UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA ESTADISTICA II · ESTADISTICA II UNIDAD I MUESTREO Y ESTIMACION DE...

DR. DENY GONZALEZ

UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDAESTADISTICA II

UNIDAD IMUESTREO Y ESTIMACION DE PARAMETROS

(GUIA DE ESTUDIO)

MAYO 2016

UNIDAD I. MUESTREO Y ESTIMACION DE PARAMETROS

La Estadística ……

“incluye la recopilación, presentación y caracterización de la informacióna fin de que auxilie tanto en el análisis de datos como en el proceso detoma de decisiones”. (Berenson y Levine, 1992).

“es un conjunto de métodos para la toma de decisiones en condiciones deincertidumbre”. (Harnett y Murphy, 1987 )

DESCRIPTIVA:Métodos que incluyen larecolección, presentación ycaracterización de unconjunto de datos con el finde describir apropiadamentelas diversas características deese conjunto de datos.

INFERENCIAL:Métodos que hacen posiblela estimación de unacaracterística de unapoblación o la toma de unadecisión referente a unapoblación, basándose sólo enlos resultados de la muestra.


Población Muestra Muestreo Aleatorio

Herramientas Estadísticas

Mediana Muestral

2

)1)2/(()2/(

2/)1(

nn

n ; n es impar

; n es par

Media Muestraln

x

x

n

i

i 1

Moda

Varianza Muestral1

)(

1

2

2

n

xx

S

n

i

i

Desviación estándar muestral (S)

Media PoblacionalN

x

N

xxx iN

...21

1,2,3,4,4,4,5,6,7

𝑠2 =1

𝑛 − 1

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖2 − 𝑛( 𝑋)2

Ejemplo: El número de respuestas incorrectas en una prueba de competencia de

falso o verdadero para una muestra aleatoria de 15 estudiantes fueron los siguientes:

2,1,3,0,1,3,6,0,3,3,5,2,1,4 y 2. Encuentre: a) la media, b) la mediana c) la moda, d)

varianza y desviación estándar.

a)n

x

x

n

i

i 1 4.2

15

36x

b) 2/)1( nEs impar x(15+1)/2 = x8 = 2

Ordenar datos: 0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,5,6

c) 0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,5,6

d)

x f x2 x2 *f x*f

0 2 0 0 0

1 3 1 3 3

2 3 4 12 6

3 4 9 36 12

4 1 16 16 4

5 1 25 25 5

6 1 36 36 6

15 91 128 36

9714.2)115(*15

)36()128*15( 22

S

)1(*

***

1

2

1

2

2

nn

fxfxn

S

k

i

k

i

iiii

e) S = 1.7237


n

fx

x

k

i

ii 1

*

𝑠2 =1

𝑛 − 1

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖2 − 𝑛( 𝑋)2

(1/14)(128-15*2.42)=2.9714


Cuando se trabaja con conjuntos grandes de datos, es útil organizarlos

y resumirlos por medio de la construcción de una tabla que liste los

distintos valores posibles de los datos, individual o por grupos, junto

con el número de veces que se presentan dichos valores. (frecuencias)

Ordenamiento de notas en Estadística

9 9 10 11 11

11 12 12 13 13

13 14 14 14 14

16 17 17 19 20

Clase Frecuencia

9 - 11 6

12 - 14 9

15 - 17 3

18 - 20 2

Diferencia entre ordenamiento de datos y frecuencia

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Si se agrupan en intervalos de clase y se cuenta el número deindividuos que pertenece a cada intervalo.

Regla de Spiegel: Se construyen entre 5 y 20 clases.

Regla de Sturgess: El número de clases viene dado por el valor de k, donde:

)( log1 5003,322 nnk

Regla Empírica: El número de clases viene dado por:

nk

Es necesario primero determinar el número óptimo de clases ocategorías (k) y luego construirlos.



Ordenamiento de notas en Estadística

9 9 10 11 11

11 12 12 13 13

13 14 14 14 14

16 17 17 19 20

Clase Frecuencia

7 - 9 2

10 - 12 6

13 - 15 7

16 - 18 3

19 - 21 2

Regla de Spiegel: 5 clases

Regla de Sturgess: k=1+3.322*log(20) = 5.322

Regla Empírica: K=raíz(20) = 4.47



Rango

KAncho de Clase =

Se selecciona k=5

(20-9)/5 = 2.75 aprox 3

Calcula los límites superiores sumándole al límite inferior el ancho de clase menosuna unidad, una décima o una centésima, según sea el caso para evitar que loslímites de un intervalo y el siguiente tengan los mismos valores. Ejemplo 3-1=2


ESTIMADOR

Un estimador de un parámetro poblacional es una función de los datos

muestrales. En pocas palabras, es una fórmula que depende de los valores

obtenidos de una muestra, para realizar estimaciones.

Por ejemplo, un estimador de la media poblacional, μ, sería la media muestral,

, según la siguiente fórmula:

Donde (x1, x2, ..., xn) sería el conjunto de datos de la muestra.

MUESTREOS PROBABILISTICOS

Muestreo aleatorio simple

Muestreo aleatorio sistematico

Muestreo aleatorio estratificado

MUESTREO NO PROBABILISTICOS

Muestreo por cuotas

Muestreo intencional o por conveniencia

Bola de nieve.

TIPOS DE MUESTRA


MUESTRA ALEATORIA Y TAMAÑO DE LA MUETRA (n).

Una colección de n variables aleatorias.

Todas con la misma distribución.

Todas independientes.

Si la población es finita, es decir conocemos el total de la población y deseásemos

saber cuántos del total tendremos que estudiar la respuesta seria:

Donde:

N = Total de la población

Za2 = 1.962 (si la seguridad es del 95%)

p = proporción esperada (en este caso 5% = 0.05)

q = 1 – p (en este caso 1-0.05 = 0.95)

d = precisión (en este caso deseamos un Ejemplo 1%, 2,% o 3%).

Fuente:https://www.fisterra.com/mbe/investiga/9muestras/9muestras2.asp


¿A cuántas personas tendría que estudiar de una población de 15.000 habitantes para

conocer la prevalencia de diabetes?

Seguridad = 95%; Precisión = 3%; proporción esperada = asumamos que puede ser

próxima al 5% ; si no tuviese ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p

= 0.5 (50%) que maximiza el tamaño muestral.

ESTIMACION DE TAMAÑO DE MUESTREO

Donde:

N = Total de la población

Za2 = 1.962 (si la seguridad es del 95%)

p = proporción esperada (en este caso 5% = 0.05)

q = 1 – p (en este caso 1-0.05 = 0.95)

d = precisión (en este caso deseamos un 3%).

Fuente:https://www.fisterra.com/mbe/investiga/9muestras/9muestras2.asp


Si la población es finita, también podemos aplicar la siguiente ecuación

Según diferentes seguridades el coeficiente de Z(α/2) varía, así:

Para un intervalo de confianza del 90% el coeficiente Z(α/2) sería 1.645


Para un intervalo de confianza del 97.5% el coeficiente Z(α/2) sería 2.24


Para un intervalo de confianza del 99.7% el coeficiente Z(α/2) sería 3

Donde, S2 varianza de la población

ESTIMACION DE TAMAÑO DE MUESTREO


INTERVALO DE CONFIANZA

Para encontrar un intervalo de confianza con cualquier nivel de confianza deseado, sea α un numero entre 0 y 1, y 100(1- α)% el nivel de confianza requerido.

Se define el área a Z(α/2) como puntaje z que corta un área α /2 en la cola del lado derecho

Con el propósito de determinar un intervalo de confianza de 85%,100(1- α)=851- α =0.85α =1-0.85 = 0.15, como α /2 = 0.075Buscamos en la tabla Z(0.075) = 1.44 aproximado


Definición. Sea X1,…, Xn una muestra aleatoria grande (n > 30) de una

población con media µ y desviación estándar σ, por lo que X es

aproximadamente normal. Entonces su intervalo de confianza 100(1- α)%.

Cuando el valor de σ es desconocido, se puede sustituir por la desviación

estándar muestral s.


Solución, Para un intervalo de confianza del 95% el coeficiente Z(α/2) sería 1.96

y del 99% el coeficiente Z(α/2) sería 2.576

a) b)


Ejemplo 2. Una muestra aleatoria de 100 baterías producidas por cierto método, el

promedio de tiempo de vida fue de 150 horas y la desviación estándar de 25 horas.

a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la media del tiempo de vida de

las baterías producidas por este método.

b) Un ingeniero afirma que la media del tiempo de vida esta entre 147 y 153 horas.

Con que nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?

a) 150 – 1.96*(25/√100) < µ < 150 +1.96*(25/√100)

145.1 < µ < 154.9

b) 150 + X*(25/√100) = 153

X*(25/√100) = 3 ; X = 1.2

Por tabla Z α /2 = 0.1151 ; Z α = 0.2304

1- α =0.2304 ; α = 1-0.2304 = 0.7696 (76.96%)


INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL CON

MUESTRAS PEQUEÑAS.

Sea X1,…, Xn una muestra pequeña (por ejemplo n < 30) de una población

normal con media o, entonces la cantidad

Tiene una distribución t Student con n-1

grados de libertad, denotada por t(n-1).

Cuando n es grande, la distribución es muy

cercana a la distribución normal, de esta

forma la curva normal puede usarse en lugar

de la de t Student.


n

x

x

n

i

i 1

𝑠2 =1

𝑛 − 1

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖2 − 𝑛( 𝑋)2

X=70 / 7 = 10

S2=(1/6)*(700,48-7(10) 2) = 0.08

S = 0.2828

100(1-α)=95%1- α =0.95α =0.05α /2=0.025Por tabla t(6,0.025) = 2.447

10 – 2.447*(0.2828/√7) < µ < 10 + 2.447*(0.2828/√7)

9.7387 < µ < 10.2615


Ejemplo 2. Se presentan las mediciones de la fuerza nominal de corte (Kn) para una

muestra de 15 vigas de concreto. Los resultados son;

580 – 400 – 428 – 825 – 850

875 - 920 – 550 – 575 – 750

636 – 360 – 590 – 735 - 950 , se desea estimar el intervalo de confianza para un 99%,

para la media de la fuerza de corte.

X= 668.27S = 192.0891

100(1-α)=99%1- α =0.99α =0.01α /2=0.005Por tabla t(14,0.005) = 2.977

668.27 – 2.977*(192.0891/√15) < µ < 668.27 + 2.977*(192.0891/√15)

520.61 < µ < 815.92

EJERCICIOS PROPUESTOS


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