Aplicación Máximos y Mínimos a la Ingenieria.doc

7/21/2019 Aplicación Máximos y Mínimos a la Ingenieria.doc

http://slidepdf.com/reader/full/aplicacion-maximos-y-minimos-a-la-ingenieriadoc 1/22

8

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA GEOLÓGICA

ANÁLISIS MATEMATICO II


Facultad de Ingeniería

MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A LA INGENIERÍA


CURSO:

ANALISIS MATEMATICO II

DOCENTE:

Ing. Ever Rojas Huamn.

ALUMNOS:

Ga!!ar"o Mar#ano$ Dan%. Lo&e' Pom&a$ Os(a!"o. Or)#' *u#!#+,e$ Leo. *u#ro' Sanga%$ Es),er.

Ro"r-gue' Sn+,e'$ R#+,ar". argas L#ma%$ /,on.

Cajamarca, marzo de 2015



8




1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Para +a!+u!ar va!ores m0#mos o m-n#mos !o+a!es "e una 1un+#2n "e una var#a3!e$ es

+om4n5

6. Ca!+u!ar !a 6ra. Der#va"a

7. Igua!ar !a 6ra. Der#va"a a 8 % a &ar)#r "e a!!-$ +a!+u!ar !os 9&un)os +r-)#+os:

;. Ca!+u!ar !a 7"a. Der#va"a en !os &un)os +r-)#+os

a< S# !a segun"a "er#va"a es &os#)#va en e! &un)o +r-)#+o$ !a 1un+#2n )#ene un va!or 9m-n#mo

!o+a!: en )a! &un)o.

3< S# !a 7"a. Der#va"a es nega)#va$ en )a! &un)o +r-)#+o$ !a 1un+#2n a!+an'a un9m0#mo

!o+a!: en )a! &un)o.

+< S# !a segun"a "er#va"a es #gua! a 8$ en e! &un)o +r-)#+o$ e! &un)o es un &un)o "e

9#n1!e0#2n:.

Los gr1#+os ejem&!#1#+an !os +asos5




8




A4n en !os +asos a< % 3<$ &ara +a!+u!ar m0#mos o m-n#mos 9g!o3a!es:$ ,a% =ue +om&arar

!os va!ores m0#mos % m-n#mos 9!o+a!es:$ ,a!!a"os an)es$ +on !os va!ores "e !a 1un+#2n en

!os e0)remos "e! #n)erva!o %a =ue &o"r-an &resen)arse s#)ua+#ones +omo se mues)ra en e!

s#gu#en)e gr1#+o:

En "on"e !os m0#mos o m-n#mos !o+a!es$ en e! #n)er#or "e! #n)erva!o >a$3? no son m0#mos

o m-n#mos g!o3a!es$ !os +ua!es en es)e +aso se en+uen)ran en !os e0)remos a % 3. En )a!es

&un)os$ no su+e"e =ue 1@a< B 8 o 1@3< B 8. La +on"#+#2n 1@0< B 8 no garan)#'a 9s#em&re:

=ue e! &un)o sea un m-n#mo o un m0#mo !o+a!$ )a! +omo su+e"e en !os &un)os "e #n1!e0#2n.

Por e!!o se "#+e =ue !a +on"#+#2n 1@0< B 8 no es una +on"#+#2n su1#+#en)e$ &ero s#

ne+esar#a$ 3ajo +#er)as +on"#+#ones "e "#1eren+#a3#!#"a" en e! #n)er#or "e! #n)erva!o =ue !a

&r#mera "er#va"a e0#s)a % sea +on)#nua<.

Es)a "#s)#n+#2n en)re +on"#+#ones ne+esar#as % su1#+#en)es$ es 1un"amen)a! en )o"a

#nves)#ga+#2n.

Pese a e!!o$ en !a &r+)#+a$ !os m)o"os "e o&)#m#'a+#2n +om#en'an 3us+an"o !os &un)os en

!os +ua!es se +um&!e !a +on"#+#2n ne+esar#a 10< B 8$ &ara +on+!u#r &os)er#ormen)e$ a4n s#n

u)#!#'ar !a segun"a "er#va"a =ue e! &un)o es "e m0#ma o "e m-n#ma$ +omo !oejem&!#1#+aremos ms a"e!an)e$ +om&aran"o &or ejem&!o !os va!ores "e !a 1un+#2n en !os

&un)os +r-)#+os % &or 4!)#mo +om&arn"o!os +on va!ores "e !a 1un+#2n en !a 91ron)era: "e!

"om#n#o$ o sea$ en e! +aso "e una var#a3!e$ en !os e0)remos "e! #n)erva!o.




8




1.2 OBJETIVO GENERAL

I!us)rar !a re!a+#2n en)re "#1eren)es &ro3!emas "e o&)#m#'a+#2n % !os m)o"os &ara

reso!ver!os$ "e )a! manera =ue es)e es)u"#o &ue"a ser u)#!#'a"o +omo una a%u"a "#"+)#+a

&ara e! +urso "e An!#s#s Ma)em)#+a II en !a n#vers#"a" Na+#ona! "e Cajamar+a.

1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

6. Presen)ar m)o"os ru"#men)ar#os e #ngen#osos &ara reso!ver &ro3!emas "eo&)#m#'a+#2n

7. )#!#'ar en !os &ro3!emas !a )eor-a "e o&)#m#'a+#2n es)u"#a"a en An!#s#s Ma)em)#+a II

;. I!us)rar gr1#+amen)e$ en !o &os#3!e.




8




II. MARCO TEÓRICO

2.1 Antecedentes.

Los &ro3!emas "e o&)#m#'a+#2n "e 1un+#ones "e una o mas var#a3!es se &resen)an no s2!o en

&ro3!emas "e #ngen#er-a s#no )am3#n en asun)os re!a+#ona"os +on a+)#v#"a"es +uo)#"#anas

es&e+#a!men)e re!a+#ona"as +on !a e+onom-a.

A!gunos "e es)os &ro3!emas son5

a< C!+u!o "e +os)os$ en "on"e se "esea ma0#m#'ar una ganan+#a o m#n#'ar +os)os. Engenera! am3os as&e+)os son #m&or)an)es.

3< C!+u!o "e "#s)an+#as m-n#mas en)re una )ra%e+)or#a % un &un)o o &ro3!emas

s#m#!ares

+< C!+u!o "e +an)#"a"es &ro"u+#"as$ %a sean un#"a"es$ &eso u o)ra me"#"a "e

&ro"u++#2n$ +um&!#en"o +#er)as res)r#++#ones res&e+)o "e !os #nsumos.

2.2 Bses Te!"#cs.

• M0#mo % M-n#mo re!a)#vos5 E0)en"eremos !a "e1#n#+#2n a 1un+#ones "e "os

var#a3!es

• De1#n#+#2n5

6. na 1un+#2n 10$ %< )#ene un m0#mo re!a)#vo en a$ 3< s# ,a% una ve+#n"a" "e ra"#o

+en)ra"a en a$ 3< )a! =ue 1a$ 3< F 10 $%<

7. Ha% un m-n#mo re!a)#vo en 0 $ %< s# 1a $3< 10 $%<. Para )o"os !os 0$ %< en una

ve+#n"a" "e ra"#o.




8




I. Los e0)remos re!a)#vos "e una 1un+#2n "e una var#a3!e o+urren so!amen)e s# !a &r#mera

"er#va"a es +ero en e! &un)o. na &ro&os#+#2n s#m#!ar se +um&!e &ara 1un+#ones "e "os

var#a3!es$ &ero en es)e +aso e! gra"#en)e reem&!a'a a !a &r#mera "er#va"a

II. eorema

S# 10$ %< a!+an'a un m0#mo o m-n#mo re!a)#vo en e! &un)o P$ en)on+es gra"1 P< B 8

Ejem&!os

Sea5 10$%< B 07 0% J 7% 0 J 6

En)on+es5 gra"1 B 70 % 6$0 J 7F B 8

Por !o )an)o5 0 J 7 B 8 o 0 B 7

Luego5 77< % 6 B 8

En)on+es5 % B K

n e0)remo &os#3!e es 7$JK<.

No)e =ue e! ,e+,o "e =ue !a &r#mera "er#va"a "e 8 no garan)#'a un m0#mo o un m-n#mo.

E! ,e+,o "e =ue e! gra"#en)e sea 8$ )am&o+o garan)#'a un e0)remo re!a)#vo. S#n em3argo$

!a segun"a "er#va"a v#ene a! res+a)e.

Em&e'amos &or "e1#n#r una vers#2n "e !a segun"a "er#va"a en "os var#a3!es.

De1#n#+#2n5 L!amamos a !a ma)r#'5

100 10%

1%0 1%%

E! ,ess#ano. Su "e)erm#nan)e es D B 1001%% J 10 %7




A,ora &o"emos genera!#'ar !a &rue3a "e !a segun"a "er#va"a &ara 1un+#ones "e "os var#a3!es.

Es)e )eorema &erm#)e +!as#1#+ar !os &un)os +r-)#+os +omo m0#mos$ m-n#mos o n# !o uno n# !o o)ro.

Ha% un +aso )-&#+o "e &un)o +r-)#+o =ue no es n# "e m0#ma n# "e m-n#ma. Se "enom#na$ un &un)o

"e s#!!a. na su&er1#+#e +on un &un)o "e s#!!a se +om&or)a +omo !a )-&#+a s#!!a "e mon)ar. A"e!an)e% a)rs "e! &un)o +r-)#+o va ,a+#a arr#3a$ m#en)ras =ue va ,a+#a a3jo "e "ere+,a a #'=u#er"a.

eorema es) "e !a Segun"a Der#va"a &ara 1un+#ones "e "os var#a3!es<

S# gra"1 B 8$ +on+!u#mos

D 100 %&e

F 8 F 8 Re! M#n

F 8 8 Re! Ma0

8 an% S#!!a

B 8 an% No +on+!u%e

E$e%&'()

Se

a

Sea5 10$%< B J07 J K%7 0 J 68% J 6

Luego5 gra"1 B J70 $J68% J 68F B 8 en $J6<

Como F* * + ,2- / / + ,10- nd * / + 0



Po"emos +on+!u#r !a s#gu#en)e )a3!a5

Pun)o D 00< #&o6$6< 67 J67 Ma0

8$8< J6 8 S#!!a

J6$J6< 67 J67 Ma0

La )eor-a "e !os mu!)#&!#+a"ores "e Lagrange se 3asa en !a +on"#+#2n ne+esar#a "e Qu,nJ

u+er % es) am&!#amen)e e0&!#+a"a en "#1eren)es )e0)os.

2.3. De#n#c#!n de T"%#n(s Bs#c(s

Pun)o "e S#!!a5 n &un)o "on"e e! gra"#en)e "e 1 es 8 % 1a!!a e! )es) "e !a 9segun"a:

"er#va"a.

Gra"#en)e5 e+)or +u%as +om&onen)es son !as "er#va"as &ar+#a!es "e !a 1un+#2n$

res&e+)o a +a"a una "e !as var#a3!es #n"e&en"#en)es.

M0#mo o m-n#mo !o+a!5 De1#n#"o +omo M0#mo o M-n#mo re!a)#vo en !a se++#2n

7.7

M0#mo o M-n#mo g!o3a!5 L!ama"o a ve+es M0#mo o M-n#mo a3so!u)o. Se

+ara+)er#'a &or=ue en !$ e! va!or "e !a 1un+#2n es ma%or o #gua! =ue +ua!=u#er o)ro

va!or en e! "om#n#o "e !a 1un+#2n$ en e! +aso "e M0#mo. De1#n#+#2n s#m#!ar &ara

M-n#mo G!o3a!. Con"#+#2n ne+esar#a o su1#+#en)e5 En !a #m&!#+a+#2n & = $ & es !a

+on"#+#2n su1#+#en)e &ara =$ m#en)ras =ue = es +on"#+#2n ne+esar#a &ara &.



• Ejem&!o 6. En "on"e se ejem&!#1#+a +omo una ve' en+on)ra"os !os &un)os +r-)#+os$ e0#s)en

"#versas )+n#+as &ara en+on)rar s# e! &un)o es "e m0#ma o "e m-n#ma.

Se +a!+u!2 e! &un)o +r-)#+o $ J6< "e !a 1un+#2n 10$%< B J0 7 J K%7 0 J 68% 6;$ u)#!#'an"o !a

+on"#+#2n ne+esar#a ∇10$%< B 8.

A!!- se u)#!#'2 e! "e)erm#nan)e "e! Hess#ano D B 1001%% J 10%7B 78F8 % e! ,e+,o "e 100 B J 7 8

&ara +on+!u#r =ue a!!- se "a3a e! va!or m0#mo "e !a 1un+#2n.

E! s#gu#en)e ra'onam#en)o "emues)ra !o m#smo s#n u)#!#'ar n# e! Hess#ano$ n# segun"as "er#va"as.

Ra'onamos as-5

Sea , T 8$ T 8. Pro3aremos =ue 1,$ J6< 1$ J6< B $ +on+!u%en"o "e es)a manera =ue en

$J6< a+on)e+e un m0#mo.

1,$J6< B J ,<7 KJ6<7 ,< 68J6< 6; B J7 KJ6<7<68J6<J 6;

, ,7 68 J K7 , 68 B 1$J6< ,7 7< 1$J6<$ &ara )o"o , T 8$ T 8.

• Ejem&!o 7 n ejem&!o en "on"e se ejem&!#1#+an o)ros m)o"os &ara "e)erm#nar s# un

&un)o +r-)#+o es "e m0#ma o "e m-n#ma.

U Ha!!ar !os va!ores "e 0 e % )a!es =ue 0 % B K % ' B 0% sea m0#mo. So!u+#2n5 )#!#'aremos e!

m)o"o "e !os mu!)#&!#+a"ores "e Lagrange.

La 1un+#2n a o&)#m#'ar es ' B 10$%< B 0%$ some)#"a a !a res)r#++#2n g0$%< B K



10< B %$ 1% B< 0$ g0< B 6$ g%< B 6. Por !o )an)o$ "e !a +on"#+#2n ne+esar#a

∇10$%< B V ∇g0$%< )enemos =ue 0 B V$ % B V. De "on"e 0 B %. De !a res)r#++#2n 0%BK$

+on+!u#mos =ue 0 B % B KW7.

Ev#"en)emen)e ' B 0% B 7KW$ no es un m-n#mo %a =ue +um&!#en"o !a res)r#++#2n ,a%

mu+,as &arejas 0%$ )a!es =ue 10$%< 7KW$ +omo es e! +aso "e 0 B 8$ % B 8. Por !o )an)o

"e3e ser un m0#mo.

E0am#nan"o !a 1un+#2n ' B 0%$ en e! gr1#+o a"jun)o$ en+on)ramos =ue en e! &r#mer

+ua"ran)e$ es na"a menos =ue e! rea "e! re+)ngu!o +on vr)#+es en 8$8< % 0$%<. A!

moverse 0$%< "es"e 0B 8$ % B K$ ,as)a 0B K$ % B 8$ )a! rea es en &r#n+#&#o 8$ +uan"o 0$%< B

8$K<$ )oma va!ores &os#)#vos % regresa a 8$ +uan"o 0$%< B K$8<.

Como 'B 10$%< F 8$ &ara 0 T 8$ % T 8 % !a 1un+#2n es +on)#nua % a+o)a"a %a =ue 'B10$%< B

0% K0K B 7K su rea es menor =ue !a "e! +ua"ra"o "e !a"o K< )a! 1un+#2n a!+an'a un

m0#mo. E! 4n#+o +an"#)a)o es 0B KW7$ % B KW7$ 4n#+o &un)o =ue +um&!e !a +on"#+#2n

ne+esar#a "e Lagrange$ e! +ua! es &or !o )an)o e! m0#mo.

Y

8$K< AK$K<

A0 $%<

%

8$8< 0 K$8< X

• Ejem&!o ;5 Es)e ejem&!o mues)ra una a&!#+a+#2n rea! "e !a )eor-a "e

o&)#m#'a+#2n a !a )ermo"#nm#+a.

La )em&era)ura en un &un)o 0$%< en una &!a+a "e me)a! es) "a"a &or 07 J 0% %7. na

,orm#ga$ +am#na so3re !a &!a+a$ mov#n"ose en un +-r+u!o "e ra"#o +on +en)ro en e!



or#gen. Cu!es son !as )em&era)uras ms a!)a % ms 3aja$ so&or)a"as &or !a ,orm#ga en su

re+orr#"o

La 1un+#2n o3je)#va

La 1un+#2n a ma0#m#'ar % m#n#m#'ar en es)e ejem&!o es !a =ue "es+r#3e !a )em&era)ura.

.

Der#va"as Par+#a!es

Las "er#va"as &ar+#a!es en es)e &ro3!ema son5

La res)r#++#2n

La res)r#++#2n es) "a"a &or !a +#r+un1eren+#a en !a +ua! v#aja !a ,orm#ga.

La 1un+#2n a "#1eren+#ar

La 1un+#2n a "#1eren+#ar es es)a es una manera e=u#va!en)e "e "es+r#3#r !a +on"#+#2nne+esar#a "e Lagrange5

I1 0 B 8$ ),en 0 J 7% J 0 B 8$ "es&ejan"o %

.

A! sus)#)u#r % en % B 8

Mu!)#&!#+an"o &or 7 % 1a+)or#'an"o$ o3)enemos5

Luego 0 B 8$ B 8$ an" B K son !as so!u+#ones. De3emos +ons#"erar )res +asos. Pr#mero5



10< B 8$ a! es)u"#ar !a e+ua+#2n "e !a +#r+un1eren+#a o3)enemos % B . Segun"o$ s# B 8

"e 10< B 8$ +on+!u#mos % B 70 an" 07 07 B ; "e !a e+ua+#2n "e! +-r+u!o. Por !o )an)o.

.

er+ero$ s# B K en)on+es % B J0W7 % $ !uego

% . #na!men)e$ +a!+u!an"o !a )em&era)ura 10$%< en +a"a uno "e !os &un)os$

!!egamos a una

)em&era)ura m0#ma en % a una )em&era)ura m-n#ma en .

La )em&era)ura m0#ma es 68 % !a m-n#ma "e 8 gra"os$ m#en)ras !a ,orm#ga "es+r#3e e!

+-r+u!o. E! &un)o +r-)#+o 8$ < =ue"a "es+ar)a"o &or=ue en ! se "a una )em&era)ura "e

; =ue no es n# m0#ma n# m-n#ma.)#!#'a+#2n "e! ejem&!o 7 &ara +orro3orar !as 3ases

)e2r#+as "e !a +on"#+#2n "e LaGrange.

S# "#3ujamos !as +urvas "e n#ve! "e !a 1un+#2n o3je)#va 1un+#2n a o&)#m#'ar<$ en e! &!ano

XY$ jun)o +on !a re+)a res)r#++#2n 0 % B K$ en+on)ramos =ue +uan"o M sea m0#mo o

m-n#mo$ e! &un)o 0$%< "e3e es)ar )an)o en !a re+)a res)r#++#2n 0 % B K +omo en !a +urva "e

n#ve! % B MW0 ,#&r3o!a<. E! va!or "e M ser e! m0#mo +uan"o !a +urva "e n#ve! "e

10$%<B 0%$ %B MW0$ sea )angen)e a !a res)r#++#2n g0$%< B 8. En "#+,o !ugar$ e! ve+)or ∇10$%<

es &er&en"#+u!ar a su +urva "e n#ve!.

% B MW0. De o)ro !a"o ∇g0$%< es &er&en"#+u!ar a 0 % BK en "#+,o &un)o

+ons#"ern"o!a +omo una +urva "e n#ve! "e una 1un+#2n$ &or es)ar #gua!a"a a una

+ons)an)e<.Por ser !os "os !ugares geom)r#+os )angen)es$ +on+!u#mos =ue !os gra"#en)es son

&ara!e!os en)re s-$ !o +ua! s#gn#1#+a =ue∇10$%< B V∇g0$%< &ara a!g4n V.



E! &ro3!ema "e !a !e+,era. O)ra manera "e jus)#1#+ar !a +on"#+#2n "e LaGrange.

La !e+,era M#!Ma#"< o n#a =ue a)#en"es !as va+as$ "#v#sa a !a va+a. S#)ua"a en e! &un)o C

Co(<. De3e !!evar!e agua % &or !o )an)o #r &r#mero a! r-o. No &ue"e #r "#re+)amen)e "e M a

C$ %a =ue no &asar-a &or e! r-o. Por !o )an)o$ 3us+a !a ru)a mas +or)a &ara #r a !a r#vera "e!

r-o en !-nea re+)a % !!egar a !a va+a.

Cons#"eran"o =ue !a r#3era "e! r-o sa)#s1a+e !a e+ua+#2n g0$%< B 8$ "e3emos ,a!!ar un

&un)o R0$%< en !a r#3era )a! =ue !a suma "e !as "#s)an+#as MR RC sea m-n#ma. S# !a

!e+,era se )rans!a"ase a un &un)o so3re una e!#&se % !uego se "#r#g#era a !a va+a$ !a

"#s)an+#a =ue re+orrer-a ser-a !a suma "e !as "#s)an+#as "e! &un)o "e !a e!#&se ,a+#a !os

1o+os. a! suma "e !as "#s)an+#as es una +ons)an)e$ en !a e!#&se$ "n"o!e una !#3er)a" "e

es+ogen+#as "e ru)as =ue !e &erm#)en una am&!#a var#e"a" "e re+orr#"os. Ms +omo "esea

=ue e! &un)o es) so3re !a r#vera "e! r-o$ "e3e es+oger una e!#&se =ue )o=ue !a r#vera "e! r-o.

En es)e &un)o "e )angen+#a !os gra"#en)es "e !a 1un+#2n a o&)#m#'ar % "e !a res)r#++#2n son

&ara!e!os )a! +omo se "es+r#3#2 en e! es)u"#o "e! ejem&!o7$ &or !o )an)o ∇10$%< B V

∇g0$%<$ "on"e5

10$%< B MR RC A=u- #n)erv#ene e! )eorema "e P#)goras &ara e0&resar "e manera

1un+#ona! !a suma "e !as "#s)an+#as< % g0$%< B 8$ es !a e+ua+#2n "e !a r#3era "e! r-o. Es)ao)ra jus)#1#+a+#2n "e !a +on"#+#2n "e Lagrange.



n &ro3!ema +!s#+o es e! "e !a +aj#)a. Se "esea +ons)ru#r una +aja s#n )a&a$ "e 3ase

+ua"rangu!ar$ a &ar)#r "e una !m#na +ua"ra"a "e 8 un#"a"es "e !ong#)u" "e !a"o$

re+or)an"o +ua"ra"os "e sus es=u#nas % "o3!an"o !as &es)aas so3ran)es &ara =ue sean su

a!)ura. Ca!+u!ar !as "#mens#ones "e !a +aja "e ma%or vo!umen.

So!u+#2n5

La 1#gura mues)ra !a #"ea. La !m#na en)era es) a !a #'=u#er"a +on !os "o3!e+es =ue se !e

,an "e ,a+er % !os +ua"r#)os en !as es=u#nas =ue "e3en e!#m#narse. A !a "ere+,a a&are+e !a

+aj#)a %a +ons)ru#"a. Sea 0 !a !ong#)u" "e! +ua"r#)o a e!#m#narse$ &or !o )an)o !a !ong#)u"

res)an)e =ue ser rea!men)e !o !argo % an+,o "e !a +aj#)a es "e 8 J 70. An)es "e reso!ver e!

&ro3!ema +onv#ene ,a+er una &e=uea )a3!a &ara mos)rar =ue +on "#1eren)es va!ores "e!

+ua"r#)o a e!#m#nar "e !a"o 0 $ =ue es !o m#smo =ue !a a!)ura "e !a +aja$ se o3)#enen

vo!4menes "#1eren)es. O sea$ s# !a a!)ura "e !a +aja es$ &or ejem&!o$ 0 B 6$ !as o)ras

"#mens#ones son "e K Z K % su vo!umen es "e B 6Z K Z K B ;;

X 1 2 ! 11 15 20



Lar"o

#

a$c%o

5& 5' 52 2 (& (0 20

)o*+m

e$

((' '22 10&1' 15&' 15&& 1(500 &000

a aumen)an"o va "#sm#nu%en"o

Pue"e verse en !a )a3!a =ue e! vo!umen va aumen)an"o ,as)a +#er)o va!or % !uego +om#en'a

a "es+en"er$ !o =ue s#gn#1#+a =ue ,a% a!g4n vo!umen =ue es ms gran"e =ue !os "ems$ o

sea =ue es m0#mo. No &ue"e a1#rmarse a !a !#gera =ue e! vo!umen m0#mo es B 6K

+orres&on"#en)e a !as "#mens#ones 66 Z ; Z ; s#m&!emen)e &or=ue ese es e! =ue se ve en

!a )a3!a$ &ues 3#en &o"r-a ser =ue an)es "e 0 B 66 % "es&us "e 0 B se ,a%a !ogra"o e!

m0#mo % =ue a! &asar &or 0 B 66 %a venga en "es+enso. O )am3#n &o"r-a ser &os#3!e =ue

"es&us "e 0 B 66 s#ga +re+#en"o e! vo!umen % !uego a! "es+en"er en)re 0 B 66 % 0 B 6K< se

!!eg2 a B 6; K88 +uan"o 0 B 6K$ seg4n !a )a3!a.

am&o+o )en"r-a va!#"e' +om&!e)ar !a )a3!a +on !os va!ores "e 0 B 68 [ 0 B 67 [ 0 B 6; % 0 B

6 &ara ana!#'ar !a )a3!a % sa+ar una +on+!us#2n$ &ues "e en)ra"a na"a garan)#'a =ue e!

m0#mo se o3)enga &ara un va!or en)ero "e 0$ s#no &ara un va!or "e+#ma!. La 4n#+a manera

+er)era "e o3)ener e! va!or "e 0 &ara e! +ua! e! vo!umen es m0#mo es a&!#+an"o e!

&ro+e"#m#en)o "e m0#mos %Wo m-n#mos "e! C!+u!o D#1eren+#a!.

E! vo!umen "e !a +aj#)a es5

B 0 8 J 70<8 J 70< B 0 ;88 J 780 07< B ;8 80 J 7807 0 ;

Es)a es !a 1un+#2n =ue "es+r#3e e! +om&or)am#en)o "e! enun+#a"o$ &or !o )an)o es !a =ue

"e3e "er#varse % a&!#+ar!e )o"o e! &ro+e"#m#en)o "e m0#mos %Wo m-n#mos5

"0W"v B;88 80 6707

Igua!an"o a +ero % reso!v#en"o5 6707 \ 80 ; 88 B 8



De "on"e !os va!ores +r-)#+os =ue se o3)#enen son 0 B ;8$ 0 B 68

]Cu! "e am3os va!ores es m0#mo % +u! es m-n#mo^ Para #nves)#gar!o se &ue"e re+urr#r a!

&ro+eso genera!$ es "e+#r$ "ar un va!or un &o+o menor$ !uego un va!or un &o+o ma%or$ e)+.$

&ero a ve+es$ +omo en es)e ejem&!o$ se &ue"e "e"u+#r &or !2g#+a. Re+or"an"o =ue 0

re&resen)a !a a!)ura "e !a +aj#)a$ es "e+#r$ !a !ong#)u" "e! +ua"r#)o a e!#m#narse$ s# s)a m#"e

;8$ a! =u#)ar &or +a"a es=u#na +ua"r#)os "e ;8$ ]+un)a !m#na =ue"a &ara ,a+er !a +aj#)a^

_Na"a`

S#gn#1#+a =ue en 0 B ;8 ,a% un m-n#mo. Por !o )an)o$ en 0 B 68 ,a% un m0#mo.

Ejem&!o5

En un )erreno 1angoso re+)angu!ar =ue m#"e K m "e an+,o &or m "e !argo se )#ene =ue

+omun#+ar e! &un)o A +on e! &un)o &or me"#o "e una +arre)era$ +omo !o mues)ra !a 1#gura

La +arre)era "e3e a)ravesar "es"e e! &un)o A ,as)a +#er)o &un)o P s#)ua"o en e! !a"o

+on)rar#o[ % !uego "es"e P ,as)a "e3e )ra'arse !a +arre)era &ara!e!amen)e a! )erreno

1angoso$ &ero %a &or )#erra 1#rme. E! +os)o a )ravs "e! )erreno 1angoso es "e 68 m#!!ones "e

&esos e! #!2me)ro m#en)ras =ue &or )#erra 1#rme es "e b m#!!ones "e &esos e! #!2me)ro.Ca!+u!ar !as "#s)an+#as AP &or )erreno 1angoso % P &or )#erra 1#rme )a!es =ue e! +os)o )o)a!

"e !a +arre)era sea e! m-n#mo.



SOLCIcN5

Sea 0 !a u3#+a+#2n "e! &un)o P res&e+)o "e! vr)#+e #n1er#or #'=u#er"o "e! )erreno 1angoso.

Por !o )an)o$ e! res)o P "e3e ser J 0<. O3srvese =ue !os va!ores 1ron)era &ara !a var#a3!e

0 son 0 B 8 % 0 B $ es "e+#r$ 8 0 .

Con1orme a !a 1#gura !a "#s)an+#a AP se &ue"e o3)ener &or e! )eorema "e P#)goras5 AP<7 B

7K X7

E! +os)o )o)a! C "e !a +arre)era es e! +os)o un#)ar#o &or #!2me)ro< "e +a"a )ramo &or su

!ong#)u"$ es "e+#r5 CB68 7 b X<

An)es "e +a!+u!ar e! +os)o m-n#mo$ es sa!u"a3!e ,a+er una )a3!a "e !os "#1eren)es +os)osseg4n sea !a u3#+a+#2n "e! &un)o P &ara v#sua!#'ar !a var#a+#2n "e "#+,os +os)os. En !a )a3!a

!os +os)os es)n en m#!!ones "e &esos. Para o3)ener e! +os)o )o)a! "e !a +arre)era

"e&en"#en"o "e! va!or "a"o a 0 s#m&!emen)e ,a% =ue sus)#)u#r en !a 12rmu!a "e! +os)o.

X 8 6 7 ; K b COSO 68 . K.K ;.;8 7.8; 6.b6 7.68 ;.87 .;;

Pue"e verse en !a )a3!a =ue !os +os)os van "#sm#nu%en"o % a&aren)emen)e e! m-n#mo se

o3)#ene +uan"o 0 B K. Los +!+u!os s#gu#en)es "emos)rarn =ue no "e3e gu#arse uno &or !a

a&ar#en+#a.

Der#van"o !a 12rmu!a "e! +os)o5 "+W"0B6870<W 7 J b$ "+W"0B680W b$

#gua!an"o a +ero 680 W J bB8$ 680 b <B8$ 680Bb < $ 0Bb

<W68$ 07B7.86$ 0 B .88.

Como e! va!or +r-)#+o nega)#vo no )#ene sen)#"o &or=ue 0 re&resen)a una !ong#)u" ver

1#gura<$ en)on+es 0 B .88 es e! m-n#mo. Y +omo se "#jo a! #n#+#o$ e! ,e+,o "e =ue en !a

)a3!a ,a%a a&are+#"o e! va!or "e 0 B K +omo e! m-n#mo no s#gn#1#+a =ue es)e va!or !o sea

rea!men)e. E! +os)o m-n#mo se &ue"e o3)ener sus)#)u%en"o 0 B .88



Re+ur"ese =ue e! 68 an)es "e! ra"#+a! #n"#+a "#e' m#!!ones &esos$ =ue es e! +os)o &or m en

e! )erreno 1angoso[ % =ue e! b an)es "e! &arn)es#s #n"#+a s#e)e m#!!ones "e &esos$ =ue es e!

+os)o &or m en )erreno 1#rme. Por !o )an)o$ !a un#"a" "e +os)o es "e m#!!2n "e &esos.

Con)#nuan"o !as o&era+#ones an)er#ores5 C B 6.b8b66;6;

E! +os)o m-n#mo es "e d6 b8b 66;.6;

UNA DESMOS-RACION CON EL .RO/RAMA:

P" n nc#!n)

6. Pr#mero "amos una 1un+#2n 3ase

7. Damos una var#a3!en<.....

;. Damos una var#a3!e a<.....

. Damos una var#a3!e3<.



K. emos e! gra1#+o rea!men)e +omo va +am3#an"o

BZ$ Jfn.

Man#&u!a)e>P!o)> B$ Jf.$ $\K$h?$$7h$6$b$6h

Man#&u!a)e>P!o)> B$ Jf.$ $\K$h?$$7h$6$b$6$A&&earnaseiLa3e!e"h?

Man#&u!a)e>P!o)> BZ$ J.$ $\K$h?$$7h$6$b$6$A&&earnaseiLa3e!e"h$$;h$\78$78$8.K$A&&earnaseiLa3e!e"h?

Man#&u!a)e>P!o)> BZ$ J.$ $\K$h$P!o)Rangei\$Kh$\;8$8hh?$$7h$6$b$6$A&&earnaseiLa3e!e"h$$;h$\78$78$8.K$A&&earnaseiLa3e!e"h$$;h$

\68$68$8.K$A&&earnaseiLa3e!e"h?



Man#&u!a)e>P!o)> BZ$ \<J.$ $\K$h$P!o)Rangei\$Kh$\;8$8hh$P!o)La3e!iRo(>S)%!e%$I)a!#+h$B$Z$ \<J.h??$$7h$6$b$6$A&&earnaseiLa3e!e"h$$;h$\78$78$8.K$A&&earnaseiLa3e!e"h$$;h$\68$68$8.K$A&&earnaseiLa3e!e"h$$6h$\68$68$6$A&&earnaseiLa3e!e"h?

. .



BIBLIOGRAFIA

!tt"#:$$%%%&'(utue&c()$%atc!*+,-.gaA/081AA

!tt"#:$$%%%& A"licaci(ne# de )2-i)(# ' )íni)(# &c()

!tt"#:$$%%%&"r(le)a#de deri+aci(n&c()

https://www.youtube.com/watch?v=xKgaAV28QAA

https://www.youtube.com/watch?v=xKgaAV28QAA

Aplicación Máximos y Mínimos a la Ingenieria.doc

Documents

Transcript of Aplicación Máximos y Mínimos a la Ingenieria.doc