¿Cómo resolver problemas de Máximos y Mínimos?

Zoila Monsalve PAD-ULA, 2013

Universidad de Los Andes

Programa de Actualización de los Docentes

Estrategias Didácticas para la Virtualidad

Material Didáctico Computarizado

Título: ¿Cómo resolver problemas de Máximos y Mínimos?

Elaborado por: Zoila Monsalve

PAD-ULA Cohorte-02

Mérida – Venezuela

Junio, 2013.

INTRODUCCIÓN

La teoría de máximos y mínimos se puede aplicar en la solución de una gran variedad de problemas prácticos. Para resolverlos se deben interpretar los enunciados usando funciones.

Debido al amplio campo de aplicación, no existe una forma única de resolver los problemas. Sin embargo, se puede desarrollar una estrategia general, a manera de guía, para abordarlos. A continuación se presenta el uso de esta guía con un caso particular, que será de gran utilidad para futuras resoluciones de problemas de aplicación.

PROBLEMA DE APLICACIÓN 1 Un hombre que navega en una barca a remos a 2 millas del punto más cercano de una costa recta, desea llegar a su casa, la cual está en la costa a 6 millas de dicho punto. El hombre puede remar a una razón de 3 millas/hora y caminar a 5 millas/hora. ¿Qué debe hacer el hombre para llegar a su casa en el menor tiempo posible?

¿?

PROBLEMA DE APLICACIÓN 2

Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho papel mide 9 cm. Calcular la altura del cono que se forma para que el volumen sea mínimo.

Planteemos el primer problema Describamos el enunciado a través de un croquis.

2 millas

X

6 millas

6 - X

d2

d1

Costa Recta

Además sabemos que: • El hombre rema con una Vr=3 millas/hora. • Camina a Vc= 5 millas/hora.

¿Cómo plantearías el problema 2 con un diagrama?

Te doy una idea:

OBSERVA LA FIGURA GEOMÉTRICA.

Enunciemos el problema 1 usando funciones

𝑫𝒕 = 𝒅𝟏 + 𝒅𝟐

𝒅𝟏 = 𝟐𝟐 + 𝒙𝟐

𝑫𝒕 = 𝟒 + 𝒙𝟐 + (𝟔 − 𝒙)

La distancia total será la que recorra en bote más la que recorra caminando.

Por el Teorema de Pitágoras la distancia en bote es:

Sustituyendo el valor de d1 y d2, resulta la ecuación:

Y según el croquis la distancia caminando es: 𝒅𝟐 = 𝟔 − 𝒙

Recordemos del enunciado al final la interrogante es: ¿Qué debe hacer el hombre para llegar a su casa en el menor tiempo posible?

Pensemos : ¿Cómo podemos relacionar la distancia con el tiempo?

Utilizando la ecuación de distancia. Así:

¿A qué variable debemos determinar el mínimo?

Así que la variable a la que debemos hallar el mínimo es el TIEMPO.

𝑻𝒕 = 𝑻𝒓 + 𝑻𝒄

𝑻𝒕 = 𝟒 + 𝒙𝟐

𝟑+

(𝟔 − 𝒙)

𝟓

Ahora halla las ecuaciones que relacionen las variables del problema del filtro de papel y

determina a qué variable es necesario hallar el máximo o mínimo.

Sólo debemos pensar un poco

Hallemos los valores críticos de la función tiempo obtenida.

Para hallar los puntos críticos es necesario hallar la derivada de la función e igualamos a cero.

𝒅𝑻𝒕

𝒅𝒙=

𝒙

𝟑 𝟒 + 𝒙𝟐−

𝟏

𝟓

𝒙 = ±𝟑 𝟐

Igualando a cero y despejando x, tenemos:

Verifica este resultado.

Ahora verificamos si los puntos críticos hallados corresponden a un mínimo.

Para investigar si los puntos críticos son máximos o mínimos aplicamos el criterio de la primera derivada, la segunda derivada o la derivada enésima. En este caso hallemos la segunda derivada para verificarlo.

𝒅𝟐𝑻𝒕

𝒅𝒙𝟐=

𝟒

𝟑 𝟒 + 𝒙𝟐 𝟒 + 𝒙𝟐

Como la segunda derivada es mayor que cero existe un MÍNIMO.

𝒅𝟐𝑻𝒕

𝒅𝒙𝟐> 𝟎

𝒅𝟐𝑻𝒕

𝒅𝒙𝟐< 𝟎

Verifica el resultado.

Intenta hallar los valores críticos e investiga si corresponden a mínimos o máximos en el problema 2, del filtro de papel, para determinar la altura del

cono.

Puedes usar el criterio de la

segunda derivada

Usemos el valor positivo de x y determinemos el menor tiempo en que puede llegar el hombre a su casa.

El tiempo mínimo se obtiene sustituyendo el valor de x= 3/2 en la función tiempo obtenida, así:

También debemos verificar en los valores extremos, en este caso son x=0 y x=6. En: x=0; Tt=1,86 horas x=6; Tt=2,10 horas.

𝑻𝒕 = 𝟒 + 𝟑 𝟐 𝟐

𝟑+

(𝟔 − 𝟑 𝟐 )

𝟓≅ 𝟏, 𝟕𝟑 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔

Finalmente, ¿qué debe hacer el hombre para llegar en el menor tiempo?.

Como ahora sabemos que para x=3/2 el hombre llega más rápido a su casa, entonces basta con sustituir este valor de x en las ecuaciones de distancia para indicar qué debe hacer hombre:

𝒅𝟐 = 𝟔 − 𝟑 𝟐 = 𝟒, 𝟓 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔

Así el hombre debe remar 2,5 millas y caminar en la costa recta 4,5 millas.

𝒅𝟏 = 𝟒 + 𝟑 𝟐 𝟐 = 𝟐, 𝟓 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔

GUÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Ahora resumamos los PASOS seguidos para resolver los problemas de MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

1. LEER ATENTAMENTE el problema varias veces y pensar en los hechos dados y en las cantidades desconocidas que se tratan de encontrar. Las palabras cómo, qué, encontrar, cuánto, dónde o cuándo; suelen estar relacionadas con las variables desconocidas.

2. HACER UN CROQUIS O DIAGRAMA que incluya los datos pertinentes introduciendo variables para las cantidades desconocidas.

3. Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre variables PLANTEANDO ECUACIONES O FUNCIONES.

4. Determinar de CUÁL DE LAS VARIABLES se desea encontrar EL MÁXIMO O EL MÍNIMO y expresar esta variable como una función de una de las otras variables.

5. Encontrar VALORES CRÍTICOS (puntos críticos) de la función obtenida, e INVESTIGAR SI CORRESPONDE A MÁXIMOS Y MÍNIMOS por alguno de los criterios (primera derivada, segunda derivada o derivada enésima).

6. VERIFICAR sí hay máximos y mínimos en la FRONTERA O EXTREMOS del dominio de la función.

ES IMPORTANTE NO DESANIMARSE si no se puede resolver un problema. Adquirir la habilidad de resolver problemas SE LOGRA CON ESFUERZO.

REFERENCIAS

Demidovich, B. 1993. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. España: Paraninfo.

Purcell, E , Varberg, D. y Rigdon, S. 2007. Cálculo. México, D.F: Pearson.

Nava. 2003. Guía de Máximos y Mínimo. Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes.

PAD-ULA, 2013