UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

PROCESOS DE RAZONAMIENTO DURANTE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Que para obtener el grado de Maestro en Ciencias en Matemáticas y

su Didáctica

PRESENTA:

JOAQUÍN GARCÍA MARÍN

DIRIGIDO POR:

Dr. Fernando Barrera Mora

Dr. Aarón Reyes Rodríguez

Junio 2015

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Resumen

Analizar los procesos de razonamiento que llevan a cabo los estudiantes es importante porque

las matemáticas involucran el desarrollo de formas sistemáticas de razonamiento y

argumentación cuya finalidad es establecer la certeza, generalidad y validez de las relaciones

entre objetos matemáticos, además de ser los medios que permiten el avance de la disciplina.

Todos estos aspectos cambian con el tiempo y son especialmente sensibles al tipo de medios

y sistemas de representación que se utilizan para ponerlos en práctica. En este trabajo se

identifican algunas formas de razonamiento que llevan a cabo estudiantes de bachillerato al

resolver problemas de máximos y mínimos en un ambiente estático (papel y lápiz) y mediante

el uso de GeoGebra. Los resultados de la investigación indican que un medio dinámico ofrece

oportunidades a los estudiantes para desarrollar una gama amplia de estrategias para abordar

los problemas que incluyen la visualización, el uso de estrategias empíricas basadas en la

medición de atributos, además de que se promueve la formulación y la justificación de

conjeturas, aspectos que son difíciles de implementar en un ambiente de papel y lápiz.

Abstract

Analyzing the reasoning processes developed by students when they solve problems is an

important aspect for research in mathematics education, since mathematics consists of

systematic ways of reasoning and argumentation aimed at establishing certainty, generality

and validity of relationships between mathematical objects. Criterions to establish validity of

reasoning and justification processes change over time and they are particularly sensitive to

the type of media and representation systems that are used to develop them. In this context,

the objective of this work is to document and analyze the ways of reasoning developed by

high school students when they solve problems of maxima and minima using pencil and

paper and a DGS such as GeoGebra. The results of this research indicate that dynamic

geometry software provides different opportunities to solve problems through the use of

empirical and visual approaches based on the measurement of properties, furthermore it

promoted that students formulated and justified conjectures, which are aspects that are

difficult to be implemented by them using pencil and paper exclusively.

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ÍNDICE

Contenido Página

CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1 Introducción 5

1.2 Revisión de la literatura 9

1.3 Planteamiento del problema, objetivos y preguntas de investigación 10

CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL

2.1 Introducción 12

2.2 Resolución de problemas

2.3 Razonamiento matemático

2.3.1 Aprendizaje memorístico

2.3.2 Razonamiento imitativo

2.3.3 Razonamiento creativo

12

16

17

17

18

2.4 Papel de las tecnologías digitales en la resolución de problemas 18

2.5 Articulación de los constructos teóricos que integran el marco 20

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

3.1 Introducción 22

3.2 Las tareas 23

3.3 Participantes en la investigación 24

3.4 Características y análisis preliminar de las tareas 25

3.4.1 Solución de la tarea 1 27

3.4.2 Solución de la tarea 2 28

3.4.3 Solución de la tarea 3

3.4.4 Solución de la tarea 4

29

30

CAPÍTULO 4. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

4.1 Introducción 32

4.2 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 1

4.3 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 2

32

39

4.4 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 3 46

4

4.5 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 4 54

CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

5.1 Respuesta a las preguntas de investigación 63

5.2 Alcances y limitaciones del trabajo de investigación 64

5.3 Resultados del trabajo de investigación

5.4 Propuestas a futuro

5.5 Reflexiones finales

65

67

68

REFERENCIAS

70

APÉNDICES

Apéndice A. Transcripción de la videograbación de la tarea 1 75

Apéndice B. Transcripción de la videograbación de la tarea 2

83

Apéndice C. Transcripción de la videograbación de la tarea 3 92

Apéndice D Transcripción de la videograbación de la tarea 4 101

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CAPITULO I

Problema de investigación

1.1 Introducción

Si bien es cierto que “una imagen vale más que mil palabras” posiblemente una imagen

animada e interactiva vale más que un millón. Quizá no sea para tanto, pero la posibilidad de

mover las figuras y experimentar con ellas, “ver qué pasa si…”, contribuye decisivamente a

la construcción de una forma matemática de pensar. Con el uso de las tecnologías digitales se

pueden producir gráficas, realizar operaciones simbólicas y procesar datos de forma casi

instantánea. Los estudiantes necesitan entonces enfocarse en aprender cómo interpretar las

representaciones inmersas en un medio tecnológico y cómo utilizar la tecnología de forma

eficiente en la resolución de problemas (NCTM, 2000).

En esta línea de ideas, el propósito de esta investigación consiste en determinar en qué

medida el uso de herramientas digitales, particularmente un Sistema de Geometría Dinámica

(SGD), en la solución de problemas de máximos y mínimos, puede favorecer el desarrollo de

diversos aspectos del pensamiento matemático tales como la disposición para explorar

relaciones matemáticas, formular conjeturas, experimentar, justificar, razonar y comunicar

resultados, en estudiantes de nivel bachillerato. Es decir, qué formas de razonamiento se

promueven entre los estudiantes cuando resuelven este tipo de tareas utilizando Geogebra.

El interés por los problemas de máximos y mínimos radica en que el entendimiento del

cambio y la variación es central en el aprendizaje de las matemáticas, ya que conocer cómo

cambian de forma conjunta dos cantidades es fundamental para modelar fenómenos naturales

y sociales, y en consecuencia comprender el mundo que nos rodea, y con base en ese

conocimiento sustentar la toma de decisiones. Algunos de tales fenómenos son: el

crecimiento de poblaciones, las fluctuaciones económicas o la propagación de enfermedades.

El estudio de los problemas de máximos y mínimos empezó aproximadamente hace

veinticinco siglos, pero hasta el siglo XVII no existieron métodos generales para abordarlos y

resolverlos (Tikhomirov, 1986). Respecto de las fuentes históricas que hacen referencia a este

tipo de problemas se puede citar a La Eneida, una epopeya escrita en el siglo I a.C. por el

poeta romano Virgilio, donde se relata la historia de Dido, hermana de Pigmalion Rey de

Tiro. Dido huyó de su hermano junto con unos cuantos fieles por la costa norafricana hasta

llegar al actual Túnez. En este lugar, Dido pidió al rey Jarbas asilo y un trozo de tierra donde

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establecerse. El rey accedió a la petición y le propuso quedarse con la extensión de tierra que

pudiera ser abarcada con la piel de un buey. Entonces, Dido cortó la piel en finas tiras que

unió por sus extremos, trazó una semicircunferencia tomando como diámetro una sección de

la costa. Con el territorio abarcado con la tira de piel de buey fundó la ciudad de Cártago. La

leyenda anterior es el referente más antiguo del problema isoperimétrico clásico, el cual

consiste en encontrar entre todas las curvas cerradas planas de idéntico perímetro, aquella que

encierra la mayor área. Aunque los griegos conocían que la respuesta era la circunferencia, la

demostración de este resultado fue obtenida hasta el siglo XIX por Jacob Steiner (Herrero-

Piñeiro, 2012).

De acuerdo con Malaspina-Jurado (2012), en la vida cotidiana tenemos que resolver diversos

problemas que involucran la obtención de máximos y mínimos: al buscar el mejor camino

para ir de un lugar a otro; cuando deseamos adquirir algún artículo en función de su precio; al

buscar la mejor ubicación cuando asistimos a un concierto, al cine o al teatro; al elegir el

mejor plan de telefonía celular; al determinar la AFORE que nos proporciona mejores

rendimientos y comisiones más bajas, etcétera.

En la vida cotidiana aparecen constantemente los problemas de máximos y mínimos, de lo “mejor” y lo “peor”. Muchos problemas de importancia práctica se presentan de esta manera, por ejemplo, ¿qué forma debe dársele a una lancha para que ofrezca la menor resistencia posible en el agua? ¿Qué recipiente cilíndrico hecho de una cantidad dada de material tiene un volumen máximo? (Courant y Robbins, 2006, p. 367)

La naturaleza es la principal fuente de la que disponemos para observar procesos de

optimización. Por ejemplo, Darwin mostró, mediante la realización de experimentos que

involucraron el uso de planchas de cera coloreadas, que las abejas construyen panales que

maximizan los beneficios, dado el esfuerzo de construcción. “Las abejas necesitan miel para

producir cera. A su vez, obtener miel les exige esfuerzo. Por consiguiente, las que mejor

utilizan la cera están mejor adaptadas que otras” (Ruse, 2008, p. 38).

El resolver problemas de máximos y mínimos ocupa un lugar importante en el currículo de

bachillerato y en los primeros años de la formación universitaria en áreas tales como las

ciencias, ingeniería, economía o finanzas (Villegas, Castro y Gutiérrez, 2009). Sin embargo, a

pesar de la relevancia de los conceptos de variación, cambio, máximos y mínimos, la

investigación en educación matemática ha aportado evidencia de que los estudiantes no los

comprenden con suficiente profundidad, incluso después de haber aprobado cursos de cálculo

(NCTM, 2000).

7

En lo que respecta al uso de la tecnología, se ha documentado que el emplear de forma

sistemática y coordinada diferentes tecnologías digitales puede apoyar el desarrollo de nuevas

formas de aprender, las cuales emergen del dinamismo para operar las representaciones que

se construyen en los Sistemas de Geometría Dinámica (Cabri, Geogebra, entre otros), los

Sistemas de Álgebra Computacional (Computer Algebra Systems, CAS), o el software

enfocado en el aprendizaje de la probabilidad y la estadística (Probability Explorer y

Fathom). Mediante el uso de las tecnologías digitales es posible utilizar una amplia gama de

representaciones y relacionarlas de forma que el cambio en una de ellas se refleje de forma

casi instantánea en el resto de las representaciones, lo anterior resulta relevante porque se ha

obtenido evidencia de que el uso de diversas representaciones durante la resolución de

problemas es un elemento que puede apoyar el desarrollo de una forma matemática de pensar

entre los estudiantes (Brenner et al., 1997).

En algunas instituciones educativas de nivel medio superior en el Estado de México se

introdujo el software DERIVE, en el año 2001, como un complemento para apoyar el

aprendizaje de las matemáticas. El uso de esta herramienta se implementó a través de un

taller al cual asistían únicamente unos cuantos estudiantes y donde se resolvían ejercicios

rutinarios, tales como factorizar expresiones algebraicas o trazar gráficas de funciones, tareas

que son resueltas por la herramienta al introducir la expresión algebraica correspondiente y

seleccionar la opción apropiada del menú. Ante esta situación, el software se dejó de utilizar

muy pronto, ya que las tareas no favorecieron el que los estudiantes llevaran a cabo una

actividad matemática relevante.

Con base en esta experiencia, es que surge la inquietud por conocer cómo el uso de

herramientas tales como los Sistemas de Geometría Dinámica, en particular Geogebra,

pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar formas matemáticas de pensar, lo cual incluye

capacidad para aprovechar las características dinámicas de esta herramienta con la finalidad

de relacionar diversas representaciones, desarrollar habilidad para explorar configuraciones,

identificar propiedades invariantes y formular conjeturas, así como para justificar y

comunicar resultados matemáticos o formular nuevos problemas (Santos-Trigo, 2003). Es

importante destacar que por resolver un problema entendemos no solamente encontrar la

información que se solicita en el enunciado, sino discutir la pertinencia, plausibilidad y

conexiones de los resultados obtenidos (Santos-Trigo, 1997).

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Respecto de la importancia del uso de la tecnología en el aprendizaje de las matemáticas,

algunas propuestas curriculares de carácter internacional como los Principios y Estándares

para la Educación Matemática (NCTM), destacan que las calculadoras y computadoras son

herramientas esenciales para la enseñanza, aprendizaje y desarrollo de las matemáticas,

porque permiten generar imágenes visuales de algunas ideas o conceptos, facilitan la

organización y el análisis de datos, además de que son capaces de efectuar cálculos de

manera eficiente y precisa (NCTM, 2000).

Como ya se ha mencionado, es importante que el aprendizaje de las matemáticas se lleve a

cabo a partir de la solución de problemas que promuevan entre los estudiantes el desarrollo

de actividades fundamentales del quehacer matemático, entre las que se encuentran el

explorar, experimentar, formular conjeturas, crear o rediseñar problemas (Santos-Trigo,

1997), elaborar justificaciones y comunicar resultados. Así que una pregunta fundamental

que debería realizarse y tratar de responder todo profesor de matemáticas es: ¿Qué tipo de

actividades son adecuadas para que los estudiantes amplíen sus conocimientos, mediante el

desarrollo de diferentes aspectos del pensamiento matemático?

La solución de problemas con el uso de Geogebra en muchas ocasiones puede causar

confusión en los estudiantes durante una fase inicial, debido a las diferencias entre las formas

de trabajo que se desarrollan en relación con ambientes de papel y lápiz. Sin embargo, la

utilización constante de esta herramienta, pudiese propiciar que paulatinamente se vayan

internalizando estas nuevas formas de trabajo. Una dificultad al utilizar herramientas digitales

durante el aprendizaje de las matemáticas, es que requiere, por parte de estudiantes y

profesores, la aceptación de nuevos problemas, estrategias didácticas, organización curricular

y el escenario de instrucción. En un ambiente que promueve el uso de las tecnologías

digitales deja de ser útil un esquema expositivo y lineal, se requiere en cambio, diseñar

actividades de instrucción y experimentar estrategias de enseñanza que faciliten la interacción

del estudiante con el conocimiento matemático. Así, desde una perspectiva de resolución de

problemas es importante promover que los estudiantes lleven a cabo actividades tales como

experimentar, conjeturar, generalizar, justificar, deducir, o reflexionar, que no son comunes

en las clases expositivas.

El uso de las tecnologías digitales, puede ayudar a que los estudiantes transiten de formas de

pensamiento o razonamiento que van de lo concreto a lo abstracto, y de lo informal a lo

formal, para construir un entendimiento de las ideas y conceptos matemáticos. Las

9

herramientas computacionales apoyan el desarrollo de entendimiento matemático porque

permiten visualizar relaciones y crear representaciones dinámicas ligadas entre sí, que pueden

promover la formulación de conjeturas en forma intuitiva y posteriormente desarrollar

procesos de verificación, justificación y comunicación. Este tipo de tecnologías también

permiten y facilitan el manejo de datos, así como su procesamiento y la utilización de

diversas formas de representación, de forma que la atención de los estudiantes se enfoque en

el análisis y la reflexión, más que en la realización de operaciones o procedimientos

rutinarios.

1.2 Revisión de la literatura

Los problemas de máximos y mínimos han sido el objeto de estudio de diversas

investigaciones. En algunos trabajos se analiza el papel de las representaciones en la

resolución de este tipo de problemas (Schoenfeld, 1985) o la relevancia didáctica de utilizar

métodos que no hagan uso de herramientas del cálculo diferencial (Niven, 1981; Birnbaum,

1982; Tomás-Blanquer, 2002). En otros trabajos, los problemas de máximos y mínimos se

han analizado en el contexto más general del aprendizaje del concepto de función, ya que este

concepto no puede separarse de la idea de dependencia, de la observación de la variación

mutua de objetos y las dependencias entre diferentes representaciones (Lagrange y Artigue,

2009). Los problemas de máximos y mínimos también se han utilizado como un medio para

analizar el entendimiento de los estudiantes del concepto de derivada (Kosić-Jeremić, 2012;

Brijlall y Ndlovu, 2013).

Otras investigaciones han utilizado problemas de máximos y mínimos para determinar si los

sistemas de álgebra computacional realmente incrementan la capacidad de los estudiantes

para pensar matemáticamente (Han y Chang, 2007). Existen también algunas aproximaciones

en las cuales se analiza la forma en que los estudiantes entienden la relación entre dos

atributos de una figura, uno de los cuales cambia y otro permanece constante, en el contexto

del tejido de redes (Rickard, 2005).

Algunos autores se han interesado en presentar diferentes formas de solucionar problemas

geométricos de máximos y mínimos (Andreescu, Mushkarov y Stoyanov, 2006) o de

identificar cómo el resolver este tipo de problemas por diferentes caminos puede apoyar el

aprendizaje de los profesores (Leikin, 2010). Así mismo, existen trabajos orientados al

análisis del tipo de problemas de optimización que aparecen en los libros de texto (González-

10

Astudillo, 2004; González-Astudillo y Sierra-Vázquez, 2004). Existen pocos trabajos que

analicen los procesos mentales o formas de razonamiento que llevan a cabo estudiantes o

profesores al resolver problemas de máximos o mínimos, entre estos trabajos se puede señalar

el desarrollado por Brijlall y Ndlovu (2013), quienes exploraron las construcciones mentales

que llevan a cabo estudiantes de grado 12 (tercer grado de bachillerato), cuando abordan

problemas de optimización, considerando como marco la teoría APOS (Dubinsky y

McDonald, 2001).

1.3 Planteamiento del problema, objetivos y preguntas de investigación

Los docentes frente a grupo son quienes se enfrentan día a día con la problemática de la

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Al enseñar matemáticas, es posible darse cuenta

que la mayoría de los estudiantes no muestran interés por aprender la disciplina, o que sus

conocimientos previos están integrados por hechos factuales aislados, lo cual limita el que

puedan construir nuevos conocimientos estrechamente articulados entre sí y con sus

conocimientos previos. En este contexto, surge la pregunta de ¿cuál es el nivel de

responsabilidad de los docentes en esa falta de interés? Es un hecho que la actividad que lleva

a cabo el docente en el salón de clase es fundamental para la formación de los estudiantes, ya

que es quien diseña las actividades y el ambiente que puede promover el proceso de

aprendizaje.

En general, en el área de matemáticas se ha priorizado la mecanización y memorización

como objetivos del aprendizaje. Esto ha propiciado que los estudiantes no cuenten con las

herramientas que les permitan construir significado para las ideas o conceptos matemáticos, y

que durante el proceso de resolución de problemas cometan muchos errores, ya que no tienen

medios para determinar si la solución es correcta o incluso plausible. Por ejemplo, se tiene

evidencia de que estudiantes que cursan el primer semestre de ingeniería suman numeradores

y denominadores para obtener el resultado de la suma de 1/2 + 1/3, es decir, aplican de forma

incorrecta el algoritmo para sumar fracciones, y no cuentan con estrategias metacognitivas

que les permitan determinar si la solución de un problema es correcta, ya sea al pensar en

términos geométricos o de estimación.

El considerar a los procesos de razonamiento como objeto de investigación resulta relevante,

ya que como argumentan Kaput y Roschelle (2000), las matemáticas involucran el desarrollo

de formas sistemáticas de razonamiento y argumentación para ayudar a establecer la certeza,

11

generalidad y validez de las afirmaciones matemáticas, además de ser los medios que

permiten el avance de la disciplina (D’Ambrosio, 2013). Todos estos aspectos de las

matemáticas son especialmente sensitivos al tipo de medios y sistemas de representación que

se utilizan. Así, el objetivo general de este trabajo consiste en caracterizar las formas de

razonamiento que llevan a cabo estudiantes de bachillerato al resolver problemas de máximos

y mínimos en un ambiente de papel y lápiz y en un ambiente dinámico proporcionado por un

SGD.

Objetivos específicos

1. Determinar las dificultades que presentan los estudiantes del centro de bachillerato No. 2

Lic. Carlos Pichardo, Tecámac en los procesos de solución de problemas de máximos y

mínimos.

2. Caracterizar el proceso de razonamiento que emplean los estudiantes del centro de

bachillerato No. 2 Lic. Carlos Pichardo, Tecámac al resolver problemas de máximos y

mínimos en un ambiente estático (lápiz y papel) y en un ambiente dinámico (Geogebra).

Preguntas de investigación

¿Cuáles son las dificultades que presentan los estudiantes del centro de bachillerato No. 2

Lic. Carlos Pichardo, Tecámac en los procesos de solución de problemas de máximos y

mínimos?

¿Qué tipo de razonamiento emplean los estudiantes del centro de bachillerato No. 2 Lic.

Carlos Pichardo, Tecámac al resolver problemas de máximos y mínimos?

12

CAPITULO II

Marco conceptual

2.1. Marco Conceptual

El marco conceptual de este trabajo está estructurado en torno a una concepción sobre la

naturaleza de las matemáticas y, en consecuencia, una visión de lo que significa enseñar y

aprender la disciplina basada en la resolución de problemas. Además se consideran los

siguientes elementos: (a) Fases del proceso de resolución de problemas y variables que

impactan en este proceso, (b) una caracterización de las formas de razonamiento, (c) el

impacto de las tecnologías digitales durante la resolución de problemas.

2.2. Resolución de problemas

La resolución de problemas es una aproximación en la que se considera a las matemáticas

como la ciencia de los patrones, es decir, una disciplina cuyo objetivo es identificar y analizar

los patrones que se encuentran en el mundo natural o en el mundo de las ideas (Steen, 1988;

Devlin, 2000). Asimismo, el aprendizaje se concibe como una actividad en la cual los

estudiantes desarrollan procesos cognitivos similares a aquellos llevados a cabo por los

matemáticos profesionales durante la creación de nuevo conocimiento disciplinar, es decir, el

objetivo de la instrucción es que los estudiantes desarrollen formas matemáticas de pensar, lo

cual involucra explorar relaciones entre objetos matemáticos, formular conjeturas y

justificarlas, comunicar resultados y crear nuevos problemas. En esta línea de ideas, la

construcción de una forma matemática de pensar incluye el desarrollo de una actitud

inquisitiva, esto es, la habilidad de problematizar las actividades, al considerar a las tareas o

situaciones problemáticas como un conjunto de preguntas que deben de contestarse mediante

los recursos que se poseen en un momento determinado.

Para Polya (2005), los problemas son la base para construir el conocimiento matemático, por

ello es importante analizar el proceso de solución. Este autor identificó cuatro fases por las

que transita una persona al resolver un problema. Cada una de estas fases se relaciona con

una serie de preguntas que pueden orientar al estudiante. Polya también introdujo la idea de

heurística, como una estrategia de carácter general que es útil para avanzar en el proceso de

solución.

13

Fase 1. En esta fase el resolutor tiene que comprender el enunciado del problema. ¿Cuál es la

incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para

determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

Fase 2. Se diseña, en términos generales y con base en los recursos, una ruta o plan para

resolver el problema. ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Ha visto el mismo

problema planteado en forma ligeramente diferente? ¿Conoce algún problema relacionado

con este? ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? He aquí un problema relacionado con

el suyo ¿Podría utilizarlo? ¿Podría enunciar el problema de otra forma? ¿Plantearlo en forma

diferente nuevamente? ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un

problema más general? ¿Más particular? ¿Puede resolver una parte del problema? ¿En qué

medida la incógnita queda determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puede deducir algún

elemento útil de los datos? ¿Pensar en otros datos apropiados para determinar la incógnita?

¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario?

Fase 3. Ejecución del plan. Al ejecutar el plan de la solución es importante comprobar cada

uno de los pasos. ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede usted

demostrarlo?

Fase 4. Visión retrospectiva: Consiste en reconsiderar la solución, reexaminar el resultado o

el camino que condujo a ella. Algunas preguntas que pueden resultar útiles durante esta fase

son: ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? ¿Puede obtener el

resultado en forma diferente? ¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro

problema? El profesor debe tratar de que el estudiante comprenda que ningún problema

puede considerarse completamente terminado, que siempre queda algo por hacer. Por

ejemplo, se puede formular un problema nuevo o tratar de extender los resultados derivados

del proceso de solución.

Polya reconoce que las tareas promueven el aprendizaje de los estudiantes siempre que

representen verdaderos problemas, es decir, tareas que no se puedan resolver mediante la

simple aplicación de un algoritmo o un procedimiento rutinario, pero tampoco sean

demasiado difíciles, de forma que el estudiante pueda abordarlas a partir de sus

conocimientos previos. Al respecto menciona que “Es difícil tener una buena idea si nuestros

conocimientos son pobres en la materia, y totalmente imposible si la desconocemos por

completo. Las buenas ideas se basan en la experiencia pasada y en los conocimientos

14

adquiridos previamente” (Polya, 2005, pág. 30). Algunas de las heurísticas más relevantes

mencionadas por Polya son:

Resolución por analogía. Consiste en identificar objetos análogos, es decir objetos que

concuerdan en ciertas relaciones entre sus respectivos elementos, por ejemplo, un

paralelogramo rectangular es análogo a un paralelepípedo rectangular.

Descomponer y recomponer el problema. Consiste en examinar los elementos principales del

problema como son, la incógnita, los datos y la condición. Si el problema es demasiado

difícil, es necesario el descomponerlo minuciosamente y examinar los detalles, después de

descomponer el problema, tratar de recomponer sus elementos de un modo diferente

combinándolos en un problema nuevo, más accesible y del que nos podamos valer, dado el

caso, como de un problema auxiliar.

Dibujar una figura. Una figura puede ayudar considerablemente a comprender un problema y

avanzar en el proceso de solución. Por ejemplo, se sugiere dibujar “una figura hipotética

suponiendo la condición del problema totalmente satisfecha”.

Generalizar. La generalización consiste en pasar del examen de un objeto, al examen de un

conjunto de objetos; o pasar del examen de un conjunto limitado de objetos al de un conjunto

más extenso. La generalización se puede lograr al variar un poco los datos, y observar

regularidades que permitan pasar de datos concretos a valores generales. La generalización

puede ser muy útil pasando de un problema “numérico”, con valores determinados, a un

problema “literal” cuyos datos son incógnitas, se accede a nuevos procedimientos, se pueden

variar los datos y se pueden verificar los resultados de diversos modos. Un ejemplo sería: “De

todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de 10 cm de diámetro, cuál es el de área

máxima”, después de analizar los datos y obtener la solución, el problema se puede

generalizar variando el valor del diámetro o bien omitiendo el diámetro de la circunferencia y

observar que el rectángulo de área máxima es el cuadrado independientemente de las medidas

de sus lados.

Introducir una notación apropiada. La elección de la notación en la solución de un problema

constituye una etapa importante, por lo que debe elegirse con cuidado. Una notación

adecuada puede contribuir de modo primordial a la comprensión del problema. La notación

en matemáticas es de suma importancia, por ejemplo la notación decimal del sistema de

15

numeración que utilizamos en la actualidad tiene grandes ventajas con respecto al sistema

utilizado, por ejemplo, por los romanos.

Particularización. Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a la

consideración de un conjunto más pequeño, o incluso de un solo objeto, contenido en el

conjunto dado.

Problema auxiliar. Es un problema que puede ayudarnos a resolver el problema original. El

imaginar tal problema auxiliar es una operación importante de la mente.

Un siguiente avance en la estructuración del marco de resolución de problemas fue llevado a

cabo por Schoenfeld (1985), quien se dio cuenta que la poca aplicabilidad práctica de las

sugerencias de Polya radicaba en su generalidad. De este modo se identificó la importancia

de ejemplificar las heurísticas en diversos contextos particulares. Por otra parte, Schoenfeld

identificó cuatro categorías que influyen en el proceso de solución de un problema: (a) los

recursos, (b) las heurísticas, (c) el control y (d) el sistema de creencias.

Recursos. Son el cuerpo del conocimiento que un individuo posee y que es capaz de aplicar

en una situación matemática particular. Se refiere a los conocimientos, los hechos, y los

procedimientos que posee el individuo. Lo que un individuo es capaz de poder hacer durante

la resolución de un problema depende de los conocimientos previos que posee. Por esta razón

es importante que el profesor conozca cómo un estudiante accede y maneja este inventario de

recursos. Los recursos no sólo incluyen a los conceptos o procedimientos correctos, sino

también aquellos conocimientos, ideas o aprendizajes erróneos, por ejemplo, alguna fórmula

o procedimiento mal aprendido o el uso de un algoritmo que no es viable de utilizar en una

situación o contexto particular. El profesor al proponer un problema a sus estudiantes

generalmente menciona que la solución es muy fácil y se olvida de que los estudiantes no

tienen el mismo bagaje de recursos que él, y también deja de lado las dificultades a las que se

enfrentó cuando resolvió ese problema por primera vez.

Heurísticas. Es el conjunto de estrategias y técnicas útiles para resolver problemas que

conocemos y podemos aplicar. Las heurísticas de Polya son muy generales y por eso no

pueden ser implementadas fácilmente, por lo que habría que conocerlas, saber cómo usarlas y

tener la habilidad para hacerlo en contextos o situaciones específicos.

Control. Se refiere a como un estudiante controla su trabajo. Si ante un determinado

problema se elige un camino para su solución es importante ser capaz de darse cuenta si ese

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camino es el adecuado o bien si se está metiendo en un callejón sin salida, y en consecuencia

retroceder e intentar por otra vía la solución.

Sistema de creencias. Es cómo los estudiantes perciben lo que son las matemáticas, el

aprendizaje y la resolución de problemas. Las creencias sobre las matemáticas influyen

notablemente en la forma como los estudiantes e incluso los profesores abordan la solución

de un problema, lo que se piense de un problema incide incluso en el tiempo que se le

dedique a la solución, las creencias que tienen las personas representan un obstáculo para el

aprendizaje.

2.3 Razonamiento matemático

Otro elemento básico para el desarrollo de este trabajo lo constituye el marco para analizar el

razonamiento propuesto por Lithner (2008), para quien uno de los objetivos de la educación

matemática es que los estudiantes entiendan matemáticas; sin embargo, las aproximaciones

didácticas más comunes sólo promueven el desarrollo de formas de razonamiento

memorístico (Hiebert 2003, Lithner 2008). El proceso de instrucción debe brindar a los

estudiantes oportunidades para que resuelvan problemas o situaciones problemáticas que les

permitan no sólo buscar respuestas o explicaciones, sino también reflexionar en torno al

significado y formas de razonamiento asociados con la solución de esos problemas, es decir,

el aprender matemáticas debe enfocarse en el desarrollo de habilidades, actitudes y formas de

pensar que privilegien la comunicación de ideas y la reflexión en torno a ideas matemáticas

relevantes. "La gente que razona y piensa analíticamente tiende a notar patrones, estructuras o

regularidades, tanto en situaciones del mundo real y los objetos simbólicos; se preguntan si

los patrones son accidentales o si ocurren por una razón; y conjeturan y prueban " (NTCM

2000, p. 56).

Para Lithner (2008) el razonamiento es la línea de pensamiento que se sigue al producir

afirmaciones y obtener conclusiones al resolver problemas. No necesariamente se basa en

lógica formal, e incluso la afirmación puede ser incorrecta, mientras haya algunos tipos de

razón o razones sensatas que respalden esta línea de pensamiento.

2.3.1 El aprendizaje memorístico

El aprendizaje memorístico en matemáticas incluye recordar hechos y procedimientos como

medio fundamental para resolver problemas. El aprendizaje de memoria en sí mismo no

representa ningún problema para el aprendizaje, por el contrario, la memorización de hechos

17

y procedimientos es un aspecto central del quehacer matemático. El problema aparece cuando

el aprendizaje de memoria domina como única forma de conocimiento, ya que no permite

desarrollar otras competencias centrales como la capacidad de resolución de problemas y la

comprensión conceptual.

De acuerdo con Lithner (2008) se pueden distinguir dos tipos de razonamiento: el

razonamiento imitativo y el razonamiento creativo.

2.3.2 Razonamiento imitativo: existen dos tipos principales de razonamiento imitativo, los

cuales son, razonamiento memorístico y razonamiento algorítmico.

a) Razonamiento memorístico (MR): En el razonamiento memorístico la estrategia para

resolver un problema consiste en recordar una respuesta previa, mientras que la

implementación de la estrategia se reduce a escribir dicha respuesta memorizada. La solución

de cualquier problema requiere de recordar hechos o procedimientos, sin embargo en este

tipo de razonamiento el recuerdo es la parte central del proceso de solución. Considerada

como una estrategia general es útil sólo en algunos tipos de tareas como las que piden

expresar hechos ("¿Cuántos cm3 tiene un litro?"), definiciones ("¿Qué es un polinomio?"), y

algunos tipos de demostraciones.

b) Razonamiento algorítmico (AR): Normalmente en las tareas escolares se solicita realizar

cálculos cuya realización requiere recordar y ejecutar un algoritmo. "Un algoritmo es una

secuencia finita de pasos que permite a uno encontrar un resultado definido para una

determinada clase de problemas " (Brousseau 1997, p. 129). En el razonamiento algorítmico

(AR) la elección de la estrategia consiste en recordar un algoritmo y la forma de

implementarlo, sólo un error durante el proceso de implementación puede impedir que se

obtenga la respuesta correcta del problema.

2.3.3 Razonamiento creativo

La creatividad no está asociada con la genialidad o el pensamiento superior (Lithner 2008),

sino con la creación de rutas de solución no implementadas previamente que se encuentran

razonablemente fundamentadas. Las características específicas del razonamiento creativo o

razonamiento fundamentado matemáticamente son, por tanto, la novedad, la flexibilidad, la

plausibilidad y el fundamento matemático.

18

i) Novedad: Se crea una nueva secuencia del razonamiento en la solución, o una secuencia

olvidada se vuelve a reconstruir. Imitar una respuesta o un procedimiento de solución no está

incluido en el razonamiento creativo.

ii) Flexibilidad: Se admiten diferentes enfoques y adaptaciones a la situación. No sufre de una

fijación que impida el progreso.

iii) La plausibilidad: Hay razones que apoyan la argumentación en la elección de la estrategia

y/o aplicación de la estrategia, motivar por qué las conclusiones son verdaderas o plausibles.

Esto significa que, conjeturas vagas o intuiciones no se consideran, ni tampoco razones de

tipo afectivo.

iv) Fundamentación matemática: La argumentación se basa en las propiedades matemáticas

intrínsecas de los elementos que intervienen en el razonamiento.

2.4. Papel de las tecnologías digitales en la resolución de problemas

La presencia de las tecnologías digitales en el medio educativo ha cambiado la forma de

interactuar en el salón de clase (English, 2011; Roschelle et al., 2000). Ante la amplia

disponibilidad y creciente sofisticación de las herramientas computacionales, las prácticas en

el salón de clase y los modelos pedagógicos necesitan adaptarse a estos cambios. La

aparición de nuevas herramientas ha traído consigo la necesidad de que los egresados de las

universidades desarrollen un número significativo de nuevas competencias (English et al.,

2008), como son: (a) habilidades de resolución de problemas, incluyendo el trabajo en

equipos multidisciplinarios, (b) diseño, análisis, manejo, explicación y predicción del

comportamiento de sistemas complejos, (c) selección, operación, análisis y transformación de

conjuntos complejos de datos, (d) desarrollo de habilidades personales e interpersonales,

como la comunicación, planteamiento de objetivos, trabajo en grupos, y liderazgo (English,

2011; English et al., 2008).

Las tecnologías digitales han hecho más que solo facilitar o permitir al ser humano llevar a

cabo con mayor rapidez aquellas actividades que puede hacer sin ellas, ya que permiten

modificar los procesos cognitivos desarrollados al resolver problemas dado que el

entendimiento es un producto de la interrelación entre las estructuras mentales y las

herramientas proporcionadas por la cultura tales como el lenguaje, la notación matemática o

las herramientas computacionales (Pea, 1987). Todas las tecnologías anteriores constituyen

medios que utilizamos para pensar; es decir, la actividad cognitiva que desarrollamos

19

depende del tipo de herramientas que utilicemos al resolver un problema o abordar una

situación problemática.

Las tecnologías digitales pueden constituirse en amplificadores de la cognición en el sentido

de que pueden potenciar ciertas capacidades, por ejemplo, con el uso de la tecnología se

pueden construir familias de figuras geométricas que comparten ciertas características de

manera más eficaz, asimismo, se pueden analizar datos o realizar operaciones algebraicas con

mayor rapidez y eficiencia. Sin embargo, cuando una tecnología digital actúa como

amplificador no se producen cambios esenciales en la estructura fundamental que subyace la

realización de alguna tarea. En términos simples, la metáfora de las herramientas como

amplificadores implica hacer lo mismo que sin ellas, de forma más eficiente pero sin que se

cambien los objetos y las tareas sobre las que trabajamos. Por ejemplo, una lupa actúa como

un amplificador de la visión humana.

Por otra parte, las tecnologías digitales pueden actuar también como reorganizadores

cognitivos, es decir como medios que favorecen la reestructuración de los procesos del

pensamiento que nos permiten trascender las limitaciones impuestas por los mecanismos

biológicos (Moreno-Armella, 2001). Por ejemplo, el lápiz y el papel son más que

amplificadores de la memoria (Pea, 1987), ya que al escribir se llevan a cabo procesos

mentales que difieren del simple recuerdo. Una analogía del proceso de reorganización se

puede establecer entre el uso del microscopio y la visión, ya que esta herramienta permite

acceder a un nivel de realidad diferente de aquel al que podemos acceder únicamente a través

de la vista. Es importante destacar que la amplificación y reorganización cognitiva no son

procesos separados y es posible que se presenten de forma simultánea o paralela. El uso de

las tecnologías digitales como reorganizadores implica un movimiento desde el hacer hasta el

planear. Al utilizar una hoja de cálculo, por ejemplo, se puede implementar un modelo y

posteriormente realizar cambios en los valores iniciales con el objetivo de comprender el

funcionamiento del modelo. Los cálculos se dejan a la hoja de cálculo, mientras el usuario

planifica el modelo y establece las conexiones entre las celdas (Fuglestad, 2007)

Diversas herramientas tales como el papel y el lápiz o las tecnologías digitales, permiten

crear registros externos, a través de los cuales es posible reflexionar sobre las relaciones entre

los productos intermedios del pensamiento. Las representaciones externas son herramientas

que apoyan los procesos de pensamiento (Moreno-Armella, 2001). Un indicador de que las

herramientas están actuando como amplificadores es si la interacción del estudiante con la

20

tecnología, durante la resolución de problemas, modifica cualitativamente sus formas de

pensamiento (Goos, Galbraith, Renshaw y Geiger, 2003).

Lo mencionado en párrafos previos se resumen en un principio denominado principio de

mediación instrumental, el cual establece que todo acto cognitivo está mediado por un

instrumento que puede ser material o simbólico (Wertsch, 1993), lo cual quiere decir, que no

hay actividad cognitiva al margen de la actividad representacional (Moreno-Armella, 2001).

El hecho de que las acciones cognitivas estén mediadas por los instrumentos tiene como

consecuencia que el conocimiento esté estrechamente ligado con tales instrumentos o

herramientas mediante las cuales se produjo.

2.5 Articulación de los constructos teóricos en la construcción del marco

La resolución de problemas es una base fundamental en el aprendizaje de las matemáticas. En

este proceso, el estudiante tiene la oportunidad de desarrollar habilidades para aplicar

fórmulas, utilizar procedimientos y formular conjeturas. La aplicación correcta de los

recursos y la elección adecuada de las estrategias de solución influyen de manera importante

para la obtención de una solución de los problemas planteados.

Durante el proceso de solución se pueden monitorear los avances y la efectividad de las

estrategias utilizadas, si se obtiene una solución, evaluar si ésta tiene sentido en términos de

las condiciones expresadas en el enunciado del problema.

El diseño e implementación del plan son dos fases que van de la mano ya que se realiza un

análisis conjunto de ambas en el proceso de solución, esto porque los estudiantes deben

probar y replantear sus ideas si lo consideran necesario, aplicar estrategias y si estas no le son

útiles, abandonarlas y buscar otro camino de solución redefiniendo cada vez que lo

consideren necesario.

Los elementos que integran el marco conceptual se basan en el proceso de la resolución de

problemas.

Bajo este esquema intervienen las cuatro fases de la solución de problemas implementadas

por Polya y complementadas por Schoenfeld así como las heurísticas o estrategias de

solución

También se analiza el razonamiento empleado al resolver la situación problemática y los

recursos con que cuenta el estudiante al abordar la solución ya sea que la solución del

21

problema o tarea se aborde en un ambiente de papel y lápiz o al utilizar el software de

geometría dinámico.

Una vez identificados estos elementos, es necesario estructurar un plan para la solución de la

tarea, considerando los elementos iniciales con que cuenta, es decir, que es lo que se pide en

el problema.

La elección, organización y estructuración de los recursos además de la información y datos

del problema permiten al resolutor ejecutar el plan haciendo uso de sus habilidades y

conocimientos previos de la situación problemática así como de las estrategias adecuadas

para abordar la posible solución, como pueden ser, introducir elementos auxiliares, utilizar

una situación o caso particular, usar representaciones, resolver por analogía, comparar,

utilizar la máxima simetría y otras que le permitan argumentar, formular conjeturas y

justificarlas y comunicar resultados.

22

CAPITULO III

Metodología

3. 1. Introducción

Este estudio es de carácter cualitativo, ya que interesa documentar las cualidades del proceso

seguido por los estudiantes al enfrentar y resolver problemas, particularmente se busca

identificar la estructura profunda de un problema, lo cual se refiere a la percepción lograda

por los estudiantes de los elementos o componentes clave que intervienen en su solución. El

atender a la estructura profunda de los problemas implica reflexionar sobre la información

proporcionada, el tipo de preguntas planteadas y las rutas potenciales de solución (Santos-

Trigo, 1997). Es importante destacar que no interesa cuantificar el número de estudiantes que

resolvió correctamente cada problema, sino categorizar el proceso de razonamiento seguido

por los estudiantes al abordar las tareas propuestas, centrando la atención en la forma en que

los estudiantes dan sentido a los datos del enunciado, además de cómo formulan,

implementan y revisan la estrategia de solución. Por ejemplo, un estudiante puede repetir o

reformular lo que se requiere encontrar, pero ser incapaz de usar o dar sentido a esa

información durante el proceso de solución (Santos-Trigo, 1996).

Los estudiantes llevaron a cabo la solución de los problemas tanto de forma individual como

en parejas, ya que mediante esta forma de trabajo se promovió el proceso de discusión,

reflexión, justificación e intercambio de ideas. El trabajo de las parejas se analizó con base en

un conjunto de categorías definidas de forma previa por el investigador. Las actividades se

implementaron con un grupo de estudiantes del sexto semestre de bachillerato, quienes

habían cursado la asignatura de cálculo diferencial y se habían enfrentado a la resolución de

problemas de máximos y mínimos mediante la utilización de herramientas del cálculo. Los

problemas se eligieron de forma que no implicaran para los estudiantes únicamente la

aplicación de un algoritmo o un procedimiento rutinario. Se buscó que el contenido necesario

para resolver los problemas hubiese sido abordado por los estudiantes en sus cursos previos

de matemáticas. Es importante mencionar que la selección de los problemas no fue una tarea

fácil, ya que algunos fueron descartados después de un proceso de discusión que se llevó a

cabo al interior del grupo de investigación. Este proceso de discusión permitió identificar

otras formas de solucionar el problema o de orientar la actividad de forma que el proceso de

solución fuese más sencillo.

23

3.2. Las tareas

En este trabajo se utilizaron problemas de máximos y mínimos que se pueden resolver por

más de un camino. Los problemas propuestos se eligieron de tal forma que los estudiantes

puedan efectuar un análisis antes de proporcionar una respuesta, se eligió el programa

interactivo Geogebra para discutir la posible solución en grupo y las sesiones se

videograbaron, posteriormente se transcribieron los videos y se resumió la información, con

la finalidad de identificar las características de los procesos de razonamiento de cada uno de

los participantes, así como las heurísticas y formas de razonamiento utilizadas.

Un ejemplo de los problemas utilizados en la fase piloto de la investigación es el siguiente:

De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia, ¿cuál es el de mayor área?

Se pide que los estudiantes construyan su figura con el uso de herramientas como el lápiz,

regla, compás y papel.

Se les cuestiona sobre qué es lo que determinan en cuanto al área máxima y si se pueden

auxiliar de algunos trazos, también en cuanto a cómo perciben la figura y qué relación tiene

con el diámetro de la circunferencia, etcétera, con el fin de orientarlos hacia la posible

solución.

Cada uno de los estudiantes expuso su solución del problema frente al grupo y el grupo

también tuvo la oportunidad de realizar preguntas sobre lo expuesto, esto nos llevó a una

retroalimentación general y nos permite notar además de las formas de razonamiento

24

desarrolladas por el estudiante, las deficiencias presentadas por los mismos al momento de

resolver los problemas planteados en cada una de las tareas que finalmente se reforzarán con

el análisis de las videograbaciones. Posteriormente se utilizó el software de geometría

dinámica con el programa Geogebra y se observó el efecto sobre las estrategias de solución,

promovido por las facilidades que ofrece la herramienta para cambiar los parámetros, se

realizó una discusión grupal y se anotaron todos los resultados del proceso observando

cuantos estudiantes se aproximaron a la solución del problema.

Los problemas que abordaron los estudiantes son:

1. De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia, ¿cuál es el de mayor área?

2. Encontrar el rectángulo de área máxima inscrito en un cuadrado dado, los vértices del

rectángulo deben estar sobre los lados del cuadrado y los lados a 45º.

3. Se levantan dos perpendiculares al diámetro de una semicircunferencia. Trazar una

tangente de tal forma que el trapecio rectángulo formado tenga área mínima.

4. De todos los triángulos de perímetro constante y con la misma base, encontrar el de área

máxima.

Los problemas fueron seleccionados considerando que el grado de dificultad sea acorde al

nivel de estudio de los estudiantes de bachillerato, estos se encuentran actualmente cursando

el sexto semestre de bachillerato, por lo tanto han cursado cálculo, además los conocimientos

previos requeridos han sido abordados en cursos anteriores de matemáticas tanto en

secundaria como en bachillerato.

3.3. Participantes en la investigación

Los participantes en este trabajo de investigación fueron inicialmente diez estudiantes de

sexto semestre de bachillerato, sin embargo, por diversas circunstancias, algunos fueron

abandonando los trabajos o ya no se presentaron, por lo que se finalizó el trabajo de

investigación con solo cuatro estudiantes, cuyas edades oscilan entre 17 y 18 años, que se

encuentran inscritos en el Centro de Bachillerato Tecnológico No. 2 Lic. Carlos Pichardo,

Tecámac, ubicado en San Pedro Pozohuacan, perteneciente al Municipio de Tecámac, Estado

de México. Estos estudiantes fueron seleccionados por conveniencia. Los estudiantes cursan

diferentes carreras tecnológicas que se ofrecen en dicha institución educativa, además de que

las capacidades matemáticas son variables en cada uno de ellos de acuerdo al nivel mostrado

en los cursos que han llevado en semestres anteriores: Pensamiento numérico y algebraico,

25

pensamiento algebraico y de funciones, pensamiento trigonométrico, pensamiento geométrico

y analítico y pensamiento del cálculo diferencial (actualmente cursan pensamiento de cálculo

integral). Estos estudiantes ya cursaron la materia de cálculo diferencial, por lo que se han

enfrentado a la solución de problemas de máximos y mínimos utilizando las herramientas de

cálculo.

Cabe mencionar que ninguno de los estudiantes había usado el programa interactivo

Geogebra por lo que se les tuvo que impartir un breve curso introductorio en el uso de este

software para que posteriormente no tengan dificultades en la solución de sus ejercicios

utilizando Geogebra.

Cada uno de los estudiantes seleccionados se identifica mediante una letra mayúscula del

alfabeto para el análisis de las videograbaciones, (estudiante A, B, C, D). Se analizará el

proceso de implementación de tareas no rutinarias que puedan permitir a los estudiantes

adquirir procesos de razonamiento matemático y, con el empleo de tecnologías digitales

como herramientas computacionales, puedan reforzar sus estrategias de resolución de

problemas mediante el uso de heurísticas, además de desarrollar una forma de trabajo donde

constantemente busquen y examinen diferentes tipos de relaciones, planteen conjeturas,

utilicen diferentes sistemas de representación, establezcan conexiones, empleen argumentos y

puedan comunicar sus resultados.

3.4 Características y análisis preliminar de las tareas

Se buscó que las tareas promovieran la participación del estudiante mediante la resolución de

problemas, esto incluye las siguientes actividades.

a) Introducción a la tarea. El profesor reúne al grupo y explica detenidamente en qué consiste

cada una de las tareas a realizar.

b) Realización de la tarea. Esta se presenta en dos momentos, cuando el estudiante resuelve el

problema a papel y lápiz, se le da un determinado tiempo para sus solución, este proceso lo

realiza de forma individual, el segundo momento es cuando el estudiante lleva a cabo la

solución utilizando el programa interactivo Geogebra, esto se realiza en parejas y de igual

forma se les da un tiempo en la solución de la tarea.

c) Presentación de la solución. Cada estudiante presenta la solución de la tarea realizada a

lápiz y papel al grupo, se realizan cuestionamientos, observaciones con el fin de

26

retroalimentar el proceso, en cuanto a la solución con el software, este se presenta al docente

paso a paso y de igual forma se retroalimenta el proceso.

d) Análisis de resultados. Los procesos de solución en todo momento serán videograbados,

esto con la finalidad de analizar la forma en que cada estudiante abordó sus soluciones en

cada una de las tareas, tanto a lápiz y papel como con el software.

e) Presentación de resultados. En este punto se trata de caracterizar los aspectos más

importantes del razonamiento empleado por cada estudiante en la solución de las tareas así

como observar las dificultades a las que se enfrentarán.

f) Descripción de las sesiones. Se llevan a cabo ocho sesiones, cuatro para la solución de las

tareas a lápiz y papel y cuatro para la solución utilizando Geogebra. Dentro de las primeras

cuatro sesiones, se tomaron ocho videograbaciones, esto es porque se dividió cada

videograbación en dos partes, una durante el proceso de solución y la segunda durante el

proceso de exposición de la solución, en las siguientes cuatro sesiones, tanto la solución del

problema como la presentación de los resultados se videograbaron en una sesión para cada

situación problemática. Los tiempos y el número de participantes en cada sesión se describen

de la siguiente manera:

Solución de las tareas utilizando papel y lápiz

Sesión 1: 10 participantes, duración de la sesión; 48 minutos. Sesión 2: 10 participantes,

duración de la sesión; 44 minutos. Sesión 3: 9 participantes, duración de la sesión; 37

minutos. Sesión 4: 7 participantes, duración de la sesión; 46 minutos.

Análisis final: Cuatro participantes de manera individual.

Solución de las tareas con el uso del software dinámico de geometría Geogebra

Sesión 5: 2 participantes, duración de la sesión; 9 minutos. Sesión 6: 2 participantes, duración

de la sesión; 12 minutos. Sesión 7: 2 participantes, duración de la sesión; 10 minutos. Sesión

8: 2 participantes, duración de la sesión; 12 minutos.

Análisis final: Cuatro participantes en parejas.

La descripción anterior nos muestra cómo se llevaron a cabo las sesiones en la solución de

cada una de las tareas por los estudiantes participantes en el presente trabajo de investigación

las cuales están documentadas y su descripción se muestra posteriormente al final del mismo.

27

3.4.1 Tarea 1: Encontrar el rectángulo de área máxima inscrito en un cuadrado dado, los

vértices del rectángulo deben estar sobre los lados del cuadrado y los lados a 45º.

En este caso se espera que el estudiante pueda efectuar sus conjeturas al trazar primero en

lápiz y papel sus figuras, se les proporcionan las herramientas necesarias para sus trazos y se

les da un tiempo razonable para su construcción, y después de construir la misma figura en

Geogebra, observar el comportamiento al mover los trazos. Se pretende que el estudiante

pueda calcular y aproximar valores apoyándose en los correctos trazos de su figura dentro de

un cierto rango y sugerir la forma de la figura óptima.

Solución.

fig. 1

Observando la imagen anterior (fig. 1) y sombreando una parte del área del cuadrado y una

parte del área del rectángulo que no se traslapan (fig. 2), nos queda lo siguiente: El área

sombreada del cuadrado inscrito es mayor que el área sombreada del rectángulo inscrito, ya

que ambas tienen la misma altura (KO para el cuadrado y EO para el rectángulo en donde

KO=EO), sin embargo se nota que el cuadrado tiene mayor su base. Por lo anterior, el área

del cuadrado inscrito es mayor que la de cualquier otro rectángulo inscrito en el cuadrado

dado.

28

fig. 2

3.4.2 Tarea 2: Se levantan dos perpendiculares al diámetro de una semicircunferencia.

Trazar una tangente de tal forma que el trapecio rectángulo formado tenga área mínima.

En este problema, el nivel de conocimientos que debe poseer el estudiante es mayor ya que se

utilizan conceptos como; semicircunferencia, tangencia, trapecio rectángulo,

perpendicularidad y paralelismo, el estudiante al identificar lo anterior, se dará una mejor

idea de que es lo que se busca en la solución del problema por lo que se espera que, en base a

ciertas comparaciones y sin usar demasiados cálculos algorítmicos, observe y se aproxime a

la solución óptima con argumentos sólidos que permitan que su conjetura sea la adecuada.

Solución. En este caso el trapecio formado es ABED, el punto C es móvil, por lo que la recta

tangente también es móvil al mover el punto C. Si trazamos un rectángulo en donde la

semicircunferencia quede inscrita en él, tenemos lo siguiente (fig. 1); El trapecio y el

rectángulo se traslapan y forman dos triángulos rectángulos DGI y EHI que son semejantes,

uno mayor que el otro, se observa que el triángulo DGI es mayor que el triángulo EHI

(depende de la posición del punto C), con eso nos damos cuenta que el área del trapecio es

mayor que la del rectángulo, si movemos el punto C de tal forma que se aproxime al punto A,

el triángulo DGI aumenta su área y el triángulo EHI también, sin embargo la proporción de

aumento es mucho mayor en el triángulo EHI que en el triángulo DGI y el área del trapecio

ABED aumenta también, pero si el punto C se mueve hacia el punto F, entonces el área de los

dos triángulos disminuye y en el punto F se hace cero, por lo tanto el rectángulo ABHG es el

29

trapecio cuya área es mínima, de paso se observa también que el perímetro del rectángulo

ABHG también es mínimo.

fig. 1

3.4.3 Tarea 3: De todos los rectángulos inscritos en un círculo dado. ¿Cuál es el que tiene

área máxima?

La solución es muy parecida a la del problema de la tarea 1, sin embargo aquí el estudiante

debe en su momento de auxiliarse de algunos trazos que dividan el rectángulo inscrito en dos

triángulos, si se logra esta aproximación, el estudiante deberá de ser capaz de argumentar que

al trazar la diagonal en el rectángulo se forman dos triángulos de los cuales los que tengan

mayor altura serán los que hagan que el rectángulo sea de área máxima y que este rectángulo

es el cuadrado, por lo tanto su conjetura se aproximará a la solución correcta.

Solución: De acuerdo con la figura número 1, A simple vista no tenemos ninguna referencia

que nos permita una solución, por lo tanto requerimos de algún trazo auxiliar, en este caso,

trazamos el diámetro que nos una dos vértices opuestos del rectángulo, o sea, una de sus

diagonales. Observamos que el rectángulo se divide en dos triángulos rectángulos iguales

cuya área es; � � �∗�

�, en este caso, la base puede ser HF (para el triángulo HFD) o bien DG

(para el triángulo DGF), si movemos un poco la figura y trazamos un cuadrado inscrito con

sus respectivas alturas observaremos lo siguiente; Al mover el punto D hacia el punto G la

30

altura h1 va creciendo hasta que se convierte en la altura h, después del punto g, la altura h1

decrece nuevamente (fig. 2).

fig. 1 fig. 2

Por lo tanto podemos afirmar lo siguiente: El cuadrado inscrito tiene área mayor que la de

cualquier otro rectángulo inscrito. Los triángulos que forman la mitad del cuadrado y del

rectángulo tienen la misma base, pero la altura del triángulo del cuadrado (h) es mayor que la

altura del triángulo del rectángulo (h1).

3.4.4 Tarea 4: De todos los triángulos de perímetro constante y con la misma base, encontrar

el de área máxima.

Aquí, la dificultad mayor es identificar el comportamiento de las alturas en cada triángulo. Se

espera que el estudiante pueda dividir en casos particulares la solución de esta tarea y de igual

forma, comparar y argumentar en base a sus observaciones que el triángulo con área máxima

es el que tiene mayor simetría, si esto se logra su conjetura lo aproximará a la mejor solución.

Solución. En este caso nos manejan dos valores que son fijos; la base del triángulo y su

perímetro, entonces, la suma de los dos lados variables del triángulo es constante. La figura 1

nos muestra una posible construcción. El lado AB es fijo y la suma de los lados AC y BC es

constante y conforme movemos el punto C ya sea a la derecha o a la izquierda, los lados

móviles van cambiando su longitud pero su suma sigue siendo constante. Al realizar el

movimiento del punto C nos damos cuenta que el lugar geométrico de ese vértice es una

elipse cuyos focos de esta son los otros dos vértices (A y B). La representación se muestra en

la figura 2. El área máxima corresponde a la altura máxima, es decir al punto medio del arco,

por lo tanto el triángulo con el área máxima y perímetro constante es el triángulo isósceles,

31

esto es, cuando los segmentos AC y BC son iguales. La figura 3 muestra lo explicado, cuando

movemos C y se aproxima al punto F, la altura del triángulo AFB (h1) es mayor que la altura

del triángulo ACB (h2), y la altura del triángulo AGB (h) es todavía mayor que las alturas

anteriores. Si seguimos moviendo el punto C más hacia la izquierda después del punto G, la

altura decrece nuevamente y se corrobora la conjetura anterior.

fig. 1

fig. 2

fig. 3

32

CAPÍTULO IV. RESULTADOS

4.1 Introducción

En este capítulo la tarea se centra en analizar los aspectos más importantes del razonamiento

empleado por los estudiantes en la solución de las tareas, identificando las ideas principales,

los tipos de estrategias que cada uno de ellos utilizó en la ruta de solución, los argumentos en

que basan sus conjeturas, las heurísticas y las dificultades presentadas desde que se introduce

a la tarea hasta aproximarse a la mejor solución posible.

4.2 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 1.

Esta tarea fue resuelta por los cuatro estudiantes, sin embargo solo los estudiantes A y B la

resolvieron tanto a lápiz y papel así como con Geogebra. Estos estudiantes trabajaron en

parejas. El problema a resolver en la tarea 1 es: Encontrar el rectángulo de área máxima

inscrito en un cuadrado dado, los vértices del rectángulo deben estar sobre los lados del

cuadrado y los lados a 45º.

a) Solución a lápiz y papel por el estudiante A.

El estudiante dibuja 6 cuadrados de 3 cm por lado cada uno, traza una diagonal a cada

cuadrado y traza un rectángulo inscrito a 45º con diferentes medidas en cada uno de ellos, su

representación se observa en las figuras mostradas abajo, las medidas de los lados y áreas

respectivas obtenidas son las siguientes: En el primer cuadrado los lados son de 2.2 por 2 cm

y el área es de 4.4 cm2. En el segundo cuadrado los lados son de 2.5 cm por 1.8 cm, el área

es de 4.5 cm2. En el tercer cuadrado el rectángulo inscrito tiene lados cuyas medidas son de

2.3 cm por 1.8 cm y el área del mismo es de 4.37 cm2. En el cuadrado número cuatro, el

rectángulo inscrito con medidas en sus lados de 3.2 cm por 1 cm tiene un área de 3.2 cm2. En

el quinto cuadrado las medidas de los lados son de 2.3 cm por 2 cm y el área es de 4.6 cm2.

Por último en el sexto cuadrado trazado, inscribe ahora un cuadrado utilizando los puntos

medios de cada lado del cuadrado inicial, este cuadrado inscrito tiene medidas de 2.1 por 2.1

cm. Obtiene el área del cuadrado inscrito en este último, su resultado es de 4.41 cm2 (en

todos los casos el estudiante utiliza la fórmula para calcular el área de cada rectángulo

inscrito). Utiliza la estrategia de resolución por comparación, ya que el estudiante traza cada

figura y observa la variación en las áreas de una con respecto a las otras. En su exposición

argumenta que el cuadrado inscrito tiene un área grande pero este no es un rectángulo y que a

partir de los puntos medios a 1.5 cm de cada lado del cuadrado, iba recorriendo

33

milimétricamente hacia los lados, obteniendo cada rectángulo con las características descritas

anteriormente, el estudiante finalmente concluye que el rectángulo con área máxima es el que

fue recorrido a partir del centro a 1.4 cm. de los lados del cuadrado y cuyas medidas son de

2.3 cm por 2 cm, para él, el área máxima es de 4.6 cm2.

Observaciones. El estudiante no utiliza demasiadas estrategias de solución, divide el

problema en casos particulares y analiza cada uno de ellos por separado utilizando el

algoritmo de solución en el cálculo de las áreas de cada rectángulo, finalmente solo lleva a

cabo la comparación entre estas áreas para realizar su conjetura final.

Tabla 1. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 1; Estudiante A

Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades Uso de la diagonal como referencia

Operaciones geométricas básicas Áreas, perímetros

Uso de casos particulares (separa cada figura). Resolución por comparación entre áreas.

No identifica la relación cuadrado rectángulo.

34

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante A en la

resolución de la tarea 1

b) Solución a lápiz y papel por el estudiante B.

Primeramente traza un cuadrado de 8 por 8 cm. con una línea diagonal trazada desde el

vértice superior derecho del cuadrado para tomarla como referencia. A partir de esta línea y

utilizando la regla coloca dos puntos a medio centímetro del vértice superior derecho, uno en

la recta horizontal superior del cuadrado y otro en la recta vertical derecha del mismo. Traza

líneas oblicuas desde esos puntos, éstas paralelas a la diagonal de 45º que de igual forma

tienen esta inclinación y toma otros dos puntos pero ahora a un centímetro del vértice

superior derecho trazando otras dos líneas oblicuas a 45º. Nuevamente toma otros dos puntos

pero ahora a centímetro y medio del vértice referido, de igual forma traza sus dos líneas a 45º

para cada punto tomado, repite el procedimiento tomando los puntos a 2 centímetros del

vértice y construye sus diagonales, por último une los puntos que están a la misma altura con

El estudiante identifica las variables del

problema.

Construye cuadrados de 3*3 cm.

Traza una diagonal en cada cuadrado (la menciona como una

linea a 45º )

Traza los rectángulos inscritos

Toma medidas de los lados en cada

rectángulo inscrito

Utiliza el algoritmo en el calculo de áreas

Analiza y compara las áreas obtenidas

Argumenta que el cuadrado inscrito

tiene un área grande pero que este no es

un rectángulo

No identifica la relación cuadrado-

rectángulo

Su conjetura final es que el área máxima es la del rectángulo

que más se aproxima al cuadrado

35

segmentos de recta haciendo uso de la regla. Construye los rectángulos inscritos, todos dentro

del mismo cuadrado. En todos los casos toma medidas a cada uno de los rectángulos y

calcula las áreas, sombrea el rectángulo que desde su punto de vista es el que encierra el área

mayor, se presenta en la última imagen. En su conclusión argumenta que el rectángulo con

área máxima fue el que tiene medidas de 7cm por 4 cm y cuya área es de 28 cm2. En este

caso, las imágenes presentadas en las figuras 1 y 2 fueron tomadas del video de exposición

para que se entendiera mejor el procedimiento, la figura 3, que representa el cuadrado

original, fue tomada de las hojas que presenta el estudiante en su solución en las hojas a lápiz

y papel, donde se muestran la figura final trazada y los cálculos realizados por el estudiante.

fig. 1 fig. 2

fig. 3

Observaciones. El estudiante usa la estrategia de comparación entre áreas en un solo objeto,

ya que pasa del examen de un objeto, en este caso un cuadrado inscrito, al examen de un

conjunto de objetos que fueron cada uno de los rectángulos inscritos con la particularidad de

que solo utiliza una figura, de igual forma sus soluciones se basan en el cálculo de las áreas

mediante el algoritmo y la comparación entre cada una de ellas.

36

Tabla 2. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 1; Estudiante B

Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades Uso de la diagonal como referencia.

Operaciones geométricas básicas Áreas, perímetros

Utiliza la comparación. No identifica la relación cuadrado rectángulo. Traza pocos rectángulos, por lo que su comparación es muy pobre.

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante B en la

resolución de la tarea 1

El estudiante identifica las variables del

problema.

Construye un solo cuadrado de 8*8 cm.

Traza una diagonal en el cuadrado (la

menciona como una linea a 45º )

Toma puntos de referencia para trazar

los rectángulos inscritos a cierta distancia de los

vértices

Une los puntos y traza varios

rectángulos inscritos en el cuadrado

Toma medidas de los lados en cada

rectángulo inscrito

Utiliza el algoritmo en el calculo de áreas

Analiza y compara las áreas obtenidas

Identifica el de mayor área y lo

ilumina

Solo trazó el cuadrado

inscrito y cuatro

rectángulos inscritos

No identifica la relación cuadrado-

rectángulo

Su conjetura final es que el área máxima es la del rectángulo

que iluminó previamente

37

c) Solución de la tarea 1 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA, estudiantes A y B.

Trazan un polígono regular que es el cuadrado y marcan sus puntos medios. Uniendo los

puntos medios trazan un cuadrado inscrito el cual queda a 45º del cuadrado inicial (fig. 1) y

colocan un punto en la parte baja de la línea vertical del lado izquierdo del cuadrado inicial,

después trazan una recta que pasa por el punto anterior, la cual es paralela a la recta inferior

izquierda del cuadrado inscrito colocando un punto de intersección de la recta trazada

anteriormente y la recta inferior del cuadrado original y trazan una recta perpendicular a la

recta paralela que habían trazado anteriormente (paralela a la recta inferior izquierda del

cuadrado inscrito), de igual forma trazan la recta perpendicular a la misma recta anterior pero

ahora utilizando el punto de intersección. Colocan los puntos de intersección de ambas rectas

con el cuadrado original, uno en la recta horizontal superior y otro en la recta vertical

derecha, trazan el polígono uniendo los cuatro puntos, el punto que colocaron inicialmente y

los tres puntos de intersección, y ocultan las rectas paralelas y perpendiculares que habían

trazado para que solo queden los polígonos, que en este caso son el cuadrado original, el

cuadrado inscrito en el mismo y un rectángulo inscrito también en el mismo ambos a 45º (fig.

2). Le ponen color al cuadrado y al rectángulo inscrito y colocan el valor de las áreas en cada

uno de ellos (fig. 3).

fig.1 fig. 2 fig. 3

Proceden a efectuar el análisis comparativo de las áreas al mover un punto del rectángulo

inscrito hacia los lados del cuadrado (fig. 4).De inicio, observan que el área del cuadrado

inscrito, que es de 15.25 u2, es mayor que la del rectángulo inscrito inicial que es de 9.88 u2 y

que al aproximar el área del rectángulo hacia el cuadrado, esta se va acercando al valor del

área del cuadrado. Observan que el área máxima que se obtiene del rectángulo inscrito es

cuando coincide exactamente con las dimensiones del cuadrado inscrito. Mueven el punto del

rectángulo por encima del punto medio del cuadrado original y observan que las dimensiones

del rectángulo disminuyen (fig. 5). Su argumento es que entre más lejano esté el punto móvil

38

del rectángulo del punto medio, el área del rectángulo es menor. Su conclusión es que el

rectángulo de área máxima es el cuadrado de A= 15.25 u2.

fig. 4 fig. 5

Observaciones. Los estudiantes basan sus argumentos con la comparación entre las áreas del

cuadrado inscrito a 45º y un rectángulo inscrito que pueden modificar ampliando y

reduciendo sus medidas con la ayuda del software, sin embargo aún no les queda claro que el

cuadrado es el rectángulo de máxima simetría. Aun así, se permite la observación de las

variaciones en las áreas y les da una mayor aproximación a la solución real.

Tabla 3. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 1 usando el programa

GEOGEBRA ; Estudiantes A y B.

Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades El cuadrado inscrito como referencia

Perpendicularidad y paralelismo. Punto medio de un segmento. Áreas y perímetros.

Hacen uso de casos particulares al observar la variación entre las áreas. Utilizan la comparación.

No hay problemas en la construcción. En esta tarea no le ven una utilidad real al programa.

Nota: Los estudiantes argumentan que la tarea con el uso del programa solo les ahorró un poco de tiempo pero que no es relevante para la solución. Conclusión: Este problema no muestra una utilidad real en el análisis, por lo que no resultó

adecuado para la investigación.

39

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por los estudiantes A y B en la

resolución de la tarea 1 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA

4.3 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 2.

Esta tarea fue resuelta por los cuatro estudiantes, sin embargo solo los estudiantes C y D la

resolvieron tanto a lápiz y papel y con Geogebra, en el cual trabajaron ambos en pareja. El

ejercicio a resolver en la tarea 2 es: Se levantan dos perpendiculares al diámetro de una

semicircunferencia. Trazar una tangente de tal forma que el trapecio rectángulo formado

tenga área mínima.

a) Solución a lápiz y papel por el estudiante C

Traza la semicircunferencia con diámetro horizontal y sus dos perpendiculares verticales,

trazando una recta paralela al diámetro tangente a la semicircunferencia en el punto central

superior formando el rectángulo donde la semicircunferencia queda inscrita en él, después de

esto traza una tangente en el lado izquierdo de la semicircunferencia tomando un punto de

tangencia arbitrario y marca en la perpendicular izquierda a partir de la recta tangente que

forma el rectángulo en forma descendente, varios puntos con separaciones de un milímetro

cada una entre ellas, de igual forma marca la perpendicular derecha pero a esta por encima de

Los estudiantes identifican las variables del

problema.

Trazan el cuadrado

Marcan los puntos medios de los lados

del cuadrado

Unen los puntos medios y obtienen el cuadrado inscrito a

45º del anterior

Marcan un punto A en uno de los lados del cuadrado inicial

Trazan una recta que pasa por el punto A a 45º del cuadrado

inicial

Marcan el punto de intersección B de

esta recta con otro de los lados del

cuadrado inicial

Trazan dos rectas perpendiculares al segmento AB que

pasan por los puntos A y B

Marcan los puntos de intersección C y

D de estas rectas con los otros dos lados del cuadrado inicial

Trazan el polígono

ABCD y ocultan las

rectas

anteriormente

trazadas

Le agregan color a los polígonons

inscritos (cuadrado verde y rectángulo

azul)

Colocan el valor respectivo de las

áreas en cada polígono inscrito y

las comparan entre si

Mueven el rectángulo inscrito

aproximandolo hacia las dimensiones del cuadrado inscrito

Observan en que punto de la aproximación se

obtiene la máxima área del rectángulo inscrito

Observan la disminución del área del rectángulo

inscrito al pasar su punto móvil el vértice del

cuadrado inscrito hacia el lado opuesto

Su conjetura final es que el área máxima es la del cuadrado

inscrito

40

la tangente que forma el rectángulo. A partir de uno de estos puntos marcados, que de hecho

está a 10 mm debajo de la recta tangente que forma el rectángulo, traza otra tangente y en el

punto que marcó a un milímetro debajo de la perpendicular izquierda, traza una cuarta

tangente, a diferencia de sus compañeros, en todas estas tangentes trazadas utiliza estos

puntos de referencia y no puntos sobre la semicircunferencia. Marca cada uno de los

trapecios rectángulos formados numerándolos como 1, 2 y 3 respectivamente en el orden en

que fueron trazados y las rectas tangentes las marca con colores diferentes, las dos primeras

de color azul y la tercera de color verde, calcula las áreas de cada uno de los trapecios, el

primero tiene un área de 145.2 cm2, el segundo tiene un área de 79.8 cm2, en el tercero el área

es de 51.25 cm2 que corresponde al trapecio rectángulo cuya tangente es de color verde en su

dibujo a lápiz y papel. Conjetura que el trapecio rectángulo con el área mínima es el tercero,

o sea el que más se acerca al rectángulo (ver figura inferior), argumentando que si subía un

poco más el punto de tangencia este trapecio ya iba a ser el rectángulo y que si se pasaba por

arriba del rectángulo, entonces obtendría otro trapecio rectángulo con las mismas

características pero invertido, sus trazos a lápiz y papel se muestran a continuación.

Observaciones. Se le dificulta el trazo de las tangentes debido a que no utiliza los puntos de

tangencia sobre la semicircunferencia, si no sobre las rectas perpendiculares, parte desde

estos puntos y ajusta la tangencia al pasar por la semicircunferencia, su conjetura se basa en

la aproximación de un trapecio hacia el rectángulo circunscrito a la semicircunferencia pero

no efectúa ninguna comparación o analogía, su única comparación es entre el cálculo de las

áreas de cada trapecio rectángulo.

41

Tabla 4. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 2; Estudiante C

Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades Considera marcar puntos en las rectas perpendiculares. Trazo de las rectas tangentes desde estos puntos. Trapecio.

Operaciones geométricas básicas. Áreas, perímetros, rectas tangentes.

Utiliza la comparación entre áreas.

Hace uso de la resolución por analogía entre las figuras geométricas.

Utiliza la tangente pero parte desde puntos trazados en la recta paralela y no en la semicircunferencia. No identifica al rectángulo como el trapecio de menor área.

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante C en la

resolución de la tarea 2

b) Solución a lápiz y papel por el estudiante D.

El estudiante traza la semicircunferencia con las dos perpendiculares en los extremos, en este

caso son trazos de forma inclinada, dibuja el rectángulo circunscrito a la semicircunferencia.

Toma el punto de tangencia del rectángulo y la semicircunferencia como una inclinación a 0º

El estudiante identifica las variables del

problema.

Traza la semicircunferencia con su respectivo

diámetro

Traza las dos rectas perpendiculares al

diámetro de la semicircunferencia.

Traza una recta paralela al diametro

de la semicircunferencia tangente al punto

superior de la misma

Obtiene un rectángulo

circunscrito a la semicircunferencia

Toma puntos de referencia trazados en la perpendicular izquierda

para trazar tres tangentes a la semicircunferencia

Colorea y numera cada una de las tres tangentes, la primera y segunda con color azul y la tercera con

color verde

Obtiene tres trapecios rectángulos de diferentes tamaños dependiendo de

la inclinación de las tangentes

Toma las medidas de los lados de cada

trapecio rectángulo y obtiene sus áreas correspondientes

Compara el valor de cada una de las áreas

Argumenta que el rectángulo tiene área

mínima, pero que este no es un trapecio

Su conjetura final es que el área mínima es la del trapecio rectángulo que

mas se aproxima al rectángulo circunscrito

42

esto es, en el punto más alto de la semicircunferencia (ver figura 1). Traza tres rectas

tangentes a la semicircunferencia en diferentes posiciones cada una, a las que llama ejes, la

primera desde la perpendicular superior por encima del rectángulo y las otras dos por debajo

del rectángulo. Remarca una de las tangentes con color verde. Borra parte de la

semicircunferencia y remarca el triángulo rectángulo que se forma en uno de los trapecios

construidos, este triángulo se forma desde la intersección de la tangente con la perpendicular

superior hasta la intersección de la tangente con el lado superior del rectángulo circunscrito,

le coloca el número 1 en el centro. Indica que este triángulo puede quedar inscrito en el

triángulo opuesto al trapecio, o sea en el que queda en el otro triángulo que es semejante al

marcado, lo dibuja en ese lado e igualmente le coloca el número 1, argumenta que si la

tangente se acerca más a la base de la semicircunferencia, o sea al diámetro, el área se hace

más grande. Finalmente conjetura que el trapecio de área más pequeña es el que se acerca

hacia la tangente a 90º ya que el área va a reducir más si esta tangente se aproxima a la que

forma el rectángulo, sus trazos a lápiz y papel fueron los siguientes.

fig. 1

Observaciones. Intenta utilizar la relación entre la semejanza de triángulos, sin embargo sus

argumentos no son muy sólidos, tampoco tiene en cuenta que el rectángulo es el trapecio de

menor área y su conjetura solo lo lleva a una aproximación del resultado real.

Tabla 5. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 2; Estudiante C

Ideas centrales

Conocimientos previos Heurísticas Dificultades

Relación entre triángulos. Trapecio rectángulo.

Operaciones geométricas básicas Áreas, perímetros, tangentes

Utiliza la semejanza entre triángulos.

No identifica al rectángulo como el trapecio de menor área.

43

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante C en la

resolución de la tarea 2

c) Solución de la tarea 2 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA, estudiantes C y D.

Los estudiantes construyen una semicircunferencia y trazan el diámetro de la misma,

encuentran el punto medio del diámetro, posteriormente trazan las dos rectas perpendiculares

al diámetro de la semicircunferencia. Trazan una diagonal desde el punto medio del diámetro

de la semicircunferencia hacia la izquierda y hasta el borde de la misma y dibujan la recta

tangente que pasa por el punto de intersección de la diagonal y la semicircunferencia (fig. 1).

Se forma un trapecio rectángulo, remarcan el trapecio. Posteriormente le ponen color al

trapecio rectángulo para darle una mejor presentación (fig. 2). Colocan el valor del área del

trapecio rectángulo (fig. 3). Concluida la construcción, proceden a mover el punto de

tangencia del trapecio rectángulo y la semicircunferencia y observan que el área del trapecio

rectángulo cambia con respecto a la posición del punto de tangencia.

El estudiante identifica las variables del

problema.

Traza la semicircunferencia con su respectivo

diámetro

Traza las dos rectas perpendiculares al

diámetro de la semicircunferencia.

Traza una recta paralela al diámetro

de la semicircunferencia tangente al punto

superior de la misma

Obtiene un rectángulo

circunscrito a la semicircunferencia

Traza tres tangentes a la semicircunferencia a

partir del lado izquierdo de la misma

Remarca una de las tres tangentes con color verde para efectuar su análisis

Indica que entre el rectángulo circunscrito y

el trapecio rectángulo formado se encuentra una

especie de triángulo

Afirma que ese rectángulo "cabe" dentro del trapecio

rectángulo en el lado opuesto del mismo, lo

traza y les coloca el número 1

Compara con otros trapecios cuya

tangente tiene mayor o menor inclinación

según sea el caso

Observa el tamaño de los triángulos formados y argumenta que el área

varía de acuerdo al tamaño de los mismos

Su conjetura final es que el área mínima es la del trapecio rectángulo que

más se aproxima al rectángulo circunscrito

44

fig. 1 fig. 2 fig. 3

Al mover el punto de tangencia observan lo siguiente, que es lo que comentan en la

exposición de la solución:

a) Si el punto de tangencia coincide con uno de los puntos extremos del diámetro de la

circunferencia, el área la marca como indefinida (fig. 4).

b) Si el punto de tangencia se mueve hacia el punto del diámetro de la semicircunferencia

colocado en el lado izquierdo, el área aumenta (fig. 5).

c) Si el punto de tangencia se mueve más allá del punto central de la semicircunferencia

(hacia el lado derecho), el área de la figura aumenta conforme se va acercando al punto del

diámetro de la semicircunferencia colocado del lado derecho (fig. 6).

d) Si el punto de tangencia se coloca en el punto central superior de la semicircunferencia, el

área es mínima (fig. 7). Los estudiantes observan que el trapecio con área mínima es el

rectángulo la cuál es su conjetura final.

fig. 4 fig. 5

45

fig. 6 fig. 7

Observaciones. El uso del software permitió que los estudiantes observaran en qué puntos de

tangencia el área se hace indefinida, esto es en los puntos extremos del diámetro de la

semicircunferencia, algo que difícilmente hubiesen podido determinar con el uso del lápiz y

papel, de igual forma, al poder trasladar el punto de tangencia y por lo mismo variar las

dimensiones del trapecio, observaron de forma más concreta el cambio en las áreas, esto hace

que los argumentos en la presentación de la solución de la tarea sean más sólidos.

Tabla 6. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 2 usando el programa

GEOGEBRA; Estudiantes C y D.

Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades Semicircunferencia. Trapecio rectángulo

Perpendicularidad y paralelismo. Punto medio de un segmento. Áreas y perímetros. Recta tangente

Hacen uso de la generalización. Utilizan la comparación.

Solo al fijar el punto de tangencia en la construcción.

46

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por los estudiantes C y D en la

resolución de la tarea 2 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA

4.4 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 3.

Al igual que en la tarea 2, esta tarea fue resuelta por los cuatro estudiantes participantes, sin

embargo solo los estudiantes C y D la resolvieron tanto a lápiz y papel así como con el

programa interactivo Geogebra, en el cual trabajaron en pareja. El problema a resolver en la

tarea 3 es: De todos los rectángulos inscritos en un círculo dado. ¿Cuál es el que tiene área

máxima?

a) Solución a lápiz y papel por el estudiante C

Traza la circunferencia y marca con líneas pequeñas las divisiones en los bordes cada 45º, en

total son ocho, posteriormente traza un cuadrado inscrito en la circunferencia uniendo cuatro

de las marcas, utiliza las que están a 45º, las otras cuatro no las utiliza. Anota las medidas de

Los estudiantes identifican las variables del

problema.

Construyen la semicircunferencia con su respectivo

diámetro

Encuentran el punto medio A al diámetro

de la semicircunferencia

Trazan las rectas perpendiculares al

diametro de la semicircunferencia

Trazan una recta diagonal desde el punto medio de la semicircunferencia, hasta un punto B a la izquierda de la misma

Trazan la recta tangente a la semicircunferencia

en el punto B

Forman el trapecio rectángulo con los puntos de intersección C y D de la recta tangente con las

perpendiculares

Le dan color al trapecio rectángulo formado

Colocan el valor del área del trapecio rectangulo

Proceden a mover el punto B de tangencia

Observan las variaciones en el área, en dónde aumenta, en donde

disminuye o es indefinida, dependiendo de la

colocación del punto B

Su conjetura final de acuerdo a las observaciones

anteriores es que el área mínima es la del rectángulo

circunscrito a la semicircunferencia

47

ambas figuras, el diámetro de la circunferencia 8.1 cm y los lados del cuadrado de 6 cm cada

uno, por lo tanto el área de este es de 36 cm2. A partir de los vértices del cuadrado toma

marcas de 1 mm de separación en los bordes de la circunferencia, traza cinco líneas uniendo

algunos puntos, forma con esto la mitad de cinco rectángulos inscritos (fig. 1). Calcula el área

de dos de los cinco rectángulos inscritos, los lados del primero son de 6.2 cm y 5.8 cm, el

área es de 35.96 cm2 (es el más próximo al cuadrado), para el segundo rectángulo las medidas

son de 6.5 cm y 5.2 cm y su área es de 33.8 cm2. Por último calcula el área de un tercer

rectángulo inscrito cuyas medidas de los lados son de 7.7 cm y 3.5 cm, el área es de 26.95

cm2, su argumento es que si aproximara más rectángulos hacia el cuadrado tendría un área

mayor que 35.96 cm2, pero si utiliza la lógica sería el cuadrado, sin embargo no está

convencido de que el cuadrado sea un rectángulo. Su conjetura final es que el rectángulo que

tiene área máxima es el más próximo al cuadrado. Sus trazos y sus cálculos utilizando lápiz y

papel y los algoritmos de solución se muestran al final del análisis (fig 2):

fig. 1

48

fig. 2

Observaciones. No encuentra muchas dificultades en la solución de la tarea, el estudiante

utiliza la estrategia de resolución por analogía, ya que compara cada figura y observa la

variación en las áreas de una con respecto a las otras.

Tabla 7. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 3; Estudiante C

Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades Toma como base un cuadrado inscrito. Considera marcar puntos en los bordes de la circunferencia. Trazo de los rectángulos a partir de estos puntos.

Operaciones geométricas básicas. Áreas, perímetros. Diámetro de una circunferencia.

Utiliza la comparación entre áreas.

Usa la resolución por analogía entre las figuras geométricas.

No identifica al cuadrado como un rectángulo.

49

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante C en la

resolución de la tarea 3

b) Solución a lápiz y papel por el estudiante D.

Inicialmente traza la circunferencia y apoyandose con un transportador desde el eje horizontal

y a partir del centro de la circunferencia traza una diagonal a 45º. Construye el cuadrado

inscrito utilizando las escuadras y rectas paralelas y perpendiculares, posteriormente y un

poco abajo del vértice superior derecho del cuadrado inscrito coloca una marca sobre la

circunferencia, a partir de esta, traza un rectángulo y a partir del mismo vértice traza un

segmento hasta el centro de la circunferencia. Mide el ángulo el cual es de 38º, de igual forma

traza otro segmento vertical desde el centro de la circunferencia hacia el borde superior de la

misma y marca el ángulo de 90º. Indica que solo construyó esas dos figuras inscritas cuyas

medidas son, la del cuadrado con lados de 6.2 cm tiene un área de 38.44 cm2 y la del

rectángulo con lados de 7.2 cm y 4.7 cm, tiene un área de 33.84 cm2, estos cálculos los

El estudiante identifica las variables del problema.

Traza la circunferencia

Coloca marcas en los bordes de la circunferencia con

separaciones de 45º.

Traza un cuadrado inscrito en la circunferencia

utilizando cuatro de las marcas colocadas

Anota las medidas obtenidas para las dos figuras, el

diámetro de la circunferencia de 8.1 cm. y los lados del cuadrado de 6 cm. con un área de 36 cm. cuadrados

Une los vértices opuestos del cuadrado inscrito con dos lineas, una vertical y

una horizontal

A partir de los vértices superior e izquierdo del

cuadrado, mide en la circunferencia varias

separaciones a 1 mm. una de la otra y las marca

Une cinco pares de marcas opuestas con rectas y traza

sus perpendiculares formando cinco mitades de

rectángulos inscritos remarcandolos con color rojo

Toma las medidas de los lados de tres de los cinco rectángulos y obtiene sus áreas correspondientes

Compara el valor de cada una de las áreas y observa el área más proxima al área del

cuadrado

Argumenta que al aproximar mas rectángulos inscritos hacia el cuadrado inscrito obtendría un área mayor y

que por lógica sería el cuadrado, pero que este no es

un rectángulo

Su conjetura final es que el área máxima es la del rectángulo que más se aproxima al cuadrado

50

realiza utilizando los algoritmos que se muestran en sus hojas de solución. Argumenta que

no necesitó de más trazos ya que el área máxima sería la del cuadrado inscrito, en el caso del

rectángulo, indica que primero trazó la figura y después midió el ángulo utilizando el

transportador. A pregunta del profesor indica que los ángulos los utilizó porque los demás

compañeros lo hicieron por medidas y el mejor utiliza ángulos, sin embargo, no profundiza

en la real utilidad que estos le proporcionaron en la solución. En este caso, su argumento es

que entre más se aleje la figura de 45º, hacia cincuenta o más o treinta o menos el área se

reduce ya que si se pasa de 45º le da otro rectángulo pero girado, similar a uno de menos de

45º, o sea que la longitud vertical se amplia pero la longitud horizontal se reduce. Por lo

tanto, su conjetura final es que el área máxima es la del cuadrado inscrito. La figura 1

muestra sus trazos a lápiz y papel.

fig 1

Observaciones. Inicialmente traza el cuadrado inscrito utilizando medidas de ángulos a 45º,

de igual forma para el rectángulo inscrito utiliza otro ángulo de una medida menor , las

referencias son con respecto al centro de la circunferencia y hacia los bordes de la misma, sin

embargo estos ángulos no le sirven en ningún modo en la solución de la tarea.

51

Tabla 8. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 3; Estudiante D

Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades Ángulo central como base

Geometría, ángulos. Operaciones básicas. Áreas, perímetros, Perpendicularidad y paralelismo.

Utiliza la comparación entre áreas.

Usa la resolución por analogía entre las figuras geométricas.

No presenta ninguna dificultad.

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante D en la

resolución de la tarea 3

c) Solución de la tarea 3 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA, estudiantes C y D.

En primera instancia, dibujan una circunferencia y trazan una recta que pasa por su centro,

luego trazan la perpendicular a esa recta que pasa por el mismo centro de la circunferencia,

encuentran las intersecciones de las dos rectas trazadas con la circunferencia, trazan un

cuadrado uniendo los puntos de intersección de las rectas y la circunferencia (fig. 1). Marcan

un punto arbitrario en la circunferencia, unen el punto trazado anteriormente con dos de los

El estudiante identifica las variables del

problema.

Traza la circunferencia y su diámetro horizontal

respectivo

A partir del centro de la circunferencia

traza un radio a 45º del diámetro

Encuentra el punto de intersección del

radio con la circunferencia

Construye un cuadrado inscrito a partir de este punto utilizando rectas

perpendiculares y paralelas

Traza otro radio al azar igual a partir del centro de la circunferencia y mide el ángulo de inclinación

que es de 38º

Encuentra el punto de intersección del

segundo radio con la circunferencia

Construye un rectángulo inscrito a partir de este

segundo punto utilizando rectas perpendiculares y

paralelas

Obtiene las medidas de las tres figuras, el valor

del diámetro de la circunferencia y los lados del rectángulo y cuadrado

inscritos

Calcula las áreas del cuadrado inscrito y del rectángulo inscrito y compara el valor de

cada una de ellas

Se basa en dos argumentos: Al trazar más rectángulos inscritos mas allá de 45º el área también disminuye.

El cuadrado inscrito es el que tiene el área máxima

Su conjetura final es que el área máxima es la del

cuadrado inscrito

52

vértices del cuadrado, se forman dos rectas perpendiculares que parecieran, son dos

segmentos de un rectángulo. Trazan una recta paralela a uno de los segmentos y marcan el

punto de intersección de ésta con la circunferencia, finalmente, uniendo los cuatro puntos

encontrados forman un rectángulo (fig. 2).

fig. 1 fig. 2

Comprueban que al mover el punto que trazaron arbitrariamente, el rectángulo se amplía o se

reduce, pero no se distorsiona. En esta parte uno de los estudiantes indica que al mover el

punto el área se va reduciendo o va aumentando, sin embargo, esto no se puede corroborar, a

petición del profesor se les pide a los estudiantes que coloquen el área de los polígonos con la

opción del programa. El área del cuadrado es de 24.49 y el área del rectángulo es de 18.84

originalmente (fig. 3). Los estudiantes observan que al desplazar el punto móvil, el área del

rectángulo varía, si el punto se mueve acercándolo hacia el diámetro de la circunferencia del

lado derecho, el área disminuye (fig. 4), y en sentido opuesto, aumenta, después de pasar por

el punto superior del cuadrado, nuevamente comienza a disminuir el área de forma gradual

conforme se aleja de ese punto (fig. 5). Por último, se observa claramente que, cuando el

rectángulo coincide exactamente con el cuadrado es cuando alcanza su área máxima (fig. 6),

los estudiantes aún tienen dudas de que el rectángulo sea un cuadrado. Su conjetura final es

que de todos los rectángulos inscritos en una circunferencia, el de área máxima es el

cuadrado.

53

fig. 3 fig. 4

fig. 5 fig. 6

Observaciones. No presentan ninguna dificultad en la realización de la tarea, toman como

base el área de un cuadrado inscrito en comparación con el área de un rectángulo inscrito que

es móvil, se esperaba que los estudiantes pudieran efectuar la comparación utilizando el

argumento de la máxima simetría utilizando las alturas de cada figura.

Tabla 9. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 3 usando el programa

interactivo GEOGEBRA ; Estudiantes C y D.

Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades El cuadrado inscrito como referencia

Perpendicularidad y paralelismo. Punto medio de un segmento. Áreas y perímetros.

Hacen uso de la generalización. Utilizan la comparación.

No presentan ningún problema ni en el análisis ni en la construcción.

54

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por los estudiantes C y D en la

resolución de la tarea 3 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA

4.5 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea 4.

Al igual que en la tarea 1, esta tarea fue resuelta por los cuatro estudiantes participantes, sin

embargo solo los estudiantes A y B la resolvieron tanto a lápiz y papel así como con el

programa interactivo geogebra, en el cual trabajaron ambos en pareja. El ejercicio a resolver

en la tarea 4 es:

De todos los triángulos de perímetro constante y con la misma base, encontrar el de área

máxima.

a) Solución a lápiz y papel por el estudiante A

Traza la base de un triángulo con medida de 10 cm, toma la mitad de la base a 5 cm y traza

una perpendicular, construye el triángulo equilátero con lados de 10 cm, anota el perímetro

del triángulo que es de 30 cm. Construye otro triángulo utilizando la misma base, este

triángulo es rectángulo, toma el vértice inferior izquierdo del primero para trazar el lado

perpendicular a la base y con la misma altura de 10 cm une el vértice inferior derecho con

este lado, formando el triángulo correspondiente, este último lado mide 14.2 cm, calcula el

Los estudiantes identifican las variables del

problema.

Trazan la circunferencia,

trazan una recta que pasa por el centro de

la circunferencia

Trazan una perpendicular a esta

recta a partir del centro de la

circunferencia

Marcan los puntos de intersección de las rectas con la circunferencia

Unen los cuatro puntos de

intersección y obtienen el cuadrado

inscrito

Ocultan las rectas trazadas inicialmente

dejando unicamente los dos polígonos, la

circunferencia y el cuadrado inscrito

Marcan un punto cualquiera en el

borde de la circunferencia

Unen este punto con

dos de los vértices del

cuadrado inscrito

obteniendo dos rectas

perpendiculares entre

sí

Trazan el rectángulo inscrito utilizando

rectas perpendiculares y

paralelas

Remarcan el rectángulo inscrito y

ocultan las rectas trazadas

Colocan el valor respectivo de las

áreas en cada polígono inscrito y

las comparan entre si

Mueven el rectángulo inscrito

aproximandolo hacia las dimensiones del cuadrado inscrito

Observan en que punto de la aproximación se

obtiene la máxima área del rectángulo inscrito

Observan la disminución del área

del rectángulo al pasar su punto móvil el

vértice del cuadrado hacia el lado opuesto

Argumentan que el área máxima se obtiene cuando

el rectángulo coincide exactamente con el cuadrado inscrito

Su conjetura final es que el área máxima es la del cuadrado

inscrito

55

área de los triángulos e indica que para el primer triángulo, que es el equilátero obtuvo 10

pero no especifica si es la altura o el área y del segundo triángulo indica que obtuvo 7,

tampoco especifica si fue de altura o de área. En sus hojas de solución anota una operación

que es de 10*10 = 100/2 = 50, tampoco especifica si es área aunque se sobreentiende esto, no

anota unidades. Traza un tercer triángulo que también es rectángulo pero en el lado opuesto al

segundo, en este no anota medida alguna. Argumenta que el triángulo de área máxima es el

equilátero, finalmente se muestran sus anotaciones y trazos a lápiz y papel (fig 1).

fig. 1

Observaciones. El estudiante tiene muchas dificultades para resolver esta tarea, no entiende

el problema, toma alturas iguales en la construcción de los triángulos pero esto altera las

condiciones del problema ya que no se mantiene el perímetro constante por lo tanto su

conjetura no es la adecuada.

Tabla 10. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 4, Estudiante A.

Ideas centrales Conocimientos previos Heurísticas Dificultades La base del triángulo es constante

Punto medio de un segmento. Áreas y perímetros. Perpendicularidad y paralelismo

Resolución por analogía Utiliza la comparación.

El estudiante no entiende el problema No respeta las condiciones del problema. Las alturas de los tres triángulos trazados son iguales pero los perímetros diferentes. No identifica el lugar geométrico

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante D en la

resolución de la tarea 3

56

b) Solución a lápiz y papel por el estudiante D

Dibuja dos triángulos, uno isosceles y el otro rectángulo, el triángulo isosceles tiene por

medidas, los lados iguales de 6 cm y la base de 5 cm, el triángulo rectángulo, que igual es

isosceles (aunque el estudiante menciona que es escaleno) mide, en los catetos 5 cm y en la

hipotenusa 7 cm. En ambos casos según el estudiante, el perimetro es de 17 cm (haciendo

cálculos, en el segundo es un poquito más de 17 cm). Calcula las alturas; para el primer

triángulo 5.5 cm y para el segundo de 5 cm. y también calcula las áreas, en el primer

triángulo obtiene 13.5 cm2 y en el segundo 12.5 cm2. A modo de comprobación cada

triángulo lo inscribe en un cuadrado de 5.5 cm de lado, en ambos casos independientemente

del área de los triángulos, tiene áreas sobrantes para cada cuadrado ya que los lados no

corresponden con la exactitud de las figuras, posteriormente calcula el área de los cuadrados

obteniendo 30.25 cm2 y calcula el área de cada una de las superficies restantes del triángulo

con respecto al cuadrado. Para la primer figura tiene un triángulo y un trapecio rectángulo, las

áreas respectivas son, 6.87 cm2 y 8.25 cm2, la suma de estas áreas es de 15.12 cm2 y para la

segunda figura tiene solo un trapecio rectángulo cuya área es de 16.5 cm2 (fig 1). Indica que

El estudiante identifica las variables del

problema.

Traza una recta horizontal de 10 cm de longitud

Traza una recta perpendicular en el punto medio de la

misma

Traza dos rectas oblicuas de 10 cm que parten de los extremos

del segmento e intersecan a la perpendicular

Obtiene un triángulo equilatero de 10 cm de lado y cuyo perímetro

es de 30 cm

Traza otro triángulo desde el vértice izquierdo del triángulo equilatero con altura vertical de 10 cm,

éste es un triángulo rectángulo con una

hipotenusa de 14.2 cm

De la misma manera traza otro triángulo

rectángulo de iguales características, pero en el vértice derecho del triángulo equilatero

Efectúa algunos cálculos sin especificar

si estos son alturas, áreas o perímetros, no

queda claro el procedimiento

Se le cuestiona sobre la diversidad de los

perímetros de cada triángulo y se muestra

confundido

Argumenta que el triángulo con área

máxima es el equilatero

Al cuestionarse el fundamento de su

argumento, nuevamente muestra confusión y no

responde

Su conjetura final es que el área máxima es

la del triángulo equilatero

57

de acuerdo a lo anterior tiene un sobrante mayor en la segunda figura. Finalmente argumenta

de acuerdo a todo lo anterior que el triángulo que tiene mayor área es el triángulo rectángulo.

fig. 1

Observaciones. El estudiante intenta resolver el problema analizando casos particulares, para

esto utiliza la comparación de dos triángulos, respeta las condiciones del problema pero el

análisis que efectúa es incorrecto, de igual forma, sus argumentos son muy pobres por lo que

su conjetura final no es adecuada a la solución de la tarea. Los cálculos que se muestran en el

mismo estan muy enredados y no se llegan a comprender adecuadamente.

Tabla 11. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 4, Estudiante B.

Ideas centrales Conocimientos

previos Heurísticas Dificultades

Se basa en dos triángulos inscritos en un cuadrado

Triángulo inscrito en un cuadrado. Áreas y perímetros. Perpendicularidad y paralelismo. Áreas de trapecios

Hace uso de casos particulares. Utiliza la comparación entre áreas.

El estudiante no entiende el problema Solo utiliza dos triángulos, por lo que su argumento es muy pobre. La comparación entre áreas es inadecuada. Su proceso de solución es muy extenso y confuso. No identifica el lugar geométrico.

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por el estudiante B en la

resolución de la tarea 4

58

c) Solución de la tarea 4 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA, estudiantes A y B

Construyen una elipse con la opción del programa a partir de un segmento AB, encuentran el

punto medio del segmento AB, indicando que lo utilizarán para construir el primer triángulo

e insertan un polígono utilizando la opción polígono regular, este es de 3 puntos, obtienen lo

que parece un triángulo equilátero. Ajustan la altura del triángulo moviendo el vértice

superior, parece que ahora el triángulo es isósceles (fig. 1). Nuevamente con la opción

polígono trazan otro triángulo inscrito en la elipse, este es del tipo escaleno y tiene la misma

base que el primero (fig.2). Trazan un tercer triángulo del lado opuesto al anterior

conservando la misma base que los dos anteriores, también es del tipo escaleno (fig. 3).

El estudiante identifica las variables del

problema.

Construye un triángulo isosceles de base igual a 5 cm y

lados iguales 6 cm, la altura es de 5.5 cm

Construye un triángulo rectángulo isosceles

cuyos catetos miden 5 cm y la hipotenusa mide 7 cm (realmente mide un

poco más)

Calcula las áreas de cada triángulo, en el isosceles

obtiene 13.5 cm cuadrados y en el

rectángulo 12.5 cm cuadrados

Inscribe a cada uno de los triángulos dentro de un cuadrado de 5.5 cm de

lado

Calcula el área de los cuadrados cuyo valor es de

30.25 cm cuadrados

Calcula el área de las figuras inscritas dentro de

los cuadrados, exceptuando la de los

triángulos iniciales

Obtiene la diferencia entre el área del cuadrado y las áreas obtenidas en el

punto anterior

Compara los resultados obtenidos, con las áreas

de los triángulos que obtuvo inicialmente

Verifica sus resultados y realiza las anotaciones

correspondientes

Su argumento es que de acuerdo a su procedimiento,

la figura con mayor área es el triángulo rectángulo

Su conjetura final es que el área máxima es la del

triángulo rectángulo

59

fig.1 fig.2

fig.3

Trazan rectas perpendiculares a la recta horizontal trazada sobre el segmento AB, que pasan

por los vértices superiores de cada triángulo escaleno y encuentran los puntos de intersección

entre ellas. Trazan los segmentos que van de los vértices superiores y hacia la recta, ocultan

las rectas paralelas trazadas quedando solo dichos segmentos, a estas rectas que son las

alturas de los triángulos les colocan un estilo de línea diferente y a los triángulos les insertan

colores, por último colocan las medidas del área de cada triángulo y proceden a efectuar el

análisis comparativo entre las áreas al ampliar y reducir el triángulo colocado del lado

derecho (fig. 4), en este proceso, comparan las áreas entre este triángulo con respecto a las

otras dos áreas y observan que es lo que sucede, tanto con las áreas como con las alturas de

los triángulos. Comentan que intentaron hacer la figura previamente sin la elipse, pero en

esta la base variaba, también lo intentaron con una figura inscrita en una circunferencia pero

en este caso, el perímetro no se mantenía constante. Argumentan que el triángulo con área

máxima es el que tiene como altura justamente la mediatriz de la elipse, de igual forma

mencionan que se usa una elipse para no perder el perímetro constante. Su conjetura final es

literalmente la siguiente, “de los triángulos que se pueden generar de un perímetro constante

y de base igual, el que tiene mayor área es el triángulo que tiene mayor altura que pasa por la

60

mediatriz de la elipse, o pues, un triángulo equilátero”. Por último, mueven los triángulos

para comprobar el comportamiento de las áreas con respecto a las alturas, los estudiantes de

igual forma suman las medidas de cada lado de los triángulos utilizando diferentes posiciones

de los triángulos donde variaban los valores de la áreas y comprueban que el perímetro

permanece constante, en este caso fue de 15 cm (fig. 5).

fig. 4 fig. 5

Observaciones. Los estudiantes presentan dificultades al inicio de la construcción de la

figura intentando insertar en una elipse un triángulo equilátero con base en los focos de la

misma, sin embargo la altura del triángulo equilátero y por ende uno de sus vértices quedan

fuera de los bordes de la elipse, rectifican la construcción y ajustan la altura, el triángulo que

obtienen es isósceles, después de esto no presentan dificultades en el análisis de la solución,

cabe mencionar que con ayuda del software, los estudiantes identifican el lugar geométrico

(elipse) que forman los triángulos con base fija y perímetro constante, algo que no habían

podido determinar utilizando la construcción con lápiz y papel.

Tabla 12. Elementos centrales identificados en el análisis de la tarea 4 usando el programa

GEOGEBRA ; Estudiantes A y B.

Ideas centrales

Conocimientos previos

Heurísticas Dificultades

Se basan en la elipse como lugar geométrico

Construcción de una elipse y condiciones de la misma Perpendicularidad y paralelismo. Altura de un triángulo

Hacen uso de casos particulares. Utilizan la comparación entre áreas. Analogía en la construcción usando diferentes lugares geométricos

No identifican lugar geométrico. Intentaron la construcción sin lugar geométrico sin tener éxito Utilizaron circunferencia como lugar geométrico en la solución sin tener éxito Al trazar el triángulo inicial tuvieron dificultades para fijar el vértice superior en la elipse

Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado por los estudiantes A y B en la

resolución de la tarea 4 utilizando el programa interactivo GEOGEBRA

61

El estudiante identifica las variables del

problema.

Trazan un segmento de

recta AB

Construyen una elipse con focos

en los puntos A y B del segmento

Encuentran el punto medio del

segmento AB

Construyen un triángulo equilatero con dos de sus vértices en los puntos A y B y trazan la perpendicular

al punto medio del segmento AB

Ajustan la altura del triángulo hasta el punto

de intersección de la perpendicular con la

elipse

Trazan otro triángulo inscrito en la elipse con vértices en A y B y el tercer vértice en la elipse hacia el lado superior derecho

Trazan un tercer triángulo inscrito en la elipse con vértices en A y B y el

tercer vértice en la elipse ahora hacia el lado superior

izquierdo

Trazan rectas perpendiculares desde el segmento AB hacia los vértices superiores

de cada triángulo

Remarcan cada segmento con color y ocultan las rectas

trazadas

Colocan el valor de las medidas de cada

lado en los tres triángulos así como el valor de sus áreas

Observan y comparan el valor de

las áreas

Mueven los vértices superiores de cada

triángulo y vuelven a comparar de acuerdo

a lo observado

Argumentan que el triángulo de mayor área es el que tiene la altura mayor y que está en la mediatriz del segmento

AB

Su conjetura final es que el triángulo con área máxima es el de

altura máxima

De igual forma una segunda conjetura es

que este triángulo corresponde al

triángulo equilatero

62

CAPÍTULO V. CONCLUSIONES

En este capítulo se exponen las conclusiones de la investigación, las cuales se derivaron del

análisis del trabajo desarrollado por los estudiantes al resolver problemas de máximos y

mínimos, con la finalidad de determinar las formas de razonamiento y dificultades que

enfrentan los estudiantes al abordar este tipo de problemas.

Con la información proporcionada a cada estudiante por cada una de las tareas realizadas, se

puede observar que en algunas de las tareas se tienen dificultades para identificar los datos,

se nota que carecen de experiencia en la resolución de problemas de este tipo, de manera más

concreta, en la tarea 2 y en la tarea 4, los estudiantes en general aún y cuando saben el

algoritmo para determinar las áreas correspondientes y comprenden que tienen que utilizar las

figuras para la comprensión del problema, no identifican analogías, no identifican patrones,

incluso carecen de algunos conocimientos previos como el trazo de las alturas en algunos

tipos de triángulos, en general, casi no utilizan estrategias que los lleven a una solución

óptima y basan sus argumentos utilizando lo que han aprendido durante su vida escolar, sin

“ir más allá” en sus procesos de solución, por otro lado, en las tareas 1 y 3 que tienen un

procedimiento similar en la solución, también carecen de un razonamiento lógico en la

presentación de sus resultados, difícilmente observan comportamientos similares en la

construcción de cada rectángulo y definitivamente no identifican la máxima simetría en las

alturas de los rectángulos, por lo que sus comparaciones son realizadas en base a los

algoritmos de solución en el cálculo de áreas.

El uso del software dinámico les abre una panorámica más amplia y es cuando se observa un

avance significativo al resolver las tareas ya que en esta parte ya casi no requieren de la

ayuda del profesor en el análisis de la tarea, utilizan la analogía, la comparación entre áreas, e

incluso pueden justificar sus argumentos utilizando la estrategia de la máxima simetría

cuando comparan las alturas en las figuras correspondientes. Se pueden observar formas de

razonamiento que se describen de la siguiente manera:

1. Se cumple con una situación problemática, la actividad o tarea.

2. Aunque de manera inconsciente, se elige una estrategia, de acuerdo a los conocimientos

previos de cada estudiante, es decir, pueden describir, recordar, descubrir, argumentar,

conjeturar.

3. En algunos casos, se replantea la estrategia, cuando el estudiante se percata de que la ruta

de solución no es la adecuada, reconsidera el proceso, plantea nuevas situaciones y elige otros

63

argumentos para justificar la solución.

4. Presenta resultados, aun y cuando los resultados no sean correctos, estos se presentan de

acuerdo a los argumentos de cada estudiante, en algunos casos se replantea la solución y en

otros se mantiene el resultado final.

5.1 Respuesta a las preguntas de investigación

1. ¿Cuáles son las dificultades que presentan los estudiantes del centro de bachillerato No. 2

Lic. Carlos Pichardo, Tecámac en los procesos de solución de problemas de máximos y

mínimos?

Existen varias dificultades que se observan en el análisis de las tareas realizadas por los

estudiantes en este trabajo de investigación, la identificación de estas dificultades son

variables en cada tipo de tarea y también por cada estudiante, pero de manera general se

pueden observar las siguientes dificultades:

- Carecen de experiencia en la solución de problemas no rutinarios como los presentados en

esta investigación.

- En muchos de los casos les faltan conocimientos previos como semejanza y congruencia,

trazo de alturas, lugar geométrico, entre otros.

- No utilizan estrategias de solución tales como comparaciones utilizando congruencia y

semejanza de triángulos, máxima simetría, casos particulares.

- No identifican conceptos básicos como tipo de triángulos, tipo de lugar geométrico,

diagonal, altura, simetría, etc.

- Utilizan el algoritmo en el cálculo de áreas pero en general tienen errores en la solución.

- Sus argumentos son muy pobres.

- En sus trazos a lápiz y papel no separan las figuras y se confunden al trazar las figuras

inscritas en una misma figura circunscrita.

- En general sus conjeturas solo son aproximaciones a la solución de la tarea.

2. ¿Qué tipo de razonamiento emplean los estudiantes del centro de bachillerato No. 2 Lic.

Carlos Pichardo, Tecámac al resolver problemas de máximos y mínimos?

El razonamiento es la forma de pensar adoptada para producir afirmaciones y llegar a

conclusiones, las características de las formas de razonamiento observadas en este trabajo de

investigación son:

64

- Identificación de la información. Los estudiantes identifican los datos, la incógnita y

plantean una alternativa de solución.

- Utilización de figuras geométricas. Las figuras geométricas son de gran ayuda para observar

la información de forma particular y global

- Conocimientos previos. Cuando los estudiantes logran conectar los conocimientos previos

con la información global del problema tienen una visión general de cómo resolver el

problema.

- Identificación de patrones. Después de la identificación de la información y la ayuda de

figuras geométricas, trazos auxiliares como rectas paralelas, perpendiculares, diagonales,

puntos, los estudiantes pueden identificar patrones y regularidades como el aumento o

disminución de las alturas de manera proporcional, la semejanza de triángulos y su

proporcionalidad, etc., sobre todo con la ayuda del programa interactivo Geogebra.

- Presentación de argumentos. Antes de formular una conjetura, cada estudiante argumenta

sus procedimientos de solución y los defiende ante el grupo y el docente en base a lo

realizado en la tarea.

- Formulación de conjeturas. Con los elementos antes mencionados los estudiantes son

capaces de formular conjeturas.

- Validación de conjeturas. Aunque en determinado momento sus conjeturas son erróneas,

cada estudiante defiende su postura, presentando ejemplos y reflexionando sobre la ruta o

método que siguió para llegar a la posible solución de la tarea.

- Presentación de resultados. Comunicar resultados y justificarlos

5.2 Alcances y limitaciones del trabajo de investigación.

En esta parte, se considera que faltó profundizar durante el proceso en las sesiones de trabajo,

esto, considerando que en la presentación de la solución de tareas, las preguntas en algunas

partes del proceso fueron muy pobres, se pudieron efectuar preguntas más a fondo que

pudieran en su momento llevar a los estudiantes a una reflexión más profunda de las

soluciones de las tareas, sin embargo, conforme se fue avanzando en la solución de las tareas,

ya sea en un ambiente a lápiz y papel o con el uso del software de geometría dinámico, en

esta parte, utilizando el método inquisitivo se fue mejorando paulatinamente, lo que se puede

observar en las videograbaciones.

65

La interacción con los estudiantes solo fue en relación de trabajo docente- alumno con la

finalidad de observar sus formas de razonamiento al resolver cierto tipo de tareas específicas,

en esta parte sería interesante conocer más a fondo a los estudiantes y formar un grupo de

trabajo, conocer en qué medio se desenvuelve cada estudiante, sus formas de resolver tareas

escolares, su grado de responsabilidad, sus aficiones, nivel socioeconómico y medio social en

el que interactúan, conocer si tienen otras actividades ya sea culturales, deportivas o incluso

sus pasatiempos y en que ocupan su tiempo libre.

No todos los estudiantes fueron consistentes en el trabajo de investigación, las sesiones de

trabajo se realizaron fuera del horario de clases para no interferir con su trabajo académico

por lo que se les citaba en cierto horario en un aula específica proporcionada con permiso de

la dirección de la institución donde se realizaron las sesiones, para la solución de las tareas en

las sesiones con el uso de papel y lápiz, en las tareas 1 y 2 se contó con la totalidad de los

estudiantes, pero en la tarea 3 faltó uno de ellos y en la tarea 4 faltaron tres. En donde existió

mayor problemática fue en las sesiones con el uso del software interactivo GEOGEBRA,

pues por cuestiones escolares, algunos estudiantes fueron requeridos para otros trabajos

académicos y solo se pudo contar con cuatro estudiantes de los diez con los que se inició este

trabajo de investigación, con los que se realizó el análisis final, se utilizó solo una

computadora personal ya que el centro de cómputo de la institución tampoco pudo ser

empleado, que era uno de los propósitos que se pretendían para llevar a cabo este trabajo.

Dentro de los alcances se pudo percibir que trabajar con los estudiantes bajo el esquema de la

resolución de problemas efectivamente incrementa sus niveles de razonamiento, el trabajo

con este grupo de estudiantes permitió observar los cambios en el proceso de la solución de

las tareas, en un principio les costaba mucho trabajo analizar, organizar sus procesos,

argumentar, validar y conjeturar, sobre todo usar estrategias de solución ya que están muy

acostumbrados a resolver las tareas utilizando un procedimiento y un algoritmo de solución

especifico, conforme se avanzó en el trabajo se observaron cambios notorios en cada

estudiante y sobre todo al utilizar el software interactivo GEOGEBRA en donde ya se pudo

argumentar la solución bajo un razonamiento argumentativo sólido.

5.3 Resultados del trabajo de investigación

Los resultados presentados en este trabajo son exclusivos para estos cuatro estudiantes por lo

tanto no se pueden generalizar, en este aspecto, se considera que influyen factores como, la

institución educativa a la que pertenecen, el medio en el que los estudiantes se desenvuelven,

66

ya sea en las inmediaciones de su lugar de vivienda o el medio escolar, el nivel

socioeconómico de los estudiantes, la interacción con los docentes que trabajan y que han

trabajado con ellos dentro de su ámbito escolar y el nivel académico de los estudiantes, de los

docentes que han trabajado con ellos e incluso de las instituciones en que se han desarrollado

como estudiantes.

Aplicaciones: Bajo este esquema, sería interesante el aplicar una investigación parecida o

similar con otro tipo de estudiantes en diferentes ámbitos escolares y sociales, por ejemplo,

con estudiantes de escuelas particulares, con estudiantes de otros municipios del Estado de

México e incluso de otros Estados de la Republica para poder comparar los resultados

obtenidos y observar si los comportamientos presentados son similares.

En que forma el uso de las tecnologías amplía el pensamiento matemático en los estudiantes

al resolver una situación problemática. El programa Geogebra les permitió a los estudiantes

realizar de manera correcta la construcción de las figuras, algo que con el uso de papel y lápiz

es más complicado o que conlleva una menor precisión. Por otro lado, las figuras inscritas

son más representativas y sus trazos más perfectos con el uso de esta herramienta, como el

programa es dinámico, se permite observar también los cambios en las dimensiones de las

figuras y, por ende, de sus medidas correspondientes, ahorrando el trazo de muchas figuras

parecidas o aproximadas al trazar con papel y lápiz, el uso de este software también permite

identificar correctamente la información relevante que conlleve a la solución de la tarea como

puede ser: construcción de la figura (trapecio, cuadrado, etc.), construcción de las figuras

inscritas, construcción correcta de las alturas, movimiento dinámico de las figuras y otras.

La realización y trazo de las figuras con papel y lápiz nos dan una idea del comportamiento e

interacción de las figuras, pero con el uso del software, esta interacción es más real, les

permitió ubicar la representación de la información en diversos puntos y con tamaños

distintos y al variar estos parámetros observaron la relación entre los datos y las incógnitas

en una forma más aproximada a la solución real.

Otro aspecto relevante es que los estudiantes utilizaron de manera más concreta las

estrategias de solución de la tarea, entre ellas, pudieron resolver casos particulares al trazar

solo una figura inscrita la cual podían ampliar y reducir arbitrariamente, la resolución por

analogía, ya que utilizaban como punto de comparación una sola figura estática sin utilizar

valores numéricos y la comparaban con la figura dinámica haciendo la aproximación de las

áreas, la máxima altura ya que en tres de las cuatro tareas observaron que la figura con altura

67

mayor era la que tenía el área máxima, esto les permitió comparar y tener argumentos sólidos

para llegar a una conjetura adecuada. Con el uso del software los estudiantes se permitieron

realizar ciertos cuestionamientos que los encaminaban a la solución como por ejemplo ¿Qué

relación tiene la altura con la solución del problema?, después de modificar las condiciones

del problema, cosa que no es posible al resolver el ejercicio con papel y lápiz, los estudiantes

pudieron deducir ciertas cuestiones como establecer una relación entre los lados del triángulo

y sus alturas para la tarea 4 o la relación entre los triángulos formados en el trapecio con el

rectángulo inscrito al trazar la tangente en el caso de la tarea 2, con esto podían determinar la

posible solución, algo que, como se menciona anteriormente, muy difícilmente se hubiera

podido realizar con el uso de los trazos a papel y lápiz.

El software permite realizar representaciones precisas que guían a lo largo de la solución

buscando caminos diversos, los estudiantes le proporcionan valores a las áreas de las figuras

y observan la variación, después las comparan, observan la aproximación más exacta del área

y comprueban si la conjetura es válida, por último, presentan sus resultados bajo argumentos

razonados y justificados de una manera más confiable que con el uso de papel y lápiz, cabe

recalcar que no necesariamente esto los llevará a la solución correcta, pero en la mayoría de

los casos se llega a dar. Por lo tanto la presentación de los resultados es más confiable con el

uso de este tipo de tecnología que, como se pudo comprobar, si amplía el pensamiento

matemático de los estudiantes que conlleva a mejores soluciones y a aproximaciones más

correctas al resultado real de las situaciones problemáticas.

5.4 Propuestas a futuro

La solución de ejercicios no rutinarios son muy interesantes al permitir la reflexión del

estudiante, entre grupos también permiten una gran comunicación entre los participantes, es

por esto que la selección de las tareas juega un rol importantísimo ya que estas deben ser

acordes a las capacidades matemáticas de los estudiantes, por otro lado, el estudiante debe

utilizar diversas estrategias en la solución de este tipo de tareas que posteriormente se pueden

analizar con el fin de profundizar en diversas investigaciones, por ello, se podría tomar en

cuenta lo siguiente:

1. Que la experiencia en la solución de problemas de máximos y mínimos no rutinarios sea

aplicada en otras instituciones de nivel medio superior e incluso en algunas instituciones de

nivel superior con el fin de elevar las capacidades matemáticas de los estudiantes en estos

68

niveles y observar si al aplicar estrategias de solución estos estudiantes presentan las mismas

dificultades y los mismos comportamientos.

2. Estimular el desarrollo de la comunicación entre los participantes, entre los mismos

estudiantes y entre estos y el docente ya que al compartir conocimientos permitirá encaminar

a los estudiantes a alcanzar objetivos comunes y desarrollará las capacidades de razonamiento

en la solución de las tareas.

3. Que el profesor sea capaz de implementar tareas no rutinarias, analizar las soluciones e

interpretar la manera en que el estudiante construye el conocimiento matemático.

4. Una vez implementado un trabajo escolar acorde a la solución de problemas no rutinarios,

se recomienda capacitar al personal docente con el fin de que obtenga experiencia al aplicar

el método inquisitivo durante el proceso de la presentación de resultados por los estudiantes.

5. Que se implemente en las instituciones educativas el uso de software matemático dinámico

ya que se ha comprobado que los estudiantes desarrollan más y mejores capacidades

matemáticas cuando se auxilian con este tipo de herramientas educativas.

6. Proporcionar capacitación a los docentes de las áreas de matemáticas y ciencias naturales

en el uso y aplicación de programas interactivos como Cabry geometry o Geogebra con el fin

de utilizar herramientas de este tipo, no solo en investigaciones si no también en sus sesiones

de clase normales.

5.5 Reflexiones finales

Después de realizar este trabajo me he dado cuenta de que, a pesar de contar con muchos

años como docente dentro de las áreas de ciencias naturales y matemáticas desconocía esta

forma de trabajo en base a la resolución de problemas matemáticos no rutinarios, por lo

mismo, mantenía una forma de trabajo similar a la forma y a la manera con la que había

aprendido en mi época de estudiante, o sea, bajo el concepto de resolución de ejercicios

siguiendo un método establecido, un procedimiento y utilizando únicamente los algoritmos

de solución para cada ejercicio.

He comprendido que difiere mucho la solución de ejercicios bajo este esquema con el

aprendizaje basado en la solución de problemas, en donde se permita al alumno interactuar

con el grupo, reflexionar sus procedimientos, trabajar bajo objetivos comunes, presentar sus

resultados bajo argumentos sólidos, conjeturar, validar y retroalimentar los conocimientos.

69

Otro aspecto importante es la selección de tareas no rutinarias en donde se utilice un lenguaje

claro y preciso, tareas que estén acordes con los conocimientos que posee el estudiante y que

le permitan conectarlos con conocimientos posteriores con un mejor nivel de aprendizaje.

Esto permitirá a los estudiantes utilizar estrategias o técnicas para llegar a la solución

correcta, como dije, presentando argumentos que las validen y que sus conjeturas desde el

inicio de la tarea sean las más próximas a la realidad de la tarea que se resuelve, esto

indudablemente incrementará sus niveles de razonamiento matemático.

Indudablemente la experiencia de trabajar con un software interactivo como es el

GEOGEBRA junto con los estudiantes, me ha dejado una grata experiencia, pues como

mencioné al inicio de este trabajo, solo había podido interactuar con el programa derive

aplicado al cálculo diferencial e integral hace algunos años, la diferencia entre ambos

programas es enorme, el programa interactivo tiene la gran ventaja de que, al poder modificar

las dimensiones de las figuras y observar que sucede con el valor de los lados y las áreas

(entre tantas otras aplicaciones), nos permite efectuar comparaciones y aproximaciones con

los objetos trazados, esto amplía en gran manera la forma de observar los resultados e

indudablemente es un gran auxiliar para la aplicación de las estrategias de solución.

Por último, sé que como docentes tenemos un gran reto frente a los estudiantes, y aunque

existen muchas adversidades en nuestro trabajo docente, debemos de buscar mejores formas

de impartir nuestros conocimientos implementando actividades de trabajo que permitan a los

estudiantes la reflexión, la comunicación, la argumentación, la presentación y justificación de

conjeturas válidas que les desarrolle formas de razonamiento matemático en base al método

inquisitivo aplicado a la resolución de problemas y que, finalmente amplíe el pensamiento

matemático de los estudiantes.

70

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APÉNDICES

APÉNDICE A: Transcripción de la videograbación de la tarea 1

Tarea 1: Encontrar el rectángulo de área máxima inscrito en un cuadrado dado, los vértices

del rectángulo deben estar sobre los lados del cuadrado y los lados a 45º.

1.- Uso de lápiz y papel.

Estudiante A

Dibuja su cuadrado en el pizarrón

Est. Bueno, yo, este, hice varios cuadrados de 3*3 (dibuja el cuadrado en el pizarrón), de 3*3,

y a todos les agregué una línea de 45º, bueno, inversa, para que me diera cuenta que al

cruzarse hacen una cruz perfecta, agrega la diagonal en el cuadrado (el no menciona que es

diagonal).

Profr: ¿Trazar su perpendicular, no?

Est. Bueno, lo primero que analicé fue este, fue el cuadrado, si yo ponía a la mitad los

vértices, no me iba a salir un rectángulo, me iba a salir otro cuadrado de 2.1*2.1 (El

estudiante lo traza inscrito en el otro cuadrado), entonces, este, iba a ser, mmmm, como lo

explico.

Profr: Otro cuadrado.

Est. Otro cuadrado, iba a ser una área grande pero iba a ser un cuadrado exactamente,

entonces, este, fui recorriendo los puntos a 1.4, 1.5 y así sucesivamente y me di cuenta que en

el punto en que iba a tener más área iba a ser a 1.4, 1.4 y 1.4, entonces me iba a salir un

rectángulo, (lo dibuja), un rectángulo de 2.3*2.

Profesor: Esta bien, ¿y tu área?

Est. Y su área máxima iba a ser de 4.6

Profr. ¿Esa fue tu área máxima?

Est. (Afirma con la cabeza), mi área máxima.

Profr. ¿Y no lo comparó con otros rectángulos?

76

Est. Lo comparé con varios otros rectángulos pero de igual manera nada más fui recorriendo

milimétricamente y ninguno me dio una mayor.

Profr. ¿En todos les tomó medidas?

Est. En todos les tomé medidas aja y pues el más chico era el de 1 mm., hasta acá.

Profr. Y vio usted que no tenía

Est. Ese no tenía nada, aquí va a salir muy largo pero el otro va a ser muy angosto pero no y

este sale, sale casi, casi simétrico, casi un buen largo pero milimétricamente es diferente y

entonces tiene un área máxima, y ese fue mi método.

Profr. Sale, adelante con otro.

Estudiante B

Est. Bueno, yo igual hice un rectángulo, un cuadrado, pero el mío fue de 8*8 para hacerlos en

uno solo, yo tracé igual una línea de 45º (la traza y tampoco le llama diagonal), para tomarla

de referencia, y poner la regla para que me diera 1 cm. de este lado y 1 cm. de este lado (los

señala uno a cada lado de la diagonal), entonces mi trazo fue varios puntos en los que al final

uní todos, y los que, y los que fui sacando las medidas de los lados, entonces, yo no hice

milimétricamente, yo lo hice por centímetros, ehh, el que me salió de mas, de máxima área

fue el de 7*4 y me dio 28, y ya

Profesor: ¿Eso es todo? 7 de aquí y, 4 de aquí, bueno 4 de ancho y 7 de largo

Est. Ajá

Profr. ¿Ya no trazó mas, nada más hasta ahí?

Est. Bueno, tracé varios

Profr. Bueno, según usted ya no habría más, un área mayor, ¿cree que ya no?

Est. Pues sí, pero el área tendría que hacerse numéricamente, pero yo para no complicarme

tanto.

Profr. ¿Nada mas llegó hasta ahí y ya?, Bien ¿Quién otro quiere pasar?

77

Estudiante C

Est. A ver, yo primero hice un cuadrado de 8 cm, así (lo traza en el pizarrón), pero, puse un

transportador, de manera que (dibuja el transportador), esto quedara por acá (señala un lado

del cuadrado donde colocó el transportador), mi mitad, medí 45º, medí por acá, hice mi

rectángulo (elabora su rectángulo), pero después me di cuenta que podría estar mal porque,

entonces lo que hice fue poner una raya aquí (traza la diagonal), puse cada 0.5 y como se

darán cuenta pues, solamente puse, uno y uno, uno y uno (muestra los trazos solo de las

mitades de los rectángulos), ¿porqué?, porque para sacar el área de un rectángulo solo

necesitamos dos lados, que es la base y es la altura, y bien eh, (borra el pizarrón y muestra su

dibujo a lápiz), entonces, bueno, acá hay un rectángulo trazado con un lápiz, saqué su área,

me dio 31.85, medí el siguiente que es el que está marcado con rojo y me dio 33 y medí el

que está más largo y me dio 31.5 y, pues, el rectángulo parece prácticamente un cuadrado y

sus medidas son 5.5*6, así que, y para comprobar que no fuera un cuadrado saque mis líneas

y salió por acá, por acá y por acá (señala varios puntos en su dibujo).

Profr. Usted utilizó entonces transportador y su lápiz.

Est. Si, es que me fue más fácil.

Profr. Está bien, 45º, una buena estrategia.

Estudiante D

Est. Bueno, primero trazamos un cuadrado (traza un cuadrado que no le queda muy bien,

causa la hilaridad de sus compañeros), bueno yo empecé como Mayra, trazando la diagonal,

para hacer un, rectángulo pequeño, pero a diferencia de Mayra yo no medí esto (el lado

menor del rectángulo), yo medí de aquí para acá (la distancia del vértice del cuadrado al

vértice del rectángulo), son 2 cm, de aquí este cuadrado inicialmente fue de 15, entonces, no

sé cómo se me ocurrió pero, recordé que para empezar que es un rectángulo, es un

cuadrilátero que tiene un lado más alto que el otro (lo dibuja por separado).

Profr. Es un paralelogramo.

Est. O paralelogramo, ya sea la mitad que sea, no utilizo mucho las matemáticas, mientras sea

lo más mínimo, puede estar como más grande, por lo tanto como es un cuadrado, lo dividí en

cuatro (traza dos líneas, una horizontal y una vertical en el centro del cuadrado), pero, igual

hice de aquí a acá lo mismo, de aquí a acá mide 7.4 (medida del vértice del cuadrado a la

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intersección de la vertical con el lado inferior del mismo), ya que la mitad es 7.5, igual hacia

acá (lado derecho del cuadrado con la horizontal), no pude hacerlo de aquí de este lado, ya

que no sería un rectángulo como tal, por lo tanto es aquí.

Profr. Sentidos opuestos.

Est. Aja (mientras traza las otras medidas, todas de cada vértice con las líneas horizontal y

vertical)

Profr. ¿Encontró los puntos?

Est. Lo más cerca que se pueda, lo más cerca que se pueda (traza el rectángulo).

Profr. Allí estaría su rectángulo de área máxima. Bueno y si hablamos de este, porqué no

pensar entonces en el de 7.9

Est. No, bueno, a partir del eje central, ya se empiezan a hacer los mismos rectángulos pero

inversos, entonces ya no podemos pensar en un 7.9 porqué, porqué ya saldría invertido a, a,

este.

Profr. O podríamos pensar en el de 7.6, o porque no pensar en el de 7.49, muy próximo al

cuadrado.

Se dan las gracias y se da por finalizada la sesión.

2.- Uso del programa interactivo Geogebra.

Estudiantes A y B

Profr. Bueno, vamos a continuar entonces ahora con la resolución de un segundo problema,

pero con la participación de otros dos compañeros participantes en la investigación, en este

caso Mayra y Rodrigo, bien, el problema que ellos van a resolver ahora con la ayuda del

software de GEOGEBRA es, ¿Cuál es el área máxima de un rectángulo inscrito en un

cuadrado?, con la característica de que el rectángulo tiene sus vértices sobre los lados y está a

45º de los lados del cuadrado.

Entonces primero vamos a observar y grabar un poquito la construcción de cómo ellos van a

elaborar la figura y posteriormente hacemos el análisis de sus resultados, adelante entonces.

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Est. A: Okey, bueno, primero que nada, se traza un polígono regular (trazan el cuadrado),

después de esto marcamos sus puntos medios, ehhh, es aquí, marcamos otro polígono

(dibujan el cuadrado inscrito uniendo los puntos medios trazados)

Est. B: Un punto (lo trazan sobre un lado del cuadrado inicial)

Est. A: Una recta paralela al cuadrado para que esté en 45º (traza y luego traza otras dos

rectas ahora perpendiculares a la primera.

Est. B: Rectas perpendiculares.

Est. A: Rectas perpendiculares, pues, ve hablando.

Est. B: Tú lo estás haciendo, tú sabes que estás haciendo.

Est. A: También sabes lo que estoy haciendo.

Est. B: Más puntos de intersección, y un polígono, si así.

Est A: Y ya (construyen el polígono que es un rectángulo), ocultamos las rectas que nos

sobran.

Est. B: Le damos color (se ríe).

Est. A: (va construyendo, se equivoca en algunos puntos)

Est. B: ¿Qué color? (le dan color al rectángulo)

Est. A: Verde.

Est. B: Verde, bueno, este verde, y, así, y bueno, le damos las áreas, obviamente, ésta es más

grande que el del rectángulo más pequeño (señalan con el cursor el área del cuadrado inscrito

15.25 y después la del rectángulo inscrito 9.88), y si lo movemos, el área máxima que alcanza

el rectángulo lila es cuando colinda con, ¿este, no?

Est. A: Con el cuadrado verde.

Est. B: Ahh, con él, si porque si pasamos los puntos medios (los mueven de un lado a otro

del cuadrado exterior), ehh, bajan, de nuevo, el área, y ya.

Est. A: Y entre más lejanos estén de los puntos medios, más pequeña es el área.

80

Profr. Entonces ya cuando coincide con la diagonal pues ya no tenemos área.

Est A: Mjú,

Profr. Entonces la conclusión a la que llegan ahí es que.

Est. B: El máximo, bueno.

Profr. El rectángulo de área máxima.

Est. A y B (al mismo tiempo): Es el cuadrado.

Profr. Inscrito con esas características, es un cuadrado, en donde, como ya habíamos

comentado, ¿no?, que todos los ´cuadrados son rectángulos, pero no los rectángulos todos son

cuadrados, algo en lo que habíamos discutido un poquito, aunque ya lo investigamos

ampliamente, bueno, ¿Cuál es su conclusión de ustedes de con respecto a lo que hicieron al

resolver este problema con lápiz y papel y ahora que lo están observando ya con este

programa.

Est. B: Fue más rápido.

Est. A: Más preciso.

Est. B: Ehh, no sé ve feo, en cuanto a colores.

Profr. Bueno, puedes dar color también.

Est. A: Solamente es una figura la que se mueve y no tienes que hacer muchas.

Profr. Ajá, y eso, lo que dijo es básico, ¿no?, el movimiento, al ser un programa interactivo

en el cual tu puedes estar moviendo, estas disminuyendo y ampliando las dimensiones de tu

figura pues es algo que en papel y lápiz.

Est. B: No y además te da el área en el momento en el que la mueves y no es necesario estar

sacando el área constantemente.

Profr. Y también pues en este caso con la compañera Mayra yo también observaba cuando lo

hacía a papel y lápiz que era muy dada a obtener todas las áreas y a trazar muchos, muchos

cuadrad.., muchos rectangulitos, estar obteniendo el área, el área, el área, hasta ver como se

da lo clásico, disminuyendo las áreas, algo que aquí, pues con una sola área me valde y vean

81

pues, como si se mueve el área pues entonces se va observando y es la ventaja de que a papel

y lápiz pues tienen que hacer muchos…

Est. A: Ventaja tiempo, nada más.

Est. B: Si, es lo que observábamos.

Profr. El tiempo también, Entonces ¿ustedes recomiendan que se utilice este software como

un apoyo educativo?

Est. B: Si.

Est. A: Si.

Profr. ¿Y en cuanto al razonamiento matemático?

Est. A: He ahí el problema, ya no vamos a pensar igual, pues si, se va a disminuir un poco la

capacidad de pensamiento.

Profr. ¿Creen que lo disminuya o creen que amplíe el razonamiento matemático la ayuda de

un software como estos?

Est. B: Pues como todo porque, si lo ocupas para comprobar, sobre todo, este, pues te va a

ayudar a ser más preciso, pero si nada más es para, ah, me dejaron una tarea y tengo que

hacerla rápido y así, pues.

Est. A: El razonamiento se va perdiendo poco a poco.

Profr. Bueno, sí, yo lo veo desde este punto de vista, aquí ya te da el área directo el programa,

pero si tú no sabes calcular el área con el algoritmo, o sea con la formula lado por lado, pues

esto no te lo va a hacer así, entonces ahí, tenemos que tener esa doble, esa dualidad, saber

calcular el área, saber usar el algoritmo y también, pues sí aplicarlo con este programa para

que no ocurra lo que dice Rodrigo, esto, pues como ya se mueve, pues ya, ya no hago lo

demás, lo calculo a papel, pues si creo que como profesores tenemos esa, esa doble tarea

¿no?, que el alumno lo sepa hacer, a papel y lápiz y también con esto se auxilie para que su

pensamiento matemático tenga una amplitud.

Est. B: Y da una mejor presentación.

Profr. ¿Cómo?

82

Est. B: Si, o sea, si lo entregas en papel y lápiz puede que a veces se te manche y ya

entregándolo así, te da una mejor presentación.

Profr. Ah, claro, si, por supuesto, esto se puede seleccionar y aquí en editar se puede copiar y

pegar en Word en formato de Word, Excel, etc., en todo lo que tú quieras, y presentar algo,

con más calidad. ¿Algo más que quieran agregar chicos?

Est. B: No, solo, tendremos que usar más esto, para saber que herramientas usaremos.

Profr. Cómo los puede ayudar, pues adelante, entonces, daríamos por finalizado el problema

número uno.

Se da por finalizada la sesión.

83

APÉNDICE B: Transcripción de la videograbación de la tarea 2

Tarea 2: Se levantan dos perpendiculares al diámetro de una semicircunferencia. Trazar una

tangente de tal forma que el trapecio rectángulo formado tenga área mínima.

1.- Uso de lápiz y papel.

Estudiante A

Est. Bueno pues, este, aquí está, está mi ejercicio (nos muestra su hoja de resolución), yo

trace mi semicircunferencia con el transportador y yo lo hice por grados (dibuja una

semicircunferencia en el pizarrón con diámetro vertical), se supone que el de en medio son

90º, 45, 45 (traza las líneas de 90 y de 45 a partir del centro del diámetro de la

semicircunferencia), solamente hice tres (dibuja las perpendiculares al diámetro de la

semicircunferencia), y primero que nada, tracé un rectángulo (dibuja el rectángulo donde

queda inscrita la semicircunferencia), este, para ver su área y todo, su área era de 81.18, el

rectángulo, después aquí en el centro trace un trapecio (traza el trapecio con la línea de 45º) y

me di cuenta de algo bien gracioso, este, si yo pasaba este triángulo para acá completaba el

mismo rectángulo que ya tenía y me daba igual un área de 85.18, o sea, si elimináramos este

triángulo que tracé imaginariamente y lo pasáramos de este lado sería la misma área del

rectángulo que yo tenía, (el estudiante traza otra tangente en otro punto más abajo de la

semicircunferencia), y es lo mismo de este lado ( traza otra tangente en un punto opuesto a la

semicircunferencia a la misma altura), y de este lado, y me pasó lo mismo ( en la intersección

de las dos tangentes, traza una línea punteada paralela al diámetro de la semicircunferencia),

si yo pasaba este triángulo para acá me completaba un rectángulo, si yo pasaba este otro

triángulo para acá, me completaba otro rectángulo, entonces si yo seguía haciendo más

tangentes para acá me iba a salir un triángulo cada vez que lo, cada que lo colocara me iba a

salir un rectángulo mas grande.

Profr. ¿Entonces, si usted traza los puntos de tangencia a la misma altura, llega a la misma

altura de acá, y se cruzan en un punto, este rectángulo? (traza otras tangentes con puntos más

cercanos al diámetro y la intersección con línea punteada)

Est. Este rectángulo es el mismo de acá.

Profr. Ahh ya.

84

Est. Entonces se iban a hacer rectángulos y más grandes cada vez, entonces yo deduje que el

trapecio más grande que pudiera ser era el de la tangente en 90º, ¿Por qué?, porque iba

acercándose al del área más pequeña.

Profr. ¿El del área mínima?

Est. Entonces mi tangente que tracé a 90º es el más pequeño que tengo, no sé si estoy bien,

bueno, más bien, creo que estoy bien.

Profr. Muy bien, entonces, ¿Para él, el rectángulo de área mínima, más bien el trapecio de

área mínima es el rectángulo?

Est. Nooo, el que está tangente en 90º.

Profr. Es que ya a 90º se forma un rectángulo, si yo tomo aquí mi centro mi tangente es

paralela al diámetro (la traza y señala la figura) y ya forma un rectángulo.

Est. A 89, más bien (asiente), dejémoslo así.

Profr. ¿A 89?, dejémoslo así. Muy bien, muy interesante, observar esto de los cruces, este

triángulo es este y este es este y se van formando rectángulos de mayor amplitud en cuanto a

su altura.

Est. Y entre menos pendiente sea la tangente, más pequeña va a ser el área del trapecio, así

yo lo tomé.

Profr. Y entonces el de área mínima es que más se acerca al rectángulo, muy bien, correcto,

¿Alguien más?

Estudiante B

Est. (Primero dibuja su figura, en este caso el diámetro es horizontal). Yo igual, pues tomé,

primero tracé mi rectángulo, y saqué el área y me dio 60 cm cuadrados, y del ángulo de 90,

tomé como referencia esta línea (señala la línea tangente al punto de la semicircunferencia a

90º) que marcaba mi rectángulo y de aquí bajaba un mm y de aquí subía uno (señala un punto

debajo de la perpendicular izquierda y un punto arriba de la perpendicular derecha con

respecto a la línea tangente) y me daba siempre lo mismo ver de ahí, y entonces ahorita que

me explicaron, trace otra línea de un punto que, es..

Profr. Arbitrario

85

Est. Aja, al azar (elige un punto del lado izquierdo en la semicircunferencia y traza la

tangente), y me salió una cantidad mucho más grande, me salió 70 (anota la cantidad de 70

cm2), entonces, pues ya al final lo que hice fue recorrer un mili, un grado y trazar (marca el

punto a un lado del punto central de la semicircunferencia y traza la tangente a ese punto)

pero, no sé porque pero me dio un área de 58 cm2.

Profr. ¿Un poco más chica que la del rectángulo)

Est. Ajá, no sé por qué, los cálculos los probé otra vez y…

Profr. Le dieron un área de 58 cm2, entonces de sus deducciones ¿Cuál es el trapecio de

menor área?

Est. Pues, para mí fue el de 91, bueno, (señala el punto y duda)

Profr. El de 91 o el de 89º, depende el lado donde lo tome.

Est. Ajá,

Profr. ¿Pero usted entonces utilizó cálculos aritméticos?

Est. Si, yo hice mucho eso.

Profr. ¿Y de qué medida tomó? (señala la figura)

Est. Ah, este, bueno mi, mi base era de 10 para mi rectángulo, por seis, pero al hacer mi base

para los trapecios tome como base siempre esta (señala la perpendicular derecha) que era la

más grande, pero después lo dibujé, tomé como si fuera algo así (dibuja un trapecio), este

volteado así (el trapecio girado hacia la derecha), entonces tomé como referencia para este

(señala los 58 cm2), 5.5 y 6.1 (las bases del trapecio), entonces según la fórmula 5.5 más 6.1

me da 11.6 por 10, 116, entre dos, me dio 58.

Profr. ¿Y esta es el área menor?, bueno, habría que comprobarlo, entonces su deducción es

que.

Est. El más cercano al rectángulo.

Profr. El más cercano a un rectángulo, igual que los demás, muy bien, ¿Quién sigue?

86

Estudiante C

Est. Bueno, pues yo, aquí está mi figura, pero pues, yoo, empecé a hacer muchas, bueno,

primero las pongo (traza la paralela al diámetro que pasa por el punto central superior de la

semicircunferencia), pero pues, empecé a hacer, como tenía hasta un cierto grado y ya no

había más, ahh, tuve, como la línea más grande, después empecé a marcar líneas chiquitas

(las señala en la perpendicular izquierda) hasta llegar a la mitad y después calculé el área,

para hacer esto, y bueno, saqué la formula de aquí, esta es la más chiquita, esta la de en

medio y esta de acá (señala la más grande), y pues, (muestra su dibujo en papel) bueno, aquí

pueden ver las rayas, la más grande, la de en medio y la chiquita que es la verde, y pues la

más grande tenía 145.2, estaba muy elevado, en la segunda tenía 79.8, pues, más o menos,

pero la de arriba era 51.25, y mi deducción, pensé que era esa porque, si lo subía un poco más

pues ya iba a ser un rectángulo, si era un poquito más se iba a voltear y pues iba a dar lo

mismo.

Profr. ¿También hizo cálculos mentales?

Est. No quise hacer operaciones, si no me iba a tardar mucho.

Estudiante D

Est. Bueno, yo llegué al mismo resultado que Rodrigo solo que de modo diferente, agarre mi

mitad, y tracé tres ejes diferentes, la tercera no fue distinta, una que tuviera el mismo ángulo

(va trazando sus líneas), no la logre exactamente al 89 porque no usé transportador, solo usé

un punto chico y otro que estuviera más hacia la esquina, al ver esto, (borra parte de la

semicircunferencia) elimino el circulo, el punto medio, solo tenía mis dos trapecios, al ver

esto, noté esta figura que me sobraba (remarca el triángulo rectángulo superior), una especie

de triángulo.

Profr. Un triángulo, de hecho es un triángulo rectángulo.

Est. Y ese triángulo me podía caber aquí (remarca el triángulo rectángulo inferior semejante),

casi como decía Rodrigo, pero todavía me sobraba más área, por lo tanto vi, se acerca hacia,

hacia la tangente de 90º, el área va a reducir cada vez más, o sea va a ser más chica, si lo hago

más hacia la esquina va a ser más grande, se va a agrandar, entonces mi deducción (duda en

su respuesta).

Profr. Es el que más se acerca al rectángulo, llegó a la misma deducción, por otro método

87

2.- Uso del programa interactivo Geogebra

Profr. Bueno, continuando con la videograbación con el programa de Geogebra tenemos aquí

a dos de los participantes en esta investigación, Perla y Ricardo, los cuales van a resolver uno

de los ejercicios que ya anteriormente hicimos con, o resolvimos con lápiz y papel, pero ellos

ahora lo van a hacer con el programa interactivo Geogebra, el problema es el de trazar una

tangente perpendicular a una semicircunferencia y encontrar el área mínima del trapezoide

formado, vamos a videograbar un ratito como ellos van a elaborar su problema en Geogebra y

posteriormente pues ya vamos a hacer el análisis a la solución del mismo.

Est. C: Bueno, primero se traza una semi, semicircunferencia (la trazan), se unen los puntos,

se acomodan, se marca el punto medio de la recta y trazamos otro punto sobre la

semicircunferencia.

Profr. Ya amplia la mitad aquí, primera celda, primera, y ahí está el punto nuevo.

Est. D: No, estamos buscando otra cosa.

Profr. Ah, ya, es que Perla dijo que buscaba el punto.

Est. C: Bueno, trazamos una recta perpendicular.

Profr. Ah, ya, una, puede seleccionar el segmento, y luego el punto B, a ver nuevamente

seleccione a la perpendicular.

Est. C: Ya está.

Est D: Ya está bien.

Profr. Ah, ya está la recta perpendicular.

Est. C: (coloca una recta del diámetro a un punto de la semicircunferencia) Ahora ya que se

tiene ese, se marca la tangente.

Profr. Se encuentra la tangente, ahí, vuélvala a seleccionar, ya está, ahí aparece ya la

tangente.

Est. C: Se marca un polígono (lo va trazando).

Profr. Un punto de intersección, correcto

88

Est. C: Selecciona la figura esta (le marca el área).

Profr. Ese es su polígono.

Est. C: Bueno, ya después se puede observar que conforme se va moviendo la tangente (se da

cuenta que un punto no queda fijo y al moverse se distorsiona la figura).

Est. C: Mmmm.

Profr. Bueno, ahí entonces lo que formamos fue un trapecio, un trapecio rectángulo, ahora,

deben moverla.

Est. D: No, es que no se marcó bien

Est. C: Ya lo cerré otra vez.

Profr. ¿Si quieren pueden ponerle cuadrado, ya saben cómo, no?, para que veamos mejor

como el trapecio va cambiando, va cambiando de posición.

Est. C: (sigue trazando la figura, le pone color y se dispone a mover el trapecio).

Profr. Tenemos ya su trapezoide, su trapecio, perdón, a ver, ¿lo quieren mover?

Est. C: (Mueve la figura, sigue el mismo error, un punto sobre una perpendicular se mueve al

mover el trapecio).

Profr. (Al darse cuenta del error) Lo que pasa es que este punto no está fijo sobre la recta, a

ver ahí tienen, lo tienen que.

Est. D: Okey.

Profr. Punto F, no quedó fijo sobre la recta, necesita eliminarlo y vuelva a, yo les digo que

hagan la elección de, o elija un punto, punto A, punto A, y póngalo ahí (señala), en donde

está exactamente la intersección, o, mejor intersección, abra, despliéguelo, elijo intersección,

y ahora sí, con esta recta de aquí afuera y esta otra.

Est. C: Vamos ya a hacer su polígono (comienza a trazar).

Profr. A ver, antes de que haga el polígono mueva el punto C (el estudiante lo mueve), ya ve,

ya está sobre la recta, ahora sí, ahora sí ya puede trazar su polígono, bien, sí, color, bueno, es

una opción el color.

89

Est. D: Ya está.

Profr. ¿Ya está?, a ver, vamos a poner el área para que observemos la variación del área y en

donde está el área mínima, ¿Ya está, entonces qué observan ahí?

Est. C: Bueno.

Profr. Movamos el punto C, verdad, ¿es el C o el D, el D? ¿Qué cosa observan, a ver?

Est. C: El punto se mueve al centro el área va disminuyendo, en cambio si se, bueno, si llega

a uno de estos puntos (los señala), pues se ve que el área va aumentando, pero llega un punto

en el que el área ya, pues es indefinida porque no se puede ver en el punto A exactamente.

Profr. Entonces aquí, a ver ponga el trapezoide, que aparezca el trapezoide, la pregunta es

¿Cuál es el de área mínima?, ¿Cuál de todos los trapezoides que se forman con la pendiente y

las dos perpendiculares, cuál es el de área mínima?

Est. D: El rectángulo.

Profr. Se puede observar el rectángulo, el rectángulo que se supone que este punto cae

exactamente en el centro de la semicircunferencia, ¿Cómo lo podríamos haber comprobado?,

con este punto medio si hubiésemos trazado una tangente para acá ¿verdad?, una tangente

para acá, se ve más amplio, si yo muevo de este lado ¿qué pasa con el área?, aquí tenemos un

área de 7.2.

Est. C: El área cambia.

Profr. Correcto, el lado opuesto, lo mismo, ¿Eso a qué se debe Ricardo?, porque se supone

que, que yo éste, si aumento un poquito aquí, pero disminuyo también acá.

Est. D: Si pero, eso se explica sobre todo porque este punto es el que se aleja más, teniendo

mayor distancia tiene mayor área, por, por eso mismo cuando el punto que podemos mover y

llega hasta el A o al B, cualquiera de los dos, es indefinida ya que es paralela o perpendicular

cualquiera de los dos.

Profr. Paralela a la perpendicular que teníamos de la base.

Est. D: Ajá, por eso ese no tiene ningún punto de intersección, ese es como que infinito.

90

Profr. Ahora aquí lo importante es que contesten, este problema, recuerdan ya lo resolvimos

con lápiz y papel, ¿Qué diferencia le notan a hacer el problema, ahora resolverlo con este

programa de geometría, software dinámico? ¿Porque es dinámico?, porque pues yo estoy

moviendo mis puntos, estoy viendo como amplía y como reduce la, como reduce el área del

trapecio, como se convierte en un rectángulo, ¿Cuál es la diferencia que encuentran entre el

trazo a lápiz y papel y este trazo aquí?

Est. C: Pues, el trazo en este programa es más exacto, nos da el área exacta, el trazo con lápiz

y papel pues es así como que aproximando la medida, no es exacto, como que, hay yo creo

que puede ser el rectángulo, pero no, aquí ya se puede comprobar que es el rectángulo el de

área mínima.

Profr. ¿Usted qué opina?

Est. D: El programa que si es, obvio por ser un programa de software es más exacto pero hay

que saber los comandos, si no, no te sirve de nada.

Profr. Exactamente, ahí hay que tener un conocimiento previo del programa ¿Pero si da

ventajas?, o sea.

Est. D: Se pueden hacer más figuras.

Profr. ¿En cuanto al razonamiento matemático, que ventajas le encuentran al programa?

Est. D: ¿Razonamiento matemático?

Profr. Si, o sea, aquí están haciendo un análisis matemático, lo hicieron también, yo recuerdo

que Perla puso medidas, y ponía otra línea y medía y sacaba las áreas y esto y lo otro.

Est. D: Aquí ya no se tiene que poner tanta línea, ya es más, como dijo interactivo.

Profr. Ajá, entonces aquí ya, pues, ¿Tu razonamiento se amplifica o se reduce, o?

Est. D: Es más fácil entender, pero de todos modos si uso papel y haces esta línea de aquí, la

aproximas acá, la tangente, y haces esta otra y esta otra (las va señalando), y solo quiero una,

las borro entonces se va manchando la hoja, se pierde la distorsión, luego no sabes ni cual era

cual.

Profr. Si, como que te pierdes mucho a papel y lápiz, aquí, tienes esa ventaja de que, no estás

encimando como quien dice, haciendo muchos trapecios.

91

Est. D: Aquí solo es uno y así.

Profr. Muy bien, ¿Algo más que quieran comentar?

Est. C: Pues, que es muy práctico el programa, quisiera que nos enseñaran así, en toda la

escuela.

Profr. Esa es una de las intenciones ¿no?, con esto, tratar de introducir este tipo de programas,

software para que los alumnos nos comprendan mucho mejor, claro sin dejar de lado el lápiz

y el papel, eso siempre va a ser algo que tenemos que manejar, pero después pues hacer este

análisis cuales son las ventajas de hacerlo así y a lápiz y papel.

Est. D: Otra de las ventajas es que, hay que saber que hace cada cosa, luego no entiendes que

significa la, la opción que pones.

Profr. Si, por ejemplo, a ver, les voy a comentar, es, lugar geométrico, la mayoría de los

alumnos o muchos de los alumnos no saben que es un lugar geométrico, entonces sí, ¿Usted

sugiere que se tendría que dar un curso, que se tendría que dar una introducción sobre el

manejo del programa para después hacer eso? Esa es la idea, No sé si tengan algo más que

agregar.

92

APÉNDICE C: Transcripción de la videograbación de la tarea 3

Tarea 3: De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia ¿Cuál es el que tiene área

máxima?

1.- Uso de lápiz y papel.

Estudiante A

Est. Bueno, lo que yo hice primero, trace un radio de mi circunferencia (traza dos ejes en la

circunferencia, vertical y horizontal) y de ahí partí a unir los extremos de mi plano para

formar un cuadrado (une las intersecciones de los ejes con la circunferencia) después fui,

ciertamente yo lo que considero correcto es que, no se necesita hacer cálculos para, para,

para saber cuántas, cual es el rectángulo de área máxima, por simple, por simple deducción se

hace, lo que primero hice fue deducir que un, que un rectángulo es un cuadrado, por lo tanto

al formar un cuadrado estoy diciendo que es el que tiene el área máxima, y bueno y la

segunda sería quitándole un centímetro (baja en centímetro de la parte superior del cuadrado

y traza la línea), y ya no reducir, considero que, considero que ya no tendrían por qué reducir

otro acá (señala la parte inferior del cuadrado) porque si no se reduciría más, si no solamente

de un lado, y ya esta parte tendría menos, esta parte tendría menos y de acá sería lo mismo

(ahora señala el lado derecho del cuadrado), no es cierto, aquí sería lo mismo (se queda

pensando), bueno algo así, bueno este sería mi, el otro y bueno yo no hice cálculos.

Profr. ¿Pero si usó trazos auxiliares?

Est. Si, solo tracé mis lados.

Profr. ¿Fueron sus dos ejes?, muy bien. Gracias Erik.

Estudiante B

Est. Este, pues yo igual tracé mis ejes (los dibuja en la circunferencia), y uní los puntos (une

las intersecciones de los ejes y la circunferencia), y pues como me basé en lo que había dicho

que un cuadrado es un rectángulo pues solamente lo hice así, entonces pues, saqué mis

medidas, mi radio era de 4, el área del círculo fue de 40.24 y el área del rectángulo cuadrado,

ja, fue de 33.64.

Profr. ¿Rectángulo cuadrado?

93

Est. Y ya

Profr. ¿Sería todo?, ¿entonces para usted el área máxima?

Est. sería el cuadrado.

Profr. ¿Y no lo probó con ningún otro rectángulo?

Est. No, y ya le hice, el resumen, y ya.

Profr. Muy bien. Gracias

Estudiante C

Est. (De igual manera, traza su circunferencia) Yo primero tracé mi círculo, y marqué cada

90º, bueno, también 45º (marca con líneas pequeñas las divisiones en la circunferencia de 90

y 45º), para empezar tracé un cuadrado (lo traza utilizando las marcas de 45º), bueno, ahora si

vamos a empezar, el diámetro de mi círculo fue de 8, y cada lado del cuadrado medía 6 y el

área 6*6 igual a 36, después de ambos lados bajé 1mm acá, otro mm acá, otro acá y otro acá,

cinco, cinco, cinco (va marcando en los bordes de la circunferencia en ambos lados), bueno,

imagínenselo, y para empezar, uní este, con este (traza dos líneas), y así sucesivamente, no

realicé todos porqué iba a ser mucho, y con este tomé las medidas y con este tenía un área de,

serían 6.2*5.8 y me daba un resultado de 35.96.

Profr. ¿Dijo que le redujo un milímetro?

Est. Si, después cada 5 y para comprobar que los demás fueran, no fueran más grandes ni más

pequeños pues igual de aquí en este punto sería de aquí para acá (traza otras dos líneas desde

otro par de puntos) y de este me dio 6.5*5.2 y eso nos da 33.8, bueno, conforme vas, este,

transportándote más tu área se va disminuyendo, si nos vamos a triángulos rectángulos que

yo conozco que son dos lados (hace unas señas como queriéndose dar a entender), pues es

más, se tiene el área más, pues más de 35.96, perímetro, pero si nos vamos por el

razonamiento de cuál lado es el cuadrado.

Profr. Aquí le hago la misma pregunta ¿Yo voy aproximando, aproximando, voy

aproximando al área del cuadrado que fue de 36, 35.96 y así sucesivamente?

Est. Si, y eso es todo.

94

Profr. ¿Cuántos, para todos, cuantos rectángulos creen que puedan aproximar hasta el

cuadrado?

Muchos.

Profr. ¿Pues muchísimos no?

Est. .99.

Profr. ¿Creen que sea hasta infinito de rectángulos?

Est. (varios) Pues sí, si

Profr. Pues claro que sí, claro, hasta llegar al cuadrado

Est. 42

Profr. ¿42?

Est. Aproximadamente, por qué si desplazamos la raya de aquí (señala su dibujo) y le vamos

subiendo un milímetro más.

Profr. Bueno, usted habla de milímetros, pero que tal si le hablo de decimas de milímetro,

centésimas, milésimas.

Est. Ah, bueno, así sí.

Profr. ¿Algo más? Gracias Perla. ¿Usted no utilizó ejes ni nada?

Est. Pues, solamente los tracé, creo que de adorno, pues, no los ocupé.

Profr. ¿No los ocupó? Bueno.

Estudiante D

Est. Bueno, yo apoyándome con el transportador empecé con mi círculo y marqué los 45º que

es esto, (señala los ángulos en la circunferencia, después traza el eje horizontal y un ángulo

de 45º desde el centro de la circunferencia) para hacer un cuadrado, fue como casi todos

excepto Mari, hice mi cuadrado, después, se me ocurrió hacer rectángulos, para ver, pero a

diferencia yo lo hice, hacia acá, acá (traza dos rectángulos marcando sus ángulos

correspondientes de 37, 45 y 90º), yo solo hice dos, ahora si que el cuadrado que era de

6.2*6.2 y me dio 38.44 (escribe dos áreas en el pizarrón A1 = 38.44 y A2 = 33.84) yo no

95

dibujé más cuadrados, tengo el cuadrado que me dio esta área (indica la de 38.44) que yo

pienso que sería la máxima, (muestra su dibujo a lápiz) aunque por trazos esa sería.

Profr. ¿Los ángulos para que los usa?

Est. Pues, a diferencia de los demás lo hicieron por medidas yo mejor puse ángulos, de aquí

un cuadrado tiene un ángulo de 45º.

Profr. Ajá, eso queda claro, ¿y el otro de 37 fue para el rectángulo?

Est. Primero hice el rectángulo y después puse el ángulo,

Profr. Ah ya ¿Después midió el ángulo?

Est. Utilicé un razonamiento, mientras más se aleje de 45, ya sea hacia cincuenta y tantos o

treinta y tantos.

Profr. ¿Entonces de 37, si uso un ángulo de 39 por ejemplo me va a dar otro rectángulo de?

Est. si, no alcanza este (señala el de área de 38.44) aún si se pasa de los 45º, a los 46 se

reduce.

Profr. Ya es otro rectángulo pero ahora, la longitud vertical se amplía pero la longitud

horizontal se reduce, ya después de los 45.

Est. Ajá, se gira, ese sería mi razonamiento.

Profr. Muy bien. ¿Tomó medida de su diámetro?

Est. Ah sí, fue de (lo anota, 4.4)

Profr. ¿Diámetro o radio?

Est. Radio, el diámetro fue de 8.8

Profr. Muy bien, gracias.

2.- Uso del programa interactivo Geogebra.

Profr. Bueno, continuando con sesión de los problemas, vamos a analizar el tercer problema

utilizando el programa GEOGEBRA, programa interactivo. El problema en este caso, lo van

a resolver aquí los compañeritos Ricardo y Perla, es, ¿De todos los rectángulos inscritos en

96

una circunferencia, cuál de ellos es el de mayor área, o tiene el área máxima?, como lo

quieran ver, bueno, entonces lo que van a hacer primero es la construcción en GEOGEBRA,

cuando tengan la construcción pues vamos a escuchar el análisis que le dan a la solución,

como lo resuelven y algunos puntos de vista sobre la diversidad que encuentran entre lo que

es la construcción en lápiz y papel y la construcción con este programa, adelante, entonces

comenzamos con la construcción de.

Est. C: Bueno, primero abrimos el programa, y vamos a marcar una circunferencia.

Profr. En la circunferencia, ¿Cuál fue la que eligió?

Est. D: La dee, dados, dados su centro y uno de sus puntos.

Profr. Su centro y uno de sus puntos, muy bien.

Est. C: Marcamos su diámetro.

Profr. La opción segmento de recta, no ¿verdad? con la opción una recta, una recta dados dos

puntos.

Est. C: Que pasa por dos puntos.

Profr. Ah, ya.

Est. C: Vamos a marcar su perpendicular (traza una perpendicular que pasa por el centro),

vamos a marcar las intercepciones, primero de este, y ya después, en este.

Profr. Todos los puntos de intercepción, eso ¿con el afán de que, qué vamos a construir ahí?

Est. C: Un cuadrado.

Profr. Ah, muy bien, ¿el cuadrado les va a servir?

Est. C: Como referencia para, va a.

Est. D: Como referencia para hacer el rectángulo, además para tener la, digamos, el área

máxima que se nos da.

Est. C: Marcamos un polígono, que en este caso va a ser el cuadrado, bueno, aquí tenemos

nuestro cuadrado, y después de esto vamos a marcar un punto, en cualquier lado de nuestra

circunferencia.

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Profr. Ahora, ese punto ¿va a ser para construir que cosa?

Est. C: El rectángulo, mmm, con segmento, con la opción de segmento quee, entre dos

puntos, vamos a marcar, a marcar la primer línea, de aquí mismo, desde el punto G hasta el

punto D, ya nos salió otra línea, escogemos la opción de recta paralela y movemos hasta que

llegue al punto B, marcamos la intersección, en este caso sería entre la circunferencia y esta

recta, nos da el punto I, ocultamos esta línea, y ahora si podemos marcar nuestro rectángulo

(lo marca con la opción polígono), bueno, ahora, bueno, como pueden observar pues ya

puedo mover este punto y la, el rectángulo no se va a distorsionar de un lado, más del otro, va

a quedar como un trapecio, trapezoide.

Profr. Sí, ¿pero qué sucede cuando muevo el punto?

Est. C: Bueno, nos damos cuenta que mientras va llegando a, ahhh, pues uno de los puntos, su

área va disminuyendo, sin embargo mientras más se va acercando al cuadrado su área

aumenta por lo que se puede llegar a la conclusión de que el, el rectángulo de área máxima es

el cuadrado.

Profr. A ver vamos a comprobarlo, ponga el punto G por acá, más o menos, ahora vamos a

marcar áreas ¿le parece?

Est. C: Si.

Profr. El área, ahí desplegamos (señala).

Est. D: Estaba bien.

Profr. Área del cuadrado, primero, el cuadrado tiene un área de..

Est. C: 24.49.

Profr. Ajá, .

Est. C: Y el rectángulo un área de 18.84.

Profr. Muévelo tantito

Est. C: Si.

Profr. Póngalo por fuera.

98

Est. C: Ese es del rectángulo, y ese es del cuadrado.

Profr. Ahora entonces, movemos el punto G.

Est. C: Bueno, si se dan cuenta movemos hasta acá abajo y el área va disminuyendo,

disminuye, disminuye, pero conforme va.

Profr. ¿Y si llega a este punto?

Est. C: Al cuadrado.

Profr. ¿Si llega a este punto que, tiene doble punto? (señala el punto B).

Est. D: Se va a este lado.

Profr. ¿Desaparece, no, llega un momento en que es cero, verdad?, ¿Si pasa hacia abajo que

sucede?

Est. C: Vuelve a pasar lo mismo, empieza con un área pequeña, pero conforme se va

acercando al cuadrado su área va aumentando, cuando llega exactamente al cuadrado

tenemos el área máxima.

Profr. ¿Y por qué el máximo, que pasa si lo paso de este lado?

Est. C: Va disminuyendo el área.

Profr. ¿Nuevamente, verdad?

Est. D: Si.

Profr. Por lo tanto, ¿De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia, cuál es el de

área máxima?

Est. D: El cuadrado.

Profr. ¿Si están de acuerdo?

Est. C: Si

Profr. El cuadrado es un rectángulo, no todos los rectángulos son cuadrados. Bueno, entonces

ahora, ¿Cuál es la diferencia entonces si ustedes notan, cuando construyen esto con este

programa, a cuando lo hicieron con lápiz y papel?, lo trabajaron individualmente.

99

Est. D: Bueno, como hemos estado mencionando, que es más limpio, más rápido no estoy

muy seguro porque si no sabes usar el programa, te tardas y terminas dibujando.

Profr. Si, si se te distorsiona la figura luego después como que ya te enojas, bueno, luego que

más.

Est. D: Bueno, incluso es mejor sobre todo ya cuando lo quieres representar o exponerlo ya

que, es más claro, se muestra hasta interactivo, incluso te da todos los resultados que tú

quieres, que estás demostrando a las personas o a ti mismo.

Profr. De manera que, en caso de que lo hagas con papel y lápiz y pongas varios, varios

rectángulos, tienes que estar midiendo, midiendo y calculando áreas en cada uno de ellos.

Est. C: Si, digamos que esto sería como la comprobación del resultado, pues ya, se pudo ver

que si, el rectángulo de área máxima es el cuadrado.

Profr. Muy bien, ¿Alguna conclusión que quieran dar o algo más que quieran comentar?

Est. D: Como dijo Rodrigo la última vez, es muy bueno el programa pero nos hace pensar

menos.

Profr. Pues sí, podría ser.

Est. C: Yo no lo veo del mismo modo.

Profr. ¿Cómo lo vería usted Perla?

Est. C: Yo creo que, no te hace pensar menos, si lo hacemos de forma como lo estuvimos

trabajando que primero hacemos primero en lápiz y bla bla bla, trazamos, pero ya después

que si se comprueba, pues ya, solamente es para comprobar y no para trabajarlo todo.

Profr. Eso sí, y yo digo también que el proceso de razonamiento tiene que ser primero de

manera escrita, aunque eso realmente no te da el proceso de razonamiento, el proceso de

razonamiento te lo da el que tu sepas y conozcas las bases de que es lo que está sucediendo

tanto con el programa y tanto con lápiz y papel,

Est. C: Si.

100

Profr. El proceso de razonamiento el que conozcas el algoritmo de cómo calcular el área y

conozcas el algoritmo de que es un polígono, y conozcas las figuras y etc, etc, ¿no?, y toda

esa parte, ¿sale? No sé si tengan alguna conclusión.

Est. D: El software está bien si es solo a efecto de comprobación, si es para hacer el ejercicio

antes de hacerlo a papel, no serviría de mucho.

Profr. Bueno, algo más Perla.

Est. C: No.

Profr. Entonces lo damos por concluido este problema, gracias chicos.

Se da por finalizada la sesión

101

APÉNDICE D: Transcripción de la videograbación de la tarea 4

Tarea 4: De todos los triángulos de perímetro constante y con la misma base, encontrar el de

área máxima.

1.- Uso de lápiz y papel.

Estudiante A

Est. (Lo va dibujando) Primero tracé lo que es mi base, mi base fue de 10, y también al igual

que Perla tracé un punto intermedio que sería de cinco, y de ahí partí para hacer un triángulo

equilátero, de aquí pues, estos, igual median 10 y mi perímetro era de 30 (anota), hice otro,

pero ahora, con la misma base, pero ahora, un triángulo rectángulo y pues, sería 10 también

(anota en el lado vertical del triángulo), y este sería 14.2 (anota en la hipotenusa), entonces,

pues, ese si sería un poco más complicado, porque pues, tenía varias dudas sobre cuál, cuál

sería, pues el de área máxima, y pues, de modo que, pues, para sacar el área es base por altura

sobre dos (anota la formula), y de este salió 10 (señala el equilátero con una flecha y anota

10), y de este me salió, siete (señala el triángulo rectángulo con otra flecha y anota 7),

entonces, yo creo que, para determinar esto, pues, ay (duda), no sé explicarlo, pero, entre,

entre, como decirlo, entre, entre quee, aay, al aumentar un lado creo que la base va a

disminuir, bueno, perdón, el área va a disminuir, entonces determiné que, este, sería mi

triángulo con área máxima (señala el triángulo equilátero), no sé si este bien pero.

Profr. ¿Qué observan ahí en el segundo triángulo?

Est. (participación) El perímetro.

Profr. Que el perímetro está cambiando, no se conserva la característica, aquí es 10, 10, 20, y

aquí ya es 34.2, y esto es 30 antes de que, ajá, tenían que verse los 30. Si observan este con

este grupo nos da.

Est. Pero, al igual que, al igual, nos tiene que salir porque, al igual un triángulo con la misma

base, pues, un triángulo rectángulo tendría menos, un triángulo tendría un área máxima,

mínima que la, que un triángulo (señala el equilátero).

Profr. O sea tendría un área menor que un triángulo isósceles, conservando el mismo

perímetro, porque si no conserva el mismo perímetro puedo tener triángulos rectángulos con

igual área que triángulos isósceles, e incluso que equiláteros, ¿si o no? puedo hacer eso, en

102

cierto momento, tener varios triángulos de diferente tipo con la misma área, si nos apoyamos

en usted, entonces a lo mejor tenga la misma área en el triángulo rectángulo, porque si

seguimos con ese criterio, entonces también tengo que buscar dos con mayor área que los

triángulos equiláteros, ¿sí?, nada más ese fue el error, o sea, este triángulo y este triángulo

(dibuja dos triángulos de diferente tamaño) y tienen obviamente, se nota a leguas, diferente

perímetro, y por consecuencia diferente área, pero está bien, ese fue su análisis, correcto.

Estudiante B

Est. (Dibuja dos triángulos) Mi perímetro fue para los dos de 17.

Profr. ¿Su base?

Est. Mi base fue de cinco, para los dos, en este (dibuja en el primer triángulo) tracé un

triángulo, ¿es isósceles?, dee, de seis de lado y cinco de base, y este fue escaleno de cinco de

altura y siete de hipotenusa (los anota en el segundo triángulo), este, pues saqué sus áreas y

de este (1er. triángulo) me dio 13.5, y de este (2do. triángulo) me dio 15.12.

Profr. ¿Todo en centímetros verdad, en este caso sería en centímetros cuadrados?

Est. (Cambia la anotación de 15.12 a 12.5), Ajá, entonces para comprobarlo, los metí a los

dos en, ah aquí la altura fue de 5.5 (1er. triángulo y lo anota), para comprobarlo los metí en

un cuadrado de 5.5 a los dos (dibuja el cuadrado circunscrito en los dos triángulos),

Profr. Ahh, ya, ¿también ese de cinco?

Est. Ajá, es de 5.5

Profr. Ah es cinco, cinco.

Est. Ajá, el área de los cuadrados me daba, 30.25 y saqué las áreas de los sobrantes, para este,

ay, ¡bueno el total me daba, de este sobrante me daba 15.12 y de este me daba 16.5!, entonces

pues, tengo las cantidades necesarias, que, para mí el mayor fue el uno, y del sobrante igual

me indica que este tenía menos cantidad sin ocupar (figura 1).

Profr. Sin embargo acá en este segundo, en la segunda figura tenemos también un sobrante

del..

Est. De aquí arriba (lo señala).

103

Profr. Aja.

Est. Es que lo saqué por trapecios.

Profr. Ahh por trapecios, ¿Cuánto le sobraba en esa partecita?

Est. ¿En este? (señala la 1er. figura), ehhh, 15 punto, 15.12.

Profr. No, pero aquí, en esta parte, este cachito (señala un sobrante de la 2da. figura).

Est. Ahh, punto cinco.

Profr. Punto cinco.

Est. Para este y acá igual punto cinco.

Profr. Ah, ya, ¿En este lado no le sobraba?

Est. No.

Profr. Bueno, si tiene razón verdad, si el cuadrado era de 5.5. pués aquí hay cinco, más punto

cinco (señala la figura 2), lo mismo en este lado (señala la figura 1), cinco más punto cinco, si

lo tomo de este lado como vértice trazo el cuadrado de 5.5, ¿Este lo calculó igual como

trapecio?

Est. Si, y este como triángulo.

Profr. ¿Y este como triángulo, y coincidían los dos?

Est. Si, en decimas, no sé porqué, salió pero no muy distante, nada más en este (señala el

valor de 12.5), como punto diez, punto uno lo que me varió.

Profr. Entonces todo lo que hizo después fue, nada más fue, a modo de comprobación.

Est. Aja, si porque yo lo tracé y vi que sobraba más de este lado (figura 2), pero ya sin tocarlo

pues es (señala la figura 1).

Profr. Es el triángulo, isósceles.

Est. Y ya.

Profr. ¿No tienen preguntas? Gracias.

104

Estudiante C

Est. Bueno, primero tracé una línea de 4 cm., tracé otra línea en medio y de ahí tomé

referencia para trazar otras dos líneas pero que me diera un perímetro de 12 cm. (va trazando

cada línea y anota “Perímetro=12cm.” después forma un triángulo)

Profr. ¿Cuánto medía cada una de sus líneas?

Est. Cuatro, cuatro, cuatro

Profr. ¿Cuatro las tres?

Est. Sí, bueno el primero, este fue el primero, tuvo una área de 7 cm.

Profr. Cuadrados, anota el superíndice 2, ¿Cómo lo calculó ahí?

Est. Base por altura

Profr. ¿Base por altura?, ¿Y cómo calculó su altura, la midió?

Est. Si

Profr. ¿Solo la midió, no hizo cálculos algorítmicos, fórmulas, nada de eso?

Est. No

Profr. (Insiste), bueno eso, pero para conocer la altura ¿No hizo cálculos?

Est. Noo

Profr. ¿No, solo la midió?

Est. (Anota la fórmula) Pues, mi altura era de 3.5, mi base de 4 y pues, base por altura y

luego sobre 2 da 7 cm. cuadrados, luego marqué otra línea, ahora de 90º, de modo que me

diera un perímetro de 12 cm.

Profr. ¿Ese es un triángulo rectángulo?

Est. Si, y ese me dio un área de 6 cm. cuadrados.

Profr. ¿Pero ahí cuanto median sus lados?, ¿Los midió, no?

105

Est. Si. La altura media, 3 y pues ya (realiza la suma teniendo la base de cuatro), 3 más

cuatro, siete, cinco.

Profr. ¿Y cómo sabe que esa es la altura?

Est. Ahhh, porque, tenemos nuestra base y la altura tiene que ser perpendicular a, y, pues,

teníamos esta que ocupé (señala la línea que va hacia arriba desde la base), y bueno, después

de eso tracé otra línea a 35º, y de modo que me diera 12 cm., y bueno, de ese no ocupé, no

escribí las medidas, pero en total el área me dio, 2.4 cm cuadrados (anota).

Profr. ¿Pero conservando el perímetro constante?

Est. Si. Bueno, estas fueron (señala cada triángulo y les marca arriba 120º, 90º, 35º,

respectivamente), bueno, aunque todas tuvieron el perímetro de 12 cm., pero la que tuvo la

mayor área fue la de este triángulo, que es ehh, ¿equilatero? (lo anota en el pizarrón).

Profr. Pero tengo una duda, esos 120º ¿De dónde los midió?

Est. ¿Cuál?

Profr. ¿Cómo midió los 120º?

Est. Ahh, de aquí (marca el vértice inferior del triángulo equilátero y señala el ángulo)

Profr. Ah ya.

Est. Y bueno, sí, bueno, conforme iba, si lo seguía este así (traza una media parábola uniendo

los vértices superiores de cada triángulo), mi altura iba disminuyendo, por ejemplo en este

había calculado una altura de 1.2 cm., en este (señala el triángulo obtusángulo).

Profr. ¿Ahí como trazó la altura? (duda), ¿En el último triángulo?

Est. Bueno, tenemos este triángulo (dibuja otro triángulo obtusángulo), y trace una línea que

cruzara con el vértice (lo muestra, su trazo es inadecuado).

Profr. ¿Si es correcto eso, chicos, ustedes que opinan?, Mayra, ¿es correcto ahí el trazo de la

altura?

Est. (Mayra) Si, para sacar la altura debe de estar a 90º de la base.

106

Profr. ¿A 90º, con respecto a qué? (dudan), pero bueno, es que dice, la definición de altura,

¿la recuerdan?

Est. (Ricardo) debe pasar a 90º por el vértice.

Profr. Aja, por el vértice opuesto a la base, entonces en este caso ¿Cuál es su base? (la

señala), esa, ¿Cuál es su vértice opuesto a esa base? (también la señala), esa, esa, ¿Entonces

como queda su altura ahí? (la traza correctamente), exactamente, tiene que prolongar.

Est. Bueno, de todos modos vendría a ser exactamente lo mismo (El profesor no capta ese

comentario)

Profr. Tendría que prolongar, a ver prolóngalo, y trazar la altura. Bueno, lo que vemos,

digamos esa altura de todos modos vendría siendo menor que las otras dos que había trazado

anteriormente.

Est. Bueno, conforme vamos, este, vamos avanzando, nuestra altura va disminuyendo,

nuestra base sigue siendo la misma de 4 cm. pero la altura va disminuyendo y eso provoca

que el triángulo, ehh, tenga una área menor, entonces, pues yo digo que es este (señala el

triángulo equilátero).

Profr. ¿Qué es el equilátero, muy bien, esa es su conjetura final?, correcto.

Est. Si.

Profr. ¿No tiene nada que agregar? (niega con la mano), muy bien, gracias Perla.

Continuamos con Ricardo.

Estudiante D

Profr. ¿Qué hizo usted Ricardo?

Primero traza 3 triángulos de forma diferente colocando sus medidas.

Est. Yo, igual hice tres triángulos, solo que yo si los separé, primero hice el equilátero (con

medidas de 8 cm por lado), y me dio un área de (anota 4.28 y después va por sus hojas de

solución).

Profr. ¿Cómo lo determinó?

Est. Igual con lo que dice ahí, base por altura y la altura me da 7 cm.

107

Profr. ¿La altura de 7, la calculó o la midió?

Est. La cal.., las dos.

Profr. ¿Las dos?, ¿Cómo la calculó, me gustaría saberlo, como hizo el cálculo de la altura?

Est. Anota lo siguiente,

x2=a2+h2

16=64+b2

b2=√48

Profr. Bueno, si lo tenemos de esa manera, de esa manera, a ver observen todos (señala el

64), este es supongo el 8 al cuadrado, y si yo paso este 64 a este, primer miembro que sucede,

es positivo y ¿cómo pasa acá?, negativo, entonces me quedaría menos 64 más 16 y aquí sería

menos 48.

Est. Pero como una raíz cuadrada no puede ser negativa pasé este hacia acá (señala el 16) y

luego este otro acá (señala b2).

Profr. Y entonces aquí quedaría negativo (señala b), tampoco una longitud puede ser

negativa, lo que pasa es que aquí hay que observar cual es el, ¿Está tomando como base este

triángulo, no, y este lado es cuatro, y cuál es la hipotenusa, ocho?, únicamente es que están

invertidos esos dos valores (señala el 16 y el 64), si, si se llega a entender, pero si ustedes han

hecho algo parecido o que tienen un poco más de agudeza visual, dirían, es que te sale una

raíz negativa.

Est. Entonces ahorita se lo cambio.

Profr. Aja, si está bien, solamente esa observación, bueno, entonces raíz de 48.

Est. Tengo como 6.9

Profr. Siete y, seis punto y fracción más o menos.

Est. Punto nueve más o menos, que eso me dio siete, lo redondee, me dio esta área, después

usé el triángulo rectángulo, me dio un área de 24 (lo anota).

Profr. ¿Ahí es más sencillo el cálculo no, este, la altura ya está determinada?

108

Est. Porqué es 8 por 6, 48, sobre 2, 24.

Profr. 24, la altura es 6, en este caso volvemos a la definición de lo que es la altura que es la

línea perpendicular a la base que parte de su vértice opuesto, en este caso su vértice opuesto

es este (lo señala), esta es la base (la señala) y parte perpendicularmente, coincide con uno de

los catetos. Es una característica de los triángulos rectángulos, dos de sus alturas coinciden

con los catetos.

Est. Bueno aquí, lo que yo tomé más como base fue que el perímetro era 24, observamos, a lo

mejor va a ser porque el área del triángulo rectángulo sería igual 24, y noté que era menor

que esta y a diferencia de Perla yo no le veo un ángulo que pueda, o que tuviera después de

los 90º.

Profr. ¿Hacia su lado izquierdo, cargado?

Est. Depende la perspectiva que lo vea, entonces su altura sería de 6.3, ese si lo medí nada

más, y su área midió 25.2, pero, después ahorita que estaba viendo unos momentos antes de

que pasara Perla, pude notar que si tenemos igualmente 24 pero con (dibuja otro triángulo

isosceles anotando 6 en la base),

Profr. ¿6 de base?

Est. (Anota cada uno de los otros dos lados de 9), este las tenemos una altura de 8 punto…,

8.4 más o menos, y lo que hace esto, 8 por 6 es 48 pero punto tanto.

Profr. Pero 48, de hecho sería 50 punto y tanto.

Est. Otra altura que sería mayor que 28, aunque sea por decimas, por decimas pero sería

mayor, mientras más sea la altura, y aunque se reduzca tantito la base pues más va a ser el

área.

Profr. Eso sería cuestión de ver, sería cosa de otro problema a lo mejor, de otro problema, ¿si

tienes un triángulo de perímetro constante cual es el de mayor altura?

Est (Mayra) (Observación) Porque no se tiene que cambiar la base.

Profr. Ajá, en este caso este triángulo que nos dice, que debes de tener la base fija (señala

todas las bases de los triángulos dibujados), acá ya no se cumple, pero si habla de un

problema donde el perímetro es constante, entonces debió usted de observar eso.

109

Est. (Mayra) Sería de uno por…

Est. Aun tenemos, copiando este triángulo con este, saldría casi lo mismo.

Profr. Ahí sería cuestión de analizar, otro problema donde el perímetro es constante y no

importa si la base sea fija o no, ¿Están de acuerdo?, sería cuestión de hacer otro análisis.

¿Algo más que anotar? ¿Y acá, del público presente, no?, bueno, muchas gracias,

2.- Uso del programa interactivo Geogebra.

Profr. Bien, estamos aquí nuevamente con la, el cuarto problema, el análisis del cuarto

problema que estamos trabajando dentro de este trabajo de investigación, el problema ahora

va a ser nuevamente resuelto por los compañeros Rodrigo y Mayra que están aquí presentes y

consiste en lo siguiente, dice. De todos los triángulos cuyo perímetro es constante y que

tienen la misma base ¿Cuál es el que tiene área máxima?, ¿sí?, entonces, igual que en los

casos anteriores, lo primero que vamos a hacer es que van a construir con la ayuda de

geogebra pues, su figura correspondiente, y posteriormente van a hacer una explicación de lo

que analizaron con respecto a la construcción de la figura y una com, finalmente una

comparación de la diferencia que consiste de lo que es realizarlo con papel y lápiz y el

haberlo hecho con este programa interactivo, ¿Sale?, comenzamos con la construcción, nos

van explicando que van haciendo por favor.

Est. B: Si, bueno, lo primero, eh, es poner un segmento, en mi caso, lo que yo hice es con

longitud fija para tener más o menos una idea de cuánto mide, luego, insertar una elipse (la

trazan), y un punto medio de esa recta, para trazar el primer triángulo. Le inserté, bueno le

voy a insertar una, un polígono regular de tres puntos, luego, un segmento entre dos puntos,

para darle la altura, la, si la distancia y guiarme de este, y trazo otros dos triángulos como

referencia (traza los triángulos).

Profr. Póngale polígono, y que sea regular el polígono, si no se lo va a estar juntando de los

lados.

Est. B: Yo creí necesario trazar una recta completa, (la traza sobre el eje de la elipse) para

poder sacar las alturas, ah pero, saco las paralelas que pasen por este punto, y por este (los

marca), luego el punto de intersección, para este y para este, y así poder crear mi recta entre

dos puntos, oculto estas para que no se vea feo y les doy un estilo diferente para que se vea la

diferencia, de que son altura. Bueno, ehh, para poder diferenciarlos también les voy a dar

110

color, y, pues, las medidas, y pues, aquí está, es necesario, bueno, ya había trazado esto pero,

noo, al trazarlo sin la elipse, se perdía el perímetro constante, entonces, lo que creí necesario

fue trazar una elipse, lo intenté con un circulo, pero se pierde totalmente el perímetro,

entonces, creo que lo más indicado es con la elipse, y, le doy.

Profr. Entonces vamos a marcar las áreas, ¿no?

Est. B: Mju, eh, bueno, ay (marca las áreas de los tres triángulos).

Est. A: Okey, bueno, el análisis como podemos ver, de los tres triángulos, el que tiene el área

mayor es el que tiene, el, su altura máxima que la consigue justamente en la mediatriz de la

elipse, este, como ya comentó, este, Mayra, este, la elipse fue para que no se perdiera el

perímetro y, este, pues de los triángulos que se pueden generar de un perímetro constante y de

base igual, el que tiene mayor área es el triángulo que tiene mayor altura que pasa por la

mediatriz de la elipse, o pues, un triángulo equilátero.

Profr. ¿Ese tipo de triángulo es equilátero, al final de cuentas?

Est. A: Ajá.

Profr. Todos los demás, por ejemplo aquí podemos observar, acá (señala al camarógrafo),

enfocamos la cámara, el triángulo que está remarcado en azul, ¿entonces qué tipo de triángulo

es?

Est. A: Es un triángulo escaleno.

Est. B: Si, no importa la, la, la altura que tenga, siempre, no, si importa, el más alto, el que

tenga la altura más grande, va a tener mayor área, porque aunque se acerca, sigue teniendo

menor área este que este.

Profr. ¿Pero si comprobamos que el perímetro es constante?, por ejemplo, si sumamos los

lados del triángulo amarillo

Est. B: 6.68.

Profr. 6.68, 3.34.

Est. A: Y cinco.

Profr. Serían 6.68 más 3.34 nos dan nueveee, diez, ¿verdad?

111

Est. B: Diez.

Est. A: Diez, y cinco, quince.

Profr. Y cinco, quince.

Est. B: Y luego 7.12 más 2.9, pues es, diez igual, y cinco, quince.

Pofr. Y cinco, quince.

Est. A: Y luego cinco y cinco y cinco son quince.

Profr. Correcto.

Est. A: El perímetro es constante, base igual.

Profr. Muy bien.

Est. A: Atura diferente.

Profr. Bueno, entonces la última pregunta que les haría sería, ¿Cuál es la diferencia entonces

que ustedes observan entre la construcción con este programa y lo que habían hecho

anteriormente en su análisis con el uso de papel y lápiz.

Est. B: Pues, antes, para explicarlo también tuvimos que trazar varios triángulos, pero ya no

tantos como los que hicimos con lápiz, y este, yo creo que con uno solo nos hubiéramos

podido marcar la diferencia de áreas.

Profr. ¿Cuándo lo hicieron con papel y lápiz cree que con uno solo hubieran?

Est. B: No, aquí con el programa.

Profr. Ah, aquí, ajá, si, lo que pasa es que aquí si era importante identificar el lugar

geométrico que se formaba, el estar moviendo el punto alto, o sea el punto más alto de los

triángulos y nos damos cuenta que es una elipse, eso ya lo habían notado ustedes desde que

hicieron sus.

Est. B: Ehh, pues si pero no como tal una elipse, yo pensé que era un circulo, por eso al

inicio lo hice con circulo, entonces ya, ahorita ya.

Profr. ¿Si le quedó claro que el lugar geométrico es una elipse?

112

Est. A: Una elipse.

Profr. Para que se conserven constantes, bueno, ustedes tienen un poquito de conocimiento de

lo que es la elipse, después se hubiesen dado cuenta de inmediato, son conceptos que luego

olvidamos, de que pues, las distancias de, la suma de las distancias de los focos a cualquier

punto de la elipse siempre son constantes, es lo mismo, y como la distancia entre los dos

focos es la misma, entonces todos los triángulos que se formen ahí van a tener un.

Est. A: Un perímetro constante.

Profr. El mismo perímetro, ajá, ¿entonces eso ya nos queda claro?, bueno, entonces ya nada

más para resumir ¿creen que tenga una ventaja con respecto a la construcción a lápiz y papel?

Est. A: Ventaja tiempo y, pues, yo creo que solamente tiempo porque pues también podemos

llegar al mismo resultado con papel y lápiz, pero nos da ventaja de mucho tiempo.

Est. B: Yo veo en el cálculo

Profr. ¿Perdón?

Est. B: En el cálculo.

Profr. También los cálculos, porque recuerdo cuando ustedes lo hicieron, algunos de ustedes

lo que hicieron era construir cada triángulo, estar midiendo, bueno, calculando más bien,

utilizando el algoritmo para el cálculo de las áreas, las áreas de cada triángulo que iban

construyendo, para que fueran viéndolas, y aquí lo que vemos es que, pues el área, al mover

el punto, lo está aplicando automáticamente, que es parte del problema, bueno, son todas las

ventajas que tenemos, bueno ¿algo más que quieran agregar?

Est. B: Que le haría falta una herramienta para el perímetro.

Profr. Faltaría, no si, si la existe.

Est. B: Bueno, conocerla.

Profr. Aquí en la parte de entrada meter una formulita para ir sumando los perímetros y ver

qué, que el perímetro es fijo, que se conserva fijo, eso sería cuestión de verlo más adelante,

muy bien, si no hay más que agregar, agradecemos su colaboración en todo este trabajo y

terminaríamos con este tipo de trabajo, ¿sale chavos?, muchas gracias.