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Propedutico 2008 Facultad de Ciencias 1

Unidad 3Sistemas de Ecuaciones

Lineales

Propedutico 2008Dra. Ruth M. Aguilar Ponce

Facultad de CienciasDepartamento de Electrnica


Sistema de Ecuaciones Lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas x1, x2, , xn es un conjunto de ecuaciones de la forma

Deseamos determinar si el conjunto de ecuaciones tiene solucin

La solucin al sistema de ecuaciones es encontrar un conjunto de valores x1, x2, , xn de tales que satisfagan cada ecuacin

12211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

L

M

L

L


Representacin Matricial

El sistema de ecuaciones puede ser representado por matrices de la siguiente manera

El sistema es consistente si tiene una solucin de lo contrario se le denomina inconsistente.

bxArr

=

=

=

nnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

xAMM

K

MOMM

K

L

r 2

1

2

1

21

22221

11211


Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los sistemas de ecuaciones pueden presentar tres casos: m = n, es el ms comn, ya que el nmero de

ecuaciones es igual al nmero de incgnitas. m < n, el nmero de ecuaciones es menor que el

de incgnitas y tenemos lo que se conoce como problema subdeterminado.

m > n, el nmero de ecuaciones es mayor que es de incgnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobredeterminado. El sistema tiene al menos una solucin.


Condiciones para encontrar soluciones

x

y

x

y

x

y

Solucin nica Nmero infinito de Soluciones Sin Solucin

Tiene una solucin nica si el det(A) 0 No tiene solucin o tiene un nmero infinito de

soluciones si el det(A) = 0



Considere el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y r = rango(A) entonces,

El sistema es inconsistente si r < m

El sistema tiene una solucin nica si r = min(n,m)

El sistema tiene un nmero infinito de soluciones si

r < n y r m



El sistema Ax = b puede ser resuelto si y solo si el vector b puede ser expresado como una combinacin lineal de las columnas de A.

Sea A una matriz de m n . El sistema lineal Ax= bes consistente si y solo si el rango de la matriz aumentada (A|b) es igual al rango de A.

Cuando el rango de A es igual a m, entonces el sistema Ax = b ser consistente para todos los vectores en Rm.


Forma Reducida de una Matriz

Una matriz se encuentra en la forma reducida por renglones si cumple las siguientes condiciones Si existen reglones cuyos elementos son todos cero,

entonces aparecen en la parte inferior de la matriz El primer nmero diferente de cero en cualquier

rengln diferente de cero es 1 En cualquier rengln el 1 esta mas hacia la derecha

del 1 del rengln anterior. Cualquier columna que contiene el primer 1 en un

rengln tiene ceros en el resto de sus elementos


Forma reducida de una matriz

El primer nmero diferente de cero en un rengln se llama pivote.

Si la matriz solo cumple las tres primeras condiciones entonces la matriz esta en la forma escalonada

100510321

000063105201

21005001

100010001


Rango de la Matriz

El rango de la matriz A de m n es el nmero de renglones diferentes de cero en su forma reducida.

El nmero de pivotes de una matriz reducida es igual al rango de la matriz A.


Mtodos para Solucin de Sistema de Ecuaciones

Se cuentan con dos mtodos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales: Eliminacin de Gauss-Jordan

Se reduce por rengln la matriz de coeficientes a la forma reducida

Eliminacin Gaussiana Se reduce por rengln la matriz de coeficiente a la

forma escalonada. Se despeja el valor de la ltima incgnita y despus se usa la sustitucin hacia atrs para las dems incgnitas


Operaciones elementales

Ambos mtodos utilizan las siguientes operaciones elementales para reducir la matriz de coeficientes: Multiplicar (o dividir) un rengln por un nmero diferente

de cero Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln Intercambiar dos renglones

Si la matriz A se puede transformar en la matriz B mediante operaciones elementales, entonces se dice que A y B son equivalentes por renglones.

Cualquier matriz se puede reducir a forma escalonada o reducida mediante operaciones elementales.


Matrices Elementales

Una matriz E de n n se llama matriz elemental si puede obtenerse a partir de aplicar una sola operacin elemental a la matriz identidad.

Una operacin elemental en una matriz A se puede escribir como el producto EA, donde E es la matriz elemental correspondiente.

Toda matriz elemental es invertible, y su inversa es una matriz del mismo tipo.



222 5100050001

5100010001

RRR =

13133 3103010001

3100010001

RRRRR =

2332

010100001

100010001

PRR =

Multiplicacin

Permutacin

Suma de un Mltiplo



La transformacin de una matriz A a la forma escalonada o reducida se puede expresar como el producto

donde Ei es la matriz elemental correspondiente a la i-esima operacin aplicada.

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices elementales.

AEEEm 12L

nEEEA L21=


Factorizacin LU

Sea A una matriz de n n y sean E1,E2,,Em las matrices elementales correspondientes a las operaciones requeridas (ninguna de ellas una permutacin) para transformar A en una matriz triangular superior U, es decir

AEEEU mm 11L=

LUUEEEA m == 11

21

1 L

Entonces


Factorizacin LU

Suponga que se quiere resolver el sistema Ax = b donde A es invertible, entonces

Ly = b puede ser resuelta por sustitucin hacia delante.

Ux = y puede ser resuelta por sustitucin hacia atrs.

( ) byLxULxLUxArrrrr

====


Factorizacin PA=LU

En general, para cualquier matriz invertible de n n existe una matriz de permutacin P tal que PA = LU, donde L es triangular inferior con unos en la diagonal, y U es triangular superior.

Notar que toda matriz de permutacin es su propia inversa, y que si P es una matriz de permutacin.

Entonces, P se puede construir como el producto de todas las permutaciones que se realizan durante la transformacin de A en U.

11 PPPP kk L=


Factorizacin LU y Determinantes

Si una matriz cuadrada A tiene factorizacin LU tal que A = LU, donde L tiene unos en la diagonal y U es una matriz triangular superior, entonces

Si P es una matriz de permutacin (es decir, el producto de matrices elementales de permutacin), entonces det P = 1.

Si A tiene factorizacin PA = LU, entonces det A = det U.

( ) ( ) =

==n

iiiuUA

1

detdet


Matriz Ortonormal

Si Q es una matriz (cuadrada o rectangular), se dice que tiene columnas ortonormales si cumple con QQT=I.

Si Q es cuadrada entonces Q-1 = QT La multiplicacin por cualquier Q preserva magnitud,

angulos y producto punto Para cualquier vector x, Producto interno Angulo

( ) Iqqq

q

qq

n

Tn

T

T

=

=

100

010001

212

1

L

MOMM

L

L

rL

rr

rM

r

r

xxQ rr =( ) yxyQxQ TT rrrr =)(

( ) ( )yxyx

yQxQyQxQ TT

rr

rr

rr

rr

=

=cos


Gram-Schmidt

El proceso Gram-Schmidt toma n vectores independientes v1, v2, , vn y obtiene n vectores ortonormales q1, q2, .., qn. En el paso j substrae de vjsus componentes en las direcciones q1, q2,..., qj-1que han sido establecidas.

Entonces qj es normalizado

( ) ( ) ( ) 112211 = jjTjjTjTjj qvqqvqqvqvu rrrLrrrrrrrr

j

jj u

uq r

rr=


Descomposicin QR

Sea A una matriz de m n con columnas independientes, entonces A puede ser factorizada en,

Donde Q es ortonormal y R es una matriz triangular superior e invertible.

( ) ( ) QRvqvqvqvqvqvq

qqqvvvAT

TT

TTT

=

==

33

3222

312111

321321

000

rr

rrrr

rrrrrr

rrrrrr


Descomposicin QR

La descomposicin QR simplifica el sistema de ecuaciones lineales

Substitucin hacia atrs es empleada para resolver el sistema.

( ) ( )

bQxR

bQRxRRxQRQR

bQRxQRQR

bAxAA

bxA

T

TTTTT

TT

TT

rr

rrr

rr

rr

rr

=

==

=

=

=


Sistema de Ecuaciones Lineales Homogneo

El sistema de ecuaciones Ax = b se llama homogneo si b = 0.

Un sistema homogneo siempre tiene al menos una solucin, que es la solucin trivial x = 0.

El sistema puede tener solucin nica (la trivial) o un nmero infinito de soluciones.

Un sistema homogneo con ms incgnitas que ecuaciones siempre tiene un nmero infinito de soluciones.


Sistema Homogneo Asociado

Sea Ax = b un sistema de ecuaciones no homogneo (es decir, con b 0). El sistema homogneo asociado est dado por

Ax = 0

Si x1 y x2 son soluciones de Ax = b, entonces su diferencia x1 - x2 es una solucin del sistema homogneo asociado.

Dada una solucin x del sistema no homogneo, cualquier otra solucin y de este sistema se puede obtener como y = x + h, donde h es una solucin del sistema homogneo asociado.


Sistema Homogneo

Sea A una matriz de n n. Suponga que el sistema Ax = b es consistente.

Entonces tiene una solucin nica si y solo si el sistema homogneo asociado Ax = 0 tiene solo la solucin trivial

El sistema homogneo tiene solo la solucin trivial si (A) = n.


Espacio Nulo

Sea A una matriz de m n. El conjunto de soluciones NA del sistema homogneo Ax = 0 forma un espacio vectorial conocido como el espacio nulode A y se define como

La dimensin del espacio nulo de una matriz A, denotado por (A)=dim(NA) y se conoce como la nulidad de A. Si NA={0} entonces (A)=0.

Una matriz A de n n es invertible si y solo si (A)=0.

{ } R 0: == xAxN nA r


Imagen de una Matriz

La imagen de una matriz A de m n es el espacio generado por las columnas de A. La imagen se denota por imag A y se define como

La imagen de A es un subespacio de Rm

(A) = dim imag A.

(A) + (A) = n

{ }nm xalgunaparayxAyAimag R R == rrrr :


Imagen de una Matriz

Sea RA el espacio generado por los renglones de A, entonces

Sea A una matriz real. Entonces, todo vector en RA es ortogonal a todo vector en NA.

( ) ( ) ( )AAimagRA == dimdim

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