MÁXIMOS Y MÍNIMOS.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFundada en 1551

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

APLICACIONES DE LA DERIVADAMÁXIMOS Y MÍNIMOS

Alumno: Patricio Simón, Neyra LivaqueCarrera: Ingeniería de telecomunicacionesCódigo: 10190273Curso: Cálculo diferencial e integral IProfesor: Nolan Jara Jara

2014Lima - Perú

https://www.facebook.com/nolan.jarajara.1

Problema 01)

Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto De 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?

L=√x2+3002+600−x

C ( x )=54k √x2+3002+k (600−x )

Derivando:

C ' ( x )=54k .

12

(2 x ) (x2+3002 )−12 −k=0

4 √x2+3002=5 xDonde x=400

Así que x = 400 es el único punto crítico y de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corresponde a un mínimo relativo.x=400

C (400)=√x2+3002+600−x

C ( 400 )=825 k

Problema 02)

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?

x x x z

x x z-2x x x

x z-2x

V ( x )=¿

Derivamos

V ' (x )=12x2−8 zx+z2=(2 x−z ) (6 x−z )=0

Puntos críticos x=z2; x= z

6

Hallamos segunda derivada:

V ' ' ( x )=24 x−8 z

Para x=z/6

V ' '( z6 )=24 ( z6)−8 z=−4 z<0

Lo cual indica que x=z/6 corresponde a un máximo relativo.

El volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la cartulina cuadrados de lado z6

y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene dado por:

V ( z6 )=( z−2.z6)

2

.z6= 2

27z3

Problema 03)

Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

3 y

x

V=2.13π x2 y

x2+ y2=9→x2=9− y2

V=2.13π (9− y2 ) y=2 π

3( 9 y− y3 )

V '=2π3

(9−3 y2 )=0

y=√3

Comprobamos con la segunda derivada

V ' '=2 π3

(−6 y )<0

Y de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corresponde a un máximo relativo.

Y el radio será √6.V=21.7655

Problema 04)

Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por tres de sus lados, ya que el cuarto lado estará limitado por el cause de un río. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada?

x

875-2x

S= x (875−2x )

S=875 x−2x2

S'=875−4 x=0

x=218.75

Comprobamos con la segunda derivada

S' '=−4<0


S= x (875−2x )

S=218.75 (875−437.5 )

S=218.75 (875−437.5 )

S=95703.125

Problema 05)

Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por sus cuatro lados. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada?

x x

875−2 x

2

S= x( 875−2 x2 )

S=( 875 x−2 x2

2 )S'=1

2(875−4 x )=0

x=218.75

Los cuatro lados deben medir 218.75

Problema 07)

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las funciones:

a)

⇒(-1,-1) y (1,-1) son los puntos de inflexión

f ( x )=x 4−6 x2+4

f (x)=12 {x} ^ {2} -1 ¿12(x+1)( x−1)

f (x)=0 x= left lbrace -1,1 right rbrac⇒

Analizando:

*Si x<-1⇒ f (x)>0…..por lo tanto en : <-∞,-1 > la funcion es concava hacia arrib

*Si -1<x<1⇒ f (x <0…….por lo tanto en:←1,1>¿ la función es cóncava hacia abajo

*si x>1 ⇒ f (x) >0…… por lo tanto en : <1,∞ > la funcion escóncava hacia arriba

b)

f (x)=-2 {e} ^ {- {x} ^ {2}} (1-2 {x} ^ {2}

⇒(−1√2

, e−12 ) Y ( 1

√2e

−12 ) son los puntos de inflexión.

Analizando:

*Si x<−1

√2

⇒ f (x) >0.por lo tanto en : <-∞, - {1} over {sqrt {2}} > la funcion es concava hacia arrib

*Si −1

√2<x<

1

√2⇒ f (x <0…….por lo tanto en:<−1

√2,

1

√2>¿ la función es cóncava hacia abajo

*si x>1

√2 ⇒ f (x) >0…… po r lo tanto en : < {1} over {sqrt {2}} ,∞ > la funcion es

cóncava hacia arriba

c)

⇒(2,-5) es un punto de inflexión

Analizando:

*Si x<2 ⇒ f (x) < 0.por lo tanto en : <-∞, 2> la funcion es concava hacia abaj

*si x>2 ⇒ f (x) >0…… por lo tanto en : < 2 ,∞ > la funcion escóncava hacia arriba

Problema 09)

Dos líneas férreas se cortan perpendicularmente. Por cada línea avanza una locomotora, una a 60 km/h y la otra a 120 km/h. Ambas se dirigen hacia el punto de corte y han salido al mismo

f ( x )=e−x2

f (x)=0 x= left lbrace - {1} over {sqrt {2}} , {1} over {sqrt {2}} right rbrac⇒

f ( x )=x3−6 x2+11

f (x)=6x-1 ¿6( x−2)

f (x)=0 x= left lbrace 2 right rbrac⇒

tiempo desde dos estaciones situadas respectivamente a 40km y 30 km del punto de intersección.a) Halla la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en función del tiempo transcurrido desde el inicio del recorrido.b) Halla el mínimo de esta distancia.

a) Halla la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en función del tiempo transcurrido desde el inicio del recorrido.

V2=120 km/h

(-30,0)

V1=60 km/h

(0,-40)

Considerando el desplazamiento positivo, el ejercicio se reduce a calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que la longitud de los catetos será función del tiempo.

Transcurrido un tiempo t, la posición de los móviles vendrá dada por -30

V2=120 km/h 120t-30

(-30,0) 120t S(t) 60t-40 -40

60t V1=60 km/h

(0,-40)

S1=60-40

S2=120t-30

Por lo que la distancia de separación entre los móviles será.

S ( t )=√¿¿

b) Halla el mínimo de esta distancia.

S' (t)=10.360 t−120

2√180 t 2−120 t+25=0 t=1

3

S( 13 )=10.√180( 1

3)

2

−120 .13+25S ( 1

3 )=10.√5(minimadistancia)

Problema 10)

Dos puntos A, B se encuentran en la orilladle una playa recta, separados 6 km entre sí, Un punto C esta frente a B a 3 km en el mar. Cuesta $400.00 tender 1 km de tubería en la playa y $500.00 en el mar. Determinar la forma más económica de trazar la tubería desde A hasta C.

(No necesariamente debe pasar por B)

C

3km

6 - x x

B D A 6 km

CD = √(6−x )2+32=√( x2−12x+36+9 )=√( x2−12x+45)

Tomando como valores:$400.00 x 1 km por tierra.$500.00 x 1 km por mar.

La función del costo sería:

C ( x )=400 x+500 √( x2−12x+45)

Cuyos puntos críticos son:

C ' ( x )=400+250 (2x−12 )

√x2−12 x+45=

400√ x2−12x+45+500(x−6)

√ x2−12x+45=0

400 √x2−12 x+45=500 (6−x )

√ x2−12x+45=54(6−x )

x2−12 x+45=2516

(36−12x+x2)

916

x2−12 x (2516

−1)+ 25×3616

−45=0

916

x2−12( 916 ) x+ 225

4−45=0

x2−12 x+20=0

x=12±√144−802

=12±82

={x=10x=2

Calculamos la segunda derivada para comprobar:

C ' ( x )=400+250 (2x−12 )

√x2−12 x+45

C ' ' (x)=500√ x2−12x+45−

500(x−6)(2 x−12)

2√ x2−12x+45

(√ x2−12x+45)2

C ' ' (x)=500 [(x2−12 x+45 )−( x−6 )2]

√(x2−12 x+45)3

C ' ' (x)= 500×9

√(x2−12 x+45)3>0

Comprobado que para x = 2 hay un mínimo valor.

En la ecuación de la función:

C ( x )=400 x+500 √( x2−12x+45)

Tomamos a x = 2.

C (2 )=800+500√4−24+45=800+500×5=800+2500=3300

Costo mínimo $3300.00.

Si hubiese sido por mar.

C (0 )=500√45=500×6.7=3354.1

El costo hubiese sido mayor.

Y si hubiéramos ido directo de A hasta B y luego a C.

C (6 )=400×6+500√36−72+45=3900

El costo hubiese sido mayor.

Problema 11)Si se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 Euros/m y la de los otros 10 Euro/m, halla el área del mayor campo que puede cercarse con 28800 Euros.

Y

X

Relación: 90 x+20 y=28.800⇒ 9x+2 y=2880⇒ y=1440– 4 ,5 x

f (x , y )=x·y⇒ f (x)=x ·(1440 – 4 ´ 5 x)=1440 x – 4 ,5x2

Derivamos e igualamos a 0

f ' ( x )=1400−9 x=0

x=160


f ' ' ( x )=−9<0


f (160 )=1440 – 4 ,5 (160 )=720

El área del mayor campo que se puede cercar con 28800 Euros es de

160m. x720m.=115.200m2

Problema 12)El propietario de un edificio tiene alquilados los 40 pisos a un precio de 600 € cada uno. Por cada 60€ que el propietario aumenta el precio observa que pierde un inquilino. ¿a qué precio le conviene alquilar los pisos para obtener la mayor ganancia posible?

X = n inquilinos

f ( x )= (40−x ) . (600+60 x )=24000+1800 x−60 x2


f ' ( x )=1800−120x=0

x=15


f ' ' (x)=−120<0

Y de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corresponde a un máximo relativo.Precio que debe aumentar a cada piso: 60 x 15 = 900 €

Le deberá aumentar 900 € el precio de cada piso.

Problema 13)

Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos en los extremos. Si el perímetro del terreno es de 50 m, encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima.

y

x 2x

A=π x2+2 y x

P= 2πx + 2y = 50 m.

y=50−2πx2

y=25−πx

A=π x2+2 (25−πx ) x=50 x−π x2


A'=50−2π x=0

x=25π


A ' '=−2π<0


y=25−π ( 25π )=0

Es decir, el área máxima se obtiene cuando el terreno tiene la forma circular. Y es:

A=50x−π x2=198.9

Problema 14)

Una ventana presenta forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Halle las dimensiones de la ventana con área máxima, si su perímetro es de 10 m.

r

y

x

A=xy+ 12π r2

P=x+2 y+πr=10

r= x2

A=xy+ π2

¿

A=xy+ π8x2Y y=5−2+π

4x

Remplazamos la segunda ecuación en la primera:

A ( x )=xy+ π8x2=x (5−2+π

4x)+ π8 x2=−π+4

8x2+5x


A' ( x )=−π+48

(2x )+5=0

x= 20π+4

=x1


A ' '( x)=−π+48

⇒ A ' ' ( x1 )<0


y=5−2+π4

x= 10π+4

Esdecir , cuando x= 10π+4

m y cuando y= 10π+4

m.Vemosque y= x2

Problema 15)

Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal con tapa que tenga una superficie total de 80 cm2. Determine sus dimensiones de modo que tenga el mayor volumen posible.Sug. V = pir²hA; S =2pir² + 2pirh = 80

R

h

Se desea maximizar el V=π r2h que depende de r y h

Área total 80=2π r2+2πrh

Entonces tenemos:

Una funcion−−−−[V=π r2h ] yUna ecuacion−−−−−[80=2 π r2+2πrh]

h=40−π r2

πr

Sustituimos en el volumen:

V (r )=π r2h=π r2( 40−π r 2

πr )=40 r−π r3


V '(r )=40−3π r2=0

r=±2.0601 por concep¿del problema seingnora el negativo .


V ' ' (r )=−6 πr=−6 π (2.0601 )<0


h=40−π r2

πrremplazamos r=2.0601

h=4.1203

Las dimensiones del cilindro con volumen máximo serian:

r=2.0601−−−−−−−−−−h=4.1203−−−−−−−−−Vmax=54.9

Problema 16)

Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar 12 000 pies³ de agua. Si el concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100 por pie² y el material para construir la tapa cuesta $200 por pie² ¿cuáles son las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construcción?

h h

x x

C=300 x2+400 xh

Por dato del problema:

Vcisterna=12000=x2h

Despejamos de la ecuación convenientemente h:

h=1200

x2

Sustituimos en la función:

C=300 x2+400 x (1200

x2)

C ( x )=300 x2+4800 000 x−1


C ' (x)=600x−4800 000 x−2=0

x=20


C ' ' ( x )=600−9600 000x−3>0

Y de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corresponde a un mínimo relativo.

h=1200

x2remplazamos x=20

h=30

El costo mínimo se dará cuando x=20 y h=30.

Cminimo=300 x2+400 xh=300¿

Cminimo=$360 000

Problema 17)

Dos poblados Pa y Pb están a 2 km y 3 km, respectivamente, de los puntos más cercanos A y B sobre una línea de transmisión, los cuales están a 4 km uno del otro. Si los dos poblados se van a conectar con un cable a un mismo punto de la línea, ¿cuál debe ser la ubicación de dicho punto para utilizar el mínimo de cable? Pb Pa

4 km A x C BLongitud para conectar Pa con Pb será:

L=√x2+22+√¿¿

L ( x )=√x2+4+√¿¿


L' ( x )= x

√ x2+4− 4−x

√¿¿¿

x=−32±√(32)2−(4)(5)(−64)

2(5)

x1=1.6−−−−−x2=−8

Descartamos claramente -8<0 porque x representa km.


L ' '(x )= 4

(x¿¿2+4 )32 + 9

¿¿ ¿

L' ' ( x )>0 para cada x . En particular para L' ' (1.6 )>0 , por loque L ( x ) esminima

Cuando x=1.6km.

Puesto que 0 ≤x ≤4 calculemos los números L(0), L(1.6) y L(4) para confirmar.

L=√x2+22+√¿¿

L(0)=7

L(1.6)=6.4

L(4)=7.5

Se confirma que L(x) es mínimo cuando x=1.6 km, siendo la longitud mínima de cable igual a 6.4 km aproximadamente.

Problema 18)

Se requiere construir un oleoducto desde una plataforma marina que está localizada al norte 20 km mar adentro, hasta unos tanques de almacenamiento que están en la playa y 15 km al este. Si el costo de construcción de cada km de oleoducto en el mar es de 2 000 000 de dólares y en tierra es de 1 000 000, ¿a qué distancia hacia el este debe salir el oleoducto submarino a la playa para que el costo de la construcción sea mínimo?

P

20km z

x 15-x

T Q A 15 km

0≤ x≤15

z=√ x2+400ecuaci ó n.

C=2 z+ (15−x )=2(√x2+400)+(15−x )


C ' ( x )= 2 x

√x2+400−1=0

x=± 20

√3

Descartamos el negativo porque x≥0 y solamente analizaremos el costo en x=20

√3


C '' ( x )= 800

(x¿¿2+400)32 >0 paracualquier x ¿

Evaluamos la función costo en x=20

√3 y en los extremos 0≤ x≤15

C (x)=2(√x2+400)+(15−x )

C (0 )=55

C ( 20

√3 )=45.6167

C (15 )=50

El costo mínimo en la construcción del oleoducto es de 45.6167 millones de dólares y se tiene

cuando x=20

√3=11.547km

Problema 19)

Se requiere construir un oleoducto desde una plataforma marina que está localizada al norte 20 km mar adentro, hasta unos tanques de almacenamiento que están en la playa y 15 km al este. Si el costo de construcción de cada kilómetro de oleoducto en el mar es de 3 000 000 y en tierra es de 2 000 000, ¿qué tan alejado debe salir el oleoducto submarino a la playa para que el costo de la construcción sea mínimo?

P

20km z

x 15-x

T Q A 15 km

0≤ x≤15

C ( x )=3√ x2+400+2 (15−x )


C ' ( x )= 3 x

√x2+400−2=0

x=±√320

Por ser x≥0 descartamos el negativo pero x=√320=17.889 no cumple con las restricciones en este caso la función costo no tiene puntos críticos.

Por lo cual el mínimo y máximo aparecerían en los extremos de las restricciones

Evaluamos C(x) en x=0 y x=15

C ( x )=3√ x2+400+2 (15−x )

C (0 )=90

C (15 )=75

Por lo tanto, el costo mínimo de la construcción del oleoducto es de 75 000 000 de dólares y se obtiene cuando todo el oleoducto es submarino y sale a la playa.

Problema 20)

En un concurso de resistencia, los participantes están 2 millas mar adentro y tienen que llegar a un sitio en la orilla (tierra firme) que está a 5 millas al oeste (la orilla va de este a oeste). Suponiendo que un concursante puede nadar 4 millas por hora y correr 10 millas por hora, ¿hacia qué punto de la orilla debe nadar para minimizar el tiempo total de recorrido?

P

2 millas

5-x x M B A 5 millas

t ( x )= 14

(x2+4 )12 + 1

2− x

10intervalo0≤ x≤5


t ' ( x )= x

4 √x2+4− 1

10=0

X=0.87


t ' ' ( x )= 1

(x2+4 )32

evaulando ent ' ' (0.87 )>0 por lotanto t ( x ) esminimocuando

x=0.87millas

t ( x )= 14

(x2+4 )12 + 1

2− x

10

t (0.87 )=0.958

Entonces el tiempo mínimo será 0.958 de una hora que vendría a ser 57 min 29.727s

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