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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ® FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

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INFORME FINAL DEL TEXTO

CENTRO DE DOCUMENTACION CIENTIFICA Y TRADUCCIONES

"TEXTO: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL"

AUTOR: JULIO CESAR BORJAS CASTAÑEDA

PERIODO DE EJECUCION: 01 de abril del 2013 al 31 de marzo del 2014

RESOLUCION DE APROBACION: RR No 347-2013-R

CALLAO, 2014

l. INDICE

l. INDICE

11. INTRODUCCION

111. CONTENIDO

Capitulo 1. Diseño de sistemas de control

1.1 Diseño y compensación de sistemas de control

1

3

4

4

4

1.2 Especificaciones de comportamiento 4 1

1.3 Compensación del sistema 5

1.4 Procedimiento de diseño 6

Capitulo 2. Diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 7

2.1 Introducción 7

2.2 Consideraciones preliminares de diseño 8

2.3 Compensación de adelanto 9

2.4 Compensación en atraso

2.5 Compensación atraso-adelanto

2.6 Compensación paralela

2. 7 Controlador proporcional derivativo.

2.8 Controlador proporcional integral

2.7 Controlador proporcional integral derivativo

Capitulo 3. Diseño de sistemas de control por el método de la

respuesta en frecuencia.

11

12

16

18

19

20

53

3.1 Introducción

3.2 Compensación de adelanto

3.3 Compensación de atraso

53

53

56

3.4 Compensación atraso-adelanto 59

Capitulo 4. Controladores PID y controladores PID modificado 76

4.1 Reglas de Ziegler Nichols para la sintonía de controladores PID 76

4.2 Diseño de controladores PID mediante el método de 83

respuesta en frecuencia

1

4.3 Diseño de controladores PIO mediante el método de la 89

Optimización computacional.

4.4 Modificaciones de los esquemas de control PID 95

4.5 Control con dos grados de libertad 99

Capitulo 5. Variaciones en el diseño del controlador 103

5.1 Correlación entre funciones de transferencia y ecuaciones en 103

el espacio de estados

5.2 Asignación de polos utilizando realimentación del estado 104

5.3 Controlabilidad 106

5.4 Observabilidad 106

5.5 Estimación de estado 108

5.6 Realimentación de la salida 112

IV. REFERENCIALES 125

V. APENDICES 126

VI. ANEXOS 136

2

11. INTRODUCCION

El texto presenta un tratamiento del análisis y diseño de los sistemas de control.

Esta escrito para estudiantes de ingeniería (eléctrica, electrónica y otra

especialidades) con la finalidad de que se pueda utilizar como texto para un

segundo curso de sistemas de control. Se supone que el estudiante ha seguido un

primer curso de sistemas de control.

El texto trata de los métodos de diseño de los controladores de procesos PI, PO, y

PID; también el diseño de los compensadores en atraso, adelanto y atraso

adelanto. Los métodos que se aplican al diseño de los controladores son: el lugar

geométrico de las raíces, método de la frecuencia, métodos de Ziegler-Nichols y

realimentación de estados.

El texto está organizado en 6 caprtulos. A continuación se describe brevemente el

contenido de cada caprtulo. El capitulo 1 presenta una introducción al texto y se

explica el procedimiento de diseño. El capitulo 2 aborda el diseño de

compensadores y además los controladores, aplicando el método del lugar

geométrico de las raíces. El capitulo 3 trata el diseño de compensadores por el

método de la respuesta en frecuencia utilizando el diagrama de Nyquist. El capitulo

4 trata del diseño de controladores PID mediante las reglas de Ziegler-Nichols: la

curva de reacción y la oscilación. El capitulo 5 trata del análisis de los sistemas de

control en espacio de estados. El capitulo 6 aborda el tema del diseño de los

sistemas de control en espacio de estados. A partir del capítulo 2 la parte teórica se

refuerza con problemas resueltos y resultados de la respuesta en el tiempo como

resultados de la corrida de programas en Matlab.

111. CONTENIDO

CAPITULO 1

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL

1.1 Disefio y compensación de sistemas de control

Este texto presenta aspectos básicos del diseño y compensación de los sistemas

de control. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema para

que satisfagan unas especificaciones determinadas. Las aproximaciones al diseño

de sistemas de control y compensación que se presentan en este texto son la

aproximación mediante el lugar de las raíces, la respuesta en frecuencia y la

aproximación en el espacio de estados. El diseño de sistemas de control basado en

compensadores PIO se presenta en el capítulo 4.

En el diseño real de un sistema de control, el que se utilice un compensador

electrónico, neumático o hidráulico debe decidirse en parte en función de la

naturaleza de la planta que se controla. Por ejemplo, si la planta que se controla

contiene fluidos inflamables, debe optarse por los componentes neumáticos (tanto

un compensador como un actuador) para eliminar la posibilidad de que salten

chispas. Sin embargo si no existe el riesgo de incendio, los que se usan con mayor

frecuencia son los compensadores electrónicos.

1.2 Especificaciones de comportamiento

Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requisitos

impuestos sobre el sistema de control se dan como especificaciones de

comportamiento.

Las especificaciones pueden venir dadas como requisitos en la respuesta

transitoria (como, por ejemplo, la máxima sobreelongación y el tiempo de

asentamiento en la respuesta a un escalón) y requisitos en el estado estacionario

(como, por ejemplo, el error en estado estacionario frente a una entrada tipo

rampa).

4 ~

Las especificaciones de un sistema de control se deben dar antes de que comience

el proceso de diseño.

Para problemas de diseño rutinarios, las especificaciones de comportamiento (las

cuales relacionan la precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta) se

proporcionan en términos de valores numéricos precisos.

En otros casos, se ofrecen una parte en términos de valores numéricos precisos y

otra parte en términos de planteamiento cualitativos. En este último caso, puede

ser necesario modificar las especificaciones durante el proceso de diseño, ya que

es posible que las especificaciones dadas nunca se cumplan (debido a que los

requisitos producen conflictos) o conduzcan a un sistema muy costoso. Por lo

general, las especificaciones de comportamiento no deben ser más restrictivas de

lo necesario para realizar la tarea definida.

Si la precisión de una operación en estado estable es de vital importancia para un

sistema de control, no se deben pedir especificaciones de comportamiento más

restrictivas de lo necesario sobre la respuesta transitoria, ya que tales

especificaciones requerirán componentes costosos.

Recuérdese que la parte más importante del diseño de un sistema de control es la

precisión en el planteamiento de las especificaciones de comportamiento con el fin

de obtener un sistema de control óptimo para el propósito deseado.

1.3 Compensación del sistema

Establecer la ganancia es el primer paso para llevar al sistema aun comportamiento

satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos, ajustando únicamente la

ganancia tal vez no proporcione la alteración suficiente en el comportamiento del

sistema para cumplir las especificaciones dadas.

Como ocurre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia mejora el

comportamiento en estado estacionario pero produce una estabilidad deficiente o,

incluso, inestabilidad.

En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema (modificando la estructura o

incorporando dispositivos o componentes adicionales) para alterar el

comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se desea.

S

Este nuevo diseño o adición de de un dispositivo apropiado se denomina

compensación. Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las

especificaciones se denomina compensador. El compensador modifica el

comportamiento deficiente del sistema original.

1.4 Procedimiento de diseño

En la aproximación de prueba y error para el diseño de un sistema, se parte de un

modelo matemático del sistema de control y se ajustan los parámetros de un

compensador.

La parte de este proceso que requiere más tiempo es la verificación del

comportamiento del sistema mediante un análisis, después de cada ajuste de los

parámetros. El disefíador debe utilizar un programa para computador como

MATLAB para evitar gran parte del cálculo numérico que se necesita para esta

verificación.

Una vez obtenido un modelo matemático satisfactorio, el disefíador debe construir

un prototipo y probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura la estabilidad

absoluta en lazo abierto, el disefíador cierra el lazo y prueba el comportamiento en

lazo cerrado.

Debido a los efectos de carga no considerados entre los componentes, la falta de

linealidad, los parámetros distribuidos, etc., que no se han tenido en cuenta en el

disefío original, es probable que el comportamiento real del prototipo del sistema

difiera de las predicciones teóricas.

Por tanto, tal vez el primer disefío no satisfaga todos los requisitos de

comportamiento. Mediante el método de prueba y error, el disefíador debe cambiar

el prototipo hasta que el sistema cumpla las especificaciones.

Debe analizar cada prueba e incorporar los resultados de este análisis en la prueba

siguiente. El disefíador debe conseguir que el sistema final cumpla las

especificaciones de comportamiento y, al mismo tiempo, sea fiable y económico.

6

CAPITULO 11

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL POR EL MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES

2.1 Introducción

El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientos para el diseño

y la compensación de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes

con el tiempo. La compensación es la modificación de la dinámica del sistema,

realizada para satisfacer las especificaciones determinadas. El método que se usa

en este capítulo para el diseño y la compensación es el lugar de la raíces.

Especificaciones de comportamiento. Los sistemas de control se diseñan para

realizar tareas específicas. Los requisitos impuestos sobre el sistema de control se

dan como especificaciones de comportamiento. Las especificaciones pueden venir

dadas como requisito en la respuesta transitoria (como, por ejemplo, el máximo

sobreimpulso y el tiempo de asentamiento en la respuesta a un escalón) y

requisitos en el estado estacionario (como, por ejemplo, el error en estado estable

frente a una entrada tipo rampa).

Las especificaciones se deben dar antes de que comience el proceso de diseño.

Recuérdese que la parte más importante del diseño de un sistema de control es la

precisión en el planteamiento de las especificaciones de comportamiento con el fin

de obtener un sistema de control óptimo para el periodo deseado.

Diseño mediante el lugar de las raíces. El diseño por el método del lugar de las

raíces se basa en redibujar el lugar de las raíces del sistema añadiendo polos y

ceros a la función de transferencia en lazo abierto del sistema y hacer que el lugar

de las raíces pase por los polos en lazo cerrado deseados en el plano s.

La característica del diseño del lugar de las raíces es que se basa en la hipótesis

de que el sistema en lazo cerrado tiene un par de polos dominantes. ·

Compensadores. Se necesita un compensador para cumplir las especificaciones

de comportamiento, el diseñador debe realizar un dispositivo físico que tenga

7

incorporada la función de transferencia del compensador. Si una entrada sinusoidal

se aplica a la entrada de una red, y la salida en estado estacionario tiene un

e adelanto de fase, la red se denominara red de adelanto. Si la salida en estado

estacionario tiene un retardo de fase, la red se denominara red de retardo. En una

red retardo-adelanto, ocurren tanto un retardo de fase como un adelanto de fase en

la salida pero en diferentes regiones de frecuencia; el retardo de fase se produce

en la región de baja frecuencia y el adelanto de fase en la región de alta frecuencia.

2.2 Consideraciones preliminares de diseño

Al desarrollar un sistema de control, se sabe que la modificación adecuada de la

dinámica de la planta puede ser una forma sencilla de cumplir las especificaciones

de comportamiento. Sin embargo, tal vez esto no sea posible en muchas

situaciones prácticas, debido a que la planta este fija y no pueda modificarse. En

este caso, deben ajustarse parámetros diferentes a los que tiene la planta fija. En

este texto se supone que la planta está definida y es inalterable.

Método del lugar de las rafees para el diseño de un sistema de control. El

método del lugar de las raíces es una técnica grafica que permite determinar las

localizaciones de todos los polos en tazo cerrado a partir de las localizaciones de

los polos y ceros en lazo abierto cuando algún parámetro (la ganancia) varía de

cero al infinito. Este método se basa en dos propiedades las cuales son: la

condición de magnitud y la condición de ángulo

IG(s)l = 1 condicion de magnitud

LG(s) = 180°(2n + 1) condicion de angulo jOJ jOJ jOJ

(a) (b) (e)

u

Figura 2.1. (a) Grafica LGR de un sistema de un poto; (b) grafica LGR de un sistema de dos polos; (e) grafica de un sistema de tres polos

Efectos de la adición de polos. La adición de un polo a la función de

transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar de las raíces a la

derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de

asentamiento de la respuesta. Físicamente, la adición de un polo significa agregar

al sistema un control integral.

Efectos de la adición de ceros. La adición de un cero a la función de

transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar de las raíces

hacia la izquierda, lo cual tiende a hacer el sistema más estable, y se acelera el

tiempo de asentamiento de la respuesta. Físicamente, la adición de un cero

significa agregar al sistema un control derivativo. j(i) j(i)

O' O'

(a) (b) (e) (d)

Figura 2.2. (a) Grafica del LGR de un sistema con tres polos; (b), (e) y (d) graficas del LGR que muestran los efectos de la adición de un cero al sistema de tres polos.

2.3 Compensación de adelanto.

Un compensador de adelanto en cascada introduce el cero más cercano al origen

que el polo. La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e

incrementa la estabilidad del sistema.

Figura 2.3. Compensador en adelanto

La función de transferencia de este circuito es

9

La ganancia en continua es R2R4

Kc OC=--R1Rg

Si !. < 2:.... es un compensador en adelanto, es decir oc< 1, T cx:T

jmt (]' ., o ..

1 1 R,c, R,C,

Figura 2.4. Configuración de polos y ceros de la red de adelanto

Técnicas de disefto para la compensación de adelanto. Los procedimientos

para diseñar un compensador de adelanto para el sistema de la figura siguiente,

mediante el método del lugar de las raíces se plantean del modo siguiente:

..

Figura 2.5. Sistema de control

1. A partir de las especificaciones de comportamiento, determine la localización

deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.

2. Por medio de una grafica del lugar de las raíces del sistema sin compensar

(sistema original), compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no por si

solo proporcionar los polos en lazo cerrado adecuados. Si no, calcule la

deficiencia de ángulo <J>. Este ángulo debe ser una contribución del

compensador de adelanto si el nuevo lugar de las raíces va a pasar por las

localizaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado.

3. Suponga que el compensador en adelanto es

10

~

1 Ts + 1 s +r

Gc(s) = Kc oc T 1

= Kc 1 , (O <oc< 1) oc s+ +

s ocT

Donde oc y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo, Kc se

determina a partir del requisito de la ganancia en lazo abierto.

4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la

localización del polo y del cero del compensador de adelanto, para que el

compensador de adelanto contribuya al ángulo el> necesario. Si no se impone

otros requisitos sobre el sistema, intente aumentar el valor de ,oc lo más que

pueda. Un valor más grande de oc, generalmente, proporciona un valor más

grande de Kv, lo que es deseable.

5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la

condición de magnitud.

2.4 Compensación en atraso.

Un compensador de atraso en cascada introduce el polo en lazo abierto más

cercano al origen que el cero. La compensación de retardo mejora la precisión en

estado estacionario del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta.

Si ~ > 2.. es un compensador en atraso, es decir oc> 1, así T rx.T

1 1 -->--R¡C¡ R2C2

jOJ

u 1 1 o

--- --R 1C 1 RzCz

Figura 2.6. Configuración de polos y ceros de la red de atraso

Técnicas de diseño para la compensación de retardo.

El procedimiento para diseñar compensadores en retardo se plantea del modo

siguiente:

llar

1. Dibuje la grafica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no

compensado, cuya función de transferencia en lazo abierto sea G(s). en

función de las especificaciones de la respuesta transitoria, situé los polos

dominantes en lazo cerrado en el lugar de las raíces.

2. Suponga que la función de transferencia del compensador de retardo es

1 Ts + 1 s +r

Gc (s) = KcP PT 1 = Kc 1 s+ s+-

PT Así, la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en Gc(s)Gp(s)

3. Calcule la constante de error estático especificada en el problema.

4. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para

satisfacer las especificaciones.

5. Determine el polo y el cero del compensador de retardo que producen el

incremento necesario en la constante de error estático sin modificar

apreciablemente los lugares de las raíces originales.

6. Dibuje una nueva grafica del lugar de las raíces para el sistema no

compensado. Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre

el lugar de las raíces.

7. Ajuste la ganancia Kc del compensador a partir de la condición de magnitud,

para que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la

localización deseada (Kc será aproximadamente 1 ).

2.5 Compensación atraso-adelanto.

Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado

estacionario, deben utilizarse en forma simultánea un compensador de adelanto y

un compensador de retardo. Sin embargo, en lugar de introducir un compensador

de adelanto y un compensador de atraso, ambos como elementos independientes,

es más económico utilizar únicamente un compensador de retardo adelanto.

La compensación de retardo-adelanto combina las ventajas de las compensaciones

de retardo y de adelanto. Debido a que el compensador de retardo adelanto posee

dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a

12

menos que ocurra una cancelación de pollos y ceros en el sistema compensado. La

función de transferencia para el circuito de la figura

z2

~-.1\M~z-J ---1 r ~--{, 1

l ____________________ J

Figura 2.7. Compensador adelanto·atraso

Por lo tanto se tiene que

Técnicas de compensación de retardo-adelanto. Supóngase que se utiliza el

compensador de retardo-adelanto:

{J (T1s+1)(T1s+1) (s+A)(s+A) Gc(s) = Kc- T = Kc --y 1 , {J > 1 y y > 1

Y (; s + 1) ({JT2s + 1) s + Tl s + {JT2

13

Supóngase que Kc pertenece a la parte de adelanto del compensador de retardo

adelanto. Al diseñar los compensadores de retardo-adelanto, se consideran dos

casos: y * P y y = p Caso 1. y* p En este caso, el proceso de diseño es una combinación del diseño del

compensador de adelanto con el compensador de retardo. El procedimiento de

diseño es el siguiente:

1. A partir de las especificaciones de comportamiento dadas, determine la

localización deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.

2. Utilice la función de transferencia en lazo abierto sin compensar G(s), para

determinar la deficiencia de ángulo </J si los polos dominantes en lazo

cerrado estuviesen en la posición deseada. La parte de adelanto de fase del

compensador de retardo-adelanto debe contribuir a este ángulo </J.

3. Suponiendo que después selecciona un T2 suficientemente grande para que

la magnitud de la parte de retardo.

1 S¡ +r;

1 S¡+ PTz

se acerque a la unidad, de modo que s = s1 es uno de los polos dominantes

en lazo cerrado, elija los valores de T1 y y a partir de la siguiente igualdad:

1 S¡+ T¡

L y=</J S¡+ T¡

La elección de T1 y y no es única. A continuación determine el valor de Kc a

partir de la condición de magnitud:

1 S¡+ T¡

Kc y G(s1) = 1 S¡+ T¡

4. Si se especifica la constante de error estático de velocidad Kv, determine el

valor de p que satisfaga el requisito de Kv se obtiene mediante

Kv= limsGc(s)Gp(s) s-+0

14

= limsKc(s+ ~)( 5 +~)Gp(s) s .... o s+- s+-

T¡ f3Tz

= limsKc[!_Gp(s) s .... o y

donde Kc y y se determinan en el paso 3. Por tanto, dado el valor de Kv, el

valor de {1 se determina a partir de la ultima ecuación. Después, usando el

valor de {1 determinado de este modo, seleccione un valor de T2 tal que

Caso 2. y= p

S+_!_ •-~Tz=-•-1 1 -s+ f1Tz

1 s+-so T2 0

o

- <L < 1 s+ f1Tz

Para este caso el procedimiento anterior se modifica del modo siguiente:

1. A partir de las especificaciones de comportamiento dadas, determine la

localización deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.

2. El compensador de retardo-adelanto se modifica a

( ) (T1s + 1)(T2s + 1) (s +A) ( s + ~) Gc s = Kc (T ) = Kc --y- 1

js + 1 ({1T2s + 1) s + r1

s + pr2

donde p > 1. La función de transferencia en lazo abierto del sistema

compensado es Gc(s)Gp(s). Si se especifica la constante de error estático de

velocidad Kv, determine el valor de la constante Kc a partir de la ecuación

siguiente:

3. Para obtener los polos dominantes en lazo cerrado en la localización

deseada, calcule la contribución requerida del ángulo ifJ de la parte de

adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto.

15

4. Para el compensador de retardo-adelanto, seleccione una T2

suficientemente grande con el de que

1 S¡ +r;_

1 S¡+ {3T2

se aproxime a la unidad, de modo que s = s1 es uno de los polos

dominantes en lazo cerrado. Determine los valores de T1 y {3 a partir de las

condiciones de magnitud y de ángulo:

Kc (•• + ~) G(s1 ) = 1 S¡+ T¡

1 s¡ +r

L 1=</> S¡+./!_

T¡

5. Utilizando el valor de {3 que se acaba de calcular, seleccione T2 de modo que

1 S¡+ T2

·---::"1-1 = 1

S¡+ {3T2

S+..!_ S

o T2 0o

- <L 1 < s + {3T2

El valor de {3T2, la constante de tiempo mayor del compensador de retardo

adelanto, no debe ser demasiado grande con el fin de que pueda materializarse

físicamente.

2.6 Compensación paralela.

Hasta aquí se ha presentado las técnicas de compensación serie utilizando

compensadores de adelanto, retardo o retardo-adelanto. En esta sección se discute

la técnica de compensación paralela. Debido a que en el diseño de la

compensación paralela el controlador (o compensador) se encuentra en un lazo

secundario, el. diseño puede parecer más complicado que en el caso de la

16

compensación serie. Sin embargo, no será complicado se reescribe la ecuación

característica para que tenga la misma forma que la ecuación característica para

los sistemas de compensación serie. Principio básico para diseñar sistemas de

compensación paralelos. Haciendo referencia a la figura siguiente; la función de

transferencia en lazo cerrado para el sistema con compensación serie es

e GcG R = 1 + GcGH

La ecuación característica es 1 + GcGH =o. Dadas G y H, el problema de diseño

consiste en determinar el compensador Gc que satisfaga la especificación. La

función de transferencia en lazo cerrado para el sistema con compensación

paralela es

e G1Gz R = 1 + GcG2 + G1 G2H

La ecuación característica es 1 + GcG2 + G1 G2H = O

e

(a) Compensación serie

e

(b) Compensación paralela

Figura 2.8. Compensación (a) serie y (b) paralela

Dividiendo esta ecuación característica en la suma de los términos que no contiene

Gc, se obtiene.

1 + 1 + G1G

2H =O

Gz G¡ = 1 + G

1G

2H

17

La ecuación se convierte en: 1 + GcGt =o. Como G1 es una función de

transferencia fija, el diseño de Gc llega a ser igual en el caso la compensación serie.

2. 7 Controlador proporcional derivativo.

La figura siguiente muestra el diagrama de bloques de un sistema de control a la

cual se le ha agregado un controlador proporcional derivativo (PO).

+

Contro/adt:r Gc(s)

r-----------------1 1 1 : 1 + 1 1 1 1 ~~~ 1 1 1 1 1 1 1

~----------------~

Figura 2.9. Controlador PO

Para tal combinación la salida del controlador es

de u= Kpe +Ka dt

La función de transferencia del controlador es

Gc(s) = Kp + Kds

Planta

Kp =ganancia proporcional, Kd =ganancia derivativa

rd = constante de tiempo derivativa

Mediante un acomodo de la función de transferencia se obtiene 1

Gc(s) = Ka(s + -) Ta

Aquí el controlador PO agrega un cero en z = - 2:.. 'fd

Resumen de los efectos de un controlador PO

Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo. Reduce el tiempo de

levantamiento y el de asentamiento. Incrementa el ancho de banda. Mejora el

margen de ganancia y de fase. Puede acentuar el ruido en altas frecuencias. No es

efectivo para sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente inestables. Puede

requerir un capacitar muy grande en la implementación del circuito.

18

2.8 Controlador proporcional integral.

La reducción en la estabilidad relativa como resultado de usar el control integral se

puede resolver, como una extensión, mediante el control proporcional integral (PI).

Para tal combinación la salida del controlador es

u= Kpe + Kt itedt

Controlador G.(s)

+

Figura 2.1 O. Controlador PO

La función de transferencia del controlador es

Kt Gc(s) = Kp +

s

Kp = ganancia proporcional, Kt = ganancia integral

Mediante un acomodo de la función de transferencia se obtiene

1 Kp(s + ,J

Gc(s) = z S

Donde 'l"t =constante de tiempo integral. De esta manera, mediante el uso del

control Pi se adicionan un cero en z = _.!. y un polo en p =O. El factor 1/s Ti

incrementa el tipo de sistema en uno y elimina la posibilidad de un error en estado

estable para una entrada escalón. Debido a que se introducen un nuevo polo y un

nuevo cero, la diferencia entre el número de polos y el número de ceros permanece

sin cambio.

Resumen de los efectos de un controlador PI

Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo. Incrementa el tiempo de

levantamiento. Disminuye el ancho de banda. Mejora el margen de ganancia, el

margen de fase. Filtra el ruido de alta frecuencia.

19

2.9 Controlador proporcional integral derivativo

De las discusiones anteriores se observa que el controlador PO puede añadir

amortiguamiento a un sistema, pero no afecta la respuesta en estado estable. El

controlador PI puede mejorar ta estabilidad relativa y el error en estado estable al

mismo tiempo, pero el tiempo de levantamiento se incrementa. Esto conduce a

emplear un controlador PID para que se empleen las mejores características de los

controladores PI y PD. El controlador proporcional integral derivativo (PID), mejor

conocido como controlador de tres términos, con un sistema de la forma como se

ilustra en la figura:

Controlada GAs) ----------------------------------------------------------------

Proporcional

1 1 1 Kp 1

Planta Integral + + /K; 1 +

1 --;- 1

+ Derivativo

1 1 '-----1~1 Kds¡.......... 1

----'

' ' '--------------------------------~------------------------------------·

Figura 2.11. Controlador PID

Dara una salida, para una entrada de error e, de rt de

u = Kpe + Ki Jo edt + Kd dt

la función de transferencia del controlador PtD es. K-

Gc(s) = Kp +...!. + Kds S

De otra forma la función de transferencia del controlador es: 1

Gc(s) = Kp(l +-+ rds) 't'iS .

( ) rirds2 + ris + 1

Gc S = Kp( ) rís

20

De este modo, el controlador PID ha incrementado el número de ceros en dos y el

número de polos en uno. También el factor 1/s incrementa el tipo de sistema en

uno.

Problema N° 2.1. Compensación en adelanto

Considere el sistema sin compensar de la figura. Se pretende modificar los polos

en lazo cerrado para obtener wn = 4 radf seg sin cambiar el factor de

amortiguamiento relativo ~ = 0.5. Diseñar un compensador en adelanto que cumpla

con la condición y que además que la magnitud del polo sea cinco veces el valor

del cero.

4 C(s)

s(s + 2)

Figura 2.12. Sistema no compensado

Solución

4 G(s) ---

s(s+2) 4

T(s)--=--- s 2 + 2s+ 4

s = -u±jw l1 = {Wn = (0. 5)(4) = 2

w = wn)1- {2 = 4)1- (0.5)2 = z..¡j S= -2 ±j2.fi

G (s) - 4 G (s) - K(s + z) P - s(s + 2) ' e - (s + p)

4K(s +z) G(s) - ---:----~

- s(s + 2)(s + p) Haciendo que la posición del cero y el polo con respecto al punto s tienen un

ángulo p y B.

De la condición de ángulo: LG(s) = ±180°(2n + 1)

Ceros: s = -z

Polos: s = O, -2, -p

21

S ------------------ ¡2J3

-p -z -2 o Figura 2.13. Condición de ángulo

P- (8 + 81 + 8 2) = ±180°(2n + 1) 2{3

tan(180- 8 1) = T ~ 81 = 120°

82 = 90° P- 8 = 8 1 + 82 ± 180°(2n + 1)

p- 8 = 120°+ 90°+ 180° = 390° P-8 = 30°

tan (fJ- 8) = tan30° tan p- tan8 o -----= tan30 1 + tanp. tan8

2{3 2{3 z:::-2- p=2 1

(2{3)(2{3) = {3 1 + (Z- 2)(p- 2)

Primer método: escogiendo p = az

Donde p > z, y además tenemos que a> 1 es un numero real positivo. Entonces

reemplazando en la ecuación anterior tenemos que:

2{3 2{3 :z=-2 - az - 2 1

1 + (2{3)(2{3) = {3 (z- 2)(az- 2)

az2 + 4z(1 - 2a) + 16 = O

-4(1- 2a) ± .Jt6(1- 2a)2 - 4a(16) z = -------:--------

2a 16(1 - 2a)2 - 4a(16) ;;:::: O

3 (a -1)z ~ 4

{3 ..[3 a-1>- o a-1<--- 2 - 2

{3 {3 a;::1+-z o a:$1- 2

a ~ 1. 866 o a < O. 134 y a > 1

22

entonces a ;;:::: 1. 866

Escogiendo de este rango a = 10 p = 10z

2-13 2-13 z=z-10z- 2 1

1 + (2-13)(2-13) = ..J3 (z - 2)(10z- 2)

z2 - 7. 6z + 1. 6 = O z = 7.3833, 0.2167

a) para z = 7. 3833 y p = 73. 833

K(s + 7. 3833) Gc(s) = (s + 73. 833)

De la condición d' magnitud: IG(s)l = 1 en s = -2 ±j2Vl

1 4K(s + 7. 3833) 1

s(s + 2)(s + 73. 833) = 1

1

4K(-2 + j2..J3 + 7.3833)) = 1

(-2 + }2-13)(-2 + j2-J3 + 2)(-2 + j2..J3 + 73.833)

4K(S. 3833 + j2-J3) ___ .....,....;... __ ___: _ ___;,_ ___ , = 1

( ~2 + j2-J3)(j2-J3)(71. 833 + j2.J3)

4K.J (5. 3833)2 + 12 '.J=c -=2:::::)2:=+::=:::::12;:-C-2.Ji-::3=-).J--¡:c=7=1=. a=3:::::32:=+=1=2 = 1

4K(6. 4016) = 1

4(2-J3}(71. 9165)

K= 38.9162

( ) _ 38. 9162(s + 7. 3833)

Gc S - (s + 73.833)

( ) 155. 6648(s + 7. 3833) G S = ___ ...,..:.._ __ ___.;... s(s + 2)(s + 73. 833)

155. 6648(s + 7. 3833) T(s) = s(s + 2)(s + 73. 833) + 155. 6648(s + 7. 3833)

23

155. 6648s + 1149.27322 T(s)- --=-----=---------

- s 3 + 75. 833s2 + 303. 3308s + 1149.27322

close all; clear all; ele %diseño de un compensador %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O O 155.6648 1149.27322]; dc=[1 75.833 303.3308 1149.27322]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 4]; ds=[1 2 4]; t=0:0.05:5; [c1,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado' ) xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')

respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4.---,----.----.---,----,----,---,----,----,---~

) siste~a com~ensad9 , , , , --- ~- ----.:;;""-.::: __ -- -:--------- -~-- --------:---------- ~------- --- ~-- ------- -~- ---------:---------1.2

!i/ \ .. _ .. !/ :. '".! : : ' 1 : ·. - : : ' . . ' ' : '

1 ------- ¡'~----------¡----: :-::'-:::_~~~~-~-~-----~:.~.::~ --... --~"'-=+·..-...-...-..... ~:..+-:---- ---~-~~--- ----~--~:-::-.:-:--:-t-:--------· /: : : ' : : : 1 ' ': ' ' ' '

N 1 : i sisterria no CQn'lpens~do :, ! : ! ~ 0.8 r------l-+-------,+---------j--------+-------+--------f---------j---------+--------j---------

T- 1 1 ' 1 1 ' 1 '

() . : : : . : : : ~ __ _¡__ __ ;_ . ! ! : : : ! 'ffi o. a - --: -- -----:---------·r·--------r ----·---------------- --------------(/) ' '

-L ···~e: ... ·· _ __[_··---·· __ j__ · · ------ !-- --- · -----!-- · ·· •· _)_ --- -----~-- ··- · · · • .; ····· ---- -!---- -- -·-0.4 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ; : : : ,: 1 ,:

1 ·: : : 0.2 j ' : ' ' : '

~~---7·-:--·-------r·-------T·-------:--------T-------·r·-------T---------:---------¡--·------

o ' ' ' ' ¡ ' ¡ o 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

t seg

Figura 2.14. Respuesta en el tiempo del sistema compensado

24

~

b) para z :: O. 2167 y p = 2. 167

( ) _ K(s + 0.2167)

Gc s - (s + 2. 167)

De la condición de magnitud: IG(s)l = 1 en s = -2 ±j2.J3

1 4K(s +O. 2167) J

s(s + 2)(s + 2.167) = 1

4K(-2 + j2.J3 + 0.2167) 1----------------~---------=------- =1 ( -2 + j2.Ji)( -2 + j2-/3 + 2)( -2 + j2.J3 + 2.167)

1 4K(-1. 7833 + j2-/3) 1

( -2 + j2-/3)U2.Ji)(1.167 + j2.J3) = 1

4K.J ( -1. 7833)2 + 12 -4C-2-':.J3=)-:.J;::::c1=. 1==6=7::::::::)2::::+==1=2 =

1

K= 3.25

( _ 3. 25(s + O. 2167)

Gc s) - (s + 2.167)

13(s +O. 2167) G(s) - _ _...;... ___ ...;..._ - s(s + 2)(s + 2.167)

13s + 2.8171 T(s)- ·

- s3 + 4.167s2 + 17.334s + 2.8171

elose all; elear all; ele %diseño de un compensador %------------~-----------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O O 13 2.8171]; dc=[1 4.167 17.334 2.8171]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 4]; ds=[l 2 4]; t=0:0.05:25; [cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot (t,cl,t,e1, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid

25

title('respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado' ) xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext{'sistema compensado') gtext('sistema no compensado')

respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4~------~----------~--------~--------~------~

1.2

sistema no \compensado 1 --------------- ---- ·""' ·- -- -- -· t . ___ _:_.,......;..::-_:_:_.;._~-=--~-=-...:.::...:...:::::...:..:.--'-"""'-"--"-=-'--""-'-'-

-·-l--------'"--...r"-··--~~~---~-

!\ _,/-+·-·sist~;;,a compensado .

~ 0.8 ~1.~.\'":< ........ .;.. --- ---------------~------- -------------~----------------------!--- -----------------¡ ,' ' ' ' 1

¡ : 1 ' :

1 .... o U) ¡'

! : ( : ' ' t- ~------- -----------:--------- ------------- ~--------------------- -·---------- ------------ ~ ---------------------~ 0.6

ro U)

;. 1

: 1 '

0.4 ~; ___ ----------------;--------------- ---- -+------ -------------- +-- ------------------- i---- -----------------,, ' ' ' ' ¡: : : '

. . 0.2 ~------ ------------ ... ; ---------------------- t-- ----------------- --+----- ----------------; ---------------------

;. : : : ' '

o~--------L_ ________ L_ ________ L_ ________ L_ ______ ~

o 5 10 15 20 25 t seg


Segundo método: por la bisectriz

-p -z -2 o bisectriz

Figura 2.16. Condición de ángulo

tp = p- 9 = 30° 6 = 60°

26

Con lo que

8 == li - lfJ = 60° - 15° = 45° 2

p - 2 = 2..fi ~ p = 5. 4641 z-2

tan15° = r;; ~ z = 2. 9282 2v3

K(s + 2. 9282) Gc(s) = (s + 5. 4641)

De la condición de magnitud: IG(s)l = 1 en s = -2 ±j2..J3

1 4K(s + 2. 9282) 1

s(s + 2)(s + 5.4641) = 1

l 4K( -2 + j2..fi + 2. 9282) l (-2 + j2..f3)(-2 + j2{3 + 2)(-2 + j2-{3 + 5.4641) =

1

4K(O. 9281 + j2..J3) ·---~~~=--------==-• = 1 (-2 + j2.../3)ü2-f3)(3.4641 + j2..J3)

K= 4.7321

( _ 4. 7321(s + 2. 9282) Gc s)- (s + 5.4641)

18. 9284(s + 2. 9282) G(s)-------

- s(s + 2)(s + 5.4641)

18. 9284(s + 2. 9282) T(s)- __________ _,;,... ___ _

- s(s + 2)(s + 5.4641) + 18. 9284(s + 2. 9282)

18. 9284s + 55.4261 T(s) - -=--------=~------ s3 + 7.4641s2 + 29.8566s+ 55.4261

close all; clear all; ele %diseño de un compensador %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O O 18.9284 55.4261]; dc=[1 7.4641 29.8566 55.4261]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 4];

27

ds=[l 2 4]; t=0:0.05:6; [cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,cl, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado'} xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado'} gtext('sistema no compensado')

respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado 1.4.------,-----.-------,-----,-----,-------.

sis,tema comPEjnsado 1.2 ··-------_?'"'\"' . ~--: i' '' ......... ~ .............. j . .. .... , ............ ..

. , sist~ma no com~ensado ....... / ...... ; .. .i. :'. ........ ~ .. --- ~--~---~~-: .. _________ ;_ ___ ·---·

j : ···-------{----- : ·- ~- - ·:-

' ' ¡ i·;

~ i .: ' ' ' ' ~ a.s ··--·;--···--.:;-··------------;-------------T-----------··r--------------:--------------t.> ' ' ' ' lQ ! ; : 1 ¡ :'2 0.6 ·· .. L .... J .... : ............... ¡.............. .. .. ··----+----·--------+---m : : . . 11)

; • 1 o 1 o r

0.4 --1L --- -.'-- --- -~-- ------------- ~----- ------- ---~--- -------- ---~----- ------- ---~-- ------------

1 : : : : : ; 1 ' 1 ' 1

1

0.2 !---····--··-~----······ .... , .... . . ' ' ----,---------------,------ --------¡- -------------

' '

o Li ____ ..JL _____ L __ __j _____ ....J¡ ___ __¡_ ___ ...J

o 1 2 3 4 5 6 t seg


Dlseilo del circuito compensador

Figura 2.18. Compensador en adelanto

28

R4 C1 (s + z) Gc(s) = R3C2(s + p)

1 z=-

RtCt 1

p=-RzC2

si C1 = C2 = 1uF R4 R

3 == 4. 7321

si R3 = 1KD ~ R4 = 4. 7321KD 1 1

RtCt = z = 2

_9282

= 0.3415 ~ R1 = 341.5KD

1 1 R2Cz = p =

5_4641

= 0.1830 ~ R2 = 183KD

Problema N° 2.2. Compensación en atraso

Diseñe un compensador en atraso Gc(s) de modo que el sistema de lazo cerrado

tenga polos en s = -3 ±j3 y error en estado estable menor de 5% ante una

entrada escalón.

1 K(s + 0.1) Gp(s) = (s + 1)(s +S) ' Gc(s) = (s + b)

Solución

K(s + 0.1) G(s) = Gp(s)Gc(s) = (s + 1)(s + S)(s + b)

. sR(s) . 1 . 1 e55 = hm = hm = hm ( )

s-+0 1 + G(s) s .... o 1 + G(s) S-+0 1 + Ks + 0.1 (s+ 1)(s +S)(s+ b)

K ;:::: 950b tambien O < b < 0.1 Condición de ángulo:

f3- (O+ fh + 92 ) = 180°(2n + 1)

SOb S - <-

SOb +k- 100

29

~

-5

S ----- -~ --------.. ----·---------.. -· .. --· -~--·---·----.-. -- j 3

-3 - 1 Figura 2.19. Condición de ángulo

ceros: s = -0.1 polos: s = -1,-5,-b

tan{180°- e1) = ~--+ e1 = 123.69°

3 tane2 = 2--+ e2 = 56.31 o

-0.1

3 tan{180°- {3) =

3 _

0_1

--+ f3 = 134.029°

134.029° .._e- 180° = -180°--+ e= 134.029°

Lo que significa que el polo del compensador coincide con el cero del mismo y se

anulan.

Condición de magnitud: IG(s)l = 1 en s = -3 + j3

1 K(s + 0.1) 1

(s + 1)(s + 5)(s + b) = 1

1 K(-2.9 + j3) 1

(-2 + j3)(2 + j3)(b- 3 + j3) = 1

4.173K -13-~;::=.(b=-=3):;::2 =+=9 = 1

30

K::::: 3.11S.J(b- 3)2 + 9;;::: 950b

.J(b- 3)2 + 9;;::: 304.976b

(b - 3)2 + 9 ;;::: 93010.361b2

b2 - 6b + lB ;;::: 93010.361b2

93009.361b2 + 6b - 18 =::;; o 93009.361b2 + 6b $ 18

b2 + 6.4501x1o-s b :::; 1.9353x10-4

(b + 3.22505x105) 2 s; 1.934B81xlo-4

-0.01394 s; b s; 0.0139 y ademas O < b < 0.1

Se elige b = 0.01

Con lo que K~ 13.194

( ) _ 13.194(s + 0.1) Gc S - S+ 0.01

close all; clear all; ele %diseño de un compensador %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: k=13.194; nc=[O O k O.l*k]; dc=[1 6.01 5.06+k 0.05+0.1*k]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 1]; ds=[1 6 6]; t=0:0.05:50; [c1,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1, '-',t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado' ) xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')

31

respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1,----,----.----,----,----,----,----,----,----,----,

1 1 ' 1

' 1 ' 1

------+----~-~- ¡-----------t--------·----r --·-------T----o. 9 --------- ~------ ---1---------- f"=-"'-·~---~- ,:--_ -1----------1-------- __ _,' _____ -- ----~---- ------1---------- i·--- ------

j --------~--síste~a co~pensa~ j ·

0.8 ;;:_:::;/¡=-- ------·j··--- -----:------ ---¡--··-------:---------- ~--------- ¡ ----------¡-- -------+- ----' 1 ' 1 ' 1 • 1

0.7 -¡---------i----------;---------+---------f---------+---------+--------+---------i----------;-----------

; 0.6 i + ' + ' ! + ¡ j

~ 0.5 --------+--------+--------+- -- -----j-----------i-----------~--------- j - ------,----------ro , , :2 ' ' ~ 0.4 '---------i----------;----------+----------f----------i----------+-·--------j-----------1--- -----+---------

0.3 ! - -------!-- --------1---- -------1-----------i---·--- ___ ; __________ ¡ ___________ ¡ ___________ ¡_ ---------~--- -------

0.2 : ________ J _____ ~i_sJ_eiTl~ ~~-co~~n_sa~~-( _________ : _________ ) __________ ]____ _ ¡ '·· 1- 1 ··• • ,·- : : : 1 1 ' 1 1 1 1 ' 1 1

O. 1 , -------- ¡- --------- ~--- ------ --¡------ ----:---------- ¡-------- ---·-- ------ ---¡ --- ·-- ---- ¡---- ------ j-- --------

o i .' _¡__________j_ ___ __¡_ _ _____¡__ o 5 1 o 15 20 25 30 35 40 45 50

t seg


Como K es variable se escoge otro valor que logre una mejor compensación

cumpliendo los requisitos.

elose all; elear all; ele %diseño de un compensador o ~---------------------------~--------

%funcion de transferencia de la planta compensada: k=SO; nc=[O O k 0.1*k]; dc=[1 6.01 5.06+k O.OS+O.l*k]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 1]; ds=[l 6 6]; t=0:0.05:10; [cl,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado' )

32

~

xlabel ( 't seg' ) ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')

respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4 ----------¡ ---,--

' ' -----.,-----------.--' '

' ' ' ' 1 1 --·r----------o------ ----,-----------r ---------1------- --,-·----------' '

1.2 ' '

/\ 1 ' : sistema comPensad~

1 --!---~---+----------~-----------]------·-----~-------- --, ----------:--------- -:-- --------~------ 1

\ j /.--~--~-~-j-~---·--+----~----~--¡--------·-¡·----~------~----------¡---------r---------

. \_;.' : ; : ' : : : 1 1 1 ' 1 ' ' ' ' N o

>. 0.8 _ _J_- ------ ~---------- ~·- -------- --~--- ------ -~---- ------~--- ------ --!-- ------- -~ --------- -~------ ----~- ----------• ' ' ' ' ' 1 .....

o 1/)

~ 0.6 ro 0

' 1 ' ' 1 ' 1

¡ : ' L - - - - - - - - ~ . ------- - - ~- --- --- - - - .:... -- - - - - --- - ~ ---- ------ ... -- ---- ---- _;_- -- - - - - - - _,... - ---- - -- - -; ------ -

! i : i ¡ 1 : i i ' 1 ' ' 1 ' ' 1 1 1 1 ' . ' ' ' 1 1

0.4 1---------i---------+··------+----------f---------+--------+---------+----------i----------:: _________ _ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . sist~ma no[compe~sado l . l .

0.2 '- --- _____ ¡_ --------- i-.- ---- ____ ¡_, _____ ----f.------- __ ;,---------- -i---.------ .:. , ___ ---- __ ¡ __ ------- _;,-- --------i ' .. : :. ···:· .:. ' : .. ·-·-· :· :

o'. o

' ' ' ' ' ' . ~ : : : ' . ' '

1 3 4 5 7 8 t seg

Figura 2.21. Sistema compensado

Problema NO 2.3. Compensación en atraso

9 10

Considere el sistema de la figura. la función de transferencia del camino directo es

Gp(s). Se pretende incrementar la constante de error estático de velocidad kv hasta

cerca de 5 seg-1 sin modificar notablemente la localización de los polos dominantes

en lazo cerrado.

1.06 Gp(s) = s(s + l)(s + 2)

~G(,)I "'

Figura 2.22. Sistema sin compensar

33

Solución

la función de transferencia de la planta en lazo cerrado es

1.06 1.06 T(s) - - ---:---~---

- s(s + l)(s + 2) + 1.06- s3 + 3s2 + 2s + 1.06

Encontrando los polos de la ecuación característica s 3 + 3s2 + 2s + 1.06 = o

elose all; elear all; ele; %raiees del polinomio carateristico d= [ 1 3 2 l. o 6] ; roots (d) % % ans = o -6 -2.3386 9-o -0.3307 + 0.5864i 9-o -0.3307 - 0.5864i

las raíces complejas son los polos dominantes en lazo cerrado

S= -0.3307 ±j0.5864 (J:::::: 0.3307

w = 0.5864 radjseg. s =-a+ jw

S ------------------ j OJ

(}

-(J'

Figura 2.23. Ubicación del parámetros en el plano complejo

a= SWn w = wn..jr-1---(~2

a2 + w2 = Wnz a SWn

cos(} =-=-=s Wn Wn

0.5864 tan(} =

0_3307

~ (} = 60.5792°

~ = cos60.5792 o = 0.49122

wn = .Jo.33072 + 0.58642 = 0.6732 radjseg

1.06 kv= limsG(s) = lim ( 1)( Z) = 0.53

S-+0 S-+0 S + S +

34

La función de transferencia del controlador en atraso será

K(s + z) Gc(s) = conz > p

s+p 1.06K(s +z)

G(s) = Gp(s)Gc(s) = s(s + l)(s + Z)(s + p)

. . 1.06K{s + z) 0.53Kz kv= hmsG(s) =hm ( l)( Z)( ) - = 5

s->0 s->0 S + S + S + p p Kz -= 9.434 p

seleccionando z = lOp entonces K= 0.9434 escogiendo el cero en z = 0.05 entonces el polo sera p = 0.005

Con lo cual el controlador será

( ) = 0.9434(s + 0.05) Gc .S S + 0.005

S+ 0.05 G(s) = Gp(s)Gc(s) = s(s + 1)(s + 2)(s + 0.005)

S+ 0.05 T(s)---~-~---.---

- s(s + l)(s + 2){s + 0.005) + s + 0.05 S +0.05

T(s)------------- s4 + 3.005s3 + 2.015s2 + l.Ols + 0.05

close all; clear all; ele %diseño de un compensador en atraso %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O O O 1 0.05]; dc=[l 3.005 2.015 1.01 0.05]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O O 1.06]; ds=[l 3 2 1.06]; t=0:0.05:40; [cl 1 xl,t]=step(nc 1 dc 1 t); [c2 1 x2 1 t]=step(ns 1 ds 1 t); plot ( t 1 el, t, el 1

1 -

1 , t 1 c2 1 t 1 c2 1

1-' )

grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado') xlabel('t seg') ylabel( 1 salidas el y c2') gtext( 1 sistema compensado') gtext('sistema no compensado')

35

respuesta a un escalen unitario de sistema compensado y no compensado 1.4 ------;--;- -.------,---,------¡

' ' ' ' ' ' ' ' ' ........... 1 1

1.2 --------- -.f:. __ :·~-~--- ---!--- ---- ~----f ------- -----i-- ---------- f -------- ---~------- --- --~ ----------

;> ·· ... : siste+a com~sado ¡ 1 t l ~ -'- .. :-~--=--~ _-:-: ~ ~ -~~.~~-~~~~:~----- : .. ---·----- -· -- ~ --~. -=~--· -:-~.---·-::·------··!. ----------¡--: --

<tj j : J sistemt no com~nsado J .

~ 0.8 -----r--¡------------:------------y------------¡------------¡------------¡------------¡----------

i 0.6 ___ _j_ ___ j___ ------ , ___________ , ___________ _L_-- __ __;_ __________ , ___ -- -- _¡__ _______ _ ]! : ' : : : :

,1 : : ' ' ' ' ' l ' 1

,: ' ' 1 ' ' • 1

0.4 -··t··----:--- -:------------:------------:------------:------------:------------:--/ : : : ' : 1

1 : 1 ' ' ' '

0.2 -r-------¡------------:------------¡-----------(---------¡------------:------------¡----------.1 i : i :

QL··----~----~----L-----L---~----~-----L----~ o 5 10 15 20 25 30 35 40

t seg

Figura 2.24. Sistema compensado

Probléma N° 2.4. Diseño de un controlador PID

Si ia planta en ei sistema con controlador .PI-D tiene una función de transferencia de

1 Gp(s) =---

.s_(_s + .1)

la constante de tiempo derivativa es 0.5 seg y la constante de tiempo integral de 2 seg.

1 Gc(s) = Kp(1 + -T + Tds)

is

( 1 ) (s

2-+ 2s+ 1) Gc(s) = Kp 1 +

25 + O.Ss = Kp Zs

_ (s2 + 2s + 1) 1 _ Kp{s 2 + 2s + 1) Gp(s)Gc(s)- Kp 2 ( 1)- 2 3 2 2

s ss+ s+s

close all; clear all; ele %Problema: control PID de una planta sobreamortiguada %---------------------------------------------%lugar geometrico de la planta ns=[O O 1]; ds=[1 1 0]; rlocus(ns,ds); figure %respuesta en el tiempo de la funcion de transferencia sin control

36

ns=[O O 1]; ds=[1 1 1]; step{ns,ds); grid figure %lugar geometrico del sistema controlado nc=[O 1 2 1]; dc=[2 2 O O]; rlocus(nc,dc); figure %respuesta en el tiempo del sistema kp=4; nc=[O kp 2*kp kp]; dc=[2 2+kp 2*kp kp ]; step(nc,dc); grid figure %comparacion de respuestas en el tiempo ns=[O O 1]; ds=[1 1 1]; kp=4; nc=[O kp 2*kp kp]; dc=[2 2+kp 2*kp kp }; t=0:0.1:12; [c1,x1,t}=step(ns,ds,t); [c2,x2,t]=step(nc,dc1 t); plot{t,c1,t,c2) grid gtext('sistema sin controlador') gtext{'sistema con control PI con Kp=4')

i -0.4 f·

' -0.6j-

' -0.8'--1.2 -1

Root Locus

1

----- ______________ L _______ ~--~ -

-0.6 -0.4 -0.2

Real Axis

Figura 2.25. Lugar geométrico del sistema sin compensar

37

Step Response

1.2 ------' ; : ¡

/ ~ ' ' ' :

i/ : ~ .. : : ¡ 1 ~---------------;·/------------'------------~_:_:_:.:.:~:=-=~------~~~--~·-·~4

1 0.8 ¡.

i ~ o.af.

/ j ·-/

0.4j- - ·¡·· ........ !

- -~

í 0.21- l-

.1 oL!' ___________ ·-·--------------- ·--~---------------······ .......... l. ____________ . ___________ L __ ......................... L

o 2 4 6 8 10 12

Tirre (sec)

Figura 2.26. Respuesta en el tiempo sin compensar

Rootlocus -- -----------····- ---------- .. ----------- -·-····--------- ........... ,..

-0.5

-1 ¡·

-1.5 ... .. L .......•.... ···'······· ...... ! .............. --·- ................... .

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 o 0.5

Real Axis

Figura 2.27. Diagrama de Nyquist deJ sistema sin compensar

38

1.2 f . -

/ . 1 :/ .,

<ll 0.8f I-

~ : / t •• L/

0.4 j . f

1 0.2 !/---

·/ o¡_ ____ ---0 0.5

Step Response

..... :. ----------;

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

lirre (sec)

Figura 2.28. Respuesta en el tiempo del sistema sin compensar

1.4 --------:--------,-------¡ ' ' ' ' ' '

.sistema _con co~rol Pl.con Kp=4 . '

1.2 -------. ~,~--.. ·~._::.;--------- ---- -- -~-- --------------:--------- ------:----------------:----

_,/ ! . ····· .. .-e:/..----¡~ sis~ema sin co~trolador !

----/---------~--~--~~:-:-.::-o.) ... ooo~~~--',:::::>:.+'-'-"=::=~__::::::::=:~~C:C·c::::=~"·----L-~-~~·-·-1 / : : . \ ' i 1 '

-0:8 --1---------·./··--------------~----------------¡----------------:. _______________ : ______________ _ íi

o.6 r------¡--+------- ------.------------- --.--- -----------+----- -------.---------------

o• j/Jl ! ] L i í . :

0.2 i- --¡-. --------:--------------- +----- ----.-----; ---------.------ ¡--. ------ .. ----- i ---------- ... --:;· : : : : : ' : : :

0·-'- ' . ' o 2 4 6 8 10 12


39

Problema NO 2.5. Diseño de un controlador PID ·

Sea -el-sistema -que se -muestra en la figura. Se desea d1señar un controlador PID

Gc(s) tal que los polos en lazo cerrado dominantes estén localizados en s = -1 ±

J.fi. Para e·t controlador PIO, seleccione a= 1 y entonces determine ·tos valores de

K y b. represente el diagrama del lugar de las raíces para el sistema diseñado.

R(s)

+

Ceros: s :::::: -a, -b

Polos: p =O, j, -j

Controlador PID Planta

.--~ K (s + a)(s + b) 1

S

Figura 2.30. Sistema con controlador PID

Solución.

G(s) = K(s + a)(s + b) s(s2 + 1)

S


C(s)

40

Haciendo que Pz corresponda al cero en s = -b. Tenemos de la condición de

ángulo:

P1 + Pz- C81 + 8z + 83 ) = ±180°(2n + 1)

Pz = (81 + 8z + 83)- P1 ± 180°(2n + 1)

P1 = 900

-{3 -1 tan(180°- 81) ==

1 ~ 81 = 143.794°

-{3 + 1 tan(180°- 82) =

1 ~ 82 = 110.104°

e o ) -{3 o tan 180 - 83 - T ~ 83 ::::: 120

Pz ::: 143.794° + 110.104° + 120°-90°- 180°

P2 = 103.898°

S


-{3 tan(180- p2) = tan(180- 103.898) = 4.04142 == ~b

1-b = 0.5714

41

De la condición de magnitud:

_,K(s + a)(s + b),_,K(s + 1)(s + 0.5714),_ _ _ ·_M IG(s)l- s(s2 + 1) - s(s2 + 1) - 1 ens- 1 + rv3

'

K( -1 + j..;3 + 1)(-1 + j..;3 + 0.5714)1 = 1

( -1 + jVJ)(( -1 + j.J3)2 + 1)

'

Kú..fj)( -0.4286 + jVJ)I = 1 ( -1 + j..;3)(5 - j2..f3)

IK(-J3)~43)1 = 1 entonces K= 2.3333

(2)( )

Gc(s) = K(s + a)(s + b) S

2.3333(s + 1)(s + 0.5714) Gc(s) = --------s

2.3333(s + 1)(s + 0.5714) G(s) = s(sz + 1)

2.3333(s + 1)(s + 0.5714) T(s)--~----------

- s(s2 + 1) + 2.3333(s + 1)(s + 0.5714)

2.3333s2 + 3.66655s + 1.33325 T(s) = s3 + 2.3333s2 + 4.66655s + 1.33325

close all; clear all; ele %diseño de un compensador %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O 2.3333 3.66655 1.33325]; dc=[1 2.3333 4.66655 1.33325]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=(O O 1]; ds=[l O 2]; t=0:0.05:12; [cl,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,cl, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado 1 )

xlabel ( 't seg 1 )

42

ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')

respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4.---- ·,----,-----;-------;------.------.

1·2 · ·- ·sís~ema-comi>$saao·-------~------ -- ---"---------- · · "--------------. ' ' ' ' ' ' /

. : ·, i ..... \: -~ .............. ·e :~~~~~~~~~J.::_:·::~::.:.~:-~:.::~~:...:::. o:.o:.::;.-.;+~00'·7·~;=:~--,,,~ //: ::

~ :'· / : :· o 8 r --~-··- r ' r ' ' ;:: . ·¡------------:------,~--------:·-------------~-: ..... ----.--·--:---------------:----·--------"· ~ : ¡ \ sist~ma no com~nsado

~ 0.6 -1------- 1-- --~------- '----+------ ----,--~------------"--~--------------+~----------···

f/) : ': : :. : ' ' : ' 1 1

1 ' ' 1 1

0.4 !···-----------¡------------~---¡----------------~---------------~---------· --;·:----········--· 1 r, , 1

f 1 1

0.2 ! ... ,: ----~---------- --·\·!·--------'---- .e --------------¡-',------------ -'- ............ .

0" o 2

·' ·' :'. ,, 4 6 8 10

t seg 12

Figura 2.33. Respuesta en el tiempo del sistema compensado.

Root Locus 2 , ......................... , ........................... ,. --------------·····:·-------·-·---·-·-··-----·r ·-- ·---- -------.-------- -------------

1.5

0.5 .!/2

~ e=- o <ti .. o ·G-----'i: ...

.!C Cl <ti .§

-0.5

-1

-1.5

-2 ' ·-·-----'-···-·---·--------·- ___ : ____________________________ :._ __ _ -- !. .............................. j

-6 -5 -4 -3 -2 -1 o Real Axis

Figura 2.34. Lugar ge~métrico de las raíces del sistema compensado

43

Problema N° 2.6. Diseño de un controlador PO

Considérese un sistema con una planta inestable, como de la figura. Utilizando el

método del lugar de las rafees, diseñe un controlador proporcional derivativo (es

decir, determine los valores Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo ~

del sistema en lazo cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada wn sea

0.5 rad/seg.

Controlador PO Planta

1

1 OOOCX s 2 -1.1772)

Figuran 2.35. Control PO

Solución

Polos: s2- 1.1772 =O -+ s = ±1.085

Cetos: 1 + Tds = o -+ s :;: -1/Td

( = cos8 = 0.7 =* 8 = 45.573°

s =a+ jw.

(J = (ú>n = (0.7)(0.5) = 0.35

w = wn.J1- ( 2 = 0.5.J1- (0.7) 2 = 0.357 radfseg

Los polos en lazo cerrado deseados son:

S = -035 ± j0.357

---------------------------- jaJ

e -CJ'

2.36. Ubicación del parámetros en el plano complejo

De otra formas= 0.5 ang 180° ± 45.573°

44

S

}0.351

-1.085 -Or35

¡ Figura 2.37. Condición de ángulo

se debe cumplir que: p- 81 -82 = ±180°(2n + 1)

0.357 tan81 =

1_085

_ 0

_35

-+ 81 = 25.9065 o

0.357

1.085

tan(180 o - 82) = 1

_085

+ 0

_35

-+ 82 = 166.0295 o

P = 180 + 81 + 82 = 180 + 25.9065 + 166.0295 = 371.936 = 360 + 11.936

Entonces el cero del controlador se encuentra a p = 11.936°

0.357 0.357 tanp = -x- -+ x =tan (11.936) = 1.689

1 z = Td = 0.35 +X = 0.35 + 1.689 = 2.039

Td = 0.4904 seg

El valor de la ganancia Kp se determina a partir de la condición de magnitud del

modo siguiente:

1 Kp(1 + Tds) 1 .

10000(s2 _ 1_1772) = 1 ens = -0.35 + ]0.357

1

Kp'[1 + 0.4904( -0.35 + j0.357)] 1 10000[(-0.35 + j0.357)2 -1.1772] = 1

1

Kp[0.82836 + j0.1751]

10000[-1.18215- j0.2499] = 1

Kp[.J(0.82836) 2 + (0.1751)2] ,_..;_,_,;--;:::===::::::====;:-1 = 1 10000[.J(1.18215)2 + (0.2499)2]

45

0.8467Kp 10000(1.2083) = 1

Kp = 14282.506

La función de transferencia del controlador es: Gc(s) = 14282.506(1 + 0.4904s)

close all; clear all; ele %Problema: control PD de una planta inestable %---------------------------------------------%lugar geometrico de la planta ns=[O O 1]; ds=[10000 O -11772]; rlocus(ns,ds); figure %respuesta en el tiempo de la funcion de transferencia ns=[O O 1]; ds=[10000 O -11773]; step(ns,ds); grid figure %lugar geometrico del sistema controlado nc=[O 1 2.0392]; dc=[1 O -1.1772]; rlocus(nc,dc); figure %respuesta en el tiempo del sistema nc=[O 0.7 1.4273}; dc=[l 0.7 0.25024 ]; step(nc,dc); grid

0.5

.!!1 ~ ~ o 10 e e;, 10 .§

-0.5

-1

Rootlocus .T.····-········------------

1

1

-1.5 - - ----•--------------- ----------------------- - - ------·-------- - --•----- ------------------1.5 -1 -0.5 o 0.5 1.5


46

~ f

Step Response 600 l"'~'~n""•• •~•• ''"'c. P-r- ,- '" 'n•-•·-~~~~····~···•-• ~ •••~ ""W~·~~·~·.·~· o<"" • "' -~ ,• ~·~ .,., ~·r•• -," '"r -·~~-·-,

500

400

300 ,_

200

100

o:__ __ ----- - -------- --~--------~---·---~---~-~--~-'--=-:::_--'

------1

/

..--""/

/

o 5 10 15

Tirre (sec)

Figura 2.39. Respuesta del sistema sin compensar

2,- ---------------------------------

l 1.5:

Root Locus

Real Axis


Step Responsé 6

5

4

·-------------2 4 5 e 10 14 1e 10

Time Csecl

Figura 2.41. Respuesta de1 sistema sin compensado

47

close all; clear all; ele %diseño de un compensador PD %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=[O 0.7 1.4273); dc=[l 0.7 0.25024]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 1]; ds=[lOOOO O -11773]; t=0:0.05:10; [cl 1 Xl 1 t]=step(nc 1 dc,t); [c2 1 x2,t]=step(ns 1 ds,t); plot ( t 1 el, t, el 1 '-' , t 1 c2 1 t 1 c2 1 '-' )

grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado' ) xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema compensado') gtext('sistema no compensado')

respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado 6 --¡- - _,-----· ···-- -.--~=·····=·-=::::-e-,

l.-------· : : -------: : :

: ./---- : 1 1

: /~/ ' ' /' 5 --------- f- --------- ~ ---- ~ --- --+------ ----~---:..,.<.'~- --~-------- -- +----- -----~ --------- -~-- -------- ~---- ------' ' ~// i : '

... ' /: : ' .

l/ : 4 ---------:---------- ~-- -------- -~ --/·---- --,-------- --~----- ------:---------- -~ ----------:

>,. sist~ma co~pensado : : ' ' .

'' ,/ :

/' : ' ' ' 1 / ' • --------T·---·-----,- --~- -----:-··- --- ---,..----•-- ~ -,---------- -r-. .

! ./ : / :;

' .

./] 2 -------- -;------ -j-- ~---- -------:--------- __ , ___ ------ -~-------- ---:-----------:----------- ~---------- -:----------.

' / : : : : : 1

: 1 : : : ' / 1 1

' 1

:/ ,¡ ' 1 ' 1 ' ' t 1

1 ------ -~yr-- ------ --t- --------- -¡----- ----- -t ----------1------ -----¡-- ------ ---!---- ------- t----- ------!-.. ~~~ ------/ : ' ' 1 1

/ ' 1 : 1

/ : : sist?ma no¡compe?sado_.

' ' . ' ' '

/ 1 ' 1 1 1-

¿~_ : : o~-~~~~~~~-----~~~L -d-···

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t seg

Figura 2.41. Respuesta del sistema compensado

48

~-

Problema N° 2. 7. Diseño de un controlador PI

Considerar el diseño de un controlador PI para modificar el control de un sistema de

antena. Un diagrama de bloques c¡ue muestra los polos dominantes de la planta se

presenta en la figura. Con una conversión de tipo 1 a tipo 2, el sistema es capaz de seguir a

una entrada en rampa con un error nulo en estado estacionario.

Detector de Controlador Amplificador

error PI Motor y Angula de la carga antena 0.14 e

100 y

S s(s +5.9)

Figura 2.42. Sistema de control de una antena

Solución

La función de transferencia del camino directo con el controlador PI es:

14K0 (s +a) Gc(s)Gp(s) = s2(s + 5.9)

Algunos dibujos iniciales del lugar de las raíces variando K0 (con a fqo) muestra

que el sistema es inestable o marginalmente estable para todos los valores de K0 a

menos que el cero este situado a la derecha del polo de la planta en el planos. sin

embargo si el cero esta situado cerca del origen, tiende a eliminar el efecto de uno

de los polos localizado en el origen, causando un asentamiento muy lento a la

condición de seguimiento en estado estacionario. Por lo tanto, la localización del

cero esta determinada como un compromiso entre consideraciones de estabilidad y

la posibilidad de aproximación rápida a cero del error de seguimiento frente a una

entrada en rampa. Un compromiso seleccionado sitúa el cero de forma que la

magnitud es menor que la del polo por un factor aproximado de 6; por lo tanto, el

49

cero esta situado en -1 (a= 1). Con K0 = 4, Jos polos en lazo cerrado están

localizados en -l.ly- 2.4 ±j6.7

close all; clear all; ele %Problema: control PI de una planta sobreamortiguada %------------------------------------~--------%lugar geometrico de la planta ns=[O O 1]; ds=[1 5.9 O]; rlocus(ns,ds); figure %respuesta en el tiempo de la funcion de transferencia sin control ns=[O O 0.14]; ds=[1 5.9 0.14]; step(ns,ds); grid figure %lugar geometrico del sistema controlado nc:::[O O 14 14]; dc=[l 5.9 O 0]; rlocus(nc,dc); figure %respuesta en el tiempo del sistema nc=[O O 56 56]; dc=[l 5.9 56 56]; step(nc,dc); grid

RootLocus --------·- ------------,,

2

1

3

-3

-4 [_ ________ ··-·-·-·· ------· ----- ·-·-- ·····- ·····-··' -·--··-------------7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

----=:.: -- ···-----\

---4------····· -------·

o 1


50

lime (sec)

Figura 2.44. Respuesta en el tiempo del sistema sin compensar

Root Loous ---------¡------

t . \:·:~~~& -: .· \ RJI&: ~2.39 + 6.711 . ·DII~:o:336··. OverZfloat c.,i: ~-a~req~ncy {rodhlee): 7.1:.'f

·, ....... _ . . . . .

'----------~-~

/. -·- _______ .....--

Figura 2.45. Lugar geométrico del sistema compensado

1.5 ;-·

0.5 ¡_ / ¡-· i

1

Step Response

o ~-::-:·~----------·i -------------~--- ____________ j·-··-·-----------~-------- ______ : -----------------~------------- ---------------o 0.2 0.4 o.a o_a 1 1.2 1.4 1.6

TIJT'le(Sec)

1.8

Figura 2.46. respuesta en el tiempo del sistema compensado

51

close all; clear all; ele %diseño de un compensador en atraso %------------------------------------%funcion de transferencia de la planta compensada: nc=(O O 56 56]; dc=[l 5.9 56 56]; %funcion de transferencia de la planta sin compensar: ns=[O O 0.14]; ds=[l 5.9 0.14]; t=0:0.05:40; [cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot ( t, el, t, el, '-' , t, c2, t, c2, 1

-1

)

grid title( 1 respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado') xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext( 1 sistema compensado') gtext('sistema no compensado')

respuesta a un escalan unitario de ststema compensado y no compensado

N o

1.5 ,-----,------,-----,----------¡------¡

i\ i' jj Ll . . ; ; : sistema comp~nsado

1 ~ l j\-c,~~~--~~-~c~~---cc- oc-----~ ce'-~~------- "t---~~---------~-~-cc-e~--c--c··cc--1••e~cc·-c--~~---: -~----~~----~- , ___ ·~- ~~---~-~ --~ ~ j V : : : : : : :

:--0.5: ------------~.----- -------; ------------r-------------i--------------: ,_:..:--------------:-------------

' .~ . -~

_¡ .. _ .. ···

5 10

... -· _ ... ··•

¡ __ .. -··

... :.-··-' '

- "-, ~ siste~a no conipensado:

_ _¡_ __ , _ __¡____ __ ._~_ ___ __L_ ___ ,

15 20 t seg

25 30 35 40


52

CAPITULO 111

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL POR EL MÉTODO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

3.1 Compensación de adelanto.

Sea un compensador de adelanto que tiene la función de transferencia siguiente:

1 Ts + 1 s +r

Kc oc T 1 = Kc 1 (O <oc< 1) OC S+ +

s ocT

Donde oc se denomina factor de atenuación del compensador de adelanto. Tiene un

cero en s = -1/T y un polo en s = -1/oc T. Como o <oc< 1 , se ve que el cero

siempre se localiza a la derecha del polo en el plano complejo. Obsérvese que,

para un valor pequeño de oc, el polo se localiza lejos hacia la izquierda. El valor

mínimo de oc normalmente se toma alrededor de 0.05 (esto significa que el

adelanto de fase máxima que puede producir el compensador de adelanto es de

65°.) La figura siguiente muestra el diagrama polar de

jwT+l K oc----

e jw oc T + l (O <oc< 1),

Im

1 a 14------·- (1 +al-----+~

2

conKc = 1

/

Figura 3.1. Diagrama polar de un compensador de adelanto

Para un valor determinado de oc, el ángulo entre el eje real positivo y la línea

tangente dibujada desde el origen hasta el semicírculo proporciona el ángulo de

adelanto de fase máximo, c/Jm· Se llamara wtn a la frecuencia en el punto tangente.

53

El ángulo de fase en w = wm es c/Jm, donde

1-oc z- 1-oc sencp = -- = --

m 1+oc 1+oc --z

La ecuación anterior relaciona el ángulo de adelanto de fase máximo con el valor de oc. La figura siguiente muestra el diagrama de bode de un compensador de adelanto cuando Kc= 1 y oc= 1.

dB

10

o

-10

-20

oo 0.1

T

_...-/

V V

./"" ~

1

T

t -~ P'm

10 T

w en rad

"'-..._ 100 T

Figura 3.2. Diagrama de Bode de un compensador de adelanto para oc= 0.1

Si se examina la figura se ve que wm es la ·media geométrica de las dos frecuencias esquinas, o bien

1 ( 1 1 ) logwm = 2 log T + log oc T

1 úJ =-

m .JOC.T

Como puede observarse, el compensador de adelanto es básicamente un filtro pasa alto.

54

Procedimiento para diseñar un compensador de adelanto mediante el método

de respuesta en frecuencia. La función principal del compensador de adelanto es

modificar la curva de respuesta en frecuencia para proporcionar un ángulo de

adelanto de fase lo suficiente para compensar el excesivo retardo de fase asociado

con las componentes del sistema fijo. El procedimiento de diseño se plantea de la

manera siguiente:

1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:

1 Ts + 1 s +r

Defina

Entonces,

Gc(s) = Kca T 1

= Kc 1 (O< a< 1) as+ s+-

aT

Ts+ 1 Gc(s) =K T

1 as+

La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es

G1 (s) = KG(s)

Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre la constante

estática de error dada.

2. Usando la ganancia K así determinada, dibuje el diagrama de Bode de

G1(jw) el sistema con la ganancia ajustada pero sin compensar. calcule el

margen de fase.

3. Determine el ángulo de adelanto de fase que es necesario que se añada al

sistema. Incremente un adelanto de fase adicional de 5° a 12° al ángulo de

adelanto de fase requerido, ya que la adición del compensador de adelanto

desplaza la frecuencia de cruce de ganancia hacia la derecha y disminuye

así el margen de fase.

4. Determine el factor de atenuación a a partir de la ecuación

1-a - 1-a

sencJ>m = 1 ..; a = 1 + a -z-

SS

' Determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado

G1(jw) es igual a -20log C)a). Seleccione esta frecuencia como la nueva

frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a wm::::: .,; y vaT

el cambio de fase máximo cf>m ocurre en esta frecuencia.

5. Determine las frecuencias esquinas del compensador de adelanto del modo

siguiente: 1

Cero del compensador de adelanto: w = ;¡:

Polo del compensador de adelanto: w = 2.. aT

6. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de a determinado en el

paso 4, calcule la constante K, a partir de Kc = !5. a

7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. Si

no es así, repita el proceso de diseño modificando la localización de polos

ceros del compensador hasta que se obtenga un resultado satisfactorio.

3.2 Compensación de atraso.

Sea un compensador de retardo que tiene la siguiente función de transferencia: 1

Ts+l s+z: 4 Gc(s) = KcP-p- = Kc 1

Ts+l s+pr CP > 1)

En el plano complejo, un compensador de retardo tiene un cero en s = -1/T y un

polo en s = -1/(/JT). El polo está localizado a la derecha del cero.

lm K e KcP

1 \Re OJ=OO m=O

Figura 3.3. Diagrama polar de un compensador de retardo

La figura 3.3 muestra un diagrama potar det compensador de retardo.

56

dB

30

20

10

o

~ ~

o o

-30°

-60°

-90°~--------~--------~------~

0.01 T

0.1 -

T {1)

1

T 10

T

Figura 3.4. Diagrama de Bode de un compensador en retardo

La figura 3.4 contiene Jos diagramas de Bode del compensador, donde Kc = 1 y

p = 10. Las frecuencias esquina del compensador de retardo están en w = 1/T y

w = 1/fJT. La magnitud del compensador en retardo es de 10 (O 20 dB) a bajas

frecuencias, y 1 (O dB) a altas frecuencias. Por lo tanto, el compensador de retardo

es esencialmente un filtro pasa bajo.

Procedimiento para diseñar un compensador de retardo mediante el método

de respuesta en frecuencia. La función principal de un compensador de retardo

es proporcionar una atenuación en el rango de las altas frecuencias a fin de aportar

un margen de fase suficiente al sistema. El procedimiento de diseño se puede

plantear del modo siguiente:

1. Suponga el siguiente compensador de retardo:

Defina

Entonces,

1 rs + 1 s +r

Gc(s) = Kc/1 {JT 1 = Kc 1 (p > 1) s+ s+

7ft

Ts+ 1 Gc(s) =K fJTs + 1

57

La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es

G1 (s) = KG(s)

Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre la constante de error estática de velocidad.

2. Si el sistema no compensado pero ajustado en ganancia G1 (jw) = KG(jw) no satisface las especificaciones en los márgenes de fase y ganancia, entonces encuentre la frecuencia en la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a -180° mas el margen de fase requerido. Este es el margen de fase especificado más S0 a 12°. (La adición de entre so y 12° compensa el desfase que introduce el compensador de retardo.) Selecciones esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

3. Para evitar los efectos adversos del desfase producido por el compensador de retardo, el polo y el cero del compensador de retardo deben localizarse sustancialmente por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, seleccione la frecuenCia esquina w = 1/T (que corresponde al cero del compensador de retardo) entre una octava y una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia). Si las constantes de tiempo del compensador de retardo no se hacen demasiado grandes, la frecuencia esquina w = 1/T se puede escoger una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Obsérvese que se selecciona el polo y el cero del compensador suficientemente pequeños. Asi el retardo de fase ocurre en la región de bajas frecuencias de manera que no afecta al margen de fase.

4. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud a O dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Si se considera que esta atenuación es de -20logf1 , determine el valor de p. A continuación se obtiene la otra frecuencia esquina (que corresponde al polo del compensador de retardo) a partir de w = 1/(PT).

5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de p determinado en el paso 4, calcule la constante K, a partir de

K K-c-p

58

3.3 Compensación atrasa.adelanto

Sea el compensador de retardo-adelanto obtenido mediante.

Produce el efecto de una red de adelanto, y el término

1 s+r, (Ts+1) ----,1~2 = {J R; S + 1 , {J > 1 s+- PZ

fJTz

produce el efecto de una red de retardo. Al diseñar un compensador de retardo

adelanto, es común seleccionar y = {J. El diagrama polar del compensador de

retardo-adelanto con Kc = 1 y y= {J es el que se muestra en la figura.

1m K =1 r=/3 e

m=oo

Re

o

m=O

Figura 3.5. Diagrama polar de un compensador de retardo-adelanto con Kc = 1 y y = f3

Obsérvese que para o< w < w1 , el compensador actúa como un compensador de

retardo, mientras que para w1 < w < oo, funciona como un compensador de

adelanto. La frecuencia w1 es aquella en la cual el ángulo de fase es cero. Viene

dada por

59

10

o

dB -10

-20

-30

"" "" r=P

~ ¡...... _ _.. V

-90° 0.001

T¡ 0.01

r; 0.1

r; {J)

/ /

/ ,.,-

1

r;

~

10

T¡ 100

r;

Figura 3.6. Diagrama de Bode de un compensador de reatrdo-adelanto Kc = 1 y y ::::: {3 y T2 = 10T1

Procedimiento para diseñar un compensador de retardo mediante el método

de respuesta en frecuencia. El diseño de un compensador de retardo-adelanto

mediante el método de la respuesta en frecuencia se basa en la combinación de

las técnicas de diseño analizadas en la compensación de adelanto y la

compensación de retardo.

Supóngase que el compensador de retardo-adelanto tiene la forma siguiente:

( (T1s + 1)(T2s + 1) (s + *) (s + ~)

Gc s) = Kc (T ) = Kc ( f3) 1 donde {3 > 1 js + 1 ({3T2s + 1) s + T

1 (s + {3T

2)

La parte de adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto (la parte que

contiene T1) altera la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de

adelanto de fase e incrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de

ganancia. La parte de retardo de fase (la parte que contiene T2 ) proporciona una

atenuación cerca y por encima de la frecuencia de cruce de ganancia y, por lo

tanto, permite un incremento de la ganancia en el rango de bajas frecuencias que

mejora el comportamiento en estado estacionario.

60

Problema N° 3.1. Compensación en adelanto

Sea el sistema que se muestra en la figura. Se quiere diseñar un compensador

para el sistema de modo que la constante de error estático de velocidad sea de 20

seg·1, el margen de fase sea al menos de 50° y el margen de ganancia sea al

menos de 10 dB.


1

Solución 4

Gp(s) ~ s(s+ 2) 1

s + T Ts + 1 Gc(s) = Kc 1 = Kca T

1 1 Kca =K 1 z = ap

s+- as+ aT

. ( Ts + 1 ) ( 4K ) G(s) = Gc(s). Gp(s) = aTs + 1 s(s +2)

4K G1 (s) = KGp(s) = s(s + 2)

Kv = lim G(s) = 2K = 20--.. K= 10 s ... o

elear all; elose all; ele; n=[O o 40]; d=[l 2 O]; w=logspaee(O,l,lOO); bode(n,d,w); grid;

40 Gt(s) = s(s+ 2)

Del grafico se puede, medir el margen de fase MF y la frecuencia correspondiente.

Este valor también se puede calcular en forma analítica al cumplir la condición de

cruce de ganancia,

-¡.~::::::;: = 1 wvw 2 + 4

w4 + 4w2 -1600 =o .... w = 6.1685 radjseg MF = 180° + LG1 (s)

61

. 40 40L0° 0

G¡(jw) = jw(jw + 2) = (6.1685L90°)(6.4846L72.036°) = lL - 162·036

MF = 180°- 162.036° = 17.964°

2Sk---···· --

20[--·-- ~----~-~~---·- -·-·· --:.

: ------------· ····---~-- ..

~----------- -~----...............

~ 15~---- -

-- -·-··--·-----··· -- ----·--- ....... L ......... _¡ _________ _¡

' -120~~ ----··

! -------------L ~ ¡f

··--·:

-~-~---'· .. ·. :..!..~---~--~-·-·---.. -- __ ,_,_::..i~_, __ , __ ,._,._.--- .. -:,o •.. :..· •• t. •• :. ·.- .. -.:.L .. : ... :..L· ___ ,_.,__._,_:i

10'

Ffe<JJeo<:Y (radfsee)

Figura 3.8. Diagrama de Bode

Dado que MF requerido debe ser mayor a 50°, entonces la fase del compensador

debe ser:

MF = 17.964 + l/Jc + lPcorreccíon

Se encuentra así que el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer el

requisito de estabilidad relativa es de 32.036°. Considerando el desplazamiento de

la frecuencia de cruce de ganancia, se puede suponer que lf>m , el adelanto de fase

máximo requerido, es de aproximadamente 32.036° +5o= 37.036° (esto significa

que se han añadido 5o para compensar el desplazamiento en la frecuencia de

cruce de ganancia.)

1- senlf>m a= ~ a= 0.248

1 + senlf>m

Con este valor, se procede a calcular la magnitud de la respuesta en frecuencia a

la cual ocurre la máxima contribución de fase del compensador. Es decir

IGc(s)l = Jix = 2.008 -+En dB es 6.056 dB

IGc(s)IIGt (s)l = 1

62

1 1 IGl(s)l = IGc(s)l = 2.008 = 0.498

40 --;~~ = 0.498 w..Jw2 + 4

w4 + 4w2 - 6451.509 =O --+ w = 8.8513 radfseg

IG1 (s)l = 0.498 a la frecuencia w = 8.8513 radfseg. Se selecciona esta frecuencia

como la nueva frecuencia de cruce wc. Teniendo en cuenta que esta frecuencia

corresponde a

1 ú) =-

e .faT

1 T = Wc.fa

1 1 T = 4.408, aT = 17.774

El compensador de adelanto asr determinado es

s+4.408 Gc(s) = Kc S+ 17.774

K 10 Kc = '(; = 0.248 = 40.323

S+ 4.408 Gc(s) = 40.323 S+ 17.774

C(s) 4 -- = · sin compensar R(s) s 2 + 2s + 4

C(s) 161.292s + 706.782 - = compensado R(s) s 3 + 19.671s2 + 196.634s + 706.782

63

close all; clear all; ele %diseño de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia %-------------------------------------------------------------

%planta sin compensar %G(s)=4/(sA2+2s+4) ns=[O O 4]; ds=[l 2 4]; %----------------~---------------

%planta compensada en frrecuencia nc=[O O 161.296 710.993]; dc=[1 19.774 196.844 710.993); t=0:0.05:10; [c1,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1, '- 1 ,t,c2,t,c2, 1

-1);

grid; title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado'); xlabel ( 1 t seg 1

) ;

ylabel( 1 salidas el y c2 1);

gtext( 1 sisterna compensado'); gtext( 1 sistema no compensado');

respuesta a un escalon unnaóo de sistema compensado y no compensado

1.4 ---¡---T--¡-----r-----¡----~----r- ¡---

Sistema crmpensado ' : ' ' , : , : ·r\·· r···· <•··~~~:·············:········· :············:·············, ............. , .......... . -¡-----~""-" ___ ~---~-~-~-------·--¡------·-----::_.._:;:_r----:::------ ---4--:.·:: - ~~---~ ..... :....·=----~-----~~t· ... ------ · -- ---- \- -·--j :.: i ' : ' : :

.. 1 t 1 ' 1 - -..--------------o·--- •-------- • r-- -----------' --------- •--- ~-- •---------- r----- •------ -~------------- •-- •• •----- • • • ' ' ' ' 1 ' ' . .

' ' ' ' ' ' ' ' ' : en , , , tU . ' 1 '

~-Q.-~ ;---------'-+-----------+------------r-------------f-------------r-------------f-------------f-------------;-------------1------------• 1 1 ' 1 1

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' --,-------------,---- ----- ~ T-- "-- -- ------ i--- .. --------

' '

0.2 t- __ , _______ -r- _. ______ --+ _______ -----r _______ ----+- __________ ~----- ________ 1

_______ . ____ -;--- __________ ¡- _________ ---: ____________ _ ' ' ' ' ' '

_ _j_ __ -----', ____ j__ ____ j ___ ___j ___ __j_ __ _j __ __j__ ____ j __ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 seg


64

Problema N° 3.2

Sea el sistema que se muestra en la figura {a). Diseñe un compensador tal que el

sistema en lazo cerrado satisfaga los requisitos siguientes constante de error

estático de velocidad = 20 seg-1 , margen de fase = so o y margen de ganancia

;:::: 10dB.

•

Figura 3.1 O. Diagramas de bloque del sistema sin compensar

y del sistema con compensador

Solución

...

Para satisfacer las especificaciones, se intentara un compensador en adelanto de

la forma

Ts+ 1 Gc(s) =K T l ª s+

10 Gp(s) = ( 1)

ss+

10K ( Ts + 1) G(s) = Gc(s)Gp(s) = s(s + 1) aTs + 1

10K G1(s) = ( 1) s s+ .

10K ( Ts + 1) Kv= limsG{s) = limsGc(s)Gp(s) = lims (

1) T

1 = 10K = 20

s_.O s_.o s_.o S s + . a S + . K=2

20 G (s) ----

1 - s(s+ 1)

El margen de fase se puede calcular en forma analítica al cumplir la condición de

cruce de ganancia,

65

IG1(s)l = 1s(s2~ 1)1 = 1

20 --;=;;::= = 1 w:Jw. 2 + l

w 4 + w2 - 400 =O --7 w = 4.4166 radfseg

MF = 180° + LG1(s)

. 20 20L0° . . . 0

G1 (jw) = jw(jw + 1) = (4.4166L90°)(4.5284L77.2423°) = 1L- 167·2423

! : o -135i-.!! ¡ ..

: :

-180: -io::r·~ .....

MF = 180°- 167.2423° = 12.7577°

Bode llagram


' ::: ¡

El margen de ganancia es +oo dB. Como la especificación requiere un margen de

fase de 50°, el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer el requisito de

margen de fase de 50°- 12.7577° = 37.2423°. Un compensador de adelanto puede

contribuir con esta cantidad.

Si se toma en consideración el desplazamiento de la frecuencia de cruce de

ganancia., se puede suponer que </Jm = 37.2423° +so= 42.2423°

1- sen</Jm a = -+ a = 0.196

1 + sentPm

66

Con este valor, se procede a calcular la magnitud de fa respuesta en frecuencia a

la cual ocurre la máxima contribución de fase del compensador. Es decir 1

IGc(s)l =.¡a= 2.259

IGc(s)IIGl(s)l = 1

1 1 lG¡(s)l = !Gc(s)l = 2.259 = 0.443

1scs2~ 1)1 = 0.443

20 --;=;;::= = 0.443 w..Jw2 + 1

w4 + w2- 2038.227 = O ~ w = 6.6820 radfseg

IG1 (s)l = 0.443 a la frecuencia ·w = 6.6820 radfseg. Se selecciona esta frecuencia

como la nueva frecuencia de cruce wc. Teniendo en cuenta que esta frecuencia

corresponde a

1 w =--

e ..Jar 1 T = Wc..J(i

1 1 T = 2.958, aT == 15.093

El compensador de adelanto así determinado es

S+ 2.958 Gc(s) = Kc S+ 15.093

K 2 Kc =a= 0_196 = 10.204

S+ 2.958 Gc(s) = 10.204

5 + 15.093

C(s) 10 - = sin compensar R(s) s2 + s + 10

C(s) 102.04s + 301.83432 R(s) = s 3 + 16.093s2 + 117.133s + 301.83432 compensado

67

elose all; elear all; ele %diseño de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia %-------------------------------------------------------------

%planta sin compensar %G(s)=4/(sÁ2+2s+4) ns=[O O 10]; ds=[l 1 10]; %--------------------------------%planta compensada en frrecueneia nc=[O O 102.04 301.83432]; dc=[l 16.093 117.133 301.83432]; t=0:0.05:10; [el,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot ( t, el, t, el, '-' , t, e2, t, c2, '-' ) ; grid; title('respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado'); xlabel ( 't seg' ) ; ylabel('salidas el y c2'); gtext('sistema compensado'); gtext('sistema no compensado');

respuesta a un escalan unitariO de sjstema compensado y no compensado 1.8-

r-~ ~---:--~-----r-----r-----. . ' ' . j 1 1 ' ' '

1 1 ' 1 1 ' ' '

1'6 ----------~ ... -·r\_\ ____ SiStérñB"fC~ádO---;--------------¡--------------r-------------r-------------,:-------------;--------------r------------. 1 1 1 1 ' ' ' '

' ' 1 ' ' ' 1 1 ' 1 • ' 1 1 1 ' ' 1 '

1.4 ------- __ ¿ __ ~ --- ~-.--- -------1------------ --f---- ----------:-------------- +--- -----------:-------------.:.------------ -~------- ------ -~- -----------f : ¡ : : : : :

' ' ' ' 1.2 ~- ~ .;·:\_j ~ --- ~-- -- -~.----- ---:- ~-- ---- ~:·~·-.,_~- ----- ·- ~+----- ·· ---- ---~ -- · ---------- -¡--- ---------- -~ -------- -· ---,- ---- ~ --- · · --r-- ~ · ------- ·

Í \ sis~ema c~pensa~ : : : 1 \ ' ·. ' ' ' ' 1 , • ' • •. ···r- -. •

~ 1 -j--- -,"-- '~i-~-----'~-----j------.-----j-------_:--\ ____ T ______ ~"-~~--+--~~-"--~-~+~--~-~~"~C:C~t-=-cccoc--.-~-=~--------~"==~=c~"-- -----j 08 ! ' : \ : : '- + / i i ! : ~ · -.r -- -¡-------1: _____ -----·-;---T----.---------:-------------~.:.--------- -----1.---------- ---l: ___ ----- ---- --r:·---- ---------:.:.---------- ----r: ------------

; ' ' \ ¡ .' ' ' : ' ' ' ' 0.6 t··;·--------:--------------:----------- ---:--------------:-------- ------;------ -------:--------------:-------------:-- ------------¡-------- -----

; ; : ¡ ¡ ¡ : ; ¡ ¡ ¡ ----------·- -,--------------,---------- ----r··------------,-------------·r···-- --------,---· ----------r-· ------ ----·¡·-------------,------------ --

' ' : : : ! j : ¡ : 0.2 '-'----------j--------------:--------------j- --- ------:·------------j·---- ---~------------

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

2 4 5 6 7 9 10 t seg


68

Problema N° 3.3. Compensación en retardo

Sea el- sistema que se muestra en la figura. Se desea compensar el sistema de

forma que la constante de error estático de velocidad Kv sea de 5 seg·1, el margen

de fase sea al menos de 40° y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.

1

s(s + 1)(0.5s + 1)


Solución

Se utilizara un compensador de retardo de la forma

1 Ts + 1 s +y

Gc(s) = KcP prs + 1 = Kc 1 CP > 1) s+ PT

KcP=K K

G1 (s):::: KG(s) = s(s + l)(O.Ss + 1)

G (s) - G (s) G (s) - _K_(T_s_+_1_) 1

- e · P - PTs + 1 s(s + 1)(0.5s + 1)

K Gl(s) = KGp(s) = s(s + 1)(0.5s + 1)

Kv = Jirn G(s) = K == S s-+0

K=S

5 G ( s) - -:--::-::-:---:---

1 - s(s + 1)(0.5s + 1)

elear all; elose all; ele; n=[O O O 5]; d=[0.5 1.5 1 O]; %w=logspace(O,l,100); %bode(n,d,w); bode(n,d); grid;

69

BodeOsgram 50:-

¡-----;-·-----, -----·---------

·50

-100:-.

·13':i:-

10

Frequency (radlsec)


Se observa que el margen de fase es -20°, lo que significa que el sistema no

compensado pero ajustado en ganancia es inestable. Se debe permitir al MF la

adición entre 5° y 12° con el fin de que de que el MF requerido compense la

modificación de la curva de fase.

Como la frecuencia correspondiente a un MF = 40°. Como la frecuencia

correspondiente a un margen de fase de 40° es de 0.7 rad/seg, la nueva frecuencia

de cruce de ganancia (del sistema compensado) debe seleccionarse cercano a

este valor. Para evitar constantes de tiempo muy grandes en el compensador de

retardo, se debe elegir la frecuencia esquina w = 1/T (que corresponde al cero del

compensador de retardo) como 0.1 rad/seg. Se añade 12° al MF proporcionado y el

MF requerido es ahora 52°.

El ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto no compensada es

de -128° en la cercanía de w = 0.5~, por tanto se escoge la la nueva frecuencia seg

de cruce de ganancia como 0.5 rad/seg.

Para traer la curva de magnitud hasta O dB en esta nueva frecuencia de cruce de

ganancia, el compensador de retardo debe proporcionar ta atenuación necesaria,

que en este caso es de -20 dB. Por tanto.

70

1 20log p == -20

{3 = 10

La otra frecuencia esquina w = 1/PT, que corresponde al polo del compensador de

retardo, se determina como

1 pr = 0.01 radfseg

K 5 Kc = {3 :::::: 10 = O.S

Así, la función de transferencia del compensador de retardo es

s+0.1 Gc(s) = 0.5 s + 0.01

C(s) 1 R(s) = O.Ss3 + 1.Ss2 + s + 1 sin compensar

C(s) SOs+ S R(s) = 50s4 + 1SO.Ss3 + 101.Ss2 + 51s +S compensado

close all; clear all; ele >6diseño de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia %-------------------------------------------------------------

%planta sin compensar ns=[O O O 1]; ds=[O.S 1.5 1 1]; %------------------~~-~----------

%planta compensada en frrecuencia nc=[O O O 50 5]; dc=[SO 150.5 101.5 51 5]; t=0:0.05:40; [cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,cl, '-' ,t,c2,t,c2, '-'); grid; title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado'); xlabel ( 't seg') ; ylabel('salidas el y c2'); gtext('sistema compensado'); gtext('sistema no compensado');

71

respuesta a un escalan unitario de sistema compensado y no compensado 1.4,---~~c-r~~~-,----~,-!-------,---~-,----,------,--~-..........,

·¡¡/ ',

t.2 __________ i .... ,/:.~---------~'".:_~·~t~~:~: ____ _. __________________ f-----·····-------¡---·------------·j------------------:--·--------------' 1 : ', ·•. ' ' ,' !, ! \ : ··-·., :

1 ---- -•---j--·-~---:-----•--- ••-~~~-~~~-~=::::·:,:::::-=-~:~~~~~ w------=--~:- ~:-: ___ ::-:;:-;.-_--: ~-. -- ---,_~---------•--------"i---~~~~-,........ 1 : . : ·- ... 1 : \ : \

~ ' 1 1 1

1

1

/ ¡ sist~a no compensado ! , ! : ! ~ 0.8 -· -· -"--¡------¡: ------ ·-·--· -----~.:.- ·------------ ----:--------· -----· ---r: --- ·------------ -¡. ----· ------ -----·1: ______ ------------¡:- ·----·------- ·--

r / : 1

u 1 1 ' ' ' 1 ' ' 1

i ,, .... ;¡ ...... • ................. ; ............. ·····~· .................................. •········ ... ··:·················J ............... . 1 ' ' 1

0.4 r--.-- ,- 4---------- ~ ------ ... --- ----~ -----------.------:---------- .. ----- _,.- -- -·------ ---- .; .. - ---- - . ----- --~ ----------------- ~- ----------------¡ i i i ' : ; 1 ' .

J 1 ' : 1 : : '

0.2 --f!- _- .. ------- ¡-- .. ------ ------- r---- -------.--- -+--- --------.---- -¡- ------------.---1

--- -·-- --.----.-- i---.-- ----------- +- ---------------. ' ' '

i i i i : i o 35 40

Figura 3. 15. Respuesta del sistema compensado

Problema N° 3.4. Compensación retardo-adelanto

Sea el sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo

abierto es

K G (s) - --:------:--

P - s(s + l)(s + 2)

Se desea que la constante de error estático de velocidad sea de 1 O seg·\ que el

margen de fase sea de 50° y que el margen de ganancia sea de 1 O dB o más.

Solución

Usando compensador retardo-adelanto

( ) (T1s + 1)(T2s + 1) ( s + *) (s + ~)

G, s = K, (T ) = Kc ( p) l js+ 1 (PT2s+ 1) s+Yt (s+ py

2)

. . KcK Kv= hmG(s) = hm Gc(s)Gp(s) = -

2 = 10

s-+0 s-+0

asumiendo K, = 1 tenemos que K = 20

20 20 G (s)- -----

P - s(s + l)(s + 2) s3 + 3s2 + 2s

donde P > 1

72

50

-50

-100 -00.

-225

-270'

10

20

10

¡¡;-~

-8 ~ (i ,¡¡

t -2G

-30

-110 135

-1S:i

~ ~

f. -2?5

-2?0:

1d'

•

Bode [)agram

-- --...

System sys

Sy&tem ¡,ys Frequency (radlsec): 2.4 Mogniude (dB); 0.144

Frequency (radlsec); 1.41 ~se{deg): -180

Frequency (n~cVsec)

Figura 3.16 Diagrama de Bode

System sys Frequency (radlsec}: 1.o62 Mogo ..... (d8); 10.3

--.......

--· -. Sys~m sys Frequency (radlsec): 1.o62 . ..._ Rla&e{dag): -180

-- . Bode Oiagram

System ¡,ys Frequency (radfsec): 2.42 Magnlude (dB}: 0.029

System sys Frequency (radfteo): 2.42

-·· (deg); -208 .. ___ ....

Frequency (radlsec)

····--.

Figura 3.17. Diagrama de Bode más especifico

El MF del sistema no compensado pero ajustado en ganancia es de -32°, lo que

indica que el sistema es inestable.

El paso siguiente es seleccionar una nueva frecuencia de cruce de ganancia. A

partir de la curva de fase de Gp(w), se observa que LGp(w) = -180° en w =

73

10'

10

1.5 radjseg. Es conveniente elegir la nueva frecuencia de cruce de ganancia como

1.5 rad/seg, a fin de que el adelanto de fase requerido en 1.5 rad/seg sea alrededor

de 50°, lo que es muy posible mediante una red de retardo adelanto.

Una vez que se ha seleccionado ia frecuencia de cruce de ganancia en 1.5 rad/seg

se puede determinar la frecuencia esquina de la parte de retardo de fase del

compensador de retardo adelanto. Se selecciona la frecuencia esquina w = 1/T2

(que corresponde al cero de la parte de retardo del de fase del compensador) que

se encuentra una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia,

o en 015 rad/seg. Recuerde que para el compensador de adelanto, el máximo

adelanto de fase 4>m viene dado por

1 1-p {J-1

senc/Jm ==- = --1+1 /1+1

71 Para el caso actual, sustituyendo a= 1/P

1-a -- 1-a

sen4> = 2 =-m 1+a 1+a -z

para P = 10 entonces 4>m = 54.9°

Como se necesita un MF de 50°, se puede seleccionar p = 10. Así a la frecuencia

esquina w = 1/T2 que corresponde al polo de la parte de retardo de fase del

compensador) es 0.015 rad/seg. La función de transferencia de la parte de retardo

de fase del compensador de retardo-adelanto es

s + 0.15 (6.67s + 1) ---=10----s + 0.015 (66.7s + 1)

La parte de adelanto de fase se puede determinar del modo siguiente. Como la

nueva frecuencia de cruce de ganacia es 1.5 rad/seg, de la figura se encuentra que

Gp01.5) es de 13 dB. A partir de este requisito, es posible dibujar una línea recta

de pendiente 20dB/dec, que pasa por el punto (1.5 rad/seg, -13 dB). Las

intersecciones de esta línea con las líneas O dB y -20 dB determinan las

frecuencias esquinas.asi, las frecuencias esquinas pára la parte de adelanto son

0.7 rad/seg y 7 rad/seg. En este caso la función de transferencia del compensador

en adelanto es

74

s + 0.7 (1.43s + 1) ---=0.1-----s + 7 (0.143s + 1)

Si se combinan las funciones de transferencia

. (S + 0. 7) S + 0.15 Gc(s) = S+ 7 (s + 0.015)

C(s) 20

R(s) = s3 + 3s2 + 2s + 20

C(s) 95.381s2 + 81s + 10 R(s) = 4.769ss + 47.7287s4 + 110.3026s3 + 163.724s2 + 82s + 10

8x 10"' ~---.----~-----,-----.-----:-----.-----~

6 ----------"-¡--------------¡--------------:--------------¡--------------¡------ ------¡--------------¡------ (\·--' ' 1 1 ' 1 ' i: • ------------~--------------r--------------:--------------;------- ------¡------ -- ---~----------- -r------rr

2 ------- -----:--------------:---~----------:---- ----------:--------------;------------- :------------ --,:-\_-----r--1--, ' ' 1 1 1 ,, \ 1 \

· · · ~-=·····-~=¡·~·······• -=~···· ~r-~.=:r=:~=r.c[\/[•\•f·•t• ~---- --------- ~---- --------) ------------- ~--- -- ·-- -- __; ------------- -~-- -------- ----~- ------------ -~-- _',j_ --- -l- i

\ ' \ \ ¡ i ¡ ; ¡ .a --- -·--- ----- ~- ----------- --~---- ----------:-------------- ~-- ----- ---··-- -:------------- -~-- ------------ ~ -------- --.¡-

~ ____________ j _____________ +-------------:--------------¡-----------)-------------j--------------r-----------1- : -10 ---------- --~--- ------- ----~-- ---------- __ ;_- ----------- -~ ------------ __ ;_ ------------ -~-- ---------- --~ ----------- ~ i

-12 o

' ' ' 1 ' ' 1 1!

i : i : : : : \/ 10

Figura 3.18. Respuesta del sistema sin compensar

Step Response 1.4 - ------· ............. -- ...

1.2 , __

Time (sec)


75

CAPITULO IV

CONTROLADORES PID Y CONTROLADORES PIO MODIFICADO

4.1 Reglas de Ziegler Nichols para la sintonía de controladores PIO.

Es interesante señalar que más de la mitad de los controladores industriales que se

usan hoy en día utilizan esquemas de control PID o PIO modificado (1-PD y PIO con

dos grados de libertad). En particular, cuando el modelo matemático de la planta no

se conoce y por lo tanto, no se pueden emplear métodos anaHticos, es cuando los

controles PID resultan más útiles.

Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia

proporcional, el tiempo integral y del tiempo derivativo basándose en las

características de respuesta transitoria de una planta dada.

+ 1 Kp(l+--+Tss) Planta

T;s ,~-

Figura 4.1. Sistema de control PID

Primer método. La respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se

obtiene de manera experimental, tal como se muestra en la figura.

lé u= __ ___, .. ..,.., Planta lt---..., .. ~

Figura 4.2. Salida de reacción

Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la

curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S, como se observa en la

figura.

76

Tales curvas de respuesta escalón se pueden generar experimentalmente o a partir

de una simulación dinámica de la planta. L es el tiempo de retardo, T es la

constante de tiempo.

En este caso, la función de transferencia C(s)/R(s) se aproxima mediante un

sistema de primer orden con un retardo del modo siguiente:

c(t)

C(s) Ke-Ls

R(s) = Ts+ 1

Figura 4.3. Curva de reacción

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la formula que se muestra en la tabla siguiente

Tipo de controlador Kp Ti Td

p T/l 00 o

PI 0.9T/l L/0.3 o

PIO 1.2T/l 2L O.SL

( 1 ) T ( 1 ) (S + f)

2 Gc(s) =Kv 1 + Tis + Tds = 1.2 L 1 + ZLs + O.SLs = 0.6T s

Por lo tanto el controlador PIO tiene un polo en el origen y un cero doble en s=-1/L,

Segundo método. Primero se fija Ti= o0 y Td =o. Usando solo la acción de

control proporcional, se incrementa desde O hasta un valor crítico Kcr• en donde la

salida presente oscilaciones sostenidas. (si la salida no presenta oscilaciones

77

sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces este método no se

puede apticar.) Asi, ta ganancia crítica Kcr y et periodo Pcr correspondiente se

determinan experimentalmente.

u(t) c(t) Planta

Figura 4.4. Sistema proporcional

c(t)

Figura 4.5. Respuesta oscilatoria

Ziegler y Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp,

Ti y Td de acuerdo con la formula que se muestra en la tabla siguiente.

Tipo de Kp Ti Td controlador

p

PI

PIO

O.SKcr 00 o 0.45Kcr {1/1.2)Pcr o 0.6Kcr O.SPcr 0.125Pcr

Gc(s) = Kp ( 1 + T~s + Tds) = 0.6Kcr ( 1 + O.S~crs + 0.125Pcrs)

4 2 (s+-)

= 0.075K Pcr -·-- .... cr S

Por lo tanto, el controlador tiene un polo en el origen y un cero doble en s=-4/Pcr.

Problema N° 4.1. Segundo método de sintonía

Sea el sistema de control que se muestra en la figura, en el cual se usa un

controlador PID para controlar el sistema. El controlador PID tiene la función de

transferencia

78

Controlador PIO Planta

R(s) s(s + l)(s + 5)

C(s)

Figura 4.6 sistema de control PID

Diseñe el controlador PID aplicando la regla de sintonía de Ziegler-Nichols para

determinar los parámetros. Obtenga una curva de respuesta escalón unitario y

compruebe si el sistema diseñado presenta una sobreelongación de

aproximadamente el 25%. Si la sobreelongación es excesiva (40% o más), haga

una sintonía fina y reduzca la cantidad de sobreelongación al 25% o menos.

Solución

Como la planta tiene un integrador, se utiliza el segundo método de sintonía de

Ziegler -Nichols.

Fijando Ti = oo 1 Td =O 1 Gc(s) = Kp

Kv G(s) = Gc(s)Gp(s) = s(s+ l)(s+S)

Kp Kv T(s) = s(s + l)(s +S)+ Kv- s 3 + 6s2 + Ss +Kv

s 3 + 6s2 + Ss + Kp =O ecuacion característica

Por Routh

s3 1 S

s2 6 Kv

30-K sl p o

6 so Kv

Para que el sistema sea estable Kv > O 1 tambien 30-Kp O -> 6

Es decir cuando o < Kv < 30 el sistema es estable. Si Kv = 30 el sistema oscila.

Formamos el polinomio auxiliar P(s) = 6s2 + 30 = O con lo que s = ±j.JS = ±jw

w = ...f5 = 2nf

79

f = 0.35588 Hz

E1 periodo de osci1ación es T = } = 2.8099

Los parámetros del PID serán:

Kp = 0.6Kcr = (0.6)(30) = 18

Ti == Q,5Pcr = (0,5)(2J3099) = 1.40495 Td = 0.125Pcr = (0.125)(2.8099) :::: 0.3512375

( 1 ) 6.3223(s + 1.4235) 2

Gc(s) = 18 1 + 1.4055 + 0.35124s = s

6.3223(s + 1.4235)2

G(s) = Gc(s)Gp(s) = 52 (s + 1)(s +S)

C(s) 6.3223(s + 1.4235)2

T(s) = R(s) = s2(s + 1)(s + 5) + 6.3223(s + 1.4235)2

6.3223s2 + 18s + 12.811 T(s) - ~--=-------::::----

- s4 + 6s3 + 11.3223s2 + 18s + 12.811

La función de transferencia del sistema sin controlador

C(s) 1 1 T(s) = R(s) = s(s + l)(s +5) + 1 - s 3 + 6s2 + 5s + 1

elose all; elear all; ele %diseño de un controlador PID por el metodo de Ziegler-Nichols

%------------------------------------%funcion de transferencia de la planta sin compensara:

ns=ro o o 1]; ds=[l 6 51]; %funcion de transferencia de la planta con controlador PID nc=[O O 6.3223 19 12.81lj; dc=[1 6 11.3223 18 12.811]; t=0:0.05:40; [el,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,el, '-' ,t,c2,t,e2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema controlado y

no controlado') xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2~)

gtext('sistema controlado')

80

gtext('sistema no controlado')

respuesta a un escalon unitalio de sistema controlado y no controlado

1.8,..-->01-.65-,!----.-!----,1. ----,------¡!----..-----¡-----, Y: 1.618 , , i , '

1.6c---:r---------+----------------¡----------------¡-----------------¡-----·----------¡-----------------¡----------------¡----------------

1.4 ··!···:·····- -¡--·-------- -----¡---------------·¡·-------- -------¡----------------¡- ...... --------¡----------------¡-- ------ ------: sistema c()nlrolado : : : :

1.2 _j_ -- _, __ -- -- --j----------- ------~ -- ---------- ___ ;_- ------- ----·-·:······-·· -------j ------- --- -----~- --------------. i. -- ------------l :' \ :

N 1 ,: \ : ~ 1 -¡-----+-----·r----~-----=--:-~-.y-----.-.----·-·-·--- -~--- ___ ....... ----· ··-

. ~ t ·, : : : ' : 1

~ 0.8 :··------~~-.;·-¡----~~~~~~-~~~~~-------------¡-----------------¡----------------¡-----------------¡----------------:--·-------------

0.6 r· __________ ---¡-----------------¡---------------- ¡------------- __ --¡-. ___ . -------. --¡ ____________ . _ ---¡-- __ .. __ --------¡ ------ _________ _ 0.4 ~'---------------~----------------+----------------1----------------+----------------1··--------------+----------------1----------------

. . . . . . ' . ------ ~---------------- -'-----' . ' ' __ ... _________________ .... ------~----------------0.2 . -------- - . ' . ' ' ' i i ¡ ' i i

00~--~---~10------1~5---~~~--~25~--~~----~~--~~

t seg

Figura 4. 7 Sistema controlado

Mp = 1.618 que resulta 61.8%

Esta sobreelongación es excesiva se puede reducir mediante una sintonía fina.

Acercando los ceros del controlador al origen

6.3223(s + 0.71175)2

Gc(s) = ------s

6.3223(s + 0.71175)2

G(s) = Gc(s)Gp(s) = s 2 (s + 1)(s + 5)

6.3223(s + 0.71175) 2

T(s) - ---:::--::-------,-----------:- s 2 (s + 1)(s + 5) + 6.3223(s + 1.4235)2

6.3223s2 + 9s + 3.2028 T(s)------~---

- s 4 + 6s3 + 11.3223s2 + 9s + 3.2028 close all; clear all; ele %diseño de un controlador PID por el metodo de Ziegler-Nichols

%------------------------------------%funcion de transferencia de la planta sin compensara: ns=[O O O 1]; ds=[1 6 51]; %funcion de transferencia de la planta con controlador PID %sintonia fina nc=[O O 6.3223 9 3.2028]; dc=[1 6 11.3223 9 3.2028]; t=0:0.05:40;

81

cl,xl,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,cl,t,cl, '-' ,t,c2,t,c2, '-') grid title('respuesta a un escalon unitario de sistema controlado y no controlado') xlabel ( 't seg') ylabel('salidas el y c2') gtext('sistema controlado') gtext('sistema no controlado')

respuesta a un escalan unitario de sistema controlado y no controlado 1.4¡------,-----,--------,------,-----,------,------¡-----,

X:2.4 Y: 1246 : , , , : , : /."' : : : : : : : "C/ '\]:.=..: i 1 : . ~

11-·-,-------------i~-~~c-~.-:---L---- ·-- ___ ¡ ___________ __¡ ______ ¡

~ 0.8 _¡_ ____________ ; _______ - -- ____ [ ________________ ( ________________ ~-----------------,------- - -- -y------- -- -- --,------- ------ -

>- / : sistema no ~ntrolado ' : :

" ' ' ~ 1 j ¡ 1 1 ' ' 1

~ OBf-j--------------¡-----------------:-----------------¡----------------¡-----------------~----------------:-----------------¡----------------

1 : : : : : :

0.4 t·-- -------+----------------(----------------+- --+- -- ----------f ----------- ----f-----------------i----------------1 : : : : 1 : : : 1 ' : :

1 ' ' ' ' ' ' ' 0.2!+---------------~-----------------; _________________ ~----------------~-----------------~----------------~-----------------i----------------; : : : : : : :

i : i ' : i ¡: ¡: j

0o 10 15 20 25 30 35 40 t seg

Figura 4.8. Sistema compensado con sintonía fina

Mp = 1.246 que resulta 24.6%

) 6.3223(s + 0.71175) 2 6.3223(s2 + 1.4235s + 0.5066)

Gc(S = = ------------S S

( 0.5066 )

Gc(s) = 6.3223 1.4235 + S + s

( 0.5066 S )

Gc(s) = (6.3223)(1.4235) 1 + 1

_4235

s + 1

_4235

Gc(s) = Kp ( 1 + T~s + Tds) = 9 ( 1 + 2_~1s + 0.7025s)

Los nuevos parámetros del PID sintonizados son:

Kp = 9 1 Ti = 2.81 seg 1 Td = 0.7027 seg

82

4.2 Diseño de controladores PID mediante el método de respuesta en

frecuencia.

En esta sección se presenta un diseño de un controlador PID basado en el método

de respuesta en frecuencia.

Problema N° 4.2

Considérese el sistema que se muestra en fa figura. Diséñese un controlador PID

utilizando el método de la respuesta en frecuencia tal que la constante de error

estático de velocidad sea 4 seg-1, el margen de fase sea de al menos 50° y el

margen de ganancia de al menos 1 O dB. Obténgase las curvas de respuesta a un

escalón unitario y a una rampa unitaria del sistema controlado con un PID en

Matlab.

-)H G,(s) H-kl

Figura 4.9. Sistema de control

Solución

Sea el controlador PIO escogido el siguiente:

e ) K(as + l)(bs + 1) Gc S = ------

S

Como la constante de error estático de velocidad Kv es 4 seg-1 , se tiene

. 1 . K(as + 1)(bs + 1) 1 Kv= hms Gc(s) 2 1

= hm K 2 1 =K= 4

s .... o s + s--o s s +

( ) 4(as + 1)(bs + 1)

Gcs =-----s

. A continuación se dibuja el diagrama de Bode de

4 G(s)---

- s(s2 + 1)

83 ~

elose all; elear all; ele; num=[O O O 4]; den=[1 0.00000000001 1 O]; w=logspaee(-1,1,200); bode(num,den,w) title('Diagrama de Bode de 4/[s(sA2+1)] ') grid

Diagrama de Bode de 4/[s(s2+1)) --,----r··-----------·····-··-----·-·;· ---·--------,-------------

o

-50 --- - ----- -- ---· ~ ....

-90 ;~~~---~~---«~~O~-'"~~----~~~,~-~~~--,.~~---~·"'"'""'-_..,.,-;-·---.---

-135

l Q;' -180 (/) (U

.S::

a. -225

-270 10-1

10°

Frequency (rad/sec)

Figura 4.10. Diagrama de Bode 4/[s(s2 + 1)]

Se necesita un margen de fase de al menos 50° y un margen de ganancia de al

menos 10 dB. Del diagrama de Bode se observa que fa frecuencia de cruce de

ganancia es aproximadamente w = 1.8 radfseg.

Supóngase que la frecuencia de cruce de ganancia del sistema compensado toma

cualquier valor entre w = 1 y w = 10 radfseg. Sabiendo que

Gc(s) = 4(as + 1)(bs + 1) S

84-1

Se escoge a= 5. Entonces (as+ 1) contribuirá hasta con 90° de adelanto de fase

en la región de altas frecuencias. El programa Matlab siguiente realiza el diagrama

de Bode de

elose all; elear all; ele; num=[O O 20 4]; den~[l 0.00000000001 1 0]; w=logspaee(-2,1,101); bode(num,den,w)

4(5s + 1)

s(s2 + 1)

title('Diagrama de Bode de G(s)=4(5s+1)/[s(sA2+1)] ') grid

Diagrama de Bode de G(s)=4(5s+1)/[s(s~1)] 60 i'" .•. , . ._.,.,.,.,.T'''"''''""\" .... ,_,., ,., ....... ,., .• ," n· , ..... -.- .,. '"" •.--- --·-·e ... ··-- - ., .... ,, ·-,--"'-'e··•·-~----- .. ,., ..

r--~-------~------L • . . . • . • • !\ ~ 40' -~-~------_:-~· ~· _.;) \

; :

~ 20 ¡.. - ·- " ·--· ' '. . •... : _', ; ___ ,_ . '""'-: i ' . ' :"'-~" : : ' . ' : i o ---·· --- ., ·: - -:~~_:::¡

~: -20

o

-45

~ -90 CJ)

~ -135

-180

-225 10'2

Frequency (rad/sec)

Figura 4.11. Diagrama de Bode de 4(5s + 1)/s(s2 + 1)

Basándose en el diagrama de Bode de la figura 4. 11 se escoge el valor de b. El

término (bs + 1) tiene que dar el margen de fase de al menos 50°. Mediante

simples tanteos se comprueba que b = 0.25 proporciona un margen de fase de al

menos 50° y un margen de ganancia de +oo dB. Por lo tanto seleccionando

b = 0.25 se obtiene

85

4(Ss + 1)(0.25s + 1) Gc(s) = ___ ...;...._ __ _ S

Y fa función de transferencia en lazo abierto del sistema diseñado resulta

4(Ss + 1)(0.25s + 1) 1 Ss2 + 21s + 4 S s 2 + 1 -

El programa Matlab genera el diagrama de Bode de la función de transferencia en

lazo abierto. En la figura 4.12 se muestra el diagrama de Bode resultante. De esta

figura se observa que la constante de error estático de velocidad es 4 seg-1 , el

margen de fase es 55° y el margen de ganancia es +oo dB.

close all; clear all; ele; num=[O 5 21 4]; den=[1 O 1 O); w=logspaee(-2,2,100); bode(num,den,w) title('Diagrama de Bode de 4(5s+1) (0.25s+1)/(s(sl\2+1)) ') grid

~

1 f

60 ············o······-···········

40

20

' 0\---

-20i

-40 45;·

o' .

~ -45!

! -90

-135' .......... , ..

Diagrama de Bode de 4(5s+1)(0.25s+1)/[s(s2+1)]

-180' 10-2

.: ~--·-·· -·~_..;._·.:., .-,_-__ -_,._ ·-

10-1 10°

Frequency (rad/sec)

Figura 4.12. Diagrama de Bode de 4(Ss + 1)(0.25s + 1)/[s(s2 + 1)]

Por lo tanto, el sistema diseñado satisface todas las especificaciones y se puede

considerar aceptable. A continuación, se obtendrán las respuestas a un escalón

86

' unitario y una rampa unitaria del sistema diseñado. La función de transferencia en

lazo cerrado es

C(s) Ss2 + 21s + 4

R(s) = s 3 + 5s2 + 22s + 4

Obsérvese que los ceros en lazo cerrado están localizados en

S = -4, S = -0.2

Los polos en lazo cerrado están localizados en

S= -2.4052 + j3.9119

S= -2.4052- j3.9119

S= -0.1897

Los polos en lazo cerrado son complejos conjugados tienen una razón de

amortiguamiento de 0.5237. el programa Matlab escrito abajo genera las

respuestas a un escalón unitario y una rampa unitaria.

En las figuras 4.13 y 4.14 se muestran, respectivamente, la respuesta a un escalón

unitario y una rampa unitaria. Obsérvese que el poto en lazo cerrado en s = -0.1897

y el cero en s= -0.2 producen una larga cola de pequeña amplitud en la respuesta a

un escalón unitario.

elose all; elear all; ele; %-----respuesta a un escalen unitario------num=[O 5 21 4]; den=[1 5 22 4]; t=0:0.01:14; c=step(num,den,t); plot(t,e) grid title('respuesta a un escalen unitario del sistema compensado') xlabel('t(seg) ') ylabel('Salida c(t) ') figure %-----respuesta a una rampa unitaria num1=[0 O 5 21 4]; denl=[l 5 22 4 0]; t=0:0.02:20; e=step(num1,denl,t); plot ( t, e, '-' , t, t, 1

-' )

title('Respuesta a rampa unitaria del sistema compensado') xlabel('t(seg) ') ylabel ('Entrada de rampa unitaria y salida e (t) ') text ( 10.8, 8, 1 Sistema Compensado') grid

87

respuesta a un escalon unitario del sistema compensado 1.4 ,-----,--------,---,------,-----,-------.--

1'2 t\-·-----+------------r-------------1--------------i--------------:~-------------1-------------, '\ : : : : : : 1 ' ' ' ' ' '

1 L.L ~----------- _: _______ : _______ -- _:_ ________ - ! ----oo.c=•-~~~~~~•-1 \_./¡-------~-~ --~:------¡ ---i :

~ o 8 j_ __________ j ______________ c_ _____________ , ______________ , ______________ , ______________ .__

~. i : 1 : : : :

o 1 : : : 1

m ( , . , ~ ¡ ¡ : ¡ ¡ ¡ : (1) 0.6 --------- ---~-. ----------- -~---- ---.----- ~--- --------- --~- -------------:--------. -----;- --- ···- -----

' 1 ' 1

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 ' 1

1 ' ' ' 1 ---------L--------------'--------------L------·-------'--------------•------------1 1 ' 1 1

1 ' ' ' ' 1 1 1 ' 1

1 ' 1 1 '

' ' ' ' ' ' '

0.2 ------------~--------------f------- ·---- -:--------------: -------------,------- ------,--------' 1 r o 1 ' ' 1

' ' ' '

2 4 6 8 10 12 14 t(seg)

Figura 4.13. Curva de respuesta a un escalón unitario

Respuesta a rampa unitaria del sistema compensado 20 1--,---,-----,--------,--,-----,-----·T------¡ _.-;:>·

18 ' ' ' ' : : _ _;.::.;:.-· ________ , _________ , __ -- ··"----------·----------·- ----- :---- ----:--· ---- ·;··: . .:-;~?( _____ _

~ 16 --- -:-·-------:---------: -- _; ________ , _________ c.. -·-¡--·:~)~:-?'_ --·--- ____ _

j :: :•••••••••; LT T/)>:f ;••e '§ 10 --------~---------i---------1--------+-···:,);;;:':~----+------+··-·----j-··------i-----···

! : ••••••••:••i·•••••L2J"'"~ Ls''teotn .. ··-=•••••i•••••·· ~ ________ ¡ _______ ~;:(~<L ______ j_ -------~--------L.- - [__ _______ ;_______; _______ _ w

4 -:'/: ,: i i ' i

1 .,;· .. " : : : : :

1 <"-'+ 1 1 ' ' 2 ________ ;[ _______ ; _________ ;_. _______ ; __________ c _________ c _________ ; _________ ; _________ ; _______ _ /.··¡ ' ¡ : : ¡ : j ! 1

o ¿_-_\__ ___ : : : : L___j

o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t(seg)

Figura 4.14. Respuesta a una entrada de referencia en rampa unitaria

y la curva de salida

88

*

4.3 Diseño de controladores PID mediante el método de la optimización

computacional.

En esta sección se explorara como obtener un conjunto óptimo de valores de

parámetros de los controladores PID que satisfagan la especificación de respuesta

transitoria mediante el uso de Matlab.

Problema N° 4.3

Sea el sistema que se muestra en la figura que está controlado por un controlador

PID. El controlador esta dado por

+

(s + a)2

Gc(s) =K--S

,__~ K ( s + a i ,___.... _-----::-__ 1_.2--=---- 1---r--.... s 0.36? +1.8W +2.5s+l

Figura 4.15. Sistema controlado con un PID

Se desea encontrar una combinación de K y a tal que el sistema en lazo cerrado

sea sobre amortiguado y su sobreelongación máxima en la respuesta a un escalan

unitario sea menor que el 1 O % ..

Obsérvese que la ganancia K no debería ser demasiado grande para evitar que el

sistema necesite innecesaria unidad de potencia.

Se supone que la región para buscar K y a esta acotada por

2 :S K :S 3 y 0.5 :S a :S 1.5

Si en esta región no existe una solución será necesario ampliarla close all; clear all; ele; %valores de 'k' y 'a' para comprobar K=[2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0]; a=[O.S 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5]; %evaluar la respuesta en lazo cerrado a un escalan unitario en %cada combinacion de 'K' y 'a' que dara sobreelongacion maxima %menor que el 10% t=0:0.01:5; g=t f ( [ l. 2 ] 1 [ o . 3 6 l. 8 6 2 . 5 1 ] ) ; k=O; for i=1:6;

for j=l:6; gc=tf(K(i)*[l 2*a(j) a(j)A2), [1 0]); %controlador

89

~

G=gc*g/(l+gc*g); %funcion de transferencia en lazo cerrado y=step(G,t}; m=max(y}; if m<l.lO

k=k+l; solution(k, :)=[K(i} a(j) m];

end end

end solution %imprime tabla solucion sortsolution=sortrows(solution,3) %imprime tabla solucion ordenada %por la columna 3 %representa la respuesta con la mayor sobreelongacion que es que el 10% K=sortsolution(k,l} a=sortsolution(k,2) gc=t f (K* [ 1 2 *a a" 2] , [ 1 O] } ; G=gc*g/(1+gc*g); step(G,t) grid figure %Si desea representar la respuesta con la sobreelongacion mas pequena %que es mayor que O, introduzca los siguientes valores de 'K' y 'a' K=sortsolution(ll,l) a=sortsolution(l1,2) gc=tf (K* [1 2*a a"2], [1 O]}; G=gc*g/ ( l+gc*g} ; step(G,t) grid

solution =

2.0000 0.5000 0.9002 2.0000 0.7000 0.9807 2.0000 0.9000 1.0614 2.2000 0.5000 0.9114-2.2000 0.7000 0.9837 2.2000 0.9000 1.0772 2.4000 0.5000 0.9207 2.4000 0.7000 0.9859 2.4000 0.9000 1.0923 2.6000 0.5000 0.9283 2.6000 0.7000 0.9877 2.8000 0.5000 0.9348 2.8000 0.7000 1.0024 3.0000 0.5000 0.9402 3.0000 0.7000 1.0177

sortsolution =

2.0000 0.5000 0.9002 2.2000 0.5000 0.9114 2.4000 0.5000 0.9207

90

k

2.6000 2.8000 3.0000 2.0000 2.2000 2.4000 2.6000 2.8000 3.0000 2.0000 2.2000 2.4000

K= 2.4000 a= 0.9000 K= 2.8000 a= 0.7000 >>

Q) "O :::1 ;s; Q.

~

0.5000 0.5000 0.5000 0.7000 0.7000 0.7000 0.7000 0.7000 0.7000 0.9000 0.9000 0.9000

0.8

0.6 ¡ / t. 0.4t / '

1 J :

0.2¡- .¡ f

¡/

0.9283 0.9348 0.9402 0.9807 0.9837 0.9859 0.9877 1.0024 1.0177 1.0614 1.0772 1.0923

o: .................. L. .... ·-·········'-····

o 0.5 1

Step Response

' . _ -----·-·-·L·-··-·--·----·---·-··l ......• _ .. _ ~-------- ; -------- ·-----------------.. -- .. ·--·-

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Time (sec)

Figura 4.16. Respuesta a un escalón unitario del sistema

con K=2.4 y a=0.9 (la máxima sobreelongación es 9.23%)

5

91

1.4 r -----

<11 0.8 -g -= 0..

~ 0.6

0.4

/ I

!/ l--

í. /::---/

0.2: J

/ o/ ___ -·- ------- ---------·-o 0.5 1.5

Step Response

- - - ! •. -----·----- l --------···------·-- ---- -·-· ··- --~---

2 2.5 3 3.5 4 4.5

T¡me (sec)

Figura 4.17. Respuesta a un escalón unitario del sistema

con K=2.8 y a=0.7 (la máxima sobreelongación es 0.24%)

5

para representar la curva respuesta a un escalon unitario del sistema con cualquier

conjunto mostrado en la tabla ordenada, se especifican los valores de K y a

introduciendo una orden sqrtsolution apropiada.

Observe que para una especificación de que la sobreelongación máxima este entre

el 10% y el 5%, habría tres conjuntos soluciones:

K= 2.0000, a= 0.9000, m= 1.0614

K e 2.2000, a= 0.9000, m= 1.0772

K= 2.4000, a= 0.9000, m= 1.0923

Observase que el sistema con la ganancia K más grande tiene un tiempo de subida

menor y una sobreelongación máxima mayor. Cuál de estos tres sistemas es mejor

depende del objetivo del sistema.

Problema N° 4.4

Sea el sistema que se muestra en la figura. Se desean encontrar todas las

combinaciones de K y a tal que el sistema en lazo cerrado tenga una

sobreelongación máxima en la respuesta a un escalón unitario menor que el 15%

pero mayor que el 10%. Además, el tiempo de asentamiento debe ser menor de 3

seg. En este problema, se supone que la región para buscar K y a esta acotada

por

3 :::;; K :::;; S y 0.1 :::;; a :::;; 3

Determine cual es la mejor elección de los parámetros K y a

Figura 4.18. Sistema controlado con un PID simplificado

elose all; elear all; ele; t=O:O.Ol:8; k=O; for K=3:0.2:5;

end

for a=O.l:0.1:3;

end

num=[4*K 8*K*a 4*K*aA2]; den=[1 6 8+4*K 4+8*K*a 4*K*aA2); y=step(num,den,t); s=801;while y(s)>0.98&y(s)<l.02; s=s-1; end; ts=(s-1)*0.01; %ts=settling time; m=max (y) ; if m<1.15&m>1.10;if ts<3.00;

k=k+1;

end

solution(k, :)=[K a m ts]; end

solution ';;imprime tabla solucion

..

sortsolution=sortrows(solution,3} %imprime tabla solucion ordenada %por la columna 3 %representa la respuesta con la menor sobreelongacion que aparece en la %tabla sortsolution K=sortsolution(l,l) a=sortsolution(1,2) num=[4*K 8*K*a 4*K*aA2]; num den=[1 6 8+4*K 4+8*K*a 4*K*aA2];

93

den y~step(num,den,t);

plot (t, y) grid title('respuesta escalen unitario') xlabel ( 't seg') ylabel ('Salida y (t) ')

solution =

3.0000 1.0000 1.1469 2.7700 3.2000 0.9000 1.1065 2.8300 3.4000 0.9000 1.1181 2.7000 3.6000 0.9000 1.1291 2.5800 3.8000 0.9000 1.1396 2.4700 4.0000 0.9000 1.1497 2.3800 4.2000 0.8000 1.1107 2.8300 4.4000 0.8000 1.1208 2.5900 4.6000 0.8000 1.1304 2.4300 4.8000 0.8000 1.1396 2.3100 5.0000 0.8000 1.1485 2.2100

sortsolution =

3.2000 4.2000 3.4000 4.4000 3.6000 4.6000 4.8000 3.8000 3.0000 5.0000 4.0000

K= 3.2000 a= 0.9000

num=

0.9000 0.8000 0.9000 0.8000 0.9000 0.8000 0.8000 0.9000 1.0000 0.8000 0.9000

1.1065 1.1107 1.1181 1.1208 1.1291 1.1304 1.1396 1.1396 1.1469 1.1485 1.1497

12.8000 23.0400 10.3680

den=

2.8300 2.8300 2.7000 2.5900 2.5800 2.4300 2.3100 2.4700 2.7700 2.2100 2.3800

1.0000 6.0000 20.8000 27.0400 10.3680 >>

94

respuesta escalon unitario 1.4 r------.----,-----,--

' ' 1. 2 ---------.- -t --· --- ---· --- t-· -----------!--- -··--.- ---- j -------- ·- --. ~-.- ---- -· ---- ~----- ---------:-----.---- ---·

/~"'" ¡ ' ·~. ' ' ' ' ' '

1 -------¡---¡-------~~~==;_=+-- ---------~-------------~---~-~--¡·~-~-~ .... ~ ... -..~-.=~--! ! j : :

~ o. 8 -- -f -----:---------- ---f ---------- -- ¡----- --------1----------- --¡---- ------ --· r-- ---------- -¡-- ·- . -------

"C ¡· :.' ' f6 w O. 6 ---- -¡--- ----;------ ----- ; ------------- ~--- -------- -~--------- ---- ~-------- .. ·-- --·- -·-- --- -·-- --

¡ ' : : ' '

1 ' 1 ! 0.4 -- -!--- ----- -~- ------ ----------:------------ -~--- -------- - ~---------- -----:-- ----------.,.--- .. -------

1 : :

0:~ 1 ! .............. , __ -- -- --__.____---:------____¡_··· .. ,_ ....... ~-~ .

o 1 2 3 4 5 6 7 8 t seg

Figura 4.19. Respuesta a un escalón unitario del sistema con K = 3.2 y a = 0.9

4.4 Modificaciones de los esquemas de control PID.

Sea el sistema de control PID básico que se muestra en la figura, donde el sistema

está sujeto a perturbaciones y ruido.

Entrada de

Controlador PIO

Perturbación D(s)

Señal observada B(s)

Figura 4.20. Sistema controlado PID

Salida Y(s)

+ Ruido N(s)

95

Para que se anule los efectos de la perturbación y del ruido, se debe cumplir que:

__ G.....:.p-::-(s-::-)--:--:-D(s) _ Gc(s)Gp(s) N(s) = 0 1 + Gc(s)Gp(s) 1 + Gc(s)Gp(s)

Es decir

D(s) = Gc(s)N(s)

D(s)

Y(s)

B(s)

Figura 4.21. Diagrama de bloques equivalente

La figura siguiente es un diagrama de bloques modificado del mismo sistema. En

el sistema de control PID básico, si la entrada de referencia es una función

escalón, debido a la presencia del término derivativo en la acción de control, la

variable manipulada u(t) contendrá una función impulso (una función delta). En la

práctica, es imposible realizar un verdadero diferenciador. Por lo tanto es necesario

aproximar el diferenciador verdadero Tds mediante

Tds

Una forma de realizar un diferenciador aproximado es utilizar un integrador en el

camino de realimentación. (En los diferenciadores que se encuentran disponibles

comercialmente, el valor de y se establece como 0.1.)

C(s)

Figura 4.22. Diferenciador

96

La función de transferencia del sistema es 1

Obsérvese que semejante diferenciador con un retraso de primer orden reduce el

ancho de banda del sistema de control en lazo cerrado y el efecto nocivo de las

señales de ruido.

Por lo tanto, cuando la entrada de referencia es una función escalón, la variable

manipulada u(t) no contendrá una función impulso, sino una función en forma de un

pulso estrecho. Tal fenómeno se denomina patada en el punto de consigna.

Control PI-O. Para evitar el fenómeno de la patada en el punto de consigan, se

puede operar la acción derivativa solo en el camino de realimentación, a fin de que

la diferenciación ocurra únicamente en la señal de realimentación y no en la señal

de referencia. El esquema de control dispuesto de esta forma se denomina control

PI-D. a partir de la figura se observa que la señal manipulada U(s) está dada por

U(s) =Kv ( 1 + T~s) R(s)- Kv ( 1 + T~s + Tds) B(s)

Obsérvese que en ausencia de perturbaciones y ruido, la función de transferencia

en lazo cerrado del sistema de control PID básico y el sistema de control PI-O se

obtienen, respectivamente, mediante

Y(s) ( 1 ) KvGv(s) --= 1+-+Tds R(s) Tis 1 + (1 +_!_+T. s)K G (s) Tis d P P

D(s)

E(s) 1 Y(s)

T¡s

B(s)

Figura 4.23. Sistema de control PI-O

97

Y(s) ( 1 ) KpGp(s)

R(s) = 1

+ Tts 1 + (1 + 1 + T s) K G (s) r:s d p p l

Es importante señalar que, en ausencia de la entrada de referencia y de ruido, la

función de transferencia en lazo cerrado entre la perturbación D(s) y la salida Y(s)

es igual en cualquier caso y se obtiene mediante

Y(s) Gp(s)

R(s) = 1+(1+~+Tds)KpGp(s)

Controii-PD. Se considera otra vez el caso en el que la entrada de referencia es

una función escalón. Tanto el control PID como el control PI-O implican una función

escalón en la señal manipulada. En muchas ocasiones, tal cambio escalón en la

señal manipulada puede no resultar conveniente. Por tanto, puede convenir mover

la acción proporcional y la acción derivativa al camino de realimentación, a fin de

que estas acciones solo afecten a la señal de realimentación. La figura muestra tal

esquema de control, que se denomina controii-PD.

D(s)

E(s) Y(s)

I'¡s

Figura 4.24. Sistema de control 1-PD

La señal manipulada está dada por

U(s) = Kp T~s R(s)- Kp ( 1 + T~s + Tds) B(s)

Obsérvese que la entrada de referencia R(s) solo aparece en la parte de control

integral.

98

Por tanto, en el control 1-PD es imprescindible tener la acción de control integral

para una operación adecuada del sistema de control.

La función de transferencia en lazo cerrado Y(s)IR(s) en ausencia de las entradas

de perturbación y ruido es

Y(s) ( 1 ) KpGp(s)

R(s) = Tis 1 + (1 + _!_ + T. s) K G (s) Trs d P P

l

Se observa que en ausencia de la entrada de referencia y de ruido, la función de

transferencia en lazo cerrado entre la entrada de perturbación y la salida viene

dada por

Y(s) Gp(s) - = -----,--=-------D(s) 1 + ( 1 + T~s + Tds) KpGp(s)

Esta expresión es la misma que para el control PIDo el control PI-D.

Control PIO con dos grados de libertad. Se ha demostrado que el control PI-D se

obtiene moviendo la acción de control derivativa al camino de realimentación y que

el control 1-PD se obtiene moviendo las acciones de control proporcional y

derivativo al camino de realimentación. En lugar de mover la acción de control

derivativa completa o la acción de control proporcional al camino de realimentación,

es posible mover solo partes de estas acciones de control al camino de

realimentación, conservando las partes restantes en el camino directo. Tales

esquemas de control conducen a un esquema de control más general con dos

grados de libertad.

4.5 Control con dos grados de libertad.

Sea el sistema de la figura siguiente, en la cual el sistema está sujeto a la entrada

de perturbación D(s) y a la entrada de ruido N(s) además de la entrada de

referencia, Gc(s) es la función de transferencia del controlador y Gp(s) es la función

de transferencia de la planta. Se supone que Gp(s) es fija e inalterable.

99

D(s)

r---r-- Y(s)

B(s)

N(s)

Figura 4.25. Sistema de control de un grado de libertad

Para este sistema se deduce que:

Se deduce tres funciones de transferencia G = _Y (_s) = _c_cC_s )_G...;...p_(s_) _

yr R(s) 1 + Gc(s)Gp(s)

G _ _ Y(_s) _ Gp(s) yd - D(s) - 1 + Gc(s)Gp(s)

_ Y(s) _ Gc(s)Gp(s) G - --- - ____ ...____ yn N(s) 1 + Gc(s)Gp(s)

Los grados de libertad del sistema de control se refieren al número de funciones de

transferencia en lazo cerrado que son independientes. En el caso actual se tiene

que

Si una de las tres funciones de transferencia en lazo cerrado Gyr , Gyn y Gyd esta

dada, las dos restantes están fijas. Esto significa que el sistema de la figura es un

sistema de control de un grado de libertad.

A continuación se considera el sistema que se muestra en la figura siguiente,

donde Gp(s) es la función de transferencia de la planta.

100

D(s)

r--....--• Y(s)

+ N(s)

Figura 4.26. Sistema de control con dos grados de libertad

Para este sistema, las funciones de transferencia en lazo cerrado son

Y(s) Ge1 Gp Gyr =-= ------'---

R(s) 1 + (Ge1 + Ge2)Gp Y(s) Gp Gyd = -- = ___ ,;:.___ __ D(s) 1 +(Gel+ Gez)Gp

Y(s) (Gel +Gez)Gp Gyn = -- = ____ ;,.,._:.._ N(s) 1 +(Gel+ Gez)Gp

Por tanto se tiene que Gyd- Gp

Gyr = Gel Gyd, Gyn = --::..----'-GP

En este caso, si Gyd esta dada, entonces Gyn esta fija, pero Gyr no lo está, porque

Ge1 es independiente de Gyd· Así, dos funciones de transferencia en lazo cerrado

entre las tres funciones de transferencia en lazo cerrado Gyr , Gyn y Gyd son

independientes. En este caso, se trata de un sistema de control con dos grados de

libertad. Análogamente, el sistema que se muestra en la figura siguiente, también

es un sistema de control con dos grados de libertad, porque para esta sistema

R(s)

B(s)

+

N(s)

Figura 4.27. Sistema de control con dos grados de libertad

101 k'

Gyd- Gp Gyn = --=----'

Gp

Es evidente que, si se da Gyd entonces Gyn esta fija, pero Gyr no lo está, porque Gc2

es independiente de Gyd·

Coordenadas generalizas y Grados de libertad. Para poder describir el

movimiento físico de un sistema se necesita elegir un conjunto de variables o

coordenadas, las cuales se conocen con el nombre de coordenadas generalizadas.

La cantidad mínima de coordenadas independientes que se requieren para

describir el movimiento de un sistema se denomina como grados de libertad de un

sistema.

Cualquier partícula libre en el espacio tiene tres grados de libertad. El péndulo en el

plano que se mueve a través de un pívot; ya que el péndulo tiene una longitud

constante, se puede utilizar la variable () para describir el movimiento del péndulo,

la cual es una coordenada independiente que califica como coordenada

generalízada.

Como solo se necesita una variable o coordenada independiente para describir el

movimiento del péndulo, un péndulo de longitud constante en el plano tiene un

grado de libertad.

102 ~

CAPITULO V

VARIACIONES EN EL DISEÑO DEL CONTROLADOR

5.1 Corrélación entre funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estados

* + y

Figura 5.1. Sistema de control multivariable MIMO

Tomando transformadas de La place a las ecuaciones de estado y de salida

Se obtiene

Que implica

x=Ax+Bu

y= Cx+Du

sX(s)- x(O) = AX(s) + Bu(s)

Y(s) = CX(s) + DU(s)

X(s) = (si- A)-1x(O) +(si- A)-1BU(s)

Y(s) = C(sl- A)-1x(O) + C(sl- A)-1x(O)BU(s) + DU(s)

Si la condición inicial x(O) =O

X(s) =(si- A)-1BU(s)

Y(s) ::;:: C(sl- A)-1x(O)BU(s) + DU(s)

La función de transferencia será

Y(s) = C(sl- A)-18 + D U(s)

la ecuación característica es: lsl- Al

103

5.2 Asignación de polos utilizando realimentación del estado

Las matrices A, B, C y O se utilizan para describir un modelo de planta lineal e

invariante en el tiempo, en el que u(t) es la entrada a la planta y x(t) e y(t) son los

vectores de estado y salida, respectivamente. El modelo del sistema global se

completa entonces aumentando el modelo de planta para incluir la compensación

por realimentación.

Realimentación de estados: un modelo vectorial

La realimentación de estados se implementa utilizando una combinación lineal de

variables de estados como una señal de realimentación negativa. Las ganancias de

los caminos de realimentación se suponen que son ajustables de forma

independiente con factores de ganancia k1 , k2, .... , kn· De ahí, la señal realimentada

vuelve a la entrada de la planta que es igual a k1x1 (t) + k2x2 (t) + .... + knxn(t).

La señal compuesta es un escalar y la formación de esta señal ya se ha descrito en

notación matricial con la definición de una matriz fila K tal que

Kx(t) = [k1 k2 ... kn]

x1(t) x2 (t)

Xn(t)

Si se supone una única entrada y una única salida, el diagrama de bloques que

muestra la realimentación de estados se presenta en la figura.

Planta

r g e t---. Y

Kx K

Figura 5.2. Un sistema SISO con realimentación de estados

104

Para permitir que r(t) se exprese en el mismo nivel que la salida deseada, se

introduce un factor multiplicador constante g. esto permite que la suma de la

entrada y las señales realimentadas ocurran con una versión escala de r(t).

Considerar la planta con realimentación de estados,

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

u(t) = gr(t) - Kx(t)

x(t) = Ax(t) + B[gr(t)- Kx(t)]

Tomando transformadas de Laplace:

sX(s)- x(O) = AX(s) + B[gR(s)- KX(s)]

sX(s)- AX(s) + BKX(s) = x(O) + +BgR(s)

(si- A+ BK)X(s) = x(O) + BgR(s)

X(s) =(si- A+ BK)-1x(O) +(si- A+ BK)-1BgR(s)

Y(s) = C(sl- A+ BK)-1x(O) + C(sl- A+ BKr1BgR(s)

Asumiendo que el sistema esta inicialmente en reposo, la relación de transferencia

en lazo cerrado es

X(s) = (si- A+ BK)-1BgR(s)

Y(s) = C(sl- A+ BK)-1BgR(s)

Con el modelo de planta expresado en términos de una única salida, Y(s) es un

escalar y C es una matriz fila. En este caso, g se puede evaluar de forma que r(t)

este expresado en el mismo nivel que la salida deseada y(t). Esta condición se

establece si g es

1 g = C(-A + BK)-18

La ecuación característica es

Ll(s) = det(sl- A+ BK) =O

Con libertad para ajustar los elementos de la matriz K, la realimentación de estados

se utiliza para tener el control de la situación de las raíces de la ecuación

característica. Las raíces se desplazan para obtener el comportamiento transitorio

deseado.

lOS

5.3 Controlabilidad

Un sistema es completamente controlable si existe un control sin restricción u(t)

que pueda llevar cualquier estado inicial x(t0 ) a cualquier otro estado deseado x(t)

en un tiempo finito, t 0 :5 t :5 T.

Para el sistema

x::: Ax +Bu

Se puede determinar si el sistema es controlable examinando la condición

algebraica

rango[B AB A2B ... An-18]:::;: n

La matriz a tiene dimensión n x n y B tiene dimensión n x l. Para sistemas con

múltiples entradas, B es de n x m, donde m es el número de entradas.

Para un sistema de única entrada, única salida, la matriz de Controlabilidad Me se

describe en términos de A y B como

Me ::: [B AB A 2 B ... An-18] :::;: n

Que es una matriz n x n. Por lo tanto, si el determinante de Me es distinto de cero,

el sistema es controlable.

5.4 Observabilidad

Un sistema es completamente observable si y solo si existe un tiempo finito T de

forma que el estado inicial x(O) se pueda determinar a partir de la observación de

la historia y(t) dado el control u(t).

Considerar el sistema de una entrada-una salida

x = Ax + Bu e y = Cx

Donde C es un vector fila 1 x n y x es un vector columna n x l. Este sistema es

completamente observable cuando el determinante de la matriz de Observabilidad

M0 es distinto de cero, donde

r e j CA

Mo =

CAn-1

que es una matriz n x n

106

Problema 5.1

Un sistema esta descrito por las ecuaciones matriciales mostradas. Determinar si el

sistema es controlable y observable.

elose all; elear all; ele;

A=[O 1; O -3]; B= [O; l]; C= [O 2]; Pe=[B A*B] detPe=det(Pc) Po=[C;C*A] detPo=det(Po)

Pe=

o 1

1 -3

detPc = -1

Po=

o 2

o -6

detPo =O

X = [~ !3] X + [~] u

y= 2x2

Solución

Pe= [B AB]

Po= [e~] y= [O 2]x

de los resultados obtenidos el sistema es controlable y no observable.

107

5.5 Estimación del estado

Si el estado de la planta se puede estimar, entonces la compensación por

realimentación se puede implementar utilizando el estado estimado. Un observador

de estado completo utiliza solamente la entrada a la planta, u(t) y la salida y(t) tal

como se muestra en la figura, para proporcionar una estima x de todas las

variables de estado. Una gran ventaja del uso del observador es la capacidad de

implementar compensación por realimentación con una reducción en el número de

variables medidas. La medida de las variables de planta puede ser difícil y la

disponibilidad y coste de los sensores apropiados puede ser un factor significativo

en la selección de esta opción de diseño. Para proporcionar la operación deseada

un observador debe constituir una simulación dinámica en tiempo real que es

capaz de dar una estimación aceptablemente precisa de las variables de planta.

Más aun, puede existir una diferencia en los valores iniciales de las variables de

estado reales y estimadas y el observador debe tener la capacidad de producir una

atenuación rápida de error inicial.

x(O) u

.. r

..

Planta

X

x= Ax+Bu e

~ " .. Observado

x(O) • r

.. ro- ~ y

.. > ..

Figura 5.3. Una planta con un observador de estado completo.

Si el estado estimado se describe como x, entonces la diferencia entre los estados

real y estimado se puede definir como el error e, con

e=x-x

108

~·

Como las entradas al observador son u(t) e y(t) se propone un modelo de

observador dinámico con

¡ = A0 x + B 0 u(t) + Gy(t)

Donde A0 , 8 0 y G deben definirse de forma tal que hay una tendencia a minimizar

el error. Observe que Gy(t) se puede expresar también como GCx(t), entonces

e= .t- ¡ = Ax +Bu- A0 x- B 0u- GCx

Si A0 se fija igual a A- GC y B 0 se fija igual a 8 entonces la diferencia entre el

estado real y el estado estimado se controla por un modelo dinámico con

.t-¡= (A-GC)(x-x)

e= (A- GC)e

La función de error dinámico es el modelo matemático de un sistema no forzado y

si los valores propios de A - GC se colocan en el semiplano izquierdo, e(t) tendera

hacia cero cuando t -+ oo. En otras palabras, cualquier diferencia inicial entre el

estado real y el estimado decaerá asintóticamente a cero.

Asi, el modelo del observador es

i = (A - GC)x + Bu + Gy

Como G no ha sido especificado, los elementos de la matriz G se pueden

seleccionar para dar una colocación aceptable de los valores propios de A- GC. La

ecuación característica del observador es

det(sl - A + GC) = O

Y la velocidad a la cual el error inicial entre el estado real y el estado estimado

decae es independiente de la colocación de las raíces de esta ecuación.

Es una práctica deseable colocar las raíces del observador de forma tal que el

decaimiento del error ocurre rápidamente con respecto al tiempo de respuesta

transitoria que queda determinado por las constantes de tiempo dominantes del

sistema en lazo cerrado. Sin embrago, si los polos del observador se colocan

arbitrariamente lejos a la izquierda en el plano s, una demanda innecesariamente

excesiva se coloca sobre el observador en términos del tiempo de respuesta

requerido y del ancho de banda correspondiente. Esta situación puede imponer

problemas prácticos que incluyen un aumento innecesario en el nivel del ruido del

sensor que se introduce en el sistema. Para proporcionar un comportamiento

109

aceptable sin imponer demanda exces1va s-obre el nbt~vador, a las rafoosc se !e

asignan normalmente posiciones que se obtienen muttfpticando IOB vaiores ·de :os

pvsidón de Jos polos) por un factor de 3 o 4.

Corts~den:~ndo d modelo de fa ~anta descr1to en aste ejemplo, d1sefíar un • -1 ' . > • • • . ca-· • t ,¡ d 1 • • • 'b. 1 n.ns(?r!/f~vm O.H· r,**::uin ;e;;ornp:•:.ho p;.;¡ra. esümar ·G~ ~S.JlüO e ,-'3 f.H3nta y OC$C:n 1r s

Ei modelo de1 observador e;;

. r:() X-··¡

-- l~-2

'i = (A-- GC)x + Bu + Gy

G = fDtl •D'J..i

A=== A~-- GC

;2.:::.:: Ax+ Bu+ Gy

1 ] f5g oj r .~-5g1 -:1 -tsu~ o = l--z ---Soz

los valores propios dei observador (como función de g1 y g2) sG pueden

01--; -5¡}1 sl t-z -- sn2

---1: 1 s+3J

det.(sl ~- íi) = (s + 5gt){s + 3) + 2 + 5!Jz ::::: s 2 + (3 + 5g1)s + 2 + 5;t:h + lSg 1

=O

(s + 15)(s + 15) :.:::: il 1-- 30s -t· 225 ::~o

3 + 51J1:::. 30

2 + Sg~ + 15g1 = 225

110

Resolviendo

91-= 5.4

92 = 28.4

A= {_=-12:4 El modelo del observador es entonces

j; ~ { -;~ _;Jx +[~]u+ [{3~] y

Y el estado estimado x esta disponible para implementar la compensación por

reaHmentación.

é = {z1-GC)e

e:::;: Ae

. { -27 e== -144

Suponiendo la condición inicial

e(O) = f2] tl

close all; clear all; ele; %trayectoria del observador A=(-27 1; -144 -3]; B= [2; 1] ; t=0:0.01:0.6; [x,z,t]=step(A,B,A,B,1,t); x1=[1 O]*x'; x2:::.::[0 1]*x'; plot(t,x1,t,x2); title('Respuesta a condicion inicial'); xlabel ( 't seg') ; ylabel('Variables de estado xl, x2'); grid; gtext ( 'x1 ' ) ; gtext ( 'x2 ' ) ;

111

Respuesta a condícion inicial

2\ ' ' ' '-- ' -:--l \ : : : : : : :

1 '\·~1i· · · ·· ······ r· ········· ·· ·· · ·· · ·· r ········ ·i ... · ·· · ... ¡ ........ ···-··· • N Q \ "'r '=• r~-:_, ----- ..... rj: : -1 \-- ---------- ~ --------------- :_ ______ ----_-7'--{-<----- ------+----------- .; ................ l ........ ------ : X / i i : i 1 -2 --~-- -·-- -------i ··----- ----- ---1·.:::/:-- __ )_ ------------- -~----- ------ ----i-------- ---- __ ) ___ -·----. -----:

y~ : -8 -3 -\------------ ; · ---- -- ----/i·-- ------------1------------ --·- -:· ------- .. -----: ---- · ------- --r·--- ---· ----- : ..0~ / 1 : : : :

' '

-~ 4 -T-------.--¡------/--- --j---- ------ ---- j----- ---------·t-- ·----- ----(-------- -----! -------------- i

~ 1 1 : : : : : -5 ---'---------i---l---------i---------------~----------------1------------- _ _¡ ________________ ¡ ______________ _

\ : / ¡ l i i ' ' ' '

: ~~:::J_~-~I~~~-~I~~:J=~=~c-~=c..=J o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

t.seg

Figura 5.4. Respuesta a condición inrcial

5.6 Realimentación de la salida

r

Planta .------_j ________ l

X

E~ x = Ax +Bu J==~

bservado,~=;-¡ i(O)C::::~ ...... __ ........,

Figura 5.5. Realimentación de salida utilizando un observador

112

~

El sistema de la figura presenta un modelo del sistema que muestra realimentación

de salida. En lugar de devolver las variables de estado medidas para implementar

realimentación de estado, la realimentación se formula como una combinación

lineal de variables de estado estimadas. Esta configuración se realiza con la

incorporación de un observador de orden completo y la adición de este observador

duplica el orden del sistema. Si el modelo del observador se combina con el

modelo de la planta, entonces el modelo revisado es

u= gr-Kx

y= Cx

El modelo de la planta en lazo cerrado es

[~]=[te A-~~~ BK] [~] + [~] gr

Con el empleo de un observador de orden completo, se revela una característica

particularmente útil los valores propios del modelo del sistema en lazo cerrado son

simplemente las arices de det[s/- A+ GC] =O y las raíces de det[s/- A+ BK] =

o. Esta característica se hace aparente con alguna manipulación del modelo. Si se

redefinen las variables de estado para contener x y e (en lugar de x y x), entonces

la transformación de variables es

Y las expresiones para x y e, se desarrollan rápidamente para obtener una

formulación alternativa del modelo del sistema en lazo cerrado con

[!] = [A -OBK A ~~el [:J + [~] gr

La ecuación característica queda por supuesto inalterada; y es aparente del modelo

de la ecuación anterior que la ecuación característica para el sistema en lazo

cerrado se pueda expresar como det[s/ -A + BK] det[sl -A + GC] = O. Así, los

polos del sistema total incluyen las raíces de det[s/- A+ BK] =O y las raíces de

det[sl- A+ GC] =o. El primer grupo comprende los polos que se obtienen

utilizando realimentación de estado puro y el segundo grupo lo constituyen los

113

poios dei observador. Esto significa que se· pu€'de· dtseñar K basándose solamente

,en ~a reaHmentación det estado y G en la estimación dei estado, aunque· se

c:oncn:;.:; como ~i principio de separación, que pmduce un proce--so de d1seño dtrecto.

r fl i: :::;. ¡'' -

.-2

y~ rs oJx

Pr1mEzrQi ve-rific:Emre ~Z,i E'} zis.t.em~ e~ cctntroh~.h}~ y ~An~{;f''i'f:~.l:t5c;::

Me= [B ltBJ

;!B -:."~ f -0. 1: .• l f0] ~ f 3 1 t--2 -s.l L3 l--9 ..

M ::::;· fO 3 ,~ e l3 -9J

det(i''t1c) ~ -9 ::f; O entonces el. sistema es controlable

Al! _re 1 ~,~o - lcAJ

CA.:::.. {5 oJL~z 1 ' ' ., ] ·-3 ={O S]

[S 01 l'4o.,.;: O si

dct(M0) :::::: 25 -=t- O entonces el sistema es observalJle

Ya que ei sistems es controiat,le y observable· Sf; puette aplicar ~a reaHmE~ltad6n

de estados.

C:dcu!o de dct(sl - A + BK] ~ e

l A .D'" fS s -- J"i + b.!"\. :.:._":; lo

detfs!- A+ BK];::;: s 2 + (3 + 3k2Js + 2 + 3k1 ;:: O

114

(s + S)(s +S) =" s 2 + lOs + 25

3 + 3k2 =lO

7 kz =3

2 + 3k1 = 25

23 k1=3

K =e33 ~J Calculo de det{sf -A + GC] == O

si- A+ GC = I~ -~]- [_~2 !3] +~~][S O]= g: ~;~ 5~13] det[sl -A + GC] : s 2 + {3 + Sg1)s + 2 + 15g1 + 5g2 = O

(s + l.S)(s + 15) = s 2 + 30s + 225

Utilizando el observador

3 + 5g1 = 30

27 B1=-·

5

2 + 15g1 + 5g2 = 225

142 gz=-

5

G ~ Ffzj

{!] = ·[GAC -BK ] fX] tB] A. A - GC- BK LX + B gr

[ 27 o] O]:=: .142 O

~1 =-·[O O] 3 23 7

[ o 1 ] [ 2 7 o] [ o 01 r -2 7 A-- GC- BK = ·-2 -3 - 112 o - 23 7~ = L-167

115

~'1] o -·:- =1;; 142

2

1 -3 o o

o -23 -27 -167

o_i ] [~:j + [i] gr

-10 x2 -3

close all; clear all; ele % respuesta en el tiempo en variables de estado A=[O 1; -2 -3]; B=[O; 3]; C=[S 0]; D= [O] ;

step(A,B,C,D); t=O:O.l:lO [y,x,t]=step(A,B,C,D,l,t); xl-= [ 1 O] *x' ; x2= [O 1] *x *;

plot(t,x1,t,x2); grid; gtext ( 'xl') ; gtext ( 'x2 ' ) ; figure; y=5*x1; plot(t,y); grid; gtext('y=5*xl');

1.s ,----,----,---,----/--~·---------~---,_: =-=-r---:-T----r--

: / :/ '

/

_,V 3C1 //:

1

: /: ; ' 1 1 ' 1 '

1 --------j-----¡--i---------;---------j---------¡---------;---------j---------i---------;--------: / i : ' i

x2! 1 !/ !X f \ i' \

0.5 -1-- --¡ ~---- -\--- i ------ ---~- -------1---------; ----- ----~ --- -- --+- ------- ~-------- +- ------1 1 i \! i i ¡ i : i ¡ i 1 j \ j j j j j j j

! ¡· ' i '' : i i ! : ; : '·' ' : ' ; . ··r··--........... . . / ! ~ ..... -:~ ... - '

o _i

o 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 5.6. Respuesta con realimentación de salida

116

8 ¡-------¡---,----,--' ' ' ' l y=5 .. ~!---~---~~----:--~;---:--

, ' _-. ' 1 1 1 1 7 ------ _! -------~---------;- ..___-_-.:-: ___ :---- -----1- -·------~---------:-- --------;----- ---t--------

i //r i i i i i 6 --------!-----) ,/:") ________ ~-- ___ j ________ j___ --~---------!--- -- ! __ - ---

' 1/ 1 1 ' 1 1 ' '

¡ . ./· j ! ! ! i 1

1

: ••••••••l••tl• T••·••r r••••••r r••••••c••••••••••••••• , ~ j. L [ .j ij. i ! ...

2 ---¡-:--------:---------:---------¡--------.-------1--------·---------;--------;-------

1 --1----i---- ----{- -------+ -------!--- ----- i------ ---i -- ------i- ------ --f---- ____ ¡ _______ _ / : : : : : : : : :

// :' :' :' :' :' :' :' ,' :' o _ __L___L~ -

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 5.7 respuesta en el tiempo

Problema 5.4

Considerar la aplicación de la realimentación de estados del modelo de planta

descrito en este ejemplo. El modelo describe un sistema motor que se utiliza para

controlar la posición angular de la base de un telescopio. la variable x1 representa

el ángulo¡ x2 representa la velocidad angular del eje del motor, y x3 representa la

corriente del motor. Utilizando este modelo¡ determinar la ecuación característica

con la realimentación de estados aplicada y completar el diseño de realimentación

de estados de forma que los polos en lazo cerrado estén, situados en -10 ± jS y

-80. El modelo de la planta es

r;231] = [ooo -~. 1 6~ l ¡::] + [ ~ l u G -1.4 -50 X3 10

y= [1 O O] ~~:l Solución

Primero se determina la Controlabilidad y Observabilidad del sistema para que se

pueda asignar los por los utilizando realimentación de estados.

x = Ax+Bu

y= Cx+Du

det(sl - A) = O ecuacion característica

117

si-A=~~ o ;¡- [~

5 :o l = [~ -5

o l S -0.1 s+ 0.1 -60 o -1.4 -50 o 1.4 s+ 50

S -5 o det o s+0.1 -60 = s[(s + 0.1)(s +50)+ (1. 4)(60)] =O o 1.4 s+ 50

s(s2 + 50. 1s + 89) = O

S= 0,-1.8443,-48.2557

La matriz de Controlabilidad es:

Me=[B

[o 5

A= O -0.1 o -1.4

6°0 ¡, B = [ ~ l -50 10

5

A.B = [~ o ][o] [ o ] 60 o = 600 -50 10 -500

-0.1 -1.4

s o ] [o -0.1 60 o -1.4 -50 o

5 -0.1 -1.4

o l [ o l [ 3000 l 60 o = -30060 -50 10 24160

[o o 3000 l

Me= O 600 -30060 10 -500 24160

det(M e) = -18000000 '* O

Por lo tanto el sistema es controlable.

La matriz de Observabilidad es:

Mo = ~~ ~ g ] o -0.5 300

det(M 0 ) = 1500 '* O

A =A-BK

A = [~ _;_ 1 :o ]-[ ~ ] [k1 kz k3] o -1.4 -50 10

A=[~ -~.1 6°o ]- [ ~ ~ g l O -1.4 -50 10k1 10k2 10k3

118

[sOO] [O 5

si -A = o s o - o -o. 1 O O s -10k1 -1.4 -10k2

o l 60 -so -1ok3

[

S -5 0 l si -A = o s + o. 1 -60

10k1 1.4 + 10k2 s +50+ 10k3

det( si - A) = o es la ecuación característica del sistema con realimentación de

estados.

s3 + (50. 1 + 10k3)s2 + (89 + k3 + 600k2)s + 3000k1 = O

Para situar todos los polos en lazo cerrado como se requieren, el polinomio

característico es deseado es

(s + 10- j5)(s + 10 + jS)(s + 80) = s 3 + 100s2 + 1. 725s + 10000

50. 1 + 10k3 = 100

89 + k3 + 600k2 = 1. 725

3000kt = 10000

k¡= 3.33

k2 = 2. 72

k3 = 4.99

K= (3.33 2. 72 4.99]

elear all; elose all; ele; %asignacion de polos utilizando realimentacion de estados A=[O 5O; O -0.1 60; O -1.4 -50]; B= [ O ; O ; 1 O ] ; C=[1 O 0]; O= [O] ; t=O:O.l:lOO; [y,x,t]=step{A,B,C,D,1,t); x1=[1 O O]*x'; x2=[0 1 O]*x'; x3=[0 O l]*x'; plot(t,xl,t,x2,t,x3); grid; gtext('y=xl=salida del sistema'); gtext ( 1 x2 1

) ;

gtext ( 1 x3 1 ) ;

119

3500r--~--r ---- r····---r· .. ··¡ ---·--r··-·r··--r· ···¡···---·-¡--··~:.··

: : : __.//

3000 -------~------+-----+----+ ------,---- -- ~-------~--------~--- ./~-----: : ' : // :

e t,/'

1 t t : o ,.....r·~: t

2500 ------ -'-- ---- ·-'-- ----- ~-- ------~ ------- ~----- ---~--- --- -~ ---:,. .. -::.--- ~-- ----- ~-------

: : : i ,¡./ : : : : /y-=lc1=salida del sistema

zooo -------:¡--------+-------+ ----- --f- ------+----:-~Y------+-------¡-·-----+-------: : ' ;,// ¡ : 1 '

: : 1 ' _...··-:-' : : ' '

1500 ------ -~------ --f-- ------1------- t~:~:~·-r:<-~-- ---- --j- ------1-- ··-- ---j--- -----¡- ------: : "< : : :

1ooo _______ j ________ : ________ L< ____ : _______ .; ________ ~----···J·-···---~-------L ..... . \ , ____ /'"': ! x2 ¡ : ~ : :,..../ : : ' ~f ' 1

_/'

500 -------',---:/---~------ ' ' ' ' :./ : T---·-··c··,c3·--T·······:···- .. , ....... , ....... ,_ ..... .

f,.--,.-·/f

0 ?

o 10 20 30 J

40

Figura 5.8 Respuestas del sistema

cl-ear all; clos-e all; -ele; %asignacion de polos utilizando realimentacion de estados A"" ( O S O ¡ O -O . 1 6 O ; O -l. 4 -5O ] ; B= [ O ; O ; 1 O ] ; C=[1 O 0]; D=[O]; t=0:0.1:100; [y,x, t]=step(A, B,C, D, 1, t}; x1=[1 O O]*x'; x2=[0 1 O] *x'; x3=[0 O 1]*x'; plot(t,xl,t,x2,t,x3}; grid; gtext('y=xl=salida del sistema'}; gtext ( 'x2' ) ; gtext ( 'x3 ' ) ; figure K=[3. 33 2. 72 4. 99]; AS=A-B*K; EtB*K-A; EI,inv(E) invg=C*EI*B; g=l/invg; ss~ro; o; lO*gJ; t=O:O.Ol:l; [y,x,t]=step(AS,BS,C,D,l,t); xl=[l O 0] *x'; x2=[0 1 O]*x'; x3=tO O 1]*x'; plot(t,xl,t,x2,t,x3); grid; gtext('y=xl=salida del sistema'); gtext ( 'x2' ) ; gtext ( 'x3' ) ;

12-G

1.2 ___ l __ T_T ___ ¡ ____ !_T ____ ,_¡-------T-~·-·¡----: \ ' j y=*" =sali~a del s!stema j

------ __ f ___ ----- -r ----- -----;- --- -~.~--~-1~-=~--~:_:;.~----·f---¡--------t-------t---: : >/ : :

,¡--... ' ,... 1

0.8 ···--/:·:·--::\ .. ;.--~;/~-(-········-\··········+---······1········-·f·······---i----------~---······ 1 ' ' ' / ' ' ' '

a. a ____ (_.:__ ______ )( ________ ¡__ ______ L ______ .:.. _______ ] _________ ¡ ____ , ____ _l_. _______ L ____ __ f i / i\. x2 i i · · i i i

i ¡/ j \\ : i i ~ :

o.4 -¡----.. L;-----i----\:·;----------:-----------:---------r--------~----------~- ----- -~---------: V . . : : : : . . .

0.2 f\--/!- ------- --! ---------- !- :.·,~:---+- -------· +·.-...... ; ... --- ----!-- ... --- ·-! ---------~---------

!/ )~, ! i i ···+-~. ! i i i i Q Í ./ •..• -~·•:::_:~:~~F-~;~~~:-:~_:.:. ~---~~-1~:;.oc.oo :.1-:::;-.~,~-:~~~------•-----···T· -----+--·------

' ' ' ' ' ' ' ' '

Figura 5.9 Respuesta con realimentación de estados

Problema 5.5

Dado el modelo de planta descrito por la siguiente ecuación, aplicar realimentación

-de estado y determinar la ecuación característica en términos de k 1 y k2 y -otros

parámetros de! sistema.

1!~} = L~2 !4] {;~] + l~l u, y= [1 O] r=~I Solución

Para aplicar realimentación de estados, primero se determina fa Observabmdad y

Controlabitidad del sistema.

la matriz de Controlabilidad es

Me-= tB AB]

AH :~ f O l lfO} ·.;;~ [ 2 1-t-2 -4J L2 . -8

1u: _[O 21 me- 2 -~ 8.

lü 21 IMcl = 2

_8

= -4 * O entonces el sistema es controlable

121

La matriz de Observabilidad es:

M0 = [~)

CA= [1 o] [_~2 !4

] = [o 1]

M0 = [~ ~]

!Mol= ~~ ~~ = 1 *O entonces el sistema es observable

Luego se puede aplicar la realimentación de estados. La ecuación característica es

det(sl- A)= O

A =A - BK = [_~2 _14] - [~] fk1 kz] = [_~2 ! 4] - [z~1 z~J

= [-2 ~ 2k1 -4 ~ 2kJ

si- A=[~ ~]- (_z ~ Zk1 -4 ~ zkJ = [z +s2k1 -1 ]

s + 4 + 2k2

1 S -1 1

2 + Zk1 s + 4 + Zkz = s 2 + ( 4 + 2k2)s + 2 + 2k1 = O

Problema 5.6

Considerando el modelo de planta del problema 11.1 , determinar un modelo del

sistema con realimentación de estado de forma tal que el tiempo de asentamiento

al 2% con una entrada en salto es de 1.00 seg, la razón de amortiguamiento es de

0.707; y(t) es igual a r(t) bajo condiciones de estado estacionario con una entrada

en salto.

Solución

g=1

( = 0.707

4 t =-

S (J

u=4

122

. ( 1 )2 w;:;;: wnJ1- ( 2 = 4-!2. 1 ...... J2 = 4 radjse.g

s = -CJ±jw = -4 ±j4

(s + 4 + j4)(s + 4-j4) = (s2 + Bs + 32) = O

'Comparando con el problema anterior

4 + 2k2 = 8 -+ k2 = 2

2 +2k1 =32 "4k1 = 15

Entonces eJ controladores K= [15 2]

Problema 5~7

Dado el modelo de planta mostrado en fa ecuación siguiente, implementar

n$aiirnentaoión de -~stado y determinar k 1 ., k2 y k3 para colocar los polos del

sistema en -8.0 y -12 ± j4

f±1] f 0 4- O 1 fX1i HH . fXt1

1±2 = f-·3 O ! l.l'~¿~ + ~~jl-u:, y~ j1 O O.!lx~~ Lt3. f_ 0 0 2. 3J L.~ X . ._.

Controtabindad:

Solución

ro 4 A~:: t-3 o

. o o f o 4 f

A.B = j-3 o lo o

ro • . ·1

·'·· n -A A· n ~ ·:< 1-t D - • i. D - f-.; i o

ro o Me= lo 4

[z -4

123

Observabilidad:

Mo = [ ¿] CA 2

Mo = [ ~ ~ ~8] -12 o det(M0 ) ::::: 32 =f:; O

Por lo tanto el sistema es observable

A = A - BK = ~~3 ¿ ~ ]- ~~] [k1 kz k3 ]

o o -2 2

[o 4 o] [o o o] .A= -3 o 2 - o o o O O -2 2k1 2k2 2k3

A~[ ~3 4

-Z~Zk,] o -2kt -2k2

si-A=~~ o o] [ o 4

-2 ~ZkJ S o - -3 o o S -2kt -Zkz

si-A= p -4 o l S -2

2kl 2k2 S+ 2 + 2k3

det(sl -.A) = o es la ecuación característica del sistema con realimentación de

estados.

s3 + (2 + 2k3)s2 + (12 + 4k2)s + 4k1 + 24k3 + 24 = O

Para situar todos los polos en lazo cerrado como se requieren, el polinomio

característico es deseado es

(s + 12- j4)(s + 12 + j4)(s + 8) = s3 + 12s2 + 52s + 160

2 + 2k3 = 12

12 + 4k2 =52

4kl + 24k3 + 24 = 160

k1 = 4, k2 = 10, k 3 = S

K= [4 10 S]

124

IV. REFERENCIALES

BAEZ LOPEZ, DAVID. Matlab con aplicaciones a la ingeniería, física y finanzas. Espana: Alfaomega, 2006.

BOL TON, W. Ingeniería de control. Mexico: Alfaomega, 2001

BOLZERN, PAOLO. SCATTOLINI, RICCARDO. SCHIAVONI, NICOLA. Fundamentos de control automático. Espana: Me Graw Hill, 2009

DORF, RICHARD. BISHOP, ROBERT. Sistemas de control moderno. Espana: Pearson educativa, 2005.

FRANKLIN, GENE. POWELL, DAVID, EMAMI-NAEINI, ABBAS. Control de sistemas dinamicos con retroalimentacion. USA: Addison Wesley, 1991.

GOMARIZ CASTRO, SPARTACUS. BIEL SOLE, DOMINGO. MATAS ALCALA, JOSE. REYES MORENO, MIGUEL. Teoría de control diseño electrónico. Espana: Alfaomega, 1999.

KUO, BENJAMIN. Sistemas de control automatico. Mexico: Prentice Hall, 1996.

LEWIS, PAUL. YANG, CHANG. Sistemas de control en ingenierla. Espana: Prentice Hall, 2000.

MOORE, HOLL Y. Matlab para ingenieros. Mexico: Pearson, 2007

NAVARRO VIADANA, RINA. Ingeniería de control. Mexico: Me Graw Hill, 2004.

OGATA, KATSUHIKO. Ingeniería de control moderna. Espana: Pearson educacion, 201 O.

UMEZ-ERONINI, ERONINI. Dinamica de sistemas y control. Mexico: Thomson, 2001.

125

~

V. APENDICE (Autoría propia)

Diseño de un sistema de tercer orden

Considere el sistema de tercer orden con la ecuación diferencial

ji+ Sy + 3y + 2y = u

x1 = y -+ ±1 = y = x2

x2 = Y -+ ±2 = Y = X3

Ordenando y completando coeficientes

±1 = Ox1+x2 + Ox3 + Ou

±2 = Ox1+0x2 + x3 + Ou

X3 = -2X1-3x2 - 5x3 +U

Arreglando en forma matricial

u=-Kx

.X = Ax - BKx = (A - BK)x = Ax

126

La matriz de realimentación de estado es

[o 1

ol n A =A-BK=- O o !5

- · ~- [kt kz k3] -2 -3

r 1

q-r~ o o] [ o 1 o l íi =. o o o o - o o

-5~k3 -2 -3 -5 kt k2 k3 -2- kt -3-k2

L\(s) = det(sl- íi) = s 3 + (5 + k3)s2 + (3 + k2)s + (2 + k 1) =O

Si se desea una respuesta rápida con un sobreimpulso pequeño, se selecciona la

ecuación característica de forma que

~(~} = (~ + § b!n)(~-2 + Ef~ri:~ + ~~} Se selecciona ~ = 0.8 para obtener un sobreimpulso mínimo y wn = 6 para

satisfacer los requisitos de tiempo de asentamiento.

4 4 Ts = ~Wn = (0.8)(6) l:::: l

5 + k3 = 14.4

3 + k2 = 82.1

2 + kt = 172.8

k3 = 9.4

k2 = 79.1

kt = 170.8

K= {!::7~_.-!) 79.-1- 9_.~]

127

Diseño de un compensador _para el _péndulo invertido

Este es el problema clásico y fascinante del péndulo invertido montado en un carro,

como se muestra en la figura.

m

mg

1------· y ( t)

M t--_.,.. u(t)

Figura A 1. Carro más péndulo invertido

El carro debe moverse de forma que la masa m este siempre vertical. Las variables

de estado deben expresarse en función de la rotación angular 8(t) y la posición del

carro y(t).

las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del sistema pueden

obtenerse escribiendo la suma de fuerzas en dirección horizontal y fa suma de

momentos respecto al punto pivote. Se supondrá que M » m y que el ángulo de

rotación 8 es pequeño, de forma que las ecuaciones son lineales.

la suma de fuerzas en la dirección horizontal es

Mji + _m l.~ - _t.t = _O

La suma de momentos de torsión respecto del punto pivote es

_rnJji + rnl2 ¡j - '111:lB = O

Eligiendo las variables de estado como

it=Y

i2 =y i3= 8

i4 = iJ

128

Por lo tanto las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden escribirse como

X1 = Xz

.- mg 1 Xz =-M x3 +M u

La representación del modelo en variables de estado del péndulo invertido en lo

alto de un carro en movimiento es

.X=

Donde

x1 es la posición del carro

x2 es la velocidad del carro

-0

o

. .Q o

1 o -mg o

M o- o

9 o -l

y= [1 o

o o 1· o -

x+ M u 1 o

-1 o Ml

o O]x -

x3 es la posición angular del péndulo (medida desde la vertical

x4 es la velocidad angular del péndulo

u es la entrada aplicada al carro

Se puede medir la variable de estado x3 = 8 utilizando un potenciómetro unido al

_ej~; _o m_e.<;f:ir x4 = iJ _utiJ~z~_ncjo lJ.n ~ac<)r:n_etro. ~i- -~lll_b~f-Q(),- _s~- _s_t¿tp_cm_e _qt:J_e _s_e -~_isp()n_~

de un sensor para medir la posición del carro. ¿Es posible mantener la posición

angular del péndulo en el valor deseado (8 =O/ cuando únicamente esta

disponible y= x1 (la posición del carro).

Sean los parámetros del sistema

elose all; elear all; ele;

l = 0.098m

9 = ?·~"!-1~2 m= 0.825Kg

M= 8.085Kg

129

~parametros del sistema 1=0.098; g=9.8; m=0.825; M=8.085; A=[O 1 O O; O O -m*g/M O; O O O 1; O O g/1 O] B= [O; 1/M; O; -1/ (M* l) ]

· C::= [ 1 O O O] Pc=[B A*B A*A*B A*A*A*B] detPc=det(Pc) Po=[C; C*A; C*A*A; C*A*A*A] detPo=det(Po)

A=

o 1 o o o o o o

B= o

0.1237 o

-1.2621 C=

o o -1 o o 1

100 o

1 o o o

Pe= o 0.1237 o 1.2621

0.1237 o 1.2621 o o -1.2621 o -126.2100

-1.2621 o -126.2100 o

detPc = 196.4902 Po=

1 o o 1 o o o o

detPo = 1

o o o o -1 o o -1

det(Pc) = 196.49 * O por lo tanto el sistema es completamente controlable

det(Po) = 1 * O por lo tanto el sistema es completamente observable

130

Ahora se puede proceder con los tres pasos del proceso de diseño, sabiendo de

antemano que se puede determinar una matriz de control de ganancia K y una

matriz de ganancia del observador L para situar todos los polos del sistema en lazo - . - .

cerrado en las posiciones deseadas.

De acuerdo con Luenber~er, el observador de estados completo para el sistema

x=Ax+Bu

y=Cx

Donde la estimación del estado esta dado por

x = :A.~ + 1111- t ¡;:y

y=y-cx

la matriz Les la la matriz de ganancia y se determina como parte del procedimiento . . .

de diseño del observador. El observador de estados completo se muestra en la

figura A2. El observador tiene dos entradas u e y y una salida x. . . - -

u Y-

i Observador + .-:--=:=-===- f = Ag +Bu + L)f -------

Figura A2. Observador de estados completo

El objetivo del observador es dar una estimación del estado x. De modo que . .

x -4 x cuando t -4 oo

Recuérdese que no se conoce x(t0 ); por lo tanto, se debe proporcionar al

observador una estimación inicial x(t0 ).

Se define el error de estimación del observador como

e=x-x

El diseño del observador debería generar un observador con la pr~piedad de que

e -4 O cuando t -4 oo. Uno de los resultados principales de la teoría de sistemas de

control es que si el sistema es completamente observable, siempre se puede

131

determinar L de manera que error de seguimiento es asintóticamente estable como ' --

se desea.

Paso 1: Diseño de la ley de control por realimentación de estados completa - - -

Las ecuaciones dinámicas del péndulo son:

ft,fji + mJO = ~ mlji + ~l20 = mlg(J

Tomando transformadas de Laplace:

Ms 2Y(s) + mls2B(s) = U(s)

T1J-{~zy_(§) + rn:l_2§_2fJ(~} = _TTJ_l-gfJ(~-)

s2Y(s) + ls 2 B(s) = yB(s)

s-2Y(s) B(s) =- - --

9 -ls2

MsiY(s) + mls2(§2

Y(§})- = U(s) B -ls2

Y(s) _l?-2- 9

UCs) = l(M- m)s4 - Mys 2 (1)

Y(s) = {B- _l~s- 2}fJ(s) s2

B(s) B(s) Y(s) ( s2

)·( ls2

- B )-U(s) = Y(s) U(s) =- y- ls 2 -- l(M- m)s4 - Mys2-

B(s) -s2

U(s) = l(M- m)s4 - Mys2 (2)

De (1) y (2) los polos en lazo abierto son: - - -

l(M- m)s4 - Mgs 2 = O

§2fl{i\!- _T1J-}§·2

- _1\!Bl = 9 Resolviendo las raíces o polos son:

s = 0.0. J(MM! m)'-J(MM! m)

s =O, 0, 10.553,-10.553

132

Es evidente que el sistema en lazo abierto es inestable (hay un polo en el

semiplano derecho). Se supone que la ecuación característica deseada del sistema

en lazo cerrado está dada por

q(s) = (s2 + 2{wns + wn 2)(s2 +as+ b)

Donde se selecciona el par ({, wn) de manera que esos polos sean polos

dominantes y el par e a, b) en posiciones apartadas del semiplano izquierdo de

manera que no dominan la respuesta. Para obtener un tiempo de asentamiento . .

T5 = 4/({wn) menor que 10 segundos con un sobreimpulso pequeño se puede

seleccionar (f,·wn) = _(0.8, 0.5). Entonces se selecciona la separación entre los

polos dominantes y los restantes polos de 20, de donde se tiene que (a, b) = (16, 100). El valor de separación entre los polos dominantes y los no dominantes es - - - - -

un parámetro que se puede variar como parte del proceso de diseño. Cuanto

mayor sea la separación seleccionada, mas alejados en el semiplano izquierdo

estarán situados los polos no dominantes, y por lo tanto mayores serán las

ganancias requeridas en la ley de control. -- . '

s = -(J ±jw = -{ Wn ± wn.J1- { 2 = -0.4 ±j0.3

§2 + l--9~ + 1--99 = 9 ~ §· = -? ± i9

La especificación de las raíces deseadas es

det (si - (A - BK) = (s + 8 -~ j6)(s + 0.4 _t j0.3)

los polos situados en s = -0.4 ± j0.3) son los dominantes. Utilizando la formula de

Ackerman se obtiene la matriz de ganancia para la realimentación. . . .

K = [O O ··· 1]Pc-1 q(A)

g(s) = (~2 + lo-§~n? + ~n2)(s2 + (l? + _b) = (~- + ? + i9}(~ + 9-~ ± i9}) q(s) = s 4 + 16.8s3 + 113.05s2 + 84s + 25

g(s) = § 4 + 5-!·1~3 + !-!z§ 2 + 5-!3§ + ~4 a 1 = 16.8, a 2 = 113.05, a 3 = 84, a4 = 25

g(A) = A4 + ~-tA·3 + _(lz~-2 + cx3:~· + ~4_1 clase all; clear all; ele; %parametros del sistema 1=0. 0.9.8; g=9.8; m=0.825; M=8.085; A=[O 1 O O; O O -m*g/M O; O O O 1; O O g/1 0]

133

B=[O; 1/M; O; -1/(M*l)] C= [ 1 O O O] Pc=[B A*B A*A*B A*A*A*B] detPc=det(Pc) Po= [C; CfA; C*A*A; tfAfA*A] detPo=det(Po) %calculo de K, la matriz de ganancia para la realimentacion InvPc=inv(Pc) a1=16.8; a2=113.05; a3=84; á4=25.;-I=[1 O O O; O 1 O O; O O 1 O; O O O 1]; qA=A*A*A*A+a1*A*A*A+a2*A*A+a3*A+a4*I K=[O O O 1]*InvPc*qA

A=

B

e

Pe

o o o o

o 0.1237

o -1.2621

1

o 0.1237

o -l. 2621

detPt: =

196.4902

Po =

1 o o o

detPo =

1

InvPc =

o 9.0038

o -0-.0900

1 o o o

o

o 1 o o

o -1 o

lOO

o o 1 o

o o

0.1237 o

-l. 2621 o

o 1.2621

o -126.2100

o o o o

-1 o o -1

9.0038 o

-0.0900 o

o 0.0900

o -0.0088

1.2621 o

-126.2100 o

0.0900 o

-0.0088 o

134

qA = l. Oe+005 *

K

0.0003 o o o

0.0008 0.0003

o o

-0.0021 -0.0176

0.2133 l. 7640

-0.0002 -0.0021

0.0176 0.2133

-2.2509 -7.5632 -169.0265 -14.0523

Paso 2: Diseño del observador

El observador necesita proporcionar una estimación de los estados que no son

directamente observables. El objetivo consiste en lograr una estimación precisa tan

rápido sea posible sin que resulte una matriz de ganancia L demasiado grande. A - . - . . - -

efectos de diseño, se intentara asegurar una separación entre los polos deseados

del sistema en lazo cerrado y los polos del observador en un orden de 2 a 1 O. La

ecuación característica del observador deseado se selecciona de la forma

p(s} = (~2 + ~-rs + ~z)z Donde las constantes c1 y c2 se eligen de manera apropiada. Como primer intento

se selecciona c1 = 32 y c2 = 711.11. Estos valores deberían producir una respuesta

a un error de estimación de estado inicial que se asiente en menos de 0.5

segundos con un sobreimpulso mínimo. Si se utiliza la formula de Ackermann se

determina que la ganancia del observador que logra las situaciones deseadas de

los polos del observador

det(si- (A- LC)) = (s + 16 ±j21.3)2

[

64.0 l. L =. 2546.22 .

-5.191E04 -7.6030EOS

Paso 3: Diseño del compensador

El paso final del diseño consiste en conectar el observador a la ley de control - -

realimentado de estados completos mediante u= -Kx. El péndulo inicialmente

esta estacionario en 00 = S. 72 o y el carro esta inicialmente parado. La estimación

inicial del estado en el observador se fija en cero.

135

VI. ANEXOS

En el desarrollo del texto no se ha utilizado tablas, cuadros figuras graficas como

fuente de información.

136

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