Unidad 4: La antiderivada
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1
Unidad 4: La antiderivada
Funciones de densidad de probablidad
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2
En estadística, una función de densidad (de probabilidad) f de una variable aleatoria continua x, donde x toma valores en todos los reales, es una funciòn que cumple las siguientes condiciones:
Funciones de densidad de probabilidad
1. f (x) 0 , para todo x real 2. El área total bajo la gráfica f(x) es 1
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3
La probabilidad de que la variable x, con función de densidad f, tome valores en el intervalo axb está dada por:
b
adxxfbxaP )()(
Determinación de la probabilidad
P(a≤x≤b)
a X
Y
0
y=f(x)
b
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4
a. Demuestre que es una función de densidad de la variable x.
b. Hallar la probabilidad de que x esté en [0; 3]
Ejemplo 1
casootroen ,0
4≤≤0,)-4(323
)(2 xsixx
xfDada la función:
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5
Una función f es de densidad uniforme para x en [a, b] si está definida por:
Función de Densidad Uniforme
casos demás losen ;0
si);/(1)(
bxaabxf
x
y
ba
)/(1 aby
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6
Cierto semáforo permanece en rojo durante 40 segundos. Ud. llega (aleatoriamente) al semáforo y lo encuentra en rojo. Utilice la función de densidad uniforme apropiada para hallar:
Ejemplo 2
a. La probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 15 segundos para que el semáforo cambie a verde.
b. La probabilidad de que el semáforo cambie a verde entre 5 y 10 segundos después de que UD. llega.
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7
Una función f es de densidad exponencial para la variable x si está definida por:
donde k es una constante positiva.
Función de Densidad Exponencial
000
)(si x
xsikexf
kx
k
x
y
0
y=f(x)
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Sea x una variable que mide la duración en minutos de las llamadas telefónicas en cierta ciudad y cuya función de densidad de probabilidad para x es:
donde x es la duración de una llamada seleccionada aleatoriamente.
000 5,0
)(5,0
si xxsie
xfx
Ejemplo 4
a. Halle la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure entre 2 y 3 min.
b. Halle la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure al menos 2 min.
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9
Ejemplo 5La vida de un electrodoméstico se mide mediante una variable aleatoria x cuya función de densidad de probabilidad es :
donde x denota la duración (en meses) de un electrodoméstico seleccionado al azar
xexf 025,0025,0)(
¿Cuál es la probabilidad de que un electrodoméstico seleccionado aleatoriamente dure más de 12 meses?
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Ejemplo 6La vida útil de un electrodoméstico se mide mediante una variable aleatoria x cuya función de densidad de probabilidad es:
donde x denota la vida (en años) de un electrodoméstico seleccionado al azar.
xemxf 2,0
525)(
a. Determine m para que sea f una función de densidad
b. Determine la probabilidad que un electrodoméstico seleccionado aleatoriamente dure al menos 5 años.