Ao de la diversificacin productiva y el fortalecimiento de la Educacin

UNIVERSIDAD PRIVADA ALAS PERUANASTEMA: MXIMOS Y MNIMOS CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CURSO: CLCULO VECTORIAL.DOCENTE: M. Sc CESA ALFREDO NORIEGA SANCHEZ. INTEGRANTES: ALDEA ELIAS, TATIANA. VALERA CORREA, SOL. REYES PISFIL, ANTHONY. VILCA HERNANDEZ, RUDY. YENQUE CARBAJAL, WILLIAMS.

2015

MXIMOS Y MNIMOS EN VARIAS VARIABLES

El desarrollo de la teora de mximos y mnimos en funciones de varias variables es una extensin del caso de funciones de una sola variable.En todo este desarrollo supondremos que f es una funcin con derivadas parciales continuas.En la siguiente figura se tiene una funcin que tiene un mximo absoluto en(X0, Y0) .

Definicin de extremo relativo.- Una funcin en dos variables, tiene un mximo relativo en en una regin rectangular que contenga a . Similarmente tambin tiene una funcin con un mnimo relativo en donde la para todo que contenga .

Los mximos relativos corresponden a los picos o cimas de las montaas y los mnimos relativos a los hoyos o pozos. En los picos, alguna de las dos derivadas parciales no existe y en los hoyos o cimas de la montaa las dos derivadas parciales son cero.

Ahora tenemos la Teorema:Se tiene tiene un mximo y un mnimo relativo y las derivadas parciales la tienen en ese punto y puntos cercanos mas a este. .

Definicin de puntos crticos: Un punto en tal que se le denomina un punto crtico de .

De manera similar en el caso de las funciones de una sola variables. Existen funciones de una sola variable, existen funciones como la silla de montar. Donde las derivadas parciales son ceros en el punto crtico y sin embargo en ese punto no se alcanza ni un mximo ni un minino relativo.Llamaremos un punto de silla a un punto donde las derivadas parciales se hacen cero y sin embargo no se alcanza ni un mximo ni un mnimo relativo.EJERCICIOS:1. Encontrar los puntos crticos de la funcin:

Solucin:Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden:

Planteamos las siguientes ecuaciones:

En este caso queda: (1) (2)

Este es un sistema de ecuaciones lineales. Podemos en este caso resolverlo con cualquiera de los mtodos existente. Usamos el mtodo de reduccin. Multiplicamos por -2 la primera ecuacin.

Y si sumamos ambas ecuaciones nos da:

Para encontrar y cuando el luego de ese sustituimos en el (1) y (2); la que cosnideramos mas fcil de resolver, escogemos en el punto (1).

En conclusin el nico punto crtico de la funcin es el punto .

2. Encontramos los puntos crticos de la funcin

Solucin: Conseguimos las derivadas parciales de primer orden:

En este caso queda: (1)-3x = 0(2)Este es un sistema de ecuaciones no lineal. Este sistema cae en la situacin en que podemos despejar una de las variables en una ecuacin y sustituirla en la otra ecuacin. En este caso podemos despejar tanto x como y. Despejamos y en la primera ecuacin.

Y la sustituiremos en la ecuacin (2). Esta ltima ecuacin la resolveremos por la tcnica de factorizacin. Primero factorizamos el lado izquierdo sacando x de factor comn.

Planteamos tantas ecuaciones como factores, igualando cada factor a cero.x = 0 (en la ltima ecuacin despejamos x = 0 (elevamos ambos miembros a o de manera similar tomamos raz quinta)x = 0 Para encontrar y cuando x= 0 sustituimos en (1) o (2), la que consideremos ms fcil de resolver, escogemos (1).y = (0)2As (0,0) es un punto crtico de la funcin.Para encontrar y cuando sustituimos en (1) y despejamos y.y = es el otro punto crtico de la funcin.

CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA CLASIFICARLOS PUNTOS CRTICOS

Este criterio es para clasificar puntos crticos de una funcin en una sola variable. Esta versin para dos variables se basa en una cantidad D que depende de (). Si esta cantidad es positiva o negativa se concluir si la funcin f alcanza o no un extremo relativo en este punto. Luego, si tiene extremo, se proceder a examinar si es mximo o mnimo relativo a travs de f xx.

Criterio de las segundas derivadas.- Sea f una funcin de dos variables y () un punto crtico de f donde las primeras derivadas se anulan, tal que en una vecindad de este punto las segundas derivadas parciales son continuas. Sea:

1. Si D 0 entonces se alcanza un extremo relativo en () ySi entonces es un mnimo relativo.Si entonces es un mximo relativo.2. Si D 0 entonces () no es un extremo relativo.3. Si D 0 el criterio no es concluyente.Si un punto crtico no es un extremo local entonces se llama un punto de silla de f.Resulta til memorizarse la frmula de D como un determinante.

EJERCICIOS:1. Encontrar los mximos y mnimos relativos de la siguiente funcin:

Solucin:Conseguimos primero los puntos crticos:

Planteamos el sistema de ecuaciones.

En este caso queda.

Solucionamos este sistema despejando una de las variables en una de las ecuaciones y sustituyndola en la otra ecuacin. En este caso despejamos x en la segunda ecuacin y la sustituimos en la primera.

La primera ecuacin la resolvemos usando factorizacin.

Si vemos que y as (0,0) es un punto crtico.Si vemos que y as () es el otro punto crtico.Para clasificar los puntos crticos usamos el criterio de las segundas derivadas. Pasamos entonces a conseguir las segundas derivadas.

Calculamos:

Evaluamos D(x, y) en cada punto crtico y aplicamos el criterio:. Como , entonces concluimos que (0,0) no se alcanza extremos relativos. El punto (0,0) es un punto de silla.. Como , entonces en () se alcanza un extremo relativo.Pasamos a determinar si es mximo o es mnimo relativo a travs del signo de evaluada en este punto crtico.

concluimos que en se alcanza un mnimo relativo.

2. Encontrar los mximos y mnimos relativos de la funcin:

Solucin:Conseguimos primero los puntos crticos:

Planteamos el sistema de ecuaciones: En este caso queda:

La solucin de este sistema es x=0 y y=0. Por tanto el punto (0,0) es el nico punto crtico de la funcin.Para clasificar el nico punto crtico intentamos usar el criterio de las segundas derivadas.Pasamos entonces a conseguir las segundas derivadas.

Calculamos:

2)(6y)-= 12y-9

Ahora evaluamos en cada punto crtico en D(x, y) y aplicamos el criterio:D (0,0) = 12(0)-9 = -9 ahora como en D(0,0) < 0; entonces concluimos que en (0,0) no se alcanzan extremos relativos, entonces en el punto (0,0) es un punto de silla.

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En problemas de la vida real se busca maximizar o minimizar funciones de dos o ms variables sujetas a una condicin o restriccin de las variables.El problema matemtico en dos variables y con una sola restriccin se plantea como Optimizar f (x, y) sujeta a g(x, y) =0. Debemos entender que optimizar puede ser maximizar o minimizar dependiendo de la situacin o inters que se tenga).La funcin f (x, y) es conocida como la funcin objetivo y la ecuacin g(x, y) 0 como la ecuacin de restriccin.Pasos para aplicar el Mtodo de los Multiplicadores de LagrangePaso 1.- Identifique bien la funcin a maximizar (minimizar).Escriba la ecuacin de restriccin en la forma g(x, y) 0 , definiendo a g como el lado izquierdo de esta ecuacin.DefinaF(x, y,) =f (x, y) -g(x, y) Paso 2.- Calcular los puntos crticos de F(x, y,) . Para ello plantee y resuelva el sistema deEcuaciones.

(Una recomendacin para resolver este sistema es despejar de la primera y segunda ecuacin e igualar ambas ecuaciones, quedando entonces un sistema de dos ecuaciones en x y y, que son la obtenida y la ecuacin F=0).Paso 3.- (Se asume que el valor ptimo existe y se alcanza en alguno de los puntos crticos).Evaluar la funcin en los puntos crticos. El valor ms alto (bajo) es el valor mximo (mnimo) en la restriccin.EJERCICIOS:1. Use los Multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos crticos de f (x, y) = xy sujeto a la condicin +=1.Solucin:Paso 1.-La restriccin la escribimos como+-1=0En este caso g(x, y)+-1.Definimos la funcin.F(x, y,) = f (x, y) -g(x, y)F(x, y,) = xy -(+-1)Paso 2.- Encontramos los puntos crticos de F

Aplicamos la recomendacin dada para resolver este sistema (recuerde que simplemente es una recomendacin, pudiendo haber alternativas ms sencillas para resolver sistemas de ecuaciones particulares).Despejamos de la primera y segunda ecuacin.

Comentario: Hemos encontrado los puntos crticos sin necesidad de encontrar .Ejercicio de desarrollo.- Use los Multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos crticos def (x, y) =x+y sujeto a la condicin xy =9 .APLICACIONESSon muchas las aplicaciones en Economa donde el mtodo de los Multiplicadores de Lagrange es usado para resolver problemas de optimizacin con restricciones. Podemos listar a manera general los siguientes:1) Maximizar la produccin con una restriccin presupuestaria.2) Maximizar la satisfaccin o utilidad del consumo de dos artculos sujeto a una restriccin presupuestaria.3) Minimizar los costos de produccin conjuntos de una fbrica que produce dos modelos de un mismo artculo, restringido a que debe producir una cantidad fija de artculos entre los dos modelos.4) Minimizar los costos de produccin de una empresa que tiene dos fbricas que elaboran un mismo producto, sujeto a la condicin que se deben elaborar una cantidad fija de estos productos.5) Maximizar las ventas sujeta a una restriccin presupuestaria.6) Minimizar los costos conjuntos de mano de obra y capital sujeto, a que tiene que producir una cantidad determinada de artculos.

Despejando en las dos primeras ecuaciones e igualndolas obtenemos 3, Recuerde que no podemos simplificar o eliminar las xs porque perdemos solucin.Igualamos la ecuacin a 0 y factorizamos el lado izquierdo:

Usamos la tercera ecuacin para precisar los puntos crticosPara x =0 resulta que y =10. As un punto crtico es el punto (0,10).

Paso 3.- Vamos asumir que la funcin tiene un mximo. Como tenemos dos puntos crticos debemosevaluar estos puntos en la funcin a maximizar y asumiremos que el valor ms alto entre ellos ser elmximo absoluto de la funcin utilidad en la restriccin.

Ejercicio 3: