“LA INTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN PARA FUNCIONES

LINEALES Y EL ÁREA BAJO LA CURVA”

UNA PROPUESTA EDUCATIVA COMPUTACIÓNAL

PARA ESTUDIANTES DE BACHILLERATO

TESINA

QUE PARA OBTENER EL DIPLOMA DE ESPECIALIZACIÓN EN

COMPUTACIÓN Y EDUCACIÓN

PRESENTA:

M. en C. HÉCTOR MANUEL AMAYA LEÓN

ASESOR:

MTRA. ESPERANZA MONTUFAR VÁZQUEZ

ENERO 2020

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

UNIDAD AJUSCO

2 | P á g i n a

Dedicado con todo cariño a mi madre Cecilia

León, y a mis sobrinos Christian Eric Dorantes

e Itzel Abigail Meza, quienes son una parte

importante en mi vida, aunque no estemos tanto

tiempo juntos como quisiera. Especial

agradecimiento a todas las personas que están

presentes en este momento de mi vida y que son

un motivo para seguir esforzándome.

3 | P á g i n a

INDICE

Introducción..................................................................................................................... 4 Planteamiento del problema ......................................................................................... 5 Justificación ..................................................................................................................... 7 Objetivo general ............................................................................................................. 8 Objetivos específicos de la propuesta .......................................................................... 8 Propuesta didáctica ........................................................................................................ 9 Diferencias entre el método convencional y la propuesta didáctica ..................... 10

Capítulo 1 Marco Referencial ............................................................................... 12

Teorias en las que se sustenta la propuesta ............................................................ 12 Adolescencia ............................................................................................................. 13 Constructivismo .......................................................................................................... 14 Las TIC’s en la educación .......................................................................................... 18

Capítulo 2 Manual de sugerencias didácticas .................................................. 20

Requerimientos .............................................................................................................. 21 Manual de sugerencias didácticas ............................................................................. 22 Áreas de rectángulos ................................................................................................. 24 Áreas de triángulos .................................................................................................... 29 Regiones Circulares ................................................................................................... 45 El programa computacional ........................................................................................ 55 Guía de Navegación .................................................................................................. 55 Rutinas .......................................................................................................................... 60 La representación gráfica de regiones triangulares ............................................ 60 Formación de integrales ......................................................................................... 63 Cálculo de Integrales.............................................................................................. 65 Memorama de equivalencias en Integrales ........................................................ 70 Registro de los resultados ........................................................................................... 72

Capítulo 3 Protocolo de Investigación ................................................................ 73

Introducción................................................................................................................... 73 Justificación ................................................................................................................... 74 Preguntas de investigación .......................................................................................... 74 Objetivo general de la investigación .......................................................................... 74 Objetivos específicos de la investigación .................................................................. 75 Hipótesis de investigación ............................................................................................ 75 Metodología de investigación ..................................................................................... 75 Población ....................................................................................................................... 76 Instrumento de evaluación .......................................................................................... 76 Tratamiento .................................................................................................................... 77 Variables ........................................................................................................................ 78 Diseño estadístico ......................................................................................................... 78 Ejemplo del análisis ....................................................................................................... 81 Decisión en el ejemplo del análisis ............................................................................. 84

Apéndice A ............................................................................................... 85

Referencias ................................................................................................................. 89

4 | P á g i n a

Introducción

Actualmente el uso de las TIC’S en el ámbito educativo es una realidad, las

tecnologías de la información y la comunicación son herramientas necesarias

debido a que la vida cotidiana se desarrolla con el uso ya sea de computadoras,

teléfonos inteligentes o algún otro dispositivo de computo, los cuales se usan como

herramientas que permiten la conexión a la gran fuente de información,

comunicación y proveedora de servicios que es la Internet. Recientemente en

nuestro país han surgido diversas modalidades de estudios en línea, que además

de los contenidos convencionales, fomentan en el educando el uso de diferentes

aplicaciones usadas con una finalidad didáctica, además la educación

convencional también ha incorporado el uso de software computacional que se

integra con los contenidos educativos como una forma de desarrollar tareas que

se ajusta más a la realidad de los centros de trabajo e investigación.

Es por ello la necesidad de presentar propuestas didácticas que no solo fomenten

el uso de estas tecnologías, sino que también intenten innovar en la forma de

impartir las clases y usarlas para conceptualizar problemas con la riqueza que estas

nos proporcionan, ya que el uso de estas permite un dinamismo que antes el

pizarrón de clases no tenía. La presente propuesta posee esas características,

presenta los contenidos desde un enfoque centrado en el uso de software como

lo es GeoGebra y plantea actividades en el programa Authorware, esta forma de

enfrentar el problema permite una revisión a los contenidos convencionales, que

busca centrar la atención del estudiante en la resolución de problemas, a la par

que el mismo es capaz de visualizar las situaciones presentadas y darles significado

en la vida cotidiana.

En mi experiencia como asesor de estudiantes en línea, el uso del ordenador

muchas veces presenta un reto que los educandos ven con interés, y aquellos que

se aventuran en estas nuevas formas de aprendizaje desarrollan autonomía en su

estudio y enfrentan problemáticas educativas que enriquecen su desarrollo, son

estudiantes más independientes si cuentan con las secuencias didácticas

adecuadas. La presente propuesta pretende enfrentar a los interesados al estudio

cuasi autónomo de los contenidos que ella presenta.

5 | P á g i n a

Planteamiento del problema

Los temas de cálculo diferencial e integral son parte de los temas de estudio de los

currículos de los diferentes programas educativos en la república mexicana

pertenecientes a nivel medio superior, la forma convencional de abordar estos

temas es la impartición de las problemáticas referentes al Cálculo Diferencial y una

vez que el estudiante conoce el concepto de derivada se abordan los temas del

Cálculo Integral, esta presentación se explica por los primero y segundo teoremas

fundamentales del Cálculo1, los cuales relacionan ambos conceptos y establecen

a la Integral como operación inversa de la derivada. Este proceso hace que el

estudiante tenga a su disposición un gran número de funciones de las cuales

conoce su antiderivada, y de esta manera solo requiere de algunos

procedimientos o métodos para transportarlos a expresiones matemáticas que ya

reconoce, y así puede encontrar la integral de la mayoría de los problemas que se

le presentan, en teoría, esta metodología solo encuentra dificultades cuando no se

conoce la antiderivada de la función a integrar, sin embargo, en la práctica para

que el estudiante asimile estos conceptos requiere de un manejo de técnicas

matemáticas que son necesarias para lograr su objetivo, entre las que se

encuentran necesariamente la derivación y un buen manejo del álgebra

elemental (factorización, lenguaje algebraico, simbolización, suma y operaciones

con polinomios), a los que se van sumando otros conocimientos como son el

manejo de gráficas (ejes de coordenadas, coordenadas, ecuaciones de la recta,

ecuaciones de funciones, funciones trigonométricas) y el aprendizaje de nuevos

métodos pertenecientes a esta área de estudio.

1 Primer teorema fundamental del Cálculo: Dada una función � integrable sobre el intervalo

[ � , � ]definimos � sobre [ � , � ] por � ( � ) = ∫ �(�)���

�. Si � es continua en � ∈ ( � , � ),

entonces � es derivable en � y �′(�) = �(�).

Segundo teorema fundamental del Cálculo: Dada una función �(�) integrable en el

intervalo [�, �] y sea �(�) cualquier función primitiva de �, es decir �’(�) = �(�). Entonces

∫ �(�)�� = �(�) − �(�)�

�

6 | P á g i n a

Por otro lado, la integral de Riemann definida tiene un significado independiente

de la derivación, y es el de ver dicha integral como el área encerrada bajo un

conjunto de curvas, la cual según el proceso que conlleva la definición formal de

una integral, puede aproximarse utilizando rectángulos que tengan como altura un

punto dentro de la función, mientras más fina sea esta partición de rectángulos

más precisa será el área.

Cabe señalar que esta interpretación es parte fundamental en los textos que tratan

el tema de integral, y es uno de los temas que toca un curso convencional de

Cálculo Diferencial, sin embargo, se pretende usar el concepto de área bajo la

curva para desarrollar una secuencia didáctica que presente un primer

acercamiento al concepto de integral usando funciones lineales, para fija ideas de

los elementos que intervienen y la terminología utilizados en el Cálculo Integral en

los educandos, sin necesidad de hacer uso de las definiciones del Cálculo

Diferencial, ya que el concepto de integral definida, al poder visualizarse como el

área debajo de una curva, puede entenderse con ayuda de los conceptos vistos

desde los cursos elementales de secundaría, donde se tratan los temas de áreas

de diferentes regiones elementales, como son rectángulos, triángulos, círculos y

polígonos.

7 | P á g i n a

Justificación

El estudiante es enfrentado al cálculo de áreas desde los niveles básicos, aunque

muchos de estos problemas generalmente son tratados como retos extras para los

educandos más avanzados por las dificultades que se presentan en su resolución.

La propuesta computacional descrita en estas páginas muestra que es posible

abordar los principios fundamentales para la conceptualización de la integral de

Riemann con el cálculo de áreas de regiones triangulares y circulares, las cuales

son regiones que pueden acotarse por funciones lineales, dichos cálculos pueden

realizarse utilizando los conocimientos de álgebra y gráficos ya mencionados. La

forma en que está propuesta computacional afronta el problema, simplifica el

cálculo de áreas en los problemas mencionados, además de que es una excusa

para hallar una aplicación de las integrales, así como busca que el estudiante se

familiarice con los conceptos elementales y la simbología que se utiliza en los

problemas referentes al cálculo integral.

En este punto, es preciso señalar que el problema de cálculo de áreas es un

problema que puede despertar interés en los educandos, primero por ser uno de

los problemas elementales que están acostumbrados a tratar desde la instrucción

primaria, y la generalización y grado de complejidad en los problemas presentados

puede ser de su interés, segundo, el cálculo de áreas tiene diferentes aplicaciones

prácticas en diferentes sectores profesionales como puede ser la arquitectura, la

ingeniería industrial, o aquellas disciplinas que requieran el modelado de figuras

para crear envases u otro tipo de moldes o contenedores, también encuentra

significado en otras áreas de la matemática, como es la estadística y la

probabilidad, donde, en algunos problemas, se hace uso de áreas bajo la curva

de funciones especiales para calcular probabilidades.

Por otra parte, como ya se mencionó, uno de los problemas fundamentales del

Cálculo Integral es la visualización de los problemas de estudio, el educando

enfrenta problemas para graficar correctamente una región dada, lo que nos lleva

a la necesidad de que el estudiante sea capaz de expresar el concepto de función

en uno de sus registros de representación, que es el gráfico, así que para plantear

8 | P á g i n a

nuestra secuencia didáctica será necesario el uso del software GeoGebra, que

involucra la representación gráfica de funciones.

El otro gran problema que representa el adquirir conocimiento de Cálculo Integral,

es el manejo del álgebra elemental, requerido para la formalización y exactitud del

cálculo de las integrales, por tanto, nuestra secuencia didáctica está dirigida a

estudiantes de los últimos semestres de nivel medio superior que tengan

conocimiento de álgebra elemental. Esto debido a que el manejo de funciones

algebraicas, así como la familiarización de operaciones como son la sustitución y

evaluación de polinomios son indispensables para la secuencia en el cálculo de

integrales, es necesario que el estudiante posea madurez en el manejo de

expresiones algebraicas y aritméticas.

Objetivo general

Que el educando conceptualice la integral definida como el área bajo una

curva y realice cálculo de áreas triangulares.

Objetivos específicos de la propuesta

Que el estudiante conceptualice las integrales definidas como el área bajo

una curva.

Que el estudiante utilice el concepto de integral bajo la curva como un

tema independiente de la derivada.

Que el estudiante pueda realizar cálculos de áreas de regiones triangulares

y circulares.

Que el estudiante sea capaz de visualizar y representar gráficamente (vía

software) problemas que involucren el cálculo de áreas.

Que el educando utilice un software diseñado para el tema que le permita

reforzar los conceptos empleados en la primera parte de la propuesta.

9 | P á g i n a

Propuesta didáctica

La propuesta didáctica utiliza el concepto de áreas de figuras como son

rectángulos, triangúlalos y regiones circulares para que los estudiantes

conceptualicen la Integral definida de Riemann, las cuales son regiones que

pueden acotarse por funciones lineales, una vez conseguido esto, deben usar

técnicas de solución de problemas de áreas empleando dichas integrales, para

aprender estas técnicas deben auxiliarse del software desarrollado para el tema y

pueden usar un programa como GeoGebra, el cual es un Programa Dinámico para

la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas que es de distribución libre y su

respectiva versión en línea se encuentra disponible en la página de la aplicación,

lo utilizará para la visualización de los ejercicios involucrados. Al finalizar la

secuencia se espera que el estudiante domine un método para el cálculo de áreas.

La población a la que va dirigida son adolescentes entre 17 y 19 años que tengan

conocimientos previos de álgebra y puedan representar gráficamente una función

en un eje de coordenadas, deben conocer los sistemas de coordenadas polares y

también es necesario que tengan nociones básicas sobre gráficas, así como el

concepto de simetría. Además, es necesario que conozcan el uso básico del

ordenador, ya que requerirán utilizar el software diseñado para la propuesta. No es

necesario que el estudiante tenga conocimientos previos ni de Cálculo diferencial,

ni de Cálculo Integral, pues esta secuencia presenta conceptos básicos de la

interpretación de algunas propiedades de las Integrales y tiene como objetivo dar

una interpretación a la simbología usada en los cursos de Integrales, así como

mostrar una técnica de resolución de problemas.

La propuesta computacional consiste en la resolución de 3 secuencias didácticas

que se resuelven de forma escrita, las cuales tienen como objetivo sentar los

antecedentes teóricos necesarios para mejorar la comprensión del tema, a saber:

Regiones rectangulares.

Regiones triangulares.

Regiones circulares.

10 | P á g i n a

Así como se pretende que el estudiante desarrolle competencias para la resolución

de problemas, para lo cual se empleara el programa diseñado para este fin. A

saber, dichas competencias se desarrollan en 3 etapas:

Representación gráfica de situaciones que involucren el cálculo de áreas.

Formación de las integrales.

Resolución de integrales

Para realizar estas actividades, además del programa desarrollado, es necesario

que el estudiante utilice el software de GeoGebra. La aplicación desarrollada

contiene actividades que el educando puede realizar de manera autónoma y con

las cuales se pretende que el estudiante domine las competencias arriba

enunciadas, a través de los ejercicios prácticos que en ella se incluyen. Se

recomienda que las secuencias escritas sean guiadas por un asesor, quien debe

conocer el material que se presenta en los siguientes capítulos del presente

documento.

Diferencias entre el método convencional y la propuesta

didáctica

Existen varias diferencias entre la propuesta aquí presentada y el método

convencional, un primer grupo de diferencias se encuentra en la forma de abordar

los contenidos, mientras que el método convencional requiere el aprendizaje de

un extenso número de fórmulas derivadas del Cálculo Diferencial, así como un

largo proceso formativo que involucra la representación gráfica de los problemas

a conceptualizar, habilidad que muchos de los estudiantes no siempre llega a

desarrollar de forma completa cuando se presenta los contenidos del curso,

además de que también requiere la asimilación de otro grupo de métodos para

desarrollar las integrales, mientras que la propuesta busca conceptualizar las

integrales en base a elementos ya conocidos por el estudiante desde los primeros

grados de instrucción escolar, introduce a los estudiantes a la simbología

empleada usualmente para el cálculo de integrales y los elementos necesarios el

11 | P á g i n a

cálculo de las mismas, así como se enfoca en la comprensión de las propiedades

y fórmulas empleadas por métodos visuales a partir de problemáticas ya conocidas

por los estudiantes.

Otro grupo de diferencias se encuentra en la presentación de problemáticas

apegadas a la vida cotidiana de los estudiantes por parte de la propuesta

presentada, mientras que el método convencional frecuentemente utiliza

problemas simbólicos sin contexto, lo cual dificulta la transición de los ejemplos

presentadas a la realidad, y por tanto al uso práctico de los mismos.

Y finalmente el grupo de diferencias fundamentales del empleo de software

didáctico como eje básico de la secuencia didáctica, ya que esta requiere la

realización de actividades en un programa diseñado para formar las

competencias del cálculo de integrales de manera interactiva y autónoma por los

estudiantes, cuyo uso busca además de ser instructivo, ser lúdico, pues se presentan

problemas con el suficiente grado de complejidad para que el estudiante los

encuentre atractivos y desafiantes, mientras que el método convencional emplea

técnicas tediosas y procesos complejos antes de encontrar una aplicación

práctica de los temas expuestos.

Cabe mencionar que el proceso desarrollado por la propuesta, facilita la

representación gráfica de los problemas propuestos, ya que desde los primeros

ejemplos, el educando es capaz de trasladar los ejercicios a resolver a una

representación gráfica y encontrar las ecuaciones que delimitan las regiones

señaladas, esto gracias al software empleado para el desarrollo de las actividades,

mientras que los estudiantes que llevan el método convencional frecuentemente

encuentran problemas para realizar estar representaciones, pues es necesario

conocer técnicas de otras materias como puede ser la Geometría Analítica, y casi

nunca es posible utilizar software, pues las condiciones de los salones de clase

donde se recibe la instrucción no lo permiten.

12 | P á g i n a

Capítulo 1

Marco Referencial

Teorías en las que se sustenta la propuesta

La propuesta computacional que aquí se presenta es un trabajo que reúne saberes

de distintas disciplinas, por un lado están los contenidos propios de la materia de

cálculo integral (limites inferiores, limites superiores, integrales, etc.) y los conceptos

de matemáticas como son álgebra, área, simetría, gráficas, cambio de

coordenadas, pero también se deben considerar aquellos temas correspondientes

al uso de las Tic’s como entornos de aprendizaje (en específico el ordenador,

GeoGebra y la aplicación desarrollada para realizar la instrucción) y por supuesto,

el enfoque pedagógico con el que se construyeron las actividades a desarrollar,

pues en ellas se hace uso de la teoría constructivista, en la cual el estudiante parte

de saberes ya asimilados, como son las áreas de rectángulos, triángulos y círculos

13 | P á g i n a

para construir nuevo conocimiento que serán las integrales, además de que la

forma de aprendizaje del estudiante debe ser activa y requiere la participación de

un asesor que servirá de guía para que el estudiante logre responder con éxito los

problemas planteados en la propuesta. Además, se debe tener en cuenta la etapa

de desarrollo de la población a la que va dirigida la secuencia, la cuál es la

adolescencia, para con ello, poder plantear ejercicios que respondan a la

madurez de su desarrollo.

Adolescencia

Los métodos de enseñanza empleados con los estudiantes han variado a lo largo

del tiempo, las teorías pedagógicas que actualmente se emplean tienen como

objetivo desarrollar su creatividad, competencia, confianza, conexión, carácter,

cuidado y compasión basado en nuevos paradigmas que se basan en las

componentes positivas que hay alrededor de la juventud, el trabajo desarrollado

va dirigido a jóvenes entre 17 y 19 años de edad que cursan los primeros años de

bachillerato y que están viendo por primera vez el tema de Integrales.

En la etapa de la adolescencia se presentan cambios físicos y mentales, además

de que su entorno juega un papel determinante en su desarrollo. La adolescencia

es una de las mejores etapas de la vida en muchos sentidos, es una época de

cambios, de descubrimientos, de nuevas sensaciones y de nuevas experiencias, en

ella los adolescentes forjan amistades con las personas que más se sienten

identificados, etapa de los amores más intensos, de ganar independencia de los

padres, de experimentar y darse cuenta de lo que son capaces de hacer, época

de reflexiones, de idealismos, de poses, a veces época de incomprensión, se

empieza a tener conciencia del yo y de lo que se quiere. El adolescente empieza

a sentir preferencia por determinadas cosas, porque se identificamos con ellas y no

porque alguien más se las imponga.

Anteriormente el modelo que predominaba para analizar la situación de los

adolescentes se centraba en los conflictos que estos suelen atravesar. La toma de

riesgos que se realizan en esta etapa de la vida hacía que en el choque

generacional entre los adultos responsables y los adolescentes predominaran los

14 | P á g i n a

aspectos negativos que conllevaban las problemáticas de los jóvenes, los nuevos

modelos sobre la juventud se han ido desarrollando a la par de las modernas teorías

pedagógicas y los descubrimientos de grandes psicólogos y profesionales de la

educación como Piaget y Vigotsky quienes buscan que el adolescente sea capaz

de desarrollarse y alcanzar sus metas.

La propuesta computacional que se plantea busca despertar el interés de la

población a la que va dirigida a través de actividades que presentan un reto en la

resolución de sus ejercicios, con la suficiente complejidad para que el estudiante

los encuentre desafiantes, se espera que los educandos sean capaces de

resolverlos de manera autónoma. Es necesario que el estudiante cuente con una

serie de conocimiento previos para ser candidato a la aplicación de la secuencia

(ver pág. 9), así como se considera el entorno en el que serán resueltos, pues el uso

de ordenadores es aceptado ya como uno de los nuevos entornos propicios para

el aprendizaje, además de que se plantean otras actividades que sirven como

complemento, ejemplo de ello es un juego de Memorama que permitirá al

estudiante jugar con el ordenador, lo cual tiene como propósito conseguir la

asimilación de las fórmulas más utilizadas en el desarrollo de la secuencia, es decir,

se busca que el estudiante no solo comprenda los temas tratados, sino que plantea

las actividades a resolver como retos que buscan ser interesantes y desafiantes

para la etapa de su desarrollo, sin dejar de ser lúdicos .

Constructivismo

El constructivismo es una teoría pedagógica actual que ofrece las mejores

características para ayudar a los jóvenes a obtener un aprendizaje significativo,

para el constructivismo el aprendizaje se obtiene cuando las estructuras mentales

se acomodan para resolver una situación que causa un desequilibrio cognitivo vea

(Schunk, 1997). Un estudiante al cual se le presenta un problema a resolver utiliza

sus conocimientos previos para poder resolver la nueva situación y se produce la

asimilación del nuevo concepto. Jean Piaget concibe la inteligencia como la

capacidad de adaptación al medio que nos rodea y esta adaptación se da

15 | P á g i n a

precisamente en los mecanismos de acomodación y asimilación ante las

situaciones que se dan en el entorno del estudiante. En la propuesta didáctica se

construirá el significado del nuevo concepto presentado que es la integral y su

simbología, a partir de elementos que el estudiante ya conoce, como son las áreas

de rectángulos, triángulos o circunferencias.

La fundamentación matemática de las integrales se auxiliará del lenguaje

algebraico, así como de la visualización de las regiones presentadas para que el

estudiante interiorice ese concepto, por ejemplo, en la secuencia didáctica se

plantean problemas de tipo matemático en los cuales cada enunciado va

acompañado, además de una aplicación a una situación de la vida real, también

de una imagen que ilustra la situación.

Piaget realizó varias investigaciones sobre las estructuras cognitivas en el niño, las

cuales se van desarrollando a partir de sus experiencias, y pudo determinar 4

etapas que se dan en su desarrollo:

16 | P á g i n a

Senso-motor (0-3 años)

Pre-concreto o preoperatorio (3-7 años)

Concreto (7-13 años)

Formal (13-19 años)

Cada etapa sirve de base para seguir desarrollando la etapa posterior, nosotros

consideraremos la etapa formal, la cual refiere a la etapa de la adolescencia,

como ya se mencionó, donde los jóvenes presentan varios cambios tanto físicos

como mentales, es en esta etapa cuando los jóvenes van desarrollando el

“pensamiento formal”, el cual refiere a la capacidad de razonar de un modo

hipotético y deductivo, es decir el desarrollo de las capacidades lógicas con

pensamientos abstractos se hace presente. La forma característica del

pensamiento formal conlleva a poder formular hipótesis para explicar un problema

nuevo para el sujeto, basándose en los datos que se obtienen en ese momento o

que se han obtenido anteriormente.

Por otra parte, el tipo de problemas planteados admiten una resolución vía la

aplicación de las fórmulas de áreas de figuras geométricas, aunque con

suficientemente grado de complejidad que le permitirá al estudiante comparar

estos procedimientos con el método planteado y reconocer las bondades de la

metodología empleada en la propuesta. Es decir, el estudiante es capaz de

conceptualizar los problemas y construir su conocimiento de la nueva simbología

presentada de manera natural a partir de situaciones que ya conoce. Así mismo

esos conocimientos servirán de base para construir su nuevo conocimiento y

empezar a utilizar la simbología nueva que se le presenta. La propuesta,

presentada en estas páginas, propone la resolución de 3 actividades que sentaran

las bases matemáticas del procedimiento empleado, el cual utiliza conceptos ya

conocidos por el estudiante desde niveles elementales, como son las áreas, pero

también hace uso de conocimientos como el álgebra que requieren de una

madurez de abstracción que se desarrolla en esta etapa de la vida, la propuesta

busca la asimilación de 3 competencias para la resolución de los problemas de

cálculo de integrales (representación de regiones triangulares, formación de

integrales y cálculo de integrales), para las cuales se les plantean un promedio de

17 | P á g i n a

10 problemas donde las tareas a realizar les permitirá ganar confianza en la

resolución de problemas.

Las conductas de los adolescentes tienen varias componentes como se menciona

en (Schunk, 1997):

La capacidad para disociar factores y controlar las variables.

Atender a las causas principales de los fenómenos.

Diferenciar entre una demostración empírica, una hipótesis o una teoría.

Medios más eficaces para adquirir información y almacenarla en formas

simbólicas.

Utilizar estrategias falseadoras.

Preferencia por explicaciones simples en lugar de las explicaciones

complejas.

Funciones ejecutivas de orden superior: planeación, toma de decisiones y

flexibilidad al escoger estrategias para solucionar problemas.

Estrategias más complejas para la solución de problemas.

El adolescente utiliza estas estrategias para enfrentar los retos de la vida cotidiana,

o para realizar actividades que les permitan ser mejores intelectualmente y

físicamente, continuamente busca experimentar, aunque frecuentemente valora

más la recompensa que el riesgo. La incorporación de las tecnologías actuales

para la formación de los jóvenes debe proporcionarle retos, así mismo la

oportunidad de desarrollar su creatividad y mantenerlos interesados con las

problemáticas que se les presentan, vea (Castillo, 2008). Así que, en esta etapa de

su desarrollo, el alumno es capaz de manejar la simbología algebraica utilizada en

la propuesta con previa instrucción y es capaz de planear la forma en que dará

resolución a los problemas, también tendrá la madurez necesaria para asimilar la

simbología empleada en las actividades a resolver.

18 | P á g i n a

Las TIC’s en la educación

La especie humana siempre ha enfrentado el mundo a través de la ayuda de

diferentes medios, es difícil encontrar algo en las comunidades que habitan las

personas que no esté mediada por sus inventos, para enfrentar el clima las personas

inventaron la ropa, las casas. Para andar, el calzado. Para ocupar una mayor parte

de día, aprendieron a manejar la electricidad. Para recorrer grandes distancias, los

automóviles, los barcos, los aviones. Para comunicarse han desarrollado diferentes

tecnologías que les permite hablar con personas que se encuentran a grandes

distancias. Para su educación crearon grandes edificios, acondicionados, muchas

veces, con los elementos necesarios para conseguir este fin. La escritura empleada

en los libros transmite ideas que ayuda a las personas a comprender temas que

maneja el colectivo humano. Muchas veces el hombre realiza inventos que a

simple vista pudieran no tener un fin práctico, sin embargo con el tiempo estos

inventos llegan a calar tanto en su uso y en la forma que la especie humana se

desenvuelve que es imposible ignorarlos, un ejemplo de esto son las computadoras,

originalmente se crearon con fines de ser utilizados en la industria militar, sin

embargo su utilidad y rápido crecimiento con la llegada de la red de Internet, la

cual actualmente es una de las formas de comunicación más importante así como

una gran fuente de información de acceso libre, ha revolucionado de forma

determinante instituciones tan antiguas como son los sistemas educativos

convencionales.

Es difícil encontrar una actividad humana actual que no requiera el empleo de

ordenadores, la brecha tecnológica se abre para diferenciar entre aquellos que

emplean la última tecnología y las personas que siguen haciendo las cosas de

manera artesanal. En el campo educativo esta brecha es aún más marcada pues

una de las finalidades de las instituciones educativas es vincularlos con el sector

productivo, el cual usa las computadoras de manera casi natural para

desempeñar muchas de sus actividades.

El sector industrial, el comercio, los servicios, las comunicaciones y la industria del

entretenimiento ha hecho grandes avances en su formas de producción gracias al

uso de las nuevas tecnologías, pero no solo eso, la vida cotidiana de las grandes

19 | P á g i n a

ciudades se ha visto modificada en los últimos años por la era del Internet, de igual

forma los sectores educativos vieron necesaria la incorporación de estos medios a

sus prácticas educativas, en un principio para realizar tareas complejas y

actualmente como parte integral de las competencias a desarrollar en los

estudiantes, aunque también sirve como medio para diferentes formas educativas

que se han desarrollado como lo es la educación en línea.

En la propuesta computacional, como su nombre lo indica, el educando hará uso

del ordenador y un software desarrollado, este software tiene el fin específico de

ayudarle al estudiante a ganar destreza en la resolución de problemas de cálculo

de áreas de regiones triangulares, pero también tiene que usar otra de las Tic’s

empleadas en la resolución de problemas matemáticos, muy popular en los medios

educativos, esta aplicación es GeoGebra, la cual es una calculadora gráfica que

le permitirá al estudiante representar con éxito las regiones presentadas en los

problemas. GeoGebra es un software muy completo para la representación

gráfica de funciones, que también cuenta con una hoja de cálculo y un soporte

para realizar figuras geométricas tal y como si se utilizara regla y compas. Con estos

elementos se busca despertar el interés en el estudiante y utilizar al ordenador

como un medio que favorece el aprendizaje de los estudiantes.

Actualmente, un sector importante de la educación está implementando nuevas

propuestas didácticas con ayuda de estos medios, pues facilitan que el estudiante

encuentre autonomía en su proceso de aprendizaje, así como minimizan la

presencia de instructores, ya que el estudiante es libre de experimentar por sí

mismo. El uso de las Tic’s permite que los estudiantes tengan laboratorios completos

para desarrollar nuevas formas de conocimiento que la instrucción convencional

no tenía. Es por ello la necesidad de que los profesionales de la educación

aprendan a explotar estos medios para beneficio de los educandos, como se

intenta en la presente propuesta.

20 | P á g i n a

Capítulo 2

Manual de

sugerencias

didácticas

Introducción

La propuesta computacional presentada en estas páginas se dividen en dos

grandes etapas, la primera de ellas está formada por tres secuencias didácticas

que se resuelven de manera escrita, aunque también requieren el apoyo de

GeoGebra, el cual es un software de distribución libre utilizado en la enseñanza de

las matemáticas y la resolución de problemas matemáticos, y la segunda etapa

está conformada por una serie de rutinas integradas en un programa

computacional cuya resolución también requieren el apoyo de GeoGebra, ya que

con este último se podrán visualizar las regiones que están involucradas en los

problemas.

21 | P á g i n a

Este manual pretende servir de apoyo a los instructores de la propuesta

computacional, que impartan la misma con algún grupo de estudiantes

interesados en el tema. Contiene la descripción de las actividades, así como la

forma de implementarse, sus objetivos y algunas sugerencias didácticas, las cuales

ayudaran al instructor a cumplir los objetivos de la propuesta.

Presentamos entonces la organización de la propuesta:

Manual de sugerencias didácticas

Áreas de rectángulos

Áreas de triángulos

Regiones Circulares

Programa computacional

La representación gráfica de regiones triangulares

Formación de integrales

Cálculo de Integrales

Memorama de fórmulas Integrales

El lector encontrara, en el trascurso de la lectura, que los elementos que se utilizaron

para diseñar la secuencia son continuación de lo aprendido en los sistemas

elementales, pero conjuntados como se hizo en la siguiente secuencia, conforman

una herramienta potente para la resolución de problemas, y además sirven como

vehículo perfecto para la introducción de los conceptos básicos de las integrales.

Requerimientos

Para la primera parte de la instrucción.

Un instructor que conozca los contenidos de la secuencia y sea capaz de

conducir la instrucción que se plantea en la propuesta.

Las actividades propuestas para las áreas de rectángulos, áreas triangulares

y regiones circulares impresas, de preferencia un juego de copias por

alumno, estas actividades pueden imprimirse directamente del presente

manual de sugerencias didácticas.

22 | P á g i n a

Goma y lápiz.

Ordenadores con la aplicación de GeoGebra instalada, se recomienda un

ordenador por alumno, ya que en determinada parte de la instrucción el

alumno podrá experimentar con este nuevo entorno de aprendizaje.

GeoGebra es una aplicación de distribución libre en internet y puede

obtenerse una copia para ser instalada en los ordenadores, sin ningún costo,

desde la página de internet correspondiente a la aplicación

(https://www.geogebra.org › download). Aunque también es posible

encontrar una versión reciente en línea.

Para la segunda parte de la instrucción

Ordenadores. Esta propuesta requiere el uso de computadoras, es

recomendable contar con un ordenador por alumno.

El software correspondiente a la aplicación desarrollado para la instrucción.

Se debe instalar previamente en los equipos destinados para los alumnos.

El software de GeoGebra.

Un instructor, aunque la secuencia computacional puede resolverse de

manera autónoma, es recomendable la presencia de un instructor que

resuelva las dudas que pueden presentárseles a los educandos en el

desarrollo de la instrucción.

Manual de sugerencias Didácticas

Áreas de rectángulos

Descripción de la secuencia

La presente secuencia didáctica está diseñada para desarrollarse con papel y lápiz

y no necesita ninguna herramienta extra para su resolución, solo es necesario leerla

con atención y utilizar conocimientos previos para llenar los espacios en blanco.

Esta actividad sirve para presentar los símbolos básicos que están involucrados en

el cálculo de integrales, como son el símbolo de integral y el diferencial ��, así como

23 | P á g i n a

presenta una interpretación de las integrales como el área encerrada por una

región acotada por un conjunto de rectas. En ella se demuestran las primeras

propiedades de las integrales y se espera que el estudiante conozca la forma de

trabajo de las siguientes actividades que conforman esta parte de la instrucción.

Objetivos de la secuencia

Presentar la notación básica para el tratamiento de las integrales, así como sirve

de introducción al tema de estudio, busca indagar sobre los conocimientos previos

del estudiante para formar conocimiento nuevo, así como tiene presente la

mayoría de los elementos que se trataran en el tema.

Sugerencias didácticas

Para la resolución de dicha actividad, se recomienda imprimir el documento y

permitir que el estudiante intente llenar los espacios en blanco, una vez que el

estudiante ha hecho un primer intento, se recomienda que la actividad sea guiada

por un instructor y su resolución entre todo el grupo de educandos presentes, esto

con la finalidad de que todos los estudiantes participen en la construcción del

nuevo conocimiento.

También se sugiere que el instructor no de las respuestas de la actividad, pero

puede participar guiando a los educandos a la respuesta correcta, el instructor

debe reconocer las respuestas correctas, y animar a todos los presentes a participar

en la resolución de la secuencia.

El instructor puede organizar una sesión de dudas surgidas por la actividad e

intentar explicar las problemáticas que se resolverán en las siguientes partes de la

propuesta, las cuales son cálculo de áreas de regiones triangulares y circulares, y

problemas que involucren la combinación de esta.

A continuación, se presenta la transcripción de la actividad.

24 | P á g i n a

Áreas de rectángulos

Supongamos que tenemos un rectángulo formado por las rectas x=a y x=b de

altura 1,

¿Cuánto mide la base del rectángulo?

Considere un rectángulo de base b-a y altura 1

Definimos:

� �� = Á��� ��� ���á����� �� ���� � − � � ������ 1 =�

���

� �� =

�

���

25 | P á g i n a

El símbolo anterior se lee como: La integral desde x=a hasta b de d de x

Nota: Al estar definida ∫ ���

��� en términos del área, la posición de los ejes no

importa, basta que sea un rectángulo de base = �− � y altura = 1. Es decir, el

rectángulo puede estar ubicado en cualquier región del espacio.

Supongamos que tenemos un rectángulo de altura 3 ubicado entre las rectas x=a

y x=b

Note que podemos ver el área igual a la suma de 3 rectángulos entre las rectas

x=a y x=b y altura 1

26 | P á g i n a

Entonces

Á��� ��� ����á����� ����� � = � � � = � � �� ������ 3=

Por otro lado

Á��� ��� ����á����� ����� � = � � � = � � �� ������ 3=

3 Á��� ��� ���������� �� ���� � − � � �� ������ 1 = 3

Consideremos un rectángulo de altura arbitraria k (no necesariamente entero) y

de base b-a y definimos:

� � �� = Á��� ����� �� ����á����� �� ���� � − � � ������ ��

���

Nota: Al estar definida ∫ � ���

��� en términos del área, la posición de los ejes no

importa, basta que sea un rectángulo de base b-a y altura k. Es decir, el rectángulo

puede estar ubicado en cualquier región del espacio.

¿Cuál es la base del rectángulo?

¿Cuál es su altura?

Se tiene entonces que:

� � �� = Á��� ����� �� ����á����� �� ���� � − � � ������ ��

���

27 | P á g i n a

= (� − �)� = �(� − �) = �� ���

���

es decir:

� � �� = �� ���

���

�

���

Un ejemplo de un rectángulo de base b-a y altura k ubicado en alguna región del

espacio puede ser:

Problema 1

¿Qué significado gráfico le puede dar a ∫ � ���

���? Calculé la integral.

28 | P á g i n a

Problema 2

¿Cuál es el área del siguiente rectángulo? Expréselo como una integral.

Observación: Las áreas son siempre positivas, es decir todas las integrales

definidas son áreas positivas.

29 | P á g i n a

Áreas de triángulos

Descripción de la secuencia

La siguiente actividad requiere ser impresa para su resolución con lápiz y papel,

también requiere el uso de un ordenador por participante con el software de

GeoGebra previamente instalado, es la continuación de la actividad anterior y

busca generalizar los conceptos presentados por aquella, utiliza regiones

elementales como son regiones triangulares las cuales requieren un análisis más

sofisticado para definir la equivalencia de las integrales, también presenta la

resolución de un problema con ayuda de GeoGebra, así como una explicación

del uso de funciones del programa.

Objetivos de la secuencia

Profundizar en el estudio de las propiedades de las integrales, así como mostrar el

método que se empleara para la resolución de problemas de cálculo de áreas, los

ejemplos que muestra son el tipo de problemas que se enfrentaran en la propuesta.

Sugerencias didácticas

Se recomienda que los estudiantes realicen un primer intento para resolver la

actividad trabajando en equipos de 3 personas (esto debido a la complejidad de

esta), para lo cual es recomendable darles un tiempo aproximado de 30 minutos

antes de iniciar una actividad grupal guiada por el instructor para la resolución con

todos los participantes de la sesión.

Se recomienda que el instructor fomente la participación de todos los equipos

participantes, y que se abstenga de proporcionar respuestas concretas, pero que

guíe a los educandos a encontrar las respuestas correctas.

La resolución del problema puede ser presentada por el instructor, mientras motiva

a los estudiantes a realizar los trazos que plantea el problema, usando para ello el

ordenador que les fue proporcionado.

También es recomendable brindarles un tiempo de aproximadamente 15 minutos

a los educandos para que experimenten con el uso de GeoGebra.

30 | P á g i n a

Área de triángulos

Vamos a generalizar los conceptos vistos en la secuencia didáctica 1, supongamos

que tenemos una región en el espacio acotada por las funciones continuas � = �,

� = �, � = �(�) y � = �(�) y sea S igual al área delimitada por esta región.

Definimos

� [�(�) − �(�)]�� = ��

���

Nota: Esta definición no depende de la posición de los ejes � y �, basta con que la

curva esté acotada por las funciones continuas � = �, � = �, � = �(�) y � = �(�).

Considere la siguiente región en el espacio:

31 | P á g i n a

La superficie S está acotada por las rectas x=a, x=b, y=0 y y=x, tenemos entonces

que

� [� − 0]�� = � ��� =�

���

��

���

Por otro lado, el área S la podemos ver como la mitad del cuadrado de lado b

menos la mitad del cuadrado de lado a.

Es decir

�=Á��� �� �������� �� ���� �

�−

Á��� ��� �������� �� ���� �

�=

��

�−

��

�

Así que:

� ��� =��

2−

��

2

�

���

32 | P á g i n a

Ahora considere la región del espacio acotada por las rectas � = �, � = �, � = �� +

� y � = 0, note que � y � pueden ser cualquier par de números reales.

Sin pérdida de generalidad podemos considerar esta región como

Tenemos entonces que:

� [�� + � − 0]�� = � (�� + �)���

���

�

���

= �

33 | P á g i n a

Notamos que podemos dividir S en dos regiones

Así que:

� (�� + �)���

���

= �� + ��

¿Qué coordenadas tiene el punto P?

34 | P á g i n a

¿Cuál es la recta que pasa por el punto P y es paralela al eje x?

¿Cuánto mide la base del rectángulo ��?

¿Cuánto mide su altura?

¿Cuánto mide el área ��?

Como en el primer ejemplo anterior vamos a visualizar la región ��como:

35 | P á g i n a

Donde ��es el área del rectángulo mayor que contiene parte de la recta � = �� +

� y �� es el rectángulo verde. Recordemos también que por definición de ecuación

de la recta se tiene que � = tan�.

¿Cuánto mide la base de ��?

¿Cuánto mide la altura de ��? Sugerencia, consideré el triángulo rectángulo que

comprende las regiones ��y �� y calculé su cateto opuesto.

¿Cuánto mide el área de ��?

¿Cuánto mide la base de ��?

¿Cuánto mide la altura de ��? Sugerencia, consideré el triángulo rectángulo que

comprende la región �� y calculé su cateto opuesto.

36 | P á g i n a

¿Cuánto mide el área de ��?

¿Cuánto mide el área S1?

Tenemos así que el área de la región S está dada por:

� (�� + �)���

���

= �

� (�� + �)���

���

= �� + ��

� (�� + �)���

���

= � ���

2−

��

2�+ �(� − �)

� (�� + �)���

���

= � � ����

���

+ � � ���

���

Así que:

∫ (�� + �)���

���= � ∫ ���

�

���+ � ∫ ��

�

��� para cualesquier m y c

reales.

37 | P á g i n a

Ejemplos de cálculos de áreas de triángulos

1. Calculé el área de la región sombreada de la siguiente figura:

Use el software de GeoGebra y el concepto de integral

Sugerencia: Note que la región tiene un eje de simetría con la recta x=2

Solución

Ingrese las coordenadas de los vértices:

� = (0,0)

� = (4,0)

� = (4,4)

� = (0,4)

38 | P á g i n a

Seleccione la opción de polígono en la barra de herramientas.

Y una los puntos con ayuda del ratón.

Trace el punto auxiliar � = (2,4).

39 | P á g i n a

Seleccione la herramienta de recta en la barra de herramientas.

Una los puntos A y C, después una los puntos B y D, después una los puntos A y E y

finalmente una los puntos E y B.

En la ventana derecha del programa (Vista Algebraica) aparecen las ecuaciones

de las rectas en el orden en que fueron introducidas.

Si tiene alguna duda de a que par de puntos le corresponde que ecuación de

recta, seleccione la opción Elige y Mueve en la barra de herramientas

40 | P á g i n a

Y señale dicha recta

Así la recta que pasa por los puntos � y � es:

−2� + � = 0

La recta que pasa por los puntos A y C es:

−� + � = 0

La recta que pasa por los puntos E y B es:

2� + � = 8

Y finalmente la recta que pasa por los puntos B y D es:

−� − � = −4

Finalmente ingrese las rectas

� = 0

� = 2

� = 4

41 | P á g i n a

Tal y como se muestra en la figura:

Despeje las ecuaciones en términos de y

42 | P á g i n a

Es decir, se tiene las regiones �� y �� como se muestra en la figura:

En términos de la integral tenemos que el área de la región del problema puede

calcularse como la suma de las regiones �� y ��:

� = �[(2�) − (�)]�� + � [(−2� + 8) − (−� + 4)]�

���

�

���

��

� = � ��� + � (−� + 4)���

���

�

���

Pero �� = ��, así que por simetría se tiene que:

� ��� = � (−� + 4)���

���

�

���

� = � ��� + � ������

���

�

���

43 | P á g i n a

� = 2� ����

���

Así que:

� = 2�2�

2−

0�

2�

� = 2�4

2− 0�

� = 2(2)

� = 4 ��

Ejercicio

Calculé la integral y demuestre que:

� ��� = � (−� + 4)���

���

�

���

44 | P á g i n a

Con lo hasta ahora aprendido, ¿se le ocurre otra forma en que se puede obtener

el área de la región señalada?

45 | P á g i n a

Regiones Circulares

Descripción de la secuencia

Esta secuencia debe resolverse con ayuda de lápiz y papel y con el programa

GeoGebra, por lo cual se recomienda hacer una impresión de esta y contar con

un ordenador que tenga el software instalado para su aplicación.

En la secuencia se presentan problemáticas nuevas, al extender el tipo de regiones

de las cuales puede hallarse el área por el método presentado, además de

generalizar el problema de cálculo de integrales, permite la combinación de

regiones triangulares y circulares, lo cual hace posible resolver una amplia gama

de problemas clásicos donde se bebe encontrar el área de regiones sombreadas.

Se presentan problemas que pueden encontrarse en la vida cotidiana.

Objetivo de la secuencia

Extender el tipo de problemas que pueden resolverse por la metodología

presentada. Permite que el estudiante utilice el método presentado para mejorar

la comprensión y dominio de este, además de que al finalizar la actividad será

capaz de resolver una amplia gama de problemas relativos al cálculo de áreas de

regiones sombreadas.

Sugerencias didácticas

Para la comprensión del tema es necesario que el estudiante conozca el manejo

de diferentes sistemas de coordenadas, en este caso las polares. El instructor puede

ahondar en dicho tema antes del inicio de la sesión para que el educando

comprenda y pueda resolver en su totalidad la secuencia.

El instructor debe guiar la resolución de la actividad permitiendo que todo el grupo

participe para encontrar las respuestas que completan la actividad.

Se puede resolver grupalmente el ejemplo planteado por la actividad para que los

estudiantes vean las posibilidades que presenta el método que están estudiando.

Se recomienda que se les permita hacer un intento a los estudiantes de la

resolución del ejercicio planteado

46 | P á g i n a

Regiones circulares

El campo de futbol del equipo América, el estadio Azteca, será utilizado para un

concierto de música, se ha planeado utilizar un escenario semicircular para poner

el escenario, y enfrente de él se cubrirá el césped con una lona para que los

visitantes no dañen el césped, ¿Cuál es el área que debe tener la lona?, ¿Si se

quisiera reemplazar todo él pasto debajo de la lona, cuántos metros cuadrados se

tendrían que pedir para darle mantenimiento a esa área?

A lo largo de esta sección se desarrollarán las nociones básicas para atacar este

tipo de problemas.

Considere la región sombreada:

47 | P á g i n a

¿Cómo podemos escribir el área encerrada entre los círculos de radio � = � y

radio � = �, y los ángulos � = � y � = � en términos de integrales?

Para contestar esta pregunta intentaremos simplificar el problema.

Sabemos que el área de un círculo de radio � = � está dada por � = ���

¿Cuál sería el área de medio circulo?

¿Cuál sería el área de un sector angular de � grados de longitud?

48 | P á g i n a

¿Cuál sería el área de un sector angular de �

� de longitud? Use regla de tres:

x→ �/4

��� → 2�

�

�/4=

���

2�

�

�/4=

��

2

� =�

4(��

2)

� =���

8

Considere un sector angular entre � ≤ � ≤ � ¿Cuál sería el ángulo comprendido

en este intervalo?

49 | P á g i n a

¿Cuál sería el área del sector angular encerrada por este intervalo? Use regla de

tres:

� → � − �

��� → 2�

Se tiene entonces que el área de un sector angular (x) es igual a

� =1

2�� � ��

�

���

� =1

2� ����

�

���

Volvamos a reconsiderar la situación original

Podemos considerar la siguiente situación:

= -

= -

50 | P á g i n a

Si representamos la primera área por

� =1

2� ����

�

���

Y la segunda área por

� =1

2� ����

�

���

Entonces él área buscada está dada por

Entonces el área de la región está dada por

Á��� =1

2� ����

�

���

−1

2� ����

�

���

O bien:

Á��� =��

2� ��

�

���

−��

2� ��

�

���

Á��� = (��

2−

��

2) � ��

�

���

Á��� = � (��

2−

��

2)��

�

���

Á��� = � [ � ���] ���

���

��

����

Á��� = � � ��� ���

���

��

����

51 | P á g i n a

Ejercicio

Se desea fabricar un lente formado por la intersección de dos semicírculos de radio

de 10 cm como se muestra en la siguiente figura.

¿Cuál será el área del molde que se empleará en su fabricación?

Solución

Abrimos GeoGebra y localizamos los puntos

� = (0,0)

� = (0,10)

� = (10,0)

52 | P á g i n a

Trazamos los círculos que tienen centro en � = (0,10) y pasa por el punto � = (0,0)

y el otro circulo que tiene centro en � = (10,0) y pasa por el punto � = (0,0)

Trazamos la recta

� = �

53 | P á g i n a

Trazamos las rectas

� = 10

� = 10

� = 0. Se tiene que:

Se tiene que:

= -

54 | P á g i n a

La primera área es un sector circular con radio � = 10, que va de � =�

�� a � = 2�,

así que el área está dada por:

�� =1

2� (10)���

��

���

��

=100

2� �� = 50�2�−

3

2��= 50(

�

2)

��

���

��

= 25�

Por otra parte, la región 2 está acotada por las rectas:

� = 0

� = 10

� = 10

� = �

�� = � (10− �)�� = 10� �� − � �����

���

��

���

��

���

=

10(10− 0) − �10�

2−

0�

2�= 10(10) −

100

2= 100− 50= 50

Entonces:

� = �� − �� = 25�− 50

Por simetría se tiene que el área de la región sombreada es

Á��� = 2� = 2(25�− 50) = 50�− 100= 57.079 ��

55 | P á g i n a

El programa computacional

Guía de Navegación

Al iniciarse el programa, este presenta una ventana de bienvenida, que le indica

al alumno que está a punto de iniciar sus actividades.

Al pulsar sobre el botón verde este nos manda a una pantalla que le solicitara el

nombre al usuario.

56 | P á g i n a

Una vez ingresado el nombre, este nos dará saludará, y nos pedirá que le

indiquemos con que actividad vamos a empezar. Esta es la sección del menú

principal, es la principal pantalla de navegación del programa y nos permitirá

recorrer todas las secciones del programa.

El menú principal consta de 5 secciones, de las cuales 3 de ellas son actividades

didácticas, dichas actividades corresponden a cada una de las tres competencias

que la propuesta intenta desarrollar en el estudiante para que resuelva

exitosamente problemas de cálculo de áreas con integrales definidas.

La otra opción corresponde a un juego.

57 | P á g i n a

Y la última de ellas lanza la aplicación de GeoGebra.

Si ingresamos a la primera actividad: “Regiones triangulares”, esta nos mostrará el

objetivo de la actividad, y desde aquí nos permitirá lanzar GeoGebra ya que la

resolución de la actividad requiere su uso. Nos pedirá que confirmemos que

realizaremos la actividad.

El resto de las secciones del menú que corresponden a actividades o juegos nos

presentan solo el objetivo de estas.

58 | P á g i n a

Una vez dentro de cada actividad, este por lo general nos mostrará dos botones

en la parte inferior derecha de la actividad:

La opción de “Siguiente” nos mandará a la siguiente pregunta, y la opción de “Ir a

Resultados” dará por concluida la actividad y nos enviara a una pantalla dónde se

muestran los resultados del ejercicio realizado.

Dichas páginas de resultados contienen un enlacé hacia el Menú Principal el cual

no llevara de vuelta a la ventana de este.

59 | P á g i n a

Desde dónde podremos realizar la siguiente actividad o entrar a cualquiera de sus

secciones.

Note que en la parte inferior derecha de la pantalla el menú principal tiene dos

botones.

El primero de ellos, dice “Cambiar”, dicho botón nos servirá para ir a la pantalla

de bienvenida desde donde podremos modificar el nombre de usuario, tiene la

finalidad de volver a iniciar el programa sin necesidad de salir de él.

El segundo botón tiene la leyenda “salir” y precisamente nos servirá para salir del

programa.

60 | P á g i n a

Rutinas

La representación gráfica de regiones triangulares

Descripción de la actividad

Esta actividad consta de 10 ejercicios que se muestran de manera aleatoria,

aunque se presentaran solo 8 por intento. El ejercicio consiste en que el estudiante

con ayuda del software GeoGebra trace en un eje de coordenadas la región

presentada en la imagen, una vez trazada la imagen el alumno debe dividirla en

regiones de modo que se pueda formar una integral, tal como se muestra en los

ejemplos de la secuencia didáctica áreas triangulares. Hecho esto, el alumno debe

buscar en GeoGebra en el panel lateral izquierdo (región encerrada en rojo) las

ecuaciones correspondientes a las rectas trazadas,

61 | P á g i n a

Para continuar, el estudiante procederá a responder una pregunta de opción

múltiple que le pedirá especifique él número de subregiones que se forman y cuáles

son las rectas que las acotan.

Aunque esta sección cuente con retroalimentación inmediata, el conteo de

aciertos y errores se mostrará al finalizar la actividad. Esta sección solo tiene por

objetivo darle al estudiante y al asesor una forma de verificar el resultado de la

actividad.

Por otra parte, note que el enunciado del ejercicio da un ejemplo de problema

que puede presentarse en la vida cotidiana y para el cual podría aplicarse el

cálculo de las integrales correspondientes.

Como ayuda para que los educandos comprendan de manera clara que es lo que

les solicita la actividad, los primeros 4 ejercicios muestran en un video la solución

del problema, incluyendo el trazado de las rectas que acotan las regiones, aun así,

el estudiante debe repetir el ejercicio para determinar dichas ecuaciones.

62 | P á g i n a

A continuación, se muestra una imagen de lo presentado en el vídeo:

Objetivo de la actividad

Que el estudiante aprenda el trazado de imágenes sencillas con GeoGebra y que

identifique las rectas que acotan una región.

Sugerencias didácticas

Se recomienda que los estudiantes hayan desarrollado las secuencias didácticas

escritas previamente, por lo menos las 2 primeras de ellas. Ya que en ellas se

encuentran ejemplo del tipo de problemas presentados en esta actividad.

El educando debe observar los videos de solución de los cuatro primeros problemas

antes de proceder a intentarlos por el mismo. Pues en ellos se muestra el uso de las

herramientas de GeoGebra.

El instructor debe dar un tiempo para que los estudiantes practiquen el uso de

GeoGebra, aunque el uso de este es muy intuitivo, el educando debe familiarizarse

con el mismo.

El estudiante puede repetir varias veces la actividad, pues le presenta los elementos

necesarios para abordar los problemas planteados por la propuesta.

63 | P á g i n a

Formación de integrales

Descripción de la actividad

Esta actividad consta de 10 ejercicios presentados de manera aleatoria, los

ejercicios consisten en formar la integral que nos ayude a encontrar el área de la

región sombreada acotada por un conjunto de rectas.

El estudiante debe determinar a qué elemento de la integral pertenece cada

recta, , ecuación inferior en x, ecuación superior en x, función superior en �: g(x) y

función inferior en �: f(x), para realizar esta actividad no es necesario seguir un

orden específico en el llenado de esta, el estudiante recibe una retroalimentación

con cada intento, en caso de tener una respuesta errónea el sistema le permite

volver a intentar dar otra.

La actividad utiliza la funcionalidad de autocompletar, para poder ingresar texto

en el espacio correspondiente, en este caso las secciones señaladas en color rojo.

Además de que evalúa el desempeño del educando contabilizando el número de

aciertos y errores por problema presentado.

64 | P á g i n a

Objetivo de la actividad

La actividad busca que el estudiante sea capaz de formar integrales para su

correspondiente cálculo, si cuenta con las rectas que acotan una región triangular

sombreada. A través de la repetición de problemas similares busca que el

estudiante interiorice la metodología para formar integrales.

Sugerencias didácticas

Se sugiere que el estudiante desarrolle de manera independiente esta actividad,

pues la misma presenta todos los elementos necesarios para su resolución.

La solución del conjunto de preguntas planteadas, así como la repetición de esta

ayudara al estudiante a asimilar la metodología para formar integrales y facilitara

el análisis de las regiones de las cuales conozcan la ecuación de las rectas que la

delimitan, que lo llevara a formar integrales de forma asertiva.

65 | P á g i n a

Cálculo de Integrales

Descripción de la actividad

Esta actividad consta de 4 ejercicios diferentes, en cada problema se deben

calcular 2 integrales y por último se debe dar el área total representada por dichas

integrales, dando un total de 12 preguntas diferentes. Utiliza la función de

autocompletar para que el usuario introduzca las respuestas correctas.

Cada problema viene acompañado por un enunciado que permite que el

estudiante asocie el cálculo de las integrales a una situación de la vida cotidiana,

lo cual ayudara a la comprensión de los problemas y permite que el estudiante

pueda trasladar lo aprendido a situaciones que se presentan en la realidad.

Ejemplo:

66 | P á g i n a

Además del mencionado enunciado, cada ejercicio trae una figura que

representa las condiciones del problema a resolver.

Las integrales para resolver ya vienen enunciadas en el problema, y siguen el

formato de presentación de la secuencia didáctica, esto es, se forman

directamente a partir de las ecuaciones de las rectas que acotan el área

mencionada en el problema.

La rutina presenta ayudas para que el estudiante pueda calcular con éxito las

integrales y tiene dos modos de presentación.

El primer modo de presentación lo utiliza en las preguntas 1 a 3, donde el programa

además de dar las indicaciones correspondientes para que el estudiante pueda

resolver las integrales, enuncia las propiedades de las integrales a partir de las

67 | P á g i n a

cuales se puede concluir el siguiente paso. Estas ayudas se activan en un pequeño

pizarrón verde que aparece cuando el estudiante pulsa sobre un botón como el

siguiente:

Note que, en esta ventana, se dan las indicaciones para resolver la actividad (letras

rojas), lo cual se consigue si el estudiante pulsa sobre las letras que aparecen de

color rojo y responde con el número o la expresión algebraica correcta.

El otro modo de presentación se activa en los problemas 4 a 12, dónde el

programa, aunque presenta ayudas, estas intentan ser menores y busca que el

estudiante se centre en la resolución de los problemas de manera directa.

68 | P á g i n a

Dicha ventana presenta el pizarrón verde de área mayor para la resolución de los

problemas. El cálculo de las integrales se va efectuando de manera secuencial y

se mantienen los pasos en pantalla para que el estudiante pueda visualizar todo el

trabajo realizado en la resolución de cada problema.

De igual forma que la modalidad anterior, la resolución del problema se consigue

si el estudiante resuelve de manera correcta las operaciones aritméticas y

algebraicas, así como usa las propiedades de las integrales para completar los

espacios señalados en rojo.

69 | P á g i n a

Objetivo de la actividad

Esta actividad tiene por objetivo que el alumno interiorice el cálculo de integrales

a través de la resolución de problemas característicos que se le presentan.

Sugerencias didácticas

Esta actividad puede resolverse sin ayuda de un asesor ya que la rutina presenta

las ayudas y sugerencias necesarias para que el estudiante complete la tarea de

manera autónoma.

Es necesario que el alumno tenga conocimientos solidos de aritmética y algebra,

tal como lo establecen los requisitos para ser candidato al estudio de esta

secuencia, pues empleara en varios de los pasos presentados por la actividad esos

conocimientos, en particular usara operaciones con exponentes, resolución de

fracciones, divisiones y sumas algebraicas, así como leyes de los signos.

Dicha actividad no se presenta en formato aleatorio, ya que debido a su extensión

puede ser resuelta en dos o tres intentos y el alumno puede continuarla a partir del

problema en el cual se quedó.

Se recomienda que el alumno resuelva todos los problemas que se le presentan en

el ejercicio y al finalizar el mismo intente resolverlos con ayuda de papel y lápiz para

reforzar lo aprendido.

70 | P á g i n a

Memorama de equivalencias en Integrales

Descripción de la actividad

La actividad es el clásico juego de memorama, en el cual se deben voltear dos

tarjetas por cada tiro y verificar si estas hacen par, es un juego diseñado para un

solo jugador, y los pares a formar son equivalencias de propiedades de las

integrales. El juego contiene las 7 equivalencias más usuales que se presentan en

la resolución de problemas de cálculo de áreas de regiones triangulares.

Es una forma lúdica de familiarizarse con las propiedades básicas de las integrales

que se desarrollan a lo largo de la propuesta. Este juego contabiliza el número de

intentos que se realizaron para completar la tarea.

No tiene un límite de intentos, ni tampoco cuenta con un tiempo de resolución de

la actividad.

71 | P á g i n a

Objetivo de la actividad

Esta actividad permite que el estudiante tenga presentes las equivalencias y

propiedades más importantes que se desarrollan a lo largo de la propuesta de una

manera divertida.

Sugerencias didácticas

Esta actividad debe desarrollarla el estudiante de manera autónoma.

La repetición de esta facilitará la asimilación de los conceptos presentado y

proporcionaran al estudiante un momento de relajación que le permitirá continuar

con las actividades con interés.

El instructor puede darles un tiempo determinado para realizar la actividad si

considera que el estudiante ha superado el reto.

72 | P á g i n a

Registro de los resultados

El programa didáctico está diseñado para llevar un registro de los resultados de los

educandos, el cual se imprime una vez que el estudiante entra a la sección de

resultados de la aplicación en cada rutina. Dicho registro se almacena en el disco

duro de la computadora que este ejecutando el programa, la ruta para

encontrarlo siempre será C:\Prueba\prueba.txt. Esta carpeta se crea

automáticamente una vez iniciado el programa y la aplicación sobre escribe en el

archivo para evitar la pérdida de los datos.

Este archivo prueba.txt contiene los resultados de cada actividad, contabilizando

el número de aciertos y errores. Cada apartado se compone del nombre del

educando, el número de la actividad, la fecha y hora de realización y el número

de aciertos y errores tal y como se visualizan en las ventanas correspondientes del

programa al finalizar cada actividad.

Este archivo le permitirá al asesor o tutor un mayor control sobre las actividades y

ejercicios realizados por los estudiantes y permitirá la depuración del software si así

se amerita.

73 | P á g i n a

Capítulo 3

Protocolo de

investigación

Introducción

El presente protocolo es una guía para realizar una investigación sobre la propuesta

didáctica “La Integral definida de Riemann para funciones lineales y el área bajo

la curva”, esta propuesta presenta los conceptos y la simbología usados en el

cálculo de integrales definidas y requiere una investigación que verifique el

cumplimiento de sus objetivos, a saber, la asimilación del concepto de integral

como área bajo la curva y el cálculo de áreas de regiones triangulares. Esto

conllevará a la realización de ajustes y mejoras que permitan que la propuesta

cumpla de forma eficaz los objetivos planteados y depurar el proceso de

enseñanza-aprendizaje que ayude a los educandos en la comprensión de los

conceptos presentados en la misma

74 | P á g i n a

Justificación

La presente investigación busca conocer la eficacia de la propuesta

computacional “La integral definida de Riemann para funciones lineales y el área

bajo la curva”, lo cual llevará a la mejora de la misma y el desarrollo de las

actividades pertinentes que ayuden a mejorar el proceso de enseñanza-

aprendizaje, así como permitirá la depuración del software que se desarrolló para

la asimilación de los conceptos, así como los procesos involucrados en la

evaluación de las actividades a realizar, lo cual podría ayudar a la impartición de

este método en aulas que estén interesadas en el aprendizaje de este método de

resolución de problemas de áreas bajo la curva con el uso de integrales definidas.

Preguntas de investigación

¿Qué grado de asimilación tendrán los estudiantes del concepto de

integrales visto como área bajo la curva, si los estudiantes usan la propuesta

didáctica presentada, comparado con otro grupo de estudiantes que curso

un curso convencional?

¿La propuesta didáctica permite al estudiante resolver de forma eficaz

problemas que involucren el cálculo de áreas triangulares?

Objetivo general de la investigación

Indagar sobre el grado de asimilación de los estudiantes con el método

presentado por la propuesta didáctica para la resolución de áreas

triangulares haciendo un estudio comparativo con estudiantes que han

recibido una instrucción convencional.

75 | P á g i n a

Objetivos específicos de la investigación

Para asegurarnos de cumplir con el objetivo general de la investigación se prestará

atención a las 3 etapas para la resolución de problemas de cálculo de integrales,

tal como en la propuesta computacional, y se verifica la asimilación de estas, a

saber: representación de la región triangular, formación de las integrales y cálculo

de la integral.

Analizar la eficacia del estudiante en la representación de regiones

triangulares.

Conocer el grado de habilidad del estudiante para formar integrales.

Comprobar que el educando sea capaz de resolver integrales definidas.

Hipótesis de investigación

La propuesta computacional mejora el grado de asimilación del tema integrales

definidas de Riemman como área bajo la curva con respecto al método

convencional.

Metodología de investigación

La investigación comparará el promedio de los resultados obtenidos por dos

poblaciones de estudiantes, mediante la aplicación de un examen que se

resolverá con lápiz y papel y ayuda del ordenador para graficar, a los cuales se les

presentaran problemas que busquen conocer su habilidad en 3 áreas que son

necesarias para la resolución de problemas de cálculo de áreas bajo la curva,

76 | P á g i n a

Población

La primera población estará conformada por 16 estudiantes que estén cursando o

hayan cursado el 5 semestre de un bachillerato con sistema escolarizado y tengan

una edad entre 17 y 19 años y hallan recibido un curso convencional de Cálculo

Integral, el cual por lo general se imparte en dicho semestre del bachillerato y tiene

como antecedente un curso de Cálculo Diferencial, la selección de estudiantes

debe ser aleatoria y provenientes de la misma institución académica con el mismo

maestro.

La segunda población consistirá de 16 estudiantes entre 17 y 19 años de edad que

hayan recibido la instrucción presentada por la propuesta computacional y no

hayan recibido previamente un curso de Cálculo Integral impartido por alguna

institución académica, sin embargo dichos estudiantes deben haber sido

seleccionados para recibir la instrucción basada en la propuesta, es decir deben

contar con los conocimientos previos requeridos como son: haber tomado un curso

de álgebra general y conocer el tema de representación de ecuaciones por medio

de gráficas, la elección de estos estudiantes debe ser al azar.

Instrumento de evaluación

El instrumento de evaluación es un cuestionario de 10 preguntas que consta de las

siguientes competencias a evaluar:

Representación gráfica de la región triangular (3 ejercicios)

Formación de las integrales (3 ejercicios)

Cálculo de la integral (4 ejercicios).

Dicho cuestionario de evaluación se puede ver en el Apéndice A.

La calificación se obtendrá sumando el número de acierto de cada pregunta,

cada acierto vale un punto y el valor final será un número entre 0 y 10. El tiempo de

aplicación debe ser a lo más de 2 horas.

77 | P á g i n a

Tratamiento

Tratamiento I

El primer grupo habrá cursado un curso convencional de Cálculo Integral y se les

aplicara una prueba escrita, la cual le permitirá decidir entre el uso del software

GeoGebra u otro software de su preferencia o papel y lápiz para realizar la

representación gráfica, a los estudiantes se le aplicara el cuestionario de

evaluación.

Tratamiento II

El segundo grupo habrá recibido la instrucción basada en la propuesta

computacional y se le aplicará el mismo ejercicio de evaluación consistente de 10

preguntas dividido como se menciona en la sección Instrumento de evaluación,

solo que en su caso se le pedirá la representación gráfica por medio del uso del

software de GeoGebra.

Condiciones en las que se trabajara

Los estudiantes realizaran la prueba, cada grupo por separado, no se permitirá la

comunicación entre ellos y pueden hacer uso del ordenador y algún software para

graficar como GeoGebra u otro que se encuentre disponible en la red de Internet,

esto para el grupo 1, el grupo 2 usara el software de GeoGebra obligatoriamente.

El uso del ordenador será exclusivo para los problemas que requieren la

representación gráfica del problema, cualquier otro uso del ordenador conlleva la

cancelación de la prueba y que se seleccione otro estudiante para dicho grupo.

Cada acierto equivale a un punto en el cuestionario, no se aceptan respuestas

incompletas.

78 | P á g i n a

Variables

Número de aciertos y número de errores generados en la prueba de evaluación.

Número de aciertos y número de errores generados por los estudiantes en el

transcurso del desarrollo de las actividades en el reporte generado por el software

de instrucción propuesto para el grupo 2.

Saberes previos de los estudiantes, de ser posible conocer el desempeño

académico de los estudiantes en los cursos que sean requerimientos previos para

aplicar la instrucción y/o en el curso de Cálculo Integral para los estudiantes del

grupo 1.

Diseño estadístico

Con objeto de averiguar si existe una diferencia significativa en el desempeño de

ambos grupos de trabajo, a las pruebas realizadas por los estudiantes se les aplicará

la prueba t-student con un nivel de confianza del 95% de que efectivamente existe

una diferencia significativa.

Para realizar dicho análisis primero se comprobará la Igualdad de Varianzas

Poblacionales:

Se tiene que verificar que las varianzas poblacionales (�� ) son iguales para lo cual

se utiliza la distribución F de Fisher y la prueba para la diferencia entre dos varianzas

poblacionales, donde:

La hipótesis de investigación es:

�′�:��� ≠ ��

� las varianzas son diferentes.

Y la hipótesis nula es:

�′�: ��� = ��

� las varianzas son iguales.

79 | P á g i n a

�′� es verdadera si:

�´=��

�

��� < ����,���

= �(15,15) con � = 0.05 en una cola

Con los grados de libertad dados por:

��� = �� − 1 y ��� = �� − 1

Una vez realizada esta prueba se sigue el procedimiento de la prueba t-Student:

Si el estadístico cae dentro del intervalo dado por la distribución t-student, se

acepta la hipótesis �� en caso contrario se rechaza.

donde

con:

����� : Media muestral de la población del grupo 1.

�����: Media muestral de la población del grupo 2.

�� : El número de elementos de la población del grupo 1.

�� : El número de elementos de la población del grupo 2.

��� : La varianza de la población del grupo 1.

��� : La varianza de la población del grupo 2.

Recordemos que la media muestral se obtiene con la siguiente fórmula:

��=∑ ��

����

�

� =�����− ��

���

��̂�

��+

�

��

� =̂ �(�� − 1)��

� + (�� − 1)���

�� + �� − 2

80 | P á g i n a

Donde los �� ��� �= 1, … , 10 son las calificaciones obtenidas por cada grupo, y

además la varianza se calcula con la fórmula:

�� =∑ (��− ��)��

���

� − 1

Los grados de libertad están dados por la formula

� = �� + �� − 2

La hipótesis de trabajo �� es que el grado de aprovechamiento del grupo 2 es

mayor que el del grupo 1

��: �� < ��

Entonces probaremos la negación de ��, conocida como ��.

La negación es que el grado de aprovechamiento del grupo 1 es mayor o igual que el del grupo 2.

��:�� ≥ ��

Para realizarlo:

Se procede a calcular las medias.

Se calculan las varianzas muestrales.

Se verifica que las varianzas poblacionales (�� ) son iguales con ayuda de la

distribución F de Fisher.

Continuando con la prueba de la distribución t-student si las varianzas son iguales,

se calcula �.̂

Se calcula el estadístico �.

Se calculan los grados de libertad.

Se realiza la comparación del intervalo.

81 | P á g i n a

Ejemplo del análisis

Como un ejemplo de cómo se hace el análisis del presente estudio, se toma un

ejemplo ficticio del desarrollo de la investigación, en nuestro ejemplo se obtuvieron

las calificaciones de los dos grupos muestra que poseen las características

mencionadas previamente, después de aplicarles el instrumento de evaluación, se

obtuvieron los siguientes resultados:

Método convencional

(Grupo 1)

Propuesta computacional

(Grupo 2)

7 8

8 10

7 9

8 10

8 9

6 8

9 9

6 9

8 10

7 9

10 7

9 8

8 9

8 8

6 7

8 8

Primero calculemos la media y varianza de ambos grupos:

La media aritmética del grupo 1 es igual a:

������=

7+ 8+ 7+ 8+ 8+ 6+ 9+ 6+ 8+ 7+ 10+ 9+ 8+ 8+ 6+ 8

16=

123

16= �.����

82 | P á g i n a

Y la varianza muestral del grupo 1 es de:

��� =

(7− 7.6875)� + (8− 7.6875)�+(7− 7.6875)�+(8− 7.6875)� + (8− 7.6875)�

15+ ⋯

+ ⋯(6− 7.6875)� + (9− 7.6875)�+(6− 7.6875)�+(8− 7.6875)� + (7− 7.6875)� + (10− 7.6875)�

15+ ⋯

+ ⋯(9− 7.6875)2 + (8− 7.6875)2+(8− 7.6875)2+(6− 7.6875)2 + (8− 7.6875)2

15=

19.4375

15

��� = �.������

La media aritmética del grupo 2 es igual a:

������=

8+ 10+ 9+ 10+ 9+ 8+ 9+ 9+ 10+ 9+ 7+ 8+ 9+ 8+ 7+ 8

10=

138

16= �.���

Y la desviación estándar de este grupo es de:

��� =

(8− 8.625)� + (10− 8.625)�+(9− 8.625)�+(10− 8.625)� + (9− 8.625)�

15+ ⋯

+ ⋯(8− 8.625)� + (9− 8.625)�+(9− 8.625)�+(10− 8.625)� + (9− 8.625)� + (7− 8.75)�

15+ ⋯

+ ⋯(8− 8.625)2 + (9− 8.625)2+(8− 8.625)2+(7− 8.625)2 + (8− 8.625)2

15=

13.75

15= 0.916�

��� = �.����

Ahora veamos que las varianzas poblacionales son iguales:

La hipótesis es:

�′�:��� ≠ ��

� las varianzas son diferentes.

Y la hipótesis nula es:

�′�: ��� = ��

� las varianzas son iguales.

�′� es verdadera si:

�′ =��

�

��� < �(���, ���) con � = 0.05 en una cola

Como �� = � − 1, se tiene que:

��� = 16− 1 = 15 y ��� = 16− 1 = 15

83 | P á g i n a

De tablas sabemos que �(15,15) con � = 0.05 en una cola es de �(15,15) = 2.40

Como:

�′ =�.����� ̅

�.��� ̅= 1.4136����< 2.40

Concluimos con 95% de confiabilidad que las varianzas muestrales son iguales.

Ahora probaremos que el grado de aprovechamiento del grupo 1 es menor que el

grado de aprovechamiento del grupo 2.

La hipótesis es:

Se procede a probar la negación que es que el grado de aprovechamiento del

grupo 1 es mayor o igual que el del grupo 2.

��:�� ≥ ��

Se calcula �:̂

� =̂ �(15)(1.29583�) + (15)(0.916 )̅

16+ 16− 2= 1.0517

Y ahora calculamos el estadístico:

� =7.6875− 8.625

(1.0517)��

��+

�

��

= −2.5212

Los grados de libertad son:

� = 16+ 16− 2= 30

��: �� < �� el grado de aprovechamiento del grupo 2 es mayor que el del grupo 1.

84 | P á g i n a

Se tiene la siguiente gráfica de la distribución t-student con 30 grados de libertad

De tablas sabemos que si el estadístico t es mayor que -1.697260887 se acepta la

hipótesis ��

Como el estadístico −2.5212< −1.697260887 se rechaza la hipótesis �� y se acepta

��. Es decir, el grado de aprovechamiento del grupo 2 es mayor o igual que el del

grupo 1.

Decisión en el ejemplo del análisis

Con el 95% de confianza podemos decir que el grado de aprendizaje del grupo 2

(Propuesta computacional) es mayor que la del grupo 1 (Método convencional)

esto quiere decir que la propuesta computacional “La integral de Riemann para

funciones lineales y el área bajo la curva” tuvo éxito y es útil para ayudar a los

estudiantes a asimilar los conceptos y la simbología usada en el Cálculo Integral y

les muestra un método para el cálculo de áreas bajo la curva, es decir la propuesta

cumple los objetivos planteados.

85 | P á g i n a

Apéndice A Ejercicios de evaluación

1. Se desea pintar la parte superior de un llavero como se muestra en la figura.

Observe que es un triángulo equilátero dividido a la mitad horizontalmente.

Encuentre las rectas que delimitan la figura y sus intervalos correspondientes en el

eje x de modo que sea posible formar dos integrales que nos ayuden a calcular su

área. El vértice inferior izquierdo debe de estar en el origen.

2. Una joven piensa hacer un adorno para su falda con el diseño que se muestra

en la siguiente figura. Encuentre las rectas que delimitan las 2 regiones que se

necesitan para formar las integrales que nos ayudaran a calcular su área y los

intervalos en el eje x. Note que el segundo cuadrado esta inclinado un ángulo de

45°. El vértice inferior izquierdo del cuadrado horizontal debe estar colocado en el

origen y el punto de intersección de ambos cuadrados tiene como coordenadas

� = (4.14,10).

86 | P á g i n a

3. Una estudiante piensa hacer el siguiente diseño en una tarjeta, encuentre las

rectas que acotan las 2 regiones necesarias para formar las integrales que nos

ayudaran a encontrar el área de la figura, y los intervalos en el eje x. Note que la

diagonal principal está dividida en 3 partes iguales. El vértice inferior del rectángulo

debe estar en el origen. Las coordenadas de los puntos � y � son: � = (2.67,1) y

� = (5.33, 2)

4. Forme la integral para encontrar el área de la siguiente región:

87 | P á g i n a

7. Forme la integral para encontrar el área de la siguiente región:

5. Forme la integral para encontrar el área de la siguiente región:

7. Encuentre el valor de la siguiente integral:

�[(3� − 2) − (2� + 7)]

�

���

��

88 | P á g i n a

8. Encuentre el valor de la siguiente integral:

� [(8� + 3) − (−2� + 4)]��

�

���

9. Encuentre el valor de la siguiente integral:

� [(4� + 1) − (2� − 2)]

�

����

��

10. Encuentre el valor de la siguiente integral:

�[(4) − (4� − 8)]

�

���

��

89 | P á g i n a

Referencias Apostol, T. M. (2007). Calculus, Volumen 1, One-variable Calculus, with an

Introduction to Linear Álgebra. John Wiley & Sons.

Castillo, S. (2008). Propuesta pedagógica basada en el constructivismo para el uso

óptimo de las Tic en la enseñanaza y aprendizaje de las matemáticas.

Relime vol. 11. no. 2.

Feo, R. (2010). Orientaciones básicas para el diseño de estrategias didácticas.

Granville, W. A. (1980). Cálculo diferencial e integral. DF: Limusa.

Parra, D. M. (2003). Manual de estrategias de enseñanza/aprendizaje.

Schunk, D. H. (1997). Teorías del aprendizaje. Pearson education.

Spiegel, M. R. (1991). Estadística. McGraw-Hill Interamericana.

Wofle, C. R. (s.f.). Using Authorware Professional for developing coursewsare.

Behavior Research Methods, Instruments, & Computers.