Unidad IV: Distribución de Velocidad en Flujo Turbulento

Unidad IV: Distribución de Velocidad en Flujo Turbulento

Prof. Pedro José Tineo Figueroa Prof. Pedro José Tineo Figueroa

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar el

Significado del Número de Reynolds y el Comportamiento del Flujo

Viscoso Turbulento

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar el

Significado del Número de Reynolds y el Comportamiento del Flujo

Viscoso Turbulento

Analizar el experimento de Reynolds.Analizar el experimento de Reynolds.

Establecer el significado del Número de Reynolds.Establecer el significado del Número de Reynolds.

Interpretar el concepto de flujo viscoso turbulento.Interpretar el concepto de flujo viscoso turbulento.

Describir el principio de la capa limite.Describir el principio de la capa limite.

Demostrar la ecuación del perfil universal de velocidades.Demostrar la ecuación del perfil universal de velocidades.

1. Experimento de Reynolds, número de Reynolds.1. Experimento de Reynolds, número de Reynolds.

Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill

2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill

2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

2. Flujo viscoso turbulento.

3. Perfil universal de velocidades.

En la Unidad I se estudió el concepto de la viscosidad, pero ¿Cómo afecta la viscosidad el flujo de fluidos viscosos?

En la Unidad I se estudió el concepto de la viscosidad, pero ¿Cómo afecta la viscosidad el flujo de fluidos viscosos?

Es universalmente aceptada la idea de que existen dos tipos distintos de flujo viscoso:Es universalmente aceptada la idea de que existen dos tipos distintos de flujo viscoso:

Flujo Laminar: Se caracteriza porque las capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente una sobre la otra.

Flujo Laminar: Se caracteriza porque las capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente una sobre la otra.Flujo Turbulento: En este caso se transfieren entre las capas pequeños paquetes de partículas de fluido, haciendo el flujo fluctuante

Flujo Turbulento: En este caso se transfieren entre las capas pequeños paquetes de partículas de fluido, haciendo el flujo fluctuante

Este comportamiento fue descrito por primera vez en forma cuantitativa por Osborne Reynolds (1883) con un clásico experimento.

Este comportamiento fue descrito por primera vez en forma cuantitativa por Osborne Reynolds (1883) con un clásico experimento.

Para demostrar eso ideó el siguiente montaje:

Para demostrar eso ideó el siguiente montaje:

Determinó que dos situaciones de flujo diferentes eran dinámicamente similares si el grupo adimensional vl/ tenían el mismo valor. Ese grupo adimensional es conocido hoy día como el Numero de Reynolds (Re)

Determinó que dos situaciones de flujo diferentes eran dinámicamente similares si el grupo adimensional vl/ tenían el mismo valor. Ese grupo adimensional es conocido hoy día como el Numero de Reynolds (Re)vl

Re

Donde:

v [m/s]: Velocidad característical [m]: Longitud característica[kg/m3]: Densidad[Pa·s]: Viscosidad

Donde:v [m/s]: Velocidad característical [m]: Longitud característica[kg/m3]: Densidad[Pa·s]: Viscosidad

Observó que para caudales pequeños la tinta se movía como una línea recta, sin embargo al aumentar el caudal comenzaba a ondular hasta que se rompía y la tinta se difundía por el tubo.

Observó que para caudales pequeños la tinta se movía como una línea recta, sin embargo al aumentar el caudal comenzaba a ondular hasta que se rompía y la tinta se difundía por el tubo.

Para el flujo en un tubo cilíndrico se determinó:Remin= 2000Remax= 4000

Para el flujo en un tubo cilíndrico se determinó:Remin= 2000Remax= 4000

En general se puede definir el Número de Reynolds para flujo en conductos como:En general se puede definir el Número de Reynolds para flujo en conductos como:

H4R vRe

Donde:RH: Radio HidráulicoDonde:RH: Radio Hidráulico

FH

M

AArea de FlujoR

Perímetro Mojado P

AF: Área transversal al flujo de fluidoPM: Perímetro del conducto en contacto con el fluido.AF: Área transversal al flujo de fluidoPM: Perímetro del conducto en contacto con el fluido.

Por ejemplo para una tubería cilíndrica de diámetro D:Por ejemplo para una tubería cilíndrica de diámetro D:

Físicamente el Re se interpreta como:Físicamente el Re se interpreta como:

Fuerzas InercialesRe

Fuerzas Cor tantes Viscosas

DD

22

FH

M

DDA D vD4R Re4

D 4P D

El concepto de capa Límite fue desarrollado por Prandtl en 1904 Provee un vínculo importante entre el flujo de fluidos ideales y el flujo de fluidos reales.

El concepto de capa Límite fue desarrollado por Prandtl en 1904 Provee un vínculo importante entre el flujo de fluidos ideales y el flujo de fluidos reales.

Es la capa de fluido cuya velocidad ha sido afectada por el esfuerzo cortante de la frontera. “Los esfuerzos de fricción a valores altos de Re solo se presentan en una delgada capa en los límites del cuerpo”

Es la capa de fluido cuya velocidad ha sido afectada por el esfuerzo cortante de la frontera. “Los esfuerzos de fricción a valores altos de Re solo se presentan en una delgada capa en los límites del cuerpo”

El criterio para saber el tipo de capa límite se basa en el Número de Reynolds Local:El criterio para saber el tipo de capa límite se basa en el Número de Reynolds Local:

El análisis matemático de la capa límite se realiza a partir de la ecuación de Navier-Stokes (bidimensional) y la ecuación de continuidad, después de algunas simplificaciones:

El análisis matemático de la capa límite se realiza a partir de la ecuación de Navier-Stokes (bidimensional) y la ecuación de continuidad, después de algunas simplificaciones:

x

x vRe

Para el flujo sobre una placa plana, los datos experimentales indican que:Para el flujo sobre una placa plana, los datos experimentales indican que:a) Rex < 2·105 La capa límite es laminarb) 2·105 < Rex < 3·106 La capa límite puede ser laminar o

turbulenta.c) 3·106 < Rex La capa límite es turbulenta.

a) Rex < 2·105 La capa límite es laminarb) 2·105 < Rex < 3·106 La capa límite puede ser laminar o

turbulenta.c) 3·106 < Rex La capa límite es turbulenta.

2x x x x

x y 2

yx

x y

x

v v v vv v Navier Stokes

t x y y

vv0 Continuidad

x y

C.B. : v v 0 en y 0

v v en y

Blasius (1908) propuso la resolución de este sistema utilizando una función de corriente y reduciendo el sistema a una sola ecuación diferencial ordinaria. Los resultados significativos de este trabajo son los siguientes:

Blasius (1908) propuso la resolución de este sistema utilizando una función de corriente y reduciendo el sistema a una sola ecuación diferencial ordinaria. Los resultados significativos de este trabajo son los siguientes:a) El espesor de la capa límite, , para flujo laminar sobre una placa

plana se obtiene considerando que vx/v≈0,99, en este punto se tiene:

a) El espesor de la capa límite, , para flujo laminar sobre una placa plana se obtiene considerando que vx/v≈0,99, en este punto se tiene:

x

xx 5

v

5 5

x v x Re

b) El gradiente de rapidez en la superficie esta dado por:b) El gradiente de rapidez en la superficie esta dado por:

xv v0.332·v

y x

Entonces el esfuerzo cortante en la superficie puede calcularse como:Entonces el esfuerzo cortante en la superficie puede calcularse como:

xo

y 0

v v·0,332·v

y x

En la zona turbulenta la solución de Blasius está muy limitada, entonces se recurre al análisis integral del momento de Von Kármán, a partir del cual se obtienen los siguientes resultados para la capa límite turbulenta:

En la zona turbulenta la solución de Blasius está muy limitada, entonces se recurre al análisis integral del momento de Von Kármán, a partir del cual se obtienen los siguientes resultados para la capa límite turbulenta:

x

o21

2 x

4,64

x Re

0,646

v Re

Distribuciones de Velocidad en Flujo Turbulento:Distribuciones de Velocidad en Flujo Turbulento:

En la subcapa laminar viscosa el esfuerzo cortante es constante e igual al esfuerzo cortante en la pared (o), la distribución de velocidades esta dada por la Ley de Newton dentro de la región y ’ (espesor de la subcapa):

En la subcapa laminar viscosa el esfuerzo cortante es constante e igual al esfuerzo cortante en la pared (o), la distribución de velocidades esta dada por la Ley de Newton dentro de la región y ’ (espesor de la subcapa):

o u u

y y

El término (o/)1/2 de conoce como la velocidad de esfuerzo cortante (u*), por consiguiente:El término (o/)1/2 de conoce como la velocidad de esfuerzo cortante (u*), por consiguiente:

*

*

u yuy '

u

Esta relación lineal se extiende hasta u*y/ ≈ 5, por lo tanto ’=5/u*Esta relación lineal se extiende hasta u*y/ ≈ 5, por lo tanto ’=5/u*

En la capa de transición el esfuerzo cortante es aproximadamente igual al de la pared, por lo tanto:En la capa de transición el esfuerzo cortante es aproximadamente igual al de la pared, por lo tanto:

2

2o

dul

dy

Suponiendo que l es proporcional a y (l = y), al sustituir y reordenar se obtiene:Suponiendo que l es proporcional a y (l = y), al sustituir y reordenar se obtiene:

**

du 1 dy u 1Integrando : ln y cons tante

u y u

Para evaluar la constante se usa la condición de Bakhmeteff (1941), es decir, u=up cuando y=’:Para evaluar la constante se usa la condición de Bakhmeteff (1941), es decir, u=up cuando y=’:

p *

*

u u 'N

u

N es un valor crítico en la zona donde el flujo cambia de laminar a turbulento, con este valor aplicado en la ecuación para la zona de transición se tiene:

N es un valor crítico en la zona donde el flujo cambia de laminar a turbulento, con este valor aplicado en la ecuación para la zona de transición se tiene:

De donde se puede despejar la constante y sustituir en la ecuación original para obtener:De donde se puede despejar la constante y sustituir en la ecuación original para obtener:

p

**

u 1 1 NN ln ' cons tante ln cons tante

u u

**

**

yuu 1 1ln N ln N

u

ó

yuu 1ln A

u

Este resultado es válido para tuberías con paredes lisas, para las cuales Nkuradse (1932) determinó experimentalmente los valores de y A, graficando los u/u* vs. ln(yu/u*):

Este resultado es válido para tuberías con paredes lisas, para las cuales Nkuradse (1932) determinó experimentalmente los valores de y A, graficando los u/u* vs. ln(yu/u*):

De donde se desprende que = 0,4 y A = 5,5De donde se desprende que = 0,4 y A = 5,5

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

AnónimoAnónimo