UNIVERSIDAD NACIONAL DE IngenieríaUNIVERSIDAD NACIONAL DE IngenieríaUNI-NORTE, SEDE ESTELÍ.

DIBUJO Y GEOMETRÍA DESCRIPTIVA 2

ECUACIONES EMPÍRICAS

ELABORADO POR: Dania Lisbeth González D. Indira Yaosca Rostrán Jonathan Alexis Castro G. Jorge Luis Morán R. Roberto Enrique Zeledón C. Nestor Osvaldo Salgado. Wester de Jesús Alfaro

Contenido

Introducción Gráficas (y=a+bx)

Método: puntos seleccionados, mínimos cuadrados.

Gráficas logarítmicas (y=axb) Método: puntos seleccionados, promedios,

mínimos cuadrados. Gráfica logarítmica (y=abx)

Método: puntos seleccionados, promedio, mínimos cuadrados.

Introducción

En todas las fases del trabajo de ingeniería, el ingeniero o el tecnólogo en ingeniería elaboran un trabajo intenso con cantidades físicas, y son ellos quienes están más relacionados con el comportamiento de las cantidades en dependencia que existen entre ellas. Es por eso que se utiliza ecuaciones matemáticas, aunque a veces se desconoce la ecuación exacta.

Ecuación Empírica

Es una ecuación que se determina mediante los datos obtenidos de un experimento, a partir de un gráfico.

Es posible que no exista una ecuación empírica única que corresponda a todos los datos obtenidos. Sin embargo, en la mayor parte esos casos se puede encontrar una serie de ecuaciones empíricas diferentes con alcance limitado (según sus parámetros).

Ecuaciones de la forma y=a+bx

Si al trazar los puntos que representan datos, dichos puntos quedan sobre una línea que pudiera ser recta al graficarla en un papel coordenado rectangular, entonces la ecuación de los datos será lineal o de primer grado y tendrá la forma de y= a+bx, donde b es la pendiente de la recta y a es el intercepto de y ( cuando x=0).

Ecuaciones de la forma y=a+bx

Pasos a realizar:

1. Comprobar que la relación entre las cantidades sea lineal.

2. Dibujar la línea recta que mejor represente el promedio de los datos.

3. Prolongar la línea, si es necesario, hasta el eje y, que determina al intercepto de y (cuando x=0), el cual será el valor de a en la ecuación.

4. Calcular la pendiente (b) a partir de cualesquiera dos puntos.

.xxyy

b12

12

EjemploSi no fuera

razonable incluir x=0 en el trazo de

los datos, entonces se determina un par

de ecuaciones simultáneas

utilizando dos puntos de la recta:

22

11

bxay

bxay

Ecuaciones de la forma y=axb

Si los datos trazados coinciden aproximadamente con una línea recta en un papel de gráficas logarítmicas, la ecuación de los datos es exponencial de la forma y=axb.

Las ecuaciones exponenciales de este tipo, donde una cantidad varía con respecto directamente en función del exponente de la otra, pueden resultar curvas parabólicas o hiperbólicas cuando se trazan en papel coordenado rectangular, dependiendo de que el exponente sea positivo o negativo.

Para valores positivos de b (exceptuando la unidad) las curvas son parabólicas; los valores negativos producen curvas hiperbólicas.

Cuando se escribe la ecuación en forma logarítmica y se reescribe como

log y =log a + b log x, entonces adopta la forma de la ecuación de una recta. En este caso, cuando x=1, entonces y=a porque log 1= 0.

Ecuaciones de la forma y=axb Pasos a realizar:

1. Después de trazar los datos (y contra x) sobre un papel logarítmico, dibujamos una línea recta representativa (promedio).

2. Prolongamos la recta hasta el eje y, que determina a a en el intercepto de y (cuando x=1).

3. Determinamos b usando dos puntos en la ecuación siguiente:

Si en el trazo de los datos no se incluye x=1, entonces se puede recurrir a un par de ecuaciones simultáneas:

Al resolver para a (y para b) la solución da el valor de log a. Los valores reales de a (y de b) deben buscarse en las tablas de logaritmos.

.loglog

loglog

12

12

xx

yyb

22

11

logloglog

logloglog

xbay

xbay

Ejemplo

P1=(2.5,5)

P2=(60,30)

Ecuaciones de la forma y=abx

Si los datos trazados determinan aproximadamente una recta en papel de gráficas semilogarítmico, la ecuación de los datos es exponencial de la forma y=abx.

Esta ecuación se puede reescribir como log y= log a + x log b, la cual una vez más es de la forma de la ecuación de la recta.

En este caso, cuando x=0, entonces y=a.

Ecuaciones de la forma y=abx.Pasos a realizar:

1. Con los datos de la ecuación exponencial trazados directamente sobre papel semilogarítmico para gráficas, ibujamos la recta más representativa por entre los puntos trazados.

2. La recta prolongada hasta el eje y (x=0) determina el valor de a.

3. Seleccionamos dos puntos sobre la línea y sustituimos sus coordenadas en la ecuación:

4. Conocido el valor de log b, el valor real de b que se necesita para la ecuación se puede encontrar en las tablas de logaritmos.

.loglog

log12

12

xxyy

b

Si no se incluye x=0 al trazar los datos, entonces se pueden resolver las ecuaciones simultáneas:

Si se dispone de logaritmos naturales, la ecuación y=abx puede cambiarse por y=Aemx. A su vez, esta última se puede escribir como ln y= ln A +mx la cual sigue siendo la ecuación de una recta. El valor de A se determina como antes con x=0, y

Cuando x=0 no está incluida, se usan las ecuaciones:

bxay

bxay

logloglog

logloglog

22

11

.lnln

12

12

xxyy

m

22

11

lnln

lnln

mxAy

mxAy

Ejemplo

P1= (2,15)

P2= (5,60)

CONCLUSIÓN

Las ecuaciones empíricas tienen muchas aplicaciones, por ejemplo en la estimación la descarga de sedimentos de fondo en corrientes naturales.La construcción de sistemas de tratamiento de las aguas residuales requiere de un diseño adecuado del mismo. Para eso se han aplicado diferentes métodos, entre los que se encuentran el uso de ecuaciones empíricas. Entre las ecuaciones empíricas más utilizadas en el diseño de las lagunas de estabilización, así como de los sistemas acuáticos de tratamiento, se encuentra la obtenida al relacionar la COa (carga orgánica superficial aplicada) y la COr (carga orgánica superficial removida). Esta relación ha sido determinada por varios autores en distintas partes del mundo (Stowell y col., 1981; Hayes y col., 1987; DeBusk y Reddy, 1987; Rodríguez, 1997),.

BIBLIOGRAFÍA

Fundamentos de Dibujo en Ingeniería.

Warren J. Luzadder, P.E., Jon M. Duff, Ph.D. Undécima Edición.

Pearson Educación