Unidad 6: Ecuaciones diferenciales ordinarias 6.1 Fundamentos de ecuaciones diferenciales.El objeto de este subtema es hacer una breve introduccin al estudio de ecuaciones diferenciales, que constituye una de las ramas ms importantes para el Clculo, por sus innumerables aplicaciones en todas las ciencias.Definicin 1 Se llama ecuacin diferencial a aquella ecuacin que contiene derivadas.Si la ecuacin slo tiene una sola variable independiente recibe el nombre de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).Si la ecuacin contiene ms de una variable independiente, apareciendo as sus derivadas parciales, recibe el nombre de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.Definicin 2 Se llama orden de una ecuacin diferencial al orden de la mayor derivada que aparezca en ella.Definicin 3 Se llama grado de una ecuacin diferencial al grado de la derivada de mayor orden que aparezca en ella.Definicin 4 Se llama solucin general de una ecuacin diferencial a toda relacin entre las variables, libres de derivadas, que satisface dicha ecuacin diferencial.Por lo comn, la solucin general de una ecuacin diferencial de orden n tiene n constantes. Integrar o resolver una ecuacin diferencial es hallar su solucin general.Definicin 5 Se llama solucin particular de una ecuacin diferencial a aquella solucin que se obtiene a partir de la solucin general, dando valores a las constantes.Bibliografahttp://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r73203.PDFSteven C. Chapra, Mtodos Numricos para Ingenieros, 6 ed., Mc Graw Hill.Antonio Nieves Hurtado, Federico C. Domnguez Snchez, Mtodos Numricos, 3 ed., CESA.

6.2 Mtodos de un paso: Mtodo de Euler, Mtodo de Euler mejorado y Mtodo de Runge-Kutta.Mtodo de EulerEste mtodo se aplica para encontrar la solucin a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la funcin involucra solo una variable independiente.

El mtodo se basa de forma general en la pendiente estimada de la funcin para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamao de paso.O bien,

De esta manera, la formula (1), se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y as trazar la trayectoria de la solucin. La figura 1, muestra el procedimiento aplicado con la ecuacin (1).

Prediccin de un nuevo valor en lasolucin

El mtodo de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximacin de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimacin directa de la pendiente en xi.

f(xi,yi), es la ecuacin diferencial evaluada en xi y yi. Sustituyendo esta estimacin de la pendiente en la ecuacin (1), se tiene:

La ecuacin (2), se le conoce como el mtodo de Euler. En esta formula se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x, este nuevo valor habr de extrapolarse en forma lineal sobre el tamao de paso h.Bibliografiahttp://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler.pdfMtodo de Euler mejorado Este mtodo se basa en la misma idea del mtodo anterior, pero hace un refinamiento en la aproximacin, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La frmula es la siguiente:

donde,

Para entender esta frmula, analicemos el primer paso de la aproximacin, con base en la siguiente grfica:

En la grfica, vemos que la pendiente promediocorresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condicin inicial y la recta tangente a la curva en el punto(x1, y1), donde y1 es la aproximacin obtenida con la primera frmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condicin inicial, y se considera el valor de esta recta en el puntox = x1como la aproximacin de Euler mejorada.

Bibliografahttp://www.monografias.com/trabajos73/metodos-numericos-metodo-euler-mejorado/metodos-numericos-metodo-euler-mejorado.shtmlMtodo de Runge-KuttaEn la seccin anterior se estableci que el mtodo de Euler para resolver la ecuacin diferencial de primer ordenY' = f(X, Y) (7)

con la condicin inicial Y(X0) = Y0 (8)

consiste en aplicar repetidamente la frmula de recurrencia Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... (9)

para determinar la solucin de la ecuacin diferencial en X = X1, X2, X3,... Sustituyendo la funcin f(X, Y) dada en (7), en (9), se tiene que Yn+1 = Yn + h Y'n (10)

expresin que indica que el mtodo de Euler consiste grficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solucin de la ecuacin diferencial (7) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solucin conocida, como se muestra en la siguiente figura.

De este planteamiento grfico puede verse que una mejor aproximacin a la solucin de la ecuacin diferencial se obtendra si en vez de ir por la tangente T1 para determinar la solucin en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente grfica:

Con lo anterior se obtendra un mtodo mejorado de Euler con error del orden de h3 definido por la expresin

en donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la funcin f(X, Y) para: X = Xn+1 Y = Yn + h f(Xn, Yn) Observando las expresiones para resolver la ecuacin diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la frmula de recurrencia

(12)

en donde

(13)

en el mtodo de Euler y

(14)

en lo que Y' = f(X, Y)

en el mtodo de Euler Mejorado.Como se ve, estos mtodos tienen los siguientes puntos en comn: 1. Son mtodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer nicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior. 2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino nicamente valores de la funcin f(X, Y). Estas caractersticas dan origen a una gran variedad de mtodos conocidos como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos consiste en la forma como se define la funcinque aparece en la expresin (12).La ventaja de los mtodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es tambin un mtodo de un paso, est expresado en el punto (2) anterior; es decir, los mtodos de Runge-Kutta requieren slo de la funcin f(X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor s requiere de la evaluacin de derivadas. Esto hace que, en la prctica, la aplicacin de los mtodos de Runge-Kutta sean ms simples que el uso de la serie de Taylor. Un mtodo de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de h5, de uso tan frecuente que en la literatura sobre mtodos numricos se le llama simplemente el Mtodo de Runge-Kutta, se dar a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuacin de recurrencia (12) en donde la funcinest dada por la expresin:

(16)en el cual

(17)

La ecuacin (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k1, k2, k3 y k4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedi con las pendientes de las tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (11).

Bibliografiahttp://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0CGAQFjAC&url=http%3A%2F%2Fwww.itescam.edu.mx%2Fprincipal%2Fsylabus%2Ffpdb%2Frecursos%2Fr45643.DOC&ei=c6vTT-2CL-PY2AWD0ZCcDw&usg=AFQjCNHsmQzsvtyYodR6DhItiXyY1UJGeg&sig2=vSJ01IP-BoLrvU5g10RpIQ

6.3 Mtodos de pasos mltiplesLos mtodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan informacin en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados mtodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el clculo, se tiene informacin valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposicin.La curvatura de las lneas que conectan esos valores previos proporciona informacin con respecto a la trayectoria de la solucin. Los mtodos multipaso que exploraremos aprovechan esta informacin para resolver las EDO.Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un mtodo simple de segundo orden que sirve para demostrar las caractersticas generales de los procedimientos multipaso.

Bibliografahttp://metodosnumericos.webatu.com/tema5_2.html6.4 Aplicaciones a la ingeniera.

Mtodo de EulerEjercicio 1. Use el mtodo de Euler para integrar numricamente la siguiente ecuacin diferencial:

Desde x = 0 hasta x = 4, con un tamao de paso h = 0.5. Con la condicin inicial de que cuando x = 0 entonces y = 1. Obtenga la solucin exacta integrando analticamente y compare los resultados con los obtenidos por el mtodo de Euler. Tabular los resultados de Euler, la solucin real y el error relativo porcentual.Ejemplo:Aplicando la ecuacin (2), para encontrar la primera aproximacin:x1= 0y1= 1y2 = y1 + f (x1, y1 )hLa pendiente es:f(0,1)= -2(0)3 +12(0)2 -20(0)+8.5 = 8.5Sustituyendo en la formula de Eulery2 = 1 + 8.5(0.5) = 5.25Mtodo de Euler mejoradoAplicar el mtodo de Euler mejorado, para aproximary(0.5) si:

y' = 2xyy(0) = 1SolucinVemos que este es el mismo ejemplo 1 del mtodo anterior. As que definimos h = 0.1 y encontraremos la aproximacin despus de cinco iteraciones. A diferencia del mtodo de Euler 1, en cada iteracin requerimos de dos clculos en vez de uno solo: el de yn* primero y posteriormente el de yn. Para aclarar el mtodo veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteracin tenemos:

Ntese que el valor de y1* coincide con el y1 (Euler 1), y es el nico valor que va a coincidir, pues para calcular y2* se usar y1 y no y1*. Esto lo veremos claramente en la siguiente iteracin:

Ntese que ya no coinciden los valores de y2 (Euler 1) y el de y2*. El proceso debe seguirse hasta la quinta iteracin. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:n xnyn

0 0 1

1 0.1 1.01

2 0.2 1.040704

3 0.3 1.093988

4 0.4 1.173192

5 0.5 1.28336

Conclumos entonces que la aproximacin obtenida con el mtodo de Euler mejorado es:y(0.5) = 1.28336Con fines de comparacin, calculamos el error relativo verdadero:

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximacin con este mtodo, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer mtodo veremos cmo se reduce an ms este error prcticamente a un 0%!

Link de aplicacin del mtodo de Euler a un sistema masa-amortiguador.

Prescindiendo