UNIDAD 5. SERIES DE TIEMPO.

La planeación a futuro es un aspecto esencial en la administración de cualquier empresa, ya que su éxito, a la larga, se relaciona mucho con lo bien que la administración puede anticipar el futuro y desarrollar las estrategias adecuadas. El buen juicio, la intuición y la percepción del estado de la economía pueden dar a un administrador una idea tosca o sensación de lo que probablemente ocurrirá en el futuro. Sin embargo, es difícil convertir esa sensación en números que se puedan usar, como el número de ventas en el próximo trimestre, o el costo de las materias primas en el año venidero. El objetivo de esta unidad es explicar algunos métodos de pronósticos. Los métodos de pronósticos se clasifican en cuantitativos y cualitativos. Los métodos cuantitativos se usan cuando:

1. Se dispone de información histórica anterior acerca de la variable que se pronostica. 2. La información se puede cuantificar 3. Un supuesto razonable es que el patrón del pasado continuará en el futuro.

En tales casos es factible la elaboración de un pronóstico, ya sea con un método de serie de tiempo o con un método casual. El análisis de serie de tiempo es un método cuantitativo que utilizamos para determinar patrones en los datos recolectados a través del tiempo. El análisis de series de tiempo se utiliza para determinar patrones de cambio en la información estadística en intervalos regulares, proyectamos estos patrones para obtener una estimación para el futuro. En consecuencia, el análisis de series de tiempo nos ayuda a manejar la incertidumbre asociada con los acontecimientos futuros.

5.1 MODELO CLÁSICO SERIES DE TIEMPO. Una serie de tiempo es un conjunto de valores observados, tales como los datos de producción o de ventas, en períodos ordenados de manera secuencial. Ejemplos de este tipo son las ventas de un determinado producto en una serie de meses y el número de trabajadores empleados en una industria determinada en una serie de años. Una serie de tiempo se representa gráficamente mediante una gráfica de línea, con los períodos de tiempo representados en el eje horizontal y los valores de la serie de tiempo representado en el eje vertical. Por ejemplo. La figura siguiente es una gráfica de línea que ilustra las ventas anuales en dólares de una empresa de software gráfico (ficticia) formada en el 2000. Como se puede observar…… anuales, seguido por dos años de declinación en las ventas que culminaron en la sima de 2008, que entonces fue seguida por niveles crecientes de ventas durante los últimos años de los valores reportados en la serie de tiempo.

Año Ventas (millones de dólares)

Year

Ve

nta

s

200820072006200520042003200220012000

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Time Series Plot of Ventas

2000 0.2

2001 0.4

2002 0.5

2003 1

2004 1.1

2005 1.5

2006 1.4

2007 1.2

2008 1.7

El análisis de series de tiempo es el procedimiento mediante el cual se identifican y separan factores relacionados con el tiempo que influyen en los valores que se observan en una serie de tiempo. Una vez identificado se pueden usar como ayuda en la interpretación de los valores históricos de las series de tiempo y para predecir valores futuros de las series de tiempo. El método clásico en el análisis de series de tiempo distingue cuatro influencias de este tipo o componentes:

1) Tendencia secular (T). El valor de la variable tiende a aumentar o disminuir en un período muy largo.

2) Fluctuaciones cíclicas (C). Son movimientos recurrentes hacia arriba y hacia abajo en

relación con la tendencia que tienen una duración de varios años.

3) Variaciones estacionales (S). Este tipo de variación implica patrones de cambio en el

lapso de un año que tienden a repetirse anualmente, es decir, son movimientos hacia arriba y hacia abajo en relación con la tendencia que ocurren durante un año y que tienen recurrencia anual. Por lo común estas variaciones se detectan en datos mensuales o trimestrales.

4) Variaciones irregulares (I). Son variaciones erráticas respecto de la tendencia que no

se pueden atribuir a las influencias cíclicas o estacionales, es decir, en muchas situaciones, el valor de una variable puede ser completamente impredecible cambiando de manera aleatoria. Las variaciones irregulares describen esos movimientos.

El modelo que subyace al análisis clásico de series de tiempo está basado en la suposición de que para cualquier periodo que se tome de la serie de tiempo, el valor de la variable está determinado por los cuatro componentes antes descritos, y que además estos componentes tienen una relación multiplicativa. Así, si Y representa el valor observado en la serie de tiempo. Y = T x C x S x I El modelo representado por la formula anterior se usa como base para separar las influencias de los diferentes componentes que afectan a los valores de la serie de tiempo.

5.3 ANÁLISIS DE TENDENCIA.

El análisis de tendencia investiga la dirección del movimiento en la serie de tiempo, generalmente este análisis se realiza con datos anuales. Se deben usar datos de 15 o 20 años, por lo menos, de modo que los movimientos cíclicos de varios años de duración no se consideren como indicativos de la tendencia general de los valores de la serie de tiempo. El método de mínimos cuadrados es el que se usa con mayor frecuencia para determinar el componente de tendencia en una serie de tiempo, determinando la ecuación de la recta de tendencia de mejor ajuste. Desde el punto de vista estadístico, una recta de tendencia no es una recta de regresión, ya que la variable dependiente “Y” no es una variable aleatoria, sino una serie de valores históricos. Además para cualquier periodo dado sólo puede haber un valor histórico (no una distribución de valores), y los valores correspondientes a los períodos adjuntos es probable que sean dependientes y no independientes. De cualquier manera, el método de los mínimos cuadrados es una base adecuada para determinar el componente de tendencia de una serie de tiempo. Si el incremento o decremento a largo plazo parecen seguir

una tendencia lineal, la ecuación para los valores de la recta de tendencia, es: 𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 Donde

𝑌 = valor estimado de la variable dependiente X= variable independiente (tiempo en el análisis de tendencia) b0= ordenada Y (el valor de Y cuando X=0) b1= pendiente de la recta de tendencia.

Pendiente de la recta de regresión de mejor ajuste: 𝑏1 = 𝑋𝑌−𝑛𝑋 𝑌

𝑋2−𝑛𝑋 2

Ordenada Y de la recta de regresión de mejor ajuste: 𝑏0 = 𝑌 − 𝑏1𝑋 Donde Y= valores de la variable dependiente X= valores de la variable independiente

𝑌 = media de los valores de la variable dependiente

𝑋 = media de los valores de la variable independiente n= número de datos en la serie de tiempo En el caso de una tendencia no lineal, un tipo de curva de tendencia que suele resultar útil es la curva de tendencia exponencial. Una curva de tendencia exponencial típica es la que refleja una tasa de crecimiento constante durante un período de años, como pueden ser las ventas de las computadoras personales durante la década de los ochenta. Una curva exponencial se llama así porque la variable independiente “X” es el exponente de b1

en la ecuación general. 𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥

Donde

b0= valor de 𝑌 en el año 0 b1= tasa de crecimiento Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación se obtiene una ecuación lineal de

tendencia logarítmica: log 𝑌 = log b0 + X log b1 La ventaja de la transformación a logaritmos es que la ecuación lineal para el análisis de tendencia puede aplicarse a los logaritmos de los valores cuando la serie de tiempo sigue una

curva exponencial. Los valores logarítmicos pronosticados para 𝑌 Se pueden reconvertir después a las unidades originales de medición sacando el antilogaritmo de los valores. La curva Gompertz en forma de “S” una ecuación que se usa para ajustar esta curva de tendencia es:

𝑌 = b0 + b1(b2)X

Los valores de b0, b1 y b2 se determinan sacando primero logaritmo a ambos miembros de la

ecuación, como sigue: log 𝑌 = log b0 + (log b1)(b2)X

Por último se calculan los valores que conforman la curva de tendencia sacando el antilogaritmo de los valores que se obtienen con la formula anterior. Ejemplo. Considere la siguiente serie de tiempo:

X 1 2 3 4 5

Y 6 11 9 14 15

Con base en ella determine:

a) La grafica de serie de tiempo. b) Una ecuación del componente de tendencia lineal para la serie de tiempo. c) ¿Cuál es el pronóstico para x= 6?

Solución: a)

Index

y

54321

15.0

12.5

10.0

7.5

5.0

Time Series Plot of y

b)

X Y XY X2

1 6 6 1

2 11 22 4

3 9 27 9

4 14 56 16

5 15 75 25

X=15 Y=55 XY=186 X2=55

𝑋 = 𝑋

𝑛=

15

5= 3

𝑌 = 𝑌

𝑛=

55

5= 11

𝑏1 = 𝑋𝑌−𝑛𝑋 𝑌

𝑥2−𝑛𝑋 2=

186− 5 3 11

55− 5 32 =

21

10= 2.1

𝑏0 = 𝑌 − 𝑏1𝑋 = 11 − 2.1 3 = 4.7

𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 = 4.7 + 2.1𝑥

c) 𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 = 4.7 + 2.1𝑥 = 4.7 + 2.1 6 = 17.3 Ejercicio. Los datos de inscripciones, en miles, en una universidad estatal durante los últimos 6 años son los siguientes:

Año 1 2 3 4 5 6

Inscripción 20.5 20.2 19.5 19 19.1 18.8

Deduzca una ecuación del componente de tendencia lineal en esta serie de tiempo. Haga comentario acerca de lo que sucede con la inscripción en esta institución. Solución:

X Y XY X2

1 20.5 20.5 1

2 20.2 40.4 4

3 19.5 58.5 9

4 19 76 16

5 19.1 95.5 25

6 18.8 112.8 36

X=21 Y=117.1 XY=403.7 X2=91

𝑋 = 𝑋

𝑛=

21

6= 3.5

𝑌 = 𝑌

𝑛=

117.1

6= 19.516

𝑏1 = 𝑋𝑌−𝑛𝑋 𝑌

𝑥2−𝑛𝑋 2=

403.7− 6 3.5 19.516

91− 6 3.52 =

−6.136

17.5= −0.350

𝑏0 = 𝑌 − 𝑏1𝑋 = 19.516 − −0.350 3.5 = 20.741

𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 = 20.741 − 0.350𝑥 Que la inscripción decrece aproximadamente 350 alumnos por año.

5.4 ANÁLISIS DE VARIACIONES CÍCLICAS. La variación cíclica es la componente de una serie de tiempo que tiende a oscilar arriba y debajo de la línea de tendencia secular en períodos mayores que un año. El procedimiento utilizado para identificar la variación cíclica es el método de residuos. Métodos de residuos. Cuando observamos una serie de tiempo consiste en datos anuales, sólo se toman en cuenta las componentes de tendencia secular, cíclica e irregular. (Esto es así porque la variación estacional pasa por un ciclo completo y regular cada año y no afecta más un año que otro). Si utilizamos una serie de tiempo compuesta por datos anuales, podemos encontrar la fracción

de la tendencia dividiendo el valor real (Y) entre el valor de la tendencia correspondiente (𝑌 ) para cada valor de la serie de tiempo. Luego se multiplica el resultado de este cálculo por 100. Esto da la medida de la variación cíclica como un porcentaje de tendencia.

𝑌

𝑌 𝑥 100

Donde: Y= valor real de la serie de tiempo

𝑌 = valor de tendencia estimado a partir del mismo punto de la serie de tiempo. Ejemplo. Considere la siguiente serie de tiempo:

X 1 2 3 4 5

Y 6 11 9 14 15

Con base en ella determine:

a) El componente cíclico de cada uno de los valores de la serie de tiempo que se reportan en la tabla.

b) Construya un diagrama de ciclos con los datos Solución: a)

X (Año)

Y (real) Y (Esperado)

𝑌

𝑌 𝑥 100(Ciclo

relativo)

1 6 6.8 88.23

2 11 8.9 123.59

3 9 11 81.81

4 14 13.1 106.87

5 15 15.2 98.68

XXbbY 1.27.410

2.15)5(1.27.41.27.4

1.13)4(1.27.41.27.4

11)3(1.27.41.27.4

9.8)2(1.27.41.27.4

8.6)1(1.27.41.27.4

X

X

X

X

X

Y

Y

Y

Y

Y

Index

Cic

lico

re

lati

vo

54321

120

110

100

90

80

Time Series Plot of Ciclico relativo

Ejercicios. 1. Los datos de inscripciones, en miles, en una universidad estatal durante los últimos 6 años son los siguientes:

Año 1 2 3 4 5 6

Inscripción 20.5 20.2 19.5 19 19.1 18.8

Con base en ella determine: a) El componente cíclico de cada uno de los valores de la serie de tiempo que se reportan

en la tabla. b) Construya un diagrama de ciclos con los datos

Solución:

X (Años)

Y (real) Y (Esperado)

𝑌

𝑌 𝑥 100(Ciclo

relativo)

1 20.5 20.391 100.534

2 20.2 20.041 100.793

3 19.5 19.691 99.030

4 19 19.341 98.236

5 19.1 18.991 100.573

6 18.8 18.641 100.852

𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1𝑋 = 20.741 − 0.350𝑥

XXbbY 350.0741.2010

641.18)6(350.0741.20350.0741.20

991.18)5(350.0741.20350.0741.20

341.19)4(350.0741.20350.0741.20

691.19)3(350.0741.20350.0741.20

041.20)2(350.0741.20350.0741.20

391.20)1(350.0741.20350.0741.20

X

X

X

X

X

X

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Index

Ciclo

rela

tivo

654321

101.0

100.5

100.0

99.5

99.0

98.5

98.0

Time Series Plot of Ciclo relativo

2. La tabla siguiente presenta los datos correspondientes a un período de 11 años de una empresa de software gráfico formada en 1998. a) Realice la gráfica de tendencia para los datos. b) Determine la ecuación de la línea de tendencia para estos datos empleando el método de mínimos cuadrados, codifique 1998 como cero y aproxime todos los valores a dos cifras decimales. c) El componente cíclico de cada uno de los valores de la serie de tiempo que se reportan en la tabla. d) Construya un diagrama de ciclos con los datos. Solución:

X Y XY X2

Y esperado 𝒀

𝒀 𝒙 𝟏𝟎𝟎Ciclo

relativo

0 0.20 0 0 0.22 90.90

1 0.40 0.4 1 0.41 97.56

2 0.50 1 4 0.6 83.33

3 0.90 2.7 9 0.79 113.92

4 1.10 4.4 16 0.98 112.24

5 1.50 7.5 25 1.17 128.20

6 1.30 7.8 36 1.36 95.58

7 1.10 7.7 49 1.55 70.96

8 1.70 13.6 64 1.74 97.70

9 1.90 17.1 81 1.93 98.44

10 2.30 23 100 2.12 108.49

X=55 Y=12.9 XY=85.2 X2=385

Index

y

10987654321

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

Time Series Plot of y

a)

511

55

n

XX

17.111

9.12

n

YY

19.0110

85.20

)5)(11(385

)17.1)(5)(11(2.85222

1

Xnx

YXnXYb

22.0)5(19.017.110

XY bb

XXbbY 19.022.010

22.0)0(19.022.019.022.0

XY

41.0)1(19.022.019.022.0

XY

6.0)2(19.022.019.022.0

XY

79.0)3(19.022.019.022.0

XY

98.0)4(19.022.019.022.0

XY

17.1)5(19.022.019.022.0

XY

36.1)6(19.022.019.022.0

XY

55.1)7(19.022.019.022.0

XY

74.1)8(19.022.019.022.0

XY

93.1)9(19.022.019.022.0

XY

12.2)10(19.022.019.022.0

XY

Index

y

10987654321

130

120

110

100

90

80

70

Time Series Plot of y

5.5 MEDICIÓN DE VARIACIONES ESTACIONALES. Además de la tendencia secular y de la variación cíclica, una serie de tiempo incluye la variación estacional. Este tipo de variación se define como un movimiento repetitivo y predecible alrededor de la línea de tendencia en un año o menos. Con el fin de detectar la variación estacional, los intervalos de tiempo necesitan medirse en unidades pequeñas, como días, semanas, meses o trimestres. Ejemplo. El hotel de veraneo desea establecer el patrón estacional de demanda de cuartos por parte de sus clientes. La administración desea mejorar el servicio al cliente y está considerando varios planes de contratación de personal durante los períodos picos. La tabla siguiente presenta la ocupación por trimestre, es decir, el promedio de huéspedes durante cada trimestre de los últimos cinco años.

Año Número de huéspedes por trimestres

I II III IV

2005 1861 2203 2415 1908

2006 1921 2343 2514 1986

2007 1834 2154 2098 1799

2008 1837 2025 2304 1965

2009 2073 2414 2399 1967

Solución:

Año Trimestre Ocupación Total móvil de 4 trimestres

Promedio móvil de los 4 trimestres

Promedio móvil centrado de 4 trimestres

Porcentaje del valor real respecto al promedio móvil

2005 I 1861

II 2203

III 2415 2104.25 114.8

IV 1908 8387 2096.75 2129.25 89.6

2006 I 1921 8447 2111.75 2159.125 89

II 2343 8587 2146.75 2181.25 107.4

III 2514 8686 2171.5 2180.125 115.3

IV 1986 8764 2191 2145.625 92.6

2007 I 1834 8677 2169.25 2070 88.6

II 2154 8488 2122 1994.625 108

III 2098 8072 2018 1971.625 106.4

IV 1799 7885 1971.25 1955.875 92

2008 I 1837 7888 1972 1965.5 93.5

II 2025 7759 1939.75 2012 100.6

III 2304 7965 1991.25 2062.25 111.7

IV 1965 8131 2032.75 2140.375 91.8

2009 I 2073 8367 2091.75 2193.375 94.5

II 2414 8756 2189 2198 109.8

III 2339 8791 2197.75

IV 1967 8793 2198.25

Columna 4: Total móvil de 4 trimestres 1861 + 2203 + 2415 + 1908 = 8387 2203 + 2415 + 1908 + 1921 = 8447 2415 + 1908 + 1921 + 2343 = 8587 1908 + 1921 + 2343 + 2514 = 8686 1921 + 2343 + 2514 + 1986 = 8764 Etc. Se usa el término móvil porque cada vez se dispone de una nueva observación para la serie de tiempo, se reemplaza la observación más antigua en la ecuación y se calcula un nuevo promedio. En consecuencia, el promedio cambia o se mueve a medida que se dispone de nuevas observaciones. Columna 5: Promedio móvil de los 4 trimestres

8387 4 = 2096.75

8447 4 = 2111.75

8587 4 = 2146.75

8686 4 = 2171.5

8764 4 = 2191 Etc. Con este cálculo se determina la ocupación trimestral promedio para cada año. El valor de 2096.75 corresponde a la segunda mitad del segundo trimestre y a la primera mitad del tercero. De la misma manera, si avanzamos al siguiente valor de promedio móvil de 2111.75 el medio corresponde a la última mitad del tercer trimestre y a la primera del cuarto. Columna 6: Promedio móvil centrado de 4 trimestres

(2096.75 + 2111.75) 2 = 2104.25

(2111.75 + 2146.75) 2 = 2129.25

(2146.75 + 2171.5) 2 = 2159.125

(2171.5 + 2191) 2 = 2181.25

(2191 + 2169.25) 2 = 2180.125 Etc. Cada punto en un promedio móvil centrado representa el valor de la serie de tiempo como si no hubiera influencias estacionales e irregulares. Tienden a suavizar las fluctuaciones estacionales e irregulares de la serie de tiempo. Columna 7: Porcentaje del valor real respecto al promedio móvil

(2415 2104.25) x 100 = 114.8

(1908 2129.25) x 100 = 89.6

(1921 2159.125) x 100 = 89

(2343 2181.25) x 100 = 107.4

(2514 2180.125) x 100 = 115.3

Año Trimestre I Trimestre II Trimestre III Trimestre IV

2005 - - 114.8 89.6

2006 89 107.4 115.3 92.6

2007 88.6 108 106.4 92

2008 93.5 100.6 111.7 91.8

2009 94.5 109.8 - -

182.5 215.4 226.5 183.8

Media modificada:

𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝐼:182.5

2= 91.25

𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝐼𝐼:215.4

2= 107.7

𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝐼𝐼𝐼:226.5

2= 113.25

𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝐼𝑉:183.8

2= 91.9

Total de índices = 404.1 Ejercicio. Se tiene la siguiente serie de tiempo:

Trimestre Año

1 2 3

1 4 6 7

2 2 3 6

3 3 5 6

4 5 7 8

a) Determine los valores de promedio móvil y promedio móvil centrado de cuatro trimestre

para esta serie de tiempo. b) Calcule los índices estacionales para los cuatro trimestres.