La ignorancia no es no saber sino no querer saber.

Anónimo

Unidad 8Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Parte II

Objetivos

en el denominador.

ÁLGEBRA

279

Introducción

Son varias las ocasiones y las formas en las que una ecuación cuadrática no aparece en su forma

est ándar; nos refer i remos en est a unidad a ecuaciones con la incógni t a en

el denominador, ecuaciones literales, ecuaciones radicales y ecuaciones de grado superior.

De manera general, lo que se trata en esta unidad es de cómo transformar esas ecuaciones en

una ecuación de segundo grado en forma estándar para luego aplicar lo aprendido en la unidad 7.

Comenzaremos con las ecuaciones de segundo grado con la incógnita en el denominador.

8.1. Ecuaciones de segundo grado con la incógnita en el denominador

Empecemos por recordar el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios; por

ejemplo, el MCM de ( , , )3 4 3 12 2x x x x es el polinomio de menor grado que contiene a

( )( ),( ),( )( )x x x x x3 1 3 1 1 como factores.

En este caso el MCM de ( , , ) ( )( )( )3 4 3 1 3 1 12 2x x x x x x x .

Aplicaremos este concepto en la resolución de ecuaciones cuadráticas que involucran a la

variable en el denominador.

Ejemplos:1. Resolver 4

26 3

2x

x

x. (I )

Lo primero que debemos detectar son los valores prohibidos para la variable, es decir, los

valores de x para los cuales el denominador toma el valor de cero. En este caso, la única restricción

es x= 0.

Calculando el MCM de los denominadores obtenemos: MCM (2x)= 2x

Multiplicando ambos miembros por 2x: (4x)(2x) = 26 – 3x

Efectuando operaciones: 8x2 = 26 – 3x

Escribiendo en la forma estándar: 8x2 + 3x – 26 = 0

Resolviendo por fórmula: x =138

y x= –2

Unidad 8

280

Como ninguna de las raíces de la ecuación 8x2 + 3x – 26 = 0 es igual a la restricción,

entonces la ecuación 426 3

2x

x

x tiene como soluciones a x =

138

y x = –2.

Comprobación de x =138

:

Sustituyendo el valor de x en la ecuación (I ), obtenemos:

26 3138

2138

208 398

134

16926

132

4138

Por lo tanto, 138

sí es una raíz de la ecuación (I ). Comprueba para x= –2.

2. Resolver 1

151

21

2 2x x( ). (I )

Restricciones: 2x = 0 y 2(x – 2) = 0

x= 0 y x= 2

Calculando el MCM de los denominadores: MCM (15, 2x, 2(x – 2)) = 30x (x – 2)

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el MCM obtenemos: 30 2

1530 2

230 2

2 2x x x x

xx xx

( ) ( ) ( )( )

Simplificando cada término: 2x (x – 2) = –15 (x – 2) + 15x

2x2 – 4x = –15x + 30 + 15x

2x2 – 4x – 30 = 0

Resolviendo por factorización: (x – 5)(2x + 6) = 0

x= 5 y x= –3

Por lo tanto, las raíces de 2x2 – 4x – 30 = 0 son x = 5 y x = –3. Como ninguna es igual a

las restricciones la ecuación 1

151

21

2 2x x( ) también las tiene como raíces .

Comprobación de x= –3:

Sustituyendo el valor de x en la ecuación (I ), obtenemos: 1

2 31

2 3 2( ) ( )16

110

460

115

Por lo tanto, –3 sí es una raíz de la ecuación (I ). Comprueba para x= 5

3. Resolver 5

1

3 4

18

3 5x

x

x

x x. (I )

ÁLGEBRA

281

Restricciones: x+ 1= 0 y 3x+ 5= 0

x= –1 y x=53

Calculando el MCM de lo denominadores: MCM (x + 1, 3x + 5) = (x + 1) (3x + 5)

Multiplicando por el MCM obtenemos:

5 1 3 5

1

3 4 1 3 5

1

8 1 3 5

3 5

x x x

x

x x x

x

x x

x

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

Simplificando cada término: 5 3 5 3 4 3 5 8 1x x x x x( ) ( )( ) ( )

Efectuando operaciones: 15x2 + 25x = 9x2 + 27x + 20 – 8x – 8

Dividiendo por 6: 6x2 + 6x – 12 = 0

x2 + x – 2 = 0

Resolviendo por factorización: x = 1 y x = –2.

Por lo tanto, las raíces de la ecuación x2 + x – 2 = 0 son x = 1 y x = –2; como ninguna

es igual a las restricciones, tenemos que la ecuación 5

1

3 4

18

3 5x

x

x

x x también las tiene como

soluciones.

Comprobación de x = –2:

Sustituyendo el valor de x en la ecuación (I ), obtenemos:

5 22 1

101

10( )

3 2 42 1

83 2 5

21

81

10( )

( )

Por lo tanto, –2 sí es una raíz de la ecuación (I ). Comprueba para x = 1.

4. Resolver xx

x x

1 2

48

4. (I )

Restricciones: x = 4.

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por x – 4 obtenemos: x(x – 4) + 1 – 2x = –8

Simplificando cada término: x2 – 4x + 1 –2x = –8

x2 – 6x + 9 = 0

Resolviendo por factorización: (x – 3)(x – 3) = 0

x = 3 y x = 3

Por lo tanto, las raíces de x2 – 6x + 9 = 0 son x = 3 y x = 3.

Como 3 no es igual a la restricción, la ecuación xx

x x1 2

48

4también las tiene como raíces, es decir, sus dos raíces son iguales a 3.

Comprueba este resultado.

¿Todas las ecuaciones que

incluyan a la var iable en el denominador

t ienen dos soluciones

di ferentes?

Unidad 8

282

5. Resolver 67 3

16

7 3 2

2xx

xx xx x( )( )

. (I )

Restricciones: 7 x – 3 = 0 y x + 2 = 0

x = 37

y x = –2

Calculando el MCM de lo denominadores:

MCM(7x – 3, (7x – 3)(x + 2)) = (7x – 3) (x + 2)

Multiplicando por el MCM:

6 7 3 2

7 37 3 2 7 3 2

6 7 32x x x

xx x x x x

x x x( )( )( )( ) ( )( )

( )( )(( )

( )( )

x

x x

2

7 3 2

Simplificando cada término: 6 2 7 3 2 7 3 2 62x x x x x x x x x( ) ( )( ) ( )( ) ( )

(x + 2) es factor común: 6 2 7 3 2 7 3 2 3 2x x x x x x x x x( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

Dividiendo por x + 2: 6 7 3 7 3 3x x x x x( ) ( ) ( )

Siempre que x –2

Efectuando operaciones: 6 7 5 62x x x

7 11 6 02x x

Resolviendo por factorización tenemos que: x = 37

y x = –2

(x no puede tomar esos valores), por lo tanto las raíces de la ecuación

7 11 6 02x x son 37

y –2, pero las dos son restricciones, en

consecuencia tenemos que la ecuación 67 3

16

7 3 2

2xx

xx x

x x( )( )

no tiene solución.

6. H allar tres enteros consecutivos tales que el cociente del menor entre

el intermedio es igual a 215

del mayor.

A los números los llamamos: x, x + 1 y x + 2

El cociente del menor entre el intermedio es: x

x 1El cociente del menor entre el intermedio es igual a 2

15 del mayor: 2

15(x + 2)

Ecuación a resolver: x

xx

12

152( )

Multiplicando por (x+ 1) ambos miembros: x x x2

152 1( )( )

x = 215

(x2 + 3x + 2)

Efectuando operaciones: 15 2 6 42x x x

2 9 4 02x x

¿Todas las ecuaciones que incluyan a la var iable en el denominador t ienen solución?

ÁLGEBRA

283

Resolviendo por fórmula: x12

y x = 4.

Como el enunciado del problema menciona números enteros, tenemos que el menor de ellos

es x = 4. En consecuencia los números son 4, 5 y 6. Comprueba este resultado.

Ejercicio 1

Resuelve:

1. 4 2 5

1 02

xx x

2. x

x x42

7 1

3. 3

2 52

4x

x x

4. 3

22 5

452

2xx

x x

5. El cociente de un número entre el mismo menos 2 unidades, es igual al cociente del número

menos 4 entre 3. Encuentra el número. (El problema tiene dos soluciones).

8.2. Ecuaciones literales de segundo grado en una variable

Una ecuación literal de segundo grado es una ecuación cuadrática con una variable cuyos

coeficientes están representados por letras. Por ejemplo: ax bx c2 0 . En este tipo de ecuaciones

el coeficiente a de x2, el coeficiente b de x y el término independiente c, no "hacen" las veces de

Unidad 8

284

variables, sino que siguen siendo constantes, pero no se determina específicamente su valor.

Matemáticamente hablando, se dice que a, b y c son constantes arbitrarias , pero fijas.

Las formas de resolver una ecuación literal de segundo grado en una variable son exactamente

las mismas que hemos estudiado en la unidad 7 y en esta misma unidad. No obstante mostraremos

ejemplos resueltos para evitar alguna confusión.

Ejemplos:

7. Resuelve x ax a2 22 0 .

Resolveremos por factorización:

1 x2 + 2ax + a2 = 0

1 a a

1 a a

x ax a x a x a2 22 0( )( )

Lo que implica: x + a = 0 x = –a

Por lo tanto, las 2 raíces de x2 + 2ax + a2 = 0 son iguales y están dadas por x = –a.

Resolvamos la misma ecuación aplicando ahora la fórmula general de segundo grado, para

la cual tenemos que a = 1, b = 2a y c = a2.

Aplicando la fórmula general: x

a a a2 2 4 1

2 1

2 2( ) ( )( )

( )

Desarrollando tenemos: xa a a2 4 4

2

2 2

xa a2 02

22

Finalmente: x = –a

Como era de esperarse el resultado es el mismo al que se obtuvo aplicando el método de

factorización. Las dos raíces de x2 + 2ax + a2 = 0, son iguales y están dadas por x = –a.

Comprobación: ( ) ( )a a a a a a a2 2 2 2 22 2 0 .

8. Resuelve x b x b2 3 3 0( ) .

2 a

ÁLGEBRA

285

Resolveremos por factorización:

1 x2 + (b – 3)x – 3b = 0

1 b b

1 –3 –3

b – 3 x b x b x b x2 3 3 3 0( ) ( )( )

Lo que implica: x + b= 0 y x – 3= 0

x = –b y x = 3

Por lo tanto, las raíces de x b x b2 3 3 0( ) son x = –b y x = 3.

Resolveremos la misma ecuación aplicando la fórmula general de segundo grado, para lo

cual tenemos que a = 1, b = (b–3) y c = –3b.

Aplicando la formula general tenemos: xb b b( ) ( )( )

( )

3 3 4 1 3

2 1

2

Desarrollando el cuadrado del binomio: xb b b b3 6 9 12

2

2( )

Reduciendo términos semejantes: xb b b3 6 9

2

2

Observa que b2 + 6b + 9 es un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto, factorizándolo

obtenemos b2 + 6b + 9 = (b + 3)2, sustituyendo:

xb b3 3

2

2

Aplicando la raíz cuadrada: xb b3 3

2

( )

Separando: xb b3 3

2( )

y xb b3 3

2( )

Finalmente: x62

3 y xb

b22

Por lo tanto las raíces de x2 + (b – 3)x –3b = 0 son x = 3 y x = –b

Comprobaremos para x = –b: ( ) ( )( )b b b b b b b b2 2 23 3 3 3 0 .

Comprueba para x = 3.

Nota: los dos ejemplos anteriores se resolvieron usando dos métodos, tú puedes aplicar el

que consideres más fácil.

Unidad 8

286

9. Resuelve x ax a b2 2 26 9 16 0

Resolveremos completando el trinomio cuadrado perfecto: x ax a b2 2 26 9 16

Completando el trinomio cuadrado perfecto x ax a a b a2 2 2 2 26 3 9 16 3( ) ( )

Factorizando el primer miembro: ( )x a a b a3 9 16 92 2 2 2

( )x a b3 162 2

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: x a b3 4

Despejando x: x a b3 4

Lo que implica: x a b3 4 y x a b3 4

Por lo tanto, las raíces de: x ax a b2 2 26 9 16 0

son: x a b3 4 y x a b3 4

Comprobaremos para x a b3 4 : ( ) ( )3 4 6 3 4 9 162 2 2a b a a b a b

9 24 16 18 24 9 16 02 2 2 2 2a ab b a ab a b

Comprueba para x = 3a – 4b.

Ejercicio 2

1. Resuelve 5 5 02 2 2 2 2 2 3a bx ab c a bc x ab c( ) por factorización.

2. Resuelve 6 3 2 03 3 2 4 3 2a b x a b ab x a b( ) por factorización.

3. Resuelve a x abx b2 2 26 0 completando el trinomio cuadrado perfecto.

4. Resuelve 25 10 492 2 2 2 4 2a c x ab cx b a = 0 completando el trinomio cuadrado perfecto.

5. Resuelve 2 5 8 02 2 2a x abx b aplicando la fórmula general.

6. Resuelve 3 7 5 02ax bx a aplicando la fórmula de las cuadráticas.

ÁLGEBRA

287

8.3. Ecuaciones con radicales

En esta sección estudiaremos cómo resolver algunas ecuaciones cuya variable aparece bajo

el símbolo de radical. Este tipo de ecuaciones recibe el nombre de ecuaciones radicales .

La idea fundamental consiste en buscar una ecuación cuadrática equivalente a la ecuación

radical para resolverla con los métodos ya estudiados. La intención es eliminar los radicales elevando

al cuadrado la ecuación.

En este caso se tomarán, para las soluciones, sólo las raíces positivas.

Ejemplos:

10. Resuelve x 3 4 5 x.

Despejando el radical: x x3 5 4

Elevando al cuadrado ambos miembros: ( ) ( )x x3 5 42 2 (I )

Efectuando la potencia: x x x3 25 40 162

Escribiendo en la forma estándar: 25x2 + 39x + 13 = 0

Resolviendo por fórmula: x39 1521 4 25 13

2 2539 221

50

( )( )

( ).

Lo que implica que: x39 221

50 y x

39 221

50.

Por lo tanto, las posibles raíces de la ecuación x 3 4 5 x,

son: x39 221

50 y x

39 22150

.

11. Resuelve x x7 1 1 .

Nota: Cuando en una ecuación radical aparezcan dos radicandos es conveniente dejar uno

de cada lado de la igualdad para simplificar los cálculos.

Dejando un radical en cada miembro de la igualdad: x x7 1 1

Elevando al cuadrado ambos miembros: ( ) ( )x x7 1 12 2 (I )

Efectuando la potencia: x x x7 1 2 1 1

Simplificando y despejando el radical: x 192

Elevando al cuadrado: ( )x 1814

2

Unidad 8

288

Despejando x: x814

1814

44

774

Por lo tanto, una posible solución de la ecuación x x7 1 1 es: x774

.

Veamos si x774

satisface a la ecuación radical: 774

7774

1494

814

72

92

= –1

Por lo tanto, x774

es la solución de la ecuación x x7 1 1 .

Observa que en este caso la solución de la ecuación radical es única.

12. Resuelve x x5 2 1 .

Dejando un radical en cada miembro de la igualdad: x x5 1 2

Elevando al cuadrado ambos miembros:

( ) ( )x x5 1 22 2 (I )

Efectuando la potencia: x x x5 1 2 2 2( )

Despejando el radical: x 28

2

Elevando al cuadrado: x 2 16

Despejando x: x = 14

Por lo tanto, una posible solución de la ecuación x x5 2 1 es: x = 14

Veamos si x = 14 sat isface a la ecuación radical : 14 5 14 2 3 4 1 1 .

Concluimos que la ecuación radical no tiene solución, ya que la igualdad no se cumple, es decir,

–1 1.

Observa que la posible raíz no fue un número complejo; sin embargo, la ecuación radical

no tuvo solución.

13. Resuelve 2 2 1x x

Despejando el radical: 2 2 1x x

Elevando al cuadrado ambos miembros: ( ) ( )2 2 12 2x x

Efectuando la potencia: 2 2 2 12x x x

Escribiendo la ecuación cuadrática en su forma estándar: x x2 4 3 0

Resolviendo por factorización: x – 1 = 0 y x – 3 = 0

Lo que implica que: x = 1 y x = 3

Por lo tanto, las posibles soluciones de la ecuación 2 2 1x x son x = 1 y x = 3.

En ocasiones, las posibles raíces de una ecuación no son números complejos.

que la ecuación t iene solución?

ÁLGEBRA

289

Veamos si x = 1 es solución de la ecuación radical:

2 1 2 1

2 2 1

0 1 1( )

x x

Concluimos que x = 1 sí es una solución.

Ahora analicemos x = 3: 2 3 2 1

2 2 1

4 1 2 1 3( )

x x

Por lo tanto, x = 3 también es solución.

Tenemos entonces que la ecuación radical 2 2 1x x tiene dos soluciones: x = 1 y x = 3.

Ejercicio 3

Resuelve:

1. x x 5

2. x x5 1

3. 3 1 2x x

4. 2 1 2 3 4x x

5. 2 1 1 2x x

8.4. Ecuaciones de grado superior

Llamamos ecuaciones de grado superior a aquellas ecuaciones polinómicas cuyo grado es

mayor que 2. En esta sección estudiaremos las ecuaciones de este tipo que a través de un cambio de

variable pueden resolverse "como si fueran" ecuaciones cuadráticas.

Ejemplos

14. Resuelve x6 – 5x3 + 4 = 0.

Observa que el exponente del término intermedio es la mitad del grado de la ecuación,

entonces es conveniente hacer el siguiente cambio de variable: z = x3; es decir, en lugar de x3 (la

potencia del término intermedio) escribiremos z.

H aciendo el cambio de variable obtenemos: x x x x6 3 3 2 35 4 5 4( ) ( )

z z2 5 4 0

Unidad 8

290

Resolveremos la ecuación cuadrática z2 – 5z + 4 = 0

Resolviendo por factorización: ( )( )z z4 1 0

z – 4 = 0 y z – 1 = 0

Lo que implica: z = 4 y z = 1

Por lo tanto, las raíces de la ecuación z2 – 5z + 4 = 0 son z = 4 y z = 1. Pero, ¿cuáles son

las raíces de la ecuación original: x6 – 5x3 + 4 = 0? Para determinarlas basta retomar el cambio

de variable.

Como z = x3, entonces z = 4 implica que x3 = 4 y z = 1 que x3 = 1.

Extrayendo raíz cúbica en cada una de las ecuaciones x3 = 4, x3 = 1

obtenemos: x 43 y x 1 13

Por lo tanto, las raíces reales de x x6 35 4 0 .

son: x 43 y x = 1.

Comprobaremos para x 43 :

( ) ( ) ( )4 5 4 4 4 5 4 4 4 5 4 4 16 20 43 6 3 313

6 13

3

2 00

En consecuencia, x 43 sí es una raíz de la ecuación de grado superior.

Comprueba para x = 1.

15. Resuelve 6 5 4 08 4x x .

Observa que el exponente del término intermedio es la mitad del grado de la ecuación.

Entonces es conveniente hacer el siguiente cambio de variable: z = x4, es decir, en lugar de x4 (la

potencia del término intermedio) escribiremos z.

H aciendo el cambio de variable obtenemos: 6 5 4 6 5 48 4 4 2 4x x x x( ) ( )

6 5 4 02z z

Resolveremos la ecuación cuadrática: 6 5 4 02z z

Resolviendo mediante la fórmula general de segundo grado, identificamos que en este caso,

a = 6, b = –5 y c = –4.

Entonces: z( ) ( ) ( )( )

( )

5 5 4 6 4

2 6

2

Desarrollando: z5 25 96

125 121

12

z

5 1112

ÁLGEBRA

291

Por lo tanto: z5 11

121612

y z5 11

126

12

Finalmente: z43

y z12

Por lo tanto, las raíces de la ecuación 6 5 4 02z z son z43

y z12

. Pero, ¿cuáles son

las raíces de la ecuación original 6 5 4 08 4x x }? Para determinarlas basta retomar el cambio de

variable.

Como z = x4, entonces z43

implica que x4 43

y z12

que x4 12

.

Extrayendo raíz cuarta en cada miembro de x4 43

,

obtenemos: x43

4 .

El caso x4 12

no lo consideraremos porque no aporta raíces reales.

Por lo tanto, las raíces reales de 6 5 4 08 4x x

son: x43

4 y x43

4

Comprobaremos para x43

4 :

643

543

4 643

543

4

8

4

4 14

8 14

4

4

643

543

4

969

203

4 0

2

En consecuencia, x43

4 sí es una raíz de la ecuación de grado superior.

Comprueba para x43

4 .

Si una ecuación tiene la forma ax bx c2n n 0 , con n entero mayor o igual que 2, entonces

es conveniente efectuar el cambio de variable z = xn para obtener una ecuación cuadrática.

¿Todas las ecuaciones de

grado super ior t ienen solución en

los reales?

Unidad 8

292

Ejercicio 4

Resuelve:

1. x x4 26 7 0

2. x x8 42 1 0

3. 4 5 6 010 5x x

4. 12 35 18 06 3x x

5. 4 7 16 04 2x x

Caso práctico de aplicación I

La intensidad luminosa de un foco (considera un foco eléctrico, como los de tu casa) es un

número que mide la cantidad de luz que arroja el foco sobre la unidad de superficie colocada a una

unidad de distancia. Por ejemplo, si la superficie está medida en centímetros cuadrados y la distancia

en centímetros, entonces la intensidad luminosa de un foco será la cantidad de luz que arroja en un

centímetro cuadrado de la superficie que está colocada a un centímetro de distancia del foco.

La física nos indica que la iluminación que produce un foco sobre un punto en la dirección

del rayo (rayo de luz) es directamente proporcional a la intensidad del foco e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia del foco al punto. Simbólicamente podemos escribirlo así:

si la intensidad luminosa de un foco A la representamos por I y la distancia entre el foco A y el punto

P la representamos por p, entonces la iluminación del foco A sobre el punto P es igual a: Ip2 .

Consideremos el siguiente caso: Se tienen dos focos: el foco A tiene una intensidad de

IA = 90 bujías y el foco B tiene una intensidad de IB = 60 bujías y se encuentran a una distancia

de 1.5 m uno del otro. Sea AB el segmento de línea que une los dos focos y P un punto sobre ese

segmento (ver la figura 1). El problema consiste en encontrar el punto P, si se sabe que éste está

igualmente iluminado por ambos focos.

ÁLGEBRA

293

A la distancia entre el foco A y el punto P la llamamos: x

Como la distancia entre los dos focos es 1.5 m,

la distancia entre el foco B y el punto P es: 1.5 – x

La iluminación que produce el foco A sobre el punto P es: 90

2x

La iluminación que produce el foco B sobre el punto P es: 60

1 5 2( . )x

Igualando iluminaciones: 90

2x=

601 5 2( . )x

90 1 5 602 2( . )x x

Dividiendo entre 30 ambos miembros: 3 1 5 22 2( . )x xDesarrollando el cudrado del binomio y multiplicando por 3:

6 75 9 3 22 2. x x x

Igualando a 0: x x2 9 6 75 0.

Aplicando la fórmula de las cuádraticas, obtenemos:

x9 9 4 1 6 75

2

2 .

9 542

9 9 6

29 9 6

29 3 6

2

Como x representa una distancia y ambas raíces son positivas, aparentemente tenemos dos

soluciones.

Analizando x9 3 6

2 observamos que la distancia entre el foco A y el punto P es:

Unidad 8

294

9 3 62

8 17. m

lo cual no es posible porque el punto P está sobre el segmento AB y la distancia entre los

dos focos es de 1.5 m.

Analizando x9 3 6

2 observamos que la distancia entre el foco A y el punto P es:

9 3 62

0 826. m

es decir, el punto P que está igualmente i luminado por ambos focos se encuentra

aproximadamente a 0.826 m a la derecha del foco A.

Caso práctico de aplicación I I

Se planea que un jardín rectangular, con dimensiones de 18m x 24 m, tenga una vereda de

anchura uniforme que rodee y delimite por completo al jardín rectangular, de modo que el área del

jardín restante sea de 216 m2. ¿Cuánto debe medir el ancho de la vereda?

Iniciemos planteando las condiciones del problema en un esquema como el siguiente:

Según lo planteado, tenemos que el área interior está dada por:

Ecuación a resolver: (24 – 2x) (18 –2x) = 216

ÁLGEBRA

295

Desarrollando el producto de binomios: 432 – 48x –36x + 4x2 = 216

Reduciendo términos semejantes: 4x2 – 84x + 216 = 0

Dividiendo por 4: x2 – 21x + 54 = 0

Resolviendo por factorización tenemos que: (x –18 ) (x – 3) = 0

Igualando a cero cada factor: x – 18 = 0 y x – 3 = 0

Finalmente las raíces de la ecuación son: x = 18 y x = 3

De las dos raíces la correcta para resolver el problema es x = 3. ¿ Por qué x = 18 no es

solución del problema, aunque sí es raíz de la ecuación?

Unidad 8

296

Ejercicios resueltos

1. Resuelve 1

113

2 5

1x

x

x .

Restricciones: x = –1 y x = 1.

El MCM (x + 1, 3, x – 1) es: MCM (x + 1, 3, x – 1) = 3(x + 1)(x – 1).

Multiplicando la ecuación por su MCM (x + 1, 3, x – 1) = 3(x + 1)(x – 1)

obtenemos: 3 1 1

13 1 1

32 5 3 1 1

1( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )x x

xx x x x x

x 3 1 1 1 3 2 5 1( ) ( )( ) ( )( )x x x x x

Efectuando operaciones: 3 3 1 6 9 152 2x x x x

Escribiendo en su forma estándar: 7 12 13 02x x .

Aplicando la fórmula de las cuadráticas: x12 144 4 7 13

2 76 127

7

( )( )

( ).

Lo que implica que: x x6 127

76 127

7y .

Como las raíces de la ecuación 7x2 – 12x – 13 = 0 no son ninguna de las restricciones,

tenemos que las raíces de 11

13

2 51x

xx

son x x6 127

76 127

7y . Comprueba este resultado.

2. Resuelve 2

3 2

19 2 3

12 5 210

4 12

xx

x

x x x

( ).

Factorizando 12x2 + 5x – 2, obtenemos: 12x2 + 5x – 2 = (4x –1)(3x + 2)

Restricciones: x x23

14

y

Por lo tanto, el MCM (3x + 2, 12x2 + 5x – 2, 4x – 1) es: = (4x – 1)(3x + 2).

Multiplicando la ecuación por el MCM de sus denominadores:

( )( )( ) ( )( )( ) (2 3 2 4 1

3 2

19 2 3 3 2 4 1

12 5 2

10 3 22

x x x

x

x x x

x x

x ))( )4 1

4 1

x

x

Simplificando: 2x(4x – 1) = 19(2x – 3) + 10(3x + 2)

ÁLGEBRA

297

Efectuando operaciones: 8x2 – 2x = 38x – 57 + 30x + 20.

Escribiendo la ecuación en su forma estándar: 8x2 – 70x + 37 = 0.

Resolviendo por fórmula: x70 4 900 4 8 37

2 870 2 929

16

( )( )

( )

Lo que implica que: x x35 929

8

35 929

8y

Como ninguna de las raíces de la ecuación 8x2 – 70x + 37 = 0 es una de las restricciones,

concluimos que las raíces de la ecuación 23 2

19 2 312 5 2

104 12

xx

xx x x( )

,

son: x x35 929

8

35 929

8y . Comprueba este resultado.

3. Resuelve 31

1

2 3

2 322x

x

x

x x

Factorizando 2x2 – x – 3 obtenemos: 2 3 1 2 32x x x x( )( )

Restricciones: x32

y x = –1

Por lo tanto, el MCM (x + 1, 2x2 – x – 3) es: (x + 1)(2x – 3).

Multiplicando la ecuación por el MCM de sus denominadores:

( )( )( )( )( ) ( )( )( )

(3 1 2 31 2 3

1

2 3 1 2 3

2 322x x x

x x

x

x x x

x xxx x1 2 3)( )

Simplificando: (3x)(x + 1)(2x – 3) + (2x – 3) = (2x – 3) + 2(x + 1)(2x – 3)

(3x)(x + 1) = 2(x + 1)

Efectuando operaciones: 3x2 + 3x = 2x + 2

Escribiendo la ecuación en su forma estándar: 3x2 + x – 2 = 0

Resolviendo por fórmula: x1 1 4 3 2

2 31 56

( )( )

)( )

Lo que implica que: x23

y x = –1

Por lo tanto, las raíces de la ecuación 3x2 + x – 2 = 0 son x23

y x = –1. Para determinar las

raíces de la ecuación 31

12 3

2 322x

xx

x x descartamos x = –1 porque es una de las restricciones.

En consecuencia, la raíz de la ecuación original es única y está dada por x23

. Comprueba este

resultado.

Unidad 8

298

4. Un estudiante realizó un trabajo por $360.00, pero le llevó 15 horas más de lo que había

previsto, por lo que ganó $12.00 menos por hora. ¿En cuánto tiempo había planeado terminar el

trabajo?

Al tiempo en el que pensaba terminar originalmente el trabajo lo llamamos: x

Entonces lo que planeaba ganar por hora era: 360

x

Lo que realmente ganó por hora fue: 360

12x

(1)

El tiempo real invertido en el trabajo fue de: x + 15

Entonces por una hora de trabajo ganó: 360

15x (2)

Igualando (1) y (2): 360

12360

15x x

Multiplicando por el MCM (x, x + 15) = x(x + 15): 360 15 12 15 360( ) ( )x x x x

360 5400 12 180 3602x x x x

x x2 15 450 0

Resolviendo por fórmula: x15 225 1800

215 45

2

Lo que implica que: 15 45

215

15 45

230y x

Como x representa una cantidad positiva descartamos el valor de –30. Por lo tanto, el

estudiante había planeado terminar el trabajo en 15 horas.

5. Un pez puede nadar 8 km río abajo y regresar en un total de 3 horas. Si la velocidad de

la corriente es de 2 km/h, ¿a qué velocidad nada el pez en aguas tranquilas?

A la velocidad en que nada el pez en aguas tranquilas

la llamamos: x

La velocidad del pez río abajo es: x + 2

La velocidad del pez río arriba es: x – 2

De la fórmula de la distancia: tiempovelocidaddistancia

obtenemos: 8

28

23

x x

ÁLGEBRA

299

Multiplicando por el MCM (x + 2, x – 2) = ( x + 2)(x – 2):

8 2 8 2 3 2 2( ) ( ) ( )( )x x x x

Efectuando operaciones: 8 16 8 16 3 122x x x

Escribiendo la ecuación en su forma estándar: 3 16 12 02x x

Resolviendo por fórmula: x16 256 4 3 12

6

( )( )

x16 20

6

Lo que implica que: x x16 20

66

16 203

23

y

Como x representa una cantidad positiva, descartamos el valor de 23

. Por lo tanto, la

velocidad del pez en aguas tranquilas es de 6 km/h.

6. Resuelve 6a2bx2 + a(3c – 2b2) x – bc = 0 por factorización. a 0 y b 0

6a2b x2 + a(3c – 2b2) x – bc = 0

3a –b –2ab2

2ab c 3ac

3ac – 2ab2 = a(3c – 2b2)

Por lo tanto, 6 3 2 3 2 02 2 2a bx a c b x bc ax b abx c( ) ( )( ) .

Lo que implica que: 3 0 2 0ax b abx cy

Despejando x: xba

xcab3 2

y

Como a 0 y b 0, tiene sentido decir que las raíces de la ecuación:

6 3 2 03 2

2 2 2a bx a c b x bc xba

xcab

( ) son y . Comprueba este resultado.

7. Resuelve 4c4x2 – 4bc2x + b2 = a2 completando el trinomio cuadrado perfecto

c 0.

Unidad 8

30 0

Pasando los términos independientes al segundo miembro: 4 44 2 2 2 2c x bc x a b

Factorizando el coeficiente de x2: 4 4 22

2 2c xbc

x a b

Completando el trinomio cuadrado perfecto:

42

42

4 22 2

22 2 4

2

2

c xbc

xbc

a b cbc

Factorizando y simplificando: 42

42

42

22 2 4

2

2

c xbc

a b cbc

42

42

22c x

bc

a

xbc

ac2 42

2 2

4

Extrayendo raíz en ambos miembros: xbc

ac2 22 2

Despejando x: xbc

ac

b ac2 2 22 2 2

Lo que implica que: xb a

cx

b ac2 22 2y

Como c 0, tiene sentido que las raíces de la ecuación 4 44 2 2 2 2c x bc x b a

sean: xb a

cx

b ac2 22 2

y . Comprueba este resultado.

8. Resuelve 5 3 1

5

xx.

Despejando el radical: 5 3 5 1x x

Elevando al cuadrado ambos miembros: ( ) ( )5 3 5 12 2x x

5 3 25 10 12x x x

Escribiendo la ecuación en la forma estándar: 25 5 2 02x x

Resolviendo por factorización: ( )( )5 1 5 2 0x x

Lo que implica que: 5 1 0 5 2 0x xy

x x15

25

y

ÁLGEBRA

30 1

Por lo tanto, las posibles soluciones de la ecuación radical son x15

y x25

Veamos si x15

es solución:

515

3 1

5

5 3 15

1 3 1

52 1

5

x x

15

Resulta, entonces que x15

sí es una solución de la ecuación radical.

Analicemos ahora x25

525

3 1

5

5 3 1

2 3 1

51 1

50

x x

25

Resulta que x25

no es solución de la ecuación radical.

9. Resuelve 3 2 3 1x x

3 2 3 1 3 2 1 3x x x x

Elevando al cuadrado ambos miembros: 3 2 1 3 2x x( )

3 2 1 2 3 3x x x

Despejando el radical: x x3 2

Elevando al cuadrado ambos miembros: x x3 2 2( )

x x x3 4 42

Escribiendo la ecuación en su forma estándar: x x2 3 7 0

Resolviendo con fórmula: xi3 9 4 7

23 19

2

( )( )

Lo que implica que: xi

xi3 19

23 19

2y

Unidad 8

30 2

Por lo tanto, las posibles raíces de la ecuación radical son xi

xi3 19

23 19

2y ;

como ambas son raíces complejas concluimos que la ecuación 3 2 3 1x x , no tiene solución

en el conjunto de los números reales.

10. Resuelve 20x10 + 9x5 – 20 = 0.

Como el grado de la ecuación es 10 y la potencia del término intermedio es 5 (la mitad de

10), el cambio de variable es z = x5.

Efectuando el cambio de variable: 20x10 + 9x5 – 20 = 20(x5)2 + 9(x5) – 20

= 20z2 + 9z – 20 = 0

Resolviendo por factorización: (5z – 4)(4z + 5) = 0

5z – 4 = 0 y 4z + 5 = 0

Lo que implica que: z z45

54

y

Por lo tanto, las raíces de la ecuación 20z2 + 9z – 20 = 0 son: z z45

54

y

Retomando el cambio de variable, tenemos que x x5 545

54

y , es decir, las raíces reales de la

ecuación 20x10 + 9x5 – 20 = 0

son: x x45

54

54

5 5 5y . Comprueba estos resultados.

ÁLGEBRA

30 3

Ejercicios propuestos

1. Resuelve xx

xx

24 2

12 3 2

.

2. Resuelve 9

51

2 9 207

42xx x

x x x( )

( ).

3. Resuelve 23 24 2

9 22 3 1

512

xx

x xx x

xx

( ).

4. Un estudiante realizó un trabajo por $270.00, pero le llevó 8 horas más de lo que había previsto,

por lo que ganó $9.00 menos por hora. ¿En cuánto tiempo había planeado terminar el trabajo?

5. Un avión puede volar 3 000 km con el viento a favor y regresar (con el viento en contra) en un

total de 4 horas. Si la velocidad del viento es de 562.5 km/h, ¿a qué velocidad vuela el avión con

el viento en calma?

6. Resuelve 2 2 02 3 2 2 2a b x bc b a x c( ) por factorización. a b0 0y .

7. Resuelve a x abx b2 2 22 3 0 completando el trinomio cuadrado perfecto. a 0 .

8. Resuelve 7 3 7 1x x .

9. Resuelve x x3 2 2 1 .

10. Resuelve 7x6 + 11x3 – 6 = 0.

Unidad 8

30 4

Autoevaluación

1. Resuelve 2 3 1

6 11

18 925

27 92

x x

x x xx

x

( ).

a) x x1 2

21 2

2y

b) x x1 2

21 2

2y

c) x x1 2

21 2

2y

d) x x1 2

21 2

2y

e) x x1 2

2

1 2

2y

2. H allar tres números pares consecutivos tales que el cociente del triple del mayor entre el intermedio

es igual a 58

del menor.

a) 12, 14, 16

b) 6, 8, 10

c) 44, 46, 48

d) –2, 0, 2

e) 22, 24, 26

3. Resuelve x2 – 10a2x + a2(25a2 – 4b4) = 0.

a) x = 2ab2 ± 5a2

b) x = –5a2 ± 2ab2

c) x = 5a2 ± 2ab2

d) x a ab5 22 2

e) x a ab5 22 2

ÁLGEBRA

30 5

4. Resuelve x x2 2 3 3 .

a) x 26 6 19

b) x 6 26 19

c) x 26 6 19

d) x 26 6 19

e) x 26 6 19

5. Resuelve 20x8 – 7x4 – 6 = 0.

a) x25

4

b) x43

4

c) x25

8

d) x43

8

e) x34

4

Unidad 8

30 6

Respuestas a los ejercicios

1. x = 1 y x = –5

2. x3 233

14 y x

3 23314

3. x8 114

5 y x

8 1145

4. xi

xi4 2 3

74 2 3

7y

5. x = 1 y x = 8

1. xc

xbca

2

5y

2. xa

xab

13 22 2

y

3. xb

ax

ba

3 2y

4. xb ai

acx

b aiac

2 275

75

y

5. xb

ax

ba

( ) ( )5 894

5 894

y

6. xb b a

ax

b b aa

7 49 606

7 49 606

2 2 2 2

y

1. x11 21

2

2. x1 17

2

Ej. 1

Ej. 2

Ej. 3

ÁLGEBRA

30 7

3. x7 37

24. Sin solución.

5. x = 24

1. x x7 7y

2. x = 1 y x = –1 ambas son de multiplicidad 4.

3. x x34

25 5y

4. x x94

23

3 3y

5. Sin soluciones reales.

1. x = –3 y x = –2

2. x = 1 y x = 2

3. x = 3 y x = 4

4. 12 horas.

5. 1 687.5 km/h.

6. xcb

xc

a b2 2 2y

7. xba

xba

3y

8. x17

9. x 8 2 10

10. x x37

23 3y

Ej. 4

Ejercicios propuestos

Unidad 8

30 8

Autoevaluación

1. a)

2. b)

3. c) 4. d)

5. e)