Clase Máximos y Mínimos
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7/25/2019 Clase Mximos y Mnimos
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Mximos y Mnimos de una funcinde dos variables
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Sea la funcin
z = , , entonces entenderemos
como Mnimo Relativo a aquel punto ms bajo quecualquier otro que este cercano a en la misma
Grficamente:
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Mximo Relativo a aquel punto ms alto que cualquier
otro que este cercano a en la misma
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Los puntos
(,)que se muestran en el plano XY, se denominan
Puntos Crticos.
Los puntos crticos indican el punto del dominio de la funcin
= (,), donde esta podra tener un Mximo o MnimoRelativo.
Puntos Crticos:
Para obtener los puntos crticos pertenecientes al dominio de
= (,), se deben determinar los puntos que satisfacen
simultneamente las ecuaciones, = 0 y , = 0
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Interpretacin geomtrica.
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Una mirada desde la altura
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Punto Silla: Se tiene un punto silla cuando un
punto critico es mximo relativo en una direccin y
mnimo relativo en la otra direccin.
Esto se puede visualizar justamente en la grfica de
la funcin , =
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Criterio de la segunda Derivada:
Sea , un punto crtico de la funcin , , y sea = , , (,)
Entonces:1. Si > 0 y, < 0, entonces tiene un mximo relativo
en (,).2. Si > 0 y, > 0, entonces tiene un mnimo relativo
en
(,).
3. Si < 0 , entonces tiene un punto silla en (,).4. Si = 0 , entonces el criterio no es concluyente , puede pasar
que se tenga un extremo relativo o un punto silla en (,).
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Ejemplo:
Sea la funcin
, =
+ 2
+ 14Determinemos los puntos crticos, = 0 y , = 0
, = 2 = 0, = 4 + 14 = 0
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Mtodo de los Multiplicadores de Lagrange
Este mtodo es una tcnica que permite resolver problemas de
optimizacin restringidas haciendo uso de una tercera variable.
Mtodo:
Sea , y g, son funciones cuyas derivadas parciales deprimer orden existen. Para hallar el mximo y mnimo relativo de
, sujeta a la restriccin de que g, =k para cualquierconstante k, introducir una nueva variable l y resolver
simultneamente las tres ecuaciones siguientes.
, =
, , = , g, =
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Ejemplo:
1. Determinar los puntos mximos y mnimos de
la funcin , = , sujeta a la restriccin
+
= 1.
Solucin:
