UNIDAD 5: LAS FRACCIONES

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© Daniel_García

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5.1 CONCEPTO DE FRACCIÓN:

• Una fracción es el cociente entre dos números enteros a y b tales que b ≠ 0.

El denominador b indica las partes iguales en que se divide la unidad.

El numerador a indica las partes que se toman de las que se ha dividido la unidad.

• Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo 5/6 .

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de extremos es igual al producto de medios.

a/b=c/d es equivalente a a · d = b · c

• Una fracción es impropia si el denominador es menor que el numerador. Por ejemplo 7/3 .

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5.1.1. Fracciones amplificadas: Se obtienen multiplicando el numerador y el denominador por un mismo número natural.

Ej. 8/4 es una fracción amplificada de 4/2 porque 8= 4·2 y 4= 2·2

5.1.2. Fracciones simplificadas: Se hallan dividiendo el numerador y el denominador por un divisor común a los dos.

Ej. 12/16 = 6/8

5.1.3. Fracciones irreducibles: Son aquellas en las que el mcd del numerador y denominador es 1, es decir, son primos entre sí. 24/18=12/9=4/3 (irreducible)5.2 Comparación y ordenación de fracciones: Para comparar fracciones se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. El denominador común será el m.c.m de los denominadores.

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Reducir fracciones a común denominador consiste en hallar otras con el mismo denominador que sean equivalentes a las originales. Este denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Para comparar fracciones se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. Será mayor la que tenga mayor

1520

159

34

53 y153) , m.c.m.(5y

159

1520

• También se pueden comparar fracciones en la recta numérica. Dividimos la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y situamos la fracción en el punto que coincide con el número de partes que indica el numerador. La fracción mayor será la que quede situada a la derecha.

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5.3. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción• Si tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador común.

• Si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman o restan los denominadores y se mantiene el denominador común.

4

9

4

6

4

3

4

3

4

2

4

5

6

3

6

10

2

1

3

5

6

Las propiedades de la suma de fracciones son las siguientes:

Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

32

41

41

32

32

45

31

32

45

31

34

10

34

10

30

35

35

•5.4 Operaciones con fracciones. Multiplicación y división.Al multiplicar dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores.

7

d · bc · a

dc ·

ba

158

54

32

Las propiedades de la multiplicación de fracciones son las siguientes:

Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

Distributiva respecto a la suma o la resta

32 ·

41

41 ·

32

32 ·

21 ·

52

32 ·

21 ·

52

38

11 ·

38

11

2020

45 ·

54

21 ·

34

45 ·

34

21

45 ·

34

8

Al dividir dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

c · bd · a

dc :

ba

1514

75

: 32

5.4. Operaciones con fracciones. Potencias

Para calcular la potencia de una fracción se multiplica la fracción por sí misma tantas veces como indique el exponente.

veces nn

ba · ... ·

ba ·

ba

ba

También se puede calcular elevando numerador y denominador al exponente al que está elevada la fracción.

n

nn

ba

ba

9

169

43

43

43

43

2

22

• Se pueden realizar las mismas operaciones con las potencias de fracciones que con las potencias de base entera:

Multiplicación de potencias de la

misma base

División de potencias de la

misma base

Potencia de una potencia

qpqp

ba

ba ·

ba

qpqp

ba

ba :

ba

q · pqp

ba

ba

7252

5

43

43

43 ·

43

53838

21

21

21 :

21

62 · 3

23

53

53

53

10

5.5 Operaciones combinadas.

Cuando se realizan varias operaciones con fracciones se debe seguir el siguiente orden:

1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis del más interno al más externo.

2.º Calcular las potencias y las raíces.

3.º Realizar las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha según el orden de aparición.

4.º Hallar las sumas y las restas de izquierda a derecha según el orden de aparición.

11

1617

4851

4848

4872

4827

11218

169

149

·32

94

:41

149

·32

32

:41

123

·32

31

1:21

2

222