UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ..., es la pendiente de la recta (2) b es el intersecto de la...

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ

Vicerrectorado de Investigación

MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL

TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS,

INGENIERÍA ECONÓMICA, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL,

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA NAVAL, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA AERONÁUTICA,

INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA MECÁNICA, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA DE TRANSPORTE

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

Lima – Perú

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© MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación Elaboración del TINS : Lic. José SANTA CRUZ DELGADO Diseño y Diagramación: Julia Saldaña Balandra Soporte académico : Instituto de Investigación Producción : Imprenta Grupo IDAT Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

“El presente material contiene una compilación de obras de Física General publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución.

Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

Presentación

El presente Manual está diseñado teniendo en cuenta la teoría cognoscitiva de construcción del conocimiento, tomando como base los fundamentos teóricos impartidos en aula, en el curso de Física General.

En este marco, es grato presentar a los estudiantes de Ingeniería el

presente documento académico denominado: MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL, en su primera edición.

Documento en el cual están diseñados claramente las diversas prácticas

experimentales que facilitarán la comprensión de conocimientos; dominio y manejo de equipos e instrumentos; y uso de materiales en las prácticas relacionados con los diversos tópicos que se desarrollarán en el Curso de FÍSICA GENERAL.

La metodología de desarrollo de Prácticas en los diferentes temas experimentales ha sido establecido, para estudiantes de Ingeniería; teniendo como base el aprendizaje previo de las ideas teóricas básicas.

Así mismo, como soporte didáctico se ha tomado en cuenta los textos

indicados en la referencia bibliográfica de cada Práctica de Laboratorio; para facilitar la comprensión de los temas teóricos impartidos en aulas, en interrelación con las prácticas.

Al cerrar estas líneas el reconocimiento personal al profesor José Santa

Cruz Delgado, quien con constancia, empeño pertinaz y calidad académica ha propiciado y construido el presente Manual.

Finalmente, el reconocimiento al Licenciado Richard Medina Calderón

por su apoyo en la complementación de algunos experimentos.

Lucio H. Huamán Ureta Vicerrector de Investigación

"Todo debe hacerse lo más sencillo posible, pero no más simple" ALBERT EINSTEIN

Índice

EXPERIMENTOS

ANÁLISIS DE FUNCIONES 1. Graficas de Funciones ................................................................... 09 2. Ajuste de Curvas............................................................................ 31 TEORÍA DE MEDICIONES 3. Mediciones, Cálculo de errores y su propagación ......................... 47 MECÁNICA - CINEMÁTICA 4. Movimiento Rectilíneo Uniforme .................................................... 65 5. Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado ................................... 75 6. Movimiento Compuesto – Movimiento de un Proyectil .................. 87 7. Movimiento Circular Uniforme........................................................ 97 MECÁNICA - ESTÁTICA 8. Primera Condición de Equilibrio..................................................... 107 9. Segunda Condición de Equilibrio ................................................... 121 10. Centro de Gravedad de Figuras Planas......................................... 131 TRABAJO 11. Trabajo en un Plano Inclinado........................................................ 143

ANEXOS

1. Gráficas y Análisis de Funciones ................................................... 149 2. Mediciones, Cálculo de Errores y su Propagación......................... 169 3. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado............................. 175 4. Fuerza Centrípeta .......................................................................... 181 5. Fuerza Normal y a lo largo de un Plano Inclinado ......................... 189

APÉNDICE

A: Formulario ...................................................................................... 195 B: Prefijos y Unidades ........................................................................ 203 C: Constantes Físicas......................................................................... 211 D: Datos Gráficos ............................................................................... 215 E: Uso del Software Logger Pro ......................................................... 223 F: Glosario.......................................................................................... 229

MODELO DE ESTRUCTURA DE INFORMES............................................ 233 REGLAMENTO INTERNO DEL LABORATORIO DE FÍSICA.................... 235

Manual de Laboratorio de Física General

9

ANÁLISIS DE FUNCIONES

GGrrááffiiccaass ddee FFuunncciioonneess Práctica de Laboratorio Nº 01

Tópicos Relacionados Ecuación de una recta, variable dependiente, variable independiente,

constante, pendiente de una recta, función, relación, parábola, hipérbola. 1. Objetivos

1.1 Obtener correctamente gráficas de un conjunto de datos

experimentales, realizar el análisis correspondiente y descubrir el comportamiento de un fenómeno físico a partir de estas gráficas.

1.2 Aprender el uso adecuado de los diferentes papeles gráficos: milimetrado, logarítmico y semilogarítmico.

1.3 Aprender y practicar el uso de calculadoras científicas y hojas de cálculo.

2. Equipos y Materiales

- Tres (03) hojas de papeles gráficos milimetrados. - Tres (03) hojas de papeles gráficos semilogarítmico. - Tres (03) hojas de papeles gráficos logarítmicos. - Una (01) calculadora científica (personal). - Una (01) regla 0,30 m, 1/1000 m.

3. Fundamento teórico

3.1 Tabla de Datos.- Para investigar la relación entre dos cantidades físicas en el laboratorio, debemos realizar mediciones experimentales las cuales nos proporcionarán por lo menos dos listas de números a los cuales les llamaremos datos. Estos datos se organizan en forma de tablas con sus respectivas columnas o filas y adoptan el nombre de Tabla de Datos Experimentales.

3.2 Gráficas.- La función del experimentador es descubrir la

relación que existe entre las dos columnas de una tabla de datos experimentales. Una forma conveniente de establecer


10

esta relación es mediante una representación gráfica de tales datos. Para construir una gráfica, debemos ayudarnos con un plano cartesiano donde la recta horizontal es denominada eje de abscisas y la vertical, eje de las ordenadas.

A continuación enunciaremos algunos conceptos que serán necesarios para familiarizarnos con una gráfica:

Función: Una cantidad y (variable dependiente) es función de otra cantidad x (variable independiente), si su valor se determina por el valor de la variable x. Una función se expresa matemáticamente de la forma ( )y f x= , y nos dice “ y depende de x ” o “ y es una función de x ”. Como ejemplo, tomemos el módulo de la velocidad en función del tiempo, cuya expresión sería ( )v f t= . Variables: Son las cantidades físicas que intervienen en el experimento y cuyo comportamiento se desea estudiar. Como se mencionó arriba, estas pueden ser:

Variable Independiente: Es la variable que podemos

controlar, y que podemos variar en un proceso experimental. Dos ejemplos típicos en Física son el tiempo y la masa.

Variable Dependiente: Es aquella variable cuyo valor depende del que toma la variable independiente.

Constantes: Son aquellas que toman un valor fijo, no cambian nunca durante el experimento ni en la formula o ecuación planteada. Papel gráfico milimetrado: Es un papel que en dirección horizontal y vertical, esta dividido en segmentos de 1 mm de longitud. Por su fácil uso se aplica a todas las funciones (Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación Gráfica). Papel semilogaritmico: Es un papel que en dirección vertical esta dividido en segmentos de escala logarítmica y en dirección horizontal esta dividido en escala milimétrica (Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación


11

Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están relacionados por una función de tipo Exponencial:

Papel logarítmico: Es un papel que en dirección horizontal y vertical está dividido en segmentos en escala logarítmica con la particularidad de que cada segmento esta en una proporción de orden 10 con respecto al segmento anterior (Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación Gráfica). Este tipo de papel es útil cuando x e y están relacionados por una función de tipo Potencial:

3.3 Pasos a seguir para construir una gráfica

3.3.1 Seleccionar y denominar las escalas y

coordenadas adecuadas Ubicaremos las variables dependientes paralelos al eje Y y las variables independientes paralelos al eje X. Escogemos una escala de modo que un cuadro sea múltiplo de 1, 2, 5, 10 (puede ser de 4) unidades de manera que la gráfica se lea con facilidad. Dibujamos las escalas a uno o dos cuadros del margen de cada eje y enumeramos las escalas de manera que la curva resultante no este confinada a un área pequeña de la grafica. No es esencial que la gráfica contenga el punto ( 0 , 0 ). Por ejemplo puede comenzar desde el punto ( 0 , 8 ), pero si debe estar ubicado y escrito este punto en la grafica. La división más pequeña de la grafica debe ser menor o igual al límite de error de los puntos que se localice. Marque las coordenadas de cada eje. Asigne magnitudes y unidades. No marcar todos los cuadros. Marcar cada 2, 4 ó 5 (cinco es recomendado).


12

T (ºC)

t (min)

Calor latente de fusiónTemperatura en función del tiempo

1 mm = 2 s

Escalas

Eje Y:

Eje X:

R. Medina 13/06/06

40 + + + +

+

+

+

12108 14

+

1 mm = 2 ºC

5

10

64 16

+

+

++

+ +

02

30

35

15

20

25

Figura Nº 1: Ejemplo de grafica del experimento de calor latente de fusión

3.3.2 Localizar los puntos que representan los datos en el papel gráfico.

Se deben localizar los puntos determinados experimentalmente usando líneas horizontales y verticales en la forma de un signo “+”, que permite considerar una coordenada cada vez. Si trazamos mas de una curva en un papel gráfico, se deben usar diferentes símbolos (líneas “+”, puntos, etc.) para cada grafica diferente y si es posible, usar diferentes colores. Hacer una Leyenda respectiva.

GRAFICA Nº 1:


13

3.3.3 Ajustar la curva entre los puntos (se verá en el siguiente laboratorio). (Ver Anexo Nº1: Modelo de Papeles – Comparación Gráfica)

3.3.4 Preparar el título y la descripción del gráfico. El titulo se debe colocar dentro del margen del papel gráfico en una posición que no interfiera con la curva. El titulo debe incluir una descripción minuciosa del propósito de la grafica, además deben estar enumeradas correlativamente. El contenido exacto de la descripción depende de las políticas del docente o departamento. (Como ejemplo, ver Figura Nº2)

3.4 Principales Funciones

3.4.1 Función Lineal: Una función es lineal cuando la variable independiente aparece elevada a la primera potencia, se representa en la forma:

y m x b= ⋅ + (1)

ymx

Δ=

Δ, es la pendiente de la recta (2)

b es el intersecto de la recta con el eje y cuando 0x = 3.4.2 Función Cuadrática: Una función es cuadrática cuando la variable independiente esta elevada al cuadrado, se representa de la siguiente manera:

2y a bx cx= + + (3)

, , a b c : Constantes.


14

Figura Nº 2: Función lineal

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tiempo (s)

espa

cio

(m)

Δe = 35 m

Δt = 10 s

GRAFICA Nº 2: Movimiento Rectilíneo Uniforme

Escala: tiempo (s) : 1 cm < > 2 s espacio (m) : 1 cm < > 5 m

b

Donde: m = 3.5 b = 4.6


15

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

Figura Nº 3: Función Cuadrática

Un ejemplo de Función Cuadrática es el descrito por la trayectoria del movimiento de proyectiles En la Figura Nº 4 se muestra un caso especial de la ecuación (3), cuando 0a = , 0b = y c es una

GRAFICA Nº 3: Curva Parabólica (Función Cuadrática)

Y = 2 – X + 2 X2

Donde: a = 2 b = -1 c = 2

Escala: X (u1) : 1 cm < > 1 u1 Y (u2) : 1 cm < > 5 u2


16

constante, entonces la ecuación (3) es equivalente a la función ny kx= , cuando n=2 y k c=

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20 25 30

tiempo ( s )

espa

cio

( cm

)

Figura Nº 4: Función Cuadrática - Potencial

Un ejemplo de Función Cuadrática - Potencial es el descrito por un móvil con Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, cuando el móvil tiene una velocidad inicial igual a

GRAFICA Nº 4: Curva Parabólica (Función Cuadrática - Potencial)

e = 1.2 t2

Donde: a = 0 b = 0 c = 1.2

Escala: x = t (s) : 1 cm < > 5 s y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm


17

cero y parte del origen de coordenadas, es decir : 2

2ay x= ⋅ , donde a es la aceleración del móvil.

3.4.3 Función Potencial: En este tipo de función x esta elevado a una exponente constante. Se representa de la siguiente manera:

ny kx= (4) Justificación: Tomando logaritmos a ambos lados de

ny kx= obtenemos: ( )log log logy k n x= + ⋅ (5)

Haciendo un cambio de variable logY y= , logX x= y logB k=

De (5) obtenemos una relación lineal:

Y B n X= + ⋅ (6)

Si graficamos Y vs X obtendremos una recta con pendiente n . La pendiente puede ser positiva o negativa y no necesita ser un entero. Para evitar tomar logaritmos a la función, es de utilidad el papel gráfico log-log (logarítmico), donde al graficar allí cualquier conjunto de datos o función de la forma ny kx= , obtendremos una línea recta como curva trazada y calcularíamos la pendiente y la intersección como si estuviésemos trabajando con un papel grafico milimetrado. (Ver Figura Nº 4 y 5)


18

1

10

100

1000

1 10 100

tiempo (s)

espa

cio

(cm

)

Figura Nº 5 : Función Cuadrática en papel grafico log-log (Logarítmico)

Observación: Para calcular la pendiente se escogen dos puntos sobre la recta y evaluando es:

12

12

loglogloglog

xxyyn

−−

= (7)

GRAFICA Nº 5: Función Cuadrática - Potencial


19

con (x1 , x2), (y1 , y2) leídos directamente sobre el papel logarítmico. El intercepto de la recta es ( )logB k= se lee directamente sobre el papel logarítmico 3.4.4 Función Exponencial: Una función es exponencial cuando la variable independiente aparece como exponente de algún numero:

0bxy y e= (8)

En la ecuación (8) e es la base de los logaritmos neperianos y su valor es 2.7182818284590452353602874713527 aproximadamente, b es una constante. Si la constante b es positiva, entonces la concavidad de la parábola depende del signo de x . Para la Figura Nº 6, estamos viendo un decrecimiento exponencial, en este caso el signo de x es negativo. Si los valores para x son positivos, entonces la concavidad de la parábola depende del signo de la constante b. Para la Figura Nº 6, estamos viendo un decrecimiento exponencial, en este caso el signo de b es negativo. La función exponencial tiene la propiedad siguiente:

dy b ydx

= ⋅ (9)

Cualquier múltiplo constante de la función exponencial

bxe tiene la propiedad de que su tasa de crecimiento es b veces la función misma. Para intervalos xΔ largos, la ecuación (9) implica:

y b yx

Δ= ⋅

Δ (10)


20

Si el signo de x es negativo estaremos tratando con un decaimiento exponencial y la ecuación (8) adopta la siguiente forma:

0b xy y e − ⋅= (11)

Un tipo especial de papel hace que el análisis de crecimiento y decrecimiento exponencial sea mucho más simple (papel semilogaritmico).


21

Figura Nº 6 : Función Exponencial – Decreciente (Papel milimetrado)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo (horas)

Act

ivid

ad (%

)

GRAFICA Nº 6: Desintegración Radiactiva del Cesio 137

A(t) = 100 e-0.5 t

Escala: X = t (s) : 1 cm < > 1 h y = A (%) : 1 cm < > 10 %

Donde: yo = 100 b = -0.5


22

Justificación: Si tomamos logaritmos decimal a la ecuación (8), obtendremos: ( ) ( ) ( )0log log logy y bx e= + (12) Haciendo un cambio de variables: logY y= , ( )0logB y= y ( ). logm b e= , la ecuación (12) toma la siguiente forma: .Y B m x= + (13) El grafico de Y vs. x es una línea recta con pendiente positiva si b es positiva, y pendiente negativa si b es negativa.


23

1

10

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo (horas)

Act

ivid

ad (%

)

Figura Nº 7 : Función Exponencial – Decreciente graficado en papel semilogaritmico, observar que el resultado es una función lineal.

GRAFICA Nº 7: Desintegración Radiactiva del Cesio 137 (papel Semilogaritmico)

Escala: X = t (s) : 1 cm < > 1 h


24

Existe un papel grafico especial (papel semilogaritmico) en la cual, el eje vertical es graduado en forma logarítmica (potencias de 10), el eje Horizontal esta graduada en forma decimal (milimetrada). La curva puede ser trazada sin tener que calcular ningún logaritmo a los datos. En dicho papel ya se puede calcular la pendiente y la constante de la ecuación (13) cuando la grafica es recta. Luego, se puede calcular yo y b de la ecuación (8) de la siguiente manera:

0 10By = y

logmb

e=

(14)

Observación: cuando una tabla de datos de parejas (x, y) se gráfica en papel semilogarítmico, se localiza la pareja de puntos sobre el papel, sin previamente calcular el logaritmo de "y" pues el papel semilogarítmico lo hace de modo gráfico y lo que aparece graficado es (x , Log(y)) como par ordenado. En este papel el eje horizontal corresponde a una escala milimetrada y el eje vertical a una escala logarítmica. Si la escala logarítmica se repite el papel se llama de dos ciclos. Los valores en esta escala se enumeran de tal forma que cada ciclo debe terminar en un número 10 veces mayor que el anterior, es decir, si el primer ciclo empieza en 10, debe terminar en 100, el segundo empieza en 100 y termina en 1000. El número de ciclos necesario estará dado por el número de potencias de 10 que abarquen los valores de "y" El valor de la pendiente m en el papel semilogarítmico se calcula escogiendo dos puntos (x1. Logy1 ), (x2, Logy2) por donde pase la recta, y evaluando es:

12

12 loglogxx

yym

−−

=

(15)

El intercepto de la recta es ( )0logB y= .


25

4. Procedimiento Se graficarán y analizarán los resultados de tres experimentos: 4.1 La posición de un automóvil que baja por la pendiente de

una colina fue observada en diferentes tiempos y los resultados se resumen en la siguiente tabla: Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en línea recta a velocidad constante en función del tiempo expresado en segundos.

Tabla N° 1

4.2 Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en línea recta con aceleración constante en función del tiempo expresado en segundos.

Tabla N° 2

t (s) e (m) 1,0 1,00 2,2 4,84 3,4 11,56 4,4 19,36 5,9 34,81 7,1 50,41

t ( s ) e ( m ) 1.1 8.45 2.9 14.75 4.1 18.95 6.6 27.70 8.0 32.60 9.8 38.90

10.5 41.35 12.1 46.95 13.9 53.25 15.5 58.85


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4.3 Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día uno se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos. Los porcentajes de la muestra sin desintegrar, para distintos días se muestran en la tabla Nº 3.

Tabla N° 3

t (días) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (t) % 83 69 57 47 39 32 27 22 18 15

A partir de los datos anteriores, realice lo siguiente graficas:

I. En papel milimetrado los valores de las Tablas N° 1,

N°2 y N°3. II. En papel logarítmico los valores de las Tablas N° 1, N°2

y N°3. III. En papel semilogaritmico los valores de las Tablas N°

1, N°2 y N°3. 5. Cuestionario

5.1 Usando las gráficas obtenidas en el paso 1 del procedimiento, halle la pendiente y el ángulo de inclinación de las graficas lineales de los diferentes papeles. Use las ecuaciones (2), (7) y (15) respectivamente. (use calculadora científica para ello).

5.2 Según la tabla N° 3: ¿Cuántos núcleos habían al inicio (día

cero)? y ¿Cuántos núcleos quedarán por desintegrar el día N° 7?

5.3 Calcule el valor de E paso a paso para cada factor;

Primero: realizar el cálculo para cada factor con aproximación a centésima (use las reglas de redondeo, Ver Anexo Nº2). Segundo: realizar el cálculo para cada factor con todos los decimales que pueda dar la calculadora que esta usando.


27

( ) ( )( )

3 2ln 1000 log arcos 0.25 .( 37 )

.arctan 10

e senE

π

⋅ ⋅ − °=

5.4 Investigue datos experimentales cuya grafica describa una

línea recta y grafíquelas en papel milimetrado. Adicionalmente grafique estos datos usando el software Logger Pro del laboratorio de física.

5.5 Investigue datos experimentales cuya grafica describa una

curva parabólica y grafíquelas en papel milimetrado. Adicionalmente grafique estos datos usando el software Logger Pro del laboratorio de física.

5.6 Busque información sobre la existencia de otros papeles,

además del milimetrado , logarítmico y semilogaritmico 5.7 ¿Cuáles son las características de una función?, explique. 5.8 como aplicaría este tema en su carrera profesional?

6. Observaciones

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - -

7. Conclusiones

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


28

8. Sugerencias

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9. Referencias

9.1 Problemas y ejercicios de análisis matemático, B. Demidovich, Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7 – 19.

9.2 Tópicos de Cálculo I, M. Mittac & L. Toro, ed. “San Marcos”,

Lima, Perú, 1990 Cap. 2, pág. 47-100. 9.3 Intermediate Physics for Medicine and Biology, R. K. Hobbie, 2

ed., John Wiley & Sons, 1988, Minneapolis, Minnesota, USA, Ch. 2, Pg., 28-39.

"Una gráfica puede decir más que mil palabras."

ANONIMO


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Figura Nº 8: Formas de Relieve y Curvas de Nivel. Las Curvas de Nivel dan información de altitudes. Su configuración nos da información muy precisa de su relieve. Se debe observar que: a) Las curvas de nivel mas próximas al centro significan declives mas elevados, mientras que las curvas de nivel más alejadas significan zonas de pendientes más suaves; b) Las curvas de nivel concéntricos con las montañas más altas en el centro representan colinas, si se esta mas alejado del centro, tenemos una zona deprimida. El ejemplo de la figura se tiene dos montañas con formas muy diferentes. La derecha tiene mayores altitudes; se señala en la parte superior, el aumento de pistas y cierta asimetría. La parte superior de la izquierda tiene una forma más redondeada, menor altitud, pero aún en presencia de un alivio asimétrico: hay una diferencia de pistas entre las dos montañas.


31

ANÁLISIS DE FUNCIONES

AAjjuussttee ddee ccuurrvvaass Práctica de Laboratorio Nº 02

Tópicos Relacionados

Métodos de mínimos cuadrados, matrices y determinantes, asíntotas,

interpolación, extrapolación, sumatorias.

1. Objetivos

1.1 Encontrar la función matemática que relaciona a dos cantidades físicas medidas experimentalmente.

1.2 Hacer uso de la técnica de linealización por el método de mínimos cuadrados.

1.3 Predecir resultados haciendo interpolaciones y extrapolaciones a la ecuación de ajuste calculada.

2. Equipos y materiales

- Seis (06) hojas milimetradas. - Un (01) lápiz de carbón N°2 - Una (01) regla de 30 cm. - Una (01) Calculadora Científica (personal).


En el estudio de los fenómenos físicos nos encontramos con muchas variables, que intervienen en dicho proceso lo cual es muy complejo analizarlo simultáneamente. Para facilitar el análisis elegimos dos de estas variables, el conjunto de datos obtenidos, se organizan en una tabla. A partir de estos datos graficar y establecer la función que mejor se ajusta al conjunto de valores medidos, estos pueden ser lineales, exponenciales, logarítmicos, etc. Como se observa a continuación:


32

Figura. Nº 1: Función Lineal

Figura. Nº 2: Función Parabólica

Figura. Nº 3: Función Exponencial

3.1 AJUSTE DE CURVAS.- consiste en determinar la relación matemática que mejor se aproxima a los resultados del fenómeno medido. Para realizar el ajuste, primero elegimos la función a la que se aproxime la distribución de puntos graficados (datos obtenidos). Entre las principales funciones:

a) Función Lineal : y b m x= + ⋅ b) Función Parabólica o cuadrática : 2y a b x c x= + ⋅ + ⋅

c) Función Cúbica : 2 3y a b x c x d x= + ⋅ + ⋅ + ⋅

d) Función Polinomial : 20 1 2n

ny a a x a x a x= + ⋅ + ⋅ + + ⋅

e) Función exponencial : xy A B= ⋅

f) Función Potencial : By A x= ⋅

g) Función Elíptica : 2 2

2 2 1x ya b

+ =

h) Función Hiperbólica : 2 2

2 2 1x ya b

− =

i) Otras.

En todas estas expresiones x e y representan variables,

mientras que las otras letras denotan constantes o parámetros

a determinar.

X

Y

X

Y

X

Y


33

Una vez elegida la función se determina las constantes de tal

manera que particularicen la curva de los fenómenos observado.

3.2 Consideraciones previas.- Los datos obtenidos en el proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas así formadas no informan acerca del tipo de relación existente entre una magnitud y la otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados.

a) Se grafican en papel milimetrado los valores de la tabla. b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvas

conocidas. Habiendo logrado identificar la forma de la distribución de los puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas mediante el método de mínimos cuadrados y para datos cuya tendencia sea una línea recta se puede usar también el método grafico. Actualmente se puede realizar el ajuste de la distribución de puntos (datos experimentales) mediante programas de cómputo como Excel, MathLab, origin, etc, por ejemplo, que facilitan el trabajo. En el Laboratorio de Física disponemos del software para el procesamiento de datos y graficas Logger Pro.

3.3 Método de los mínimos cuadrados.-

Considerando los valores experimentales (X1 , Y1), (X2 , Y2), . . . ,

(Xa , Ya) la idea es construir una función F(x) de manera que

minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones (ver

Figura. Nº 4), es decir:

S = D12 + D22 + D32 + . . . + Dn2 sea un número mínimo.

Nota:

- Si se considera que S = 0, es decir D1 = D2 = . . . . = Dn = 0 se tendría que F(x) pasa por todos los puntos experimentales.

- Un buen ajuste de curvas permite hacer buenas extrapolaciones en cierto intervalo fuera del rango de los

valores medidos.


34

Figura Nº 4: Desviaciones en un ajuste de mínimos cuadrados

3.4 AJUSTE DE CURVA LINEAL

- Método Geométrico

Una función es lineal cuando las variables aparecen elevadas

solo a la primera potencia.

Una función lineal que relacione “x” con “y” se representa

algebraicamente como:

y b m x= + ⋅ (1) Donde “b” y “m” son constantes.

Figura Nº 5: Función ajustada geométricamente

X1 X2 X3 X4

Y2

Y1

Y3

Yn

D3

D2D1

Y

Y2

Y1

ΔY

ΔX

X1 X2 X

b


35

En la figura Nº 5 se muestra una gráfica de los valores de “X” e

“Y” que satisfacen la ecuación. La constante “b” es la ordenada.

La constante “m” es la pendiente de la recta.

Donde: b resulta de la intersección de la recta con la

ordenada

ymx

Δ=Δ (2)

ΔX = X2 – X1 ΔY = Y2 – Y1

- Recta Mínima Cuadrática

La recta mínima cuadrática que ajusta el conjunto de puntos:

(X1 , Y1) , (X2 , Y2) , . . . , (Xn , Yn) tiene por ecuación:

y b m x= + ⋅ (3)

Donde las constantes a y b se determinan resolviendo las dos siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales.

∑∑ += ii XmbNY , (4) ∑ ∑ ∑+= 2iiii XmXbYX (5)

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

( )

( )2 2i i i i

i i

n x y x ym

n x x−

=−

∑ ∑ ∑∑ ∑ (6)

( )2i i i i i

2 2i i

x y x x yb

n x x−

=−

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ (7)

Para mayor comprensión se construye la siguiente tabla:


36

TABLA N° 1: Tabla de datos

i ix iy i ix y⋅ 2ix 1 1x 1y 1 1x y⋅ 21x 2 2x 2y 2 2x y⋅ 22x

n

nx

ny

n nx y⋅

2nx

n∑ ix∑ iy∑ i ix y⋅∑ 2ix∑ Y luego procederemos a calcular las sumatorias para cada columna de datos. Finalmente usaremos la ecuación de ajuste (6) y (7) respectivamente.

Ejemplo Nº 1: Dado los siguientes datos, realice el ajuste por el

método de mínimos cuadrados (1,2); (2,3); (5,5); (6,5); (7,6);

(8,7) y (12,9).

Solución: Construyamos la siguiente tabla de datos:

TABLA N° 2: Tabla de datos Experimentales X Y X . Y X2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

∑Xi= 41 ∑Yi= 37 ∑YiXi = 269 ∑ Xi2 = 323


37

N (número de datos) = 7

Obteniendo :

∑ ∑ ∑ ∑ ==== 323 ,269 ,37 ,41 2iiiii XYXYX

Reemplazando estos resultados en las ecuaciones 4 y

resolviendo el sistema se tiene:

a = 1,590 b = 0,631

Por lo tanto la recta tiene por ecuación: F (x)=Y=1,590 + 0,631 X

Al extrapolar (extender la gráfica a ambos lados), es posible

determinar los valores de Y para X cercanos y externos al

intervalo de valores medidos (Ver Figura. Nº 6).

Figura Nº 6: Función ajustada por mínimos cuadrados

3.5 AJUSTE DE UNA CURVA NO LINEAL

- Parábola Mínima Cuadrática.- Para este caso el ajuste se hará

a una función parabólica.

F(x) = Y = a + b X + c X2 (8)

10 --9 --8 --7 --6 --5 --4 --3 --2 --1 --0 .

0 2 4 6 8 10 12 14X

Y


38

Para obtener las ecuaciones normales que permitan calcular los

coeficientes a, b y c se procede de manera similar que para el

caso de la recta mínimo cuadrático, tratando que:

S = D12 + D22 + D32 + . . . + Dn2 tome el valor mínimo.

Así resulta:

∑∑∑ ++= 2 iii XcXbaNY (9)

∑∑ ∑ ∑ ++= 32 iiiii XcXbXaYX (10)

∑∑ ∑ ∑ ++= 4322 iiiii XcXbXaYX (11)

Las constantes a, b y c se obtiene resolviendo las ecuaciones 9,

10 y 11.

- Función Potencial: Una función potencial es de la forma:

BY A X= ⋅ (12)

Podríamos linealizar esta función aplicando logaritmos a ambos

lados y obtener:

log log logY A B X= + ⋅ (13)

Y si reemplazamos:

logy Y= , b B= , logx X= y loga A= (14)

Obtenemos la ecuación de la recta y a b x= + ⋅ , la cual tratada como en las ecuaciones (6) y (7) resulta en:


39

( )( ) ( )

2

22

log log (log log ) log

log log

X Y X Y Xa

n X X

⋅ − ⋅ ⋅=

⋅ −

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

(15)

( ) ( )( ) ( )22

(log log ) log log

log log

n X Y X Yb

n X X

⋅ ⋅ − ⋅=

⋅ −

∑ ∑ ∑∑ ∑

(16)

- Función Exponencial: Una función exponencial es de la forma:

Y = ABX ó Y = A eBX (17)

Para linealizar podemos tomar logaritmos decimales.

A) Sea Y = ABX se toma logaritmos decimales

log Y = log A + (log B) X (18)

Haciendo las equivalencias siguientes:

y = log Y a = log A b = log B x = X (19)

Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las

ecuaciones (6) y (7)

B) Sea Y = A eBX se toma logaritmo natural (*)

InY = InA + BX (20) Ahora las equivalencias son las siguientes:

y = InY a = InA b = B x = X (21)

Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las

ecuaciones (6) y (7)


40

Obs: El papel logarítmico (escala en potencias de 10) esta

relacionado con las funciones logarítmicas decimales, con

lo cual, en el item B) aplicando la función logarítmico

natural a la ecuación Y = A eBX para la linealizacion no

seria apropiada graficarla en papel logarítmico.

Ejemplo Nº 2: Realizar el ajuste a una parábola por

mínimos cuadrados para los siguientes datos

experimentales: (1,5 , 3); (3,49 , 7,1); (4,8 , 9,5); (6 , 12);

(7,14 , 11,8); (8,2 ,10,8); (9,1 , 10,3). Los cálculos

necesarios para expresar las ecuaciones normales se

disponen en la siguiente tabla:

TABLA N° 3: Tratamiento de datos X Y XY X2 X2Y X3 X4

1,50 3,00 4,50 2,25 6,75 3,37 5,06

3,49 7,10 24,78 12,18 86,48 42,51 148,35

4,80 9,50 45,60 23,04 218,88 110,59 530,84

6,00 12,00 72,00 36,00 432,00 216,00 1296,00

7,14 11,80 84,25 50,98 601,56 363,99 2598,92

8,20 10,80 88,56 67,24 726,19 551,37 4521,22

9,10 10,30 93,73 82,81 852,94 753,57 6857,50

=∑ iX 40,23

=∑ iY 64,50

=∑ iiYX 413,42

=∑ 2iX 274,50

=∑ ii YX 2 2924,80

=∑ 3iX 2041,41

=∑ 4iX 15957,89

Reemplazando en las ecuaciones 9,10 y 11 se tiene:

64,50 = a 7 + b 40,23 + c 274,50

413,42 = a 40,23 + b 274,50 + c 2041,41

2924,80 = a 274,50 + b 2041,41 + c 15957,89


41

Al resolver las ecuaciones obtenemos:

a = - 2,67 b = 3,96 c = - 0,28

Con estos valores, la ecuación de la parábola mínima cuadrática

será:

F(x) = - 2,67 + 3,96 x – 0,28 X2

Lo cual se muestra en la figura Nº 7

Figura Nº 7: Función cuadrática ajustada

4. Procedimiento

Se analizarán los resultados de tres experimentos: 4.1 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X. 4.2 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X.

14 --

12 --

10 --

8 --

6 --

4 --

2 --

0 . 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

X

Y


42

Tabla N° 4 Tabla N° 5

X Y X Y

1,0 2,5 -6,1 42,5 2,3 6,4 -5,4 31,3 3,6 9,0 -4,2 17,6 4,9 13,4 -2,8 6,4 6,2 18,0 -2,8 6,4 7,5 20,3 -1,7 3,0 8,8 22,0 -0,6 0,8

10,1 25,1 0,5 0,7 11,4 31,0 1,6 2,2 12,7 32,2 2,7 7,9

3,8 15,1 4,8 24,0 6,0 41,0

A partir de los datos anteriores realice lo siguiente: I. Grafique en papel milimetrado los valores de la Tabla N° 4 y de

la Tabla N° 5. II. Usando el método de mínimos cuadrados halle la función que

mejor se ajuste al conjunto de datos mostrado en la tabla N° 4 y en la tabla N° 5.

III. De la tabla Nº 3 del paso 4.3 del experimento Nº 1 titulado:

“Grafica de funciones”, ajuste la grafica trazada usando mínimos cuadrados (Ojo esta función es exponencial decreciente).

Obs: No se olvide de colocar en las graficas las unidades, las escalas y las graduaciones.

5. Cuestionario.-

5.1 ¿Qué entiende usted por desviación en el ajuste de una curva? 5.2 Comprobar sus resultados usando el Software Logger Pro.


43

5.3 Que otro tipo de ajustes de datos experimentales existe, de algunos ejemplos

5.4 Investigue datos de algunos experimentos que pueden ser

ajustados a una recta, una parábola y una exponencial, y hacer el respectivo ajuste por Mínimos Cuadrados.

5.5 como aplicaría este tema en su carrera profesional?

6. Observaciones.-

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7. Conclusiones.-

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8. Sugerencias.-

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


44

9. Referencias bibliográficas.-

9.1 Problemas y ejercicios de análisis matemático, B. Demidovich, Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7 – 19.

9.2 Tópicos de Cálculo I, Máximo Mittac & Luis Toro, IMPOFOT, Lima,

Perú, 1990 Cap. 1 9.3 Teoría y problemas de Estadística, Murray R. Spiegel, McGraw

Hill, México D.F., México, 1982, Cap. 13, Pág. 217 - 240. "La vida humana representa, la mayor parte de las veces, una ecuación entre el pasado y el futuro."

José Ingenieros


45

Figura Nº 8: Fractales; Son una categoría de aproximación a un cuerpo o evento para entender su naturaleza y dinámica. Los cuerpos “fractales” están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos. Su origen, latín "fractus”, es reciente, lo propuso el matemático francés Benoit Mandelbrot en 1975, pero el concepto era conocido dentro de teoría de sistemas. Como aproximación matemática consiste en crear “fragmentos irregulares” representados en sistemas de ecuaciones parametrizados que poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo, pero son curvas no derivables por ser infinitamente fracturadas. Desde la perspectiva geométrica, un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas.


47

MEDICIONES

MMeeddiicciioonneess,, ccaallccuulloo ddee eerrrroorreess yy ssuu pprrooppaaggaacciióónn

Práctica de Laboratorio Nº 03

Tópicos relacionados

Aproximación, incertidumbre, error, medición, vernier, micrómetro, longitud,

tiempo, masa, calibración, balanza de precisión, Precisión, Exactitud.

1. Objetivos

1.1 Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el resultado de una medida realizada.

1.2 Reconocer los diferentes tipos de error que existen y evaluar el error sistemático para cada tipo de medición.

1.3 Desarrollar una conciencia del “error” como algo ineludible asociado a las mediciones hechas notando que los errores

siempre estarán presentes en los procesos de medición.

1.4 Aprender a calcular el error propagado y el resultado de una medición indirecta.

2 Equipos y materiales

- Un (01) paralelepípedo de madera - Una (01) canica de vidrio o porcelana - Un (01) cilindro de aluminio - Una (01) regla graduada, 1m, 1/1000 m - Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.05mm. - Un (01) calibrador vernier, 150 X 0.02mm. - Un (01) Modelo de Nonio (1/10 mm) de madera. - Un (01) Cronómetro, 11 h, 59 m, 59 s, 1/100 s - Un (01) Micrómetro, 25*1mm/0.5mm


48

3 Fundamento teórico

La FISICA es una ciencia que se basa en la capacidad de observación y experimentación del mundo que nos rodea. La superación de los detalles prácticos que hacían difícil la medición precisa de alguna magnitud física, dio lugar a los avances en la historia de esta Ciencia.

Por ejemplo; cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro, y cuando están juntos, algo de energía o “calor” se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando por resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo, afectando así, a la misma cantidad que deseamos medir. Además todas las mediciones son afectadas en algún grado por errores experimentales debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida (errores sistemáticos), o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos (errores personales), que deben registrar la información o dato.

Por eso cuando un investigador tecnológico y científico diseña su técnica de medición procura que la perturbación de la cantidad a medirse sea más pequeña que el error experimental. 3.1 MEDICIÓN

Técnica que se utiliza para determinar el valor numérico de una propiedad física comparándola con una cantidad patrón que se ha adoptado como unidad. La mayoría de las mediciones efectuadas en laboratorio se relacionan con magnitudes como longitud, masa, tiempo, ángulo o voltaje. En todo proceso de medición se debe tener en cuenta lo siguiente:

a. El objeto o fenómeno cuyas dimensiones se requieren medir. b. El instrumento de medición (ejm: regla milimétrica, cronómetro,

probeta). c. La unidad de medida, el cual está incluida en el instrumento de

medición (mm, s, ml).

Obs: A veces es necesario especificar las direcciones de ciertas magnitudes vectoriales y tensoriales.


49

EXPRESIÓN GENERAL DE LA MEDICIÓN:

- Cuando se realiza una sola medición, el resultado lo podemos expresar:

XXX Δ±= 0 (1) - Donde X0 es el valor leído en el instrumento y ΔX es el error

absoluto (por ejemplo se obtiene tomando la mitad de la lectura mínima que se puede hacer con el instrumento, aproximación o precisión del instrumento).

2

lmX =Δ (2) - Si se realiza varias veces la medición, el resultado se puede

expresar

dXXX ±= (3)

- Donde X es el valor probable dado por la media aritmética de las mediciones y dX es el promedio de las desviaciones o errores.

3.2 TIPO DE MEDICIONES

Medición Directa: Es la que se obtiene directamente por observación al hacer la comparación del objeto con el instrumento de medición o patrón. Ejemplo: La determinación del volumen de un objeto, usaremos la probeta graduada; la evaluación del tiempo de caída de una moneda al piso desde una altura dada, con el cronómetro; etc. Medición Indirecta: Es aquella que se obtiene como resultado de usar fórmulas matemáticas y cantidades físicas derivadas que son función de una serie de medidas directas. Ejemplo Para hallar la velocidad, mediante la fórmula v = x / t donde x es el espacio o longitud recorrido por el móvil y t es el tiempo transcurrido.


50

Figura Nº 1: Calibrador Vernier o Pie de Rey

3.3 EXACTITUD Y PRECISION DE UNA MEDICION

Todo experimento debe planearse de manera que siempre dé la información deseada y que la distinga de todas las otras posibles. Por lo tanto deberá cuidarse de la exactitud y/o precisión aceptable de los datos. EXACTITUD: La exactitud indica el grado en que los datos experimentales se acercan a los correspondientes valores absolutos o considerados verdaderos idealmente. La exactitud describe la veracidad de un resultado experimental. Estrictamente hablando el único tipo de medición totalmente exacto es el contar objetos. Todas las demás mediciones contienen errores y expresan una aproximación de la realidad. PRECISION: La precisión expresa el grado con que un valor experimental puede reproducirse en experimentos repetidos, es decir, cuan cerca esta del valor medio del conjunto de sus medidas. En los instrumentos la precisión se puede determinar por la mínima medida con que se puede llevar a cabo la medición, es decir, es la aproximación del mismo, y esto representa la calidad del instrumento, por cuanto la medición que hagamos con dicho instrumento, poseerá muy poco error experimental, siendo en consecuencia el resultado una medición de alta precisión.


51

3.4 TEORÍA DE ERRORES ERROR: Se determina mediante la diferencia entre el valor de una medición y el valor esperado que lo consideramos verdadero o ideal cualitativamente. También se llama incertidumbre, la cual se puede expresar de diversas maneras, siendo las más usuales: la desviación estándar, la desviación promedio, etc. Clases de error Errores sistemáticos: Estos son determinables y corregibles si se sabe bien la física del proceso. Los principales son:

1 Errores teóricos: Son debido a las aproximaciones

concernientes a las ecuaciones o relaciones que podrían ser muy complejas y que necesitan aproximarse. Se usan en la calibración de los instrumentos o en la determinación de mediciones indirectas.

Ejemplo: Determinación del periodo de un péndulo para ángulos pequeños donde senθ ≈ θ . Aquí en la solución de la ecuación diferencial se usa la aproximación de la solución en serie:

2 41 92 1 ...4 64 2

θ⎛ ⎞= π + θ+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

lT sen sen

g (4)

y que se calcula como 0 2= πl

Tg

(5)

Considerando algunos valores de θ y senθ :


52

Tabla Nº 1: Error de θ en radianes y senθ (usando la ecuación Nº15) oθ

(Valor Exacto) θ (radianes) Senθ

Error Relativo Porcentual

( % )

5 0.08727 0.08716 0.13

10 0.17453 0.17365 0.51

15 0.26180 0.25882 1.15

2 Errores instrumentales: Estos vienen especificados por el

fabricante del instrumento y son etiquetados como “Límite de precisión” o “Límite de error”. Es decir el error debido al instrumento será igual a la cuenta mínima o la lectura más pequeña que se obtenga con el instrumento. Es decir la lectura será igual a la medición ± UNA DIVISION de la mínima escala del instrumento.

3 Errores ambientales: Estos errores no son tan fáciles de evitar

debido a los cambios en las propiedades del medio. Entre los factores ambientales mas importantes que se deben de considerar son la temperatura, la presión y la humedad. Debido a esto se debe recomendar aislar el experimento y controlar el ambiente (en una región o tiempo limitado).

4 Errores de observación: Tiene su origen en la postura que toma

el operador para la lectura de la medición resultando en lecturas muy altas o muy bajas, muy tempranas o muy tardes. La posición correcta, una atención cuidadosa, la revisión del equipo y la comparación de un observador con otro son comunes para reducir o eliminar este error.

Errores aleatorios: Escapan del control del experimentador. Son originados básicamente por la interacción del ambiente con el sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores sistemáticos hayan sido minimizados, balanceados o corregidos. Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos.

3.5 DESVIACION ESTÁNDAR

Para simplificar el tratamiento de la incertidumbre en una medición consideramos que cuando hagamos una sola medición el error


53

absoluto estará representado solamente por la mitad de la aproximación (lectura mínima del instrumento).

1 ( . .)2

x lect mínΔ = (6)

Donde la aproximación, sensibilidad o lectura mínima es la división más fina del instrumento. En el caso de la regla milimetrada la mínima lectura será 1/1000 m. Cuando se hacen varias mediciones repetidas de una variable directa como ( )x , la incertidumbre en la medición crece y el error absoluto estará en función del valor promedio de ( )x y de la siguiente variable:

n2

2 2 2 i1 2 n i 1

(x x )(x x ) (x x ) ... (x x )

n nσ =

−− + − + + −

= =∑

(7)

Aquí x es el valor promedio leído con el instrumento de medición y σ es la desviación estándar. A veces aparece en el denominador (n-1) en vez de n, por que el valor resultante representa un mejor estimador de la desviación típica de una población de la que se ha tomado una muestra. Para valores n > 30, prácticamente no hay diferencia entre las dos definiciones. El error absoluto se calculará con ayuda de la siguiente fórmula:

20

1( )

( 1)

n

iiX

X XX

n nnσΔ =

−= =

−

∑

(8) Finalmente la fórmula de expresar el resultado de una medición directa será: X X X= ± Δ (9)

Donde: X : Resultado de la medición. X : Valor más probable.

XΔ : Error absoluto.


54

Además se debe considerar que:

a) X llamado valor medio o promedio, se obtiene de la siguiente manera; dado un conjunto de n mediciones experimentales, el valor medio o promedio se calculará por:

n

XX

n

ii∑

== 1 (10)

b) Desviación (d X): Es la diferencia entre un valor cualquiera de

una serie de medidas y su valor medio, tomado en su valor absoluto.

d X = | Xi – X | (11)

c) Desviación media (dX0): n

XXdX

n

ii∑

=

−= 1 (12)

donde:

XXXXXXXX ni −++−+−=−∑ .........21 y n es el número de mediciones.

3.6 El error relativo ( rE ):

Representa el error absoluto por unidad de medición. Nos indica la fracción del error absoluto respecto al valor promedio:

rXE

XΔ

= (13)

3.7 El error relativo porcentual ( (%)rE ):

Representa el producto del error relativo por 100. Es el indicador anterior dado en porcentaje:


55

(%) 100 %relXEXΔ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ (14)

Si tenemos un valor Xref considerado “valor teórico” o valor de referencia y obtenemos un valor experimental (Xexp) a partir de mediciones directas o indirectas, podemos comparar nuestro resultado con la siguiente formula:

( )exp(%) 100 %refrelref

X XE

X−

= ⋅ (15)

En lo que sigue en este curso de laboratorio, emplearemos muy a menudo esta formula (15) para comparar diferentes cantidades físicas (espacio, tiempo, masas, aceleraciones, coordenadas, densidades, etc.) y poder dar conclusiones en función a este resultado.

3.8 PROPAGACIÓN DEL ERROR O INCERTIDUMBRE Se presenta en caso de todas las mediciones indirectas. Por ejemplo, para calcular el área total de un cilindro, se debe medir el diámetro del cilindro y la altura del mismo, siendo estas mediciones directas, evidentemente estas mediciones están afectadas de errores. Al reemplazar los valores en la fórmula para calcular el área procederemos a sumar y multiplicar cantidades afectadas de errores que traen como consecuencia la propagación de errores. Para el tratamiento de este tipo de errores se han deducido fórmulas a través de la matemática superior, que se presentan más adelante en forma práctica.


56

ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN DIRECTA:

Si para determinar el valor de una magnitud es necesario realizar una adición o sustracción el ERROR ABSOLUTO TOTAL está dado por la SUMA de los errores absolutos de los términos que intervienen en la operación. Por ejemplo según la figura Nº 2, para determinar la longitud total, se tendrá

Figura Nº 2: Tarjeta recortada

L1 = L01 ± ΔL01 L0t = L01 + L02

Lt = L0t ± ΔL0t

L2 = L02 ± ΔL02 Δ L0t = ΔL01 + ΔL02

ERROR TOTAL EN UNA MEDICIÓN INDIRECTA: Cuando la magnitud a medir proviene de aplicar una fórmula ya sea en forma de producto, cociente o una combinación de ambos, el ERROR RELATIVO TOTAL está dado por la suma de los errores relativos de los términos que intervienen en la fórmula. Por ejemplo para determinar el volumen del objeto ilustrado en la figura Nº 3, se realizará el siguiente:

Vo = ao . bo . co a = ao ± Δao b = bo ± Δbo c = co ± Δco

Figura Nº 3: Volumen de un Paralelepípedo

L2

L1

Lt

b

c a


57

ΔV/V0 = Δa0/a0 + Δb0/b0 + Δc0/c0 (ver Anexo sobre mediciones y errores) Cuando se realiza una medición indirecta (para lo cual se usa alguna formula matemática) como por ejemplo hallar el volumen de un cono, se medirán el radio de la base y la altura, pero en estas mediciones se introducen errores, por lo que estos errores se propagaran, hasta en el volumen calculado.

Tabla N° 2: Formulas para la propagación de errores

Tipo de Calculo Ejemplo* Error Propagado en X

Suma o resta x p q r= + − 2 2 2x p q rΔ = Δ +Δ +Δ

Multiplicación o división x p*q / r=

2 2 2p qx r

x p q rΔ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Elevar a una potencia

yx p= px yx pΔΔ

= ⋅

*p, q y r son variables experimentales cuyos errores absolutos son pΔ , qΔ y

rΔ ; respectivamente, y es una constante.


58

3.9 INSTRUMENTOS DE MEDIDA

Figura Nº 4: Partes del Micrómetro

Figura Nº 5: Forma de hacer mediciones con el Micrómetro


59

Figura Nº 6: Nonio del Calibrador Vernier o Pie de Rey

Figura Nº 7: La lectura es 32.85 mm en este Calibrador Vernier o Pie de Rey


60

4. Procedimiento

4.1 Haga un reconocimiento y describa cada uno de los instrumentos de medición que el grupo recibe, anoten la lectura mínima así como el cálculo del error asociado a los instrumentos en la tabla que se muestra ha continuación:

Tabla N° 3: Lectura mínima y el error asociado a cada instrumento

INSTRUMENTO APROXIMACIÓN ERROR ABSOLUTO

ASOCIADO

Regla de madera (uso del docente)

Regla milimétrica de metal

Wincha de 5 m

Modelo de nonio de madera

Pie de Rey o Vernier (Stainless Hardened)

Pie de Rey o Vernier Caliper (U.S.A)

Micrómetro de Metal

Balanza de Tres barras

Cronómetro analógico

Cronómetro digital

Termómetro

CASO I:

4.2 Tome un paralelepípedo de madera y mida sus tres

dimensiones como se muestra en la Figura Nº 3 con: • Una regla de metal graduada en milímetros • Un calibrador vernier o pie de rey (el mas Preciso)

Y anótelos en la tabla N° 4: 4.3 De acuerdo a lo anterior, determine

• El área total • El volumen total

Y anótelos en la tabla N° 4.


61

Tabla N° 4: Datos experimentales para el paralelepípedo

Con la regla Con el Vernier

Mida : X X X= ± Δ X X X= ± Δ

Largo a

Ancho b

Alto c

A (Área)

V (Volumen)

CASO II:

4.4 Seleccione una canica de porcelana o de vidrio y mida su

diámetro con: • Un calibrador vernier (el mas Preciso) • Un micrómetro

Y anótelos en la tabla N° 5: 4.5 Con los datos del diámetro medido llene la tabla Nº 5 y repita el

cálculo del paso 4.3, para la canica

Tabla N° 5: Datos experimentales para la canica

Con el Vernier Con el Micrómetro

Mida : X X X= ± Δ X X X= ± Δ

Diámetro D

Radio r

A (Área)

V (Volumen)

Observación: No se olvide de colocar las unidades en todos los cálculos, así como hacer un correcto redondeo y usar los decimales apropiadamente.


62

5. Cuestionario

5.1 Si el nonio del Pie de Rey o Calibrador Vernier hubiese tenido 100 divisiones ¿Cuál será la aproximación y el error absoluto que usted cometería al usar este Vernier?.

5.2 Si un cronómetro tiene una aproximación de una centésima de segundo (0,01 s). ¿Cuál será la medición si registrara 32,54 s?

5.3 De cinco ejemplos de cantidades física que pueda determinarse en forma directa y también en forma indirecta.

5.4 ¿Qué otros errores además de los indicados puede usted asociar a las mediciones directas?

5.5 Medir la frecuencia de latidos del corazón o del pulso de cada uno de los integrantes del grupo con ayuda del cronómetro digital. Expresar esta medición con sus respectivos errores para cada uno.

5.6 ¿Con qué instrumento usted mediría el espesor de una hoja de cuaderno?, describa el instrumento, haga un esquema si fuera posible de cómo mediría dicho espesor.


6. Observaciones.-

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7. Conclusiones.-

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


63

8. Sugerencias.-

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9. Referencias bibliográficas.-

9.1 Meiners - Eppenstein – Moore: Experimentos de Física, John Wiley & Sons Inc, 2nd edition, March 1, 1987, N. Y., EEUU, Cap. 1, pág. 13 - 59.

9.2 Murray R. Spiegel; Estadística, Editorial Andes, 1ra. Ed., 1982,

Bogotá, Colombia, Cap. I, Pág. 1-11.

9.3 Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1985, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. I.

9.4 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley

Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 1, Pág. 15-27.

9.5 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R.

A. Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F., México, Cap. 1, pág. 1 -10.

"Un sólo número no es suficiente para describir algunos conceptos físicos. El darse cuenta de este hecho señaló un avance indudable en la investigación científica."

EINSTEIN e INFELD


64

Figura Nº 8: Esquema básico de un microscopio de efecto túnel

Richard Feynman, premio Nobel de Física en 1965, durante una conferencia celebrada en el Instituto de Tecnología de California (CalTech), en 1959, titulada "Hay mucho espacio ahí abajo", pronosticó que, tarde o temprano, se podrían mover los átomos de manera individual, y construir configuraciones diferentes de las que existen en la naturaleza. En 1982, Heinrich Rohrer y Gerd Binnig, dos científicos del laboratorio IBM de Zurich, idearon el microscopio de efecto túnel, y abrieron las puertas a este tipo de manipulación. Debido a su invento, en 1986 fueron galardonados con el premio Nóbel de Física. Este sistema basa su funcionamiento en un efecto cuántico que ocurre en distancias menores a la milmillonésima parte de un metro (10-9 m = 1 nm, un nanómetro). El control de este tipo de fenómeno es lo que nos permite hacer topografía de superficies a nivel atómico. De la Figura: En una instalación cuyo fin es tomar medidas en escala atómica es necesario que el elemento que se usa como sonda de medida tenga una resolución de esa misma escala. En un microscopio de efecto túnel la sonda es una punta conductora, p. ej. de Wolframio. La punta se trata para eliminar los óxidos y para que sea lo más afilada posible, idealmente que en el extremo aparezca un solo átomo. La instalación consiste en un circuito eléctrico en el que están incluidas la muestra y la punta de medida.

Fuente: http://www.unizar.es/ina/equipos/microscopioSTM.htm


65

MECÁNICA

MMoovviimmiieennttoo RReeccttiillíínneeoo UUnniiffoorrmmee Práctica de Laboratorio Nº 04

Tópicos Relacionados

Trayectoria, Móvil, tiempo y velocidad, Movimiento de traslación de una

masa puntual, Mediciones, graficas

1. OBJETIVOS

1.1 Reconocer el movimiento rectilíneo uniforme. 1.2 Medición del tiempo t requerido por un cuerpo para cubrir una

trayectoria s dada. 1.3 Calcular el módulo de la velocidad del cuerpo.

2. EQUIPOS Y MATERIALES

- Un (01) Móvil, 343 g - Una (01) pila de 1.5 V R6 “AA” - Un (01) Cronómetro digital, hh, mm, ss, cc. - Una (01) regla de metal de 100 cm. - Una (01) Calculadora Científica (personal). - Una (01) Cinta adhesiva

3. FUNDAMENTO TEÓRICO

Cuando la trayectoria de un móvil es rectilínea y en ausencia de aceleración, el movimiento se llama Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). El desplazamiento puede, en principio relacionarse con el tiempo mediante

la relación ( )x f t= . Aquí x puede ser negativa o positiva.


66

Figura Nº 1: Movimiento Rectilíneo

Ahora supongamos que en un tiempo t , el objeto está en A , siendo OA x= , y que luego, más tarde, en un tiempo t ' , se encuentra en B , siendo OB x '= . Entonces el valor de la velocidad1 media se define como:

mx ' x xvt ' t t− Δ

= =− Δ

(1)

Donde: xΔ : Desplazamiento del móvil tΔ : Tiempo transcurrido.

En general, si una masa puntual cubre distancias iguales sΔ en intervalos iguales de tiempo tΔ , entonces el valor de su velocidad será:

svt

Δ=

Δ (2)

y tiene un valor constante. Para determinar el valor de la velocidad, se

escoge un intervalo de tiempo arbitrario tΔ en el cual medimos la distancia sΔ .

1 En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el módulo de la velocidad. Por

eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a su valor numérico la rapidez.


67

Grafica Nº 1: Grafica de la posición en función del tiempo

En la grafica Nº 1 observamos que la velocidad se puede determinar a partir de la tangente del ángulo θ

xm tan vt

θ Δ= = =Δ

(3)

Donde m es la pendiente de la recta a la cual se pueden ajustar datos experimentales por el método de mínimos cuadrados:

x b m.t= + (4)

t t’

x’

x θ

Δx

Δt

X

t 0


68

Figura Nº 2: Móvil empleado en este laboratorio

En el experimento, se medirá espacios y tiempos para el movimiento uniforme con un cronómetro para intervalos de distancias iguales.

Figura Nº 3: Sistema experimental para el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Movimiento

Cronómetro

Móvil

cm

Inicio Final


69

4. PROCEDIMIENTO:

4.1 Alinear el carril horizontalmente y montar el equipo como se ve en la Figura Nº 3.

4.2 Para hacer las graduaciones de las longitudes puede usar la regla de

metal o pegar cinta adhesiva sobre la mesa. No se olvide definir el punto inicial y final.

4.3 Encienda el carrito (móvil) y colóquelo sobre la marca inicial,

simultáneamente encienda el cronometro; cuando el móvil haya recorrido 10 cm detener el reloj y hacer la anotación respectiva en la tabla Nº 1.

4.4 Repita el procedimiento anterior dos veces más y registre sus datos

en la tabla Nº 1. 4.5 Repita los pasos 4.3 al 4.4 incrementando el espacio recorrido en 10

cm desde el punto inicial de partida. Anote sus datos en la tabla Nº 1. (Obs: el profesor puede indicar espacios recorridos diferentes).

4.6 Calcule el valor de la velocidad del móvil para el recorrido y el

promedio del tiempo empleado, use la ecuación (2). 4.7 Grafique en papel milimetrado los datos de la tabla Nº 1 de espacio

recorrido y el promedio del tiempo, use una escala apropiada. 4.8 De la grafica anterior, calcule el valor de la velocidad del móvil por el

método grafico, use la ecuación (3). 4.9 Calcule la ecuación de movimiento usando el método de mínimos

cuadrados a la ecuación (4) para los datos del espacio recorrido y el promedio del tiempo empleado.


70

Tabla N° 1: Datos experimentales para el Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Espacio recorrido (cm)

Tiempos (s)

Promedio Tiempo

(s)

Velocidad (m/s)

X 1t 2t 3t t v 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

5. CUESTIONARIO

5.1 En el caso de movimiento rectilíneo uniforme, la trayectoria recorrida y el tiempo son proporcionales? , explique.

5.2 Calcule el error relativo porcentual considerando la velocidad obtenida

por el método de ajustes de mínimos cuadrados y las velocidades obtenidas en los pasos 4.6 y 4.8.

5.3 De tres ejemplos de movimiento rectilíneo uniforme. Detalle. 5.4 Grafique los datos de la tabla Nº 1 y haga el ajuste respectivo usando

el software Logger Pro 5.5 Experimente usted (para cada integrante de su grupo), calculando la

velocidad promedio al caminar durante su vida cotidiana. Explique en detalle su experimento.


71

5.6 Calcular la velocidad del móvil empleando el método grafico para la grafica Nº 2.


Grafica Nº 2: Espacio recorrido en función del tiempo

6. OBSERVACIONES

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7. CONCLUSIONES

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


72

8. SUGERENCIAS

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9. REFERENCIAS

9.1 Física, Vol. I, Marcelo Alonso y Edward Finn, addison Wesley, 1986, pág. 87.

9.2 Física Universitaria, F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A.

Freedman, Addison Wesley Longman, IX edición, 1998, México D.F., México, Cap. 2, pág. 31 - 37.

“Todo lo que se mueve es movido por otro.”

Aristóteles (384 AC-322 AC) Filósofo griego


73

Figura Nº 4: Se denomina tren de alta velocidad al medio de transporte que circula por una vía diseñada para él (línea de alta velocidad) y que alcanza, de manera estándar, velocidades más altas que un tren convencional. Actualmente se utilizan trenes con una velocidad superior a 250 km/h, y con velocidad promedio (o velocidad comercial) también elevada, que les permite competir con el transporte aéreo para distancias medias, del orden de los cientos de kilómetros. En todos los casos se trata de vehículos y vías férreas desarrolladas en forma unitaria, dado que las velocidades alcanzadas requieren de técnicas específicas. Los japoneses fueron los pioneros de la alta velocidad ferroviaria en el mundo con su tren bala o Shinkansen en la década de 1960. Todo empezó a mediados de los años cincuenta, cuando pensaron en construir una nueva línea ferroviaria entre Tokio y Osaka, las dos principales ciudades del país, para resolver el problema de la saturación de la línea existente con una mejora sustancial de los tiempos de recorrido. Mitsubishi, Kawasaki, Hitachi y Sumitono se asociaron para que los trenes de alta velocidad japoneses unieran desde 1964 las principales ciudades niponas, dejando que el paisaje se desdibuje a 300 kilómetros por hora. Hoy el país, con 2.100 kilómetros cubiertos, tiene la mayor red de alta velocidad del mundo.


75

MECÁNICA

MMoovviimmiieennttoo RReeccttiillíínneeoo UUnniiffoorrmmee AAcceelleerraaddoo

Práctica de Laboratório Nº 05

Tópicos relacionados

Trayectoria, distancia recorrida, desplazamiento, rapidez, velocidad,

aceleración.

1. Objetivos

1.1 Determinar el valor de la velocidad1 media e instantánea de un

móvil con movimiento rectilíneo uniforme variado. 1.2 Determinar la aceleración de un móvil con movimiento rectilíneo

uniforme variado. 1.3 Determinar las ecuaciones de movimiento de un móvil.

2. Equipos y materiales

- Un (01) módulo para MRUV (Leybold) - Una (01) fuente de poder AC/DC - Un (01) riel de metal - Un (01) enchufe con cable de extensión - Un (01) calibrador Vernier (preedición 0,02 mm) - Dos (02) trozos de cinta metálica (Aprox. 0.5 m c/u) - Tres (03) hojas de papel milimetrado.


Movimiento.- Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo al transcurrir el tiempo, respecto a un Sistema de Referencia. Consideremos que un móvil se desplaza en la dirección x+ de un sistema coordenadas cartesianas; entonces su posición en cualquier instante, estará dado por una relación funcional ( )x f t= .

1 En lo que resta de las experiencias siempre vamos a trabajar con el módulo de la velocidad. Por eso de ahora en adelante cuando hablemos de velocidad en realidad nos estaremos refiriendo a su valor numérico.


76

Figura Nº 1: Móvil desplazándose a lo largo de una línea recta

Figura Nº 2: Gráfica espacio recorrido en función del tiempo

-x x

O x1 t1

x2 t2

Δx

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20 25 30

tiempo ( s )

espa

cio

( cm

)

Escala: x = t (s) : 1 cm < > 5 s y = e (cm) : 1 cm < > 100 cm

GRAFICA Nº 1: Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado

(espacio como función del tiempo)


77

Velocidad media.- Se define como la razón del desplazamiento al

intervalo de tiempo transcurrido. Si denotamos por 2 1x x xΔ = − , el desplazamiento desde la posición inicial 1x hasta la posición final

2x ; y por 2 1t t tΔ = − , el tiempo transcurrido, entonces la velocidad media es expresa por

2 1

2 1m

x x xt t t

υ Δ −= =Δ − (1)

Velocidad instantánea.- Es la velocidad de un cuerpo en un determinado punto de su trayectoria y en un instante dado. Si el intervalo de tiempo en la ecuación (1) se toma cada vez más

pequeño, la posición final 2x estará más y más próxima a la posición inicial 1x , es decir xΔ se irá acortando y la velocidad media tenderá a tomar la magnitud, dirección y sentido de la velocidad del cuerpo en

1x (tangente a la trayectoria). En la ecuación (1) cuando tΔ tiende a cero, la velocidad instantánea es:

d xd t

υ = (2)


78

Figura Nº 3: Gráfica velocidad en función tiempo

Aceleración media.- Se define como la razón de la variación de la velocidad instantánea al intervalo de tiempo transcurrido. Si

denotamos por 2 1 υ υ υΔ = − , la variación de la velocidad instantánea desde la posición inicial 1x hasta la posición final 2x ; y por 2 1t t tΔ = − , el tiempo transcurrido, entonces la aceleración media se expresa por

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo ( s )

velo

cida

d (

m/s

)

GRAFICA Nº 2: Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado

(Velocidad como función del tiempo)

Escala: x = t (s) : 1 cm < > 1 s y = v (m/s) : 1 cm < > 5 m/s

(m/s) tv 4.3 +=


79

2 1

2 1ma t t t

υ υ υΔ −= =

Δ − (3)

Aceleración instantánea.- Es la tendencia al cambio de velocidad de un cuerpo en un instante dado y en un punto de su trayectoria.

dad tυ

= (4)

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) Es aquel movimiento en el cual un móvil describe como trayectoria una línea recta, variando uniformemente la velocidad. Obs: En la Figura Nº 1 muestra que la aceleración es constante, por lo tanto, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea. Además se observa que el incremento de la velocidad se da con el incremente del tiempo, este movimiento se denomina Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

Algunas ecuaciones básicas del movimiento rectilíneo uniformemente variado en forma escalar:

21. .

2i ix x v t a t= + ± (5)

.f iv v a t= ± (6)

2 2 2 .f iv v a x= ± (7)

4. Procedimiento

4.1 Arme el equipo tal como se muestra en la Figura Nº 4 , 5 y 6


80

Figura Nº 4: Sistema experimental para el MRUA

4.2 Conectar la fuente de voltaje a 220 VAC . (no encienda la fuente,

espere la indicación del profesor) 4.3 Conectar el cabezal (chispero) con la fuente de voltaje (en los

bornes de color negro de 12 VAC) (ver Figura Nº 4)

Figura Nº 5: Sistema experimental (Disposición de la cinta metálica con el móvil)

4.4 Coloque el riel de metal a una altura de 3 cm, use el bloque escalonado para ello.

4.5 Doblar correctamente el papel metálico en los extremos de tal

manera que la parte metálica haga un contacto directo con el registrador de tiempo y con la pinza que sujeta al carrito.

α


81

Figura Nº 6: Sistema experimental (Disposición de la cinta metálica con el cabezal)

4.6 Suelte el móvil desde la parte mas alta del riel, luego de haber encendido la fuente y el interruptor del chispero (registrador de tiempo a una frecuencia de 10 Hz), cuando el carrito llegue al extremo opuesto del riel debe apagar el interruptor del registrador de tiempo.

4.7 Observar que sobre la tira de papel metálico han quedado

registrados una serie de puntos a intervalos en el tiempo de 0,1 s (ver Figura Nº 7).

4.8 Asignar al instante t = 0 en el cual se produjo el primer punto de

la distancia recorrida como x = 0. La posición de los otros puntos se medirán en mm con respecto a este primer punto (ver Figura Nº 7).

Figura Nº 7: Ejemplo del registro de datos sobre la Cinta Metálica


82

4.9 Llene los datos en la Tabla Nº 1

Tabla Nº 1: Datos experimentales para el MRUA

Altura del bloque escalonado h = 3 cm ; α =

Tiempo (s) 0xxd ii −= (m)

1 0,1 01 xx − =

2 0,2 02 xx − =

3 0,3 03 xx − =

4 0,4 04 xx − =

5 0,5 05 xx − =

6 0,6 06 xx − =

7 0,7 07 xx − =

8 0,8 08 xx − =

9 0,9 09 xx − =

10 1,0 010 xx − =

4.10 Repita los procedimientos del 4.4 al 4.9 para diferentes alturas que indique el profesor construyendo las tablas que necesite.

Obs: No se olvide de aplicar la teoría de mediciones, errores y su propagación

5. Cuestionario

5.1 Grafique en papel milimetrado la distancia recorrida d vs. t , el módulo de la velocidad (υ ) vs. el tiempo (t) y la distancia recorrida d vs. 2t .


83

5.2 Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los datos de la distancia d y t , y encuentre ( )d f t= .

5.3 Utilizando la función ajustada d vs. t , hallar el tiempo

necesario para que el móvil recorra 35 cm. a partir del punto inicial.

35t = ---------------------------------- s

5.4 A partir de la gráfica de la función resultante del ajuste, halle las velocidades geométricamente para cada promedio de tiempo. Para ello usted debe trazar una recta tangente a la curva y la pendiente de la recta le dará la velocidad instantánea en este punto. Registre sus cálculos en una tabla.

5.5 Haga un ajuste por el método de mínimos cuadrados de los

datos de υ vs. t , y encuentre ( )f tυ= . 5.6 ¿Cuál es el valor de la aceleración? 5.7 como aplicaría este tema en su carrera profesional?

6. Observaciones.-

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7. Conclusiones.-

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


84

8. Sugerencias.-

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9. Referencias bibliográficas

9.1 Física Vol. I, Mecánica, Radiación y Calor, Feynman R., Leighton R. y Sands H., Addison Wesley Iberoamericana, 1987, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 8, Pág. 8-1 y 8-9.

9.2 Física Vol. I, Mecánica, Alonso M. y Finn E., Addison Wesley

Iberoamericana, 1986, Wilmington, Delaware, EEUU, Cap. 5, Pág. 87-93.

9.3 Teoría y problemas de Física General, Frederick J. Bueche, Mc

Graw Hill, 1982, México D.F., México, Cap. 4, Pá

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