2 2 6 3 2 2 4a b a b c a bde b c bc de d e

Ahora veamos la regla para elevar un trinomio al cuadrado: lo primero a considerar es: ¿qué tipo de expresión quieres elevar al cuadrado? En nuestro ejemplo la expresión es: 3 22 3 2a b bc de ; su forma general es: x y z . Elevándola al cuadrado tenemos que:

(x + y + z)2 = [x + ( y + z)] 2

= x2 + 2x ( y + z) + ( y + z)2

= x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2

= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

Tenemos, entonces que:

El cuadrado de un trinomio x y z está dado por la suma del cuadrado de cada término más la suma de todos los dobles productos (diferentes) que se puedan formar con dos de sus

términos.Simbólicamente se escribe como ( x+ y+ z)2= x2+ y2+ z2+ 2xy+ 2xz+ 2yz. (1.3)

1.2.3. Cuadrado de un polinomio

En esta sección entramos a la etapa de generalización, lo que significa que estableceremos

la regla para elevar un polinomio al cuadrado.

ÁLGEBRA

23

El cuadrado de un polinomio x x xn1 2 ... está dado por la suma del cuadrado de

cada término, más la suma de todos los dobles productos (diferentes) que se puedan formar con

los términos x1, x2, . . . , xn. Simbólicamente se escribe como:

( ... ) ...

...

x x x x x x x x x x

x x x xn n

n

1 22

12

22 2

1 2 1 3

1 2

2 2

2 2 33 2 12 2... ... .x x x xn n n

(1.4)

Ejercicio 3 Escribe la expresión algebraica que representa los enunciados de los ejercicios 1, 2 y 3. Efectúa el

producto.

1. El cuadrado de la suma del doble de 3 números es 520.

2. El doble del perímetro de un terreno rectangular, más la potencia cúbica de su largo, menos 7

veces su ancho, todo al cuadrado es 3 387.

3. El cubo de un número menos 3 veces su recíproco, menos el número, todo elevado al cuadrado,

da 529.

4. ( )x y z2 2

5. ( )x y z w2 2 22 3

H asta aquí hemos estudiado cómo elevar al cuadrado la suma de cualquier número de

términos, es decir, la base ha dejado de ser un problema. Cambiemos entonces de exponente y

tomemos la potencia siguiente:

1.3. Potencia cúbica

1.3.1. Cubo de un binomio El cubo de un binomio simbólicamente se representa por ( )x y 3 y significa tomar al binomio

x y como factor tres veces: ( )( )( )x y x y x y .

Unidad 1

24

Al igual que en las secciones anteriores, para encontrar una regla podemos estudiar el

comportamiento de varios ejemplos, obtener alguna conjetura y posteriormente probarla. Si deseas

seguir por este camino, toma papel y lápiz y resuelve ejercicios como ( )2 3a b , ( )7 6 3ab c ó ( )8 52 3 3a bc . Encuentra la relación entre los términos del binomio que aparece como base y los

términos del resultado.Nosotros te mostraremos otra forma, que no difiere en mucho de los procedimientos

anteriores:

Como ya es costumbre, consideramos ( )x y 3.

Sabemos que ( ) ( ) ( )x y x y x y3 2

( )( )x xy y x y2 22 Aplicando la regla 1.2.

= x x y xy x y xy y3 2 2 2 2 32 2

= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3

Se sumaron términos semejantes.

El cubo de un binomio x + y está dado por:

i. El cubo del primer término.

ii. Más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo.

iii. Más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo.

iv. Más el cubo del segundo término.

Simbólicamente se escribe como: (x+ y)3= x3+ 3x2y+ 3xy2+ y3. (1.5)

Ejemplos:12. La expresión algebraica que representa el enunciado: el volumen

de un cubo de lado 2x+ 1, está dada por ( )2 1 3x . Efectuando la potencia

obtenemos: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 2 1 3 2 1 1 8 12 6 13 2 2 3 3 2x x x x x x .

13. La expresión algebraica que representa el enunciado: el cubo de la suma

del triple del cuadrado de un número, más el doble del cubo de otro, está dada por ( )3 22 3 3x y

Efectuando el producto obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 3 2 3 3 2 2 27 54 362 3 2 2 3 2 3 2 3 3 6 4 3 2 6x x y x y y x x y x y 8 9y

¿Cómo elevar al cubo un binomio de la forma x–y?

ÁLGEBRA

25

14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 7 3 3 3 7 3 3 7 73 3 3 2 3 3 2 3 3ab c ab ab c ab c c

27 189 441 3433 3 2 2 3 6 9a b a b c abc c

15. Para calcular mentalmente 113, podemos descomponer 11 como 10+ 1 y aplicar la regla.

11 10 1 10 3 10 1 3 10 1 1 1000 300 30 1 13 3 3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3331

16. ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )x y x y x x y x y y3 3 3 2 2 33 3

x x y xy y3 2 2 33 3

Por lo tanto, (x–y)3= x3–3x2y+ 3xy2–y3.

Ejercicio 4

En los ejercicios 1, 2 y 3 escribe la expresión algebraica que representa al enunciado y efectúa el

producto.

1. Aplica la fórmula del volumen de una esfera V r43

3 para expresar el volumen de una esfera

de radio r= (3x–2) cm.

2. El cubo de la suma del triple de 3 enteros consecutivos es 250 047.

3. Se tienen dos números tales que la diferencia del doble del cuadrado del primero, menos el triple

del segundo, todo al cubo, da 512.

4. ( )3 2 2 3xy xz

5. ( )4 51 3 2 3x y xz

1.3.2. Cubo de un trinomio

Podemos iniciar esta sección con el análisis de la expresión ( )x y z 3 , la cual debe ser lo

suficientemente clara debido a las explicaciones que ya se han dado en las secciones anteriores. El

procedimiento que seguiremos también será análogo a lo que antes se había hecho. Como podrás

notar, la mayoría de los últimos desarrollos que hemos realizado no aportan nuevas estrategias, por

lo que puedes concluir que para entender el tema de productos notables basta asimilar las reglas

básicas, que en realidad son bastante sencillas. Lo que sigue de ellas es simplemente su aplicación.

Unidad 1

26

Una prueba más de ello es la forma como encontraremos la regla para elevar un trinomio

al cubo:

( ) [ ( )] ( ) ( ) ( )x y z x y z x x y z x y z y z3 3 3 2 2 33 3 El cubo del primero.

+ El triple producto del cuadrado del primero por el segundo. + El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.

+ El cubo del segundo.

Efectuando los cálculos obtenemos que:

= x3+ 3x2y+ 3x2z+ 3x( y2+ 2yz+ z2)+ y3+ 3y2z+ 3yz2+ z3

= x3+ 3x2y+ 3x2z+ 3xy2+ 6xyz+ 3xz2+ y3+ 3y2z+ 3yz2+ z3

Ordenando:

= x3+ y3+ z3+ 3x2y+ 3x2z+ 3xy2+ 3y2z+ 3xz2+ 3yz2+ 6xyz

El cubo de un trinomio x y z está dado simbólicamente por:

(x+ y+ z)3= x3+ y3+ z3+ 3x2y+ 3x2z+ 3xy2+ 3y2z+ 3xz2+ 3yz2+ 6xyz (1.6.)

Ejemplo:

Desarrollar:

17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 23 3 3 3 2 2x y z x y z x y x z x yy)2

3 3 3 2 3 3 3 6 2 32 2 2( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )y z x z y z x y z

8 27 12 36 6 9 54 27 363 3 3 2 2 2 2 2 2x y z x y x z xy y z xz yz xyz

Ejercicio 5

Desarrollar:

1. (z – 2 x+ y2)3=

ÁLGEBRA

27

2. (–x+ 2y2z–z)3=

3. Aplica la regla (1.6) para calcular 22 3=

En los ejercicios 4 y 5 escribe la expresión algebraica que representa cada enunciado y efectúa el

producto.

4. El cubo de la suma de la edad del padre, menos la edad de la madre, más el triple de la edad del

hijo, es 13 824.

5. Se tienen 3 números, si elevamos al cubo la suma de 3 veces el primero, menos el cuadrado del

segundo, más el triple del cubo del tercero, da 3 veces el primero.

1.4. Interpretación geométrica

El álgebra griega

Con excepción de Diofanto (siglo I I I d.C.), los griegos siempre estuvieron preocupados por

darles a los números una interpretación geométrica, lo que significa que para ellos una cantidad del

tipo a representaba la longitud de un segmento. El cuadrado de a, el área de un cuadrado de lado a.

El cubo de a, el volumen de un cubo de lado a. Cantidades como ab, el área de un rectángulo de

lados a y b. Este enfoque, y una notación algebraica, que dejaba mucho que desear, los impulsó

a inventar ingeniosos procesos geométricos para solucionar los problemas algebraicos a los que

se enfrentaron.

Con sus métodos geométricos no sólo lograron demostrar algunas identidades algebraicas,

sino que también resolvieron ciertas ecuaciones cuadráticas.

A continuación te presentamos el enfoque geométrico de varios de los productos notables

que hemos visto hasta ahora. Varios de los desarrollos en este sentido se encuentran recopilados en

la obra más importante de Euclides: Elementos. Este trabajo consta de 13 libros en los que el gran

matemático griego conjuntó sistemáticamente toda la matemática existente en su época y aportó

diversas ideas originales.

Por ejemplo, la proposición 4 del libro I I de los Elementos establece geométricamente la

identidad (x+ y)2= x2+ 2xy+ y2. Para probarla empezaron por considerar a ( )x y 2 como el área de

un cuadrado de lado x y.

Unidad 1

28

x

x y

x y y 2 y

x 2 xy x

La suma de las áreas de las regiones que dividen al cuadrado de lado x+ y, es igual al

área del cuadrado: x2+ x y+ x y+ y2= (x+ y)2= x2+ 2xy+ y2.

H emos obtenido la regla para elevar al cuadrado un binomio de la forma x+ y.

La proposición 7 del libro I I de los Elementos establece geométricamente la identidad

(x–y)2= x2–2xy+ y2. En donde (x–y)2 representa el área de un cuadrado de lado x–y.

y(x–y) y 2 y

(x–y)2 y (x–y) x

y

x

El área del cuadrado de lado x – y es igual al área del cuadrado completo (lado x) menos la

suma de las áreas de las regiones sombreadas: (x y) x y(x y) y(x y) y x xy y xy y y2 2 2 2 2 2 2

x xy y x xy y2 2 2 22 2

H emos obtenido la regla para elevar al cuadrado un binomio de la forma x–y.

La proposición 5 del libro I I de los Elementos establece geométricamente la identidad

( )( )x y x y x y2 2 , en donde ( )( )x y x y representa el área de un rectángulo de lados

x–y y x+ y.

x y y 2 y

x(x–y) (x – y)y x –y

x y

ÁLGEBRA

29

El área de las regiones en blanco es el área de un rectángulo de base x y y altura x y: ( )( )x y x y . Esta área también puede calcularse si al área del rectángulo completo con base x y

y altura x se le resta el área de las regiones sombreadas:

( )x y x xy y x yx xy y x y2 2 2 2 2

Por lo tanto, hemos obtenido la regla para multiplicar binomios conjugados.

( x–y)(x+ y)= x2–y2 (1.1)

1.5. Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es un arreglo triangular de números, en el que cada línea contiene los coeficientes del binomio de Newton elevado a la potencia n.

Construcción del triángulo de PascalEn los lados de este triángulo siempre aparece el número 1:

Las componentes intermedias de cada línea se forman de la siguiente manera: Las líneas 1 y 2 están completas. Sitúate sobre la línea 3 y suma de dos en dos las

componentes de la línea 2: (1+ 1= 2), escribe el resultado en la línea 3 en el centro de los números que sumaste.

Debe quedar así:

Para continuar, pasa a la línea 4, toma las componentes de la línea 3 de dos en dos y súmalas;

escribe el resultado en la línea 4 en el centro de los números que consideraste. Queda así:

Unidad 1

30

Siguiendo este procedimiento puedes desarrollar el triángulo de Pascal tanto como lo

necesites, nosotros lo haremos hasta la línea 7. La importancia del triángulo de Pascal radica en que

podemos determinar fácilmente los coeficientes del desarrollo para cualquier potencia de un binomio.

Cómo se aplica el triángulo de Pascal

Consideremos el siguiente binomio

(x–3y)4

Primero se busca en el triángulo de Pascal la línea que tiene como segundo componente el

4, que es el exponente del binomio, estos números son los coeficientes del polinomio resultante

1 4 6 4 1

En seguida escribimos junto a cada coeficiente los términos del binomio en forma de

producto

1x (–3y) 4x(–3y) 6x(–3y) 4x(–3y) 1x(–3y)

Los exponentes se colocan de la siguiente forma:

En este desarrollo tomemos su primer término

x (–3y)

Al primer factor se le asigna el exponente del binomio y al segundo factor el exponente 0

x4 (–3y)0

Para los siguientes términos del desarrollo el exponente del primer factor irá disminuyendo

en 1 y el exponente del segundo factor irá aumentando en 1

x4(–3y)0 4x3(–3y)1 6x2(–3y)2 4x1(–3y)3 1x0(–3y)4

Los signos que unen a cada uno de esos términos será el resultado de realizar las operaciones

indicadas

x4 – 12x3y + 54x2y2 – 108xy3 + 81y4

18. Si tu binomio es por ejemplo 2x3y–3y–2z4, entonces al elevarlo a la quinta potencia te

quedará así:

(2x3y–3y–2z4)5= 1(2x3y)5+ 5(2x3y)4(–3y–2z4)+ 10(2x3y)3(–3y–2z4)2

ÁLGEBRA

31

+ 10(2x3y)2(–3y–2z4)3+ 5(2x3y)(–3y–2z4)4+ 1(–3y–2z4)5

= 32x15y5–240x12y2z4+ 720x9y–1z 8–1 080 x6y–4z12+ 810x3y–7z16–243y–10z20

Observa que los números en negritas son las componentes de la línea 6 del triángulo de Pascal.

19. Para encontrar un coeficiente determinado no hace falta desarrollar todo el binomio.

Por ejemplo, si se desea el coeficiente del término a5b3 en ( )2 8a b , entonces debemos tomar la

cuarta componente en la línea 9 del triángulo de Pascal, que es la que corresponde al término

70((2a)5(–b)3)). Por lo tanto, el coeficiente es –2 240.

Ejercicio 6

Desarrollar:

1. (2x + yz2) 4 =

2. (3x2 – 5y3)5 =

3. Escribe la expresión algebraica que representa al enunciado: el doble del cubo de un número

menos otro número, al elevarse a la séptima potencia, da 87. Aplicar el triángulo de Pascal.

4. Aplica el triángulo de Pascal para calcular ( )a b c2 3 52

5. Utiliza el triángulo de Pascal para calcular el coeficiente de x6 en (–2x3+ 8)4.

1.6. Producto de dos binomios con términos semejantes correspondientes

Dos binomios con términos semejantes correspondientes son aquellos que en cada uno

de sus términos tienen las mismas variables con potencias iguales y que sólo pueden diferir en

signo o coeficiente.

Unidad 1

32

Ejemplos:

20. 72

63 2x y y 465

3 2x y son binomios con términos semejantes.

21. ( )3 53 6 2x y w z y ( )2 73 6 2x y w z son binomios con términos semejantes.

22. ( )6 2 1 6a b c y 34

6 1 2c b a son binomios con términos semejantes.

23. (–x2 + 5yz6) y (–x–2 + 5y6) no son binomios con términos semejantes.

Caso I :

El caso más sencillo de binomios con términos semejantes tiene como forma general

(x+ a)(x+ b). En el recuadro de la derecha aparece el producto; la última línea nos da la regla.

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab (1.7)

x a x b

x ax2

bx ab

x a b x ab2 ( )

La interpretación geométrica de este producto es:

b bx ab

x x 2 ax

x a

El orden no importa, siempre y cuando cada término contenga las mismas literales con los mismos exponentes.

No tienen la misma potencia.

No tienen las mismas literales.

i) El cuadrado del primer término: 2. ii) más la suma de los términos independientes por : ( + ) iii) más el producto de los términos independientes: .

ÁLGEBRA

33

Ejemplos:

24. ( )( ) ( ) ( )( )x x x x x x3 7 3 7 3 7 4 212 2

25. x x x x x32

59

32

59

32

59

2 22 23718

1518

3718

56

x x x

26. Los lados de un rectángulo son ( )x 4 y ( )x 5 , entonces su área está dada por:

( )( ) ( )x x x x x x4 5 4 5 20 202 2

27. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )12 15 10 2 10 5 10 2 5 10 2 5 100 70 10 1802

Caso I I :

Encontremos la regla para binomios con términos semejantes de la forma ( )( )x ay x by .

Si efectúas el producto en la forma usual obtendrás que ( )( ) ( )x ay x by x a b xy aby2 2 (1.8)

Ejemplos:

28. ( )( ) ( ) ( )( )x y x y x xy y x xy y3 2 3 2 3 2 62 2 2 2

29. ( ) ( ) ( ) (z y z y z z y2 1 2 1 2 2 2 1312

312

312

yy z z y y1 2 4 2 1 272

32

)

30. Recordando que el área de un triángulo está dada por abase altura( )( )

2, tenemos

que: si los catetos de un triángulo rectángulo son ( )x y2 y ( )x y , entonces su área queda

determinada por:

( )( ) ( )x y x y x xy y x xy y22

2 1 22

3 22

2 2 2 2

x+2y

Caso I I I :

Por último consideremos la forma más general de dos binomios con términos semejantes,

sean (ax + by)(cx + dy). Las literales a, b, c y d representan a los coeficientes. Lo que nos interesa

ahora es encontrar la regla para efectuar el producto de dos binomios de este tipo. El siguiente

procedimiento muestra el producto directamente.

x+y

Unidad 1

34

ax + by

cx+ dy

acx2+ bcxy

+ adxy+ bdy2

acx2+ (bc+ ad)xy+ bdy2 (1.9)

Una forma práctica de efectuar este producto es como sigue:

Ejemplos:

31. ( )( ) ( )( ) [ ( )( ) ( )( )] ( )( )3 2 4 3 4 2 4 3 2 12 52x y x y x x y x x y y y x xxy y2 2

32. La expresión algebraica que representa al enunciado: se tienen dos números tales que el

producto del triple del primero al cuadrado, más el doble del segundo, por 5 veces el cuadrado del

primero, más el segundo es 134, está dada por: (3x2+ 2y)(5x2+ y)= 134. Efectuando el producto

obtenemos 15 3 10 2 134 15 13 2 1344 2 2 2 4 2 2x x y x y y x x y y .

33. (5xy2–8z) (3xy2+ 10z)= (5xy2) (3xy2)+ [ (–8z) (3xy2)+ (5xy2) (10z) ] + (–8z) (10z)=

(5)(3)(xy2)2 + [ (–8)(3) + (5)(10)] xy2z + (–8)(10) z2=

15x2y4 + 26 xy2z – 80z2

34. Encontrar el área de un rectángulo de dimensiones ( )2 3ft in , de largo y ( )1 4ft in

de ancho. Recordar que "ft" e "in" son unidades métricas del sistema inglés y son equivalentes en el

primer caso a pies y en el segundo a pulgadas.

El área del rectángulo es:

( )( ) ( )( ) { ( )( ) ( )( )} ( )( )2 3 1 4 2 1 3 1 2 4 3 42 2ft in ft in ft f t in in

ÁLGEBRA

35

2 11 122 2f t f t in in( )( )

Se sabe que 1 ft = 12 in, entonces: 2 12 11 12 122 2( ) ( )( )in in in in

( )288 132 12 4322 2in in

1 f t+4in

2 f t+3in

35. ¿Cuál es el área de un triángulo cuyas dimensiones son: base (3ft + 3in) y altura

(3ft + 5in)? Si se sabe que 1in= 2.54cm, dar la respuesta en cm2.

El área del triángulo es:

( )( ) ( )( )( )3 3 3 52

9 15 9 152

2 2f t in f t in f t f t in in

( )( ) ( )( )( )9 12 24 12 152

1599

2

2 22in in in in

in

1599

22 54 5 158 05422 2( . ) .cm cm

El producto de dos binomios con términos semejantes (ax + by) y (cx + dy) está

dado por el producto de los primeros términos, más la suma de los productos cruzados, más el

producto de los segundos términos. Simbólicamente:

(ax + by)(cx + dy) = acx2 + (bc + ad) xy + bdy2

Ejercicio 7Resuelve:

1. x x32

712

2. ( )( )xz xz2 23 4

3. x y x y73

25

Unidad 1

36

4. Los lados de un rectángulo son ( )2 3x yz y ( )7 5x yz . Determina la expresión algebraica que

representa su área y efectúa el producto.

5. Determina la expresión algebraica que representa al enunciado: se tienen 2 números tales que

el producto del doble del primero al cubo, menos el doble del segundo, por 3 veces el cubo del

primero, más el cuádruple del segundo, es 874. Efectúa el producto.

Productos notables

Caso Fórmula Número

1. Binomio por su conjugado. (x + y)(x – y)= x2 – y2 (1.1)

2. Cuadrado de un binomio. ( x±y)2 = x2 ± 2xy + y2 (1.2)

3. Cuadrado de un trinomio. (x + y + z)2=x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz (1.3)

4. Cuadrado de un polinomio. (x + y + z + w)2 = x2 + y 2 + z2 + w2

+ 2xy + 2xz + 2xw + 2yz + 2yw + 2zw (1.4)

5. Cubo de un binomio. (x ± y)3 = x3 ± 3x 2y + 3xy 2 ± y 3 (1.5)

6. Cubo de un trinomio. (x + y + z)3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3x 2y + 3x 2z + 3xy2

+ 3y 2z + 3xz 2 + 3yz 2 + 6xyz (1.6)

7. Binomios con términos semejantes.

Caso I (x + a)(x + b)= x 2 + (a + b)x + ab (1.7)

Caso II (x + ay)(x + by)= x2 + (a + b)xy + aby2 (1.8)

Caso III (ax + by)(cx + dy)= acx 2 + (ad + bc)xy + bdy 2 (1.9)

ÁLGEBRA

37

Ejercicios resueltos

1. Resolver ( )( )3 7 3 72 3 2 3a bc ac a bc ac . Aplicamos la regla (1.1), ya que es el producto de

binomios conjugados.

Por lo tanto, ( )( ) ( ) ( )3 7 3 7 3 72 3 2 3 2 2 3 2a bc ac a bc ac a bc ac

9 494 2 2 2 6a b c a c .

2. Aplicar la regla de 1.1. para resolver ( )( )2 3 2 32 3 2 3a b bc abc a b bc abc .

Como la regla es para multiplicar binomios conjugados, debemos agrupar los términos de

cada trinomio de tal manera que puedan manejarse "como conjugados".

Lo más adecuado en estos casos es tomar como primer término la agrupación de los términos

exactamente iguales (incluyendo el signo). De esta forma obtenemos como primer término a

2 2a b .

Posteriormente se toma uno de los dos trinomios y de los términos restantes se saca un

(–1) como factor común. Por ejemplo, si se consideró el segundo trinomio (–2a2b – 3bc3– abc),

entonces es conveniente escribir (–2a2b – (3bc3+ abc)).

H az lo mismo con el otro trinomio, sólo que en lugar de (–1) como factor común se tiene

un (+ 1).

Lo que tenemos que resolver ahora es el producto:

( ( ))( ( ))2 3 2 32 3 2 3a b bc abc a b bc abc

Aplicando la regla 1.1 obtenemos que:

( ( ))( ( )) ( ) ( )2 3 2 3 2 32 3 2 3 2 2 3 2a b bc abc a b bc abc a b bc abc

4 3 2 34 2 3 2 3 2a b bc bc abc abc( ) ( )( ) ( )

4 9 64 2 2 6 2 4 2 2 2a b b c ab c a b c

Este signo + hace las veces del (–1).

Este signo + hace las veces del (+ 1).

Se aplicó la regla 1.2.

Este signo menos afecta a los tres términos que le siguen, por lo que es imprescindible el uso de corchetes o paréntesis.

Unidad 1

38

3. El lado de un cuadrado es ab d cd2 3 , entonces el área es ( )ab d cd2 3 2 .

Aplicamos la regla 1.2, ya que ab d cd ab d cd2 3 2 3( ) .

Por lo tanto, ( ( )) ( ) ( )( ) ( )ab d cd ab d ab d cd cd2 3 2 2 2 2 3 3 22

a b d ab cd c d2 4 2 2 4 2 62

4. Ya hemos mencionado que no hace falta establecer una regla adicional para elevar al cuadrado

un binomio de la forma x – y. Sin embargo, es importante mencionar que muchos libros de álgebra

básica sí dan como una segunda regla el siguiente enunciado:

El cuadrado de un binomio x–y está dado por el cuadrado del primer término, menos

el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Simbólicamente se escribe como (x – y)2 = x2 – 2xy + y2.

A esta regla la llamaremos "regla adicional".

Este ejercicio consiste en que apliques la "regla adicional" para resolver: ( )2 53 2 4 2ab c d .

Observa que con esta nueva regla el primer término es –2ab3 y el segundo 5c2d4. La diferencia

con la regla (1.2) es que aquí no se toma el signo menos porque la regla ya lo tiene considerado.

Por lo tanto, ( ) ( ) ( )( ) ( )2 5 2 2 2 5 53 2 4 2 3 2 3 2 4 2 4 2ab c d ab ab c d c d

4 20 252 6 3 2 4 4 8a b ab c d c d

5. El lado de un cubo es 5 22 1a b c , entonces el volumen está dado por ( )5 22 1 3a b c . Aplicamos

la regla (1.5).( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) (5 2 5 3 5 2 3 5 2 22 1 3 2 3 2 2 1 2 1 2a b c a b a b c a b c c 11 3)

125 150 60 86 3 4 2 1 2 2 3a b a b c a bc c

6. Resuelve ( )2 32 5 3a b c . Aplicamos la regla (1.5), ya que: ( ) ( ( ))2 3 2 32 5 3 2 5 3a b c a b c

Por lo tanto, (–2a–2–3b5c)3= (–2a–2)3+ 3(–2a–2)2(–3b5c)+ 3(–2a–2)(–3b5c)2+ (–3b5c)3

= –8a–6–36a–4b5c–54a–2b10c2–27b15c3

ÁLGEBRA

39

7. Aplica el triángulo de Pascal para resolver (–2a–3 + c –1)7.

Formemos la línea 8 en el Triángulo de Pascal:

Por lo tanto,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 2 23 1 7 3 7 3 6 1 3 5a c ab ab c ab(1) (7) (21) cc ab c1 2 3 4 1 32) ( ) ( )(35)

(35) (7)( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 23 3 1 4 3 2 1 5 3 1 6ab c ab c ab c(21) (1)( )c 1 7

128 448 672 560 2807 21 6 18 1 5 15 2 4 12 3 3a b a b c a b c a b c a b 99 4 2 6 584c a b c

14 3 6 7ab c c

8. Resuelve ( )2 723

63 2 4 4 3 2x y xy xy x y

Observa que los binomios tienen términos semejantes:

( )2 723

63 2 4 4 3 2x y xy xy x y

En los binomios con términos semejantes los coeficientes y los signos pueden ser distintos.

Para aplicar la regla (1.9) es conveniente que ordenes los términos semejantes respectivamente,

por ejemplo:

( )2 7 623

3 2 4 3 2 4x y xy x y xy

Resolviendo obtenemos que:

( )2 7 6

23

3 2 4 3 2 4x y xy x y xy

Términos semejantes.

Unidad 1

40

( )( )2 63 2 3 2x y x y El producto de los primeros términos.

( )( ) ( )7 6 223

4 3 2 3 2 4xy x y x y xy La suma de los productos cruzados.

( )723

4 4xy xy El producto de los segundos términos.

12 4243

143

12130

36 4 2 2 2 8 6 4 2 2x y x y x y x y x y

1143

2 8x y

9. Realiza los siguientes cálculos mentalmente:

a) 23 20 3 5292 2( )

b) 29 30 1 8412 2( )

10. La superficie de un terreno está distribuida como indica la siguiente figura. Encuentra el área

del terreno. Como la superficie es cuadrada, su área está dada por la longitud de uno de sus lados

al cuadrado; como sus lados miden (20+ 30) m, el área es (20+ 30)2 m2.

Aplicando la regla (1.2) obtenemos que:

(20 + 30)2 = (20)2 + 2(20)(30) + (30)2 = 2 500. El área del terreno es 2 500 m2.

11. Área y volumen de un prisma cuadrangular en unidades inglesas.

+

+

ÁLGEBRA

41

Convenciones: 1 ft2= (12 in)2= 144 in2= 144 in2

( ft)(in)= (12 in)(in)= (12 in)(in)= 12 in2

a) Área de la base AB = (2ft+ 3in)2= 4ft2+ 12(ft)(in)+ 9 in2

= 4(144 in2)+ 12(12in2)+ 9 i n2= 729 i n2

b) Área de la cara lateral BC= (2ft+ 3in)(4ft+ 5in)= 8ft2+ 22(ft)(in)+ 15in2

= 8(144in2)+ 22(12in2)+ 15in2= 1 431in2

c) Área total = 2 bases + 4 caras laterales

= 2(2ft + 3in)2 + 4(2ft + 3in)(4 ft + 5i n)

= 2(4 ft2 + 12 ( ft)(in) + 9 in2) + 4(8 ft2 + 22 (ft)(in) + 15 in2)

= 8 ft2 + 24 (ft)(in) + 18 in2 + 32 ft2 + 88 (ft)(in) + 60 in2

= 40 ft2 + 112 (ft)(in) + 78 in2

= 40(144 in2) + 112(12 in 2)+ 78 in 2

= 7 182 in 2

Comprobación: 2(729) + 4(1 431) = 1 458 + 5 724 = 7 182

d) Volumen: = (2 ft+ 3 in)2(4 ft+ 5in)

= (4 ft2+ 12 (ft)(in)+ 9 in2)(4 ft+ 5 in)

= 729 in2(4 ft+ 5 in)

= 2 916 (ft)(in)2+ 3 645in3

= 2 916(12 in3)+ 3 645 in3= 38 637in3

Unidad 1

42

Ejercicios propuestos

1. Encuentra el conjugado de cada uno de los siguientes binomios:

a) 15 23 2 2x y z xyz

b) 6 72 2ab bc

2. De la(s) regla(s) estudiada(s) en esta unidad, aplica la(s) que consideres más adecuada(s) para

calcular el área de un rectángulo con lados 3 2

3xz

zy

y 23

3zy

xz

y efectúa el producto.

3. De la(s) regla(s) estudiada(s) en esta unidad aplica la(s) que consideres más adecuada(s) para

calcular: ( )5 3 3a b .

4. Aplica el triángulo de Pascal para encontrar el quinto término de ( )2 32 1 8a b .

5. Aplica el Triángulo de Pascal para calcular ( )4 23 4 2 4x yz xy z .

6. De la(s) regla(s) estudiada(s) en esta unidad aplica la(s) que consideres más adecuada(s) para

calcular:

a) ( )5 32 5x y

b) ( )( )3 7 7 33 3x y x x x y

c) ( )( )5 2 10 33 3x x

d) 23

32

12

x x

7. Calcula mentalmente:

a) 392

b) (13)(15)

ÁLGEBRA

43

Autoevaluación

1. Encuentra cuál es el conjugado de 523

3 2 2a c d abz :

a) 523

3 2 2a c d abz

b) 523

3 2 2a c d abz

c) 523

3 2 2a cd abz

d) 523

3 2a c d abz

e) 523

3 2 2a c d abz

2. Calcula la potencia ( )a b c3 22 :

a) a b a bc c6 2 3 24 4

b) a b a bc c6 2 3 24 4

c) a b c6 2 24

d) a b c6 2 24

e) a b a bc c6 2 3 24 4

3. Calcula ( )xy xy3 3 3 :

a) x y x y x y x y3 9 3 3 3 3 3 93 3

b) x y x y x y x y3 9 3 3 3 3 3 93 3

c) x y x y3 9 3 9

d) x y x y x y x y3 9 3 3 3 3 3 93 3

e) x y x y x y x y3 9 3 3 3 3 3 93 3

4. Aplica el triángulo de Pascal para calcular ( )x y1 2 52 :

a) x x y x y x y x y y5 4 2 3 4 2 6 1 8 1010 40 80 80 32

b) x x y x y x y x y y5 4 2 3 4 2 6 1 8 1010 40 80 80 32

c) x y5 1032

d) x x y x y x y x y y5 4 2 3 4 2 6 1 8 105 10 10 5

e) x x y x y x y x y y5 4 2 3 4 2 6 1 8 105 10 10 5

Unidad 1

44

5. Aplicando el triángulo de Pascal calcula el quinto término de (x3 yz – 2 xz)9:

a) 2 016 x19y5z9

b) – 2 016 x19y5z9

c) – 2 016 x15y5z9

d) – 2 016 x19y5z5

e) 2 016 x15y5z5

ÁLGEBRA

45

Curiosidades matemáticas

Una forma fácil para multiplicar polinomios

Para mult iplicar dos polinomios escribe los términos de cada polinomio en orden

descendente. Lo que debes hacer ahora es formar un arreglo rectangular como sigue: escribe

los coeficientes del primer polinomio de izquierda a derecha de tal manera que cada uno de ellos

encabece una columna. Escribe ahora los coeficientes del segundo polinomio de tal forma que cada

uno encabece un renglón a la derecha. Rellena el arreglo con el resultado de las multiplicaciones.

Por último suma diagonalmente como se te indica en la figura. La suma de estos productos son

los coeficientes del polinomio resultante. Para formar el polinomio sólo debes intercalar la variable

con su potencia principal e ir descendiendo el grado.

Ejemplo: ( )( )5 7 6 4 9 53 2x x x x

Este polinomio tiene grado 5 porque la potencia más grande del primer factor es 3 y la

potencia más grande del segundo es 2.

Por lo tanto, ( )( )5 7 6 4 9 5 20 45 3 39 89 303 2 5 4 3 2x x x x x x x x x .

Unidad 1

46

Respuestas a los ejercicios

1. x y xy2 3 5 ó 5 2 3xy x y

2. 4 162 6 4x y z

3. ( )( )30 2 30 2 896 y ( )( )90 3 90 3 8091

4. ( )( )x y x y x y2 2 336

5. ( )( )4 2 4 2 16 4 2 2042 2x y x y x y

1. ( ) .x x x4 8 16 2 252 2

2. ( )2 4 4 92 2 2x y x xy y

3. x xy y2 3 66 9

4. 25 6252 y 68 4 6242

1. ( )2 2 2 4 4 4 8 8 8 5202 2 2 2x y z x y z xy xz yz

2. 2 2 72 3 2( )x y x y

16 9 8 24 6 33872 6 2 4 3x x y x xy x y

3. xx

x xx

x x32

62

2 43 95 2 6 529

4. x y z x y x z yz4 2 2 2 22 2 2

5. x y z w x y x z x w yz yw zw4 2 2 4 2 2 2 2 2 24 9 4 2 6 4 12 6

1. volumen esfera x x x x43

3 243

27 54 36 83 3 2( ) ( )

2. ( ( ) ( ))3 3 1 3 2 729 2187 2187 729 250 0473 3 2x x x x x x

3. La expresión algebraica es:

( )2 3 8 36 54 27 5122 3 6 4 2 2 3x y x x y x y y

Ej. 1

Ej. 2

Ej. 3

Ej. 4

ÁLGEBRA

47

4. ( )3 2 27 54 36 82 3 3 3 3 2 2 3 4 3 6xy xz x y x y z x yz x z

5. ( )4 5 64 240 300 1251 3 2 3 3 9 1 6 2 3 4 3 6x y xz x y x y z xy z x z

1. z3 –8x3 + y6 – 6xz2 + 3z2y2 + 12zx2 + 12x2y2 + 3zy4 – 6xy4 – 12zxy2

2. x y z z x y z x z xy z y z xz y z xy z3 6 3 3 2 2 2 4 2 4 3 2 2 3 2 28 6 3 12 12 3 6 12

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 1 1 20 1 1 3 20 1 3 20 1 3 1 203 3 3 3 2 2 2

+ 3(1)(1)2 + 3(1)2 (20) + 3(1)2 (1) + 6(20) (1) (1) = 10 648

4. ( )x y z3 3

x y z x y x z xy y z xz yz xyz3 3 3 2 2 2 2 2 227 3 9 3 9 27 27 18 13824

5. ( )3 3 27 27 27 81 9 9 812 3 3 3 6 9 2 2 2 3 4 4 3 6x y z x y z x y x z xy y z xz

–27 y2z6 – 54 xy2z3 = 3x

1. ( )2 16 32 24 82 4 4 3 2 2 2 4 3 6 4 8x yz x x yz x y z xy z y z

2. ( )3 5 243 2025 6750 11250 9375 312 3 5 10 8 3 6 6 4 9 2 12x y x x y x y x y x y 225 15y

3. ( )2 3 7x y

128 448 672 560 280 84 1421 18 15 2 12 3 9 4 6 5 3 6 7x x y x y x y x y x y x y y 887

4.. a b a b c a b c a b c a b c10 5 8 4 3 6 3 3 2 4 2 3 3 25 2 10 2 10 2 5 2( ) ( ) ( )( ) ( )( 33 4 3 52) ( )c

a b a b c a b c a b c a bc c10 5 8 4 3 6 3 6 4 2 9 2 12 1510 40 80 80 32

5. El término que contiene a x6 es: 6(–2x3)2 (8)2, por lo tanto el coeficiente de x6 es: 1 536.

1. x x2 6454

2. x z xz2 4 2 12

3. x xy y2 22915

1415

4. ( )( )2 3 7 5 14 31 152 2 2x yz x yz x xyz y z

5. ( )( )2 2 3 4 6 2 8 8743 3 6 3 2x y x y x x y y

Ej. 5

Ej. 6

Ej. 7

Unidad 1

48

1.

a) 15 23 2 2x y z xyz ó 15 23 2 2x y z xyz

b) –6ab2+ 7bc2 ó 6ab2–7bc2

2. 49

92

2

2

2

zy

xz

3. 125 75 159 6 3 2 3a a b a b b

4. 90720 8 4a b

5. 256 512 384 128 1612 4 16 10 13 8 2 10 6 5 7 4 8 4x y z x yz x y z x y z x y z

6.

a) 3 125 9 375 11 250 6 750 2 025 24310 8 6 2 4 3 2 4 5x x y x y x y x y y

b) 9x6y2 – 49x2

c) –15x6 + 56x3 – 20

d) 49

94

22 2x x

7.

a)(39)2 = (40 – 1)2 = 1 521

b)(13)(15) = (10 + 3)(10 + 5) = 195

1. b)

2. b)

3. b)

4. b)

5. a)

Ejercicios propuestos

Autoevaluación