UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN ESCUELA … didactico/programas/2016/Semestre... · Suma y resta...

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN

ESCUELA PREPARATORIA DIURNA CAMPUS II

MANUAL DE MATEMÁTICAS I

MATEMÁTICAS I (ÁLGEBRA)

Título de la presentación

Agosto - Diciembre 2016

Recopilado y Presentado por:

L.M. Carmen A. González Sáenz

[email protected]

Ing. José E. Oliver Heredia

[email protected]

Ing. Daniel Cantallel Evia

[email protected]

Ing. Francisco Delgado Zarazúa

[email protected]

Academia que presenta:

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Ciudad Del Carmen, Campeche a 15 de Agosto 2016.

mailto:[email protected]



MANUAL DE MATEMÁTICAS I AGOSTO – DICIEMBRE 2016

1

Índice Pág. Índice 1 Introducción. 4 Objetivo. 6 BLOQUE I. Operaciones Algebraicas. 8 1.1. Jerarquía de las operaciones aritméticas 9 Ejercicio 1. 10 Ejercicio 2. 12 1.1.1. Suma de enteros 14 1.1.2. Resta de enteros 14 1.1.3.Multiplicación y división de enteros 15 Ejercicio 3. 16 1.2 Resolución de problemas con números enteros 16 Ejercicio 4. 17 1.2.1 Tasas 19 Ejercicio 5. 19 1.3 Operaciones con polinomios 23 1.3.1. Suma y resta 23 Ejercicios 6. 24 Ejercicio 7. 26 1.3.2 Multiplicación y división 28 Ejercicio 8. 28 Ejercicio 9. 30 1.4 Operaciones con exponentes y radicales 31 Ejercicio 10. 33 Ejercicio 11. 35 Ejercicio 12 36 Ejercicio 13. 37 Ejercicio 14. 38 Ejercicio 15. 39 Ejercicio 16. 41 Ejercicio 17. 43 Ejercicio 18. 43 Ejercicio 19. 44 Ejercicio 20. 46

BLOQUE II: Transformaciones algebraicas 51 2.1. Productos notables 51

2.1.1. Binomio al cuadrado 51 Ejercicios 25. 52 2.1.2. Binomio al cubo 53 Ejercicios 26. 54


2

2.1.3. Binomios conjugados 55 Ejercicios 27. 56 Ejercicios 28. 57 2.1.4. Binomios con términos común 58 Ejercicios 29. 59 2.1.5. Trinomio al cuadrado 60 Ejercicios 30. 61 2.1.6. Producto especial de un binomio por un trinomio 62 Ejercicios 31. 63

2.2. Factorización 64 2.2.1. Factor común 64 Ejercicios 32. 66 Ejercicios 33. 68 2.2.2. Por agrupación 69 Ejercicios 34. 70 2.2.3. Diferencia de cuadrados perfectos 71 Ejercicios 35. 71 2.2.4. Suma o diferencias de cubos perfectos 72 Ejercicios 36. 73 2.2.5. Trinomio cuadrado perfecto 74 Ejercicios 37. 76 Ejercicios 38. 77 2.2.6. Trinomio de la forma: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 y 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 77

Ejercicios 39. 79 Ejercicios 40. 82 2.3. Operaciones con fracciones algebraicas 84 2.3.1. Simplificación 84 Ejercicios 41. 86 2.3.2. Razones, proporciones y variaciones. 87 Ejercicios 42. 88 Ejercicios 43. 90 Ejercicios 44. 91 Ejercicios 45. 92

Ejercicios 46. 94

BLOQUE III: Ecuaciones 97 3.1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita 98 Ejercicios 47. 98 Ejercicios 48. 100 Ejercicios 49. 101 Ejercicios 50. 102 Ejercicios 51. 104 Ejercicios 52. 105 Ejercicios 53. 106 Ejercicios 54. 108


3

Ejercicios 55. 109 3.2. Aplicación de ecuaciones de primer grado, en la solución de problemas. 109 Ejercicios 56. 109 3.3. Sistemas de ecuaciones de primer grado. 110 3.4. Métodos de solución de sistemas de ecuaciones de primer grado, con dos

incógnitas. 110

3.4.1. Reducción 111 3.4.2. Sustitución 112 3.4.3. Igualación 113 3.4.4. Determinante 114 3.4.5. Gráfico 116 Ejercicios 57. 118 Ejercicios 58. 120 3.5. Resolución de problemas que plantean un sistema de dos ecuaciones

lineales 120

Ejercicios 59. 122 3.6. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 123 3.7. Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado 123 3.7.1. Por factorización 123 3.7.2. Completando trinomio cuadrado perfecto 127 3.7.3. Formula general 131 Ejercicios 60. 131 Ejercicios 61. 133 3.7.4. Gráfico 134 3.8. Problemas que se resuelven aplicando ecuaciones de segundo grado 135 Ejercicios 62. 135 Bibliografía. 48


4

Introducción

El presente manual de Matemáticas I (Álgebra) “Conociendo el lenguaje algebraico”,

responde puntualmente al programa de estudio de la Escuela Preparatoria Diurna “Campus

II”, de la Universidad Autónoma del Carmen con enfoque por competencias. Se encuentra

diseñado para que el estudiante adquiera y desarrolle capacidades (conocimientos,

habilidades, actitudes y valores) que usará y aplicará a lo largo de la vida, propiciando la

construcción del propio aprendizaje.

Este manual fortalece el reconocimiento de las Matemáticas como parte importante de

la vida diaria y como una herramienta para resolver problemas del mundo que nos rodea, con

el uso de distintos procedimientos algebraico para representar relaciones entre magnitudes

constantes y variables para ello, proponemos tres bloques de la metodología constructivista,

que van desde la recuperación de saberes previos como la base de evaluación diagnostica;

texto cuya reflexión de análisis conducen a la construcción de aprendizaje significativos;

actividades de reflexión, participación individual y colectiva de transferencia de lo aprendido;

hasta lograr la elaboración de un producto final que autorregula el propio aprendizaje (aprender

a aprender) que en conjunto integran la evaluación formativa. El enfoque por competencias

permite que los estudiantes desarrollen capacidades para hacer usadas y aplicadas en

contextos específicos, en la resolución de problemas dentro y fuera del contexto escolar para

ello se han diseñados capsulas que coadyuvan de la adquisición de competencias educativas.

Por lo tanto, este manual de Matemáticas I, permite a nuestros compañeros profesor –

facilitador orientar el aprendizaje de los alumnos de manera objetiva y abierta, gestando

condiciones para que el alumno reflexione y haga conciencia de lo que ya sabe, de lo que

ignora y de lo que significan sus vivencias y acciones por medio de actitudes de apertura y

respeto, mostradas en el desempeño, a partir de evidencias de aprendizajes como el

modelamiento y resolución de ejercicios o problemas cotidianos, búsqueda de soluciones con

propuestas creativas, uso y aplicación del software Derive y Matlab y además actividades que

incidan satisfactoriamente tanto en el ámbito académico, como el social y laboral. Dichas


5

evidencias de aprendizaje permiten realizar evaluaciones diagnósticas (monitoreo y

retroalimentación de la actividad del alumno para que el mismo valore sus aciertos y se motive,

identifique sus errores u omisiones y los atienda); aplicar evaluaciones formativas (en el logro

de resultados del estudiante a su ritmo, con la ayuda de sus compañeros en el trabajo

colaborativo), que en conjunto permitan al profesor – facilitador llegar a la evaluación sumativa

en la demostración, uso y aplicación de las competencias logradas.

Estimado estudiante en este momento tienes entre tus manos el Manual de

Matemáticas I “Conociendo el lenguaje algebraico”, que corresponde a la asignatura de

Matemáticas I (Álgebra), el cual está diseñado para que adquieras y desarrolles tus

capacidades del campo disciplinar de las Matemáticas, lo que te permitirá enfrentar diversas

situaciones de la vida diaria y servir como una herramienta para resolver problemas del mundo

que nos rodea y así, como también en cualquier área en que piensas desarrollarte, ya sea en

el plano personal, académico o social que elijas, las Matemáticas estarán presentes, por lo

que su estudio te ayuda a entender mejor los procesos del mundo que nos rodea, permitiendo

desempeñarte (resolver y construir soluciones) en diversas demandas que se producen en el

contexto (entorno cultural y la cotidianidad) y en un momento específico, adquiriendo un

compromiso social y, al mismo tiempo, incidir en tu entorno de manera propositiva y

fundamentada.

Para nosotros, tus profesores de Matemáticas, la elaboración de este manual resultó

apasionante, por lo que esperamos transmitirte este gusto por saber, comprender y vivir tu

contexto social y cultural.


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Objetivo

El Manual de Matemáticas “Conociendo el lenguaje algebraico”, fue elaborado con el

objetivo de lograr en el estudiante, que adquiera y desarrolle capacidades (conocimientos,

habilidades, actitudes y valores) que usará y aplicará a lo largo de la vida, propiciando la

construcción del propio aprendizaje.


7

Todas las actividades de este Cuaderno de Trabajo están diseñadas con el propósito de desarrollar competencias genéricas y disciplinares en el alumno, por ello hemos puesto especial interés en que identifiques fácilmente éstas a lo largo del texto. A continuación se enlistan: 1.- Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2.-Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3.- Elige y practica estilos de vida saludables. 4.- Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6.- Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7.- Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8.- Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9.- Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10.- Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11.- Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3.- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Competencias genéricas

Competencias disciplinares básicas


8

4.- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5.- Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6.- Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7.- Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8.- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

SECUENCIA DIDÁCTICA I

BLOQUE I: Operaciones algebraicas

Propósito de la secuencia didáctica: Aplica las operaciones aritméticas y algebraicas básicas, en la resolución de problemas relacionados con las ciencias experimentales.

CONTENIDOS DE LA SECUENCIA DIDACTICA

DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

1.1 Jerarquía de las operaciones

aritméticas 1.1.1. Suma de enteros 1.1.2. Resta de enteros 1.1.3. Multiplicación y

división de enteros 1.2. Resolución de problemas

con números enteros 1.2.1. Tasas.

1.3. Operaciones con polinomios.

1.3.1. Suma y resta. 1.3.2. Multiplicación y

división. 1.4. Operaciones con

exponentes y radicales.

Ejecuta las operaciones

aritméticas básicas, de acuerdo a

su jerarquía.

Aplica las operaciones

aritméticas básicas, en la solución

de problemas de su entorno.

Valora los resultados obtenidos

en la solución de problemas.

Construye una expresión

algebraica, a partir de una

situación real.

Ejecuta las operaciones

algebraicas básicas, de acuerdo a

su jerarquía.

Aplica las propiedades de los

exponentes, en la simplificación

de expresiones algebraicas y el

desarrollo de productos notables.

Describe los términos indefinidos:

Punto, línea, plano, cuerpo

geométrico.

Es consciente de la importancia, del

uso de las operaciones aritméticas y

algebraicas, como herramientas

básicas en la solución de problemas.

Valora la importancia del

conocimiento de las ecuaciones, para

la solución de problemas de su

entorno.

Valora los resultados obtenidos en la

solución de problemas.


9

Aplica las propiedades de los radicales, en la simplificación de expresiones algebraicas y los casos de factorización.

1.1. Jerarquía de las operaciones aritméticas

Objetivo: El estudiante aprenderá a usar la jerarquía de operaciones y los aplicara en la

resolución de ejercicios propuestos para garantizar el resultado correcto.

La jerarquía de operaciones, indica el orden en el que se deben realizar las operaciones de

suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz, así como los signos de agrupación. De

esta forma se garantiza que se obtendrá el resultado correcto.

Orden de las operaciones

Dada una expresión que involucre diferentes operaciones, se realizan en el siguiente

orden:

1) Potencias y raíces: Si se tiene la potencia o la raíz de una suma o resta, estas

operaciones se resuelven primero.

2) Multiplicaciones y divisiones: Se empieza a resolver de izquierda a derecha.

3) Sumas y restas: También se resuelven de izquierda a derecha.

Ejemplo. Resuelve el s iguiente ejercic io apl icando la jerarquía de

operaciones.

EVALUACION

Evidencia Porcentaje

Manual de prácticas

Participación escrita (cuaderno de trabajo)

Examen escrito.

TOTAL:


10

23 + 10 ÷ 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 ÷ 4 =

23 + 10 ÷ 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16

÷ 4 =

Realizamos en primer lugar las

potencias por tener mayor prioridad.

= 8 + 10 ÷ 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16

÷ 4 =

Seguimos con los productos y

cocientes.

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 = Efectuamos las sumas y restas.

= 26 Resultado.

Ejercicio 1. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la jerarquía de operaciones.

1) 72 ÷ 8 + 3 − 4 × 2 ÷ 4 + 6.

2) 50 + 15 ÷ 5 × 3 − 9 ÷ 3 × 4 + 6 × 4 ÷ 6.

3) 4 × 5 − 3 × 2 + 10 ÷ 5 − 4 ÷ 2.

4) 10 ÷ 5 + 4 − 16 ÷ 8 − 2 + 4 ÷ 4 − 1.


11

5) 6 × 5 × 4 ÷ 20 + 20 ÷ 5 ÷ 4.

6) 6 × 5 + 4 − 8 ÷ 4 × 2 × 3 − 5 + 16 ÷ 4 − 3.

7) 9 + 5 − 4 + 3 − 8 + 5 × 3 − 20 ÷ 4 × 3.

8) 40 ÷ 5 × 5 + 6 ÷ 2 × 3 + 4 − 5 × 2 ÷ 10.


12

Con paréntesis y corchetes

Ejemplo: Resuelve el s iguiente ejercic io que involucra signos de

agrupación, donde también apl icaras jerarquía de operaciones.

[15 − (23 − 10 ÷ 2)] · [5 + (3 ·2 − 4)] − 3 + (8 − 2 · 3) =

[15 − (23 − 10 ÷ 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8

− 2 · 3 ) =

Primero operamos con las

potencias, productos y

cocientes de los paréntesis.

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) = Realizamos las sumas y restas

de los paréntesis.

= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2= En vez de poner corchetes

pondremos paréntesis

directamente:

= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2= Operamos en los paréntesis.

= 12 · 7 − 3 + 2 Multiplicamos.

= 84 − 3 + 2= Restamos y sumamos.


13

= 83 Resultado

Ejercicio 2. Ahora aplica también la jerarquía de operaciones en los ejercicios que

a continuación se te enlistan que incluyen signos de agrupación.

1) 8 ÷ 2 × 5 + (9 − 1) ÷ 8 − 3.

2) 500 − (31 − 6) ÷ 5 − 3 ÷ (4 − 1).

3) 8 + 4 ÷ 2 × 3 − 4 ÷ (2 × 2).

4) (15 − 2)4 + 3(6 ÷ 3) − 18 ÷ (10 − 1).


14

5) 300 ÷ [(15 − 6) ÷ 3 + (18 − 3) ÷ 5].

6) 9[15 ÷ (6 − 1) − (9 − 3) ÷ 2].

7) [15 + (8 − 3)5] ÷ [(8 − 2) ÷ 2 + 7].

8) (9 + 3)5 − 2 ÷ (3 − 2) + 8 × 6 ÷ 4 ÷ 2 + 5.

1.1.1. Suma de enteros


15

Sumar dos números es añadir la cantidad del segundo al primero. En el

caso de los números enteros, hay que tener en cuenta si las cantidades que se

añaden son positivas o negativas.

Ejemplo:

(- 3) + (+ 5) = - 3 + 5 = 2

(+ 2) + (- 4) = + 2 – 4 = - 2 1.1.2. Resta de enteros Para efectuar la resta, basta sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplo:

(+ 5) – (+ 7) = (+ 5) + (- 7) = 5 – 7 = - 2

(+ 7) – (- 6) = + 7 + 6 = 13

1.1.3. Multiplicación y división de enteros En el producto de números enteros se pueden presentar distintas situaciones: a) Si ambos números enteros tienen el mismo signo, para obtener su producto se

multiplica sus valores absolutos y el resultado es un número entero positivo.

Ejemplo:

(- 2) × (- 8) = + 16

(+ 4) × (+ 10) = + 40 b) Si los enteros son de signo contrario, el resultado tiene siempre signo negativo. Ejemplo:

(- 15) × (+ 5) = - 75

(+ 15) × (- 5) = - 75


16

La división con números enteros se efectúan del mismo modo que con los

naturales. En relación con los signos, hay que tener en cuenta las siguientes

normas:

a) Cuando se dividen dos números enteros con el mismo signo, el resultado tiene

un signo positivo.

b) Si los signos de ambos enteros son diferentes, el resultado es negativo. Ejemplo:

(+ 10) ÷ (+ 2) = + 10

+ 2 = + 5

(- 10) ÷ (- 2) = − 10

− 2 = + 5

(+ 30) ÷ (- 15) = + 30

− 15 = - 2

(- 30) ÷ (+ 15) = − 30

+ 15 = - 2

Ejercicio 3. Aplicando la regla de los signos, resuelve los siguientes ejercicios, de

suma, resta, multiplicación y división.

1) (- 12) + (- 5) =

2) (+ 4) + (- 5) =

3) (- 11) + (+ 5) + (+ 9) =

4) (+ 3) + (- 7) + (+ 4) =

5) (+ 5) + (- 1) + (- 2) = 6) (- 11) + [(- 9) + (- 10) + (- 13)] =


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7) (- 2) – (- 3) =

8) (- 8) – (+ 8) =

1.2. Resolución de problemas con números enteros Objetivo. El estudiante utilizará los números enteros para resolver problemas

que enfrenta en su vida cotidiana.

Es importante que el alumno aplique los conocimientos y habilidades que

adquiere en el aula, para que se vaya interesando por aprender Matemáticas; a

continuación ilustraremos algunos ejemplos y ejercicios, que a veces

enfrentamos en nuestro contexto.

Ejemplo.

a) Dos submarinistas descienden 38 metros bajo el nivel del mar para

observar un extraño pez de colores. Después, ascienden 21 metros porque les

parece ver un animal peligroso. Vuelven a sumergirse 42 metros más para

observar con atención los restos de un barco hundido. Finalmente suben 13

metros porque ven otro pez de colores. ¿A cuántos metros bajo el nivel del mar

se encuentran entonces?

Procedimiento: 0 – 38 + 21 – 42 + 13 = 46

Solución: a 46 metros bajo el nivel del mar.

b) En una panadería se hornean 56 barras de pan cada hora y hay 182

barras preparadas para vender. En la tienda entran 84 personas en 3 horas: 25

personas piden 4 barras de pan cada una, 32 personas piden 3, y el resto pide 2.

¿Cuántas barras habrá en el mostrador al cabo de ese tiempo?


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Procedimiento: 25 pnas por 4 barras c/u = 100 barras. 32 pnas por 3 barras c/u = 96 barras. 84 – 57 = 27 pnas por 2 barras c/u = 54 barras. Total: 84 pnas Total: 250 barras.

Se elaboraron 56 por 3 = 168 barras + 182 barras preparadas = 350 barras. Solución: Al cabo de ese tiempo quedaron: 350 barras – 250 barras = 100 barras.

Ejercicio 4. Efectúa los problemas de la vida real aplicando las operaciones de

los números reales.

1) A primera hora de la mañana de un día de invierno, la temperatura es de 8 °C

bajo cero. Al cabo de 5 horas, ha subido 9 grados. Al caer la tarde, vuelve a

descender 3 grados más. ¿Cuál es la temperatura en grados centígrados en ese

momento?

2) En una excursión, tres personas parten de un pueblo que se encuentra a 342

metros sobre el nivel del mar. Suben a una montaña que está a 328 metros por

encima del pueblo. Después bajan por un valle 445 metros, donde descansan y

toman el almuerzo. Luego, suben 766 metros más, y finalmente pasan la noche

en un refugio, después de descender 188 metros. ¿A qué altura sobre el nivel del

mar se encuentran los excursionistas, expresada en metros?

3) Un hombre pide un préstamo al banco por valor de 452 u. m. Devuelve 231 u.

m., pero al mes siguiente vuelve a necesitar más dinero, por lo que le dan esta


19

vez 822 u. m. Al siguiente mes retorna a la entidad crediticia 256 u. m. y al otro

reintegra 311. ¿Cuánto dinero le queda por devolver en u. m., suponiendo que el

banco no cobra intereses?

4) Silvestre tiene 60 caramelos y quiere repartir la mitad de ellos entre 5 personas.

De la mitad restante, quiere dar una tercera parte a su mejor amigo y el resto se

los quiere quedar él.

a) ¿Cuántos caramelos se queda Silvestre?

b) ¿Cuántos caramelos se queda su amigo?

c) ¿Cuántos caramelos reciben las otras 5 personas?

5) Se ha pronosticado un tiempo muy variable para el día de hoy. A primera hora

de la mañana hará mucho calor y la temperatura será de 31 °C. Al cabo de varias

horas, la temperatura descenderá 13 grados y a mediodía descenderá 5 grados

más. A media tarde ascenderá 3 grados y por la noche caerá 19 grados

centígrados. ¿Qué temperatura se alcanzará por la noche?


20

1.2.1. Tasas. Cuando se comparan dos cantidades con distintas unidades, a la

comparación la llamamos tasa y se puede escribir como fracción.

De gran valor estadístico, en economía se utilizan tasas para medir la

población activa de una región y otras características importantes. También se

usan de forma habitual en demografía, ciencia que estudia la evolución y

distribución de las poblaciones. Las tasas demográficas miden, por ejemplo, el

número de nacimientos, de muertes, de inmigrantes y de emigrantes durante un

periodo de tiempo determinado, respecto de una población concreta, y permiten

establecer comparaciones significativas. Sin embargo también se utiliza en el

análisis de comportamientos como lo son los educativos y financieros y muchos

otros más.

Ejemplo. Resuelve el siguiente ejercicio de tasa. Pedro gana $ 120 por trabajar 6 horas en una librería. Encuentra su tasa

de pago por hora.

Planteamiento: 120 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠

6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Se entiende: Compara la cantidad de dinero ganada con el número de

horas trabajadas.

Conclusión: Para encontrar la tasa de pago por 1 hora de trabajo, se

divide


21

120 entre 6.

Ejercicio 5. Aplica tus conocimientos dándole solución a problemas que surgen

como necesidad para llevar un control en la sociedad.

1) La población de la República Mexicana pasó de 25 millones de habitantes

(en cifras redondeadas) en 1950 a 69 millones en 1980 (cifras

redondeadas).

a) ¿Cuál fue la variación absoluta de la población en ese periodo de

tiempo?

Formula: 𝑉𝐴𝑃 = 𝑃𝐹 − 𝑃𝐼

VAP (Variación absoluta de la

población).

PI (Población inicial).

PF (Población final).

b) ¿Cuál fue la tasa de crecimiento poblacional?

Formula

𝑇𝐶𝑃 =𝑉𝐴𝑃

𝑃𝐼× 100%

TCP (Tasa de crecimiento poblacional).

2) El índice de precios al consumidor es el cociente entre la variación del costo

de la canasta básica, tomando el costo de la misma en un periodo

determinado como base de comparación y cuyo resultado se multiplica por

100 %.

Tomando como base el año de 1990 en el que el costo de la canasta básica fue de $38 378, ¿cuál fue el IPC (índice de precios al consumidor) en 1991 y en 1992 en los que los costos de la canasta básica fueron, respectivamente, $55 755 y $62 500?


22

Formula

𝐼𝑃𝐶 =𝐶𝐹 − 𝐶𝐼

𝐶𝐼× 100%

IPC (Índice de precios al consumidor).

CF (Costo final).

CI (Costo inicial).

3) ¿Cuál es la densidad escolar (relación de alumnos por maestros) para una

escuela preparatoria en la que hay 5 340 alumnos y 263 maestros?

Formula.

𝐷𝐸𝑆𝐶 =𝑁𝐴

𝑁𝑀

𝐷𝐸𝑆𝐶 (𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟).

NA (Número de alumnos).

NM (Número de maestros).

4) ¿Cuál es la densidad de población del Distrito Federal que cuenta con una

población de 8 335 000 habitantes (cifra redondeada) distribuidas en 1 499

km2?

Formula.

𝐷𝑃𝑂𝐵. =𝑁𝐻

𝐸𝑋𝑇. 𝑇.

𝐷𝑃𝑂𝐵. (𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙)

NH (número de habitantes).

EXT. T. (Extensión territorial)

5) El volumen que ocupan 3.500 kg de plomo es de 308.91 cm3. ¿Cuál es la

densidad del plomo?

Formula.

𝐷𝑃𝐿𝑂𝑀𝑂. =𝑃𝐸𝑆𝑂

𝑉𝑂𝐿Ú𝑀𝐸𝑁

𝐷𝑃𝐿𝑂𝑀𝑂. (𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑙𝑜𝑚𝑜).

6) Una población tiene de media, durante un año, 145 638 habitantes. A partir

de los datos que se encuentran en la tabla, calcular:

Tabla


23

a) La tasa bruta de natalidad (TBN).

Formula.

𝑇𝐵𝑁 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎× 1000

b) La tasa de fecundidad general (TFG).

Formula.

𝑇𝐹𝐺 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 15 𝑦 44 𝑎ñ𝑜𝑠× 1000

c) La tasa de fecundidad específica por edad (TFEE).

Formula.

𝑇𝐹𝐸𝐸 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑑𝑎𝑑× 1000

d) La tasa de fecundidad total (TFT).

Formula: La TFT es igual a la multiplicación por 5 a TFEE por grupo de edad.

Al finalizar esta operación los resultados se suman, resultando la tasa de

fecundidad total de la población estudiada.

1.3. Operaciones con polinomios.

Edad Número

de mujeres

Número de hijos

15-19 3441 24

20-24 4640 112

25-29 3512 273

30-34 3631 745

35-39 2981 253

40-44 3015 9


24

Objetivo. El estudiante aplicará conocimientos de números enteros y las

operaciones que con ellas se realizan incluyendo las reglas de los signos en

operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

Un polinomio es cualquier expresión algebraica constituida por un conjunto

finito de términos, en cada uno de los cuales aparecen números y letras

relacionadas solamente mediante productos y potencias de exponentes que son

números naturales.

Ejemplo.

𝑥2 − 7𝑥 + 6; 3𝑥2𝑦 − 5𝑎𝑏6 + 7𝑛4; 6𝑎𝑏2 − 15𝑎𝑏4 − 6𝑎𝑏5

En cambio, las expresiones 7𝑎 − 𝑥1

2⁄ y 16𝑥−3 + 4 no son polinomios,

porque contienen exponentes que no son números naturales.

1.3.1. Suma y resta.

Para llevar a cabo la suma de polinomios es necesario identificar los

términos semejantes, es decir, los términos que tengan las mismas variables con

iguales exponentes, para así poder sumar dichos términos.

Ejemplo. Efectúa la suma de los polinomios indicados.

4𝑥3 − 8 + 6𝑥2 − 𝑥4 − 9𝑥; 2𝑥 − 4𝑥2 − 5 + 𝑥3 − 𝑥4; −5𝑥3 − 2𝑥4 + 19 + 3𝑥

− 𝑥2

Se ordenan tomando en cuenta la parte literal y el exponente que tienen;

ya ordenaditos se reduce términos semejantes.

Esta es el resultado de la suma.

−𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2 − 9𝑥 − 8

-𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 − 5

-2𝑥4 − 5𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 + 19 __________________________

-4𝑥4 + 𝑥2 − 4𝑥 + 6


25

Ejercicio 6. Resuelve las siguientes sumas y restas de polinomios poniendo en

práctica los conocimientos y habilidades obtenidas con las operaciones de

números enteros.

1) 3𝑥2 − 8𝑥4 + 6 − 5𝑥

5𝑥3 − 6𝑥4 + 2𝑥2

2) 𝑥4 − 5𝑥 + 1 − 8𝑥2 + 6𝑥3

𝑥4 + 𝑥5 + 6𝑥3 − 8𝑥2 − 5𝑥 + 1

−8𝑥4 + 3𝑥3 − 8𝑥2 − 𝑥 − 3

3) (𝑥3 − 6𝑥 − 8 + 3𝑥2) + (2𝑥 − 5 + 6𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥)

4) (3𝑥 − 6 + 2𝑥2 + 𝑦) + (3 − 5𝑦 + 4𝑥 − 𝑥2) 5) (2𝑥 + 3𝑦 − 1) + (6 − 2𝑥) + (5𝑥 − 1 + 𝑦) + (4 − 𝑦)

6) 𝑥3 − 8𝑥 + 3 − (𝑥2 + 3𝑥 − 8𝑥3)

+

+


26

7) 𝑥3 − 3𝑥 − 6 + 𝑥2 − (3𝑥 − 8𝑥2 − 1 + 3𝑥3)

8) 2𝑎𝑏2 − 6𝑎𝑏 − 3𝑎 + 9𝑏 − 4 − (5𝑎𝑏 − 7 + 8𝑎 − 9𝑎𝑏2 − 5𝑎2𝑏2) Combinación de operaciones de suma y resta de polinomios. Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios. 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo. 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del

sustraendo, según el caso.

4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del

minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna.

5. Se efectúa la suma indicada. Ejemplo.

1. De restar la suma de con Solucion:

Sea

a2 ab+ b2 a2 - 5b2


27

: minuendo

y : sustraendo Efectuemos la suma de los polinomios del sustraendo:

ab+ b2

a2 - 5b2

____________

a2 + ab- 4b2

se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y los términos semejantes compartiendo columnas y se restan los términos semejantes:

a2

-a2 - ab+ b2

____________

-ab+ 4b2

Ejercicio 7. Efectúa las siguientes combinaciones de operaciones de polinomios

aplicando los conocimientos del tema y ejemplo anterior.

1) 2) =

3) 4) =

a2

ab+ b2 a2 - 5b2

xyyyxyxxy 453693 zxxz 9528128

356756 cdadca uttwwu 977929


28

5)

6)

7)

8) ( 3x + 2y ) ─ (─ 3z + x ─ y) + (2y + z + 3y)

11723107859473 232323 yyyyyyyyy

bababababa 106475332

xyzzzyzyx 53


29

1.3.2. Multiplicación y división. Para resolver multiplicación de polinomios se utiliza además de las

operaciones básicas de la Aritmética, las leyes de los exponentes

(principalmente cuando multiplicas potencia de una misma base, los exponentes

se suman).

Ejemplo. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) (3𝑥2𝑦)(7𝑥𝑦4) = 𝟐𝟏𝒙𝟑𝒚𝟓 .

b) 3𝑥2(2𝑥3 − 7𝑥2 − 𝑥 + 6) = 𝟔𝒙𝟓 − 𝟐𝟏𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟖𝒙𝟐.

c) (3𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 3𝑦) = 3𝑥(𝑥 − 3𝑦) − 𝑦(𝑥 − 3𝑦) = 3𝑥2 − 9𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 3𝑦2 =

𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐

Ejercicio 8. Resuelve la siguiente multiplicación.

1) 3(3𝑎 + 𝑏)

2) −3𝑚(3𝑚2 + 5𝑛2)

3) (𝑥 + 𝑦)(3 + 𝑧)

4) (−4𝑎 + 5)(2𝑎 − 2)


30

5) (𝑥 + 5)(−4𝑥 + 𝑦 − 3)

6) −4𝑥3(𝑥 + 5𝑥2 + 6𝑥3)

7) (3𝑚𝑛2 + 1)(2𝑚 − 5𝑛2)

8) (−3𝑎2 + 5)(3𝑎 − 2𝑎2 + 2)

Para resolver división de polinomios se utiliza además de las operaciones

básicas de la Aritmética, las leyes de los exponentes (principalmente cuando

divides potencia de una misma base, los exponentes se restan).

Ejemplo. Resuelve las siguientes divisiones.

a) 15𝑥4

−3𝑥= (

15

−3) 𝑥4−1 = −5𝑥3.

b) 15𝑥3−12𝑥2+6𝑥

−3𝑥=

15𝑥3

−3𝑥−

12𝑥2

−3𝑥+

6𝑥

−3𝑥= −5𝑥2 + 4𝑥 − 2


31

Ejercicio 9. Resuelve la siguiente división aplicando el ejemplo anterior.

1) 𝑎2𝑏3𝑐+𝑎𝑏2

𝑎𝑏=

2) 𝑚2𝑛−2𝑚2𝑛2+6𝑚

−𝑚 =

3) −4ℎ𝑖3−ℎ𝑖−2ℎ3

−2ℎ𝑖

4) −1−3𝑎𝑏+6𝑎𝑏3

−1

5) 2𝑎𝑚−6𝑎𝑛2+4𝑎𝑏𝑚𝑛−2𝑎𝑏

−𝑎

6) 7𝑥 − 3√14𝑥2 + 22𝑥 − 12


32

7) 2𝑥 + 3√2𝑥4 − 𝑥3 + 7𝑥 − 3

8) 2𝑥 − 3√2𝑥2 − 13𝑥 + 15

1.4. Operaciones con exponentes y radicales. Objetivo: El estudiante aplicará las propiedades de la ley de los exponentes y

radicales para resolver ejercicios y problemas de la vida cotidiana.

Aplicaciones de la ley de los exponentes en la vida cotidiana. Como la potencia equivale a una serie de multiplicaciones, sus propiedades

derivan de las de la multiplicación, aunque conviene señalar que presenta algunas

características propias.

Ejemplo. Aplicación de la ley de los exponentes en la resolución de ejercicios. a) Cinco niños tiene 5 cajas y en cada caja hay 5 sobres. ¿Cuántos

sobres tienen en total los 5 niños? Escribe la solución en forma de potencia.


33

5 × 5 × 5 = 53 sobres. b) Un cartero recorre 15 barrios. En cada barrio hay 15 calles y cada calle

tiene 15 edificios. En cada edificio hay 5 pisos y en cada piso viven 3 familias.

Cada familia está compuesta por 3 personas y cada persona recibe 5 cartas.

¿Cuántas cartas reparte el cartero? Dar el resultado como una sola potencia.

15 × 15 × 15 × 5 × 3 × 3 × 5 =

15 × 15 × 15 × 15 × 15 = 155 cartas

Leyes de los exponentes. Una potencia es el resultado de tomar un número como factor único de un

producto una cantidad determinada de veces. El número de veces que se repite

la multiplicación se escribe como superíndice, de la siguiente manera:

5 × 5 = 𝟓𝟐 = 5 × 5

Las potencias están formadas por una base y un exponente: la base (5)

es el número que se toma como factor único, y el exponente (2) indica la

cantidad de veces que debe multiplicarse.

Potencias sucesivas de un número.

a) Un número elevado al exponente cero es siempre igual a 1.

Ejemplo.

80 = 1, 110 = 1, 760 = 1 y n0 = 1

b) Un número elevado al exponente 1 es siempre igual a sí mismo.

Ejemplo.


34

51 = 5, 161 = 16 y n1 = n

Ejercicio 10. En base a los ejemplos anteriores desarrolla tu competencia

aplicando las leyes de los exponentes.

1) =

2)

3)

4)

5) =

Propiedad distributiva. La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación y de la división.

Si se desarrolla:

(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛 Ejemplo.

(3 ∙ 5) 2 = 3 2 ∙ 5 2 = 9 ∙ 25 = 225 = 15 2.

000523 00

75 yx

000)( baba

12

0

2 18

73 xx

00

0

0000 35

4

123354


35

b) (𝑎

𝑏)

𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛

Ejemplo.

(3

5)

2

=32

52

Es importante tener presente que la potenciación no es distributiva respecto

de la suma y que tampoco lo es de la resta.

Regla de los signos.

El signo de una potencia de base positiva es siempre positivo. Si la base

es negativa, puede darse dos casos distintos: si la potencia es de exponente par,

el resultado es positivo, mientras que si el exponente es impar, el resultado es

negativo. Ello no es más que una consecuencia de aplicar a las potencias la regla

de los signos para el producto.

Ejemplo.

32 = 3 × 3 = 9 y 33 = 3 × 3 × 3 = 27

(-3) 2 = (- 3) × (- 3) = 9 y (- 3)3 = (- 3) × (- 3) × (- 3) = - 27

a) Producto de potencias de igual base. 𝒙𝒎 𝒙𝒏 = 𝒙𝒎+𝒏: (𝒂

𝒃)

𝒎

(𝒂

𝒃)

𝒏

= (𝒂

𝒃)

𝒎+𝒏

Se conserva la misma base y cuyo exponente es la suma de

los exponentes. Considera los s iguientes cr i ter ios:

1) Misma incógnita se suman los exponentes

mmm aaa 2


36

2) Incógnita y número no se pueden sumar, se indica la

suma

3) Diferente incógnita no se pueden sumar, se indica la suma Ejemplo.

32 ∙ 33 = 32+3 = 35

Ejercicio 11. Con las leyes de los exponentes antes en listadas pon en práctica tu

competencia.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) 53 · 54

9) 10) 25 · 24 · 2

b) Producto de potencias de diferente base y exponente:

Ejemplo.

22 mm aaa

nmnm aaa

9

972

3

2

3

2

3

2

53 yy 3yy x

xx yy 42 53 2 2

322 x xx 42 22

32

33

mm aa

nmnm baba


37

c) Productos de potencias de diferente base e igual exponente:

Ejemplo.

23 · 43 = 83

Ejercicio12. Resuelve estas operaciones de potencia donde estarás desarrollando

competencias.

1) 2)

3) -2a( )4 x

3b( )4 x

= 4) a

a+b( ) ×ba+b( ) ==

5) 3

4

æ

èçö

ø÷

2

-2

3

æ

èçö

ø÷

2

d) Potencia de una potencia. (𝒙𝒎)𝒏 = 𝒙𝒎𝒏

Los exponentes se multiplican para elevar una potencia a otra potencia.

Ejemplo.

(52)3 = 52×3 = 56; ((3

5)

2

)5

= (3

5)

10=

310

510

Toma en cuenta las siguientes consideraciones.

5252 baba 5252 3232

nnn baba

333 abba 225153535 2222

aa43

xx

5

6

3

1


38

1) Como los exponentes son numéricos se pueden

multiplicar.

2) Como los exponentes son diferentes incógnitas se

expresa la multiplicación.

3) Como los exponentes son diferentes (numero e

incógnita) se expresa la multiplicación.

4) Se multiplican los exponentes.

5) Como los exponentes son de diferente signo el

resultado es negativo.

6) (𝑎−2)−3 = 𝑎6 Como los exponentes son de igual signo el resultado

es positivo.

Ejercicio 13. Apl ica la ley de potencia de una potencia, para que desarrol les

nuevas competencias .

1) (53)4 =

2) (5 · 2 · 3)4 = 3) (34)4 =

4) (82)3=

5) = 6) =

7) [(53)4 ]2 = 8) [(23 )4]0= 9) =

102525 aaa

mnnm aa

xxaa 22

xxa

2xa

632 )( aa

32)2( ba

52)(

xa

232p


39

e) Cociente entre potencias de igual base. 𝒙𝒎

𝒙𝒏= 𝒙𝒎−𝒏;

Ejemplo.

56 ÷ 52 =56

52= 56−2 = 54, ,

f) Cociente entre potencias de diferente base e igual exponente.

Ejercicio 14. Resuelve y expresa tu resultado con exponentes positivos tomando como base

los ejemplos anteriores.

1) 57 ÷ 53 =

2) 27 ÷ 26 =

3) 65x ÷ 63x =

4) =

5)

6)

7) =

8) =

g) Todo número con exponente negativo se puede convertir a exponente positivo.

10616

6

16

xxx

x

1055

5

5

xxx

x

n

nn

nnn

b

a

b

ababa

:: 82

5

105:105:10 3

3

333

66 816

4

5

2

2 7

4

5

5

1

12

n

n

x

x a

a

m

m3


40

𝑥−𝑛 =1

𝑥𝑛

Ejemplo:

2 – 3 = 1

23 , x – 5 = 1

𝑥5 , 3x – 4 = 3

𝑥4 y 5 4 a – 8 = 54

𝑎8

Casos de potencias con exponente negativo. 1) Cuando la base es un número entero: el número se convierte en fracción.

Ejemplo.

2) Cuando la base es una fracción: le damos la vuelta a la fracción; es decir, el numerador

pasa ser el denominador y el denominador se convierte en numerador.

Ejemplo.

Ejercicio 15. Continúa desarrollando competencias realizando estos ejercicios

1) 2-2 + 2-3 =

2) a-1 · a =

3) = 4) 30 + 3-1 – 3-2 + 3-3 =

3

13

1

9

1

3

1

3

13

2

2

2

n

nnn

a

b

a

b

b

a

32

243

2

3

2

3

3

25

555

a

b

b

a

1

2

3

3

21

22)2(


41

5) (2x -33y -2z -5 ) -1 = 6) (2x + 3y)-1 =

7) (2 x-1+ 3 y-1)-1 =

8) (2 + )-2 =

9) (-2)-2 – (-3)-1 =

10) (2

3)

2

(2

3)

3=

Potencias de base positiva o negativa.

Para determinar el signo de una potencia de base negat iva tendremos en

cuenta que:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

(𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 +)𝑷𝒂𝒓 = 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 +. (𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 −)𝑷𝒂𝒓 = 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 +.

Ejemplo.

(+2)6=64 (−2)4 = 16

4

3

25

4

5

2

5

2

5

22

25

4

5

2

5

2

5

22


42

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

(𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 +)𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 = 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 +. (𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 −)𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 = 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 −.

Ejemplo.

(+2)6=64 (−2)4 = 16

23= 8 (−2)3= − 8

Importante:

Cuando hay un signo negativo delante de la potencia

Ejercicio 16. Pon en práctica tus habilidades con una actitud positiva resolviendo los

siguientes ejercicios.

1) = 2) 2-2 + 2-3 =

3) 4) – 32 – (24 – 52) =

5) (b-2)-4 = 6) (-2)3 – ( -3)3 = 7) (-1)2 - (-1)3 - (-1)4 = 8) (-3)1 + (-2)2 + (-2)3 + (-2)4 – (-2)5 =

27

1

3

1

3

13

33

27

1

3

1

3

13

33

93332

225)5(

3223)()( xx


43

h) Todo número que tenga exponente fraccionario se puede expresar en forma de

radical.

𝑥1

𝑛 = √𝑥𝑛

y 𝑥𝑚

𝑛 = √𝑥𝑚𝑛

Ejemplo.

𝑥1

3 = √𝑥3

y 𝑥3

4 = √𝑥34

Operaciones con radicales. Existe un tipo de problemas que exige la realización de cálculos inversos a la

potenciación. Por ejemplo, el valor del lado (𝑙) de un cuadrado de área 16 es un número (𝑙) tal

que 𝑙2 = 16;es decir, 4. Se dice entonces que 4 es la raíz cuadrada de 16, porque es un

número cuyo cuadrado vale 16, y se escribe del siguiente modo:

4 = √16 Aplicaciones de la ley de los radicales en la vida cotidiana. Ejemplo. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la ley de los radicales. a) Un padre tiene 2 hijos; la suma de los cuadrados de sus edades es 185, y el cuadrado

de la edad del hijo menor es 64. ¿Cuántos años tiene el hijo mayor?

Procedimiento: 185 – 64 = 121 resulta la edad del hijo mayor al cuadrado.

Solución: Se extrae raíz cuadrada a 121, resultado 11 que es la edad del hijo mayor.

b) Los cuadrados de dos números consecutivos difieren en 11. Calcular el valor de estos

números.

Procedimiento:

(𝑥 + 1)2 − 𝑥2 = 11, resolviendo: 𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 𝑥2 = 11,

Reduciendo términos semejantes: 2𝑥 + 1 = 11,

Transportando términos: 2𝑥 = 11 − 1,

Reduciendo términos: 2𝑥 = 10


44

Solución: El primer número es 5, por lo que el número consecutivo a 5 es el 6. Los dos

números consecutivos que se buscan son, pues, 5 y 6.

Leyes de los radicales

1) 𝑥1

𝑛 = √𝑥𝑛

2) 𝑥𝑚

𝑛 = √𝑥𝑚𝑛

3) √𝑥

𝑛 √𝑥

𝑚= 𝑥

1

𝑛𝑥1

𝑚 = 𝑥1

𝑛+

1

𝑚

4) √𝑎𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

√𝑏𝑛

5) √

𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 6) √ √𝑎

𝑚𝑝

= √𝑎𝑚𝑝

Ejercicio 17. En equipo simplifica los siguientes radicales, verificando resultados con los

integrantes de tú equipo.

1)

2) 3)

4)

5) 6)

7)

8) 9)

Operaciones con radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales

semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando

bx8 bx 2 4 38 yx

4 3124 cba ba332 zyx 64

3 131245 yx 973442 cbaa8382 ya


45

Ejercicio 18. Con una actitud positiva, generando conocimientos y desarrollando habilidades,

resuelve las siguientes sumas y restas de radicales.

1) =

2) =

3) =

4) =

5) =

6) =

7) =

8) =

Producto de radicales

Para multiplicar radicales con el mismo índice se mult ip l ican los radicandos y

se deja e l mismo índice

252 552554

33

2335 xxx

4

3

2

1

22523

2 252

3

2

22

1352332 5051832


46

Ejemplo. Resuelve esta mult ip l icación de radicales:

Ejercicio 19. Desarrolla tu competencia realizando la Multiplicación de los siguientes radicales

indicados.

1) =

2) =

3) =

4) =

5) =

6) =

32215 217

214

2

1

33 5012156

5 3 673 43 34 42

4

1

3

2yxxyyx

5 45 2 164

34

3

2nmm

)32(2


47

7) =

8) =

Racionalización. Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo

denominador sea irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional.

Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo

radical del denominador.

Ejemplo.

a) Racionaliza el denominador de 3

√2𝑥.

3

√2𝑥×

√2𝑥

√2𝑥=

3√2𝑥

√4𝑥2=

𝟑√𝟐𝒙

𝟐𝒙

b) Racionalizar el denominador de 4−√2

2+5√2 .

4 − √2

2 + 5√2=

4 − √2

2 + 5√2×

2 − 5√2

2 − 5√2=

4(2 − 5√2) − √2(2 − 5√2)

(2)2 − (5√2)2 =

8 − 20√2 − 2√2 + 5√4

4 − 25 × 2=

8 − 22√2 + 5 × 2

4 − 50=

8 − 22√2 + 10

−46=

18 − 22√2

−46=

18

−46−

22√2

−46= −

9

23+

11√2

23=

−𝟗 + 𝟏𝟏√𝟐

𝟐𝟑

)( baab


48

Ejercicio 20. Resuelve las siguientes operaciones de radicales para obtener más

conocimientos y dominio sobre este tema.

1) =

2) =

3) =

4)

5)

6) 3−√2

1+√2 =

7) 5+2√3

4−√3 =

8) √2−√5

√2+√5 =

b

ba

xy

yx

2

64

2

185

3

84122


49

FUENTES DE INFORMACIÓN

Básicas:

González, C., Oliver, J.E, Zarazua, F., y Cantarell, D. (2015). Manual de Matemáticas I.

González, C., Oliver, J.E, Zarazua, F., y Cantarell, D. (2015). Cuaderno de trabajo Matemáticas I.

Ibañez, P. y García, G. (2009). Matemáticas I con enfoque en competencias (aritmética y álgebra).

D.F. México: Editorial CENGAGE Learning.

Basurto, E. y Castillo, G. (2010). Matemáticas I (apegado a la RIEMS).D.F. México: Editorial

Pearson, Prentice Hall.

Allen, A. (2007). Álgebra Elemental (sexta edición). México: Editorial Pearson, Prentice Hall.

Complementarias:

Peraza, J. y Pinzón, J. (2000). Matemáticas I (Álgebra). México: Editorial McGraw-Hill.

Bello, I. (2004). Álgebra. D.F. México: Editorial Thompson.

Rees, P. y Sparks, F. (1997). Álgebra. Mexico: Editorial McGraw Hill.

Web:

Ministerio de Educación Cultura y Deporte (2011). Descartes. Recuperado de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/aplicaciones.php?bloque=1

Educación Media. Sector Matemática. (2014). Recuperado de http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm


50


51

SECUENCIA DIDÁCTICA II

BLOQUE II: Transformaciones algebraicas

Propósito de la secuencia didáctica: Emplea reglas establecidas para el desarrollo de productos

notables y factorización

CONTENIDOS DE LA SECUENCIA DIDACTICA

Declarativos Procedimental Actitudinal

2.1. Productos notables.

2.1.1. Binomio al cuadrado.

2.1.2. Binomio al cubo. 2.1.3. Binomios

conjugados. 2.1.4. Binomios con

término común. 2.1.5. Trinomio al

cuadrado. 2.1.6. Producto especial de

un binomio por un trinomio.

Construye una

expresión

algebraica, a partir

de una situación

real.

Aplica las

propiedades de los

exponentes, en la

simplificación de

expresiones

algebraicas y el

Es consciente de la importancia, del

uso de las operaciones aritméticas y

algebraicas, como herramientas

básicas en la solución de problemas.






52

2.1. Factorización. 2.1.1. Factor común. 2.1.2. Por agrupación. 2.1.3. Diferencia de

cuadrados perfectos. 2.1.4. Suma o diferencias

de cubos perfectos. 2.1.5. Trinomio cuadrado

perfecto. 2.1.6. Trinomio de la

forma: x2 + bx + c y ax2 + bx + c.

2.2. Operaciones con fracciones algebraicas.

2.2.1. Simplificación de fracciones algebraicas.

desarrollo de

productos notables.

Aplica las

propiedades de los

radicales, en la

simplificación de

expresiones

algebraicas y los

casos de

factorización.

Valora la importancia de la

factorización en la solución de

ecuaciones cuadráticas.

Valora el trabajo colaborativo.

Presta atención a las explicaciones

del profesor, dentro y fuera del salón

de clases.

Actúa de manera positiva para

realizar las actividades planteadas en

el programa de curso.

Participa de manera activa en clase,

realizando sus ejercicios,

preguntando, exponiendo.

2.1. Productos notables.

Objetivo. El estudiante aprenderá a resolver productos notables aplicando reglas propias del

producto notable, así como también la aplicación de las leyes de los exponentes.

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos

pasos conducen al resultado.

Sin embargo, existen productos que responden a una regla cuya aplicación lleva al

resultado más fácilmente; estos reciben el nombre de productos notables.

Algunos de ellos son los siguientes

2.1.1. Binomio al cuadrado.

EVALUACION




Examen escrito.

TOTAL:


53

La expresión algebraica que consta de dos términos se llama binomio y, al multiplicarse por

sí misma, recibe el nombre de Binomio al cuadrado

Ejemplo:

Resuelve el siguiente binomio al cuadrado: (2𝑥 − 𝑦3)2

Resolviendo: primera forma (Resolviendo la multiplicación).

Segunda forma (Aplicando la regla).

El producto de un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más

o menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo

término.

(2𝑥 − 𝑦3)2 = (2𝑥)2 − 2(2𝑥)(𝑦3) + (𝑦3)2 = 4𝑥2 − 4𝑥𝑦3 + 𝑦6

Tercera forma (Multiplicando uno a uno).

(2𝑥 − 𝑦3)2 = (2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 − 𝑦3) = 2𝑥(2𝑥 − 𝑦3) − 𝑦3(2𝑥 − 𝑦3) =

2x - 𝑦3

Por 2x - 𝑦3 ______

4𝑥2 − 2𝑥𝑦3

− 2𝑥𝑦3 + 𝑦6 ________________ 4𝑥2 - 4x𝑦3 + 𝑦6


54

4𝑥2 − 2𝑥𝑦3 − 2𝑥𝑦3 + 𝑦6 = 4𝑥2 − 4𝑥𝑦3 + 𝑦6

Ejercicio 25. Aplicando conocimientos y habilidades en la multiplicación, leyes de los

exponentes y radicales y reducción de términos semejantes resuelve los siguientes binomios

al cuadrado.

1) (5x +7)2 =

2) =

3) =

4) =

5) = 6) =

2.1.2. Binomio al cubo.

La expresión algebraica que consta de dos términos se llama binomio y, al

multiplicarse por sí misma tres veces, recibe el nombre de Binomio al cubo.

Ejemplo:

Resuelve el siguiente binomio al cubo: (2𝑥 − 𝑦3)3


233 yx

2

3

22

x

2

32

5

x

253 25 a


55


El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto

del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por

el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término.

(2𝑥 − 𝑦3)3 = (2𝑥)3 − 3(2𝑥)2(𝑦3) + 3(2𝑥)(𝑦3)2 − (𝑦3)3 =

8𝑥3 − 3(4𝑥2)(𝑦3) + 3(2𝑥)(𝑦6) − 𝑦9 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝟔𝒙𝒚𝟔 − 𝒚𝟗


(2𝑥 − 𝑦3)3 = (2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 − 𝑦3) =

(2𝑥 − 𝑦3)[(2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 − 𝑦3)] = (2𝑥 − 𝑦3)[2𝑥(2𝑥 − 𝑦3) − 𝑦3(2𝑥 − 𝑦3)]

= (2𝑥 − 𝑦3)[4𝑥2 − 2𝑥𝑦3 − 2𝑥𝑦3 + 𝑦6] = (2𝑥 − 𝑦3)(4𝑥2 − 4𝑥𝑦3 + 𝑦6) =

2𝑥(4𝑥2 − 4𝑥𝑦3 + 𝑦6) − 𝑦3(4𝑥2 − 4𝑥𝑦3 + 𝑦6) =

8𝑥3 − 8𝑥2𝑦3 + 2𝑥𝑦6 − 4𝑥2𝑦3 + 4𝑥𝑦6 − 𝑦9 =

𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝟔𝒙𝒚𝟔 − 𝒚𝟗



al cubo.

4𝑥2 − 4𝑥𝑦3 + 𝑦6 Por 2x - 𝑦3 _____________________

8𝑥3 − 8𝑥2𝑦3 + 2𝑥𝑦6

- 4𝑥2𝑦3 + 4𝑥𝑦6 − 𝑦9 _________________________

8𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝟔𝒙𝒚𝟔 − 𝒚𝟗

2x - 𝑦3

Por 2x - 𝑦3 ______

4𝑥2 − 2𝑥𝑦3

− 2𝑥𝑦3 + 𝑦6 ________________ 4𝑥2 - 4x𝑦3 + 𝑦6


56

1) ( 2x + 4y )3 =

2) ( a2 − 3b3 )3 =

3) =

4) =

5) =

6) =

2.1.3. Binomios conjugados o suma por diferencia

El binomio conjugado es el producto de la suma de un binomio por su diferencia.

Ejemplo.

Resuelve el siguiente binomio conjugado: (2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 + 𝑦3)

32 xba 3

2

b

a

3

32

ba

32 aa x


57



Binomio conjugado es igual a: Al cuadrado del primer término menos el cuadrado

del segundo término.

(2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 + 𝑦3) = (2𝑥)2 − (𝑦3)2 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝒚𝟔

Tercera forma (Multiplicando uno a uno)

(2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 + 𝑦3) = 2𝑥(2𝑥 + 𝑦3) − 𝑦3(2𝑥 + 𝑦3) =

4𝑥2 + 2𝑥𝑦3 − 2𝑥𝑦3 − 𝑦6 =

𝟒𝒙𝟐 − 𝒚𝟔



conjugados.

1) (4a +7y3) (4a -7y3) =

2)

yxyx 4

5

34

5

3

2x - 𝑦3

Por 2x + 𝑦3 ______

4𝑥2 − 2𝑥𝑦3

+ 2𝑥𝑦3 - 𝑦6 ________________

4𝑥2 − 𝑦6


58

3)

4)

5) =

6) =

7) =

8) =

Binomios conjugados (especial)

Ejemplo

= = =

4

3

4

3xx

7373 22 kk

nmnm axax 3131

nmnm yxyx 2424 44 xx

cbacba ]][[ cbacba 22cba 222 2 cbaba


59



conjugado especial.

1) =

2) =

3) =

4) =

5) =

6) (m – n – 1)(m – n + 1) =

2.1.4. Binomios con término común.

yxyx 3232 6565 baba

baba 3535 caca 3232

6565 22 xxxx


60

El binomio con término común es el producto de dos binomios con un término

común en los dos binomios.

Ejemplo:

Resuelve el siguiente binomio al cubo: (2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 + 4)



Binomio con término común es igual al ccuadrado del primer término, más la

suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los

términos distintos.

(2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 + 4) = (2𝑥)2 + (− 𝑦3 + 4)(2𝑥) + (−𝑦3)(+4) =

𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚𝟑 + 𝟖𝒙 − 𝟒𝒚𝟑


(2𝑥 − 𝑦3)(2𝑥 + 4) = 2𝑥(2𝑥 + 4) − 𝑦3(2𝑥 + 4) =

𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟐𝒙𝒚𝟑 − 𝟒𝒚𝟑

2x - 𝑦3 Por 2x + 4 ______

4𝑥2 − 2𝑥𝑦3

+ 8𝑥 - 4𝑦3 ________________

4𝒙𝟐 - 𝟐𝒙𝒚𝟑 + 𝟖𝒙 − 𝟒 𝒚𝟑


61



con término común.

1) (x + 2)(x + 7 ) =

2) =

3) =

4) =

5) =

6) =

7) =

8) =

2252 aa

224

12

aa

6

43

4

xx

33

2 22

xx 43

5

23

xx

95 xx

yaya 6

5

38

5

3


62

2.1.5. Trinomio al cuadrado.

La expresión algebraica que consta de tres términos se llama trinomio y, al multiplicarse

por sí misma, recibe el nombre de Trinomio al cuadrado

Ejemplo:

Resuelve el siguiente binomio al cuadrado: (2𝑥 − 𝑦3 + 5)2



El trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del

segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primer término por el

segundo, más el doble producto del primer término por el tercero, más el doble producto del

segundo término por el tercero.

(2𝑥 − 𝑦3 + 5)2 = (2𝑥)2 + (− 𝑦3)2 + (+5)2 + 2(2𝑥)(−𝑦3) + 2(2𝑥)(+5) +

2(−𝑦3)(+5) = 4𝑥2 + 𝑦6 + 25 − 4𝑥𝑦3 + 20𝑥 − 10𝑦3


(2𝑥 − 𝑦3 + 5)2 = (2𝑥 − 𝑦3 + 5)(2𝑥 − 𝑦3 + 5) =

2x - 𝑦3 + 5

Por 2x - 𝑦3 + 5 __________

4𝑥2 − 2𝑥𝑦3 + 10x

− 2𝑥𝑦3 + 𝑦6 - 5𝑦3 +10x - 5𝑦3 + 25 ____________________________

4𝑥2 - 4x𝑦3 + 20𝑥 + 𝑦6 – 10 𝑦3 + 25


63

2𝑥(2𝑥 − 𝑦3 + 5) − 𝑦3(2𝑥 − 𝑦3 + 5) + 5(2𝑥 − 𝑦3 + 5) =

4𝑥2 − 2𝑥𝑦3 + 10𝑥 − 2𝑥𝑦3 + 𝑦6 − 5𝑦3 + 10𝑥 − 5𝑦3 + 25 =

𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚𝟑 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝒚𝟔 − 𝟏𝟎𝒚𝟑 + 𝟐𝟓

Ejercicio 30. Aplicando conocimientos y habilidades en la multiplicación, leyes de los exponentes y radicales y reducción de términos semejantes resuelve los siguientes trinomios al cuadrado.

1) ( 2x + 4y- 3z )2 =

2) =

3) =

4) =

5) =

6) =

2

5

3

3

2

2

1

yx

232 dc 2523 yx

2

2 62

xx

2

2

1

2

3

cba


64

2.1.6. Producto especial de un binomio por un trinomio.

Es nada menos que la multiplicación como su nombre lo dice de un binomio por un

trinomio, pero si aplicamos la regla de esta operación debe de cumplir ciertas condiciones ya

que es el resultado de una suma o diferencia de cubos.

Ejemplo.

Resuelve el siguiente producto especial: .



El producto especial de un binomio por un trinomio es igual al cubo del primer término

más o menos el cubo del segundo.

.


=

𝑎3 − 𝑏3.

22 bababa

333322 )()( bababababa

322223222222 babbaabbabababbabaabababa

𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 Por a - b _____________________

𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2

- 𝑎2𝑏 - a𝑏2 − 𝑏3 _________________________

𝑎3 − 𝑏3


65

Ejercicio 31. Resuelve los siguientes productos, demuestra primero si son especiales o no.

1) (x + y)(x2 – xy + y2) =

2) =

3) ( 2x – 3y ) (4x2 +12xy+9y2) =

4) (x +2y)(x2 – 2xy + 4y2) =

5) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) =

6) (3x + y)( 9x2– 3xy + y2) =

7) =

8) =

422 2 yyy

2

25

9

5

311

5

3xxx

9

4

3

1

4

1

3

2

2

1 2 xxx


66

2.2. Factorización. Objetivo. El estudiante aprenderá a resolver ejercicios de casos de factorización aplicando

conocimientos y habilidades de MCD, operaciones con polinomios y la aplicación de las leyes

de los exponentes.

Factorizar es el proceso ``reversible'' al de multiplicar.

Mediante la factorización, podemos expresar un polinomio como un producto de

expresiones simples; debe comprenderse por factorizar como, encontrar dos o más

expresiones cuyo producto sea el polinomio dado.

2.2.1. Factor común.

Se puede realizar cuando: en una expresión algebraica los términos contienen factores

que se repiten en cada uno de ellos,

Estos factores pueden ser monomios, binomios, o polinomios.

1. Se observa si la expresión algebraica cuenta con un término común,

En el caso de las letras se toman las literales comunes con menor exponente

En el caso de los números se obtiene el máximo común divisor,

De esta manera obtenemos el término o factor común

2. Una vez encontrando el término común se busca el otro factor el cual es el resultado de la

división cada uno de los elementos de la expresión entre el término común.

Ejemplo.

1) Factoriza la siguiente expresión:

Procedimiento:

a) En el caso de las letras se toman las literales comunes con menor exponente.

Factor común es: 𝒂𝟐.

225baa


67

b) Una vez encontrando el término común se busca el otro factor el cual es el resultado

de la división cada uno de los elementos de la expresión entre el término común.

𝑎5

𝑎2 = 𝑎5−2 = 𝑎3 𝑎2𝑏2

𝑎2 = 𝑎2−2𝑏2 = 𝑎0𝑏2 = 𝑏2.

Resultado.

La factorización resulta: .

2) Factoriza la siguiente expresión: .

Procedimiento:

a) En el caso de las letras se toman las literales comunes con menor exponente.

Factor común es:𝒙𝒚.

b) Se obtiene el MCD de 10, 20, 40 y 60.

c) por lo tanto el factor común de las letras y

número es: 10xy.

d) Una vez encontrando el término común se busca el otro factor el cual es el resultado

de la división cada uno de los elementos de la expresión entre el término común.

10𝑥2𝑦

10𝑥𝑦= 𝑥.

20𝑥𝑦

10𝑥𝑦= 2.

40𝑥2𝑦3

10𝑥𝑦= 4𝑥𝑦2

60𝑥2𝑦4

10𝑥𝑦= 6𝑥𝑦3

Resultado.

La factorización resulta: .


exponentes y MCD, resuelve las siguientes factorizaciones por término común.

)( 232225 baabaa

yxyxxyyx42322 60402010

).642(1060402010 3242322 xyxyxxyyxyxxyyx

10 20 40 60 2

5 10 20 30 5

1 5 4 6 10 = MCD


68

1) 𝑤𝑦 − 𝑤 =

2)

3) =

4) =

5) =

6) =

7) xy2 - y2w =

8) 5xy2 - 15y =

Factor Común binomio.

2446nmnm

23 186 xx aaa 23

xxx42 284 yxyxyx

42223 354525


69

1. Se observa si la expresión algebraica cuenta con un término común, y obtenemos el término o factor

común

2. El cual se divide entre el polinomio dando como resultado dos paréntesis el del factor en uno de los

paréntesis y lo que resta al dividir el factor entre la expresión en el otro (no importa el orden en que se acomoden).

Ejemplo.

a) Factoriza la siguiente expresión:

Procedimiento.

1) Se localiza el término común: (a + 1).

2) Se divide cada término de la expresión entre el término común:

𝑥(𝑎+1)

𝑎+1= 𝑥

3(𝑎+1)

𝑎+1= 3

3) Se abre dos pares de paréntesis, en el primero se anota el término común y el segundo

paréntesis se anota el cociente de la división entre el término común, resultando:

= (𝑎 + 1)(𝑥 − 3)

b) Realiza la factorización de:

Procedimiento.

1) Se encierra en paréntesis los términos que se parecen al término que está dentro del otro

paréntesis.

2) Se localiza el término común: (2a + b + c).

2) Se divide cada término de la expresión entre el término común:

𝑥(2𝑎+𝑏+𝑐)

2𝑎+𝑏+𝑐= 𝑥

(2𝑎+𝑏+𝑐)

2𝑎+𝑏+𝑐= 1

3) Se abre dos pares de paréntesis, en el primero se anota el término común y el segundo

paréntesis se anota el cociente de la división entre el término común, resultando:

)1(3)1( aax

)1(3)1( aax

cbacbax 22

)2(2 cbacbax


70

=(2a + b + c)(x − 1)

Ejercicio 33. Realiza la siguiente factorización aplicando conocimientos y habilidades de

factorización por término común.

5) ( 1 - x ) + 5c ( 1 - x ) =

7) a ( n +2) + n +2 = 8)

cbacbax 22

)()()1 banbam )1()1()2 23 babbaa

)2(3)2)(1()3 xyxx 343)42

yy

11)6 22 aba

1123

babbaa


71

2.2.2. Por agrupación.

Cuando un polinomio consta de cuatro términos, en algunas ocasiones éstos pueden

factorizarse mediante un arreglo conveniente que consiste en reescribir dicha expresión

algebraica como dos binomios, agrupando adecuadamente los términos.

Ejemplo.

1) Factoriza la siguiente expresión algebraica:

a) Se agrupa los términos donde hay literales repetidas con menor o igual exponente o donde

hay número donde se le pueda extraer el MCD.

Como se puede observar en este ejemplo que la 𝒙 se repite en dos términos así como también

la 𝑦. Por lo consiguiente se debe de agrupar:

b) Se aplica el conocimiento y la habilidad que obtuviste en el tema anterior (factor común

binomio), quedando el resultado de la siguiente manera:

2) Factoriza la siguiente expresión algebraica: 6𝑥3 − 9𝑥2 + 4𝑥 − 6.

Se agrupa los términos donde hay literales repetidas con menor o igual exponente o

donde hay número donde se le pueda extraer el MCD.

Como se puede observar en este ejemplo, los dos primeros términos se pueden

agrupar, así como también los últimos dos.

6𝑥3 − 9𝑥2 + 4𝑥 − 6 = (6𝑥3 − 9𝑥2) + (4𝑥 − 6) =

El factor común del primer paréntesis es 𝑥2en cuanto a las literales y el MCD en cuanto

al 6 y 9 es 3.

El factor común del segundo paréntesis es 2 que representa el MCD de 4 y 6, y en

cuanto a las literales no hay término común, porque la 𝑥 sólo está en un solo término.

byaybxax

)()( baybaxbyaybxax

))(()()( yxbabaybaxbyaybxax


72

Aplicando los conocimientos adquiridos en el tema factorización por término común, los

paréntesis quedan de la siguiente manera:

= (6𝑥3 − 9𝑥2) + (4𝑥 − 6) = 3𝑥2(2𝑥 − 3) + 2(2𝑥 − 3) =

En este siguiente paso se aplicará conocimiento y habilidades obtenidas en el tema de

factor común binomio, quedando nuestra expresión de esta forma:

= 3𝑥2(2𝑥 − 3) + 2(2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)(3𝑥2 + 2)

Resultado de la factorización: 6𝑥3 − 9𝑥2 + 4𝑥 − 6 = (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)

Ejercicio 34. Resuelve la siguiente factorización por agrupación tomando en cuenta tus

conocimientos de factorización por término común así como la factorización común binomio.

1) am - bm + an - bn =

2)

3) =

4)

5) =

6) =

bxaxaba 2

2223 xxx byaybxax 422

8n4m6mn3m 2 bxaybyax 236


73

2.2.3. Diferencia de cuadrados perfectos.

Recuerda que al multiplicar dos binomios conjugados, el producto que resulta es una

diferencia de cuadrados perfectos; por lo tanto, toda expresión de este tipo puede expresarse

inversamente como el producto de dos binomios conjugados.

Ejemplo.

Para factorizar una diferencia de cuadrados perfectos se sigue los pasos que se mencionan

a continuación:

1) Se extrae raíz cuadrada a cada uno de los términos.

2) Construye un binomio con las raíces obtenidas en el paso anterior, escribiendo el signo

negativo (-) o positivo (+) entre ellas.

3) Multiplica el binomio que resulta del paso anterior por su conjugado.

Ejemplo.

Factorizar la siguiente diferencia de cuadrados perfectos: 4𝑥6 − 𝑦8.

√𝑥𝑚 = 𝑥𝑚

2 . √4𝑥6 = √4 √𝑥6 = 2𝑥6

2 = 2𝑥3. √𝑦8 = 𝑦8

2 = 𝑦4.

Ejercicio 35. Realiza las siguientes factorizaciones aplicando conocimientos y habilidades de

binomios conjugados, leyes de los exponentes y radicales.

1)

2)

yxyxyx 22

241 m 216 n


74

3) 4)

5)

6)

7)

8)

2.2.4. Suma o diferencias de cubos perfectos.

La suma o diferencia de cubos se obtiene de un producto especial (de un binomio por

un trinomio). Por ejemplo: (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2) = 𝑥3 + 𝑦3.

Como se podrá observar un producto especial nos da como resultado una suma o

diferencias de cubos perfectos, ahora este tema trata precisamente de efectuar suma o

diferencias de cubos perfectos que nos dará lógicamente como resultado un producto

especial.

Ejemplo. Factoriza la siguiente expresión: 8𝑎12 − 𝑏9

Pasos para resolver factorización de suma o diferencias de cubos perfectos.

a) Se extrae la raíz cúbica de cada término.

√𝑥𝑚3= 𝑥

𝑚

3 . √8𝑎123= √8

3 √𝑎123

= 2𝑎12

3 = 𝟐𝒂𝟒. √𝑏93= 𝑏

9

3 = 𝒃𝟑.

25

142 nnba 42 814 yx

1242 25zyx 412 81ba

2536

62 xa

9

14 2nx


75

b) Se enfilan dos pares de paréntesis: ( )( ).

c) En el primer paréntesis se anota el resultado de las raíces cúbicas, tomando en cuenta el

signo de la expresión original. (2𝑎4 − 𝑏3).

d) En el segundo paréntesis se anotan tres términos: el primero es el cuadrado de la raíz

cúbica del primer término, más o menos según sea el caso, el segundo es el producto de la

raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo y el tercer término es el cuadrado

de la raíz cúbica del segundo término.

(4𝑎8 + 2𝑎4𝑏3 + 𝑏6)

e) Como se puede observar, que para resolver una suma o diferencia de cubos perfectos se

requiere de paciencia, actitud positiva, además de conocimiento y habilidades de leyes de los

exponentes y radicales; este ejemplo que acabamos de resolver queda de la siguiente

manera:

8𝑎12 − 𝑏9 = (2𝑎4 − 𝑏3)(4𝑎8 + 2𝑎4𝑏3 + 𝑏6)

Ejercicio 36. Aplica tus competencias adquiridas en temas anteriores y resuelve estas sumas y

diferencias de cubos perfectos.

1) 64 – x3 =

2) 27m3 + 6n6 =

3) 27 a3 + b6 = 4) 8𝑎3 − 𝑏3 =

Cuadrado de la raíz

cúbica del primer

término:

(2𝑎4)2 = 4𝑎8

Producto de las dos

raíces cúbicas.

(2𝑎4)(𝑏3)= 2𝑎4𝑏3

Cuadrado de la raíz

cúbica del segundo

término:

(𝑏3)2 = 𝑏6


76

5) =

6) x6 – y6 =

7) =

8)

2.2.5. Trinomio cuadrado perfecto.

Un trinomio cuadrático es perfecto cuando es el producto de un binomio al cuadrado.

Así, el trinomio 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 es cuadrado perfecto porque es el producto que resulta al elevar

𝑥 + 𝑦 al cuadrado; es decir:

(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2

Cuando se requiere factorizar un trinomio cuadrático es recomendable verificar si se

trata de un cuadrado perfecto. Para hacerlo es importante tener presente sus características:

1) Si el trinomio está ordenado con respecto a una literal, su primero y último términos son

positivos y tienen raíz cuadrada perfecta.

2) El segundo término es el doble del producto de las raíces de los términos cuadráticos, en

valor absoluto; es decir, sin importar el signo que le procede.

27

8

8

1 3 x

64

13 x 13

a


77

La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado del binomio que resulta

al extraer raíz cuadrada a los términos cuadráticos, entre ellos el signo del término no

cuadrático.

Ejemplo. Verifica que los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, si son, factorízalos.

a) 4𝑥2 − 20𝑥𝑦 + 25𝑦2

Procedimiento para verificar si el trinomio cuadrático es perfecto 1) Verificar si está ordenado el trinomio respecto a la literal, sino está, ordenarlo: si, esta

ordenado.

2) Verificar si el primer término tiene raíz cuadrada exacta y si es positivo: si es positivo y la

raíz es 𝟐𝒙.

3) Verificar si el tercer término tiene raíz cuadrada exacta y si es positivo: si es positivo y la

raíz es 𝟓𝒚.

4) Verificar si el doble producto de la primera raíz por la segunda corresponde al segundo

término del trinomio cuadrático: 2(2x)(5y) = 20xy, si corresponde.

5) Cumpliendo con todas estas verificaciones, entonces la solución es: (𝟐𝒙 − 𝟓𝒚)𝟐

b)

Procedimiento para verificar si el trinomio cuadrático es perfecto 1) Verificar si está ordenado el trinomio respecto a la literal, sino está, ordenarlo: si, esta

ordenado.

2) Verificar si el primer término tiene raíz cuadrada exacta y si es positivo: si es positivo y la

raíz es 𝒎.

400412 mm


78

3) Verificar si el tercer término tiene raíz cuadrada exacta y si es positivo: si es positivo y la

raíz es 𝟐𝟎.

4) Verificar si el doble producto de la primera raíz por la segunda corresponde al segundo

término del trinomio cuadrático: 2(m)(20) = 40m, no corresponde.

5) Al realizar la multiplicación del doble producto con las dos raíces el resultado no coincide

con el segundo término del trinomio cuadrático: Una de las verificaciones no cumple, por

lo tanto no es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejercicio 37. Verifica cuáles de los trinomios cuadráticos siguientes son perfectos y factoriza

los que sean de este tipo.

1) 9𝑎2 − 30𝑎 + 25 =

2) 4𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦2 =

3) 49𝑎2 − 42𝑎𝑏 + 9𝑏2 =

4) 36𝑎2 − 30𝑎𝑏 + 25𝑏2 =

5) 25𝑎2 + 40𝑎𝑏 + 16𝑏2 =

6) 𝑦2 − 10𝑦 − 25 =


79

Ejercicio 38. Desarrolla tus habilidades a completando las expresiones siguientes, sabiendo

que corresponden al desarrollo del cuadrado de un binomio:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

2.2.6. Trinomio de la forma: x2 + bx + c y ax2 + bx + c.

Trinomio de la forma: 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄.

Las expresiones de este tipo, por ejemplo, 𝑥2 − 7𝑥 + 12, 𝑥2 + 9𝑥 + 14, etc., que son

polinomios que no son primos, en otras palabras, que pueden factorizarse, resultan al

multiplicar dos binomios de la forma (x + m)(x + n) que tienen las siguientes características:

Tienen un término común, el cual es la raíz cuadrada del término cuadrático.

Los términos no comunes son aquellos que al sumarse dan como resultado el valor del

coeficiente del término bx; es decir, igual a “b” y cuyo producto es igual a “c”. De acuerdo

con esto, 𝑚𝑛 = 𝑐 y 𝑚 + 𝑛 = 𝑏.

Ejemplo. Resuelve el binomio con término común.

x2 +… … +16 a

2 +… … +1 … … +12x+ 9

… … + 36x+81 25x2 +10x+… … 4a2 +… … + b2

4x6 +… … + 25 16x2 + 4x+… …


80

(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 𝑥2 − 7𝑥 + 12.

Ahora de manera inversa, se va a resolver el trinomio cuadrático.

a) Factoriza el siguiente trinomio: 𝑥2 − 7𝑥 + 12 =

Procedimiento. Primero encuentra todos los pares de números enteros cuyo producto sea 12 y

después selecciona aquel cuya suma sea 7.

Como el producto (12) es positivo, los dos números que se buscan deben de ser del

mismo signo, y como la suma (-7) es negativa, los dos números que se buscan deben ser

ambos de signo negativo.

x +

-1 -12 12 -13

-2 -6 12 -8

-3 -4 12 -7 Opción que cumple con las condiciones.

Los números buscados son 3 y 4. Ahora se factorizará el trinomio utilizando estos

números.

𝑥2 − 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 4).

b) Factoriza el siguiente trinomio: 𝑥2 + 𝑥 − 20 =

Procedimiento. Primero encuentra todos los pares de números enteros cuyo producto sea -20 y

después selecciona aquel cuya suma sea + 1.

Como el producto (-20) es negativo, los dos números que se buscan uno debe de

ser positivo y el otro negativo, y como la suma (+ 1) es positivo, el número de mayor valor

debe ser positivo y el de menor valor debe de ser negativo.


81

x +

-1 20 -20 19

-2 10 -20 8

-4 5 -20 1 Opción que cumple con las condiciones.

Los números buscados son - 4 y 5. Ahora se factorizará el trinomio utilizando estos números.

𝑥2 + 𝑥 − 20 = (𝑥 − 4)(𝑥 + 5).

Ejercicio 39. Factoriza los siguientes trinomios cuadráticos de la forma: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1072 xx 3522 aa

13142 xx 56152 xx

1032 xx 652 xx


82

7)

8)

Trinomio de la forma:

Los pasos que deben seguirse para factorizar este tipo de trinomios son: 1) Ordenar el trinomio de acuerdo a la literal y empezar por el exponente mayor.

2) Expresar la multiplicación por 𝒂 con todos los términos del trinomio.

3) Se realiza la multiplicación del primer término y el tercero.

4) El termino de en medio sólo se intercambia los números (el número de afuera entra en el

paréntesis y el de adentro sale).

5) Se abre dos pares de paréntesis.

6) Al inicio de cada paréntesis se anota la raíz del primer término.

7) Para encontrar los otros datos se aplica el método de la factorización de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 +

𝑐.

8) Para finalizar, como se multiplicó a todo el trinomio por un número, ay que quitárselo

dividiéndolo por el mismo número convenientemente.

9) Aquí es donde se termina la factorización.

Ejemplo.

a) Factoriza la expresión algebraica: 5𝑎2 − 8𝑎 + 3. 1) Que el trinomio este ordenado.

2) Se expresa la multiplicación por 5: 5(5𝑎2) − 5(8𝑎) + 5(3).

3) Se realiza la multiplicación del primer término y el tercero: 25𝑎2 − 5(8𝑎) + 15.


paréntesis y el de adentro sale): 25𝑎2 − 8(5𝑎) + 15.

22 xx mm 5142

cbxax 2


83

5) Se abre dos pares de paréntesis: ( )( ).

6) Al inicio de cada paréntesis se anota la raíz del primer término (5a): (5𝑎 )(5𝑎 ).

7) Buscar dos números que multiplicado me den 15 (como es positivo, los dos números deben

de ser de igual signo) y sumados – 8 (como es negativo, cada número debe de ser negativo).

x +

-1 -15 15 -8

-3 -5 15 -8 Opción que cumple con las condiciones.

Por lo tanto: 5𝑎2 − 8𝑎 + 3 = (5𝑎 − 3 )(5𝑎 − 5)

8) Para finalizar, como se multiplicó a todo el trinomio por un número (5), ay que quitárselo

dividiéndolo por el mismo número convenientemente:

5𝑎2 − 8𝑎 + 3 = (5𝑎 − 3 ) (5

5𝑎 −

5

5)

9) Aquí es donde se termina la factorización:

𝟓𝒂𝟐 − 𝟖𝒂 + 𝟑 = (𝟓𝒂 − 𝟑 )(𝒂 − 𝟏).

b) Factoriza la expresión algebraica: .

1) Que el trinomio este ordenado: 6𝑥2 + 7𝑥 + 2.

2) Se expresa la multiplicación por 6: 6(6𝑥2) + 6(7𝑥) + 6(2).

3) Se realiza la multiplicación del primer término y el tercero: 36𝑥2 + 6(7𝑥) + 12.


paréntesis y el de adentro sale): 36𝑥2 + 7(6𝑥) + 12.

5) Se abre dos pares de paréntesis: ( )( ).

6) Al inicio de cada paréntesis se anota la raíz del primer término (6x): (6𝑥 )(6𝑥 ).

7) Buscar dos números que multiplicado me den 12 (como es positivo, los dos números deben

de ser de igual signo) y sumados 7 (como es positivo, cada número debe de ser positivo).

x +

xx 726 2


84

1 12 12 13

3 4 12 7 Opción que cumple con las condiciones.

6 2 12 8

Por lo tanto: 6𝑥2 + 7𝑥 + 2 = (6𝑥 + 3)(6𝑥 + 4).

8) Para finalizar, como se multiplicó a todo el trinomio por un número (6), ay que quitárselo

dividiéndolo por el mismo número convenientemente:

6𝑥2 + 7𝑥 + 2 = (6

3𝑥 +

3

3)(

6

2𝑥 +

4

2)

9) Aquí es donde se termina la factorización:

.

6𝑥2 + 7𝑥 + 2 = (2𝑥 + 1)(3𝑥 + 2).

Ejercicio 40. Resuelve las siguientes trinomios cuadráticos de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

1)

2)

3)

4)

232 2 aa 253 2 bb

276 2 mm 6135 2 tt


85

5) =

6) =

7) =

8)

31110 2 aa 253 2 xx

120 2 yy 9154 2 aa


86

2.3. Operaciones con fracciones algebraicas. Objetivo. El estudiante aprenderá a resolver ejercicios sobre fracciones algebraicas donde

podrá aplicar conocimientos de leyes de los exponentes, productos notables y

factorización.

Una expresión racional, llamada también fracción algebraica, es aquella que puede

expresarse en la forma 𝑝

𝑞 , donde 𝑝 y 𝑞 son polinomios y 𝑞 es diferente de cero.

Ejemplo.

6𝑥 − 5

𝑥2 − 9;

𝑥3 − 8

𝑥2 − 7𝑥 + 6 ; 𝑒𝑡𝑐é𝑡𝑒𝑟𝑎

2.3.1. Simplificación.

Una fracción algebraica está simplificada cuando está expresada en sus términos mínimos; es

decir, cuando su numerador y denominador sólo tienen como factor común el 1 o el -1.

Para simplificar una fracción algebraica se cancelan los factores comunes a su numerador y

denominador, esto con base en la siguiente propiedad de los números racionales:

𝑘𝑥

𝑘𝑦=

𝑥

𝑦; donde 𝑘 y 𝑦 ≠ 0 son diferentes de cero.

La propiedad anterior nos indica dada una fracción hay que factorizar completamente tanto su

numerador como su denominador y cancelar los factores comunes a ambos, si los hubiera,

para que quede simplificada, o sea expresada en sus términos mínimos.

Ejemplo.


87

a) Simplifica la fracción: 40𝑥2𝑦5𝑐

48𝑥3𝑦2𝑐.

Procedimiento. 1) Se descompone en factores tanto el numerador como el denominador de una manera conveniente; es decir, que podamos eliminar factores de la misma cantidad en el numerador

como en el denominador: 40𝑥2𝑦5𝑐

48𝑥3𝑦2𝑐=

8∗5𝑥2𝑦2𝑦3𝑐

8∗6𝑥2𝑥𝑦2𝑐.

2) Se cancelan los factores comunes, en el numerador con el denominador: 40𝑥2𝑦5𝑐

48𝑥3𝑦2𝑐=

8∗5𝑥2𝑦2𝑦3𝑐

8∗6𝑥2𝑥𝑦2𝑐=

5𝑦3

6𝑥.

3) Así se facilita simplificar fracciones: 40𝑥2𝑦5𝑐

48𝑥3𝑦2𝑐=

5𝑦3

6𝑥.

b) Simplifica la fracción:5𝑥−20

𝑥2−4𝑥.

Procedimiento. 1) Se Factoriza por término común tanto en el numerador como en el denominador:

5𝑥−20

𝑥2−4𝑥=

5(𝑥−4)

𝑥(𝑥−4).

2) Se cancelan los factores comunes, en el numerador con el denominador:

5𝑥−20

𝑥2−4𝑥=

5(𝑥−4)

𝑥(𝑥−4)=

5

𝑥.

3) Así se facilita simplificar fracciones: 5𝑥−20

𝑥2−4𝑥=

5

𝑥.

c) Simplifica la fracción:𝑥2−7𝑥+12

𝑥2−16

Procedimiento. 1) Se Factoriza por término común tanto en el numerador como en el denominador:

𝑥2−7𝑥+12

𝑥2−16=

(𝑥−4)(𝑥−3)

(𝑥−4)(𝑥+4)

2) Se cancelan los factores comunes, en el numerador con el denominador:

𝑥2 − 7𝑥 + 12

𝑥2 − 16=

(𝑥 − 4)(𝑥 − 3)

(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)=

𝑥 − 3

𝑥 + 4


88

3) Así se facilita simplificar fracciones:

𝑥2 − 7𝑥 + 12

𝑥2 − 16=

𝑥 − 3

𝑥 + 4

Ejercicio 41. Resuelve las siguientes simplificaciones de fracciones, tomando en cuenta tus

conocimientos de productos notables y factorización.

1) =

2) =

3) =

4) =

5) =

6) =

ab

a 2

224

62

28

21

xnm

xmn

xy

yx 2

25

543

21

14

cb

cba

mca

nca54

32

26

42

ba

a28

2


89

7) =

8) =

2.3.2. Razones, proporciones y variaciones. Razones. Continuamente en la solución de problemas de la vida real se tienen que comparar dos

cantidades; es decir, determinar cuántas veces una contiene a la otra. Matemáticamente

comparar las cantidades significa dividir la magnitud de una entre la magnitud de la otra, y el

resultado de dicha comparación se llama razón.

La razón entre dos cantidades 𝑎 y 𝑏 se puede representar de las siguientes formas 𝑎: 𝑏;

𝑎

𝑏 o 𝑎 ÷ 𝑏, donde 𝑏 es diferente de cero. La notación 𝑎: 𝑏 se lee de la siguiente manera “𝑎 es a

𝑏”.

Al primer término de una razón se le llama antecedente y al segundo consecuente.

Así, en la razón 7:6, el antecedente es 7 y el consecuente es 6. Es importante precisar que al

comparar magnitudes de la misma naturaleza, éstas deben expresarse en las mismas

unidades de medición.

Ejemplo de aplicación de las razones. a) Si en un salón de clase hay 12 hombres y 4 mujeres, entonces la razón de hombres

a mujeres es 12

4=

3

1= 3.

Esto significa que en dicho salón hay 3 hombres por cada mujer.

Ahora bien, la razón de mujeres a hombres es 4

12=

1

3.

432

32

24

9

yxa

yx10126

643

34

17

zyx

zyx

Antecedentes

Consecuente 7

6


90

Esto significa que por cada mujer hay 3 hombres. b) Encuentra la razón de 80 centavos a cuatro pesos. Solución: La razón de 80 centavos a 4 pesos es igual a: 80

400=

8

40=

1

5.

c) En una escuela la razón de alumnos con respecto a las alumnas matriculadas es de 4:3. Si

en la escuela hay 1400 estudiantes, ¿cuántos alumnos hay en la escuela?

Planteamiento:

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠=

4

3=

4𝑥

3𝑥

Procedimiento: 4x + 3x = 1400 7x = 1400 x = 1400/7 x = 200.

Solución: 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠=

4

3=

4𝑥

3𝑥=

4(200)

3(200)=

800

600

Por lo tanto, hay 800 alumnos en la escuela. d) El largo y ancho de un rectángulo están a la razón de 9:4. Si su perímetro es de 2080 m, determina la longitud de su largo y de su ancho. Planteamiento:

𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜=

9

4=

9𝑥

4𝑥

Procedimiento: 18x + 8x = 2080 26x = 2080 x = 2080/26 x = 80.

Solución: 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜=

9

4=

9𝑥

4𝑥=

9(80)

4(80)=

720

320

Por lo tanto, el largo tiene una longitud de 720 m y el ancho 320 m. Ejercicio 42. Resuelve los siguientes ejercicios de razones, donde aplicaras conocimientos y

habilidades de reducción de términos semejantes y despeje.

1) José contesto correctamente 35 de 50 preguntas de un examen. ¿Cuál es la razón de

respuestas correctas al número total de preguntas?

1 Peso = 100

centavos.

4 Peso = 400

centavos Esto significa que por cada centavo

de los 80 hay 5 centavo de los 400.


91

2) En relación con el problema anterior, ¿cuál es la razón del número de respuestas incorrectas

al número de correctas?

3) Encuentra la razón de 20 centavos de dólar a tres dólares. 4) Un estudiante contestó correctamente 12 de 18 de preguntas de un examen y 14 de 20 en

otro. ¿En qué examen obtuvo mejor calificación?

5) Unos biólogos pescaron 24 carpas y 36 lobinas. ¿Cuál es la razón de lobinas a carpas

pescadas?

6) En una escuela la cantidad de alumnos de primer año con respecto a los de segundo año

es de 4:3. Si en total hay 3500 alumnos, ¿cuántos alumnos hay en el segundo año?

7) Una gasolinera encuentra que el consumo de la gasolina Magna Sin excede la gasolina

Premium en la proporción de 9:5. La cuota mensual de la gasolinera es de 28 000 Lt. ¿Cuántos

litros de cada clase de gasolina deben ordenarse para que la cuota tenga esta razón?

8) El largo y el ancho de un rectángulo están a razón de 7:4. Su perímetro es de 5500 pies.

Determinar la longitud del largo y el ancho.


92

Proporciones. Una proporción es una expresión que nos indica que dos razones son iguales. Ejemplo.

4

5=

12

15 O 2:9 = 14:63

Si tenemos la proporción a:b = c:d, los términos a y d se llaman extremo, mientras que

b y c son sus medios. Asimismo, la notación se lee: “a” es a “b” como “c” es a “d”.

Ejemplo. En la proporción 4:7 = 32:56, sus términos extremos son 4 y 56, mientras que sus

medios son 7 y 32.

Propiedad de las proporciones. La propiedad fundamental de las proporciones nos dice que el producto de los extremos de una proporción es igual al producto de sus medios.

𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅 𝒔𝒊 𝒚 𝒔ó𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒂𝒅 = 𝒃𝒄. Ejemplo. Resuelve las siguientes proporciones.

a) 4

5=

8

𝑥, Aplicando la propiedad: 4x = (8)(5), resolviendo la multiplicación: 4x = 40,

despejando x resulta: 𝑥 =40

4= 10.

b) 4

7=

𝑥

56, Aplicando la propiedad: (4)(56) = 7x, resolviendo la multiplicación: 224 = 7x,

despejando x resulta: 𝑥 =224

7= 32.

Ejercicio 43. Resuelve las siguientes proporciones, aplicando conocimientos de multiplicación

y división de enteros.

1) 7

5=

63

𝑥

2) 2

𝑥=

5

100 3)

14

35=

𝑥

20


93

4) 𝑥

150=

7

10

5) 9

12=

𝑥

60 6)

7

14=

58

𝑥

7) 9: 𝑥 = 63: 35

8) 9:x = x:16

Aplicaciones de las proporciones en nuestra vida cotidiana.

Ejercicio 44. Resuelve los siguientes ejercicios que a continuación se te presenta aplicando

los conocimientos y habilidades adquiridos en los temas anteriores.

1) Un automóvil recorre 120 km con 15 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros puede recorrer

con 20 litros?

2) Un automóvil recorre 216 km con 18 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesita para recorrer

300 km?

3) Un motor gira 36 revoluciones en 3 segundos. ¿Cuántas revoluciones girará en un minuto?

4) Si un reloj se a trasa 4 minutos cada 10 horas, ¿cuántos segundos se a trasará en 5 horas?


94

Variaciones de proporcionalidad. A continuación estudiaremos ciertos tipos de relaciones que se caracterizan porque las

variables que intervienen en ellas siguen una ley determinada que puede expresarse mediante

un enunciado o una ecuación. Dichas relaciones reciben el nombre de variaciones de

proporcionalidad, o simplemente variaciones.

Variación directamente proporcional

Se dice que una variable 𝑦 es directamente proporcional a la variable 𝑥 si la razón o

cociente entre dichas variables es constante; en otras palabras, 𝑦

𝑥= 𝑘, donde 𝑘 recibe el

nombre de constante de proporcionalidad.

x y

3 12

4 16

5 20

6 24

7 28

Cuando el valor de una variable aumenta e implica un aumento en el valor de otra, o

viceversa, decimos que la relación entre ellas es directa. Si además dichos aumentos o

decrementos se dan en la misma proporción, entonces decimos que la relación es de

proporcionalidad directa.

Ejemplo. Si por un lápiz se paga $6; por 2 lápices se pagan $12; ¿Cuánto se pagará por 7 lápiz del mismo tipo?

Procedimiento. 𝑦

𝑥= 𝑘, 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠: 𝑦 = 𝑘𝑥

𝑦

𝑥= 𝑘, 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠: 𝑦 = 𝑘𝑥

𝑦 = 4(3) = 12 𝑦 = 4(4) = 16 𝑦 = 4(5) = 20 𝑦 = 4(6) = 24 𝑦 = 4(7) = 28 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 = 4


95

Se calcula la constante de proporcionalidad: 6

1=

12

2= 𝑘 = 6.

Por lo tanto 𝑦 = 𝑘𝑥 = 6(7) = 42. Solución: Por los 7 lápices se pagarán $42.

Ejercicio 45. Efectúa los siguientes problemas sobre variaciones directamente proporcionales.

1) Un aeroplano tarda 2 minutos para recorrer 4.5 kilómetros. ¿Cuánto tarda en recorrer con

la misma velocidad: 180 km; 900 km; 225 km, respectivamente?

2) Un obrero gana $ 960 por 8 horas de trabajo. ¿Cuánto tiempo ha trabajado para ganar $1

920 y $ 2 400, respectivamente?

3) He comprado 15 m de cinta a $ 18 el metro. ¿Cuántos metros de otra cinta de $ 12, $ 27, $

36, $ 45 el metro puedo comprar, respectivamente, con el mismo dinero?

4) En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿Cuántas horas tardará en

hacer 25 de estas mismas cajas?

Variación inversamente proporcional

Se dice que la variable 𝑦 es inversamente proporcional a la variable 𝑥, si dicha variable

es directamente proporcional al recíproco de 𝑥, es decir 𝑦 = 𝑘1

𝑥, de donde al despejar 𝑘 resulta:

𝐾 = 𝑥𝑦. Analicemos la siguiente relación:

x y

1 24

2 12

3 8

𝑦 = 𝑘1

𝑥, 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠: 𝑘 = 𝑥𝑦

𝑘 = 1(24) = 12 𝑘 = 2(12) = 24 𝑘 = 3(8) = 24 𝑘 = 4(6) = 24 𝑘 = 6(4) = 24 𝑘 = 8(3) = 24

𝑘 = 24(1) = 24 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 = 4


96

4 6

6 4

8 3

24 1

De acuerdo con la tabla anterior se observa que al aumentar el valor de 𝑥 disminuye el

valor de 𝑦. En este caso decimos que la relación entre las variables es inversa; lo mismo

decimos cuando al disminuir 𝑥 aumenta 𝑦.

Por otro lado, también observamos que en la misma proporción en que aumenta la

variable 𝑥 disminuye la variable 𝑦; es decir, si 𝑥 se duplica, el valor de 𝑦 dismuniye a la mitad;

si 𝑥 se triplica, 𝑦 se reduce a la tercera parte, y así sucesivamente. Por esta razón se dice que

la relación entre las variables 𝑥 y 𝑦 es inversamente proporcional.

Asimismo, para la relación en cuestión el producto 𝑥𝑦 siempre es constante. En este caso es igual a 24; por lo tanto, 𝑘 = 24. Ejemplo. Si 10 obreros tardan 30 días en hacer una obra. ¿Cuántos días tardarán 20 obreros en hacer esa misma obra? Procedimientos:

𝑦 = 𝑘1

𝑥, 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠: 𝑘 = 𝑥𝑦

Se calcula la constante de proporcionalidad: (10)(30) = 𝑘 = 300.

Por lo tanto 𝑦 = 3001

20=

300

20= 15.

Solución: Con 20 0breros se tardaría 15 días en terminar la obra.. Ejercicio 46. Efectúa los siguientes problemas sobre variaciones inversamente

proporcionales.

1) Ocho obreros han tardado 24 horas para realizar cierto trabajo. ¿Cuánto tiempo hubiesen

empleado para hacer el mismo trabajo 4 obreros, 6 obreros, 12 obreros, 18 obreros,

respectivamente?


97

2) Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4 obreros

abandonan el trabajo. ¿Cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan?

3) Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas

más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje, ¿Durante cuántos días podrá

alimentarlas?

4) Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0.45 metros de ancho.

¿Cuántos rollos se necesitarán, si el ancho fuera de 0.75 metros?

5) Un comerciante compró 33 kilogramo de yerba a razón de $ 62 el kilogramo. ¿Cuántos

kilogramos de $ 66 podría haber comprado con esa misma suma de dinero?


98

Lista de verificación

Instrumento de evaluación:

Lista de verificación Tipo de

evaluación: Autoevaluación

Departamento: Matemáticas Academia: Matemáticas

Unidad de Aprendizaje

Curricular:

Matemáticas I (Álgebra)

Semestre: 1 Grupo: Número de secuencia: 2/3 Porcentaje: 5 %

Bloque: II.- Transformaciones

Algebraicas

Evidencia: MANUAL

Competencias Genéricas

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Atributos 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas o gráficas.

Competencia Disciplinar

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

No. Criterios o Indicadores Valoración

Si No Observación

1 Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos.

2 Sigue instrucciones y sustenta procedimientos de manera reflexiva.


99

3 Comprende cada uno de los pasos y etapas del proceso.

4 Ejecuta operaciones aritméticas y algebraicas según su jerarquía.

5 Resuelve el 90% de los ejercicios marcados.

Escala de calificación Escala Tipo Semáforo Acciones a

tomar Rango Calificación Alcance del atributo

Tiene 5 sí 5 % El estudiante desarrollo las competencias.

De 4 a 3 sí Entre 4 y 3% El estudiante está en proceso de desarrollo de las

competencias.

Corregirlo

Menos de 3

sí

Entre 2 y 0% El estudiante aún no desarrolla las competencias. Asesoría

SECUENCIA DIDÁCTICA III

BLOQUE III: Ecuaciones.

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE

Declarativos Procedimental Actitudinal

3.1 . Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

3.2 . Aplicación de ecuaciones de primer grado, en la solución de problemas.

3.3 . Sistemas de ecuaciones de primer grado.

3.4 . Métodos de solución de sistemas de ecuaciones de primer grado, con dos y tres variables.

3.4.1 Reducción. 3.4.2 Sustitución. 3.4.3 Igualación. 3.4.4 Determinante 3.4.5 Gráfico.

Establece una ecuación de primer grado, a

partir de una situación real.

Ejecuta el algoritmo adecuado para la

solución de ecuaciones de primer grado.

Establece un sistema de ecuaciones de

primer grado, a partir de una situación real.

Emplea el método adecuado para la solución

de un sistema de ecuaciones de primer

grado.

Expone de forma gráfica los resultados de

un sistema de ecuaciones de primer grado,

de manera escrita o con ayuda del

graficador.

Argumenta la diferencia entre los tipos de

ecuaciones cuadráticas.

Aplica los casos de factorización en la

solución de ecuaciones cuadráticas.

Valora la importancia del

conocimiento de las

ecuaciones, para la

solución de problemas de

su entorno.

Valora la importancia de

la factorización en la

solución de ecuaciones

cuadráticas.

Valora el trabajo

colaborativo.

Presta atención a las

explicaciones del

profesor, dentro y fuera

del salón de clases.

Actúa de manera positiva

para realizar las

actividades planteadas en

el programa de curso.


100

3.5 . Resolución de problemas que plantean un sistema de dos ecuaciones lineales.

3.6 . Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

3.7 . Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado.

3.7.1 Por factorización. 3.7.2 Completando trinomio

cuadrado perfecto. 3.7.3 Fórmula general. 3.7.4 Gráfico.

3.8 . Problemas que se resuelven aplicando ecuaciones de segundo grado.

Emplea la fórmula general, como recurso

alterno en la solución de una ecuación

cuadrática.

Expone de forma gráfica los resultados de una ecuación cuadrática, de manera escrita o con ayuda del graficador.

Participa de manera activa en clase, realizando sus ejercicios, preguntando, exponiendo.

Ecuaciones.

Una ecuación es un enunciado que declara la igualdad de dos expresiones.

Escribimos una ecuación poniendo el signo de igualdad, “=”, entre las dos expresiones.

Una ecuación lineal es una en la que las variables que aparecen no están elevadas a

ninguna otra potencia que no sea la primera potencia. Una ecuación lineal en una variable es

una ecuación que puede escribirse en la forma ax + b = c.

Ecuaciones enteras

Resuelve la siguiente ecuación: 3x + 5 – 2x = x + 3 – x

EVALUACION




Examen escrito.

TOTAL:

a) Reducción de términos semejantes: x + 5 = 3

b) Transposición de términos: x = 3 – 5

c) Resolviendo: x = - 2 (Solución).


101

Ejercicio 47. Aplica tus competencias obtenidas en temas anteriores y resuelve las siguientes

ecuaciones enteras.

1) 5x – 3 + 2x = 6x + 3x + 4 – 2x – x – 6

2) 2x + 4 – x = 2x – x + 8 – x

3) 6x – 3 – 4x – x = 5x + 8 – x – 6 – 4x

4) 7x + 2 – 5x = x + 8 – x


102

5) 5x + 10 – x – 2x = x + 3 – 2x + x + 1

Ecuaciones enteras con signos de agrupación Ejemplo. x – (2x + 1) = 8 – (3x + 3)

Ejercicio 48. Desarrolla tus habilidades resolviendo ecuaciones enteras con signos de

agrupación.

1.

2. (3 t – 1) + 7 = 8 t – ( 3 – 2 t)

324232 xxx

a) Se elimina los paréntesis: x – 2x -1 = 8 – 3x – 3

b) S reduce términos semejantes: - x – 1 = - 3x + 5

c) Transposiciones de términos: - x + 3x = 5 + 1

d) Reducción de términos semejantes: 2x = 6

e) Dividir entre dos todos miembro a miembro, resulta: x = 3.


103

3. 5s + (4 – s) = 9 – (s – 6)

4. x – (2x + 1) = 8 – (3x + 3)

5.

Ecuaciones enteras con productos indicados.

Ejemplo.

Desarrolla: 2(x – 3) – 3(2 – 6x) = 2(4x – 1) + 5(1 + 2x)

Ejercicio 49. Con una actitud positiva, resuelve las siguientes ecuaciones enteras donde

incluye productos indicados.

4156 aaaaa

a) Se elimina los paréntesis: 2x – 6 – 6 + 18x = 8x – 2 + 5 + 10x

b) Reducción de términos semejantes: 20x – 12 = 18x + 3

c) Transposición de términos: 20x – 18x = 3 + 12

d) Reducción de términos semejantes: 2x = 15

e) Dividir entre dos miembro a miembro, resultando: x = 15/2.


104

1. 2. – 4y + 9 = 13 – 2 (y + 3)

3. 2x + 3 = x – 4(5 – x) +1 4. 5(x + 3) + 2(x – 9) = 4

5. x + 3(x – 1) = 6 – 4(2x + 3).

Ecuaciones con productos indicados (Multiplicación de binomios)

Ejemplo

Simplifica: (3x – 4) (4x – 3) = (6x – 4) (2x – 5)

332522 bb

a) Se indica la multiplicación a efectuar: 3x (4x - 3) - 4(4x - 3) = 6x (2x – 5) –

4 (2x – 5)

b) Se efectúa la multiplicación: 12x2 – 9x – 16x + 12 = 12x2 – 30x – 8x + 20

c) Se reduce términos semejantes: 12x2 - 25x + 12 = 12x2 – 38x + 20

d) Transportación de términos: 12x2 - 12x2 – 25x + 38x + 12 – 20 = 0

e) Reducción de términos semejantes: 13x – 8 = 0

f) Transportación de términos: 13x = 8

g) Dividir entre 13 miembro a miembro, resulta: x = 8/13.


105

E

Ejercicio 50. Poniendo en práctica tus habilidades y desarrollando competencias resuelve las

siguientes ecuaciones enteras que incluyen productos indicados.

1.

2. (X +7)(x – 5) = (x – 4) (x + 4)

3.

4.

6152 xxxx

02212321 xxxxx

1325542 xxxx


106

5. (3x – 4) (4x – 3) = 2x (6x – 4) – 3(2x – 5)

Ecuaciones fraccionarias (la fracción está en un solo miembro).

Ejemplo.

Resuelve la ecuación:

Ejercicio 51. Aplica tus competencias y al mismo tiempo desarrollando más habilidades

resuelve estas ecuaciones con fracciones en uno de los miembros.

1) 2)

234

x

xx

234 3

7462 xx

a) Suprimir el denominador:

b) Resolver la operación resultante: x + 12 = 8

c) Transposición de términos: x = 8 – 12

d) Resolviendo la operación: x = - 4.

24344

4 x


107

3) 4)

5)

Ecuaciones fraccionarias (la fracción está en ambos miembros).

Ejemplo.

92

3 xx

42

65

a

a

421

8

x

4

3

7

2

c

a) Realizar una multiplicación cruzada: 4(2c) = 7(3)

b) Efectuando la operación: 8c = 21

c) Dividiendo entre 8 a ambos miembros: c = 21/8.


108

Ejercicio 52. También aquí aplicarás tus competencias desarrollando ecuaciones ahora con

denominadores a ambos miembros.

1. 2.

3. 4.

5.

3 5

4 4x x

5 2 2 3

5 4

x x

2

6

1

8

xx

3 2 3 5

4 6

x x

14

3

14

2

xx


109

Ecuaciones fraccionarias (con varios denominadores).

Ejemplo. Resuelve la siguiente ecuación d fracciones:

Ejercicio 53. Poniendo en juego todos tus conocimientos sobre fracciones, resuelve estas

ecuaciones con fracciones para adquirir nuevas habilidades.

1. x = ______ 2. x = ______

3. y = ______ 4. x = ______

34

3

4

9

2

3 xxx

462

xx 3 12

2 3

x

7

4

5

3y

2 52

4 3

x

a) Se calcula el MCM de 2, 4 y 3: El MCM es: 12

b) Se multiplica a cada término por 12:

c) Resolviendo: 18x + 27 = 9x – 4x

d) Reduciendo términos semejantes: 18x + 27 = 5x

e) Transposición de términos: 18x – 5x = - 27

f) Reducción de términos semejantes: 13x = 27

g) Dividiendo entre 13 en ambos miembros: x = 27/13.

312

4

312

4

912

2

312

xxx


110

5. z = ______

Ecuación fraccionaria con binomios

Ejemplo: Resuelve la siguiente fracción también con diferente denominador:

Ejercicio 54. Habilita tus competencias resolviendo las ecuaciones fraccionarias que a

continuación se te presentan.

1. 2.

3

13

2 z

z

3

143

5

23

xx

5

34

3

15

x

xx m

m584

3

25

a) Se calcula el MCM de 5 y 3: El MCM es 15

b) Se multiplica 15 por cada término:

c) Se efectúa la operación: 3(3x – 2) + 45 = 5(4x -1)

d) Se realiza la multiplicación: 9x – 6 + 45 = 20x – 5

e) Reducción de términos semejantes: 9x + 39 = 20x – 5

f) Transposición de términos: 9x – 20x = - 5 – 39

g) Reducción de términos semejantes: - 11x = - 45

h) Dividir entre – 11 a ambos miembros: x = 45/11.

3

1415315

5

2315

xx


111

3. 4.

5.

Ecuaciones literales (formulas)

Ejemplo. Despeja t de la siguiente formula

a) t está dividiendo, pasa multiplicando: tv = e

b) v está multiplicando, pasa dividiendo: t = e/v.

Ejercicio 55. Con actitud positiva desarrolla habilidades, despejando variable de las

siguientes formulas.

Despeja v de las siguientes formulas

1) 2) 3)

3

12

3

4

5

2

32

xxx

xxx

5

206

5

148

aa

324

3810

x

xx

t

ev

a

ve

2

2

2

2

1atvts

2

r

vmF


112

Despeja m de las siguientes formulas

4) 5) 6)

3.9 . Aplicación de ecuaciones de primer grado, en la solución de problemas.

Ejercicio 56. Lee y analiza cuidadosamente los siguientes problemas y resuélvelos, aplicando

las competencias adquiridas de todos los temas vistos.

1. Un número excede a otro en 5 y su suma es 29. ¿Cuáles son?

2. Hallar dos números sabiendo que su suma es igual a 24 y que uno de ellos es igual al triple

del otro

3. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el

número?

2

2

1vmEc vm

h

m

aT


113

4. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números? 5. Cinco veces un número más 21 es igual a tres veces ese número menos 11

3.10 . Sistemas de ecuaciones de primer grado. Objetivo. El estudiante aprenderá a resolver ejercicios y problemas aplicados a la vida real de

ecuaciones de primer grado con dos incógnita aplicando diversos métodos para solucionarlos.

Sistema de ecuaciones. Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más

incógnitas.

3.11 . Métodos de solución de sistemas de ecuaciones de primer grado, con

dos incógnitas.

Objetivo. El estudiante aprenderá a resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando

diferentes método para llegar a la solución.

Métodos de eliminación más usuales. Son tres: Método de reducción (suma o resta),

sustitución e Igualación.


114

A continuación se te explicaran los 3 métodos para que elijas el de tu preferencia para

resolver sistemas

3.11.1 Reducción.

Regla general para la resolución, por el método de reducción.

Se multiplican las dos ecuaciones por un número que convenga para que se igualen los

coeficientes de una de las incógnitas pero que sean de signos opuestos para que al sumar

se elimine.

Ejemplo Resolver el sistema:

a) Se multiplica por 2 a 2).

b) Se elimina la incógnita (y) y se reduce términos semejantes, resultando:

13x = - 26

c) Se divide entre 13 ambos miembros, obteniendo: x = - 2.

d) El valor de x se sustituye en 1) o 2); elegimos la 1) y resulta:

5x + 6y = 20 sustituyendo 5(-2) + 6y = 20, resolviendo: - 10 + 6y = 20.

e) Trasladando términos: 6y = 20 + 10; resolviendo: 6y = 30

f) Dividiendo entre 6 a ambos miembros: y = 5.

g) Solución: x = - 2 y y = 5.

Usando el método anterior resuelve el siguiente ejercicio.

Resolver el sistema:

)22334

)12065

yx

yx

)24668

)12065

yx

yx

2844

1832

yx

yx


115

3.11.2 Sustitución.

Regla general para la resolución, por el método de sustitución Se despeja una incógnita de una de las dos ecuaciones, se sustituye el valor de la

incógnita despejada en la otra ecuación

Ejemplo. 2x + 5y = -24 1)

8x – 3y = 19 2)

a) Se despeja x o y de 1) o 2).

b) Despejar x de 1):

c) Sustituir x en 2): , sustituir:

d) Simplificar: 4(- 5y – 24) – 3y = 19

e) Suprimiendo paréntesis: - 20y – 96 = 19

f) Transposición de términos: - 20y = 19 + 96

g) Reducción de términos semejantes: - 20y = 115

h) Dividir entre – 20 a ambos miembros: y = 115/-20

i) Simplificando, resulta: y = - 23/4.

Resolver la siguiente ecuación con el mismo método (sustitución)

2

245

yx

1938 yx 1932

2458

y

y


116

2x + 3y = 13

4x – y = 5

3.11.3 Igualación. Regla general para la resolución, por el método de igualación.

Se escoge una incógnita y se despeja en ambas ecuaciones.

Ejemplo:

7x + 4y = 13 1)

5x – 2y = 19 2)

a) Despejar x o y de 1) y 2).

b) Despejar x de 1):

c) Despejar x de 2):

d) Igualar x = x:

e) Multiplicar cruzado: 5(- 4y + 13) = 7(2y + 19)

f) Resolviendo la multiplicación: - 20y + 65 = 14y + 133

g) Transportación de términos: - 20y – 14y = 133 – 65

h) Reducción de terminos semejantes: - 34y = 65

i) Dividiendo entre – 34 a ambos miembros, resulta: y = - 65/34.

Resolver la siguiente ecuación con el mismo método (igualación)

7

134

yx

5

192

yx

5

192

7

134

yy


117

3.11.4 Determinante

Regla general para la resolución, por el método de determinante.

Para determinar el valor de X.

1. En el numerador, se coloca primero los números, en la primera columna y en la segunda

se ordenan los coeficientes de Y.

2. En el denominador, se coloca primero los coeficientes de X, en la primera columna y

después en la segunda se coloca los coeficientes de Y.

3. Para continuar con el procedimiento, tanto como el numerador como el denominador

se multiplica, la primera columna con la segunda respectivamente, el número superior

con el número inferior menos el número inferior con el número superior

respectivamente.

4. Ahora, el resultado se divide, en caso dado que no sea una división exacta, se simplifica

y si no se puede simplificar a su mínima expresión, se deja tal como está el resultado.

Para determinar el valor de Y.

1852

2234

yx

yx


118

5. En el numerador, se coloca primero los coeficientes de X, en la primera columna, y en

la segunda se anota los números.

6. Se repite el paso 2, 3 y 4

7. Así se obtiene la solución del sistema de ecuaciones de primer grado con dos

incógnitas.

Ejemplo. 1) Resolver el sistema:

5x + 6y = 20 (1)

4x – 3y = - 23 (2)

Determinar el valor de X.

x = - 2, y = 5, es la solución del sistema.

Usando el método anterior resuelve el siguiente ejercicio (determinante).

Resolver el sistema:

239

78

39

13860

2415

)138(60

34

65

323

620

x

539

195

2415

80115

34

65

234

205

y

2844

1832

yx

yx


119

3.11.5 Gráfico.

Regla general para la resolución, por el método gráfico.

Se trabaja con la primera ecuación.

1. Se iguala a cero X. 2. Se despeja Y.

3. Se obtiene primera coordenada.

4. Se iguala a cero Y.

5. Se despeja X.

6. Se obtiene la segunda coordenada.

Se trabaja con la segunda ecuación.

7. Se repite los pasos de 1 al 6.

8. No se te olvide, que con dos puntos se puede trazar una recta (teorema de la geometría

plana).

9. Se puede localizar cada una de las coordenadas de cada punto y de cada recta para

trazar la recta correspondiente.

10. Si las rectas se cortan en un solo punto la solución es una sola, si las rectas se trazan

en una sobre la otra, tienen infinitas soluciones y si las rectas nunca se cortan por más

que se prolonguen, no tiene solución (rectas paralelas).

Ejemplo.

2) Resolver el sistema:

5x + 6y = 20 (1)

4x – 3y = - 23 (2)

1) Se trabaja con la primera ecuación: 5x + 6y = 0


120

2) Se iguala a cero X, resultando: 6y = 20

3) Se despeja Y.

4) La primera coordenada es:

5) Se iguala a cero Y, resultando: 5x = 20

6) Se despeja X.

7) Se obtiene la segunda coordenada.

8) Se trabaja con la segunda ecuación: 4x – 3y = - 23

9) Se iguala a cero X, resultando: - 3y = - 23

10) Se despeja Y.

11) La primera coordenada es:

12) Se iguala a cero Y, resultando: 4x = - 23

13) Se despeja X.

14) Se obtiene la segunda coordenada.

15) No se te olvide, que con dos puntos se

puede trazar una recta.

Geometría.

16) Coordenadas para trazar la primera

recta:

y

17) Coordenadas para trazar la segunda

recta:

y

18) Trazar la gráfica:

33.33

10

6

20y

3

10,0

45

20x

)0,4

66.73

23

3

23

y

3

23,0

75.54

23

x

0,

4

23

3

10,0 )0,4

3

23,0

0,

4

23


121

x = - 2, y = 5, es la solución del sistema.

Ejercicio 57. Obtén más habilidades de este tema resolviendo los siguientes sistemas de

ecuaciones por el método de tu elección y de estos ejercicios que se te presentan elegir cuatro

para graficarlo en hojas milimétricas.

1.

(-2, 5) Unica solución del sistema

(0, 10/3)

(4, 0)

5x + 6y = 20

(0, 23/3)

(-23/4, 0)

4x - 3y = - 23

1334

956

yx

yx


122

2.

3.

4.

452

36310

yx

yx

86

1157

yx

yx

23

452

yx

yx


123

5.

Sistema de ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 58. Resuelve los siguientes sistemas por el método de tu elección

1.

2.

46

533

xy

yx

4

50

y

x

yx

143

4

0322

yx

yx


124

3.

4.

5.

02

123

yx

yx

23

1

63

yx

yx

13

72

52

yx

yx


125

. Resolución de problemas que plantean un sistema de dos ecuaciones lineales.

Ejercicio 59. Lee cuidadosamente y analiza cada uno de los siguientes ejercicios y después

resuélvelo empleando habilidades adquiridas.

1) La suma de dos números es 154 y su diferencia es 78. ¿Cuáles son esos números?

2) La cuarta parte de la suma de dos números es 11 y la tercera parte de su diferencia es 8.

¿Cuáles son esos números?

3) Se desea vender una carga de 100 kg de cacahuate de $ 65.00 el kg. Para ello se hace

una combinación de cacahuates de $ 50.00 el kg con otros de $ 70.00 el kg. ¿Cuántos kg

de cada clase de cacahuates se necesitan para tal combinación?


126

4) El doble de mi edad sobrepasa a la de mi alumno en 50 años, pero la cuarta parte de la

edad de mi alumno es 35 años menor que mi edad. Hallar ambas edades.

3.12 . Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ecuación de segundo grado. Es toda ecuación en la cual una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es

2.

4x2 + 7x + 6 = 0; es una ecuación de segundo grado. Ecuaciones completas. Son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, que tienen un término en x2, un término

en x y un término independiente de x.

Raíces de una ecuación.

Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación de segundo

grado tiene dos raíces.

Cuando la ecuación esta acomodada solo hay que sustituir los valores en la formula.

3.13 . Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado.


127

Objetivo. El estudiante aprenderá diferentes formas de resolver ecuaciones de segundo

grado con una incógnita.

Los métodos de solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita son:

Factorización, formula general y a completar el trinomio cuadrado perfecto.

3.13.1 Por factorización.

Regla general: Para resolver una ecuación de segundo grado por descomposición en factores:

1. Se simplifica la ecuación y se pone en la forma x2 + mx + n ó ax2 + bx + c = 0.

2. Se factoriza el trinomio del primer miembro de la ecuación.

3. Se iguala a cero cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones simples que se

obtienen de este modo.

Ejemplo. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática.

1) Resolver x2 + 5x – 24 = 0

Factorizando el trinomio

(x + 8)(x – 3) = 0

Igualando a cero cada factor

x + 8 = 0 y x – 3 = 0

Transponiendo términos en cada ecuación

x = -8 y x = 3

x1 = - 8 y x2 = 3, son las raíces de la ecuación dada.

2) Resolver 6x2 = 10 – 11x

Pasando en orden todo los términos al primer


128

Miembro e igualando a cero

6x2 + 11x – 10 = 0


(3x – 2)(2x + 5) = 0


3x - 2 = 0 y 2x + 5 = 0

Transponiendo términos en cada ecuación

3x = 2 y 2x = - 5

Dividiendo la primera ecuación en 3

y la segunda en 2.

y

Simplificando en cada ecuación

x = 2/3 y x = -5/2

x1 = 2/3 y x2 = - 5/2, son las raíces de la ecuación dada.

3) Resolver x(x – 1) – 5(x – 2) = 2

Resolviendo el producto

x2 – x – 5x + 10 = 2

Reduciendo términos semejantes

x2 – 6x + 10 = 2

Transposición de términos e igualando a cero

x2 – 6x + 10 – 2 = 0

Reduciendo términos semejantes

3

2

3

3

x

2

5

2

2

x


129

x2 – 6x + 8 = 0


(x – 4)(x – 2) = 0


x – 4 = 0 y x – 2 = 0

Transposición de términos

x = 4 y x = 2

x1 = 4 y x2 = 2, son las raíces de la ecuación dada.

4) Resolver

Hallar el m. c. m. de x2, x y 3

3x2 es el m. c. m. de x2, x y 3

Se multiplica 3x2 en cada término

Simplificando en cada término

3*6 – 3x*9 = x2*- 4

Resolviendo la multiplicación

18 – 27x = - 4x2

Pasando todos los términos al

Primer miembro e igualando a cero

4x2 – 27x + 18 = 0


(4x – 3)(x – 6) = 0

3

4962

xx

3

4*3

9*3

6*3 22

2

2 xx

xx

x


130


4x – 3 = 0 y x – 6 = 0


x = 3/4 y x = 6

x1 = 3/4 y x2 = 6, son

las raíces de la ecuación dada.

3.13.2 Completando trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo.

1) Resolver: x2 + 15x + 56 = 0

Transponiendo términos

x2 + 15x = - 56

Adicionándole el término faltante para a completar

en un trinomio cuadrado perfecto

x2 + 15x + = - 56 +

Sustituyendo a la ecuación el valor de b que es 15

x2 + 15x + = - 56 +

Suprimiendo paréntesis

x2 + 15x + = - 56 +

Factorizando el primer miembro

(x + )2 = - 56 +

4

2b

4

2b

4

152

4

152

4

225

4

225

2

15

4

225


131

Resolviendo la fracción del segundo miembro

(x + )2 =

Resolviendo la multiplicación indicada

(x + )2 =

Resolviendo la operación resultante del segundo miembro

(x + )2 =

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

Resolviendo


Separando las raíces

x1 = - x2 = -

Resolviendo las fracciones de cada raíz

x1 = - x2 = -

Simplificando ambas raíces

x1 = - 7 x2 = - 8

2

15

4

2254*56

2

15

4

225224

2

15

4

1

4

1)

2

15( 2 x

2

1

2

15x

2

1

2

15x

2

1

2

15

2

1

2

15

2

14

2

16


132

2) Resolver: 4x2 + 3x – 22 = 0

Dividir a toda la ecuación en 4 para dejarlo de la forma: x2 + bx + c = 0

Simplificar toda la ecuación


Adicionándole el término faltante para a completar

en un trinomio cuadrado perfecto

Resolviendo la potencia

Resolviendo la multiplicación resultante

Factorizando el primer miembro

04

22

4

3

4

4 2

xx

02

11

4

32 xx

2

11

4

32 xx

222

4

1

2

11

4

1

4

3bbxx

22

2

4

3

4

1

2

11

4

3

4

1

4

3

xx

16

9*

4

1

2

11

16

9*

4

1

4

32 xx

64

9

2

11

64

9

4

32 xx

64

9

2

11

8

32

x


133

Obtener el m. c. m. de 2 y 64

64 es el m. c. m. de 2 y 64

Resolviendo la operación resultante del numerador del segundo miembro

Resolviendo la suma resultante en el numerador del segundo miembro

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

Resulta


Separando raíces

Resolviendo las fracciones de cada raíz

64

911*32

8

32

x

64

9352

8

32

x

64

361

8

32

x

64

361

8

32

x

8

19

8

3x

8

19

8

3x

8

19

8

31 x

8

19

8

32 x

8

1931

x

8

1932

x


134

Resolviendo la operación resultante en los numeradores

Simplificando las fracciones en cada raíz

3.13.3 Fórmula general.

Formula general:

Ejemplo.

Resolver la ecuación: 3x2 – 7x + 2 = 0

a) Obtener los valores de a, b y c: a = 3, b = - 7 y c = 2

b) Sustituir los valores de a, b y c en la fórmula:

c) Resolviendo:

d) Separando raíces: y

e) Las raíces son: y

Ejercicio 60. Aplica tus competencias resolviendo las siguientes ecuaciones de segundo grado

con una incógnita aplicando cualquiera de los métodos antes visto para la solución.

1.

8

161 x

8

222

x

21 x4

111 x

a

acbbx

2

42

)3(2

)2)(3(4)7()7( 2 x

6

57

6

257

6

24497

x

26

12

6

571

x

3

1

6

2

6

572

x

21 x3

12 x

0472 2 xx


135

2.

3.

4.

xx 11106 2

212 17 6 0x x

230157 xx


136

5.

Ecuaciones incompletas.

Son ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 que carecen del término en x

a. b. x2 – 16 = 0 c.

O de la forma ax2 + bx = 0 que carece de término independiente.

d.3x2 + 5x = 0 e. f.

Ejemplo. 1) Resuelve la siguiente ecuación. 5x2 – 125 = 0 a) Factorizando por término común: 5(x2 – 25) = 0

b) Dividiendo en 5 a ambos miembros resulta: x2 – 25 = 0.

c) Resolviendo la diferencia de cuadrados perfectos, resulta: (x – 5) (x + 5) = 0

d) Igualando a cero cada factor: x – 5 = 0 y x + 5 = 0.

e) Despejando x en ambas ecuaciones: x1 = 5 y x2 = - 5 (solución).

2) Resuelve la siguiente ecuación. x2 – 6x = 0 a) Factorizando por término común: x(x – 6) = 0

b) Igualando a cero cada factor: x = 0 y x – 6 = 0

c) Despejando x en la segunda ecuación: x1 = 0 y x2 = 6 (solución).

062 xx

483 2 x 0502

2

x

xx 52 xx

x

4


137

Ejercicio 61. Pon en práctica tus habilidades, resolviendo ecuaciones de segundo grado con

una incógnita incompleta, ten en cuenta tu ejemplo.

1) 2)

3) 4)

5)

xx 324 2 4695 2 x

xxxx 433 22 2245 2 xx

2618 xx


138

3.13.4 Gráfico.

Toda ecuación de segundo grado con una sola incógnita en 𝑥 representa una parábola

cuyo eje es paralelo al eje de las ordenadas.

Ejemplo.

Grafica la siguiente ecuación 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0.

3.14 . Problemas que se resuelven aplicando ecuaciones de segundo grado.

(-1, 10)

(0, 4)

(1, 0) (4, 0)

(5, 4)

(6, 10)Parábola vertical

Eje X

Eje Y

x y

-1 10

0 4

1 0

2 -2

3 -2

4 0

5 4

6 10

Tabulación de puntos


139

Objetivo. El estudiante resolverá problemas donde aplicará conocimientos y habilidades de

ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Ejercicio 62. Practica con estos problemas de una manera divertida poniendo en práctica tus

habilidades obtenidas en los temas anteriores.

1) A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar

ambas edades.

2) A compró cierto número de sacos de frijoles por $ 240. Si hubiera comprado 3 sacos más por el

mismo dinero, cada saco le habría costado $ 4 menos. ¿Cuántos sacos compró y a qué precio?

3) La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y

el ancho en 6 m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno.


140

4) Una persona vende un caballo en $ 24, perdiendo un % sobre el costo del caballo igual al número

de pesos que le costó el caballo. ¿Cuántos le había costado el caballo?

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN ESCUELA … didactico/programas/2016/Semestre... · Suma y resta...

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