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6ºCuaderno de trabajo para el alumno ∙ Semestre I ∙ Año 2020

MATEMÁTICA

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Uso exclusivo Colegio San Antonio de Matilla


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Unidad 1


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FichaClase 1Unidad 1

Aptus

Hoy vamos a identificar y calcular los múltiplos de un número.

Objetivo de la clase 1

Rutina matemática:

1. Continúa las siguientes secuencias:

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27

a. 5, 10, 15, 20,

b. 30, 40,

c. 2, 4, 6, 8,

d. 6, 12, 24, 36

e. 7, 14, 21, 28,

f. 11, 22, 33, 44,

g. 8, 16,


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6

FichaClase 1 Unidad 1

Aptus

2. Compara los siguientes números usando >, < o =:

0,32 0,321

1/3 0,3

1/5 3/15

14/28 0,56

1/2 1/3

6/24 1/4

3/4 7/9

Recuerda que:

Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar ese número por cada uno de los números naturales y el cero.

Nicolás y Verónica saltan de 4 en 4 hasta llegar al 20.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Encerrados en círculo están el 4, 8, 12, 16, 20 que son los múltiplos del 4.

Pero ¿el 4 tiene más múltiplos?

1 2 3 4 5 6 7x x x x x x x4 4 4 4 4 4 4= = = = = = =

, , , , , , …

1º múltiplo 2º múltiplo 3º múltiplo 4º múltiplo …

La respuesta es sí, podemos obtener cuantos múltiplos de 4 queramos. Esto se debe a que los múltiplos son el resultado de la multiplicación entre un número, en este caso el 4, y el conjunto de números naturales.

¿Qué tienen en común los múltiplos de 5 y 10?


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Aptus

Pinta en rojo los múltiplos de 5 y en azul los múltiplos de 10.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

¿Cuáles son múltiplos de 5 y 10?

¿Qué tienen en común los múltiplos de 5 y 10?

Los múltiplos de 10 son también múltiplos de 5. Esto ocurre siempre cuando uno de los múltiplos es múltiplo de otro.

En este caso como el 10 es múltiplo del 5, los múltiplos de 10 serán también múltiplos de 5.

Esta vez Nicolás y Verónica saltarán en caminos separados. Nicolás saltará de 2 en 2 y Verónica de 5 en 5. Encierra en un círculo los números en los que cae Verónica y los números en los que cae Nicolás en cada uno de sus caminos.

Verónica:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Números en los que cayó Verónica:

¿Qué tienen en común?


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Aptus

Estos son múltiplos de:

Nicolás:

Números en los que cayó Nicolás:

¿Qué tienen en común?

Estos son múltiplos de:

Calcula los múltiplos del 9 con la misma metodología:

1 2 3 4 5 6 7x x x x x x x9 9 9 9 9 9 9= = = = = = =

, , , , , , …

1º múltiplo 2º múltiplo 3º múltiplo 4º múltiplo …

1. Resuelve los siguientes ejercicios:

a. 13, 26, 39, 52, 65, … son múltiplos de:

b. 12, 24, 36, 48, 60, … son múltiplos de:

c. 20, 40, 60, 80, … son múltiplos de:

d. 23, 46, 69, 92, … son múltiplos de:

2. Calcula los primeros 6 múltiplos de los siguientes números:

a. Múltiplos de 3:

b. Múltiplos de 15:

c. Múltiplos de 6:

d. Múltiplos de 11:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


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Aptus

3. En la siguiente tabla marca con un círculo los múltiplos de 6, con una cruz los múltiplos de 12.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

a. ¿Cuáles son los múltiplos de 6?

b. ¿Cuáles son los múltiplos de 12?

c. ¿Cuáles números son múltiplos de 6 y 12?

d. ¿Qué relación hay entre los múltiplos de 12 y los números encontrados en la letra c)

e. Luego de lo que descubrimos en el ejercicio anterior, podemos decir que: "Los múltiplos de

son también múltiplos de porque es

múltiplo de ".

4. En la siguiente tabla marca con un círculo los múltiplos de 5, con una cruz los múltiplos de 15.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60


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Aptus

a. ¿Cuáles son los múltiplos de 5?

b. ¿Cuáles son los múltiplos de 15?

c. ¿Cuáles números son múltiplos de 5 y 15?

d. ¿Qué relación hay entre los múltiplos de 15 y los números encontrados en la letra c)

e. Luego de lo que descubrimos en el ejercicio anterior, podemos decir que: "Los múltiplos de

son también múltiplos de porque es

múltiplo de ".

5. Encuentra:

a. El tercer múltiplo de 5:

b. Un múltiplo de 6 que también es múltiplo de 5 y es menor a 50:

c. El sexto múltiplo de 7:

d. Un múltiplo de 2 que también es múltiplo de 3, mayor que 15 y menor que 20:

e. 18 es múltiplo de 6 y también múltiplo de:

f. 10 es múltiplo de 2 y también múltiplo de:

g. Un múltiplo de 7 que también es múltiplo de 3 y es mayor que 30:


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Aptus

Hoy vamos a identificar y calcular los factores de un número.


Rutina matemática:


0,5 +

2

3 =

5

6

a. 0,45 + 1

20 =

b. 2

9 +

7

18 –

1

3 =

c. 1

4 +

2

3 –

1

2 =

d. 1

8 + 6

16 =

e. 8

9 –

1

2 =


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Aptus

2. Expresa el siguiente número en notación expandida:

53.657 = 5 x 10 000 + 3 x 1 000 + 6 x 100 + 5 x 10 + 7

a. 42.789 =

b. 164.032 =

c. 42.300 =

d. 2.309 =

e. 21.899 =

Alicia tiene 24 flores y las quiere plantar en el jardín en filas de igual largo. ¿Cuáles serían todas las formas posibles en que Alicia podría plantar las flores?

1 fila de 12 flores 12 filas de 1 flor

2 filas de 6 flores 6 filas de 2 flores

3 filas de 4 flores 4 filas de 3 flores

Recuerda que:


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Aptus

¿Qué es un par de factores?

Un par de factores son dos números que al multiplicarlos nos da el número al cual le estamos buscando sus factores.

¿Cómo podemos encontrar pares de factores de un número?

Usando el arcoíris de factores. En el arcoíris de factores, se va descomponiendo un número buscando todos los divisores de este. Para realizar esto, se parte desde el 1 y se va probando si el número que sigue es o no divisor del número dado. Cuando se encuentra un par se van anotando los números y se unen con un arco en la parte superior, tal cual como se muestra en la siguiente imagen.

¿Cuáles son los factores de 12?

1 2 3 4 6 12

¿Cuáles son los factores de 30?

Los factores de 30 son:

¿Es 7 múltiplo de 42?

Pedro piensa que 12 tiene menos factores que 15 porque 12 es un número menor que 15, pero Matías piensa que Pedro no tiene la razón y cree que 12 tiene más factores que 15. ¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?

¿Cómo se relacionan los múltiplos y factores?

45 : 9 = 5

Factores del dividendo

Múltiplo del divisory cociente


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Aptus

*Esto ocurre solo para divisiones exactas.

El dividendo es múltiplo del divisor y del cociente y el divisor y el cociente son factores del dividendo.

En este caso:

• 45 es múltiplo de 9 y de 5

• 9 y 5 son factores de 45

1. Descompone los siguientes números en sus pares de factores:

18 = 1 y 18, 2 y 9, 3 y 6

a. 50 =

b. 44 =

c. 52 =

d. 47 =

2. ¿Cuál de los siguientes números es un factor de 4?a. 0b. 4c. 8

d. 16

3. ¿Cuál de los siguientes números no es un factor de 48?

a. 12

b. 8

c. 9

d. 24


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Aptus

4. Sofía está preparando los juegos de su cumpleaños y para eso necesita dividir a sus amigos en grupos. Ella invito a 27 amigos ¿Cuáles son todas las formas en las que puede agrupar a sus amigos? (Encuentra todas las formas posibles).

5. Josefina y Belén están discutiendo respecto a la cantidad de factores de un número. Josefina cree que 23 tiene más factores que 22 porque 23 es mayor que 22. Belén no está de acuerdo con ella, ya que cree que 22 tiene más factores que 23 y que el número de factores es independiente de si el número es mayor o menor. ¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?

6. Encuentra los factores de los siguientes números:

a. 25 =

b. 60 =

c. 100 =

d. 12 =

e. 90 =

7. ¿Cuál de los siguientes grupos de números son factores de 24 y 36?

a. 2, 3, 4, 9

b. 2, 3, 8, 12

c. 3, 6, 9, 18

d. 3, 4, 6, 12


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Aptus

Identificar números primos y compuestos en situaciones de la vida cotidiana.


Rutina matemática:

1. Escribe los primeros 6 múltiplos de los siguientes números:

3 = 3, 6, 9, 12, 15

a. 4 =

b. 11 =

c. 15 =

2. Realiza los siguientes cálculos:

a. 35 x 48 = d. (30 + 4) x (50 + 5) =

b. 64 x 73 = e. (40 + 2) x (30 + 6) =

c. 13 x 86 = f. (70 + 1) x (90 + 3) =


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Aptus

Jaime es profesor de dos clases de matemática distintas. En la clase A tiene 23 estudiantes y en la clase B 24 estudiantes. Él quiere dividir al curso en grupos de igual tamaño en cada clase. ¿Cuáles son las distintas combinaciones de grupos que Jaime puede crear? ¿Cuántos factores tiene cada número?

Clase ANº de estudiantes: 23

Clase BNº de estudiantes: 23

1 231 2 3 8 12 424 6

Combinaciones de grupos:• 1 grupo de 23• 23 grupos de 1

Número de factores: 2

Combinaciones de grupos:• 1 grupo de 24• 23 grupos de 1

Número de factores: 2

Recuerda que:

En la clase A solo puede agrupar al curso de dos formas distintas, o todo el curso en un grupo de 23 o 23 grupos de 1 persona. En cambio, en la clase B existen diversas formas de como agrupar al curso. Esto se debe a que 23, que es el número de alumnos de la clase A, es un número primo. Es decir, un número que solo tiene dos factores, el 1 y el mismo número. En cambio, el 24 es un número compuesto, ya que tiene más de dos factores.

Los números primos son aquellos números que tienen solo dos factores, el mismo número y el 1.

Los números compuestos son aquellos que tienen más de dos factores, es decir los podemos descomponer en distintos pares de factores multiplicativos.

¿Es el 1 un número primo?

No, ya que no tiene solo un factor y los números primos tienen dos factores exactamente.

¿Y es compuesto?

Tampoco, porque no tiene más de 2 factores. Tiene solo uno, el 1. Por ende, no es ni primo ni compuesto.

¿Y el 0?

El cero no se considera ya que se consideran solo los números naturales. Por ende, el cero considerado en la clasificación entre números primos y compuestos.


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Aptus

Pinta en rojo los números compuestos del 1 al 100:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

¿El 12 es primo o compuesto? ¿Por qué?




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Aptus


Pablo y Tomás están organizando un campeonato que consiste en distintos juegos. Para esto, están inscribiendo amigos de su curso. Para realizar distintas competencias, necesitan agrupar a sus compañeros de más de 3 formas distintas. Pablo cree que deben inscribir 42 compañeros para poder agruparlos de más de tres formas distintas para las diferentes competencias, pero Tomás dice que deben ser 43. ¿Quién tiene la razón?

Julieta está conversando con María respecto a los números primos y compuestos. Julieta cree que todos los números impares son primos. ¿Está Julieta en lo correcto? ¿Por qué?

María cree que todos los números pares son compuestos, pero Julieta no está segura. ¿Tiene María la razón? ¿Son todos los números pares números compuestos? ¿Por qué? En parejas discutan y resuelvan si María tiene la razón.


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Aptus

1. Calcula los factores de los siguientes números y determina si son primos o compuestos:

Factor Arcoíris de factores ¿Es primo o compuesto?

42

9

29

31

2. Encierra en un círculo todos los números primos en azul y los compuestos en rojo.

2 25 24 3 27

1 18 19 29 31

33 8 0 5 11

¿Qué números no encerraste? ¿Por qué?

_____________________________________________________________________________

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Aptus

3. Felipe y Camila fueron a comprar huevos al supermercado. Ellos compraron 39 huevos. Felipe piensa que compraron un número compuesto de huevos, pero Camila dice que compraron un número primo de huevos. ¿Quién tiene la razón? Justifica tu respuesta.

O: R:

A:

4. 18 estudiantes están jugando un juego en clases de matemáticas. ¿De cuántas formas distintas se pueden agrupar y quedar en grupos de igual número de participantes?

O: R:

A:

5. ¿Cuál de los siguientes números no es un número primo?

a. 2

b. 29

c. 41

d. 21

e. 53


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Aptus

6. Completa las siguientes oraciones:

a. Un número es un factor de otro si lo divide en forma

b. Un número primo tiene solo divisores distintos

c. Un número compuesto tiene al menos divisores

d. El número es factor de todos los números

e. Todos los números con un cero en el digito de las unidades son

7. Juan es profesor jefe de una clase de 25 estudiantes, José es profesor jefe de una clase de 37 estudiantes y Martín es profesor jefe de un curso de 23 estudiantes. ¿Cuál o cuáles clases tienen un número primo de estudiantes? Justifica tu respuesta.

O: R:

A:

8. María y Pedro están discutiendo respecto a los números primos y compuestos. María cree que todos los números que están entre 30 y 40 son números compuestos, pero Pedro cree que hay dos números entre 30 y 40 que son primos y el resto son compuestos. ¿Quién está en lo correcto? ¿Por qué?


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Aptus

Hoy generaremos distintas descomposiciones multiplicativas de números en

factores primos.


Rutina matemática:

1. ¿Cómo identificas un número primo? Ejemplifica.

2. ¿Cómo identificas un número compuesto? Ejemplifica.

3.

Factor Árbol de factores ¿Es primo o compuesto?

42

31

99

4. 48 estudiantes están jugando un juego en clases de matemáticas. ¿De cuántas formas distintas se pueden agrupar y quedar en grupos de igual número de participantes?


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Aptus

¿Qué es son los factores primos?Los factores primos, tal como dice el nombre, son factores de un número que a la vez son números primos.

¿Cómo encontraríamos los factores primos de un número?Par encontrar los factores primos de un número debemos descomponer en número en pares de factores multiplicativos y preguntarnos si estos factores son números primos. En caso de serlo, debemos encerrar los factores en un círculo. En caso que, el o los factores multiplicativos no son números primos, debemos seguir descomponiendo y repetir el proceso.

¿Cuáles son los factores primos de 24?

24

2 3 2 2

6 4

24 = 2 x 3 x 2 x 2

• Dos factores multiplicativos de 24 son 6 y 4, ya que 6 x 4 = 24.• Chequeamos si 6 y/o 4 son números primos y nos damos cuenta de que ninguno es primo. Esto, ya que

ambos tienen más de dos divisores.• Descomponemos multiplicativamente 6 y obtenemos que sus factores son 2 y 3.• Descomponemos multiplicativamente 4 y obtenemos que sus factores son 2 y 2.• Chequeamos si los números obtenidos en esta descomposición son números primos. Todos son primos, ya

que solo tienen 2 divisores.• Encerramos en un círculo todos los números primos y hemos obtenido la descomposición en factores primos

de 24.

¿Cuáles son los factores primos de 180?180

3 4

12 15

3 5

2 2

180 = 3 x 2 x 2 x 3 x 5


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io S

an A

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io d

e M

atill

a


25


Aptus


60

60 = x x x


1. Descompone los siguientes números en factores primos:

a. 48

b. 77

c. 27

d. 18

e. 63

f. 32

g. 15

h. 135

i. 420

j. 270


Uso

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e M

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Uso

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e M

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a


26


Aptus

k. Encuentra los pares de factores de los siguientes números (Ayuda: usa el arcoíris de factores)

2. Encuentra el número a partir de sus factores.

a. 45

b. 28

c. 49

d. 52

5 9

3

480

12 24 5

3 2

5

13 7

a.

c.

b.


Uso

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27


Aptus

Determinar el mínimo común múltiplo entre dos o más números.


Rutina matemática:

1. Ordena cada grupo de números de menor a mayor:

a. 0,28; 0,3; 0,25

b. 2,03; 0,023; 0,23

c. 2,22; 2,2; 2,02

d. 0,82; 0,082; 0,28

e. 3,25; 0,325, 3,025

2. Completa las siguientes afirmaciones:

a. es 0,5 más que 9,7

b. es 0,03 más que 2,42

c. es 0,2 menos que 3,1

d. es 0,01 más que 5,21

e. es 0,7 menos que 2,5


Uso

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28


Aptus

Para recordarEl mínimo común múltiplo (mcm) es el menor múltiplo que tienen en común dos o más números.

Nicolás y Verónica necesitan saltar hasta el 20. Nicolás saltará de 2 en 2 y Verónica de 10 en 10, pero esta vez ambos tienen que saltar en un mismo camino. Marcaremos los saltos de Nicolás por arriba y los de Verónica por abajo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nicolás

Verónica

¿Existen números en común entre Verónica y Nicolás? ¡Sí!, tienen en común el 10 y el 20.

¿Cuál es el mínimo? El mínimo de los dos es el 10. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo entre 2 y 10 es 10.

¿Cómo podemos hacer esto de forma sistemática y con todos los problemas que nos podamos enfrentar?

2 10 mcm = multiplicación de divisores

1∕ ∕ 5 2 = 2 x 5

1∕ ∕ 5 = 10∕ ∕

Aquí van los números de los que esperamos encontrar el mcm

divisores de los números que buscamos el mcm

Resultado de la división entre los números que busco el mcm y los divisores (solo números enteros)

Nicolás y Verónica saltan juntos en una recta. Esta vez Nicolás salta de 3 en 3 y Verónica de 7 en 7. ¿En qué número se encuentran? Resuélvelo de las dos formas propuestas.

Verónica

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


Uso

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29


Aptus

7 3 mcm = x

=

¿Qué pasaría si al juego de Nicolás y Verónica se suma Lucía?

Esta vez Nicolás salta de 6 en 6, Verónica de 3 en 3 y Lucía de 4 en 4. ¿En qué número se encuentran?

mcm = x x

=

¿Cuál es el siguiente número en que se encuentran?

En un paradero pasan dos micros. La primera cada 6 minutos y la segunda cada 10 minutos. Si parten al mismo tiempo, ¿cada cuántos minutos se encuentran en el paradero?

mcm = x x

=

Nicolás


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30


Aptus

1. Encuentra el mínimo común múltiplo entre:

a. 3 y 9

b. 4 y 7

c. 15 y 10

d. 25 y 15

e. 6, 12 y 30

f. 3, 18 y 27

2. Tres buses parten de una misma parada. El bus amarillo se detiene cada 7 calles, el bus rojo se detiene cada 14 calles y el bus naranjo se detiene cada 21 calles.

a. ¿En cuántas calles más encuentran por primera vez el bus amarillo y el naranjo?

b. ¿En cuántas calles más se encuentran por primera vez el bus amarillo y el rojo?

c. ¿En cuántas calles más se encuentran por primera los tres buses?


Uso

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31


Aptus

3. Vicente va a la casa de su abuela cada 7 días y su hermano Luis lo hace cada 4 días. Si la última vez

que se encontraron en casa de la abuela fue el 1° de junio, ¿en qué fecha se volverán a encontrar?

O: R:

A:.

4. En un paradero pasan las líneas C cada 10 minutos, B cada 8 minutos y A cada 5 minutos. La

última vez que se detuvieron tres buses de estas líneas fue a las 14:00 hrs. Suponiendo que los

buses pasan puntualmente, ¿a qué hora se encontrarán de nuevo los buses de estas tres líneas?

O: R:

A:


Uso

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32


Aptus

Hoy vamos a resolver ejercicios respetando la prioridad de operaciones y

ordenando números con los mismos dígitos.


Rutina matemática:1. Calcula el mínimo común múltiplo entre:

a. 15 y 20 b. 9 y 10

2. ¿Qué número es…

Por ejemplo: 0,1 menos que 2,3? R: 2,3 – 0,1 = 2,2

a. 0,2 más que 1,4?

b. 0,03 menos que 2,15?

c. 0,5 más que 4,9?

d. 0,8 menos que 1,7?

e. 0,14 menos que 7,13?


a. 250 – 185 =

b. 73 – 49 =

c. 1793 – 899 =

d. 453 – 261 =


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33


Aptus

Recuerda que:

¿Qué es la prioridad de operaciones?

La prioridad de operaciones es la forma que tenemos de decidir debemos hacer primero cuando tenemos más de una operación en el mismo ejercicio. Por ejemplo, ¿qué debemos hacer si en el mismo ejercicio tenemos una multiplicación y una suma? ¿qué debemos hacer primero?

• La prioridad de operaciones nos dice que primero debemos resolver las operaciones que están dentro de los paréntesis, de izquierda a derecha.

• Luego, debemos seguir por las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

• Y por último debemos hacer las sumas y restas de izquierda a derecha.

PAMUDAS

1. PA: Paréntesis de izquierda a derecha

2. MUD: Multiplicación y división de izquierda a derecha

3. AS: adición y sustracción.

¿Cómo resolverías los siguientes ejercicios?

a. 5 + 2 x (6 – 4)

1º Resolver paréntesis

2º Resolver la multiplicación

3º Resolver la suma y las restas

5 + 2 x (2)

5 + 4

9∕ ∕

b. 5 + 3 x (10 – 2 x 3) – 3 x 2

1º Resolver paréntesis y dentro del paréntesis se resuelve primero la multiplicación por la prioridad de operaciones (la multiplicación va primero y luego la resta).

5 + 3 x (10 – 2 x 3) – 3 x 25 + 3 x (10 – 6) – 3 x 2

2º Terminar de reolver el paréntesis. 5 + 3 x (4) – 3 x 2

3º Ahora quedan multiplicaciones, sumas y restas. Primero debemos hascer las multiplicaciones.

5 + 3 x 4 – 3 x 25 + 12 – 6

4º Por último resolvemos las sumas y las restas de izquierda a derecha.

17 – 611∕ ∕


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34


Aptus

¿Cuál sería el número más grande que puedo formar si tengo el 2, 6 y 8?

Para encontrar el menor número

C D U

+ –

Números demayor a menor

Para encontrar el mayor número

C D U

– +

Números demayor a menor

1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión?

a. 5 + 10 – 4(8 – 2 x 3) =

5 + 10 – 4 x (8 – )

5 + 10 – 4 x ( )

5 + 10 –

5 + 10 –

–


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35


Aptus

b. 90 – 4[(2 + 2 x 8) : 3]+ 10 : 5 =

90 – 4 x [(2 + ) : 3] + 10 : 5

90 – 4 x [( ) : 3] + 10 : 5

90 – 4 x [ ] + 10 : 5

90 – + 10 : 5

90 – +

+

c. 45 x 5 + 30 x ( 72 : 9 – 35 : 7 ) – 4 x 13 =

45 x 5 + 30 x ( – ) – 4 x 13

45 x 5 + 30 x ( ) – 4 x 13

+ –

–

2. Resuelve los siguientes problemas:

a. Tenemos los siguientes números: 6, 4, 9, 1.

¿Cuál es el mayor número que pueden construir con 6, 4, 9 y 1?

UM C D U

+ –

b. ¿Cuál es el resultado de la resta entre el mayor número y el menor número que se pueda formar con 7, 0, 8, 1?

Número mayor

UM C D U

+ –

Número menor

UM C D U

– +


Uso

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Uso

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36


Aptus

3. ¿Cuál es el primer paso que debes realizar para resolver el siguiente ejercicio?90 – 50 : 5 x 7

a. Multiplicar 5 x 7

b. Restar 90 - 50

c. Dividir 50 en 5


a. 12 + (3 x 8) : 6 =

b. 2 + (18 – 3) x 4 =

c. 15 x (8 – 6) + (5+5 x 7) x 3 – 3 =

d. [3 x 2 + 4 x (6 x 2 – 5)] : 2 =


Uso

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37


Aptus

e. (10 + 8) : 6 + 3 =

f. 12 - (15 – 3 x 2) : 3 =

g. 20 : (9 – 30 : 6) -2 + 4 x 3 =

5. ¿Cuál es el resultado de la suma entre el mayor número y el menor número que puedas formar con 5, 1 y 8?

Mayor número:

Menor número:

Resultado:

6. Escribe los factores de 32 y encierra en un círculo aquellos que sean primos:

, , , , ,


Uso

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38


Aptus

Resolver problemas con la calculadora respetando la prioridad de operaciones.


Rutina matemática:

1. En la siguiente tabla encierra en círculo todos los números primos y pinta del color que quieras los que sean compuestos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

¿Hay algún número que no sea ni primo ni compuesto? ¿Cuáles?


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39


Aptus

1. 8 amigos fueron al cine a ver una película. La entrada costaba $3.250. Tres de ellos compraron cabritas, que costaban $2.859 y todos compraron bebida que costaba $1.382. ¿Cuánta plata gastaron entre todos?

O: R:

A:

2. La tabla muestra la distribución de habitantes por región, según el censo del 2017. Utilizando estos datos, responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántos habitantes más tiene la región de Los Ríos que Tarapacá? Usa la calculadora.

O: R:

A:

Región Habitantes

Antofagasta 607.534

Ñuble 480.609

Los Ríos 384.837

Tarapacá 330.558

Atacama 286.168

Arica y Parinacota 226.068

Magallanes y Antártica 166.533

Aysén 103.158

Región Habitantes

Metropolitana 7.112.808

Valparaíso 1.815.902

Biobío 1.556.805

Maule 1.044.950

La Araucanía 957.224

O'Higgins 914.555

Los Lagos 828.708

Coquimbo 757.586


Uso

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40


Aptus

b. ¿Cuántos habitantes más tendría el triple de la cantidad de habitantes de Valparaíso que el doble

de habitantes de la región del Maule?

O: R:

A:

3. Claudia compró 15 libros y 12 revistas, cada libro le costó $4.520 y cada revista le costó $1.873.

¿Cuánta plata gastó en total?

O: R:

A:

4. Determina qué es lo que se está calculado en cada uno de los siguientes problemas.

a. 115 personas asisten al cine a ver una película. En total se obtienen $612.260. Pedro divide $612.260 por 115 ¿qué está calculando?

b. Mateo compró una lavadora que le costó $219.990 en cuotas de $7.333. Mateo divide 219.990 en 7.333 ¿qué está calculando?


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41


Aptus

5. Benjamín y su familia fueron a un parque de diversiones. La lista de precios de entradas está en la tabla que se muestra a continuación:

Entrada adultos 12.290

Entrada estudiantes 8.790

Entrada niños 6.590

a. Si la familia de Benjamín estaba compuesta por 2 adultos, 3 estudiantes y 2 niños, ¿Cuánto gasta-ron en entradas?

O: R:

A:

b. Adentro del parque, Benjamín y su familia pasaron a comprar algo para comer. Compran 1 pa-quete de cabritas, 2 frutas, 5 bebidas y una bolsa de frutos secos. ¿Cuánto gastan en total en comprar comida? Utiliza los datos de la tabla.

Fruta 250

Paquete de cabritas 990

Bolsa de frutos secos 750

Barritas de cereal 320

Bebida 990

O: R:

A:


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42


Aptus

6. Calcula la multiplicación entre el mayor y el menor número que se puede construir con los siguientes números: 3, 0, 1, 9

7. Ramón quiere pintar cuatro muros de gran tamaño. Las medidas de cada muro son: 6 metros de largo y 3 metros de alto. La pintura la venden en tarros que alcanzan para 6 m2. Ramón le pide ayuda a dos amigos para calcular cuántos tarros debe comprar, pero cada uno tiene una opinión distinta de cómo se debe resolver el problema ¿Quién tiene la razón?

• Agustín: Calcular el área de cada muro y el resultado lo divide en los metros que se alcanzan a pintar con un tarro.

• Vicente: Multiplicar por 4 muros el área de cada uno, que se calcula multiplicando el largo por el alto del gran muro. Luego eso lo divide por la cantidad de metros cuadrados que se pueden pintar con un tarro.


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Aptus

Hoy vamos a relacionar el concepto de razón a través de fichas, representaciones y

ejemplos de la vida cotidiana.


Rutina matemática:


a. 0,341 + 0,392 =

b. 0,021+ 0,829 =

c. 0,412 + 0,342 =

d. 10 + 8) : 6 + 3 = 6

e. 12 – (15 – 3 x 2) : 3 = 9

f. 20 : (9 – 30 : 6) – 2 + 4 x 3 =


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44


Aptus

2. En un paradero pasan las líneas C cada 10 minutos, B cada 8 minutos y A cada 5 minutos. La última vez que se detuvieron tres buses de estas líneas fue a las 14:00 hrs. Suponiendo que los buses pasan puntualmente, ¿a qué hora se encontrarán de nuevo los buses de estas tres líneas?

O: R:

A:

Recuerda que:

Una razón es una comparación de cantidades semejantes o distintas. Una razón puede comparar de tres formas distintas:

• una parte con una parte

• una parte con el todo

• todo con una parte.

Carolina y Alejandro están repartiendo dulces y que por cada puñado de dulces que saca Carolina, Alejandro saca el doble de dulces.

¿Cuál es la razón entre la cantidad de dulces que saca Carolina y la cantidad de dulces que saca Alejandro?

Esta respuesta se puede representar de tres formas distintas:

• 1 a 2

• 1:2

• 1 / 2

Y siempre se lee como "1 es a 2"

Donde,

1 → Antecedente2 → Consecuente


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45


Aptus

1. Completa la siguiente tabla.

Hay 4 tortas 1 de vainilla y 3 de chocolate.

Parte es a Parte (semejante)

Parte es a Todo (distintas)

Todo es a Parte (distintas)

Vanilla es a Chocolate : Vanilla es a Todo : Todo es a Vainilla :

Chocolate es a Vainilla : Chocolate es a Todo : Todo es a Chocolate :

2. Completa las siguientes oraciones.

a. la razón entre fichas rojas y azules es:

b. la razón entre las fichas azules y el total de fichas:

c. la razón entre el total de fichas y la cantidad de fichas rojas:

3. Responde las siguientes preguntas.

a. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de cuadrados y la cantidad de círculos? __________b. ¿Cuál es la razón entre el total de figuras geométricas y la cantidad de círculos? _________

4. Dibuja la razón: las fichas rojas son a las azules como 4 es a 7, y luego responde la pregunta que sigue.

a. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de fichas azules y el total de fichas? _____________


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46


Aptus

5. En la clase de Pedro hay 12 niñas y 15 niños.

a. ¿Cuál es la proporción de niñas al total del curso?

12 niñas 15 niñas

27 niños en total

6. Juanito en su granja tiene en total 35 animales, de esos 21 son gallinas y el resto vacas.

a. ¿Cuántas vacas hay en la granja?

b. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de vacas y el total de animales de la granja?

21 gallinas 14 vacas

35 animales en total

7. Amalia plantó 7 flores rojas y 13 flores moradas en su jardín, ¿cuál es la razón entre la cantidad de

flores rojas y el total de flores?

8. Francisco es vendedor de manzanas. El día martes comenzó con 10 kilos de manzanas en su tienda. Durante el transcurso del día vendió algunos kilos y finalizó el día con 7 kilos de manzanas. Cuál es la razón entre la cantidad de kilos de manzana que vendió y la cantidad de kilos de manzana que tenía?


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47


Aptus

9. Vicente celebrará su cumpleaños, la razón que habrá en su cumpleaños entre dulces y chocolates

es de 15 es a 10. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de chocolates y el total de dulces y chocolates?

10. En la clase de Rosa hay 18 compañeros que les gusta tocar la guitarra y 14 que les gusta tocar la flauta

a. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de estudiantes que les gusta tocar la guitarra y que les gusta tocar la flauta?

O: R:

A:

b. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de estudiantes que les gusta tocar guitarra y el total de estu-diantes de la clase?

O: R:

A:


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48


Aptus

Resolver problemas en los que aumenta una de las variables y son capaces de

calcular el resultado de la variable faltante usando razones equivalentes.


Rutina matemática:

1. Calcula los factores de los siguientes números:

a. 51 =

b. 30 =

c. 28 =

d. 42 =

2. Compara los siguientes números usando >, < o =:

a. 2/9 0,2

b. 0,776 7/9

c. 6/14 15/35

d. 10/25 10/20

e. 0,231 0,2301

f. 4/12 6/18


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49


Aptus

Recuerda que:

Una razón es equivalente a otra cuando el cociente entre el antecedente y el consecuente da el mismo resultado.

Jacinta y Francisca quieren dividir 30 cartas para jugar un juego de mesa. Jacinta dice que hay que dividirlas en la razón 1 es a 4 pero Francisca dice que las deben dividir en la razón 6 es a 24. ¿Quién está en lo correcto? ¿Son razones equivalentes y por eso ambas están en lo correcto?

Jacinta → 1:4= 0,25

Francisca → 6:24 =0,25

Ambas tienen la razón, el cociente entre el antecedente y el consecuente de ambas da 0,25 y esto es porque ambas razones son equivalentes.

Otra forma de ver si son razones equivalentes es dejar ambas razones en su mínima expresión, es decir de la forma más simple.

Ramón y Patricio no están seguros si dividir las lentejas en la proporción 12:18 es lo mismo que 18:27. ¿Es lo mismo?

• 12:18 → 12 y 18 son divisibles por 6, por lo que si simplificamos la razón nos da 2:3

• 18:27 → 18 y 27 son divisibles por 9, por lo que si simplificamos la razón nos da 2:3

Al simplificar ambas razones nos da 2:3. Dado esto, podemos concluir que las razones son equivalentes.

¿Cómo resolvemos problemas cuando aumenta una de las variables de la razón, utilizando razones equivalentes?

Fichas rojas → 2

Fichas amarillas → 4

2 → 2 : 2 1 Divide ambos términosentre un factor común4 → 4 : 2 2

2 → 2 x 3 6 Multiplica ambos términosentre un factor común4 → 4 x 3 12


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Aptus

a. Juan tiene que construir 6 muros. Para construir un muro utiliza 7 sacos de cemento. ¿Cuántos sacos de cemento necesitará Juan para construir los 6 muros?

Paso 1 Paso 2 Paso 3

1 muro=

6 muros 1 muro • x= 6 muros x sacos =

6 muros • 7 sacos= 42 sacos

7 sacos x sacos 7 sacos 1 muro

b. Juanita celebró su cumpleaños, invitó a muchos amigos. 22 eran mujeres y la razón entre mujeres y hombres era 2:3. ¿Cuántos hombres había en el cumpleaños de Juanita?

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

2 mujeres=

2 mujeres 2 mujeres • x hombres= 22 mujeres x =

22 • 3x =

11 • 3= 33

3 hombres x hombres 3 hombres 2 1

c. Nicolás necesita hacer color naranjo para pintar un muro. La razón entre litros de pintura amarilla y litros de pintura roja es 3 es a 1. Necesita preparar 36 litros de pintura. ¿Cuántos litros de pintura roja y amarilla necesita?

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

3 am.=

x am. 3 am. • 36 mezcla= x am.

3 am. • 9 mezcla= x am. Amarillo = 27

36– 27

4 mezcla 36 mezcla 4 mezcla 1 mezcla Rojo = 15

1. Tomás está repartiendo un premio, pero no sabe si repartirlo en la razón 2:4 le dará la misma cantidad a cada participante que si lo reparten en la razón 9:12. ¿Da la misma cantidad a cada integrante? Resuélvelo utilizando comparación de cocientes.

O: R:

A:


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Aptus

2. Lucía quiere preparar un postre. En los ingredientes sale que debe echarle harina y leche en la razón 10 : 25. Sin embargo, solo tiene ingredientes para echarle en la razón 8:20. ¿Le sirven los ingredientes que tiene? Resuélvelo utilizando la estrategia de simplificar a la mínima expresión.

O: R:

A:

3. En un curso, la proporción de estudiantes que juegan futbol y juegan tenis están en la razón 7 : 3, si 9 estudiantes juegan tenis, ¿cuántos juegan futbol?

O: R:

A:

4. En el almuerzo, el postre de hoy es fruta. Los estudiantes pueden elegir entre manzana y naranja. La razón en que eligen manzana y naranja es 7 : 9. Si en total almuerzan 48 alumnos, ¿Cuántos eligen manzana y cuántos eligen naranja?

O: R:

A:


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Aptus

5. Descubre si las siguientes razones son equivalentes con el método de comparación de cocientes:

a. 12:20 y 21/35

b. 10/7 y 20:30

c. 22:32 y 15/20

d. 9:63 y 8:56

6. Descubre si las siguientes razones son equivalentes con el método de comparación de razones en su mínima expresión:

a. 14:24 y 27:48

b. 18/8 y 45:20

c. 24:32 y 15/20

d. 9/63 y 8:56

7. El 6°A realizó su paseo de curso. De postre compraron helados de vainilla y chocolate. La razón entre los niños que comieron helados de vainilla y chocolate es de 4:5. Si en total 16 compañeros tomaron helado de vainilla, ¿cuántos tomaron helado de chocolate?

O: R:

A:


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Aptus

8. A un concierto asistieron 300 personas, la razón entre hombres y mujeres es de 2: 3, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres había?

O: R:

A:

9. En la sala del 7°A las mesas son muy grandes. Por esto, la hay 4 sillas por cada 1 mesa. Si en total hay 7 mesas ¿cuántas sillas hay?

O: R:

A:

10. En una tienda, la razón de venta entre revistas y libros es de 7:9. Si ayer se vendieron 36 libros, ¿cuántas revistas se vendieron?

O: R:

A:


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Aptus

Hoy resolveremos problemas de la vida cotidiana que involucren razones.


Rutina matemática:

1. Calcula 3 razones equivalentes para cada de las siguientes expresiones:

a. 5 : 7 =

b. 1 : 2 =

c. 11 : 8 =

d. 6 : 5=

2. En una pastelería se venden 5 berlines por cada 2 pasteles cada día. Si ayer se vendieron 30 berlines, ¿cuántos pasteles se vendieron?

En un cruce de un semáforo, por cada 40 autos pasan 15 motos. ¿Cuál es la razón que representa la cantidad de autos y motos que pasan por la intersección? Expresa la razón en su mínima expresión.

Paso 1 Paso 2 Paso 3

40 autos15 motos

Autos : Motos

40 : 15 = 4015

=

Desgloses:

40 1520 2 5 310 2 1∕ ∕ 55 2

1∕ ∕ 5

40 : 15 = 4015

=

2 x 2 x 2 x 53 x 5

= 2 x 2 x 23

= 83//


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Aptus

1. Una productora de eventos realiza un concierto. Por cada 28 mujeres que asisten, van 70 hombres. ¿Cuál es la razón que representa la cantidad de mujeres y hombres al concierto? Expresa el resultado en su mínima expresión.

O: R:

A:

2. Las edades de dos hermanas están en la razón 2:3. La suma de sus edades es 70. ¿Cuál es la edad de cada una?

O: R:

A:

3. La sombra proyectada por un edificio de 50 metros de altura es de 12 ¿Si la sombra proyectada de otro edificio es de 18 metros, ¿cuál es la altura del edificio?

O: R:

A:


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Aptus

4. Las edades dos primos están en la razón 2 : 5 y la suma de sus edades es 56 ¿Cuál es la edad de cada uno?

O: R:

A:

5. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de números primos y los múltiplos de 3 que hay entre 1 y 25? Expresa el resultado en su mínima expresión.

O: R:

A:

6. Por una manguera salen 35 litros de agua por cada 5 minutos. Si Camila riega diariamente su jardín por 15 minutos. ¿Cuánta agua habrá salido por la manguera en 4 semanas?

O: R:

A:


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Aptus

Hoy aprenderemos que son los porcentajes.


Rutina matemática:

1. Marca las fracciones que son equivalentes a 75/100:

23

34

45

78

68

79

1216

616

1220

35

810

78

1620

2024

1040

3344

4085

918

2. Determina el valor de la incógnita:

a. x + 5 = 12 → x =

b. 14 + m = 23 → m =

c. 15-n=4 → n =

d. p – 16= 22 → p =

e. t – 12=35 → t =


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Aptus

Recuerda que:

Un porcentaje es un aparte de 100. Es una forma de comparar dos números, donde el primer número debe ser comparado con 100.

Por ejemplo: En una granja hay 100 animales, 60 de ellos son ovejas. Entonces 60 de 100 animales son ovejas. Existen tres formas de escribir esta expresión.

Fracción Decimal Porcentaje

60100

0,6 60%

En este caso las ovejas representan 60 partes de 100. Esto implica que el 60% de los animales son ovejas, es decir 60 de cada 100. La expresión 60% se lee "sesenta por ciento".

¿Cómo representaríamos ahora el 25% de las fichas que tenemos en el tablero?

Encierra en un círculo las fichas que equivalen a un 25%.

Un porcentaje es una parte de 100, por lo que 25% representa 25 partes de 100. El 25% representaría 25 fichas de 100, tal como se muestra en la imagen.

¿Cómo representaríamos las 25 de 100 como fracción?

25100

¿Cómo queda 25/100 expresado en su mínima expresión?

25=

5 x 5=

1100 5 x 5 x 4 4

Cuando buscamos el 25% de 100, estamos buscando ¼ de 100. Para calcular cuántos

cuadrados representaría ¼ de 100, debemos considerar que el "de" representa una

multiplicación

1de 100 =

1x 100 = 25

4 4


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Aptus

¿Qué porcentaje representa 2/5 del total de las fichas del tablero?

Amplificando: Multiplicando:

Buscamos qué porcentaje representa 2/5 de 100.

Para esto, amplificamos 2/5 de tal forma que el denominador sea 100.

2=

405 100

x 20

x 20

2/5 del total de 100 fichas representa 40 partes de 100, lo que sería el 40%.

Buscamos qué porcentaje representa 2/5 de 100.

Para esto, multiplicamos 2/5 por 100, para encontrar el total de fichas que representa esta expresión.

2de 100 =

2x 100 = 40

5 5

2/5 de 100 fichas representa el 40% de las fichas.

1. En una generación de 100 alumnos de 4° básico, el 60 % son mujeres y el resto hombres.Encierra que cantidad de alumnos son hombres.

2. Una bolsa de caramelos trae dos tipos de calugas, de fruta y de leche. 3/4 de las calugas son de leche. ¿qué porcentaje representan las calugas de leche?

Amplificando: Multiplicando:

¿Qué representa esta expresión? 3/4 de las 100 calugas representan el de las calugas.


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Aptus

3. En una huerta hay 100 plantas, 3/20 son habas y el resto lechugas tomates y arvejas. ¿Qué porcentaje representan las habas?

O: R:

A:

4. a. Encierra en el dibujo qué cantidad de cír-culos representa el 40%.

b. Calcula el porcentaje que representa la cantidad de círculos encerrados

R: ______%

5. En una librería hay 100 libros distintos, de ellos el 25 son de ciencia ficción.

a. ¿Qué porcentaje de los libros son de ciencia ficción?

O: R:

A:

b. ¿Cómo se lee ese porcentaje de la pregunta anterior? ________________________


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Aptus

6. En una automotora el 73% de los autos son grises y el resto blancos.

a. ¿Qué porcentaje de autos son blancos?

O: R:

A:

b. ¿Cómo se lee ese porcentaje de la pregunta anterior? _______________________________

7. En la generación de 6° básicos hay 100 estudiantes. Al 24% les gusta el helado de piña, al 32% le gusta el helado de vainilla y al resto de chocolate. ¿A cuántos estudiantes de la generación les gusta el helado de chocolate?

O: R:

A:


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Aptus

8. Transforma las siguientes fracciones en porcentajes:

a. 17=

20

b. 3=

4

c. 2=

10

9. Roberto planta en su huerta distintas frutas y verduras:

Choclo

Tomate

Cebolla

Lechuga

Zanahoria

Betarraga

Zapallo

Repollo

¿Qué porcentaje representa cada una de estas frutas o verduras del total?

a. Choclo = e. Zanahoria =

b. Tomate = f. Betarraga =

c. Cebolla = g. Zapallo =

d. Lechuga = h. Repollo =

d. 7=

25

e. 3=

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Aptus

Hoy vamos a transformar la notación de un porcentaje entre fracción, porcentaje y

decimal.


Rutina matemática:

1. Redondea cada número a la centena de mil más cercana:

a. 76.897.097 =

b. 43.213.456 =

c. 89.965.023 =

d. 54.093.780 =


f. 2 x 1000 =

g. 267 x 100 =

h. 892 x 10 =

i. 182 x 1000 =


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Aptus

Recuerda que:

Observa que así como podemos representar un porcentaje como fracción, también podemos hacerlo como decimal.

Porcentaje representado: 40%

Fracción:

Para representarlo como decimal, dividimos el numerador por el denominador. Como el denominador

es una potencia de 10, en este caso 100, corremos la coma dos lugares a la izquierda:

= 40 : 100 = 0, 40 ó 0, 4

40% = = 0, 4

40100

40100

40100

1. Resuelve los siguientes ejercicios.

Ejemplo 1: En un colegio de 800 estudiantes se realizaron olimpiadas. Del total de estudiantes sólo asistió el 80%. ¿cuántos estudiantes asistieron?

Amplificando Multiplicación

Total de estuadiantes=

100%=

800Asistieron 80% ?

80% de asistencia x 800 estuadiantes= 640 estudiantes

100% total de estuadiante

x 8

x 8

Porcentajes Cantidad

80% de de 800 estudiantes =

80 x 800 = 640 asistentes100


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Aptus

Ejemplo 2: En una biblioteca hay 400 textos entre libros, artículos científicos y revistas. De los 400, el 40% son libros. ¿Qué cantidad de los textos son libros?


Total de textos=

100%=

400Total de libros 40% ?

40% de textos son libros x 400 total de textos= 160 libros

100% total de textos

x 4

x 4

Porcentajes Cantidad

40% de 400 = 40 x 400 = 160 libros100

a. A una bandeja de 30 huevos, le quedan solo 27. ¿Qué porcentaje de huevos quedan en la bandeja?


b. Dentro de una caja caben 45 tarros de duraznos en conserva. Si la caja tiene solo un 20% de los tarros ¿Cuántos tarros tiene?



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Aptus

2. Transforme entre porcentaje, fracción y decimal

Por ejemplo: ¿Cómo se representa el setenta por ciento como porcentaje, fracción y decimal?

Porcentaje Fracción Decimal

70%

Setenta partes de 100,lo que representa

70100

70= 70 : 100 = 0,7

100

Recuerda que al dividir un número por potencias de 10 corremos la coma a la izquierda tantas veces como ceros tenga.

a. ¿Cómo escribiríamos sesenta y cinco como porcentaje, fracción y decimal?


b. ¿Cómo expresarías como porcentaje, fracción y decimal 3/5 de 100?


3. Completa la tabla con porcentaje, decimal o fracción según corresponda. La fracción déjala expresada en su mínima expresión:


2325

0,67

35%

15

920

75%


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Aptus

4. Representa como porcentaje, fracción y decimal el área sombreada de las siguientes imágenes:

a.

b.

c.

Porcentaje: _______

Fracción: _______

Decimal: _______

Porcentaje: _______

Fracción: _______

Decimal: _______

Porcentaje: _______

Fracción: _______

Decimal: _______


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Aptus

5. En un sexto básico hay 28 alumnos. Si el día lunes asistieron ¾ de los alumnos, ¿cuántos alumnos asistieron?

O: R:

A:

6. A un cumpleaños asistieron 50 niños, el 30 % tomó bebida y el resto jugo. ¿Cuántos niños tomaron jugo?

O: R:

A:

7. Francisca está preparando pan, para esto tiene un saco de 20 kg de harina. Si utilizó ¼ del saco…

a. ¿Cuántos kilos utilizó?

O: R:

A:


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Aptus

b. ¿A qué porcentaje corresponde esto?

O: R:

A:

8. Francisco compró 250 clavos, de estos el 20% eran para madera.

a. ¿Cuántos clavos eran para madera?

O: R:

A:

b. ¿WA qué porcentaje corresponde el resto de los clavos?

O: R:

A:


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Aptus

Hoy vamos a resolver ejercicios que involucran porcentajes.


Rutina matemática:

1. Completa con <, > o =

a. x + x -x + 5 4 x = 2

b. m + m + m + m – m - 7 6 m = 4

c. k – k + k – k + k + k + 8 16 k = 4

d. j + j + j 9 j = 3

e. 5 + g + g + g – g 17 g = 5

2.Resuelve los siguientes ejercicios, expresa el resultado en su mínima expresión:

a. 3–

1=

5 10

b. 1–

1=

3 6

c. 9–

1=

10 5

d. 5–

1=

8 4

e. 3–

1=

4 12


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Aptus

Bernardita está poniendo baldosas en la terraza. Ella compró 50 baldosas, que cubrirán toda la terraza. Si ha puesto solo 23 baldosas, ¿qué porcentaje de baldosas ha puesto?

Baldosas puestas= =

Total de baldosas

x

x

¿Por qué número debo amplificar 50 para obtener 100?

¿Qué resultado obtengo?

Otra forma de responder el ejercicio sería el siguiente:

Despejo x% utilizando la operación inversa y obtengo:

1. Calcula el porcentaje de los siguientes números:

a. 25 % de 160 =

b. 10% de 40 =

c. 150% de 50 =

d. 90% de 420 =

e. 15% de 300 =

f. 65% de 260 =

23

50 100

R: Por 2

R: 46%

baldosas puestas = 23 = X %baldosas totales 50 100 %

X % = 23 x 100 = 23 x 2 = 46 % 50


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Aptus

2. Una verdulería tiene 10 tipos frutas y 15 tipos de verduras a la venta.

a. ¿Qué porcentaje del total de productos que vende la verdulería son frutas?

O: R:

A:

b. ¿Qué porcentaje del total de productos que vende la verdulería son verduras?

O: R:

A:

3. En un curso de 35 estudiantes realizó una prueba, el 80 % obtuvo una nota mayor a 5,5.

a. Cuántos estudiantes obtuvieron una nota mayor a 5,5?

O: R:

A:


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73


Aptus

b. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron una nota menor a 5,5?

O: R:

A:

4. Flavio debe pintar una casa de color celeste. Para eso utiliza 2 medida de azul por cada 3 medidas de blanco. Si utilizó 18 litros de azul, ¿Cuántos litros de pintura blanca utilizó?

O: R:

A:

5. ¿Qué porcentaje representan los números primos entre el 11 y el 20 (ambos incluidos) respecto del total de números del intervalo?

O: R:

A:


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an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


74


Aptus

6. Se hizo una encuesta respecto a que género de películas les gustaba más a las personas. Se entrevistó en total a 1500 personas. La encuesta les pedía marcar un género de películas era el que les gustaba más.

Comedia

Suspenso

Drama

Románticas

Ciencia ficción

Completa la siguiente tabla con cantidad de votos o porcentaje de votación según corresponda.

% de votación Cantidad de votos

Comedia 30%

Suspenso 135

Drama 525

Románticas 5%

Ciencia Ficción

7. Expresa la siguiente expresión como porcentaje, fracción o decimal según corresponda. Luego, represéntalos gráficamente:

Porcentaje Fracción Decimal Gráficamente

50% o

35

0,75

310

40% o


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


75


Aptus

Hoy vamos a transformar fracciones impropias a números mixtos y viceversa.


Rutina matemática:


a. 4 x (8 – 3) + (5 x 5-5) x 3 – 3 =

b. [6 x 2 + 3 x (5 x 3 – 5)] ÷ 2 =

c. (20 + 4) : 6 + 3 =

d. 24 – (24 – 3 x 2) : 3 =

2.Calcula los siguientes porcentajes:

a. 200% de 30 =

b. 80% de 350 =

c. 25% de 400 =

d. 65% de 520 =


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


76


Aptus

Recordemos que...

1 → Numerador

2 → Denominador

• Una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador, por ejemplo 3/4. El valor de estas fracciones siempre es menor a uno.

• Una fracción impropia es aquella en la que el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo 5/4. El valor de estas fracciones siempre es mayor a 1.

• Un número mixto que es aquel que se compone por un número entero acompañado de una fracción propia, por ejemplo 1 1/4. El valor de esta fracción siempre es mayor a 1.

Un número mayor a uno se puede representar como fracción impropia o número mixto.

Fracción propia : 3

4

Fracción impropia : 5

4

Número Mixto: 1 1

4

De número mixto a fracción propia y viceversa

Se puede representar un número mayor a uno como número mixto o como fracción impropia.

• De número mixto a fracción impropia:

1 3=

7+

3=

7 + 3=

107 7 7 7 7

• De fracción impropia a número mixto:

10=

7 + 3=

7+

3= 1 +

3= 1 3

7 3 7 7 7 7


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


77


Aptus

Número Clasificación Expresión gráfica ¿Se puede expresar de otra forma?¿cuál? ¿cómo sería?

85

Fracción impropia

Sí, como fracción impropia.

5

5 + 3

5 = 1 3

5

1 720

Número mixto

Sí, como fracción impropia.

27

20

710

Fracciónpropia

No, ya que es menor a uno y por ende no se puede representar como número mixto o fracción impropia.

1. Completa:


45

2 310

125


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


78


Aptus

2. Escribe la fracción impropia y el número mixto que corresponda:

a.

b.

c.

d.

3. Dibuja rectángulos, divídelos y pinta las partes correspondientes para representar las siguientes fracciones.

a. 36

b. 85

c. 32

4. Completa la siguiente tabla:


127

1 13


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


79


Aptus


95

56

1 35

5. Completa:

a.

811

=5 11

e.

8 =52

6 6

b.

= 93

f.54

= 6

c.

38

=12

g.

57

=47

8

d.

66

=15

h.

4 =21

5 5

6. Completa:

Fracción impropia Número mixto

3 78

285

649


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


80


Aptus

Hoy vamos a transformar de fracciones impropias a números mixtos y viceversa,

ubicándolos en la recta numérica.


Rutina matemática:

1. Resuelve:

Número Clasificación Representación gráfica ¿Se puede expresar de otra forma?¿cuál? ¿cómo sería?

43

1 26

Fracciones propias, impropias y números mixtos en la recta numérica

2

5

4

5

Compara ambas barras, ¿Cuál fracción representa un número más grande?

4/5 es mayor que 2/5, ya que 4 partes es mayor que dos y estamos comparando barras de igual tamaño.


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


81


Aptus

Dado que ambas fracciones son propias y están entre 0 y 1, podemos utilizar estos mismos rectángulos para dividir en 5 espacios iguales la distancia que hay entre 0 y 1.

0 5

Si esta recta la representamos como fracción, obtenemos lo siguiente.

0 1 2 3 4 55 5 5 5 5 5

Para comparar fracciones lo que se debe hacer es comparar la distancia que hay entre el cero y esa fracción. En este caso, decimos que la distancia entre 2/5 es menor que la distancia de 4/5.

Entonces, mientras más alejado del cero esté un número este será más grande y viceversa. Mientras más cerca del cero esté un número será más pequeño.

0 1 2 3 4 55 5 5 5 5 5

1. Ubica los siguientes números en la recta numérica:

3,

7, 1 1

4 4 4

0 1 2


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


82


Aptus


1,

5, 2 2

3 3 3


5,

1, 1 1

2 2 2

4. Ubica en la recta numérica los siguientes números y encierra el número más grande.

a. 4,

11, 1 4

5 5 5

b. 4, 2 1

,7

3 3 3

c. 7,

3, 2 1

2 2 2


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a


83


Aptus

5. Escribe qué fracciones están entre medio en la recta numérica:

a.

0 1 2

2 2 2

b.

0 1 2

4 4 4

c.

0 1 2 3 4 5

d.

0 1 2


Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

Uso

exc

lusi

vo C

oleg

io S

an A

nton

io d

e M

atill

a

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