UNIDAD 5 - administradorjorgevelcas · Las sucesiones pueden verse como correspondencias unívocas...
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Análisis matemático UNIDAD 5
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Análisis matemático
U N I DAD 5
Competencia
Al f inalizar la unidad, el alumno podrá:
• Comprender la ut i l idad del analisis matemát ico f inanciero y su aplicación en
di ferentes rubros.
Contenido
5.3. I nterés simple.
5.4. I nterés compuesto.
5.5. Evaluación de alternativas f inancieras de negocio.
5.6. Ecuaciones de valor.
5.7. Anualidades.
5.9. V PN y TI R: elementos fundamentales para evaluar la efectividad de un proyecto
5.8. Amortización y depreciación.
5.10. Aplicación del análisis matemático financiero a la rentabilidad de la empresa.
5.10.1. Las razones f inancieras a largo plazo.
Análisis matemático financieroActualmente el análisis matemático financiero ha venido en aumento en el entorno de
negocios, es importante mencionar que esto se debe a que las variables económicas que
inciden en la act ividad f inanciera empresarial de las organizaciones actuales, presentan un
nivel de variabi lidad muy alto. Por el lo se necesita que todo aquel profesional de las ciencias
administrat ivas y sus disciplinas relacionadas, estén actualizados en tópicos matemát icos con
aplicación f inanciera.
Hoy en día, independientemente del tamaño o giro de la organización, el conocimiento,
manejo e innovación en materia de análisis matemát ico financiero representa mayor posibi lidad
de competit ividad de la organización en el entorno de negocios.
De esta manera, términos como progresiones, interés, amort ización, anualidades,
depreciación, valor presente neto, entre otros, son conceptos que permiten apoyar a la efectiva
toma de decisiones basadas en recursos económicos y f inancieros que toda organización debe
cuidar y procurar eficientar.
5.1. Progresiones aritméticas y geométricas
Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de
sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite
sistematizar la definición de sus propiedades:
Las progresiones aritméticas.
Las progresiones geométricas.
Progresiones aritméticasSon sucesiones de números reales en las que cada término se obtiene a partir del anterior,
sumándole una cantidad fija d, llamada diferencia constante o bien razón aritmét ica.
Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de inf initos números reales
a1, a
2, a
3, a
4, a
5,..., a
n. l lamados términos de la sucesión.
1
2
3
4
5
a
b
c
d
N R
Las sucesiones pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los
números naturales N y el de los reales R.
El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,..., es una sucesión de
números reales.
Al término: an = 3 + 2(n–1) se le llama término general .
El término general de la progresión an, que ocupa el número de orden n en la misma,
se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.
an = a1 + (n – 1) d
Ejemplo 1
En una empresa manufacturera que real iza un análisis de cont rol de cal idad se
encont ró la siguiente sucesión de datos de producción: 4, 8, 12, 16. Se pide encontrar
la di ferencia común.
Elegir dos números consecut ivos de la serie:
8, 12
Restar del mayor el menor:
12 – 8 = 4
El número obtenido es la diferencia constante d en toda la serie:
d = 4
Sin embargo, no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, en la
importante sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... no hay ninguna
fórmula que exprese el término general.
Considerando la sucesión de término general:
an = 3n + 2
{an} = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...
Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se
dice que la sucesión {an} es una progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la
progresión.
En la progresión anterior:
a1 = 2 a
2 = 5 y d = 5 – 2 = 3
a4 = 11 a5 = 14 y d = 14 – 11 = 3
En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los n primeros términos de la
progresión; en este caso se trata de una progresión aritmética limitada.
Son progresiones aritméticas:
Los múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, ... La diferencia es d = 2.
Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, ... La diferencia es d = 3.
Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a, ... La diferencia es d = a.
Cálculo del término generalEn la progresión aritmét ica i limitada a
1, a
2, a
3, a
4, a
5,..., a
n,..., según la def inición, cada término
es igual al anterior más la diferencia.
a2 = a
1 + d
a3 = a
2 + d = a
1 + d + d = a
1 + 2d
a4 = a
3 + d = a
1 + 2d + d = a
1 + 3d
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
an = a
1 + (n – 1) d
Ejemplo 2
El término general de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14, ... es:
Si an = a
1 + (n – 1) d
8–5= 3 11–8= 3 14–11= 3 por lo tanto d = 3
an= 5+ (n–1)3 a
n= 5+ 3n–3 a
n= 5–3+ 3n a
n= 2+ 3n a
n=3n+2
Ejemplo 3
El término general de una progresión aritmética en la que a1= 13 y d= 2 es:
Si:
an = a1 + (n – 1) d
an = 13 + (n – 1) 2
an = 13 + 2n – 2
an = 2n + 13 – 2
an = 2n + 11
Ejemplo 4
Vamos a hallar el primer término a1 de una progresión aritmét ica sabiendo que:
a11
= 35 y d = 4
Si:
an = a1 + (n – 1) d
a11
= a1 + (11 – 1) 4
35 = a1 + 44 – 4
35 = a1 + 40
a1 = 35 –40
a1 = – 5
Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro término
cualquiera, en lugar del primer término.
Como:
an= a
1+ (n–1)d y a
k= a
1+ (k–1)d
Despejando a1 en ambas expresiones e igualando resulta:
an= ak+ (n–k) d
Interpolación de términos en una progresión aritmét ica Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible interpolar otros m
términos, llamados medios diferenciales , de manera que todos ellos integren una nueva
progresión aritmética (con m + 2 términos) donde a y b sean los extremos.
Ejemplo 5
Supongamos que queremos intercalar entre el 2 y el 14 tres números a, b y c de manera que
2, a, b, c, 14 estén en progresión aritmética.
Tenemos que:
a1 = 2, a
5 = 14 y n = 5.
Aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética, se
t iene que:
a5 = a
1 + 4d
14 = 2 + 4d
14 – 2 = 4d
12 = 4d
12 / 4 = d
d = 3
2 + 3 = 5 5 + 3 = 8 8 + 3 = 11 11 + 3 = 14
Por tanto, la progresión aritmética es:
2, 5, 8, 11, 14.
Los términos que encontramos se l laman medios aritméticos .
Suma de n términos consecutivosConsideremos la progresión formada por los seis primeros múltiplos de 5:
{an}= 5, 10, 15, 20, 25, 30
Observemos que la suma de los extremos es:
a1 + a
6 = 5 + 30 = 35
Y que los términos equidistantes suman lo mismo que los términos extremos:
a2 + a
5 = 10 + 25 = 35
a3 + a
4 = 15 + 20 = 35
En general, en una progresión aritmética limitada se verif ica:
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
En una progresión aritmét ica limitada, la suma de los términos equidistantes de los
extremos es igual a la suma de los extremos.
Vamos a ut ilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de n términos
consecutivos de una progresión aritmética. Veámoslo primero con el ejemplo:
¿Cuál es la suma de los seis términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos
veces invirtiendo los términos en una de el las.
S6 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30
S6 = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5
2S6 = 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35
2S6 = (6) (35)
2S6 = (6) (5 + 30)
S6= [(6) (5 + 30)] / 2
S6= 105
Vamos a generalizar este resultado: ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión
a1, a
2, a
3, ..., a
n-1, a
n?
L lamemos Sn a la suma de los n términos y escribamos la suma dos veces, invirtiendo
los sumandos en una de ellas.
Sn = a
1 + a
2 + ... + a
n-1 + a
n
Sn = an + an-1 + ... + a2 + a1
Sumando las dos igualdades resulta:
2Sn = (a
1 + a
n) + (a
2 + a
n-1) + ... + (a
n-1+ a
2) + (a
n + a
1)
Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es:
(a1 + a
n)
Se t iene:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) = (a1 + an) n
De donde:
nn
a aS= n1
2
Suma de los términos de una progresión aritmética Para determinar la suma de un número f inito de términos de una progresión aritmética,
denotada por a1, a
2, a
3,..., a
n-2, a
n-1, a
n, basta con considerar el principio de que los pares de
términos a1 y a
n, a
2 y a
n-1, a
3 y a
n-2, etc., son equidistantes , de manera que todos estos pares
suman una misma cantidad.
nn
a aS = n1
2
Generalizando esta consideración, se t iene que la suma de todos los
términos de una progresión aritmética es igual a: nn
a aS = n1
2
Ejemplo 6
Encontrar la progresión aritmét ica para una:
d < 0, d = 0, d < 0
Término anteriorCantidad fija a sumar:
D iferencia = dd > 0
Resultado
a1 = 10 1 11
a2 = 11 1 12
a3 = 12 1 13
a4 = 13 1 14
a5 = 14 1 15
Término anteriorCantidad fija a sumar
D iferencia = dd = 0
Resultado
a1 = 10 0 10
a2 = 10 0 10
a3 = 10 0 10
a4 = 10 0 10
a5 = 10 0 10
Término anteriorCantidad fija a sumar
D iferencia = dd < 0
Resultado
a1 = 10 –1 9
a2 = 9 –1 8
a3 = 8 –1 7
a4 = 7 –1 6
a5 = 6 – 1 5
Si d > 0, la progresión es creciente.
Si d < 0, la progresión es decreciente.
Si d = 0, la progresión es constante.
Progresiones geométricasSon sucesiones en las que cada término se obt iene a partir del anterior multiplicándolo por
una cantidad fija r llamada razón geométrica. En consecuencia, el cociente entre dos términos
consecutivos es constante.
El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:
an = a
1r n-1
Ejemplo 7
Sea la progresión geométrica:
3, 9, 27
Encontremos la razón constante:
r = 3
(3) (3) = 9
(9) (3) = 27
Suma y producto de los términos de una progresión g eométrica La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica puede calcularse a partir de
cualquiera de las siguientes expresiones:
Sea la progresión geométrica:
a, ar, ar2, ar3, ………..arn-1
El último término denotado por l es:
l = ar n-1
Calculando la suma de los n términos de la progresión geométrica tenemos:
S = a + ar + ar2 + ar3 + ...+ arn-1
Si multiplicamos por r a ambos miembros de la igualdad, tenemos:
rS = ar + ar2 + ar3 + ….. + arn
Si restamos las dos últ imas ecuaciones tenemos:
rS – S = arn – a
S (r – 1) = arn – a
nar aS
r =
1
Por lo tanto para calcular el últ imo término de una progresión geométrica ut i lizaremos la
siguiente fórmula:
l = ar n-1
Y para calcular la suma de los n términos de una progresión geomét r ica usaremos
la fórmula.
nar aS
r =
1
Ejemplo 8
Encontrar el término 12 y la suma de los doce pr imeros términos de la progresión
geomét rica: 2, 6, 18, 54,…
Primero, se ident if ican los datos:
a = 2
r = 3
n = 12
Segundo, usaremos la fórmula para el últ imo término:
l = ar n-1
Sustituyendo:
l = (2) (3)12-1
l = 354 294
Tercero, usaremos la fórmula para sumar los doce primeros términos, uti lizando.
nar aS
r =
1
Sustituyendo:
S
122(3) 2=
3 1
S = 531 440
Interpolación de términos en una progresión geométr ica Ent re dos términos a y b de una progresión geométr ica es posible intercalar m términos,
denominados medios geométricos o proporcionales , tales que todos el los ( los m
+ 2 términos resultantes) const ituyan una nueva progresión geomét rica de razón r
determinada como:
nn
ar=
a1
1
Ejemplo 9
Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96, cuatro números a, b, c y d, de manera
que 3, a, b, c, d, 96, estén en progresión geométrica.
Tenemos que:
a1 = 3
an = 96
n = 6
Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica,
tenemos que:
an = a
1 r n-1
Despejamos r:
a1 r n-1 = a
n
r n-1 = an / a
1
n
na
r=a
1
1
Sustituyendo:
r 6 1
96=
3
5 = 32r
r = 2
Por tanto, la progresión geométrica es: 3, 6,12, 24, 48, 96.
Para faci litar la interpolación de los medios geométricos se recomienda seguir los
siguientes pasos:
a) Ident if icar el primer término de la progresión.
b) Calcular el últ imo término en caso de que se ignore.
c) Determinar el número de términos incluidos en la sucesión incluyendo los extremos.
d) H allar la razón de la progresión geométrica, despejando el valor de r de la fórmula
del últ imo término:
an = arn-1
Es decir:
nn
ar=
a1
1
Ejemplo 10
Encontrar tres medios geométricos entre 4 y 64
Tenemos que:
a1 = 4
an = 64
n = 5
Uti lizando la fórmula para la razón:
nn
ar=
a1
1
Sustituimos:
r 5 1
1
64=
4
r = 4 16
r = 2
Calculando los términos intermedios tenemos:
n2 = 4 x 2 = 8
n3 = 8 x 2 = 16
n4 = 16 x 2 = 32
La progresión geométrica será: 4, 8, 16, 32, 64
Actividad 1
1. Determine el valor de los elementos de las siguientes progresiones aritmét icas:
a) a1 = 4
a2 = 7
Calcule a19
b) a5 = 17
a7 = 27
Calcule a1 y a
40
c) a35 = 104
d = 2
Calcule a1 y S
30
d) a15
= 43
a16 = 35
Calcule a1 y a
100
e) a10
= 58
d = 6
Calcule S10
2. Un comerciante ha decidido promocionar sus productos de manera personalizada,
acudiendo de casa en casa y recorriendo la ciudad, pero no está acostumbrado, por lo
que deberá incrementar poco a poco las distancias que recorra, el primer día recorre
5 km y cada semana aumenta su recorrido diario en 2 km. Teniendo en cuenta que
quiere recorrer 25 km diarios, ¿cuántas semanas de recorrido necesita? Al cabo de 10
semanas, ¿cuántos ki lómetros diarios será capaz de recorrer?
3. Una persona desea formar un capital para invert ir en un negocio, su primer depósito
es de $50 000, si ahorra cada mes $5 000 más que el mes anterior. En cuanto t iempo
sus ahorros sumarán $500 000.
4. Una clínica dental solicitó un estudio de mercado para determinar la factibi l idad de
incrementar el número de sus consultorios para atención dental. El estudió arrojó
la siguiente información: la población de la localidad estudiada incrementaba en
35% cada 10 años. Si su población en 2006 es de 240 000 habitantes, ¿cuál será su
población en el año 2015?
5. Un empresario proyecta colocar en el banco $100 000 el día que su empresa cumpla
el primer año de funcionamiento, e ir duplicando la cant idad sucesivamente en todos
los años. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que la empresa cumpla 15 años? ¿Cuánto
habrá en el banco al cabo de 25 años?
5.2. Utilización de las progresiones como elemento fundamental en procesos decisorios de inversión en la empresa
Las progresiones son un tema que pocas veces se revisa en los cursos de matemáticas, sin embargo
para el análisis f inanciero son de gran importancia, ya que integran la base fundamental para el
cálculo del interés simple, el interés compuesto, la depreciación, el pago de préstamos, planes
de ahorro, amort izaciones, entre otros.
De esta forma se puede aseverar que cuando realizamos algún cálculo financiero,
en muchas ocasiones atrás de ese cálculo y de la misma fórmula, que representa un proceso
matemático sistematizado, está el uso y aplicación de las progresiones, además problemas
relativamente comunes son resueltos a través de las progresiones y en pocas ocasiones nos
damos cuenta de ello.
De esta forma, podemos observar a continuación algunos ejemplos de aplicación de las
progresiones en las decisiones empresariales.
Aplicaciones con progresiones aritméticas Ejemplo 11
El señor H ernández pide prestados $8 000 quedando en pagar $400 al terminar cada mes
y pagar 18% de interés anual, sobre todo el saldo que no se ha pagado. Calcular la suma de
todo el interés que ha pagado el señor H ernández.
Primero hay que determinar cuántos pagos se harán:
Cantidad prestada / cantidad a pagar cada mes
$8 000 / $400 = 20 pagos
Como se pagará cada mes un interés, se determina la tasa de interés mensual:
Tasa de interés anual / 12 meses
18% / 12 = 1.50%
Los pagos de interés se calculan al 1.5% sobre los saldos:
8 000, 7 600, 7 200, …, 400
Que forman la progresión aritmética:
120, 114, 108, …, 6
La suma de todo el interés pagado es la suma de los 20 términos de una progresión
aritmética, donde:
a1 = $120
an = $6
n = 20
na aS n1 =
2
Sustituyendo:
120 6 12620 20 (63)(20) 1260
2 2S
La suma de todo el interés pagado será $1 260.
Aplicaciones con progresiones geométricas Ejemplo 12
La empresa Telas Finas, S.A., compra una máquina tejedora, cuyo valor al f inal de cada
año, es 90% de su valor al principio del año. Si la máquina tejedora costó originalmente
$950 000, calcule su valor al f inal de 10 años.
Los datos con los que se cuentan son:
a1 = $950 000
r = 90%
n = 11 años
an = a
1 r n-1
an = (950 000) (0.90)11-1
an = (950 000) (0.90)10
an = (950 000) (0.3487)
an = 331 265
Por lo tanto, el valor de la máquina tejedora después de 10 años es de $331 265.
M Cit C
Otro ejemplo más de lo anterior lo representa el monto en el interés
simple, como podrá verse en temas posteriores, el monto en el interés
simple es igual a la suma del interés más el capital inicial, es decir:
M Cit C
Es claro que la ecuación del monto asemeja a una progresión aritmética donde el
término independiente es C y la razón respecto a t es Ci
Un ejemplo más, se tiene en el interés compuesto:
Dado un crédito de M unidades monetarias, a un interés i, programado para n pagos
en tiempos iguales. Se tiene la siguiente evolución:
I nterés compuesto:
P (1 )P i
–1(1 )nP i (1 )nP i
1 2 .. r–1 r
n I nterés M onto+ interés Capital al final del periodo
0 I M
1 I M i M + M = ( 1 + i )
2 I M ( 1 + i ) i M ( 1 + i ) + M ( 1 + i ) i = M ( 1 + i )( 1 + i ) = M ( 1 + i )2
... ... ... ...
S = M (1 + i)n
De lo anterior, si se continúa con el desarrollo de la fórmula del
interés compuesto de cada uno de los pagos, resultaría como término
común al f inal de cada periodo el término M (1 + i) por lo que al
f inal de los n periodos tendríamos M(1 + i) n, por lo que se puede deducir la fórmula básica del
interés compuesto: S = M (1 + i)n
Donde:
S = Monto a interés compuesto.
M = Capital inicial.
I = Tasa de interés por periodo de conversión.
N = Número de periodos de conversión o capitalización.
Las anualidades son también un ejemplo de la aplicación de las progresiones geométricas.
Si se tiene una anualidad a n pagos de una unidad monetaria en cada uno de ellos y a
un interés i, se observa lo siguiente:
Anualidad ordinaria:
P P P P
(1 )P i
–2(1 )nP i
–1(1 )nP i
1 2 ... n–1 n
n I nterés Pago f ijo Capital al final del periodo
n I P P
n –1 I P P ( 1 + i )
n –2 I P P ( 1 + i )2
n –3 I P P ( 1 + i )3
... ... ... ...
2 I P P ( 1 + i )n–2
1 I P P ( 1 + i )n–1
(1 ) 1niS R
i
Como ya sabemos, la anualidad se calcula sumando los montos por
periodo, lo cual da como resultado una progresión geométrica,
teniendo como pr imer término a P y como razón común a (P + i),
por lo tanto, la fórmula general de la anualidad será:
Donde:
S = Monto de una anualidad ordinaria de n pagos
R = Valor de los pagos periódicos
i = I nterés de la anualidad
n = Número de periodos
El último ejemplo que daremos del uso de las progresiones en f inanzas es el del cálculo
del valor presente. (Progresión geométrica, en este caso.)
Si se tiene una anualidad a n pagos, con un pago fijo P y la tasa de interés i, el valor
presente de cada pago es:
Valor presente de una anualidad ordinaria:
P P P P
1 2 ... r–1 r
P ( 1 + i )–1
P ( 1 + i )–2
P ( 1 + i )–(n –1)
P ( 1 + i )–n
n I nterés Pago f ijo M onto por periodo
1 I P P ( 1 + i )–1
2 I P P ( 1 + i )–2
3 I P P ( 1 + i )–3
... ... ... ...
n –1 I P P ( 1 + i )–( n–1)
n I P P ( 1 + i )–n
Como es de esperar, la anualidad es el resultado de la suma de todos los montos por periodo, de
lo cual es notorio que el primer término es P(P + i) –1 y la razón común es P(P + i)–1 por lo tanto,
la fórmula del valor presente de una anualidad queda como sigue:
1 (1 ) niA R
i
Donde:
A = Valor presente de una anualidad ordinaria a n pagos
R = Valor de los pagos periódicos
i = I nterés de la anualidad
n = Número de periodos
5.3. Interés simple
En la actualidad el uso del dinero tiene diferentes vertientes, ya sea para gastar en bienes y
servicios o para invertir en un negocio, en una propiedad, etc., sin embargo, cuando se util iza
el dinero para cualquiera de las dos anteriores opciones, y si el dinero no se tiene en propiedad,
este causa un sobrepago que normalmente denominamos interés. El manejo del interés se da
a partir de dos característ icas, la primera cuando los intereses no forman parte de la propia
deuda, es decir no se capitalizan; la segunda es cuando los intereses se van a acumulando, es
decir se capital izan. En este apartado se hablará de la primera característica.
Por ejemplo una de las principales funciones de los bancos y las f inancieras es prestar
dinero a las personas y empresas, en otras palabras otorgan créditos; facilitando la devolución
del dinero en plazos de tiempo, estableciendo un plazo para cancelar la deuda que se adquiere
al pedir prestado dinero para comprar o t rabajar.
El crédito conlleva la aplicación de una de tasa de interés (sobrepago) a las operaciones
de préstamo de dinero; en éstas se calcula el costo del dinero en relación al monto solicitado y
a la tasa de interés vigente.
El interésEs el precio que se paga por el uso del dinero a lo largo de un periodo de tiempo.
La tasa de interés para una transacción determinada se expresa explícitamente de
manera frecuente; es decir: una asociación de ahorro y préstamo que puede ofrecer 6.5% de
rendimiento al año sobre sus depósitos de ahorro, o una compañía hipotecaria puede ofrecer
hipotecas de 20 años de viviendas a una tasa de interés de 12%.
Algunas veces la tasa de interés está implícita en la transacción que se efectúa, por
ejemplo, algunos bancos comerciales ofrecen cuentas corrientes gratis a los clientes que
mantienen un saldo mínimo de x cant idad, debido a que esta misma cantidad x podría ganar
interés si fuera depositado en una cuenta de ahorro, existe un costo de interés implícito para
los cl ientes del banco por mantener el saldo mínimo en sus cuentas.
El interés simple es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En
consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de t iempo es el mismo. Es decir,
la retribución económica causada y pagada no es reinvert ida, por cuanto, el monto del interés
es calculado sobre la misma base.
Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a
la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el periodo de transacción comercial.
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en
un momento posterior. Generalmente, el interés simple es uti lizado en el corto plazo (periodos
menores de un año).
El monto que obtenemos con el interés simple aumenta linealmente (progresión
aritmética). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial, es indiferente la frecuencia
en la que estos intereses son cobrados o pagados. El interés simple no se capitaliza.
Suposiciones generales para calcular el interés• Certeza. Es la suposición usada más restrict iva, se supone que todos los valores actuales
y futuros sean conocidos, y si no, se uti lizarán técnicas que permitan su cálculo.
• Periodos discretos de tiempo . Este t iempo debe ser dividido en intervalos anuales
considerando desde que inicia hasta que termina el últ imo día del año. El presente
inmediato se considera como el f inal del año cero.
• Cálculo de interés anual . Este interés se calcula una vez al año y el cálculo se hace al
f inal del mismo lo cual reaf irma los periodos discretos de tiempo.
I CitDebido a estas suposiciones puede def inirse la ecuación para el interés
simple como:
Donde:
I = interés simple
C = capital inicial
i = tasa de interés anual
t = tiempo de inversión
Ejemplo 13
Si se realiza una inversión que produzca una entrada de efect ivo dentro de dos años a
cambio de un f lujo inmediato de efectivo, entonces se dice que tiene un f lujo al f inal del
año cero y una entrada al f inal del año dos.
Ejemplo 14
Se realiza una inversión de $5 000 el día 15 de marzo, luego de esta fecha se vuelve el
t iempo cero, una entrada de efectivo de esa inversión ocurrirá dos años más tarde, es decir,
para el 15 de marzo del año dos, produciendo entradas de $1 000
Flujo de efectivo 0 1 2
$5 000 $1 000
Ejemplo 15
¿En cuánto se convierte un capital de $1 600 000 a 10% en dos años a interés simple?
Como el interés que produce 1 peso en 1 año es de 10/100 pesos = 0.1 pesos, el
interés total es:
C = $1 600 000
t = 1 año
i = 0.1
CitI
C = ($1 600 000) (0.1) (1) = $160 000
Al f inal del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo
$1 600 000. En el segundo año, el capital vuelve a producir otros $160 000
En los dos años el interés producido es:
$160 000 + $160 000 = $320 000
Por lo tanto, el capital se convierte a los dos años en:
1 600 000 + 320 000 = 1 920 000 pesos
Se puede obtener directamente el interés a los dos años:
I = (1 600 000) (0.1) (2) = 320 000 pesos
En general, si C es el capital, i es la tasa de interés anual y t es el t iempo en años,
entonces el interés simple es:
I Cit
Si el t iempo viene dado en meses la fórmula es:
12
númerodemesest
Si el t iempo viene expresado en días la fórmula es:
360
númerodedíast
El interés simple t iene la propiedad de que el capital inicial permanece constante
durante un plazo.
Ejemplo 16
Calcular el interés simple comercial de:
a) $2 500 durante 8 meses a 8%
b) $60 000 durante 63 días a 9%
c) $12 000 durante 3 meses a 8.5%
d) $15 000 a 10% en el t iempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del
mismo año.
a) C = $2 500
t = 8 meses
i= 0.08
Sustituyendo valores:
I = (2 500) (8/12) (0.08) = $133.33
b) C = $60 000
t = 63 días
i = 0.09
I = (60 000) (63/360) (0.09) = $945
c) C = $12 000
t = 3 meses
i = 0.085
I = (12 000) (3/12) (0.085) = $255
d) C = $15 000
i = 0.10
t = 165 días
I = (15 000) (0.10/360) (165) = $687.50
Ejemplo 17
¿Cuál será el interés que se obtenga de un capital de $30 000 si se ha invertido durante 4
años a una tasa de interés de 14%?
C = $30 000
i = 0.14
t = 4
Sustituyendo valores:
I ($30 000)(0.14)(4) $16 800
Monto simpleSe define como el valor acumulado del capital. Es la suma del capital más el interés, su ecuación es:
M C I
Pero si se sustituye
I= Cit
Se t iene:
(1 )M C Cit C it
Ejemplo 18
Una persona pide un préstamo por $10 000 a una tasa de interés de 4.5% anual durante
1 año, ¿cuál será el monto que pagará al f inal de este tiempo?
C = $10 000
i = 0.045
t = 1
(1 )M C it
Sustituyendo valores:
(1 ) $10 000(1 0.045(1)) $10 450M C it
Por lo tanto el monto a pagar será de: $10 450
Ejemplo 19
¿Calcular el monto a pagar de una deuda de $75 000 al 1 de mayo, si se f irmó un pagaré
el 16 de marzo del año en curso con un interés de 12%?
Uti lizando las conversiones de t iempo de días a años (t/360)
t = 46 días = 0.127 777 años
i = 0.12
C = $75 000
(1 )M C it
75 000(1 0.12(0.127 777)) $76 150M
El monto a pagar será de:
M = $76 150
Gráficas del problema de interés simple
( , ( )) / ( )f t f t M f t Cit C
Para graficar un problema de interés simple, se
def ine una función lineal cuyo dominio es el
t iempo y cuyo rango o imagen es el interés
obtenido en determinado periodo de t iempo.
Donde: Ci es la pendiente de la función, C es la ordenada en el origen, todos mayores
a cero; esto no es otra cosa que la ecuación del monto simple.
Ejemplo 20
Elaborar la gráfica que presenta el monto de un capital de $1 a una tasa de interés simple
de 2% anual, determinando su dominio e imagen.
C = 1
i = 0.02
t = variable
( )f t Cit C
f(t) = 1(0.02)t + 1
f(t) = 0.02 t + 1
f(t) = 1 + 0.02 t
Graf icando entre 0 y 6
Dominio [0, 6] e imagen [1, 1.12]
0 1 2 3 4 5 6 7
1,6
0,8
f ( t )
t
Valor presentePara encontrar el capital inicial que se requiere invertir durante cierto tiempo a determinada
tasa de interés para producir cierto monto, se requiere de un valor presente.
( 1)M Cit C C it
Despejando C se tiene el valor presente:
1M
Cit
Ejemplo 21
Encontrar el valor presente de $1 400 pagaderos dentro de 5 años, si la tasa de interés
es de 2% anual.
Sustituyendo los datos proporcionados directamente en la ecuación obtenemos:
1 400 1 400$1 272.72
1 (0.02)5 1.1C
Ecuaciones de valorEn ocasiones es necesario reemplazar una deuda o una serie de deudas por otra o por otro
conjunto de ellas con diferentes vencimientos. Para que tanto el acreedor como el deudor estén
satisfechos con el nuevo esquema de pagos, el valor de éstos debe ser equivalente al valor del
esquema original.
Las ecuaciones de valor son una igualdad o equivalencia entre dos colecciones de
obligaciones evaluadas en un mismo periodo. Cabe mencionar la importancia de determinar
para cada caso la fecha de valuación llamada fecha focal, ya que los montos de las obligaciones,
en los casos de interés simple varían respecto al tiempo.
Los diagramas de tiempo valor son una buena herramienta para el cálculo de las
ecuaciones de valor equivalentes.
1 2X X
Obligaciones AConsideradas enel tiempo 2
Fecha devaluación
Obligaciones BConsideradas enel tiempo 2
X Xn –1 n
Ejemplo 21
Una empresa firma un pagaré por $180 000 a 90 días a 6%; 30 días después, firma otro
pagaré por $120 000 a 90 días sin intereses, 60 días después de la primera fecha, acuerda
pagar $40 000 y recoger los pagarés reemplazando éstos por uno sólo a 120 días, contados
desde la última fecha, con un rendimiento de 12%. Determine el pago convenido.
180 000 120 000 40 000 X
0 9030 60 180150120
Se determina la fecha focal de 180 días, se deben calcular los diferentes valores en
esta fecha para plantear la ecuación de valores equivalentes.
Valores recientes:
X1
40 000 1 (0.12)3
Valores anteriores:
1 1 1180 000 1 (0.06) 1 (0.12) 120 000 1 (0.12)
4 4 6
Se igualan valores:
1
40 000 1 (0.12)3
X
1 1 1180 000 1 (0.06) 1 (0.12) 120 000 1 (0.12)
4 4 6
40 000 1.04 180 000 1.015 1.03 120 000 1.02X
41 600 188 181 122 400X
41 600 310 581X
X 310 581 41 600
$268 981X 0
Actividad 1
1. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los siguientes problemas:
Depósitos en el año cero Tasa de interés Número de añ os Cantidad final
$10 000 8 % 12
$12 000 4 $14 000
11 % 7 $7 000
$8 000 4 % $9 000
$900 5 % $1 200
12 % 10 $35 000
$70 000 14 $80 000
$500 13 $1 000
2. Usted le pide prestados $2 000 a un banco en estos momentos y acuerda pagar el
préstamo haciendo un pago de $2 800, tres años después ¿qué tasa de interés le está
cobrando el banco?
3. Se depositan diez pagos anuales de $2 000 cada uno a una cuenta que paga 85% de
interés. Los pagos comenzarán 5 años más tarde, ¿cuánto dinero estará disponible
inmediatamente después del últ imo pago?
4. ¿Cuál es el valor actual en el año cero de una anualidad de 10 pagos que paga $10 000
al año, si el primer pago se recibe 6 años después y si la tasa de descuento es 15%?
5. Encontrar el valor actual, a 5% de interés simple, de $1 800 000 con vencimiento en
9 meses.
5.4 Interés compuesto
Con anterioridad hablamos de progresiones geométricas, de las cuales la apl icación más
clara es la que consideramos en el momento de calcular el interés compuesto sobre un
capital prestado.
Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el
banco paga intereses. Esos intereses se van acumulando e integrando a la propia deuda y a
esto se le conoce como capitalización. Es importante mencionar que en la actualidad el t ipo
de interés que se maneja con mayor regularidad en los procesos comerciales y f inancieros es el
interés compuesto y uno de los principales ejemplos son las tarjetas de crédito.
Interés compuesto Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses calculados al f inal de
cada uno de los periodos contemplados en un tiempo determinado.
El crecimiento natural es una variación proporcional a la cant idad presente en todo
instante; tal es el caso del crecimiento de las bacterias o el de las células del cuerpo, cuyo
crecimiento es continuo en el t iempo. En la capitalización a interés compuesto encontramos
un crecimiento continuo en función del t iempo.
Periodo de capitalización Ejemplo 22
Si un interés se capital iza 4 veces al año, el periodo de capital ización es de 3 meses. Es decir
que en un año se tienen cuatro trimestres.
Frecuencia de capitalizaciónEs el número de veces por año en que el interés se suma al capital.
Ejemplo 23
Si un interés se capitaliza trimestralmente, la frecuencia de capitalización es 4.
Conversión de pagos simples a compuestosCuando una cantidad acordada de dinero se deposita en una cuenta que soporta un interés y se le
permite que obtenga intereses por varios años, el valor monetario resultante recibe el nombre de
cantidad compuesta. Nos referimos al depósito de original como el capital. Al proceso de añadir
interés y determinar la cantidad compuesta resultante se le llama compuesto. La frecuencia del
compuesto es el número de veces anuales que el interés se le añade a la cuenta de depósito.
Ejemplo 24
Una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco pagará intereses
¿en cuánto se convierte un capital de $1 600 000 a 10% en dos años a interés compuesto?
a) El depósito se efectúa en el año cero. Al f inal del primer año la cant idad compuesta
disponible es:
Cantidad compuesta = $1 600 000 + $1 600 000 (10%)
= $1 600 000 + $1 600 000 (0.1)
= $1 600 000 + $160 000
= $1 760 000
b) Al f inal del primer año los $160 000 ganados no se retiran, por lo que el capital,
al empezar el segundo año, es de $1 760 000.
Cantidad compuesta = $1 760 000 + $1 1760 000 (10%)
= $1 760 000 + $1 1760 000 (0.1)
= $1 760 000 + $1 176 000
= $1 936 000
En el primer año la ganancia del capital es de:
$1 600 000 (0.1) = $160 000
En el segundo año el interés de $1 760 000 es:
($1 760 000) (0.1) = $176 000
Al f inal de los dos años el interés producido es:
$160 000 + $176 000 = $336 000
Uti lizando el ejemplo anterior en donde el capital de $1 600 000 aumentó a una
cant idad compuesta de $1 936 000 en un periodo de dos años. El incremento del capital inicial
$336 000 se debió enteramente al interés. Se ganó la cant idad de $160 000 en el año 1, y
$176 000 en el año 2.
De los $336 000 ganados al f inal del periodo, $176 000 se produjeron en el segundo
año debido a 10% que se aplicó a $160 000 de los primeros intereses ganados en el primer año,
ya que se mantuvo en depósito en el segundo año; los $176 000 es el interés ganado sobre el
interés y recibe el nombre de interés compuesto.
La ecuación básica se puede obtener con las variables involucradas junto con sus
representaciones simbólicas.
Se t iene entonces que:
C = capital en el t iempo cero
i = tasa de interés anual
n = tiempo o número de periodos sobre los que el capital genera intereses compuestos.
Ct = cant idad compuesta después de t años.
La cantidad compuesta disponible un año después que el principal se ha depositado es:
C1 = C + C (i) C
1 = C(1 + i)
Si a C1 se le permite ganar intereses por un año entonces:
C2 = C
1 + C
1 (i) C
2 = C
1 (1 + i)
Sustituyendo C1
C2 = C( 1 + i)(1 + i) C
2 = C(1 + i)2
Entonces de acuerdo con los datos del ejemplo la ecuación quedará:
C = ($1 600 000) (1 + 0.1)2 = $1 936 000
1100
n
t
iC C
En general, el capital f inal o cantidad compuesta (Ct) que se obtiene
a partir de un capital C en t años al tanto por ciento anuales (i), se
calcula con la fórmula.
Cuando el capital inicial se invierte durante varios periodos
y al f inal de cada periodo se suman los intereses obtenidos al capital y se reinvierten, se están
calculando intereses sobre intereses devengados.
Ejemplo 25
Encontrar el capital compuesto sobre $8 000 después de 3 años, si la tasa de interés anual
es de 4%.
C = $8 000
i = 4%
n = 3 años
1100
n
t
iC C
33
3
48000 1 8000(1 0.4)
100C
3
3 8000(1.4) 8000(2.744) 21 952C
C3 = $21 952
Monto compuesto o valor futuro
(1 )nM C iEs la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses
calculados al final de cada uno de los periodos contemplados en el lapso
considerado; dicho de otra forma es el capital más los intereses capitalizados.
El monto de un capital al f inal de un periodo se obt iene multiplicando dicho capital
por el factor (1 + i), al f inal del segundo periodo se t iene:
(1 )(1 )M C i i
Al f inal del tercer periodo:
(1 )(1 )M C i i (1+ i)
Generalizando:
(1 )nM C i
Donde:
M = monto compuesto
C = capital a invertir
i = interés ganado
n = tiempo
Ejemplo 26
Un banco ofrece una tasa de 10% para cuentas de ahorro. Encontrar el monto de un
depósito de $5 000 después de 5 años.
C = $5 000
i = 10%
n = 5 años
(1 )nM C i
5 55 000(1 0.1) 5 000(1.1) 5 000(1.61 051)= 8 052.55M
$8 052.55M
Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentesCuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante
el lapso que dure la operación; se le llama así porque representa el porcentaje de rendimiento
aparente y se denota por (i)m.
Sin embargo si el interés se capital iza semestral, trimestral o mensualmente, la
cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. La tasa
efectiva anual es menor que la tasa nominal anual debido a que el interés de esta última se
capitaliza m veces al año.
Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capital ización serán equivalentes
si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.
Tasa efectiva:
1 1miC
im
De esta fórmula se puede despejar la tasa nominal
Tasa nominal:
1
(1 ) 1m mi m i
N ota: en caso de que el di nero se i nvier ta durante n años, se t iene
la equivalencia:
mnmn i
im
(1 ) 1
Ejemplo 27
¿Cuál será la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de 5% anual convert ible
bimestralmente?
im = 0.05
m = 6
mnmn i
im
(1 ) 1
Sustituyendo:
60.05
1 16
i
i = (1.008 333 333)6 – 1
i = 1.0 510 531 – 1
i = 0.0 510 531
Por lo tanto, la tasa efect iva equivalente será de 0.0 510 531, que es aproximadamente
5.11%
Ejemplo 28
Encontrar la tasa nominal im convertible trimestralmente, equivalente a una tasa efect iva de
5% anual.
i = 0.05
m = 4
1
(1 ) 1m mi m i
Sustituyendo valores:
1 14 44 (1 0.05) 1 4 (1.05) 1mi
4 1.012 1 4(0.012) 0.049 088mi
4.9%mi
La tasa nominal convertible trimestralmente será de 0.049 088 que es
aproximadamente 4.91%
Cálculo de la tasa de interés efectivaEn la fórmula del interés compuesto, si se conoce el valor presente C, el valor futuro M y el
t iempo n, sólo queda determinar el valor de i.
(1 )nM C i
(1 )nMi
C
Despejando i se tiene:1
1nM
iC
Ejemplo 29
¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva, necesaria para que un capital inicial de $1 200 se
incremente a $1 600 en 6 años?.
M = $1 600
C = $1 200
n = 6
Sustituyendo valores:
1166
1 6001 (1.3 333 333) 1 0.049 115
1200i i i
Por lo tanto, i = 4.91%
Cálculo del tiempo
Uti lizando la ecuación del monto compuesto
M = C ( 1 + i ) n
Despejando n
M C n ilog log log(1 )
M P n ilog log log(1 )
M Cn
i
log log
log(1 )
Ejemplo 30
Encontrar el t iempo n, en que un capital de $2 000 se convert irá en $3 500 si la tasa de
interés efectiva es de 4% anual.
M = $3 500
C = $200
i = 0.04
Sustituyendo valores en:
M Cn
i
log log
log(1 )
nlog3 500 log 2 000 3.54 407 3.30 103 0.24 304
14.271 286log(1 0.04) 0.01 703 0.01 703
Por lo tanto:
n = 14.27 años
Valor actual a interés compuestoEl valor actual a interés compuesto de un dinero que se reciba en fecha futura es aquel capital
que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de
dinero que se reciba en la fecha convenida.
Si el interés es efectivo:
(1 )nM C i
Si el interés es nominal:
1mnmi
M Cm
Donde:
C = Capital inicial o valor presente
i = interés efectivo
im = interés nominal
n = tiempo
m = número de veces que se capitaliza el interés
La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital
en un momento posterior.
Uti lizando la ecuación:
(1 )nM C i
Se obtiene:
Para una tasa efectiva:
(1 )n
MC
i
O bien para una tasa nominal:
1
1
mnm
mnm
M iC M
mim
Ejemplo 31
H allar el valor presente de $5 000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anual de 6%.
C = $5 000
i = 0.06
n = 5
Sustituyendo valores en:
(1 )n
MC
i
5 5
5 000 5 000
(1 0.06) (1.06)C
5 0003 736.29
1.3 382C
C = $3 736.29
Ejemplo 32
H allar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga 15% con capitalización
trimestral, para disponer de $20 000 al cabo de 10 años.
im = 0.15 efect iva trimestral
n = 10 años
m = 4
M = $20 000
C = ?
1mnm
MC
im
(10)(4) 40
20000 20000
(1 0.0375)0.151
4
C
40
20 000 20 0004 586.75
(1.035) 4.3 607C
$4 586.75C
Actividad 2
1. Un joven empresario quiere saber cuál es el valor futuro de 14 000 que tiene disponibles
en este momento para ahorrar. Si la tasa de interés compuesto que asigna el banco es de
8% capitalizable bimestralmente y desea ahorrarlos durante 8 años.
2. Un prestamista desea ganar 15% anual sobre préstamos, cobrando intereses capitalizables
semestralmente. ¿Cuál es la tasa nominal que deberá cobrar?
3. Dos amigos desean saber cuál será el monto de 13 000 y 20 000 pesos respectivamente si
ambos ahorran ese dinero durante 8 años a 5.5% de interés, el primero trimestralmente
y el segundo semestralmente.
5.5 Evaluación de alternativas financieras de negoc io
En la actualidad de los negocios, los procesos de toma de decisiones se dan a partir de llevar a
cabo adecuadas evaluaciones de diferentes opciones o alternativas, y el caso f inanciero no está
exento de ello. Por el lo, es que la evaluación se debe llevar de la manera más objetiva posible,
donde la visión cuantitativa sea la base de una decisión efectiva. Hoy en día todas las empresas
deben de llevar a cabo una evaluación de alternat ivas f inancieras, si es que desean permanecer
en el mercado y desarrollarse en su entorno de negocios.
Para llevar a cabo una evaluación efectiva, primeramente hay que identif icar si hay o
no alternativas de negocio, para enfrentarse a la toma de decisiones. Pero, ¿qué es la evaluación
de alternativas? La evaluación de alternativas de negocio consiste en comparar los costos con los
beneficios que estos generan, para así decidir sobre la conveniencia de llevarlos o no a cabo.
Esto pretende afrontar el problema de la asignación de recursos en forma explícita,
recomendando a t ravés de distintas técnicas, la selección de una determinada iniciativa por
encima de otras alternativas del proyecto.
Se debe mencionar que la evaluación de alternativas de un negocio puede verse desde
una perspectiva financiera, económica y social en donde las dos primeras determinan la
capacidad de rentabilidad de un proyecto desde una cuestión meramente cuant itativa.
Para la evaluación social, interesa el f lujo de recursos reales uti lizados y producidos
por el negocio. Para la determinación de los costos y benef icios pertinentes, la evaluación social
precisará de la situación del país con la ejecución del proyecto versus esta misma situación pero
sin la realización del proyecto en cuestión.
Análisis de alternativasUna vez generadas las alternativas y sus probables consecuencias cuantitat ivas, se selecciona la
mejor de el las. Para ello se recomienda hacer las siguientes consideraciones.
1. Encontrar una diferenciación en tamaño de la alternativa, pues no se puede
l levar a cabo el mismo análisis para una alternativa mayor que otra. No se puede
invert ir en un negocio más de lo que es posible de redituar.
2. Considerar el método de análisis a aplicar, existen dos modalidades: los cualitativos
y los cuant itativos. Los métodos cuantitativos proporcionan un grado mayor
de precisión que los cualitativos, lo que reduce la incertidumbre y aumenta la
probabilidad de obtener éxito. Sin embargo, en la realidad la mezcla estratégica
de las dos modalidades coadyuva en la toma de decisiones más efect iva.
De esta forma, podemos definir a la evaluación de una alternativa de negocio como
un plan al cual si se le asignan recursos de capital y se le proporcionan insumos podrá generar
un bien o servicio que permita sat isfacer una necesidad.
ObjetivoLa evaluación de alternativas de negocio de inversión tiene por objet ivo conocer su rentabilidad
económica y social de manera que resuelva una necesidad humana en forma eficiente, segura
y rentable, asignando así de manera adecuada los recursos económicos con que se cuentan a la
mejor alternativa.
Conozcamos entonces cuáles pueden ser estos métodos que permiten llevar a cabo el
análisis de alternat ivas, a través de los métodos cuant itativos.
Valor del dinero a través del tiempoEs la relación que existe entre el interés y el t iempo lo que def ine el valor del dinero.
El dinero modif ica su valor en el t iempo, por el lo cualquier empresa debe considerar el
t iempo en las inversiones o préstamos que realiza, así como en la esquemat ización de las
di ferentes alternat ivas.
Ahora bien, existen tres razones de peso para considerar el valor del dinero en el t iempo:
El riesgo de ser infructuosos: riesgo de no recibir el capital en el momento futuro.
El riesgo inf lacionario: es el riesgo de que con el monto recibido no se obtenga el
mismo grado de satisfacción en el futuro que hoy.
Costo de oportunidad: del uso del capital en un momento y no en otro o para una
situación y no para otra.
Valor futuro: Interés simple o interés compuestoCualquier inversión razonable o dinero depositado, debe dar un aumento de valor en el t iempo.
La diferencia entre ambos intereses radica en que el interés compuesto genera intereses sobre
los intereses, en cambio en el interés simple, el interés es sólo función del capital.
Ejemplo con interés simple
Supongamos que un empresario hace un préstamo a un año a uno de sus trabajadores
por $10 000 sin intereses. También tiene la opción de depositar la misma cantidad en un
banco durante una año que da un interés anual del 10% y f inalmente también debe considerar
la opción de depositar la misma cantidad de capital, pero esta inversión pone como plazo
mínimo 3 años. ¿Cuál sería la mejor alternativa de negocio?
a) Préstamo al empleado:
$10 000
b) Depósito en el banco a un año:
$11 000
c) Depósito en el banco a tres años:
$13 000
En términos meramente matemáticos, parecería fáci l decidir y seleccionar una
alternativa, ya que de primera instancia la opción 3 es la que mayor ganancia reditúa, sin
embargo, habría que contextualizar muy bien las opciones, y esa es una act ividad inherente a la
evaluación de alternat ivas de negocio, es decir, el contextualizar las respuestas a la situación.
En nuestro caso la opción c) da mayor interés, pero que tal si el empresario a los
dos años requiere por un imprevisto su dinero, la respuesta sería que no podría hacer
uso de su capital hasta el término del per iodo pactado, pero observemos si el empresario
decide hacerle el préstamo a su empleado, en primera instancia no recibi ría ningún interés
por el préstamo, y parecería que es la peor opción o alternat iva, sin embargo, que tal si
ese empleado ha sido un excelente colaborador y además esto incide en una mot ivación
personal que se verá ref lejada en un mayor nivel de aportación del empleado a t ravés de su
t rabajo en la empresa y esto genera más ut i l idades para el negocio.
Como podemos observar el proceso de evaluación de alternativas debe ir acompañado
de una adecuada contextualización y la visión estratégica del proyecto o negocio.
Ejemplo con interés compuesto
Supongamos que un inversionista deposita $10 000 en un banco a una tasa anual de
10%. ¿Cuánto tendrá al cabo de un año y al cabo de tres? ¿Cuál es la mejor opción?
a) Luego de un año, el inversionista tendrá:
$11 000
b) Al tercer año habrá conseguido tener:
$13 310
Y nuevamente la pregunta sería cuál es la mejor opción; la respuesta es: depende de la
contextualización y situación del inversionista y la empresa.
Y = Monto del capital
Y = i + Xi
1+ ni
1+ 3i
1+ 2i
1+ i
0 1 2 3 n–2 n–1 n
Crecimiento del interés compuesto Periodos
Equivalencia asumiendo interés compuestoEn la mayoría de las estimaciones de las operaciones f inancieras se aplica el interés compuesto
por ser el más conveniente para tratar de respetar el valor del dinero en el t iempo. La forma en
que se manejan los f lujos de efectivo puede ser de las siguientes formas:
• Flujos de efectivo únicos.
• Series uniformes de f lujos de efectivo.
• Flujos de efectivo con gradientes aritméticos.
• Flujos de efectivo con gradientes geométricos.
Flujos de efectivo únicos Expresando gráf icamente esto tenemos:
1 2 3 n–1 n
Valor presente y valor futuro periodos
Monto en F
el futuro
P
Dinero
presente
Expresado matemáticamente tenemos:
F = P(1 + i)n
Donde
F = cant idad futura (monto)
P = cant idad presente (capital)
n = número de periodos (tiempo)
i = tasa de interés
Esto signif ica que para una cant idad de dinero prestada en el presente a un interés i
en n periodos de t iempo encontrará su equivalencia en el futuro, encontrando el valor al cual
corresponderá tener el dinero en el presente o en el futuro, una vez liquidado el préstamo, lo
cual nos permite tomar una decisión financiera más efect iva.
Ejemplo 33
Un inversionista solicita un préstamo al banco por la cantidad de $100 000 para comprar
máquinas despachadoras de café y refrescos para su negocio. El préstamo lo pagará al cabo
de 5 años, pagando por el lo una tasa de interés de 22% anual. ¿Cuánto pagará al término
del periodo?
i = 22% = 0.22
P = 100 000
n = 5
F = P(1 + i)n
Sustituyendo
F = 100 000 (1 + 0.22)5
F = 270 270.80
El costo de su inversión expresada en pesos es: $170 270.80 (lo que pidió prestado
y lo que realmente pagó, da como resultado el costo de la inversión).
Esto es lo que hay que evaluar, si con la inversión y operación de las máquinas
despachadoras se recupera lo que tiene que pagar y si aun después de la liquidación
del préstamo queda un excedente.
Series uniformes de flujos de efectivoComo su nombre lo expresa, signif ica que al f inal de cada periodo, se depositará un efect ivo
que en todo momento será constante, para ello será necesario llevarlo a equivalencias en el
presente y en el futuro.
Representado gráf icamente tenemos una serie de depósitos constantes al término de
cada periodo y su equivalencia en el futuro.
A A A A A A A
Serie uniforme de f lujos de efectivo y cantidad fut ura
F
0 1 2 3 n–2 n–1 n
Expresado matemáticamente tenemos:
(1 ) 1
( )ni
F Ai
Donde:
F = cant idad futura total acumulada al f inal de los periodos.
A = f lujo neto al f inal de cada periodo.
n = numero de periodos en los cuales se estarán acumulando las cantidades A.
i = interés a pagar en cada periodo acumulado.
Esto significa que irá depositando cantidades iguales al f inal de cada periodo, en
tiempos iguales, y que en cada uno de ellos se cargará un interés fijo, que además es acumulativo
lo que incrementará el monto y lo llevará a equivalente en el t iempo, para su uso como si fuera
en el presente.
Ejemplo 34
El inversionista que sol icitó un préstamo para máquinas despachadoras, quiere rentar uno
de sus kioscos y necesita saber cuánto recibirá al f inal del tercer año, si la renta se incrementa
en 05% mensual y la renta actual es de $25 000.
(1 ) 1 ( )
niF A
i
Sustituyendo:
36(1 .05) 1 2 5000( )
.05F
F = $2 395 908.06
Flujos de efectivo con gradientes aritméticosComo los negocios generan f lujos de efectivo crecientes y decrecientes en incrementos
y decrementos constantes en cada periodo, se convierte en una necesidad, adquirir los
conocimientos y las habilidades necesarias para poder calcular estas variaciones y determinar
si la alternativa de negocio fue o será la adecuada.
Expresando gráf icamente esto es: g
g
g
g
A
1
1 2 3 n–2 n–1 n
Flujos de efectivo de gradiente aritmético
La expresión matemática de lo anterior es:
A2 = g
2
1 = ( )
(1 ) 1n
nA g
i i
Donde:
A2 = f lujos de gradiente del año 2 en adelante.
g = cant idad gradiente constante que se incrementará en cada f lujo en cada periodo.
i = interés que se pagará en cada periodo.
n = periodos en los que se lleva a cabo el movimiento de la inversión.
Esto significa que A1, que es el f lujo de efectivo del primer año, se verá incrementado en
un gradiente g de magnitud constante a partir del año dos, y por lo tanto a partir del segundo año y
para cada año hasta el año n2, se irán incrementando f lujos de efectivo constantes de gradiente g.
Si embargo, en el siguiente esquema podemos ver de manera equivalente cómo se
van incrementando los f lujos de efect ivo en periodos iguales a tamaños de g iguales, lo que lo
convierte en una forma equivalente de observar el incremento constante de gradiente g a los
f lujos de efectivo futuros.
A
2
A
1
1 2 3 n–2 n–1 n
Flujos de efectivo equivalente
Ejemplo 35
El inversionista que cuenta con kioscos para servicio de cafetería y centros para sap piensa
abrir una cuenta de ahorros que paga una tasa de 16% anual. Su primer depósito será
de $50 000 y debido a que las ganancias por sus negocios se incrementan gradualmente,
también desea ahorrar incrementando sus depósitos en 10% anual constante. ¿Qué cantidad
deberá ahorrar, para que la cant idad acumulada al final de 5 años sea la misma?
2
1 = ( )
(1 ) 1n
nA g
i i
Sustituyendo:
2 5
1 5= 50 000+ 5 000 ( )
0.16 (1 0.16) 1A
2
1 5= 50 000 + 5 000 ( )
0.16 1.1 003 416A
A2 = 50 000 + 5 000(6.25 4.54)
A2 = 50 000 + 5 000 (1.71)
A2 = 55 000 + 8 550
A2 = 58 550
Flujos de efectivo con gradientes geométricosPensando en qué momentos podemos tener f lujos de efect ivo de gradiente geométrico,
concluimos que esta situación se presenta en situaciones inf lacionarias o en épocas de
recesión, donde los f lujos de efect ivo se incrementan o decrementan de manera constante en
un factor K t h.
Expresado de manera gráfica tenemos: A
I
AI –1
AI –2
A3
A
2
A1
1 2 3 n–2 n–1 n
Flujos de efectivo con gradiente geométrico
Expresado de manera matemática tenemos:
1
1 (1 ) /(1 )
( )
n nj iP A
i j
Para:
i j
1 = ( ) 1
n AP
j
Para:
i j
Donde:
P = valor presente de los f lujos de efectivo.
n = periodos de cambio.
A1= f lujo neto de efectivo en cada periodo.
j = porcentaje f ijo de cambio de cada f lujo de efect ivo.
Ejemplo 36
Un inversionista desea destinar un fondo de ahorro para construir un nuevo sap. Este
nuevo negocio contará con más servicios y nuevas tecnologías de tratamientos, la construcción
del centro se llevará a cabo en un año, mismo en el que se presentan situaciones inf lacionarias
debido a los cambios políticos en el país. Los costos de construcción se incrementarán en 3.5%
trimestral. Si el inversionista inicia su ahorro depositándolo en una cuenta bancaria que paga
2.5% trimestral. ¿Cuánto tendría que depositar el inversionista si el primer pago de construcción
es de $100 000 y suponiendo que deberá pagarlo en el primer trimestre de la obra?
1
1 (1 ) /(1 ) =
( )
n nj iP A
i j
Para:
i j
Sustituyendo:
4 41 (1 0.035) /(1 0.25)= 100 000
(0.025 0.035)P
Para i j
P = 360 000
5.6. Ecuaciones de valor
Existen diferentes problemas en los cálculos f inancieros, pero uno de el los que es básico y muy
importante es el de las inversiones equivalentes, es decir, que en valor del dinero y el t iempo
produzcan el mismo resultado económico, lo cual puede ser supuesto y resuelto a través de las
ecuaciones de valor equivalente.
Lo anterior también puede utilizarse, para resolver entre diversas alternativas de
negocio existentes y desde el punto de vista financiero, es fundamental plantear ecuaciones de
valor equivalentes, para que por medio de ellas se logre identif icar la opción que más satisfaga
las expectativas del inversionista.
Ecuación de valor Es una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, valuadas todas a una misma fecha llamada
fecha focal.
Fecha focal o fecha de valuaciónEs la fecha que se el ige para efectuar la equivalencia para cada caso y determina con exactitud
los montos de las obligaciones. Recordando que para los casos de interés simple los montos
varían de acuerdo con el t iempo.
La fecha focal es elegida arbitrariamente en la línea de t iempo a la cual harán referencia
las obligaciones y pagos para definir la ecuación de valor correspondiente.
Lo importante de un buen análisis para la determinación de esta fecha, se fundamenta
en el hecho de que debe corresponder estrictamente a lo pactado en los pagarés.
Si una persona decide en determinado tiempo cambiar la forma de liquidar alguna
de las obligaciones que haya acordado, mediante pagos de cantidades diferentes a las previstas
inicialmente y en t iempos distintos a los previamente establecidos, esto es posible siempre y
cuando sea equivalente el monto a pagar del monto inicial.
Derivado de lo anterior es importante recordar que:
1. Un mismo monto situado en dos fechas desiguales es diferente.
2. Cuando las fechas focales cambian producen variaciones en la determinación de
lo montos.
3. Únicamente si las fechas coinciden, es posible sumar, restar o igualar
dist intos montos.
Si una persona adquiere una deuda que pagará entregando $100 el día de hoy y $50
dentro de un año, y decide liquidar su deuda con un pago único en este momento, sería un
error hacer el pago por la cantidad de $150 ya que debe solicitar una bonif icación por el pago
anticipado de $50 que vence en un lapso de un año. En el supuesto que tanto el acreedor como
el deudor se sujeten a las reglas del interés simple, deben pactar una tasa de interés para la
operación, con lo cual se determinará el valor actual de los $50. Por lo tanto, si la tasa anual es
de 5% el valor actual de los $50 es:
Uti lizando la fórmula:
( )1
SP
rt
Donde:
P = Capital inicial.
S = Monto.
r = Tasa de interés.
t = Tiempo medido en años.
Sustituyendo:
50 ( )
1 (0.05)(1)P
P = 47.62
De lo cual podemos af irmar que si la persona desea hacer un pago único el día de hoy
el monto será de $147.62
Cont inuando con el ejemplo, supongamos que el deudor no cuenta con los $100 para
pagarlos en este momento y sol icita al acreedor una prorroga de un año para liquidar su deuda,
si el interés es el mismo el pago que deberá de hacer es:
Uti lizando la fórmula:
( )1
SP
rt
Donde:
S = monto
P = capital inicial
r = tasa de interés
t = tiempo medido en años
( )1
SP
rt
Despejamos el monto:
(1 )S P rt
Sustituyendo en la fórmula tenemos:
S = (100) (1 (0.05)(1))
S = (100) (1.05)
S = 105
Por lo tanto el pago total a un año es de $155, de lo cual se puede resumir:
$100 ahora y $50 en un año son equivalentes
$147.62 ahora si la tasa de interés
En la resolución de problemas en los cuales se deban combinar diferentes capitales, estos
deben ser trasladados a la misma fecha, la cual se conoce como fecha focal o fecha de comparación.
Un método recomendado para la definición de una ecuación de valor es:
a) Elaborar un diagrama de tiempo donde se coloquen las obligaciones de un lado
de la línea y los pagos del otro.
b) Def inir la fecha focal.
c) Plantear la ecuación de valor donde se igualen las obligaciones originales y los
correspondientes pagos, trasladando los montos a la fecha focal. Resulta evidente
que el traslado de los pagos puede darse de dos formas tomando como referencia
la fecha focal: la primera el traslado en el t iempo en sentido positivo (derecha) y
la segunda es en sentido negativo (izquierda), si se hace un traslado positivo se
capitaliza el pago, por lo tanto se aplican las fórmulas del monto, en cambio, si se
hace un traslado negativo se descuenta aplicando la fórmula de valor presente.
Ejemplo 37
Una persona adquiere una deuda donde debe pagar $300 en 6 meses y $400 en un año. Si
decide que hace un pago único el día de hoy por el equivalente de su deuda teniendo una
tasa de interés simple de 20% ¿Cuál es el monto a pagar?
a) Elaboración del diagrama de tiempo.
Fecha focal
Deudas originales
$300 $400
0 6 12
$x pago al contado
Obligaciones
b) Def inición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de hoy.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
Para el primer monto tendríamos:
1 ( )
1S
Prt
Para el segundo monto tenemos:
2 =( )
1S
Prt
El monto total a pagar a la fecha de hoy es:
Pt = P
1 + P
2
1 2t
21
= ( ) ( )1 1
S SP
r t r t
Como el primer monto a pagar estaba definido a seis meses, eso equivale a medio
año o 0.5 de año, por lo tanto el t1 es 0.5
Sustituyendo tenemos:
300 400( ) ( )1 (0.20)(0.5) 1 (0.20)(1)tP
O también:
300 400( ) ( )
1 1 (0.20)(1)1 (0.20)( )2tP
300 400
( ) ( )1.1 1.2tP
Pt = 272.72+ 333.33
Pt = 606.05
Nota: Es recomendable para plantear una ecuación de valor asignar x a la
variable que se va a calcular.
300 400$606.05
1 1 (0.20.1)1 (0.20. )2
x
Ejemplo 38
Una persona debe $1 000 a pagar en un año a un interés de 14%. Si realiza un trato en el
que liquidará su deuda en dos pagos de la misma cantidad a los 3 y 9 meses, ¿de cuánto
serán los pagos si se respeta el interés inicial?
Es necesario calcular cuál será el monto de la deuda de $1 000 a un año con un
interés de 14%.
(1 ) 1 000(1 (0.14 1)) 1 140S P rt
a) Elaboración del diagrama de tiempo.
Pagos
Fecha focal
$1 140 Pagos al año
0 3 6 9 12
$x 3 meses
$x 9 meses
Obligaciones
b) Definición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de pago en 12 meses.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
Para el primer pago tenemos:
(1 )S P rt
Para el segundo pago tenemos:
(1 )S P rt
Total a pagar:
1 2(1 ) (1 )S P rt P rt
Sustituyendo:
3 1(1 (0.14)( ) (1 (0.14)( )4 4S P
O también:
(1 (0.14)(0.75) (1 (0.14)(0.25)S P P
Como:
S = 1 140 obtenido anteriormente
Tenemos ahora que:
1 140 = 1.10P + 1.035P
Sumando:
1 140 = 2.135P
Despejando P
1 140 532.71
2.135P
Cada pago será de $532.71
Nota: es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la
variable a calcular.
3 1
(1 (0.14. )) (1 (0.14. )) 1 1404 4
x x
1.105 1.035 1 140x x
Ejemplo 39
Una persona contrae una deuda de $6 000, acordando un primer pago de $2 000, después
de 4 meses, un segundo pago 8 meses después de la fecha inicial de $2 000. Si la tasa de
interés es de 9% ¿qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda?
a) Elaboración del diagrama de tiempo.
b) Def inición de la fecha focal. La fecha será el últ imo día de pago.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
Pagos
Fecha focal
$6 000
0 4 8 12
$x 4 meses
$x 8 meses
Obligaciones
Nota: Es recomendable asignar la variable x para el valor a calcular.
x = P ( 1 + r t) – P ( 1 + r t) – P ( 1 + r t)
Sustituyendo tenemos:
2 1 = 6 000(1 (0.09)(1)) 2 000(1 (0.09)( ) 2 000(1 (0.09)( )3 3x
x = (6 000) (1.09) – 1.06 – 1.03
x = 6 540 – 2 120 – 2 060
x = 2 360
Nota: Es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la
variable a calcular.
2 1
= 6 000 (1 (0.09 1)) – 2 000 (1 (0.09 ) – 2 000(1 (0.09 )3 3
x
Las ecuaciones de valor pueden presentarse también en los casos del interés compuesto,
para esta situación se tiene que si se desea conocer el valor de una cantidad en el futuro sólo basta
con aplicar el factor (1+ i)n, y si se desea conocer el valor presente se aplicará el factor (1+ i)-n.
Ejemplo 40
Una persona adquiere dos deudas, por una de el las debe pagar $3 000 pasados 2 años y por
la otra debe pagar $2 000 al f inal del primer año. Se fija una tasa de interés anual de 12%
convertible cuatrimestralmente. ¿Cuánto es el monto que debe pagar el deudor si quiere
saldar su deuda hoy?
a) Elaboración del diagrama de tiempo.
Fecha focal
1 2
x $2 000 $3 000
2 000 (1.04)–3
b) Def inición de la fecha focal. La fecha focal es hoy.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
–3 –62 000(1.04) 3 000(1.04) 1 778 2 370.94 $4 148.94x
Ejemplo 41
Se compra un vehículo a un particular por la cantidad de $50 000 el comprador da un
adelanto de $10 000 y firma 2 pagarés de $5 000 cada uno que serán efectivos en los
siguientes dos años. Si se carga un interés de 7% convertible semestralmente, ¿de cuánto
debe ser el tercer pago que se efectuará al tercer año?
a) Elaboración del diagrama de tiempo.
Fecha focal
1 2 3
$5 000 $5 000 x
Total: $50 000
Adelanto: $10 000
Saldo: $40 000
b) Def inición de la fecha focal. Se toma como fecha focal el día del tercer pago.
c) Planteamiento de la ecuación de valor.
3 240 000(1 0.035) 5 000(1 0.035) 5 000(1 0.035)x
40 000(1.1 087) 5 000(1.0712) 5 000(1.035)x
44 348 5 356 5 175x
$3 3817x
Este resultado se puede comprobar con la siguiente tabla:
Tasa de interés
Cantidad original 0.035 40 000
+ I nterés al primer año 1 400
Total al primer año 41 400
– Primer abono 5 000
Saldo 36 400
+ Interés del segundo año 0.035 1 274
Total al segundo año 37 674
– Segundo abono 5 000
Saldo 32 674
+ I nterés del tercer año 0.035 1 143.59
Total 33 817.59
Actividad 3
1. ¿Cuántos años se necesitan para que un depósito de $100 000 aumente a $120 000
cuando el interés anual es compuesto a 6%?
2. Un préstamo de $12 000 se pagará como el capital y el interés al f inal del año 3 haciendo
un pago de $15 000, ¿cuál es la tasa de interés sobre el préstamo?
3. Un inversionista contrae una deuda de $80 000, acordando un primer pago de $12 000
después de 3 meses, un segundo pago 6 meses después de la fecha inicial de $12 000. Si la
tasa de interés es de 6%, ¿qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda?
5.7. Anualidades
En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales
de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no
siempre se refieran a periodos de pago anuales. Algunos ejemplos de anualidades son:
Pagos mensuales por renta.
Cobro quincenal o semanal por sueldo.
Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito.
Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
ConceptoUna anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:
1. Todos los pagos son de igual valor.
2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de t iempo.
3. Todos los pagos son llevados al principio o al f inal de la serie a la misma tasa.
4. El número de pagos debe ser igual al número de periodos.
Un ejemplo común de esta clase de pagos es la compra de una casa o un vehículo a
través de un crédito, el pago de una pensión, etcétera.
Al intervalo de tiempo entre cada uno de los pagos de la anualidad se le conoce como
intervalo de pago o periodo de renta .
Al t iempo transcurrido desde el comienzo del primer periodo hasta el f inal del últ imo
se le llama plazo de la anualidad.
La renta periódica es el monto de cada uno de los pagos expresada en unidades monetarias.
ClasificaciónLas anualidades pueden clasificarse a partir de diferentes criterios como se muestra en la
siguiente tabla:
Criterio Tipo Definición
Tiempo
CiertasSon aquellas en las que sus fechas de pago son fijas. Ejemplo, la compra
de un bien en la que se fija la fecha del primer pago y la del últ imo.
Contingentes
Son aquellas en las que la fecha del primer pago, la fecha del últ imo, o
ambas, no se f ijan de antemano; depende de algún hecho en particular
que deberá ocurrir, pero que no se sabe cuando. Ejemplos, las pensiones
privadas, las del seguro social y las pólizas de seguros.
I nterésSimples
Son aquellos en las que el periodo de pago coincide con el de capitalización
de los intereses. Por ejemplo, el pago de una renta mensual x con
intereses al y% anual capitalizable mensualmente.
Generales Son aquellos cuyo periodo de interés e intervalo de pago no coinciden.
Pagos
VencidosTambién se conocen como anualidades ordinarias y se t rata de casos
en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al f inal de
cada periodo.
Anticipados
Son aquellos en los que los pagos se efectúan al inicio del intervalo del
pago, debiendo efectuarse el primer pago de inmediato. Por ejemplo,
las primas de seguros y rentas sobre la propiedad.
I niciación
I nmediatas
Anticipada
Vencida
Son aquellas que se cobran inmediatamente después de la formalización
del contrato. Por ejemplo, la compra de bienes con pagos a mensualidades
y la primera se paga en el momento de la compra o un mes después.
DiferidasSon aquellas en las que los cobros o pagos serán un tiempo después de
adquirido el bien.
Monto de una anualidadPara calcular el monto de una anualidad es necesario sumar cada una de las rentas periódicas
con su respectivo interés compuesto, por ejemplo:
Una persona deposita anualmente $500 en una cuenta que le paga 6% de interés
capitalizable anualmente, ¿cuál será el monto acumulado de la cuenta, después de realizar el
cuarto depósito?
a) Diagrama de tiempo.
Hoy Fecha focal
$1 140 Pagos al año
0 1 2 3 4
$500 $500 $500 $500
500(1.06)
500(1.06)2
500(1.06)3
b) Descripción de los pagos realizados.
Cuarto pago $500
Tercer pago 500 (1.06) $530
Segundo pago 500 (1.06)2 $561
Primer pago 500 (1.06)3 $595.51
Monto de la anualidad $2 186.31
Determinación del montoPara el ejemplo anterior no es de gran di f icultad realizar los cálculos de cada uno de los
pagos para determinar el monto total de la anualidad, pero en caso de tener gran número
de pagos, el proceso se vuelve complejo y tedioso.
Considérese una anualidad ordinaria en donde R es el pago hecho al f inal de
cada uno de los n per iodos e i es la tasa de interés por periodo. El diagrama de t iempo
es el siguiente:
Valor presente Monto
R R ... R R
0 1 2 ... n–1 n Periodos
Ya que el primer pago se realiza al f inal del primer periodo, ganará intereses por (n-1)
periodos. El segundo pago ganará intereses por (n-2) periodos, etc. El pago final no genera
intereses. Si la fecha focal se localiza en el periodo n, entonces el monto o valor futuro de la
anualidad viene dado por: 1 2 –2 –1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n nM R R i R i R i R i
Por lo tanto, podemos ver el diagrama de tiempo de la siguiente forma:
Valor presente Monto
R R ... R R
0 1 2 ... n–1 n Periodos
1 ( 1 + i )
1 ( 1 + i ) r–2
1 ( 1 + i ) r–1
nS
El símbolo n
S se uti liza para representar el monto de un número de n pagos de una
unidad monetaria cada uno, a una tasa de interés por periodo igual a i.
Factorizando la ecuación se tiene que:1 2 –2 –11 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )n nM R i i i i
Los sumandos dentro de los corchetes de la ecuación anterior constituyen una
progresión geométrica, donde el primer término es 1, la razón común es (1+ i) y el total de
términos es n. El álgebra demuestra que la suma de términos de una progresión geométrica es
igual a:
1( –1)–1
a rs
r
Donde a es el primer término y r es la razón común, sust ituyendo los valores del
problema sobre anualidades sobre la fórmula general, tenemos:
1 (1 ) –1 (1 ) –1(1 ) –1
n n
n
i iS R R
i i
Donde:
nS = el monto de una anualidad ordinaria de n pagos.
R = valor de cada pago periódico.
i = tasa de interés.
n = número de periodos.
Ejemplo 42
Una persona deposita $500 anuales en una cuenta que paga 6% anual ¿qué cant idad habrá
en la cuenta después de que se realice el cuarto depósito?
(1 ) –1n
n
iS R
i
Tenemos:
R = 500
i = 0.06
n = 4
Sustituyendo:
4
4
(1 0.06) –1500 2 187.31
0.06S
Valor presente de una anualidad ordinariaPara calcular el valor presente de una anualidad, se realiza la suma de los valores presentes de
cada uno de los pagos.
Suponga que tiene una anualidad con pagos de una unidad de moneda R (pesos, dólares,
centavos, etc.), durante n periodos, a una tasa de interés i por periodo. A partir de esto se realizan
descuentos de cada pago hasta el principio de la anualidad, esta suma se representa como n
a .
Valor presente Monto
R R ... R R
0 1 2 ... n–1 n Pagos
1 ( 1 + i ) –1
1 ( 1 + i ) –2
.
.
.
1 ( 1 + i )r–1
1 ( 1 + i ) –r
na
Si se escribe la suma de todos los pagos descontados teniendo como fecha focal el
inicio de la anualidad tenemos:–1 –2 –( –1) –(14 ) (1 ) (1 ) (1 )n n
na i i i i
Ésta es una expresión que corresponde a una progresión aritmética, donde el primer
término es (1+ i) -1, la razón común es (1+ i) -1 y el número de términos es igual a n. Sustituyendo
estos valores en la fórmula general de progresiones geométricas tenemos:
–1 –1
–1
(1 ) (1 ) 1
(1 ) 1n
i ia
i
Si se multiplica el numerador y el denominador por (1+ i) obtenemos:
– – –(1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 1(1 )1 (1 ) 1 1
n n n
n
i i i ia
i i i i
Para obtener el valor de An, todo lo que debemos hacer es multiplicar por R, quedando
la siguiente fórmula:
–1 (1 ) n
n
iA R
iDonde:
An = Valor presente de una anualidad ordinaria con n número de pagos.
R = Valor de cada pago.
i = Tasa de interés por periodo.
n = Número de pagos.
Ejemplo 43
El señor Rodríguez adquiere un compromiso de pago de $1 000 al f inal de cada año
durante los siguientes 5 años. Si se maneja con una tasa de interés 7% anual, ¿cuál es el
equivalente en efectivo al día de hoy de la deuda?
Se t iene:
–1 (1 ) n
n
iA R
i
Sustituyendo:
–51 (1 0.07)1 000 4 100.20
0.07nA
Actividad 4
1. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los problemas de anualidad
de interés compuesto.
Número de pagos Cantidad de pago Tasa de interés Canti dad compuesta
3 $1 000 8 %
7 $8 000 6 %
3 $2 000 $7 820
10 13 % $80 000
5 $500 $4 000
$6 400 2 % $104 470
20 $4 000 $204 000
$4 750 11 % $79 429
8 10 % $100 000
$9 000 16 % $31 554
2. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los problemas de valor
actual de una anualidad.
$ Número de pagos Cantidad de un pago Tasa de interés
$2 000 9 %
$1 000 7 %
$5 000 14 %
$116 000 $8 000 %
$95 000 8 %
$100 000 $17 699 12 %
$8 000 $1 498 16 %
$88 000 $11 000 %
$200 000 $40 000 %
$300 000 17 %
3. Un contrato que cuesta $7 000 produce una anualidad de cuatro años de $2 000 anuales.
El primer pago se recibirá un año después ¿cuál es la tasa de rendimiento implícita en
este contrato?
5.8. Amortización y depreciación
Una de las aplicaciones de las progresiones aritméticas y de las geométricas la encontramos en
el cálculo de las depreciaciones a act ivos físicos.
La depreciación es la pérdida del valor de un activo físico como consecuencia de ser usado.
Para resolver las situaciones de depreciaciones es conveniente def inir los siguientes conceptos.
1. Costo . Es el valor que un act ivo físico tiene en el momento de su adquisición.
2. Valor de salvamento . Es el valor del act ivo físico que se registra al f inal de su
vida út i l.
3. Depreciación total . Es la cantidad que resulta de restar al costo del act ivo físico
el valor de salvamento.
4. Fondo para depreciación . Es el fondo donde se acumula una parte de las utilidades
de la empresa para reemplazar determinado activo físico al f inal de su vida útil.
5. Valor en libros de un activo físico . Es la cantidad que resulta de restar al costo
original del act ivo físico el fondo para la depreciación acumulada.
Causas de la depreciación 1. La duración física del activo; se incluyen las causas por:
Agotamiento.
Desgaste.
Envejecimiento.
2. La duración económica del activo; se incluyen las causas por:
Explotación por tiempo limitado.
Envejecimiento técnico.
Envejecimiento económico.
3. La duración del activo según la contabilidad; se incluyen las causas por:
Consolidación.
Polít ica de dividendos.
Polít icas t ributarias.
Cálculo de la depreciación Para poder calcular la depreciación hay que tener en cuenta:
1. El valor a depreciar.
2. El valor de recupero.
3. La vida úti l.
4. El método a aplicar.
1. Valor a depreciar . Se ref iere al costo de adquisición, sin olvidar, el valor que el bien
pueda tener para la empresa al dejar de ser úti l en su actividad (se ref iere al posible
valor de recupero).
2. Valor de recupero (recuperación). Es la estimación del valor que el bien tendrá para la
empresa una vez finalizada su uti lización. Surge de la diferencia entre el precio de venta
estimado y todas las erogaciones necesarias para retirar el bien de servicio.
Valor de recupero Precio de venta estimado - Erogaciones para retirar el bien del servicio
3. V ida útil. Es la duración que se le asigna a un bien como elemento de provecho para
la empresa.
Las bases ut ilizadas para la determinación de la vida úti l son:
Tiempo en años.
Capacidad de producción (producción total).
La elección de la base dependerá de la característica del bien y del uso que se le dará.
Métodos de depreciaciónSon los métodos que permiten estimar el gasto por depreciación de los act ivos f ijos:
1. Método de depreciación lineal.
2. Método de depreciación acelerado.
El valor estimado de la depreciación de un activo físico varía de acuerdo con el método
seleccionado para su determinación, sin embargo, la depreciación total a lo largo de la vida úti l
del activo no puede ir más al lá del valor de recuperación.
Método de depreciación lineal o en línea rectaLa aplicación de este método de línea recta, supone que el activo se desgasta por igual en cada
periodo contable, este método se emplea con frecuencia debido a que es sencillo de calcular.
C SD
n
Donde:
D = monto de depreciación anual
C = costo del activo
S = valor de desecho
n = años de vida úti l
Ejemplo 44
Uti lizando el método de línea recta, depreciar una máquina con un valor de $585 000,
cuyo valor de desecho es de $40 000 y se est ima una vida útil de 6 años.
C = $585 000
S = $40 000
n = 6
C SD
n
Sustituyendo:
585 000 40 000 545 00090 833.333
6 6C S
Dn
D= $90 833
Por tanto la depreciación anual es de:
$90 833.33
Método de depreciación aceleradaEn este método se recupera la inversión inicial original de los activos f ijos y diferidos a través
de la vía fiscal. Producen un gasto por depreciación más grande en los primeros años del uso
del act ivo fijo, que en los últimos años de su vida úti l. Algunos de los métodos de depreciación
acelerada son:
a) M étodo de depreciación creciente: Este método supone que el desgaste que se produce
es inferior en los primeros años y que aumenta progresivamente con el t iempo.
• Creciente por suma de dígitos.
b) M étodo de depreciación decreciente: Este método determina cuotas de depreciación
con disminución progresiva hacia los últimos años de la vida út il.
• Decreciente a porcentaje fijo sobre saldo.
Método de depreciación creciente• Creciente por suma de dígitos de años. El método establece la identif icación del
factor o fracción de depreciación La depreciación para cada año quedará expresada por
la fracción cuyo denominador es la suma de los números (desde 1 hasta n) de los años
de vida esperada del act ivo; y como numerador, el entero que corresponda al ordenar de
mayor a menor los años de vida úti l del activo.
Ident if icación del denominador:
año 1 + año 2 + año 3 + .... + año n = denominador
O puede también uti lizarse la fórmula:
( 1)
2n n
s denominador
Donde n corresponde al t iempo de vida úti l.
Ident if icación del numerador:
año n año n-1 año n-2 .... año 2 año 1
Ejemplo 45
Si la vida útil de un activo se estima en seis años, identif icar las fracciones de depreciación.
El denominador corresponde a la suma de los números de 1 a n:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Y el numerador corresponde a los años en orden invert ido:
año: 1º 2º 3º 4º 5º 6º
6 5 4 3 2 1
Y la fracción que se depreciará cada año es: ( año/21 )
Depreciación:
Generalizando la fracción puede expresarse como:
1
( 1)k n
i
n kf
i
Para obtener la depreciación al f inal de cada año se multiplica la fracción por la
base de depreciación.
( )i kD C S f
y la depreciación acumulada se obt iene multiplicando la base de depreciación
por la suma de las fracciones acumuladas hasta el año en cuestión.
1
( )j
j kk
D C S f
Donde : j es el año en el que interesa calcular la depreciación acumulada.
Ejemplo 46
Uti lizando los resultados de los ejercicios uno y dos, obtener la depreciación total acumulada
para el cuarto año.
Del ejercicio uno se tiene:
(C – S) = $545 000
Del ejercicio dos se tienen las fracciones:
Entonces la depreciación acumulada para j = 4 será:
4
6 5 4 3(545 000) (545 000)(0.8 571) 467 142.86
21 21 21 21D
D4 = $467 142.86
En la siguiente tabla se muestra un concentrado del cálculo del gasto anual por
depreciación, de acuerdo con el método de la suma de dígitos de años.
Método: suma de dígitos de años
Año Fracción Depreciación anual Depreciación total
1 6/21 155 714.29 155 714.29
2 5/21 129 761.90 285 476.19
3 4/21 103 809.52 389 285.71
4 3/21 77 857.14 467 142.85
5 2/21 51 904.76 519 047.61
6 1/21 25 952.38 544 999.99
El método da como resultado una importe de depreciación mayor en el primer año y
una cantidad cada vez menor en los años subsecuentes de vida út il.
Método de depreciación decreciente• Decreciente a porcentaje fijo sobre saldo . En este método se aplicará un porcentaje
constante sobre el valor en l ibros o valor por depreciar del act ivo. Puesto que el valor en
libros disminuye cada año, los cargos por depreciación son elevados al principio y luego
se hacen cada vez menores al aplicar el porcentaje f ijo.
Sean:
C = El costo inicial que se supone igual al reemplazo.
V1, V2, V3, ......., Vk = los valores en libros al f inal de los años 1, 2, ..., k;
n = El número de años de vida úti l.
r = El porcentaje f ijo.
el valor en libros al f inal del primer año:
1 0 0 (1 )V V V r C Cr r
Al f inal del segundo año:
2 1 1 1(1 ) (1 )(1 )V V V r V r C r r
Sucesivamente para el año n:
(1 )nnV C r
Uti lizando esta fórmula es posible conocer el valor en libros al f inal de cualquier año
que será igual al valor de salvamento (S).
(1 )nnV S C r
Bajo este método la depreciación anual será dada por la siguiente fórmula:
1rn nD V
Ejemplo 47
Una compañía tiene un equipo cuyo valor es de $55 000. Se calcula que su vida útil será
de 4 años y que al f inal de ella su valor de desecho será de $10 000. Determínese la tasa de
depreciación que debe aplicarse.
C = $55 000
S = Vn = $10 000
n = 4 años
(1 )nnV S C r
H aciendo el despeje de r se tiene:
1 nS
rC
410 000
1 1 0.3 672 0.6 32855 000
r
Por tanto el porcentaje a aplicar será de:
r = 63.28%
AmortizaciónUna amort i zación es la disminución o ext inción gradual de cualquier deuda durante un
t iempo determinado. L a amort i zación de un préstamo se da cuando el prestatar io paga
al prestamista un reembolso de dinero prestado en un cier to plazo con tasas de interés
est ipuladas. Conceptos relacionados.
Definiciones fundamentales Amortización. Cualquier pago periódico o no destinado a reponer el principal de una deuda.
Liquidación. Cualquier pago que incluye la amortización y el pago de intereses de una deuda.
Fondo de amort ización. Cant idad de recursos monetar ios que se acumulan con el
objet ivo de amor t izar una inversión o deudas a t ravés de una imposición cier ta con tasa
y plazos preestablecidos.
Término o cuota del fondo de amortización. Los abonos colocados a la tasa del fondo de
amortización y cuyo monto corresponde con l al de u del que se desea amortizar.
En la actualidad es común contraer créditos o deudas para la adquisición de bienes.
Una forma de pago de estas deudas consiste en def inir un número de pagos cada cierto tiempo
de una cant idad establecida, como ya estudiamos en capítulos anteriores a esto se le conoce
como anualidad. Se puede considerar que cada pago realizado se compone tanto del interés
como del pago del préstamo, por lo tanto, conforme se van realizando los pagos el saldo
deudor disminuye y en consecuencia el interés asociado al saldo decrece. Por lo tanto conforme
la deuda va disminuyendo, mayor parte del pago estará destinada a liquidar el saldo deudor, a
este proceso se le conoce como amort ización.
Formulario
Pago periódico 1 (1 ) n
CiR
i
Donde:
R es la renta periódica
C es el monto de la anualidad
i es la tasa de interés
n es en número de pagos
Capital insoluto1 (1 ) n
n
iRa R
i
Donde:
R es la renta periódica
i es la tasa de interés
n es en número de pagos
Total de intereses
pagadosn R–C
Donde:
R es la renta periódica
C es el monto de la anualidad
n es en número de pagos
Determinación del pago de amortización
Ejemplo 48
Una persona adquiere una deuda de $2 000 con una tasa de interés de 10% anual, si debe
saldar la deuda en tres pagos anuales, ¿de qué monto son los pagos?
Como ya se sabe:
1 (1 ) n
CiR
i
Donde:
R = Monto a pagar.
C = Monto de la anualidad.
i = Tasa de interés.
n = Número de pagos.
Por lo tanto si se tiene que:
C = 2 000
i = 0.10
n = 3
Sustituyendo en la fórmula:
3
2 000(0.10)
1 (1 0.10)R
3
2001 (1.10)
R
200
1 (0.7 513)R
200
0.2 486R
804.23R
Por lo tanto se requieren tres pagos de $804.23 para saldar la deuda.
Ejemplo 49
Una persona compra un automóvil mediante un crédito de $200 000 y que será pagado
en un plazo de 2 años con una tasa de interés 3% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el
monto de los pagos mensuales? y ¿cuánto es el cargo total debido a los intereses?
Si se tiene que:
C = 200 000
.030.0025
12i
n = (12)(2) = 24
Sustituyendo en la fórmula inicial se tiene que:
1 (1 ) n
CiR
i
24 24
200 000(0.0 025) 500 500 5008 596.24
1 (1 0.0 025) 1 (1.0 025) 1 0.9 418 0.0 582R
Por lo tanto se deben realizar 24 pagos de:
$8 596.24
De lo anterior se tiene que:
(8 596.24)(24) = 206 309.81
Si a esto le restamos la anualidad de 200 000 quedan 6 309.81 producto de
los intereses.
Actividad 5
1. Una persona hace una compra de $5 000 mediante un crédito, acordando que la
liquidación la realizará por medio de 10 pagos iguales, si la tasa de interés es de 12%
compuesto bimestralmente, ¿de cuánto serán los pagos f ijos?
2. $150 000 se liquidan mediante 18 pagos trimestrales durante 5 años a una tasa de
interés de 29% anual, ¿a cuánto ascienden los pagos?
3. Para la compra de un departamento una persona recurre a un préstamo a crédito de
$1 200 000, si debe saldar el crédito por medio de pagos t r imestrales durante los
siguientes 15 años a una tasa de 14% convert ible t rimestralmente, ¿de qué cant idad
serán los pagos a real izar? ¿Cuánto pagará esta persona de interés?
Tablas de amortizaciónEl proceso de l iquidación de una deuda puede expresarse mediante una tabla, la cual se
conoce como tabla de amort ización, en ésta pueden enunciarse diversos conceptos. Veamos
el siguiente ejemplo:
Ejemplo 50
Se adquiere un crédito de $1 000 a pagar durante cuatro anualidades con una tasa de
interés de 10% al año.
Si sabemos que
C = 1 000
i = 0.1
n = 4
sustituyendo en la fórmula general se tiene:
1 (1 ) n
CiR
i
4 4
1 000(0.1) 100 100 100315.46
1 (1 0.1) 1 (1.1) 1 0.6 830 0.3 170R
Por lo tanto para liquidar la deuda deberán realizarse cuatro pagos de $315.46,
cada uno de estos pagos se compone tanto del interés al saldo, como del abono al
capital, tal como lo muestra la siguiente tabla:
Periodo Capital al inicio del periodo I nterés del per iodo( i = 0.1) Pago f ijo Abono al capital
0 1 000
1 784.54 100 315.46 215.46
2 547.53 78.45 315.46 237.01
3 285.92 53.85 315.46 261.61
4 –0.95 28.59 315.46 286.87
Total 260.89 1 261.84 1 000.95
Actividad 6
1. Un préstamo de $20 000 se amort izará con 12 pagos iguales realizados semestralmente.
Si la tasa de interés es de 14% convertible cuatrimestralmente. Determinar el pago
semestral y realizar la tabla de amortización.
2. Realice la tabla de amortización para un crédito de $50 000 con un interés de 4%
convertible bimestralmente. Con pagos semestrales durante 3 años.
3. Se compra un departamento de $1 450 000 con un enganche de $800 000 y pagos
semestrales a 5 años. Si la tasa de interés es de 7% capitalizable mensualmente. Calcule
el pago periódico y realice la tabla de amortización.
Determinación de la deuda pendiente de amortización . Capital insolutoEl capital insoluto es el saldo de la deuda pendiente de pagar, este dato es importante ya que
con frecuencia la parte deudora quiere liquidar la parte restante de su deuda por medio de un
pago único. O el acreedor desea traspasar la deuda por lo que se vuelve indispensable conocer
el saldo pendiente de amort izar.
Para el caso de que la deuda sea saldada en pocos pagos, si se necesita conocer el saldo
insoluto basta con construir una tabla de amortización y verif icarlo. Pero en el caso de que se
haya preestablecido un gran número de pagos, este proceso puede ser tedioso.
Por lo que es mejor adoptar el siguiente método:
1. Determinar el monto del pago periódico.
2. Calcular con el dato anterior el monto de la anualidad que queda pendiente de
pagar, tomando en cuenta que se desea saber únicamente los pagos que faltan por
realizar, por lo que al total de pagos habrá que restarle los ya realizados.
Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 51
Un señor adquiere un crédito de $10 000 a 10 años con interés de 7.5% capital izable
mensualmente. ¿Cuál es el capital insoluto después de haber realizado 7 pagos?
Tenemos:
C = 10 000
i = 0.075/12 = 0.006
n = 10
Sustituimos para conocer el monto del pago periódico:
1 (1 ) n
CiR
i
10
10000(0.006) 60 601 033.33
1 (1 0.006) 1 0.9419 0.0580R
Una vez conocido el pago se calculará el monto de las anualidades que no han sido
saldadas. Para esto es necesario tomar en cuenta que el total de periodos de pago son
10 y que hasta el momento se han hecho 7, por lo que falta por realizar 3 pagos.
Por lo tanto:
R = 1 033.33
i = 0.006
n = 3
1 (1 ) niC R
i
Sustituyendo:
31 (1 0.006) 1 (0.9822)1 033.3 1 033.3
0.006 0.006C
0.0 178
1 033.3 1 033.3(2.9643) 3 063.070.006
Por lo tanto el saldo insoluto en el séptimo periodo es de $3 063.07, lo cual se
puede comprobar si se realiza la respect iva tabla de amort ización.
Periodo Capital al inicio del periodo I nterés del per iodo ( i= 0.006) Pago f ijo Abono al capital
0 10 000
1 9 026.67 60 1 033.33 973.33
2 8 047.50 54.16 1 033.33 979.19
3 7 062.46 48.29 1 033.33 985.04
4 6 071.50 42.37 1 033.33 990.96
5 5 074.60 36.43 1 033.33 996.90
6 4 071.72 30.45 1 033.33 1 002.88
7 3 062.82 24.43 1 033.33 1 008.90
8 2 047.86 18.38 1 033.33 1 014.95
9 1 026.82 12.29 1 033.33 1 021.04
10 –0.35 6.16 1 033.33 1 027.17
Total 332.95 10 333.30 10 000.35
Actividad 7
1. Se solicita un préstamo para la compra de una camioneta por $360 000, si se hacen pagos
mensuales durante 4 años y la tasa de interés es de 5.3% capitalizable mensualmente.
¿Cuál es el saldo insoluto después de 2.5 años?
2. Una persona compra un estéreo por $20 000 y acuerda realizar pagos semanales. Si la
tasa de interés es de 7% convertible semestralmente. ¿Cuánto adeuda en la semana 30?
3. Una deuda de $450 000, con interés de 2.3% convert ible tr imestralmente, se
amort iza mediante pagos mensuales durante 15 años. Determine el saldo insoluto
después de 7.5 años.
Cálculo del interés en un periodo determinadoOtro de los conceptos importantes en las amort izaciones es el interés correspondiente a un
cierto periodo, esto es posible a part ir del concepto anterior. Si calculamos el capital insoluto
del periodo anterior éste se multiplica por la tasa de interés, con lo que se obt iene el interés
del periodo.
Ejemplo 52
Un préstamo de 2 000 se paga t rimestralmente durante 2 años, si el interés es de 3%
convert ible mensualmente. Determine el monto del pago y el interés que se genera en el
pago 20.
Si se sabe que:
1 (1 ) n
CiR
i
C = 2 000
i = .03/12 = 0.0025
n = 12(4) = 48
Sustituyendo:
48
2 000(0.0 025) 5 544.27
1 (1 0.0 025) 1 (0.8 871) 0.1 129R
Por lo tanto deben realizarse 48 pagos de $44.27
Para calcular el interés en el pago 20 es necesario conocer el capital insoluto en
el periodo anterior, a saber, el 19 y después mult ipl icar el resultado por la tasa
de interés.
Por lo tanto:
1 (1 ) niC R
i
R = 44.27
i = 0.0025
n = 48 – 19 = 29
Sustituyendo:
291 (1 0.0 025) 1 0.9 30144.27 44.27
0.0 025 0.0 025C
0.0 69944.27 44.27(27.94) 1 236.91
0.0 025
Finalmente:
i = 1 236.91(0.0 025)= 3.09
Queda como ejercicio al lector comprobar que esta cantidad coincide con la tabla de amort ización
correspondiente al ejercicio.
Actividad 8
1. Se adquiere un televisor de plasma por $45 000 mediante un crédito de 12% anual
a pagos mensuales durante 2 años. ¿Cuánto se paga por concepto de intereses en la
mensualidad 18?
2. Se compra un servidor de $1 560 000 mediante un crédito, acordando pagos
bimestrales durante 3 años a una tasa de interés de 4.6% convertible trimestralmente.
¿Cuál es la cantidad por intereses en el pago 7, 11 y 17?
3. Una persona consigue un préstamo de $4 150 000 a pagar en 40 años, si la tasa de
interés es de 4% convertible semestralmente y realiza sus abonos cada mes. ¿Cuánto
paga en total de interés? ¿Cuál es el pago por intereses en el periodo 35, 145 y 406?
5.9. V PN y TI R: Elementos fundamentales para evaluar la efectivid ad de un proyecto
La evaluación de la efect ividad de un proyecto de inversión t iene por objet ivo conocer
su rentabil idad económica y social, de manera que solvente una necesidad humana en
forma ef iciente, segura y rentable, determinando los recursos económicos con que cuente
la mejor alternat iva.
Un proyecto de inversión se define como un método organizado y evaluado, al cual si
se le asigna capital y se le proporcionan insumos podrá formar un bien o servicio que permita
satisfacer una necesidad.
Se pueden extraer algunos puntos importantes en relación con la evaluación de la
efectividad de un proyecto de inversión:
Correcta asignación de los recursos.
Igualar el valor adquisitivo de la moneda presente con la moneda futura y estar
seguros de que la inversión será realmente rentable.
Decidir el ordenamiento de varios proyectos en función de su rentabilidad.
Tomar una decisión de aceptación o rechazo.
Un proyecto de inversión contiene siempre un grado de riesgo, ya que se basa en
estimaciones futuras, por lo cual es conveniente realizar un estudio minucioso para disminuir
esa probabilidad de riesgo.
Por el lo el desarrollo y formación de indicadores f inancieros, que muestren de manera
adecuada las características importantes del proyecto de inversión, nos permiten tomar
decisiones en t iempo y forma, las cuales repercut irán de manera importante en la consolidación
o truncamiento del proyecto.
Tipos de proyectos1. Desde el punto de vista financiero:
a) No rentables . Tienen salidas de fondos definidos y cuantif icables, pero que no
están orientados hacia la obtención de lucro o uti lidad monetaria. Por ejemplo, los
proyectos de invest igación.
b) Rentables . Se obt iene una util idad directa y palpable.
c) N o medibles . Son proyectos que t ienen cuant i f icadas las sal idas de efect ivo,
pero no pueden determinar una ut i l idad con cierto grado de seguridad. Por
ejemplo, el desarrol lo de un nuevo producto.
d) Reemplazo . Son proyectos que representan el análisis de la temporalidad de la vida
út i l de un bien, prorrogada por nuevos gastos de mantenimiento y reparación de
los bienes existentes. Ejemplo de el lo es la sustitución de maquinaria obsoleta
por nueva.
e) Expansión : Son los proyectos que aumentan la actual capacidad instalada de
producción o de venta. Un ejemplo de lo anterior es el hecho de incrementar la
inversión de activos f ijos.
2. Desde el punto de vista de la finalidad del proyect o:
Proyectos de reducción de costos.
Proyectos de nuevos productos.
Proyectos de diversif icación de servicios.
Proyectos de nuevos mercados.
Proyectos de reemplazo de equipo.
Proyectos de investigación y desarrollo.
3. Por el tamaño y actividades de la empresa:
Proyectos para toda la empresa.
Proyectos por divisiones.
Proyectos por departamentos.
Proyectos por productos o servicios.
Indicadores financierosLos indicadores financieros son obtenidos directamente de los estados f inancieros proforma.
Se seccionan para el análisis y la evaluación de sus componentes o cuentas más representativas.
Para ello se uti liza lo que se conoce como razones financieras.
Los principales indicadores, recomendados para evaluar un proyecto de inversión son
los siguientes:
Tasa interna de rendimiento o de retorno (TI R).
Valor presente neto (VPN).
Í ndice del valor presente neto (I VPN ).
Periodo de recuperación de la inversión (PRI ).
Tasa promedio de rendimiento o de retorno (TPR).
Tasa de rendimiento estimada mínima aceptada (TREM A).
Costo anual equivalente uniforme (CAUE).
Tasa promedio de rendimiento o de retorno (TPR).
Nos ocuparemos de aquellas que aportan los criterios de evaluación más importantes.
Valor presente neto ( VPN )Es la diferencia entre la suma de los valores presentes de los f lujos futuros y la inversión inicial.
Esto signif ica que:
I ndica la generación neta de recursos a valor presente.
Obtiene f lujos netos de efectivo (FNE).
Realiza evaluaciones económicas.
Permite evaluar inversiones individuales.
Elegir entre varias propuestas de inversión competit ivas.
M ide el impacto en la riqueza del accionista producida por el conjunto de
inversiones que constituyen la cartera de posibi lidades de un inversionista.
Es el criterio de evaluación de capital elegido.
La forma matemática de calcular el VPN es a través de esta ecuación:
1
= (1 ) 1x n
xx
x
VPN F i
Donde:
VPN = valor presente neto.
Fx = f lujo de efectivo.
t = tasa de descuento.
i = inversión inicial.
El valor presente neto es un indicador que comprende la actualización de los f lujos del
proyecto a lo largo del horizonte de evaluación y considera que todos los beneficios en relación
a los costos deben ser comparados en el presente.
Si el VPN es positivo se considera que el proyecto es favorable, ya que cubre
el nivel mínimo de rechazo representado por la tasa de descuento, y representa
el excedente que queda para el inversionista después de haberse recuperado la
inversión, los gastos financieros y la rentabilidad exigida por éste.
Si el VPN es igual o cercano a cero, el proyecto apenas cubre el costo mínimo.
Si el VPN es negat ivo, la rentabilidad está por debajo de la tasa de aceptación y por
lo tanto es un proyecto que debe descartarse.
Existen cuatro formas de calcular los indicadores VPN y TI R, para ello los datos se
toman del estado de resultados. Las modalidades son:
1. Producción constante, sin inf lación, sin financiamiento.
2. Producción constante, con inf lación y sin financiamiento.
3. Producción constante, con inf lación y con f inanciamiento.
4. Producción variable, sin inf lación y con financiamiento.
En el caso de la comparación de proyectos se deberá considerar que un proyecto es
mejor que otro cuando el VPN sea mayor.
Por lo tanto, si al f lujo del proyecto se le descuentan los intereses y amortizaciones, el
saldo equivaldría a la recuperación del aporte del inversionista más la ganancia por el exigible
y un excedente igual al VPN del proyecto, que representaría la ganancia adicional a la mejor
alternativa de la inversión.
El tamaño ópt imo corresponde al mayor valor actual neto de las alternat ivas
analizadas, es decir, cuando la diferencia entre ingresos y egresos actualizados se maximiza.
Si se determina la función curva, este punto se obtiene cuando la primera derivada es igual
a cero y la segunda es menor que cero, para asegurar que el punto sea máximo.
El mismo resultado se obtiene si se analiza el incremento de VPN que se logra con
aumentos de tamaño; en este caso.
Ejemplo 53
Una empresa de dulces desea hacer una inversión en equipo relacionado con el manejo
de materiales. Se estima que el nuevo equipo tiene un valor en el mercado de $100 000 y
representará para la compañía un ahorro en mano de obra y desperdicios de materiales del
orden de $40 000 anuales.
Se toma en consideración que la vida úti l est imada para el nuevo equipo es de cinco años,
al f inal de los cuales se espera una recuperación monetaria de $20 000. Se recomienda
considerar que la empresa ha fijado una TREM A (tasa de rendimiento mínima aceptable)
de 25%.
a) Uti lizando la ecuación de VPN tenemos:
1 2 3
0 2 3(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n
n
A A A AVPN A
K K K K
b) Sustituyendo los valores en la ecuación.
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 60000100 000
(1 0.25) (1 0.25) (1 0.25) (1 0.25) (1 0.25)VPN
VPN = $14 125
Como el VPN es posit ivo, se recomienda la compra del nuevo equipo.
Ejemplo 54
Se trata de la misma empresa con el mismo proyecto de inversión, pero ahora los
inversionistas fijan una TREM A de 40%, ¿qué ocurre con el VPN?
1 2 3
0 2 3(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n
n
A A A AVPN A
K K K K
a) Sustituyendo los valores en la ecuación
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 60 000100 000
(1 .40) (1 .40) (1 .40) (1 .40) (1 .40)VPN
VPN = –$14 875
Como el VPN resultó negativo, la rentabilidad está por debajo de la tasa de
aceptación, por lo tanto el proyecto debe descartar se.
En la gráf ica observamos la representación del VPN respecto a la tasa que esperan
los inversionistas. Notamos como la TREM A queda por arriba de lo que ofrece
el proyecto.
VPN
14.1
25 40 TREM A
14.8
Selección de proyectos mutuamente excluyentesEsta metodología consiste en la selección de una alternativa entre varias mutuamente excluyentes,
para ello existen varios procedimientos equivalentes y son:
1. Valor presente de la inversión total.
2. Valor presente del incremento en la inversión.
Valor presente de la inversión totalEl valor de la alternativa que se prefiera con este procedimiento deberá ser mayor a cero, ya que con
esto se asegura que el rendimiento que se alcanza es mayor que el interés mínimo atractivo.
Ejemplo 55
Nuevamente la empresa anterior debe seleccionar una de las alternativas, uti lizando una
TREM A de 25%
a) Primeramente se calcula el VPN para cada alternativa:
1 2 30 2 3(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
nn
A A A AVPN A
K K K K
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 40 000100 000 7 571
(1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25)VPN
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 40 000100 000 = 35 142
(1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25)VPN
2 3 4 5
40 000 40 000 40 000 40 000 40 000100 000 = 35 142
(1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25) (1 .25)VPN
b) Se comparan los VPN obtenidos y se encuentra que el mayor corresponde a la
alternativa B.
A = 7 571
B = 35 142
C = 18 600
Ejemplo 56
Un empresario desea saber en qué proyecto debe invertir, de tal manera que elija la
alternativa que sea inmejorable.
a) Primeramente se calculan los FNE para los cuatro proyectos.
n FNE
Tamaño individual Familiar Económico Gigante
1 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
2 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
3 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
4 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
5 $1 200 000 $1 650 000 $1 160 000 $1 800 000
6 $2 400 000 $3 150 000 $3 160 000 $3 900 000
FNE $8 400 000 $11 400 000 $8 960 000 $6 000 000
Para esto se suman los ingresos de cada periodo para cada alternat iva.
FNE= 1 200 000+1 200 000+1 200 000+1 200 000+1 200 000+ 2 400 000= 8 400 000
b) Se calcula el VPN para cada alternativa.
Proyecto individual
11 200000
(1 .20)$1 000 000
2 2
1 200000
(1 .20)$833 333
3 3
1 200000
(1 .20)$694 444
4 4
1 200000
(1 .20)$578 704
5 5
1 200000
(1 .20)$482 253
6 6
1 200000
(1 .20)$803 755
FNE $4 392 490
I nversión inicial $3 000 000
VPN $1 392 490
Proyecto familiar
11 650000
(1 .20)$1 375 000
2 2
1 650000
(1 .20)$1 145 833
3 3
1 650000
(1 .20)$954 861
4 4
1 650000
(1 .20)$795 718
5 5
1 650000
(1 .20)$663 098
6 6
1 650000
(1 .20)$1 054 929
FNE $5 989 439
I nversión inicial $4 500 000
VPN $1 489 439
Proyecto económico
11 160000
(1 .20)$966 667
2 2
1 650000
(1 .20)$805 556
3 3
1 160000
(1 .20)$671 296
4 4
1 160000
(1 .20)$559 414
5 5
1 160000
(1 .20)$466 178
6 6
3 160000
(1 .20)$1 058 278
FNE $4 527 388
I nversión inicial $5 250 000
VPN –722 612
Proyecto gigante
11 800000
(1 .20)$1 500 000
2 2
1 800000
(1 .20)$1 250 000
3 3
1 800000
(1 .20)$1 041 667
4 4
1 800000
(1 .20)$868 056
5 5
1 800000
(1 .20)$723 380
6 6
3800000
(1 .20)$1 306 102
FNE $6 689 204
I nversión inicial $6 000 000
VPN 689 204
El proyecto económico se descarta por ser negativo, la alternativa que ofrece el VPN
más alto corresponde al proyecto familiar.
Valor presente del incremento de la inversiónPara este procedimiento se siguen los siguientes pasos:
1. Colocar las alternativas en un orden ascendente de acuerdo con la inversión inicial.
2. Seleccionar la alternat iva de menor costo.
3. Comparar la mejor alternativa con la consecutiva dada del punto uno.
4. Repetir el procedimiento cuantas veces sea necesario hasta haber analizado todas
las alternativas.
Ejemplo 57
Nuevamente partiendo de nuestro ejemplo de la empresa anterior, aplicar los pasos dados
para determinar la mejor alternativa, considerando la TREM A de 25%.
a) Ordenar las alternativas
5
1
40 000100 000 = 7 571
(1 .25)A ii
VPN
5
1
40 00080 000 = 27 571
(1 .25)B A ii
VPN
5
1
40 00030 000 = –16 553
(1 .25)C B ii
VPN
b) Comparar las alternativas de acuerdo con el monto.
La alternativa más viable es la B, debido a que es la más alta y el VPN no es menor
a cero como en el tercer caso.
Tasa interna de retorno ( TIR)Es la tasa a la que se transportan o descuentan los diferentes f lujos futuros de efectivo a su
valor presente para igualar la inversión, es decir, la tasa de descuento que implica un valor
presente neto igual a cero.
(VPN = 0)
x n
x
VPN Fx –n
1
(1+ i) –1= 0.00
Donde:
i= I nversión.
La TI R ref leja el rendimiento de los fondos invertidos, siendo un elemento de juicio
muy usado y necesario cuando la selección de proyectos se hace bajo una óptica de racionalidad
y eficiencia f inanciera.
La TI R o rentabilidad financiera de un proyecto se define de dos formas:
1. Es aquella tasa de actualización que hace nulo el valor actual neto del proyecto, es
decir, cuando el VPN es cero, situación que se observa en la siguiente gráf ica:
15 +
0 2 6 8 10 2+2220181612 1++
TIR
VPN
–1 + +
1.09 +
2.+ 38
A diferencia del VPN la TI R supone que el cálculo de ésta va al encuentro de una tasa de
interés, generalmente mediante tanteos.
3. La TI R es la máxima tasa de interés que puede pagarse o que gana el capital no
amortizado en un periodo de t iempo y que conlleva la recuperación o consumo
del capital.
Para despejar confusiones, la TI R no es un rendimiento constante sobre la inversión
inicial, sino sobre la parte de la inversión no amortizada.
Esta característica mal entendida ha sido la base de críticas sobre la TI R, argumentando
que ésta implica la reinversión de los beneficios, sin embargo, reconociendo que el rendimiento
no es siempre sobre el capital inicial, se debe aceptar entonces que la tasa de rendimiento
calculada no implica la reinversión, pues no se considera la uti lización que el inversionista haga
de los beneficios generados, ésa es una cuestión independiente al concepto TI R.
TI R con flujos constantes sin inflaciónBajo ésta se consideran los FNE a lo largo del t iempo.
La producción será constante.
Los ingresos y los costos permanecen constantes.
Como la TI R espera la suma de los f lujos descontados sea igual a la inversión inicial,
entonces la i actúa como tasa de descuento y por consecuencia los f lujos a los que se les aplica,
se convierten en f lujos descontados.
1 2
(1 )1 (1 )2 (1 )
FNE FNE FNE nP VS
t t t n
Ejemplo 58
La inversión inicial es:
P = $5 935 000
FNE del primer año:
A = $1 967 000
Se considera una anualidad ya que permanecen constantes durante los cinco años.
TM AR sin inf lación es de 15%
VS = $3 129 000
Periodo = 5 años
a) 1 2 3 4 5 FNE FNE FNE FNE FNE A
b) 5
5 5
(1 + i) + 3 1295 935 000 = 1 967
i (1 + i) (1 + i)
c) La i que satisface a la TI R del proyecto es i = 27.6 734 469%
Este valor deEste valor de TI R se obtuvo de una manera de ensayo, es decir, que proponiendo
valores de interés (i) satisfagan el valor de la inversión.
La decisión de inversión con base en la tasa interna de retorno es también muyLa decisión de inversión con base en la tasa interna de retorno es también muy
sencilla, se debe seleccionar el proyecto cuya TI R sea mayor a la TREM A, en caso contrario
se rechaza.
Un proyecto es mejor que otro cuando se posee una TI R más alta.
1 2
1 2 – 0
(1 ) (1 ) (1 )n
F N E F N E F N E nTIR I
t t t
Nomenclatura:
TI R = tasa Interna de Retorno.
FNE = f lujo neto de efect ivo.
t = tasa de descuento.
I = inversión inicial.
Cuando uti lizamos el Valor Presente Neto (VPN ) para calcular la TI R debemos
tomar en cuenta el mínimo común múltiplo de los años de vida út il de cada alternativa, sin
embargo, cuando se hace uso del CAUE, sólo es necesario tomar en cuenta un ciclo de vida de
cada alternat iva, pues lo que importa en este caso es el costo de un año; esto la puede hacer de
más fáci l aplicación.
Se puede l levar a cabo la evaluación de proyectos de manera individual o de alternativas
de inversión.
Evaluación de proyectos de inversión individuales.
Ejemplo 59
Un terreno con una serie de recursos fér t i les por su explotación produce $100 000
al f inal de cada mes durante un año; al f inal de este t iempo, el terreno podrá ser
vendido en $800 000. Si el precio de compra es de $1 500 000, hal lar la Tasa I nterna
de Retorno (T I R).
a) Primero se dibuja la línea de t iempo.
$800 000
$100 000 $100 000 $100 000 $100 000
1 2 3 12
$1 500 000
b) Luego se plantea una ecuación de valor en el punto cero.
–1–1 500 000 100 000 12 800 000 (1 ) 0a i i
100 000 a 12i quiere decir que los doce f lujos de efectivo de esta cantidad deberán
ser elevados a una tasa de retorno i, que es la que se desconoce y que será la que
se calcule para que satisfaga el valor de la venta del terreno.
La forma más sencilla de resolver este tipo de ecuación es elegir dos valores para i
no muy lejanos, de forma tal que al realizar los cálculos con uno de ellos, el valor
de la función sea positivo y con el otro sea negat ivo. Este método es conocido
como interpolación.
c) Se resuelve la ecuación con tasas diferentes que la acerquen a cero.
1. Se toma al azar una tasa de interés i = 3% y se reemplaza en la ecuación de valor.
–1 500 000 + 100 000 a 12 3% + 800 000 (1 + 0.03) -1 = 56.504
2. Ahora se toma una tasa de interés más alta para buscar un valor negativo y
aproximarse al valor cero. En este caso tomemos i = 4% y se reemplaza en la
ecuación de valor.
–1 500 000 + 100 000 a 12 4% + 800 000 (1 + 0.04) -1 = –61 815
d) Ahora se sabe que el valor de la tasa de interés se encuentra entre los rangos de
3% y 4%, se realiza entonces la interpolación matemát ica para hallar el valor que
se busca.
1. Si 3% produce un valor de $56 504 y 4% uno de –61 815, la tasa de interés para
cero se hallaría así:
3 – – – – – 56 504
i – – – – – 0
4 – – – – – –61 815
2. Se ut iliza la proporción entre diferencias que se correspondan:
i
56 504 ( 61 815)3 43 (56 504 0)
3. Se despeja y calcula el valor para la tasa de interés, que en este caso sería:
i = 3 464%, que representaría la tasa efect iva mensual de retorno.
Actividad 9
1. Suponga que un proyecto requiere una inversión neta de 10 000 y promete una anualidad
de 4 años, cuyos f lujos de caja son de 40 000 al año. Se supone que la tasa requerida de
rendimiento sea de 16%. ¿Cuál será el VPN?
2. Un inversionista desea saber qué proyecto le conviene llevar a cabo, para el lo cuenta con
la siguiente información:
n A B C
1 $2 500 $4 600 $600
2 $2 650 $1 500 $1 100
3 $2 000 $1 900 $1 600
4 $2 900 $2 600 $1 850
FNE $10 050 $10 600 $5 150
I nversión inicial $5 700 $3 800 $2 200
Uti lizando el criterio de VPN encuentre la alternativa de negocio que conviene al
inversionista.
3. Se piensa en un proyecto cuya inversión neta es de $60 000 con los siguientes f lujos
de caja. Para los años 1, 2 y 3 $30 000, para los años 4, 5 y 6 de $19 000 y se requiere
obtener un rendimiento de 16%. Determinar si el proyecto se acepta o no con base en
el criterio de VPN.
4. Un ejecut ivo f inanciero desea saber cuál es el valor de la TI R para una inversión de
$24 000 para cinco años con los siguientes f lujos $5 000, $7 000, $9 000, $9 000 y
$12 000 respectivamente y una tasa de 18%.
5. Considerando el problema anterior (ejercicio 2) del inversionista que desea saber qué
proyecto le conviene llevar a cabo, entre el A, B, C y considerando el criterio del VPN
y la TI R, indique cuál es la alternativa recomendada si la tasa de rendimiento que el
inversionista espera obtener es de 19%.
5.10. Aplicación del análisis matemático-financier o a la rentabilidad de la empresa
Las personas que están envueltas en un entorno socio-económico en constante cambio, en el
cual la incert idumbre de lo que pueda suceder con sus empresas es una constante, necesitan
disponer de métodos o instrumentos para evaluar su funcionamiento en cualquiera de los
periodos de su existencia; en el pasado, para apreciar la verdadera situación que corresponde
a sus actividades; en el presente, para realizar cambios en bien de la administración, y en el
futuro para real izar proyecciones que contribuyan al crecimiento de la misma.
La columna vertebral del análisis f inanciero se encuentra en la información que
proporcionan los estados f inancieros de la empresa. Esta información será relevante en
diferente medida y uso, ya sea por parte de quien la elabora y de quien la uti lice, puesto que
cada interesado tiene objet ivos específ icos diferentes.
Entre los análisis más conocidos y usados están el balance general y el estado de
resultados (también l lamado de pérdidas y ganancias) que son preparados, casi siempre, al
f inal del periodo de operaciones por los administradores, en los cuales se evalúa la capacidad
de la organización para generar f lujos favorables según la recopilación de los datos contables
derivados de los hechos económicos.
También existen otros estados financieros que en ocasiones no son tomados en cuenta
y que proporcionan información úti l e importante sobre el funcionamiento de la empresa,
entre éstos están el estado de cambios en el patrimonio, el de cambios en la situación f inanciera
y el de f lujos de efectivo.
Los fundamentos del análisis matemático financiero son:
Análisis de información que apoye la toma de decisiones.
Determinar los costos de oportunidad.
I nformación técnica.
I nterpretación de resultados.
Retroalimentación.
En las f inanzas existen muchos instrumentos de análisis út i les para invest igar,
medir y evaluar el estado f inanciero de una empresa, el más recurrente es el llamado razones
f inancieras, ya que éstas pueden medir en un alto grado la eficacia y comportamiento de la
empresa, muestran una perspectiva amplia del escenario f inanciero y son capaces de precisar
el grado de l iquidez, rentabilidad, apalancamiento f inanciero, cobertura y todo lo que tenga
que ver con su actividad.
Las razones f inancieras son comparables con las de la competencia y l levan al análisis
y ref lexión del funcionamiento de las empresas frente a sus competidores. A cont inuación se
explican los fundamentos de aplicación y cálculo de cada una de ellas.
Existen varias formas de clasif icar las razones financieras, ya sea por el plazo en el
que nos proporcionan información y por el t ipo de información que éstas arrojan, en ambos
casos, faci litarán el análisis oportuno de la misma. A continuación se presentan estas razones
financieras y cómo se encuentran contenidas en sus respectivas formas de presentar la
información (cabe mencionar que las razones pueden pertenecer a una o a ambas formas).
Es importante recordar que el estudio de las razones financieras es la forma más utilizada
del análisis contable. Las razones financieras pueden dividirse en cuatro grupos básicos:
• L iquidez
• Actividad
• Endeudamiento
• Rentabil idad
Índices o razones de liquidezMuestran la capacidad que tiene la empresa para generar fondos suficientes para el pago de
sus obligaciones a corto plazo a medida que éstas se vencen. I nvariablemente los indicadores
de liquidez están encaminados a determinar la capacidad del negocio para cancelar sus
obligaciones de corto plazo. Estas razones se adquieren uti lizando cifras del balance general,
específicamente datos de las cuentas operacionales del balance.
Índices o razones de actividadCalif ican la liquidez de algunas cuentas operativas específicas, como las de cuentas por cobrar,
la de los inventarios y la de las cuentas por pagar. Evalúan la gestión o manejo que se hace de
las cuentas antes sugeridas, por eso se les llama razones de actividad.
Los indicadores de actividad miden la eficiencia del manejo de las cuentas operacionales
de la empresa, en especial las de los activos corrientes. Tienen un objetivo básico y es el de
determinar la rapidez o velocidad de rotación durante el periodo analizado, a mayor rotación más
liquidez, es decir, más rápido se convierten en efectivo. Para simplif icar el cálculo normalmente
se toma el periodo anual de 360 días y el mensual de 30 días.
Índices o razones de endeudamientoSon las diferentes relaciones de los rendimientos de la empresa.
Índices de rentabilidadEsta razón es denominada también rentabilidad de la inversión, rendimiento de la inversión o
rendimiento del activo.
I ndica cuánto genera en util idades para los socios cada peso invertido en la empresa.
Muestra el porcentaje de uti lidad logrado con la inversión total del negocio (total de activos),
es decir, la uti lidad que genera la entidad por cada cien pesos invertidos en activos.
Las razones financieras a corto plazo Se definen más por lo dinámico de los conceptos que se comparan que por los periodos que
ref lejan, ya que para obtenerlas se toman los saldos finales de cada periodo, generalmente un
año. A continuación presentamos las relaciones más representativas y conocidas.
Capital de trabajoRepresenta el monto de recursos que la empresa t iene destinados para cubrir las erogaciones
necesarias para su operación. Puede expresarse en índice y, conocida como razón circulante,
significa que son las unidades monetarias que la empresa tiene para cubrir sus obligaciones a
corto plazo.
Usualmente se le ha l lamado capital de trabajo, aunque el nombre correcto debe ser
capital neto de t rabajo. Muestra de cuánto dispondría una empresa, después de pagar sus
obligaciones corrientes, para llevar a cabo sus operaciones en los meses siguientes de una
manera normal; también puede decirse que muestra la capacidad que tiene la empresa para
enfrentar los pasivos corrientes y operar normalmente.
( )Capital de trabajo Activocirculante Pasivocirculante
Por lo tanto, el capital de trabajo
signif ica cuánto le quedaría a
la empresa, representado en
act ivos corrientes, después de pagar en forma total los pasivos corrientes para desarrollar sus
operaciones normales.
Ejemplo 60
Una empresa industrial de plásticos proporciona la siguiente información:
Concepto 31 Diciembre 31 M arzo 31 M ayo 30 Septiembre
Activo circulante
Efectivo 19 488 1 877 904 8 266
Cuentas por cobrar 8 344 8 189 10.017 62 968
I nventarios
M aterias primas 20 118 6 863 783 619
Artículos en proceso 0 6 211 4 233 0
Artículos terminados 3 451 29 456 50 931 5 520
Sumas 51 445 52 596 66 868 77 373
Pasivo a corto plazo
Cuentas por pagar 173 472 740 295
Documentos por pagar 0 0 11 250 6 800
Sumas 173 472 11 990 7 095
Capital de trabajo 51 272 52 124 54 878 70 278
Uti lizando la fórmula tenemos:
( )Capital de trabajo Activocirculante Pasivocirculante
Sustituyendo para cada periodo tenemos:
Capital de trabajo= (51 445 –173)
51 272Capital de trabajo
Prueba del ácidoRepresenta las unidades monetarias disponibles para cubrir los adeudos a los acreedores a
corto plazo. Esta razón es frecuentemente ut ilizada para evaluar la capacidad inmediata de
pago que t ienen las empresas.
ActivodisponibleÁcido
Pasivocirculante
La prueba ácida se puede considerar como un buen indicador
de liquidez inmediata. Esta razón ofrece un cálculo de la
l iquidez solamente cuando los inventarios de la empresa no
puedan convert irse fáci lmente a efect ivo. Si el inventario es
bastante líquido (de fáci l venta) el índice de corriente es preferible para analizar la l iquidez.
Rotación de clientes por cobrar
Im
IngresosdeoperaciónR deC
portedecuentaspor cobrar aclientes Im
Refleja el número de veces que han rotado
las cuentas por cobrar en el periodo. El
total de días del periodo generalmente es
un año, es decir, 360 días.
Total dedíasdel periodo
NúmerodedíaspromedioÍndicederotación declientespor cobrar
Número de días promedio
en los que se recuperan las
cuentas por cobrar
5.10.1. Las razones financieras a largo plazo
Son las que se obtienen de ut ilizar las cuentas o conceptos que se modif ican en plazos
generalmente mayores a un año. El ejemplo clásico son las modificaciones al capital contable.
Otra característica es que uti lizan el pasivo a largo plazo para obtener indicadores que proveen
de elementos para interpretar a la entidad económica en el largo plazo.
Razón de propiedad
Capital contable
Razón depropiedadActivototal
Este índice ref leja la proporción en que los dueños
o accionistas de la empresa han aportado para la
compra del total de los activos.
Razones de endeudamiento
Total del pasivo
Razón deendeudamientoTotal del activo
Esta proporción es complementaria al punto
anterior ya que signif ica el porcentaje que se
adeuda del total del activo.
Razón de extrema liquidezEsta razón es de vital importancia para los acreedores de una empresa y ref leja la capacidad de
pago que se tiene al f inalizar un periodo.
Activocirculante
Razón deextrema liquidezTotal del pasivo
Representa las unidades monetarias
disponibles para cubrir el pasivo total.
Esta situación sólo se presentaría
al l iquidar o disolver una empresa por
cualquier causa; ya sea legal, extinción por plazo, económica o que la empresa no pueda
continuar con el objetivo social.
Resultados en función del valor de las accionesSe pueden evaluar los resultados mediante las siguientes razones:
Valor contable de las acciones
Total del capital contable
Valor contabledeacciónNúmerodeaccionessuscritasopagadas
Representa el monto que se
paga a cada accionista al
terminar un periodo de
operaciones. Éste indica el
valor de cada t ítulo.
La utilidad por acción
Utilidad neta
Utilidad por acciónNúmerodeaccionessuscritasopagadas
Representa el total de
ganancias que se obtienen
por cada acción vigente
adquirida.
Acciones por rendimiento logrado en un ejercicio.
Tasa de rendimiento
Utilidad netaRendimiento
Capital contable RenRendimiento
Significa la rentabil idad de la inversión total de los
accionistas. I ncluye la aportación de éstos y las
ut i l idades acumuladas.
La relevancia que posee una inversión futura, así como el determinar el momento en
que se podrán obtener uti lidades, son evaluadas con el siguiente indicador:
Punto de equilibrio Éste representa el volumen de la operación o nivel de ut ilización de la capacidad instalada, en el
cual los ingresos son iguales a los costos. Por abajo del punto de equilibrio la empresa obtiene
pérdidas y por arriba obtiene ut ilidades.
El punto de equilibrio cuando resulta muy alto, es decir, cercano a 100% indica que el
proyecto t iene alto margen de riesgo, ya que representa la posibilidad de no alcanzar el punto
de equilibrio e incurrir en pérdidas.
El punto de nivelación puede ser determinado de diferentes maneras, pero en todos
los casos los costos fijos son el punto en el cual debe centrarse su cálculo, ya que de no existir
costos fijos, el punto de equilibrio sería cero.
Costos fijosPunto de equilibrio
Valor BrutodePr oducción – Costosvar iablestotalesdel activo Pr variables
RentabilidadToda empresa requiere medir la product ividad de los fondos compromet idos en un negocio.
Recuerde que a largo plazo lo importante es garant izar la permanencia y crecimiento de la
empresa en el mercado y por ende su valor.
Estas razones permiten analizar y evaluar las uti lidades de la empresa con respecto a
un nivel dado de ventas, de activos o la inversión de los socios.
Rendimiento sobre inversión propia
Utilidadneta
Capital contable UtilidadnetaRendimiento sobre inversión propia
Se ref iere a la rentabilidad del capital efectivo de la empresa o índice de rendimiento sobre la
inversión propia de los accionistas. Expresado en otra forma es el índice de rendimiento que se
obtiene sobre el valor en libros.
Rendimiento sobre inversión total
Utilidad neta
ActivototalRendimiento sobre inversión total =
Rentabil idad de la inversión o índice
de rendimiento sobre la inversión
propia de los accionistas. Expresa la
ef iciencia de la administración para generar ut i l idades.
Razones de utilidadEstas razones representan las ut ilidades que gana la empresa en el valor de cada venta. Éstas se
deben tener en cuenta deduciéndoles los cargos f inancieros o gubernamentales y determinan
solamente la util idad de la operación de la empresa.
Margen de utilidad bruta
Utilidadbruta
VentasnetasM argen de utilidad bruta
I ndica el porcentaje que queda sobre las
ventas después de que la empresa ha pagado sus
deudas. Eficiencia operativa de la organización.
Margen de utilidad
Utilidad neta
VentasnetasM argen de utilidad=
Ef iciencia integrada de la empresa o índice de
resultado f ino de la act ividad empresarial.
Margen de utilidades operacionales Representa las uti lidades netas que gana la empresa en el valor de cada venta. Éstas se deben
tener en cuenta deduciéndoles los cargos financieros o gubernamentales y determina solamente
la uti lidad de la operación de la empresa.
Margen neto de utilidades Determina el porcentaje que queda en cada venta después de deducir todos los gastos,
incluyendo los impuestos.
Razones de movilidadEstas razones permiten analizar la rapidez con la que se recuperan las cuentas, es decir, la
rapidez con la que se mueven los inventarios y de manera indirecta muestra cuánto produce
una empresa.
Recuperación de cuentas por cobrar Días promedio de recuperación de la cartera o ef iciencia de cobranza. También denominado
plazo promedio de cobros, es una cifra más significativa debido a que nos muestra el t iempo
promedio en que están pagando los clientes. I ndica cada cuándo, en promedio, le están pagando
las cuentas por cobrar a la empresa.
Recuperación de cuentas por cobrar (cartera)
Rotación del activo total o productividad del activ o totalNúmero de veces que la empresa vende el equivalente al valor de sus diferentes act ivos o de
su activo total.
Rotación del activo total o productividad del activo totalVentasnetas
Activototal
Rotación de inventario
CostodelovendidoRI
Inventariopromedio
Éste mide la liquidez del inventario por medio de su
movimiento durante el periodo.
Plazo promedio de inventario
360 PPI
Rotacióndeinventario
Representa el promedio de días que un artículo permanece
en el inventario de la empresa.
Rotación de cuentas por cobrar
Pr
VentasanualesRCC
omediodecuentaspor cobrar Pr
Mide la liquidez de las cuentas por cobrar por medio
de su rotación.
Plazo promedio de cuentas por cobrar
360PPCC
Rotacióndecuentaspor cobrar
Es una razón que indica la evaluación de la polít ica
de créditos y cobros de la empresa.
Rotación de cuentas por pagar
ComprasanualesRCP
Promediodecuentaspor cobrar
Sirve para calcular el número de veces que las
cuentas por pagar se convierten en efectivo en el
curso del año.
Plazo promedio de cuentas por pagar
360PPCP
Rotacióndecuentaspor cobrar
Permite vislumbrar las normas de pago de la
empresa.
Razones de liquidezL a l iquidez de una organización es juzgada por la capacidad para saldar las obl igaciones
a corto plazo que se han adquirido a medida que éstas se vencen. Se refieren no solamente a
las finanzas totales de la empresa, sino a su habilidad para convertir en efectivo determinados
act ivos y pasivos corrientes.
Liquidez mediata
Activocirculante
Liquidez mediataPasivoacortoplazo
Razón corriente o del circulante: la capacidad de
pago de la empresa a corto plazo.
Liquidez inmediata
Activocirculante InventarioInmediata
Capital contable
Prueba de ácido. Suficiencia de la empresa
para cubrir, con recursos de rápida conversión
a efectivo, sus compromisos a corto plazo.
Capital de trabajoExcedente o déf icit de recursos de rápida conversión a efectivo con los cuales se l leva a cabo la
operación de la empresa.
Capital de trabajo Activocirculante Pasivoacortoplazo
Índice de solvencia
ActivocorrienteIS
Pasivocorriente
Éste considera la verdadera magnitud de la empresa en cualquier
instancia del t iempo y es comparable con diferentes entidades de la
misma actividad.
Razones de productividadLos accionistas generalmente desean y obt ienen un rendimiento superior al que reciben los
acreedores; esto se explica por el mayor riesgo que corren los accionistas según el nivel de
solvencia de la ent idad.
Por otra parte, mientras mayores sean los fondos de los acreedores, mayores serán los
rendimientos de los accionistas; esto conlleva el uso de fondos a una tasa relativamente baja
(después del impuesto sobre la renta), ayudando a obtener mayores rendimientos para los fondos
invertidos por los accionistas, que se miden a partir de razones simples como son:
Eficiencia de la planta
Ventasnetas
Eficiencia de la plantaActivo fijo
Eficiencia en el uso de las inversiones de la empresa
en activos fijos; exceso o falta (insuficiencia) de
act ivos o ventas.
Razones de endeudamientoEstas razones indican el monto del dinero de terceros que se uti liza para generar uti lidades,
éstas son de gran importancia, ya que estas deudas comprometen a la empresa en el transcurso
del t iempo.
Apalancamiento financiero
Pasivototal
Apalancamiento financieroCapital contable
Par t icipación de los acreedores en
la empresa.
Estructura o independencia financiera
Capital contable
Estructura o independencia financieraPasivototal
Protección que ofrecen los
accionistas a los acreedores;
participación de los accionistas en
relación con terceros.
Dependencia bancaria
Pr éstamosbancariosDependencia bancaria
Activototal
PrGrado en el cual los acreedores bancarios y
otras entidades f inancieras de cualquier
naturaleza participan en el f inanciamiento
de los activos de la empresa.
Endeudamiento
PasivototalEndeudamiento
Activototal
Porcentaje de los recursos totales de la empresa que son
financiados con dinero ajeno; participación de terceros en
la empresa.
Razón pasivo-capital
arg
Pasivoal oplazoRPC
Capitalcontable
Pasivo a largo plazo I ndica la relación entre los fondos a largo plazo que
suministran los acreedores y los que aportan los dueños de
las empresas.
Razón pasivo a capitalización total
argDeudaa l oplazoRPCT
Capitalizacióntotal
Deuda a largo plazo
Tiene el mismo objet ivo de la razón anterior, pero también
sirve para calcular el porcentaje de los fondos a largo plazo
que suministran los acreedores, incluyendo las deudas de
largo plazo como el capital contable.
Razones de coberturaEstas razones evalúan la capacidad de la empresa para cubrir determinados cargos f ijos.
Éstas se relacionan más frecuentemente con los cargos f ijos que resultan por las deudas de
la empresa.
Veces que se ha ganado el interés
int
int
Utilidadesantesde ereseseimpuestosVGI
Erogaciónanual por ereses
Utilidades antes de intereses e impuestosErogación anual por intereses
Calcula la capacidad de la empresa
para efectuar los pagos contractuales
de intereses.
Cobertura total del pasivo
intGananciasantesde ereseseimpuestosCTP
Interesesmásabonosal pasivoprincipal
Ganancias antes de intereses e impuestosEsta razón considera la capacidad de la
empresa para cumplir sus obligaciones
por intereses para rembolsar el principal
de los préstamos o hacer abonos a los fondos de amort ización.
Razón de cobertura totalEsta razón incluye todos los tipos de obligaciones, tanto los f ijos como los temporales,
determina la capacidad de la empresa para cubrir todos sus cargos f inancieros.
, intUtilidadesantesdepagosdearrendamientos ereseseimpuestosCT
Intereses abonosal pasivoprincipal pagodearrendamientos
Utilidades antes depago de arrendamientos, intereses e impuestos
Al terminar el análisis de las anteriores razones financieras se deben tener los criterios
y las bases suf icientes para la toma de decisiones que mejor le convengan a la empresa, aquellas
que ayuden a mantener los recursos obtenidos anteriormente y adquirir nuevos que garant icen
el benef icio económico futuro, también verif icar y cumplir con las obligaciones con terceros
para así l legar al objet ivo primordial de la gestión administrativa, posicionarse en el mercado
obteniendo amplios márgenes de ut ilidad con una vigencia permanente y sólida frente a los
competidores, otorgando un grado de satisfacción para todos los órganos gestores de esta
colectividad.
Actividad 10
La empresa comercializadora Po-Pol-Chu presenta la siguiente información del comportamiento
que ha presentado en los últ imos años, con la finalidad de crear una fusión con otra
comercializadora, que les brinde a ambas la oportunidad de crecer en el mercado y aumentar
su capacidad financiera.
Para ello se requiere generar un análisis financiero detallado, uti lizando las anteriores
razones financieras.
Comercializadora Po-Pol-ChuBalance general (M illones pesos)
Concepto/periodo 2006 2005 2004 2003 2002 2001
Ventas 80 137 100 135 180 220
Clientes 140 190 110 200 210 300
I nventario 100 150 100 150 180 340
Circulante 320 477 310 485 570 860
Equipos 300 280 250 200 180 280
Edif icio 320 320 300 280 240 200
Gastos diferidos 200 180 240 280 290 385
Fijos 820 780 790 760 710 865
Suma del activo 1 140 1 257 1 100 1 245 1 280 1 725Pasivo
Proveedores 100 110 100 114 60 120
I mpuestos por pagar 30 50 45 80 100 110
Acreedores bancarios 20 23 28 30 32 38
Acreedores diversos 22 26 21 28 30 35
Préstamo bancario 200 260 190 220 160 200
Suma pasivo 375 439 384 472 382 503
Capital contable 59 52 50 60 46 100
Capital social 200 200 200 200 200 200
Aumento de capital 350 230 234 220 222 314
Uti lidades anteriores 85 180 123 153 230 320
Uti lidad del ejercicio 71 156 109 140 200 288
Suma de capital 765 818 716 773 898 1 222
Suma pasivo y capital 1 140 1 257 1 100 1 245 1 280 1 725Verif icación 0 0 0 0 0 0
Utilidad bruta 655 1 401 2 037 1 261 868 1 638
Pasivo a corto plazo 175 179 194 252 222 303
Rendimiento sobre inversión propiaUtilidad neta
Capital contable Utilidad neta
Ejemplo 61
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
715.9
59 71156
1.552 156
1091.84
20 109
1401.75
60 140200
1.2946 200
2881.53
100 288
Análisis de rendimiento sobre inversión propia. Esta razón indica que la empresa está perdiendo
dinero por cada peso invertido de manera proporcional al resultado de cada año.
Rendimiento sobre inversión total =Utilidad neta
Activototal
Ejemplo 62
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
710.0 622
1 140156
0.1 2421 256
1090.099
1 100140
0.1 1241 245
2000.1 565
1 280288
0.1 6691 725
Análisis de rendimiento sobre inversión total. Esta razón indica que la empresa tiene ganancias
por cada peso invertido incrementando proporcionalmente al resultado de cada año. Se puede
observar que el rendimiento es muy pequeño y que a su vez éste se va reduciendo.
M argen de utilidad bruta =Utilidadbruta
Ventasnetas
Ejemplo 63
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
6558.18
80
1 40110.22
137
2 03720.37
100
1 2619.34
135868
4.82180
1 6387.44
220
Recuperación de cuentas por cobrar (cartera ) =*Cuentaspor cobrar días
Ventasnetasacrédito
Ejemplo 64
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
140* 360630
80190* 360
499.2137
110* 360396
100200* 360
533.3135
210* 360420
180300* 360
490220
Rotación del activo total o productividad del activo total =Ventasnetas
Activototal
Ejemplo 65
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
800.070
1 140137
0.1081 257
1000.090
1 100135
0.10841245
1800.140
1 280220
0.1 2751 725
Análisis de rotación del activo total o productividad del act ivo total. I ndica que la empresa
ha estado diminuyendo la venta de la diferencia de su activo o act ivos, está consumiendo
más de lo que produce.
Activocirculante
Liquidez mediataPasivoacortoplazo
Ejemplo 66
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
3201.82
175477
2.66179
3101.59
194485
1.92252
5702.56
222860
2.83303
Análisis de liquidez mediata. Los resultados aquí mostrados indican que la empresa puede
cumplir con sus compromisos; pero también muestra que sus inventarios son muy altos o
que tienen poca rotación.
Activocirculante Inventario
Liquidez inmediataCapital contable
Ejemplo 67
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
320 1003.72
59477 150
6.2852
310 1004.2
50485 150
5.5860
570 1808.47
46860 340
5.2100
Análisis de l iquidez inmediata. La empresa puede cumplir con gran faci lidad sus
compromisos a corto plazo.
Capital de trabajo Activocirculante Pasivoacortoplazo
Ejemplo 68
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
320 175 145 477 179 298 310 194 116 485 252 233 570 222 348 860 303 557
Anál isis de margen de ut i l idad bruta. Muestra la ganancia invert ida en la empresa
antes de impuestos, es la ganancia por cada peso invert ido. Para este caso se muest ra
como del año 1997 al 2000 hubo crecimiento y del 2001 al 2002 hubo decrecimiento
en el margen de ut i l idad bruta.
Ventasnetas
Eficiencia de la plantaActivo fijo
Ejemplo 69
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
800.97
820137
0.1 756780
1000.126
790135
0 177760
1800.253
710220
0.254865
Análisis de eficiencia de la planta. Se observa que el rendimiento operativo de ésta disminuye
con los años.
Pasivototal
Apalancamiento financieroCapital contable
Ejemplo 70
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
3756.35
59439
8.4452
3847.68
50472
7.8660
3828.30
46503
5.03100
Análisis de apalancamiento financiero. I ndica que el grado de participación de acreedores es
muy grande y pueden llegar a quedarse con el negocio.
Capital contableEstructura o independencia financiera=
Pasivototal
Ejemplo 71
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
590.157
37552
0.118439
500.130
38460
0.127472
460.120
382100
0.198503
Anál isis de estructura o independencia f inanciera. Como se observa, la empresa no
t iene compromisos fuertes con terceros, es bastante independiente y no t iene deudas
signi f icat ivas.
Pr estamosbancariosDependencia bancaria
Activototal
Préstamos bancarios
Ejemplo 72
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
2000 175
1 140.
2600 2 068
1 257.
1900 1 727
1 100.
2200 1 767
1245.
1600 125
1 280.
2000 1 159
1 725.
Análisis de dependencia bancaria. La empresa es bastante independiente. Como se observó
en los otros análisis no tiene deudas ni préstamos fuertes, es bastante sana.
PasivototalEndeudamiento
Activototal
Ejemplo 73
Años
2006 2005 2004 2003 2002 2001
3750.3 289
1 140439
0.3 4921 257
3840.379
1 100472
0.3791 245
3820.2 203
1 280503
0.1 7561 725
Análisis del endeudamiento. Los recursos financiados con dinero ajeno son muy pocos,
esto es bueno, indica que la empresa es autosuf iciente.
Análisis del activo circulanteÉste nos indica que de 320 (millones de pesos/corrientes) 25% está invertido en las ventas,
43.75% en clientes y 31.25% en los inventarios.
Análisis de activos fijosNos está indicando que de 810 (millones de pesos/corrientes) 36.58% está invertido en equipos,
39.02% en edificios y 24.39% en gastos diferidos.
Análisis de la deudaPodemos observar que por cada unidad monetaria que están invir t iendo en el negocio (ya
sea de los socios o prestado) 32.89% no es de los socios y por lo tanto habrá que pagarlos
algún día. D e estos 375 (mi l lones de pesos/corr ientes) 15.08% habrá que pagarlos en
menos de 12 meses y 17.54% a un plazo mayor de 12 meses. También podemos observar
que por cada peso inver t ido en el negocio 17.54% corresponde a la apor tación inicial
de los socios, 7.45% a las ut i l idades y 6.22% proviene de ut i l idades generadas en el
presente ejercicio.
Análisis del pasivo a corto plazoPasivo a corto plazo
Proveedores 100 58.13 %
I mpuestos por pagar 30 17.44 %
Acreedores bancarios 20 11.62 %
Acreedores diversos 22 12.79 %
Que del total del pasivo a corto plazo y por cada peso que se debe de pagar en el corto
plazo 58.13% lo pagarán a los proveedores, 11.62% a acreedores bancarios, 17.44% son de
impuestos por pagar, mientras que 12.79% a acreedores diversos.
Actividad 11
Un inversionista que desea vender la clínica Cement Company, S.A., presenta los siguientes
datos correspondientes al periodo terminado el 31 de diciembre del año 1.
Cement Company, S.A.Balance general
D iciembre 31 del año 1 (Cifras en miles de pesos)
Activos Pasivos
Corrientes Corrientes
Efectivo 10 000 Documentos por pagar 10 000
Cuentas por cobrar 50 000 Cuentas por pagar proveedores 65 260
I nventarios 70 000 Total corrientes 75 260
Total corrientes 130 000 Largo plazo 124 740
Total pasivo 200 000
Fijos
Terrenos 50 000 Patrimonio
Depreciables 150 000 Capital 60 000Depreciación acumulada ( 30 000) Uti lidades retenidas 14 000
Total f ijos netos 170 000 U tilidad del ejercicio 26 000
Total patrimonio 100 000
Total activos 300 000 Total pasivo y patrimonio 300 000
Nota: El inventario a enero 1/Año 1 era de 30 000
Cement Company, S.A.Estado de resultados
Periodo: año 1 (Cifras en millones de pesos)
I ngresos netos 435 000 100.00%
Menos costo de lo vendido 261 000 60.00%
Utilidad bruta 174 000 40.00%
Gastos de administración 28 000 6.43%
Gastos de ventas 16 000 3.68%
Utilidad operacional 130 000 29.89%
Gastos financieros (intereses) 90 000 20.69%
Utilidad antes de impuestos 40 000 9.20%
I mpuestos (35%) 14 000 3.22%
Utilidad neta 26 000 5.98%
Nota: Los ingresos netos de contado fueron del orden de 160 000
Cuadro de razones
Razón Año -2 Año -1 Año 1 Estándar
Razón corriente 2.50 2.00 1.73 2.25
Prueba ácida 1.00 0.50 0.80 1.10
Rotación de cartera 5.00 4.50 5.50 6.00
Rotación de inventarios. 12.00 9.00 5.22 12.00
Rotación de cuentas por pagar 8.00 6.00 4.61 8.00
Rotación de activos 2.00 1.75 1.45 2.00
Pasivo total a act ivo total 0.35 0.40 0.67 0.50
Cobertura de intereses 2.50 2.00 1.44 2.00
Margen bruto 39.00% 40.00% 40.00% 40.00%
Margen neto 12.00% 11.00% 5.98% 10.00%
Rentabil idad del patrimonio 30.00% 28.10% 26.00% 29.00%
Rentabil idad del activo 24.00% 19.25% 8.67% 20.00%
Al ir explicando las diferentes razones o índices se tomará el caso anterior y se
aplicará lo enunciado en la teoría, para sacar las conclusiones generales del caso al f inalizar.
Para la venta, y uti lizando la información anterior, se lleva a cabo un análisis de los
índices o razones de liquidez
Capital de trabajo = (Activo circulante –Pasivo circulante)
130 000 –75 260 54 740Capital netode trabajo
Se puede decir que tiene un capital de trabajo de $54 740 con los cuales espera llevar
a cabo las operaciones del negocio en los meses siguientes.
Razón corriente o índice de solvencia = Activo corriente / Pasivo corriente
Esta razón debe ser mayor o igual a uno (1.00), si es menor signif ica que la empresa
no tiene la suficiente liquidez para cancelar sus obligaciones corrientes.
Solvencia Cement Company, S.A. (Año 1) = 130 000/75 260 = 1.73
Por cada peso que la empresa t iene que cancelar en el corto plazo, cuenta con $1.73
para respaldar el pago.
La empresa no tiene problemas de liquidez, sin embargo, comparando con los índices de
periodos anteriores la empresa presenta una disminución en el índice, pasó de 2.50 en 1997 a 2.00 en
1998 y continuó disminuyendo a 1.73 en 1999. Lo anterior significa que la empresa no está muy bien
en cuanto a la solvencia o liquidez que debe tener para cancelar las obligaciones de corto plazo.
Prueba ácida o índice de acidez = (Activo corriente – Inventar ios) / Pasivo corriente
La prueba ácida de Cement Company, S.A. ( Año ) ( – ) / . 1 130 000 70 000 75 260 0 80
Por cada peso que la empresa tiene que cancelar en el corto plazo, cuenta con un
respaldo de fondos líquidos (no incluidos los fondos que pueden generar los inventarios) de
$0.80 para respaldar el pago.
Para la venta y uti lizando la información anterior se l leva a cabo un análisis de los
índices o razones de act ividad.
Rotación de Cuentas por cobrar = Ventas a crédito del periodo / Cuentas por cobrar promedio
I ndique cuántas veces promedio giraron las cuentas por cobrar en el periodo.
Es de anotar que muchas veces no se tiene el dato de ventas a crédito, por lo cual se
puede tomar el total de ventas netas, teniendo en cuenta que los datos de comparación también
se calculen de la misma forma.
435 000 160 000 50 000 5 5Rotación de cuentas por cobrar ( – ) / .
Significa que las cuentas por cobrar rotan 5.5 veces en el año. Según lo anterior la
empresa ha mejorado en 1999 en relación con los años anteriores.
Plazo promedio de cuentas por cobrar= Días del periodo / Rotación de cuentas por cobrar
= cuentas por cobrar promedio por días del periodo / Ventas a crédito del periodo
El plazo promedio de cobros = 360 días / 5.5 = 65.45 días.
Lo anterior significa que a la empresa le toma 65.45 días hacer efectiva una cuenta por
cobrar. Al sector en promedio le toma sólo 60 días.
Rotación de inventarios = Costo de lo vendido / Inventario promedio
261 000 / (70 000 30 000)/2 5.22Rotación de inventarios
Los inventarios rotan 5.22 veces en el año. Según lo anterior la empresa ha desmejorado
en 1999 con relación a los años anteriores.
Actividad 12
Para la misma empresa que se encuentra en análisis obtenga las siguientes razones y concluya
cómo se encuentra ésta.
Rotación de cuentas x pagar = Compras a crédito del periodo / Cuentas por pagar promedio
Plazo promedio de cuentas por pagar = Días del periodo / Rotación de cuentas por pagar
Rotación de activos (inversión ) = Ventas netas / Total activos
Rotación de activos corrientes = Ventas netas / Total de activos corrientes
Rotación de activos fijos = Ventas netas / Total de activos fijos
M argen bruto = Utilidad bruta / Venta neta
M argen operacional = Utilidad operacional / Venta neta = UAI I / Venta neta
M argen de contribución = Ventas netas – Costos var iables totales
Í ndice de contribución = {(Venta neta – Costos var iables) / Venta neta } x 100%
= (M argen de contribución / Precio de venta ) x 100%
M argen neto = Utilidad neta / Venta neta
Potencial de utilidad = Utilidad neta / Activo total
Rentabilidad del patrimonio = Utilidad neta / Patrimonio
