UNIDAD II METODOS DE INTEGRACION

LA REGLA DE SUSTITUCIÓN

La idea que aparece detrás de esta regla es reemplazar una integral relativamente complicada por una más sencilla. Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x. El reto principal en la aplicación de la regla de sustitución es pensar en una sustitución apropiada. Intente elegir u como alguna función en el integrando cuya diferencial también esté presente. Si no es posible esto escoja u como alguna parte complicada del integrando. Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es raro que la primera conjetura sea errónea, si la suposición no funciona se debe intentar con otra. En general este método se usa siempre que

tenemos una integral de la forma .

Si F' f entonces F[g(x)] + c porque la regla de la cadena de la derivación

F[g(x)] F' [g(x)] . g' (x)

Si hacemos el "cambio de variable" o "la sustitución" u g(x), entonces, tenemos

F[g(x)] + c F(u) + c a bien si se escribe F' f se obtiene

Se probó la siguiente regla:

REGLA DE SUSTITUCIÓN: Si u g(x) es una función diferenciable cuyo conjunto de imágenes es un intervalo I y f es continua sobre I, entonces

.

REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS

Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos. Uno es evaluar primero la integral indefinida y, enseguida la segunda parte del teorema fundamental. Otra, que suele ser más preferible, es cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable.

Regla de sustitución para integrales definidas:

Si g´ es continua sobre [a, b] y f lo es sobre el conjunto de llegada de u g(x)

entonces

Demostración:

Sea F la primitiva de f. Entonces F[g(x)] es una antiderivada de f[g(x)]g' (x) con lo que

F[g(b)] F[g(a)].

Pero si aplicamos nuevamente la segunda parte del teorema

F[g(b)] F[g(a)].

En esta regla se afirma que cuando se usa una sustitución en una integral definida, debemos poner todo en términos de la nueva variables u, no sólo x y dx sino también los límites de integración. Los nuevos límites de integración son los valores de u que corresponden a x a y x b.

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INTEGRACIÓN POR PARTES

Toda regla de derivación tiene una correspondiente de integración. La regla de sustitución de la integración corresponde a la regla de la cadena en la derivación. La regla que corresponde a la regla del producto de la derivación se llama regla de la integración por partes. La regla del producto expresa que si f y g son funciones diferenciables entonces

f(x)g' (x) + f' (x)g(x)

Si hallamos la integral indefinida

+

f(x) . g(x) +

f(x) . g(x) .

Esta es la fórmula de integración por partes.

Para que resulte más fácil de recordar se puede utilizar la siguiente notación: sea u f(x) y v g(x). Entonces du f' (x)dx y dv g' (x)dx. Por la regla de

sustitución resulta: .

El objetivo al aplicar la integración por partes es obtener una integral más sencilla que la inicial. Al decidir una selección par u y dv se trata que u f(x) sea una función que se simplifique cuando se derive (o al menos no se complique) mientras que dv g' (x)dx se pueda integrar fácilmente para encontrar v.

Para integrales definidas, si f' y g' son continuas

La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la derivada de un producto de funciones. Veamos:

 Ejercicios resueltos          En los ejercicios siguientes efectúe la integral indefinida:

S o l u c i o n e s

 1. Solución:

 2. Solución:

 3. Solución:

  4. Solución:

 5. Solución:

 6. Solución:

 7. Solución:

 8. Solución:

 

 

 

 

si entonces

si dv = dx entonces

v =

para x

Note que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarse cuando se lleva a cabo la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv.

En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se muestra en el siguiente ejemplo:

En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se muestra en el siguiente ejemplo:

si entonces si entonces

Luego:

ahora

y

Por tanto:

si entonces

si entonces v = x

Luego:

si entonces

si entonces

Luego:

si entonces

si entonces

Luego:

nuevamente:

ACTIVIDAD 10 INTEGRACION POR PARTES

Nos permitimos recordar la fórmula de integración por partes:  

                    1.-                                                                7.-   

                    2.-                                                               8.-   

                    3.-                                                            9.-   

                    4.-                                                               10.-   

                    5.-                                                   11.-   

                    6.-                                                           12.-   

Respuestas:

1.-

 

2.-

  

3.-

  4.-

 

5.-

  6.-

  7.-

 8.-

  9.-

    10.-

  11.-

 12.-

         

Integrales trigonométricas

Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas

Antes de proceder a determinar este tipo de integrales es conveniente recordar las fórmulas siguientes:

 

a.

   

b.

   

c.

   

d.   

e.

   

f.

Estudiaremos mediante ejemplos los casos generales que se enuncian a continuación:

 

1.con n un entero positivo par.

Ejemplos:

a.   (se utiliza la fórmula dada en e.)

 

 

   

b.  Ejercicio para el estudiante

   

c.

 

 

 (en la última integral se utiliza nuevamente la fórmula dada en (e), solo que en este caso es igual a 2x)

   

 

 

 

 

   

En forma similar se procede con y en general con las integrales de las potencias pares de las funciones seno y coseno.

2.con n un entero positivo par.

Ejemplos:

a.

   (Note que

 

   

b.Similarmente, utilizando la identidad c puede determinarse

   

c.

 

 

 

   

d.Ejercicio para el estudiante

 

Utilizando el procedimiento anterior pueden calcularse las integrales de las potencias pares de las funciones secante y cosecante. En el caso de potencias impares debe utilizarse el método de la integración por partes que se estudiará más adelante.

   

3.con n un entero positivo par.

Ejemplos:

a.Utilizando la fórmula dada en b.

 

    b.

Utilizando la fórmula dada en c, calcule    

c.

 

 

 

 

 

 

 

   

d.Determine

   

4.con m 

  un entero positivo impar.

Ejemplos:

a.

 (Recuerde que )

 

 

   

b.Determine

   

c.

 

 

 

   

d.Calcule

   

e.

 

 

   

f.

 

 

 

 

 

 

 

   

g.Determine

   

5.

  con n y r ambos enteros positivos pares.

Ejemplos:

a.Utilizando las fórmulas e y f.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

      

b.Determine

   

c.Determine

   

d.

 

 

 

 

   

e.Ejercicio para el estudiante

   

6.

 con n y r ambos enteros positivos, siendo por lo menos uno de los exponentes impar.

Ejemplos:

a.

 

 

 

   

b.Ejercicio para el estudiante

   

c.

 

 

   

d.

 

 

 

   

e.Ejercicio para el estudiante

ACTIVIDAD 11

a.

   

b.

   

c.

   

d.

   

e.

   

f.

   

g.