I-2017

13

Unidad II CINEMATICA

MOVIMIENTO

Todo lo que nos rodea es materia en movimiento, desde los microsistemas hasta los macrosistemas, los electrones

se desplazan en orbitas alrededor del núcleo, la vibración de las partículas de un sólido, el deslizamiento molecular

de los líquidos, el desplazamiento caótico de las moléculas gaseosas, la caída del agua de una cascada, los

movimientos de rotación y traslación planetarios y satelitales, cada movimiento presenta diferente rapidez,

trayectoria y periodicidad.

“El movimiento se define como el cambio de posición de un móvil en un tiempo determinado con respecto a un

marco o sistema de referencia”.

MÓVIL: Toda partícula material que se mueve

PROYECTIL: es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada

totalmente por los efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire.

¿QUÉ PARTE DE LA FÍSICA ESTUDIA EL MOVIMIENTO?

La parte de la física que se dedica al estudio del movimiento de las cosas o movimientos de los cuerpos es la

MECÁNICA, conocida como la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos.

CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE MOVIMIENTO DE ACUERDO A SU TRAYECTORIA

Los tipos de movimiento de acuerdo a su trayectoria curva o rectilínea se clasifican de la siguiente forma:

TRAYECTORIA: Línea imaginaria descrita al cambiar de posición en el tiempo

DISTANCIA: es la medida (escalar) de la longitud de la trayectoria recorrida por un móvil, y esta puede ser

rectilínea o curvilínea.

DESPLAZAMIENTO: El desplazamiento es una magnitud vectorial (presenta magnitud, sentido y dirección)

independiente de la trayectoria descrita por el móvil, y se define como el vector que representa el cambio desde la

posición inicial, o punto de partida hasta la posición final del cuerpo en movimiento.

Movimiento

Movimiento. Unidimensional

Movimiento Bidimensional

1. Mov. Rectilíneo Uniforme

2. Mov. Rectilíneo

Uniformemente Acelerado

3. Tiro Horizontal

4. Tiro Parabólico

Caída libre Tiro Vertical

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14

En la figura observamos que el desplazamiento presenta una

longitud menor que la longitud de la distancia cuando la

trayectoria recorrida por un móvil es curvilínea. El

desplazamiento y la distancia son equivalentes cuando se tiene

una trayectoria rectilínea.

Si después de un recorrido el móvil retorna a la posición inicial

tendrá un desplazamiento igual a cero, por ejemplo: un

automóvil recorre 2km. al sur, 3km. al este, 2km. al norte y

finalmente 3 km. al oeste. La distancia o longitud recorrida por

el automóvil fue de 10 km. (magnitud escalar), y su

desplazamiento es cero porque finalizo su recorrido en el punto donde inicio.

TIEMPO: Concepto fundamental de la física que traduce en términos objetivos las percepciones subjetivas de

antes y después, permitiendo establecer el orden con que se verifica una sucesión de fenómenos. En el sistema

internacional de unidades (SI), la unidad de medida del intervalo de tiempo es el segundo.

POSICIÓN: La posición esta determinada por las

coordenadas de un punto con respecto a un marco o sistema de

referencia. El sistema de referencia que se utiliza esta

integrado por un par de ejes interceptados en un punto llamado

origen y perpendiculares entre si conocido como sistema de

coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas. La posición

P (X , Y) queda expresada por la magnitud de la abscisa (eje x) y

la ordenada (eje y). Para localizar una posicion A (5 , 3) en la grafica, se traza una perpendicular sobre el eje de

las x en la magnitud 5 de su escala, posteriormente se traza otra perpendicular al eje y en la magnitud 3 de la

escala, el punto donde se interceptan las dos rectas trazadas indica la posición del punto A.

La posición del mòvil queda representada por medio de las coordenadas

polares, por ejemplo 70 km, = 45 0

con respecto a la horizontal, la posición

está determinada por la magnitud del vector y su orientción con respecto a un

sistema de referencia.

45 0

d = 70 km

Posición

inicial

Posición final

Desplazamiento

Distancia

♦

♦

y

x

♦

1 2 3 4 5 6 7

4

3

2

1

0

A ( 5 , 3 )

I-2017

15

t

dv

VELOCIDAD Y RAPIDEZ

Con frecuencia, la velocidad y rapidez se emplean como conceptos iguales, no obstante existe una diferencia

entre ellas determinada por el empleo de una distancia o un desplazamiento, de modo que:

La velocidad de un móvil es el desplazamiento del móvil en la unidad de tiempo. La velocidad es una magnitud

vectorial que además del módulo tiene la dirección y sentido de su desplazamiento.

Matemáticamente la Velocidad:

La rapidez es una magnitud escalar de la velocidad y se define como la distancia recorrida por el móvil en la

unidad de tiempo.

Las unidades de rapidez y velocidad son unidades congruentes, al igual que las unidades de distancia y

desplazamiento. Matemáticamente la rapidez:

Cuando el móvil describe una trayectoria curvilínea, la velocidad y la rapidez pueden ser iguales

en su magnitud pero diferentes en la dirección

Cuando la trayectoria seguida por el móvil es rectilínea la velocidad es igual a la rapidez.

VELOCIDAD MEDIA: la velocidad media mv , de una partícula que se desplaza entre dos puntos, se define

como el vector desplazamiento entre dos puntos, x , dividido entre el intervalo de tiempo t , durante el cual

ocurrió el desplazamiento.

Problemas resueltos

1. Determina la velocidad de un ciclista que recorrió 5000 metros en un tiempo de 250 segundos.

2. ¿Qué distancia recorrerá la luz en 30 segundos? (recuerda que la velocidad de la luz =300,000,000 m/s).

En donde :

Factor

Magnitud que

representa

Sistema

MKS cgs Ingles

v Velocidad m/s cm/s ft/s

x desplazamiento m cm ft

t tiempo s s s

t

DR

Datos ?v

md 0005

segt 250

Fórmula

t

dv

Sustitución

s

mv

250

0005

Resultado

s

mv 20

t

xvm

t

xvv mm

La magnitud de la rapidez media es:

I-2017

16

3. Determina el tiempo requerido para que un barco que se desplaza a razón de 120 km/h llegue a un puerto

localizado a 6 km. al Este de su posición. ( veamos las unidades)

MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL ( HORIZONTAL)

Los movimientos unidimensionales son movimientos proyectados por cuerpos que describen trayectorias

rectilíneas (a lo largo de una recta) y pueden ser uniforme o uniformemente acelerados.

1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales describiendo una trayectoria recta se tiene el

movimiento rectilíneo uniforme. Por ejemplo un auto recorre 5m por cada segundo que transcurre manteniendo

constante su velocidad, se puede predecir la distancia recorrida en diferentes intervalos de tiempo, o el tiempo que

tardará en llegar a su destino.

VELOCIDAD MEDIA EN EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Si la Velocidad Media de una partícula o cuerpo se mantiene constante en todos los intervalos de tiempo en un

movimiento en línea recta, se dice que la partícula (móvil) tiene una velocidad constante o velocidad uniforme. Si

determinamos que una partícula tiene velocidad uniforme, podemos prescindir de la notación vectorial en la

expresión para la velocidad media y utilizar su módulo como una medida de la rapidez de la partícula. De este

Datos

s

mv 000000300

smd ?

segt 30

Fórmula

t

dv

Sustitución s

smd 30000000300

Despeje tvd

Resultado md 0000000009

Datos

sm

hkmv 33.33120

mkmd 00066

?t

mkm

mkm

sm

s

h

km

m

h

km

00061

10006

33.336003

1

1

1000120

Conversiones

Fórmula

t

dv

Sustitución

sm

mt

33.33

0006

Resultado

segt 180

Despeje

v

dt

I-2017

17

modo podemos calcular la Velocidad Media del Movimiento Rectilíneo Uniforme. Mediante la expresión

matemática.

Donde:

ttt

xxx

12

12

REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

En la figura observamos las posiciones del móvil con respecto

al tiempo, los desplazamientos son iguales a lo largo de la

trayectoria, al graficar desplazamiento versus tiempo y unir las

posiciones, obtendremos una línea recta, cuya pendiente (m) es

igual a la magnitud de la velocidad (m = vm)

Matemáticamente la ecuación de la pendiente de una recta es:

1 s 2 s 3 s 4 s 0 s

0 m 20 m

15 m

10 m

5 m

x= variación del desplazamiento

x= variación del tiempo

20

15

10

5

0

1 2 3 4

A (1, 5)

D (4, 20)

C (3, 15)

t (s)

B (2, 10)

X (m)

12

12

tt

xxvm

t

xvm

tvx m .Por tanto: Despejando

I-2017

18

12

12

XX

YYm

En donde X, Y son la abscisa y ordenada respectivamente de dos posiciones de la

recta, adaptando la formula a la información de la grafica, la ecuación queda de la siguiente forma:

12

12

tt

xxvm m

Consideremos los puntos A (1, 5) y C (3, 15) en donde: t1 = 1 seg., t2 = 3 seg y d1 = 5 m, d2 = 15 m .

Sustituyendo en la formula para determinar el valor de la velocidad tenemos:

Si graficamos velocidad versus tiempo, obtendremos la información correspondiente al desplazamiento logrado

por el móvil a velocidad constante en determinado tiempo, como podrá apreciarse en la grafica el área sombreada

equivale a la magnitud del desplazamiento. Para este ejemplo tenemos:

2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Cuando el móvil experimenta cambios de velocidad iguales en tiempos iguales se tiene el movimiento

uniformemente acelerado (MUA), si además sigue una trayectoria recta el movimiento es rectilíneo

uniformemente acelerado (MRUA). Es decir, Un movimiento uniformemente acelerado es aquel en el cual la

aceleración es constante.

La aceleración media de un móvil en movimiento acelerado es:

5

0

1 2 3 4

t ( s )

v ( m / s )

A D C B

mx

sss

mx

ttvx

entodesplazamiárea

fm

15

145

0

sm

ss

mmvm 5

13

515

if

if

mtt

vv

t

va

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19

Como estamos tratando la aceleración de una partícula en un movimiento rectilíneo y, además, con la condición

de que la aceleración sea constante la aceleración media en cualquier punto es igual a la aceleración instantánea.

Por lo tanto, la velocidad aumenta o disminuye, con una razón de cambio igual, durante todo el movimiento. Así la

ecuación anterior se transforma en:

if

if

tt

vva

(*)

Usualmente, la relación anterior se utiliza con las siguientes condiciones:

1. Se considera que el movimiento acelerado se inicia cuando t=0

2. La medición final del movimiento tiene lugar cuando tf = t , donde t es un tiempo cualquiera.

3. Para t=0, la velocidad inicial vi, se designa como vo,

4.A la velocidad final, para un tiempo cualquiera, t, se le designa como vf= v , y especifica el valor de la

velocidad para cualquier tiempo.

De acuerdo a las especificaciones anteriores, la relación (*) tendrá la forma:

En donde.

Observamos en la figura que la longitud de tramo recorrido por el automóvil esta aumentando a medida que

transcurre el tiempo, y es consecuencia del incremento de velocidad que experimenta en la unidad de tiempo, el

automóvil registra un aumento en la velocidad de 5 m/s en cada segundo y por lo tanto su aceleración es de 5

m/s2

Factor Magnitud Sistema

MKS CGS Ingles

a Aceleración m / s2

cm / s2

ft / s2

fv Velocidad final m / s cm / s ft / s

iv Velocidad inicial m / s cm / s ft / s

t Tiempo s s s

t

vva

if

Despejando la velocidad Tenemos:

atvv if

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20

Datos

s

m

h

kmvi 2590

Ejercicios resueltos

1.Un móvil se desplaza a razón de 90 km/hr y reduce su velocidad a 30 km/h en un tiempo de 20 seg. ¿Cuál es

su aceleración?

segt 20

?a

2. Un corredor desarrolla una velocidad de 5 m/s y al acercarse a la recta final acelera uniformemente a razón de

1.5 m/s2

durante 40 segundos ¿Con que velocidad cruza la meta?

Velocidad Media en el Movimiento con Aceleración Constante

La aceleración constante no es otra cosa que el cambio uniforme creciente o decreciente del valor de la velocidad

en un intervalo de tiempo t. cuando una partícula se mueve a velocidad constante, la

VELOCIDAD MEDIA (Vm) se expresa como: (a)

Conversiones

sm

s

h

km

m

h

km

sm

s

h

km

m

h

km

33.86003

1

1

100030

256003

1

1

100090

Fórmula

t

vva

if

Sustitución

s

sm

sm

a20

2533.8

El signo negativo se debe a una reducción de

velocidad.

2835.0s

ma

Resultado

s

m

h

kmv f 33.830

Datos

smvi 5

smv f ?

segt 40

25.1s

ma

Fórmula

t

vva

if

Sustitución

ss

ms

mv f 405.15 2

Despeje

atvv if

Resultado

smv f 65

2

iom

vvv

I-2017

21

Es importante destacar que esta ecuación es válida siempre que se mantenga la aceleración constante, es decir,

que la velocidad varíe linealmente con el tiempo.

Desplazamiento En Función Del Tiempo Con Aceleración Constante

12

12

tt

xx

t

xvm

podemos generalizarla y escribirla así:

titf

xixfvm

Con las condiciones ya descritas: xx f , oi xx , tt f . 0it

(b) t

xxv o

m

t

xxvv oo

2 Igualando (a) y (b):

Si x=0 cuando to=0

Desplazamiento en Función del Tiempo

Si sustituimos la ecuación atvv o en la (c) se obtiene:

Desplazamiento en Función de la Velocidad

Despejando el tiempo de la ecuación atvv if y sustituyendo en

Se obtiene:

Velocidad en Función del Desplazamiento

Si de la ecuación anterior, despejamos la velocidad v para un tiempo cualquiera t

axvv 222

tvvxx oo )(2

1

tvvx o)(2

1

( c )

2

2

1attvxx oo

tvvxx oo )(2

1

a

vvvvxx o

oo )(2

1

a

vvxx

of

o2

22

axvv o 22

tatvxtatvvxx ooooo )2(2

1)(

2

1

a

vvt 0

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22

Datos

233.0

10

15

?

sma

smv

smv

x

i

f

Formula

a

vvx

if

2

22

Sustitución

Problemas resueltos

1. ¿Cuál será el deslazamiento de una motocicleta que acelera uniformemente de 10 m/s a 15 m/s en lapso de 15

seg?

m

sm

sm

sm

sm

sm

sm

x 39.89166.0

100225

33.02

1015

2

2

2

2

2

2

22

2. Un móvil se desplaza a razón de 90 km/h y reduce su velocidad a 30 km/h en un tiempo de 20 seg. a)

¿Cuál es su aceleración?; b) ¿Qué distancia recorrió en ese tiempo?

a)

Sustitución

2

)20)(0835.()20)(25(

22 s

sx s

m

sm

mmx 167500

mx 333

Datos

s

m

h

kmVo 2590

segt 20

?a ?x

s

m

h

kmV f 33.830

Fórmulas

t

VVa

of

Sustitución

sa s

msm

20

2533.8

2835.0s

ma

Nota: El signo negativo se debe a una reducción de velocidad.

2

2

1attvx o

b) Formula

I-2017

23

MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL (VERTICAL)

CUERPOS EN CAÍDA LIBRE ( MOV VERTICAL HACIA ABAJO)

La caída libre es el movimiento vertical de los cuerpos que llegan a la superficie terrestre, experimentando en

forma ínfima los efectos de la fricción del aire.Con base a las demostración realizada por el científico Galileo

Galilei “En ausencia de la fricción del aire, Todos los cuerpos caen con la misma aceleración “si dejamos caer

desde una altura y al mismo tiempo varios objetos de diferente tamaño, todos llegaran al suelo simultáneamente”.

La caída libre de un cuerpo se produce por la acción y el efecto de la fuerza de gravedad, es decir este

movimiento vertical dirigido hacia el centro de la tierra incrementa su velocidad 9.8 m/s por cada segundo que

transcurre con una aceleración equivalente a la gravitacional. (Valor redondeado = 10 m/s2 dirigido hacia el

centro terrestre) .Este movimiento es un ejemplo claro de aplicación del movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado, y en la solución de sus problemas se utilizan las formulas del MRUA adaptadas a los cambios que se

observan en el siguiente cuadro.

En estas ecuaciones el signo negativo se utiliza para el movimiento opuesto a la aceleración de la gravedad (ascendente

), mientras que el signo positivo se usará para movimientos que tienen la misma dirección de la aceleración de la gravedad

(descendente ).

Formulas de Caída libre

tgvv o

ygvv o 222

2

2tgtvy o

Cambios

ga

yx 2

VVv o

m

tvvyy oo )(

2

1

2

2

1gttvyy oo

)(222

oo yygvv

Si yo =0

Si yo=0

I-2017

24

Problema resuelto

1. Desde un edificio de 30 m de altura se deja caer un objeto: Calcular:

a) la velocidad de impacto.

b) el tiempo que tarde en llegar al suelo.

2. Se lanza una peñota verticalmente para arriba con una velocidad inicial

vo=30m/s. a) Calcular la velocidad al cabo de 1s y 3s. b) ¿Cuál es la altura máxima

a alcanzar por la pelota? c) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura

máxima?

Datos vo=30m/s

a) Velocidad al cabo de 1 segundo

Formula Sustitución Resultado

tgvv of

ss

m

s

mv f 18,930

2

s

mv f 20,20

Datos

?

?

30

81.9

0

2

f

o

v

t

my

s

mga

v

Fórmula

ghvv of 222

ghv f 22

Sustitución y operaciones

)30)(81.9(22

2mv

s

mf

2

2

6.5882

s

mfv

2

2

6.588s

mfv

sm

fv 26.24

a. Para calcular la velocidad de impacto

Resultado

sm

fv 26.24

Fórmula

tgvv of

Sustitución

281.9

026.24

sm

sm

t

b. Para calcular el tiempo total de vuelo

Despeje

g

vvt

f 0

Resultado

st 51.2

y max

v = 0

V = 30 m/s

I-2017

25

Velocidad al cabo de 3 segundos

tgvv of

ss

m

s

mv f 38,930

2

s

mv f 6.0

Observa que a medida que la pelota asciende va disminuyendo la velocidad.

b) La pelota alcanza su altura máxima cuando la velocidad ascendente de la misma es igual a cero (v=0). A esta

altura máxima la designaremos ym. Considerando que la altura de referencia es yo=0 y utilizando el signo negativo

en la formula.

Formula Despeje

Sustitución Resultado

c) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima lo calculamos haciendo yo=0, y=ym= 45,92m, y vo=30m/s y

v=0. Cunado la velocidad es cero, la pelota inicia su caída, por lo que en las formulas utilizamos el signo positivo

(+) .Todo lo que va hacia abajo es positivo, porque va en la misma dirección de la gravedad

Formula Despeje

Sustitución Resultado

d) el tiempo total del vuelo

mo ygvv 222 mo ygv 20

2 g

vy o

m2

2

2

2

/8,92

)/30(

sm

smym

mym 92,45

tvvyy oom )(2

1

tvy om2

1

o

m

v

yt

2

sm

mt

/30

92,452

st 06,3

ssstttT 12,606,306,3

I-2017

26

MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL (Movimiento combinado)

Los movimientos mixtos o combinados se presentan en dos dimensiones, una dimensión es horizontal o sobre el

eje “X” y la otra dimensión es vertical o sobre el eje “Y”, este tipo de movimiento es observable en la salida del

agua de una manguera, al encestar un balón de básquetbol, el lanzamiento de un proyectil.

LANZAMIENTO DE UN PROYECTIL

1. Movimiento parabólico horizontal (Tiro Parabólico horizontal)

Es el movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente al espacio desde una determinada altura YMAX. El tiro

horizontal describe una trayectoria curva que muestra: a) Desplazamiento horizontal con velocidad constante a lo

largo de la trayectoria. Equivalente a la velocidad de lanzamiento b) Desplazamiento vertical que parte del reposo

e incrementa su velocidad a razón de 9.8 m / s2

por cada segundo que transcurre por acción de la fuerza de

gravedad considerada como única al despreciar la fricción del aire.

Vox = Vx es constante durante toda la trayectoria.

Voy = 0 Vox

La figura muestra un diagrama esquemático del movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente con una

velocidad inicial vo. En este caso no hay ninguna componente vertical de la velocidad inicial. Al iniciarse el

movimiento, comienza a actuar la aceleración, creando con esto una componente de velocidad vertical con

dirección hacia abajo. La componente horizontal del movimiento no tiene aceleración. Es, por lo tanto, constante y

su descripción q2ueda determinada por la ecuación:

Como el movimiento horizontal es uniforme, el proyectil se desplazará en esta dirección

una distancia dada por:

Alcance X

Altura máxima Vf VY

VX

t

xvv oxx

tvx ox

I-2017

27

La componente vertical de la velocidad, Vy generada al iniciarse el movimiento por acción de la gravedad, así

como la altura alcanzada, viene expresa por el movimiento en caída libre haciendo yo=0 y voy=0, ya que el

origen de coordenadas con el punto de disparo del proyectil (yo=0 ), y, además, dado que el proyectil no tiene

componente de la velocidad en el eje vertical (voy=0), por tanto:

El módulo del desplazamiento (d) del proyectil, en cualquier intervalo de tiempo:

La velocidad del proyectil en cualquier punto de su trayectoria es una velocidad instantánea y es tangente a esa

trayectoria. La misma es la suma vectorial de las componentes perpendiculares xv y yv ; es decir: yx vvv . El

módulo de la velocidad será:

La dirección del vector velocidad en cualquier punto de la trayectoria puede ser determinada calculando la

tangente en el punto considerado:

Problema resuelto

Se lanza un proyectil horizontalmente con velocidad de 15 m/s desde una altura de 10 m. Calcular:

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo b) la distancia horizontal (el alcance) c) la velocidad de impacto

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo

b) el alcance

Resultado Sustitución Formula

2

2tgY

g

Yt

2

28.9

102

sm

mt 204.2 st st 428.1

Operaciones Despeje

Resultado

Sustitución Formula

tvx ox )428,1()15( ssmx mx 42.21

gtvy 2

2

1gty

22 yxd

22

yx vvvv

)(tan 1

xy vv

gtvv oyy 2

2

1gttvyy oyo

I-2017

28

c) la velocidad de impacto

1. La magnitud de la velocidad horizontal: s

mvox 15

.

2. Movimiento parabólico Oblicuo (Tiro parabólico oblicuo)

Es el lanzamiento de un proyectil a una velocidad inicial que forma un ángulo de elevación con respecto a la

horizontal y describe una trayectoria curva. Este movimiento presenta su mayor altura y alcance cuando su angulo

de elevacion es de 45°

Observamos en la gráfica la trayectoria descrita por un proyectil en tres momentos.

1. El desplazamiento horizontal en que se mantiene constante a lo largo de la trayectoria.

2. El desplazamiento vertical presenta las mismas características del tiro vertical hacia arriba:

2. La magnitud de la velocidad vertical: s

mss

mtgvy 14428.18.9 2

4. Para obtener la dirección de la velocidad final aplicaremos la siguiente formula

Solución: La velocidad final o de impacto es 20.25 m/s, a 43°

Alcance

Altura máxima Vf VY

VX

Vf VY

VX

Vf

VY

VX

VY

VX

Vi

VX

3. Finalmente

sm

smsmvvv yx 25,20)14()15( 2222

43)933,0(tan)15

14(tan)(tan 111

sm

smvv xy

I-2017

29

El proyectil inicia su desplazamiento hacia arriba reduciendo su velocidad a razón de 9.8 m/s2 debido a la

fuerza de la gravedad. En estas condiciones tenemos una desaceleración , razón por la que la gravedad será

negativa

Hasta llegar a un punto donde se detiene, (vy=0 m/s) en este punto se tiene la altura máxima.

Posterior mente inicia el regreso aumentando su velocidad a razón de 9.8 m/s2 por cada segundo que transcurre

Tenemos entonces que al igual que el tiro vertical dirigido hacia arriba, en el tiro oblicuo la velocidad de

lanzamiento es igual a la velocidad de regreso al punto de origen, y el tiempo que tarda en subir es igual al

tiempo que tarda en regresar.

La solución de problemas de trayectorias requiere como punto de partida la velocidad inicial y su ángulo de

elevación. Con esta información se procede de la siguiente forma:

1. Se descompone la velocidad inicial en su componente horizontal y vertical

Como la aceleración horizontal es cero y la vertical corresponde a la de la gravedad, la gravedad según los ejes X

y Y están dadas por:

2. como el desplazamiento horizontal, x, corresponde a un movimiento con velocidad constante, tendremos:

3. El desplazamiento vertical tiene una aceleración constante, g, dirigida hoy hacia abajo y su expresión es similar

a la de un objeto que se lanza hacia arriba:

4. La velocidad del proyectil en cualquier momento será yx vvv y su módulo es:

22

yx vvv

teconsvvv ooxx tancos gtsenvgtvv ooyy

tvtvx oox )cos(

cosoox vv senvv ooy

22

2

1)(

2

1gttsenvygttvy ooy

I-2017

30

5. El tiempo en que alcanza el punto más alto de su trayectoria

5. Altura máxima alcanzada (y=hmax)

6. Tiempo de vuelo: aquel durante el cual permaneció en su trayectoria hasta terminar su desplazamiento aéreo:

7. Alcance horizontal: el desplazamiento horizontal del proyectil cunado vuelve a su altura inicial.

8. La dirección de la velocidad al llegar al suelo

Problema resuelto

Un jugador de fútbol patea un balón a un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, con una velocidad inicial de

20m/s. calcular. a) ¿el tiempo que alcanza el punto más alto de su trayectoria; b) la altura máxima alcanzada; c) el

tiempo que permanece en vuelo hasta que toca tierra;d) la distancia horizontal que alcanza desde su punto de

partida hasta el punto de llegada al suelo; e) la velocidad al tocar tierra f) la dirección de la velocidad al llegar al

suelo. Despreciar la resistencia del aire.

g

senvt o

g

senvh o

2

22

max

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Movimiento Horizontal ( MRU con velocidad constante y MRU con aceleración constante) 1 ¿Qué distancia recorre un auto que viaja a una velocidad constante de 80 km/hr en un tiempo de 0.6 hr? (Solución 48 km) 2 Un barco se localiza a 500km del puerto y se desplaza hacia él a una velocidad de 60km/hr ¿Cuánto tiempo tienen los pasajeros de ese barco para estar listos a abordar el barco? (Solución 8.33hr) 3 ¿Cuál es la velocidad de un león que recorre una distancia de 500m en un tiempo de 1 minuto? (Solución 8.33m/s) 4 Determina la aceleración de una partícula que se desplaza a razón de 25 m/s modificando su velocidad a 45 m/s en un intervalo de 15 seg. (Solución: 1.33 m / s2) 5 Determina la aceleración de un motociclista que reduce su velocidad de 60 km/h a 20 km/h en un tiempo de 30 seg. (Solución: - 0. 37 m / s2 ) 6. ¿Con qué velocidad se desplaza un móvil que parte del reposo y acelera a razón de 2.5 m/s2 durante 300 segundos? (Solución: 750 m / s) Movimiento Bidimensional o parabólico 7.Desde un avión en vuelo horizontal se deja caer un bulto con medicinas para un pueblo aislado por las lluvias. La velocidad horizontal del avión es constante e igual a 250m/s. el bulto tarda 7 segundos en llegar al suelo. Calcular: a) la altura del avión en el momento de soltar el bulto; b) la distancia horizontal alcanzada por el bulto al tocar la tierra; c) el desplazamiento total del bulto; d) el módulo de la velocidad del bulto al tocar el suelo y e) la dirección de la velocidad del bulto cuando toca tierra, ignore la resistencia del aire 8.Un balón es lanzado con una velocidad de 25 m/s con un ángulo de elevación de 60°. Calcular: a) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto b) La altura máxima c) El tiempo total de vuelo d) El alcance EJERCICIOS PROPUESTOS 2 ( MRU y MRUA) 1. Dos autos A y B están separados por una distancia de 200 Km, simultáneamente parten del mismo punto con una rapidez de 60 Km/h y 11,1 m/s respectivamente. Calcular donde y cuando se encuentran?

R: 120km; 2h (7200 s) 2. Un automóvil que se desplaza con una rapidez de 60Km/h se le aplican los frenos durante 0,5 min, hasta

alcanzar una rapidez de 4,16 m/s. Cual es la aceleración adquirida y distancia recorrida en el tramo recorrido? R: -0,416 m/s2 (310,22)m

3. Un móvil se desplaza con una rapidez de 1200 cm/s cuando frena con una aceleración de 2,5 m/s2 hasta detenerse. Calcular la distancia y el tiempo alcanzado por el móvil. R: 28,8m ; 4,8s

4. Un móvil lleva una rapidez de 460 cm/s , cuando ha recorrido 0,2 km su rapidez es de 1240 cm/s. Calcular la aceleración y la rapidez cuando haya recorrido 400 m R: 0,33 m/s2 ; 16,92 m/s

5. Un auto parte del reposo con una aceleración constante. En un momento dado lleva una rapidez de 5 m/s y 10 m mas adelante lleva una rapidez de 12 m/s. Calcular a) La aceleración del móvil b) El tiempo que empleó en recorrer los 10 m c) Tiempo que emplea en alcanzar una rapidez de 20 m/s d) Distancia que recorre desde que parte del reposo hasta que adquiere la rapidez de 5m/s R: 5,95 m/s2 ;

1,17s ; 2,52s ; 2,10m 6. Un ciclista parte del reposo y acelera durante 4 s a 3 m/s2 . El ciclista mantiene su rapidez constante durante

6 s, luego acelera a razón de 1 m/s2 durante 8 s, finalmente se detiene con una desaceleración de 2 m/s2 . Calcular la distancia y el tiempo que recorrió el ciclista en todo su recorrido. R : 324m ; 28s

7. De un mismo punto parten 2 vehículos en la misma dirección y sentido. El primer vehiculo (A) parte del reposo con una aceleración de 2 m/s2 , mientras que el segundo vehiculo (B) sale 2 segundos después que el primero y lleva una rapidez constante de 10 m/s. Calcular Cuando y donde se encuentran? R : t A=7,235s ; t B=5,235 s, 52,345m 8. Dos cuerpos A y B están en la misma recta, separados entre si por una distancia de 1,8m. El cuerpo A

parte del reposo con una aceleración de 3 m/s2 y simultáneamente el cuerpo B se dirige hacia A con una rapidez inicial de 5 m/s y aceleración de 1,4 m/s2 . Calcular la distancia y el tiempo en que se encuentra. R: X AB = 0,15m, X BA = 1,65m ; 0,316 s

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9. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 1 m/s2 que mantiene durante 15 s. Finalizado este tiempo se desplaza con una rapidez constante durante 3 s, aplicando los frenos hasta llegar a detenerse en 5 s. Calcular el desplazamiento total realizado por el móvil. R : 195m

10. Un móvil se desplaza con aceleración constante entre dos puntos A y B que se encuentran separados a 80 m entre si, tardando 5 s en hacer el recorrido AB. La velocidad del móvil al pasar por el punto B es de 20m/s calcular: La aceleración del móvil y la velocidad que llevaba cuando pasó por el punto A. R: 1,6 m/s2 ; 12 m/s

EJERCICIOS PROPUESTOS 3 .( MOVIMIENTO HORIZONTAL)

1. Un avión aterriza en una pista a 63 m/s a) Cual es su aceleración si el avión se detiene en 2 seg? b) Cual es el desplazamiento del avión mientras hasta llegar a detenerse. R= -31m/s2 : 64m 2. Un camión recorre 40 mts en 8,5 s, mientras frena suavemente a una rapidez final de 2,80m/s a) Halle la rapidez inicial b) Determine su aceleración. R: 6,61m/s;-045m/s2 3. Un móvil se mueve con aceleración constante a una velocidad de 12 cm/seg en la dirección +X igual a 3cm. 2 segundos mas tarde su coordenada X es de -5cm. Determine la magnitud de su aceleración R: -16m/s2 4. Un conductor inicia la marcha de su vehículo partiendo desde el reposo y acelera a 10 m/s2 recorriendo 400m a) Cuanto tiempo tarda el vehículo en recorrer esa distancia b) Cual es el valor de la velocidad final alcanzada. R: 8,9s; 89,4m/s 5.Un avión aterriza con una rapidez de 100m/s y una aceleración de - 5m/s2 mientras se está deteniendo por completo a) Cual es el tiempo necesario para realizar el aterrizaje desde que toca la pista hasta detenerse b) Si la pista tiene una longitud total de 0.8Km, podrá aterrizar sin problemas. Qué medida requiere que tenga la pista para poder aterrizar? R: 20s; 1000m. 6. El cuerpo humano sometido a una colisión puede sobrevivir solo si la magnitud de la desaceleración es menor de 250m/s2. Si una persona sufre un accidente automovilístico mientras se desplazaba a una velocidad inicial de 88Km/h y el cuerpo es detenido por la bolsa de aire del vehículo ubicada en el tablero a) A que distancia debe ser detenido el cuerpo para poder sobrevivir al producirse el choque? R: 1,20m 7. Un tigre se mueve con aceleración constante recorriendo una distancia de 80 m entre dos puntos A y B. La rapidez que lleva al pasar por el punto B es de 15 m/s a) Que rapidez llevaba al pasar por el punto A? b) Cual es el valor de la aceleración? R: 7,86m/s; 1,02m/s2 8. Una pelota parte del reposo y acelera 0,5 m/s2 mientras se mueve hacia abajo en un plano inclinado de longitud 9 m. Cuando alcanza el punto más bajo del plano inclinado, la pelota rueda por otro plano horizontal cuya longitud total es de de 15m y la pelota se detiene al llegar al final del plano Horizontal. a)Cual es la rapidez de la pelota en la parte baja del plano inclinado b) Cuanto tiempo tarda en rodar por el plano inclinado cuando recorre toda su longitud? c) Cual es la aceleración cuando está desplazándose en el plano horizontal? d) Cual es la rapidez de la pelota a los 8 m del plano horizontal? R: 3m/s; 6s;-0,3m/s2 ; 2,05m/s 9. Un viaje entre Barquisimeto y Valencia en un día soleado se realiza aproximadamente en 2horas y 10 minutos, si el vehículo lleva una rapidez de 96Km/h. En un día lluvioso, los conductores con sentido comuna hacen el mismo recorrido a una rapidez de 80 Km/h. Cuánto tiempo más, tardara el viaje? R: 26 min más Movimiento Vertical 10.Una caja es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 15m/s a) Cuanto tiempo transcurre hasta que la caja alcanza su altura máxima b)Cual es el valor de la altura máxima alcanzada. C) Cual es la velocidad y la aceleración para t= 2 seg . usar g = 9,8m/ s2 R: 1,53seg; 11,48m; -4,6m/s; -9,8m/s2 11. Se deja caer un cuerpo desde la azotea de un edificio de 30 m. Calcular la velocidad con que llega al suelo ( segundos antes de tocar el piso), b) Tiempo que tarda en llegar al suelo…usar g = 9,80 m/s 2 R: 24,25m/s , 2,47 seg

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12. Una niña lanza unas llaves desde planta baja hacia la planta alta donde se encuentra su hermana. La separación entre las plantas es de 4 mts. La hermana atrapa las llaves 2 segundos más tarde desde que es lanzada. a) Cual es la velocidad inicial con la cual es lanzada las llaves, b) Cual es la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapada. R: 10m/s; -4,7m/s 13. Una pelota de base-ball es golpeada con el bate de tal manera que viaja en línea recta hacia arriba. Un aficionado observa que son necesarios 3 seg para que la pelota alcance su altura máxima. Encuentre: a) la velocidad inicial b) La altura máxima que alcanza. R: 29,4m/s ; 44,1 m 14. Una piedra es lanzada desde la azotea de un edificio de 50 mts con una rapidez inicial de 20 m/s en línea recta hacia arriba. Determine a) El tiempo necesario para que la piedra alcance su máxima altura b) Cual es la altura máxima alcanzada medida desde el piso c)El tiempo en que la piedra vuelve a pasar por el mismo sitio desde donde fue lanzada d) Cual es la velocidad de la piedra al pasar por ese punto e) Calcule la velocidad y la posición al cabo de los 5 seg f) Calcular la velocidad de la piedra segundos antes de tocar el suelo g) Cual es el valor del tiempo total que la piedra permanece en el aire. R: 2,04s; 70,41m ; 4,08s ; -20,08m/s ; -29m/s ; 27,5m ; -37,13: 5,83s Movimiento Bidimensional o Parabólico 15. Un jugador golpea una pelota con su bate con una rapidez inicial de 40 m/s con 48° de Angulo respecto al eje X. a) Cual es el tiempo en que la pelota alcanza el punto mas alto, b) Cual es la altura máxima alcanzada c)Cual es el alcance o distancia máxima X alcanzada por la pelota, d) Calcule la posición ( X,Y) y la magnitud de la velocidad cuando han transcurrido 2 seg.R: 3,03s; 45,06m; 162,16m; 53,52m; 39,84m; 28,61m/s 16. Se lanza horizontalmente un proyectil con velocidad de 15 m/s desde una altura de 10m . Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, b) la distancia total recorrida (alcance), c) La velocidad del impacto y el Angulo de inclinación…g = 9,80m/s2 R : 1.43s, 21.43m, 20,52m/s ; 43º