Utilidad
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Capítulo 4
Utilidad
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Recordando las preferencias◆ x y: x es extríctamente preferida a y.◆ x ∼ y: x e y son igualmente preferidas.◆ x y: x es preferida al menos tanto
como y.
~
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◆ Completas: para cualquier par de canastas x e y siempre es posible determinar que x y ó
◆ y x.
~
~
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◆ Reflexivas: cualquier canasta x es siempre al menos tan preferida como ella misma.
x x.~
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◆ Transitivas: six es al menos tan preferida como y, yy es al menos tan preferida como z, entoncesx es al menos tan preferida como z.
x y e y z x z.~ ~ ~
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Funciones de Utilidad
◆ Una relación de preferencia que es completa, reflexiva, transitiva y contínua puede ser representada por una función de utilidad contínua.
◆ Continuidad significa que cambios pequeños en la canasta de consumo provocan cambios pequeños en el nivel de preferencia..
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◆ Una función de utilidad U(x) representa a una relación de preferencias si y sólo si:
x’ x” U(x’) > U(x”)
x’ x” U(x’) < U(x”)
x’ ∼∼ x” U(x’) = U(x”).
~
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◆ La utilidad es un concepto ordinal.◆ Por ejemplo, si U(x) = 6 y U(y) = 2
entonces la canasta x es estríctamente preferida a la canasta y. Pero x no es tres veces preferida a y.
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Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
◆ Consideremos las canastas (4,1), (2,3) y (2,2).
◆ Supongamos que (2,3) (4,1) ∼ (2,2).
◆ Asignemos a estas canastas números cualquiera que preserven el orden de preferencias:por ejemplo:U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4.
◆ A etos números los denominamos niveles de utilidad.
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◆ Una curva de indiferencia contiene canastas igualmente preferidas.
◆ Igualmente preferida ⇒ el mismo nivel de utilidad.
◆ En consecuencia, todas las canastas en una curva de indiferencia tienen el mismo nivel de utilidad.
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◆ Así, las canastas (4,1) y (2,2) están en la curva de indiferencia con un nivel de utilidad U ≡ 4
◆ Pero la canasta (2,3) está en la curva de indiferencia con un nivel de utilidad U ≡ 6.
◆ Sobre un grafico, estas curvas de indiferencia se presentan así:
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U ≡ 6U ≡ 4
(2,3) (2,2) ∼ (4,1)
x1
x2
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◆ Otra forma de visualizar la misma información es graficando el nivel de utilidad sobre el eje vertical.
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U(2,3) = 6
U(2,2) = 4 U(4,1) = 4
Grafico en 3D de niveles de consumo y utilidad de tres canastas
x1
x2
Utilidad
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◆ Esta visualización en 3D de las preferencias nos puede brindar mayor información si incorporamos las curvas de indiferencia.
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U ≡ 4
U ≡ 6
Curvas de indiferenciamás altas contienencanastas más preferidas.
Utilidad
x2
x1
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◆ Comparando más canastas se constituye una colección mayor de curvas de indiferencia y una mejor descripción de las preferencias del consumidor.
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U ≡ 6U ≡ 4U ≡ 2
x1
x2
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◆ Como antes, estas pueden ser visualizadas en 3D graficando cada una de las curvas a una altura correspondiente a su nivel de utilidad.
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U ≡ 6
U ≡ 5U ≡ 4
U ≡ 3U ≡ 2
U ≡ 1x1
x2
Utilidad
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◆ La comparación de todas las canastas de consumo posibles nos entrega una completa colección de curvas de indiferencia, a cada una de las cuales se les asigna un nivel de utilidad.
◆ Esta conjunto de curvas de indiferencia representa las preferencias del consumidor.
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x1
x2
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x1
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x2
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x1
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x1
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x1
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x1
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◆ El conjunto de todas las curvas de indiferencia para una relación de preferencia dada, es un mapa de indiferencia.
◆ Un mapa de indiferencia es equivalente a la función de utilidad.
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Funciones de Utilidad
◆ No hay una función de utilidad única que represente a una relación de preferencias.
◆ Supongamos que U(x1,x2) = x1x2 representa una cierta relación de preferencia.
◆ Ahora volvamos a considerar las canastas (4,1), (2,3) y (2,2).
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◆ U(x1,x2) = x1x2, entonces
U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4;
es decir, (2,3) (4,1) ∼∼ (2,2).
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◆ U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ∼∼ (2,2).
◆ Definamos V = U2.
![Page 42: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/42.jpg)
◆ Entonces V(x1,x2) = x12x2
2 y V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16en consecuencia(2,3) (4,1) ∼∼ (2,2).
◆ V representa los mismos órdenes de utilidad que U y entonces representa las mismas preferencias.
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◆ U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ∼∼ (2,2).
◆ Definamos W = 2U + 10.
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◆ Entonces W(x1,x2) = 2x1x2+10 y entonces W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18. Y de nuevo,(2,3) (4,1) ∼∼ (2,2).
◆ W representa el mismo órden de preferencias de U y de V y entonces representa las mismas preferencias.
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◆ Si – U es una función de utilidad que
representa a una relación de preferencias y
– f es una función estríctamente creciente,
◆ Entonces V = f(U) es también una función de utilidad representativa de la misma relación de preferencias.
![Page 46: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/46.jpg)
Bienes, Males, Neutros◆ Un bien es bien cuando una unidad
adicional incrementa la utilidad (nos dá una canasta más preferida).
◆ Un mal es un bien cuando una unidad adicional disminuye la utilidad (nos dá una canasta menos preferida).
◆ Un bien neutro es un bien cuando una unidad adicional no cambia la utilidad (nos dá una canasta igualmente preferida).
![Page 47: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/47.jpg)
Utilidad
Aguax’
Unidadesque sonbienes
Unidadesque sonmales
Alrededor de x’ unidades, una cantidad adicional de agua es un bien neutro.
FunciónUtilidad
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Algunas otras funciones de utilidad y sus curvas de indiferencia
◆ En vez de U(x1,x2) = x1x2 consideremos
V(x1,x2) = x1 + x2.
¿Cómo se presentan las curvas de indiferencia de esta función?
![Page 49: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/49.jpg)
Curvas de indiferencia de sustitutos perfectos
5
5
9
9
13
13
x1
x2
x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 + x2 = 13
V(x1,x2) = x1 + x2.
![Page 50: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/50.jpg)
5
5
9
9
13
13
x1
x2
x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 + x2 = 13
Todas son líneales y paralelas
V(x1,x2) = x1 + x2.
![Page 51: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/51.jpg)
◆ En vez de U(x1,x2) = x1x2 ó V(x1,x2) = x1 + x2, consideremos
W(x1,x2) = mín{x1,x2}.
¿Cómo se presentan las curvas de indiferencia de esta función?
![Page 52: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/52.jpg)
Curvas de indiferencia de complementarios perfectos
x2
x1
45o
mín{x1,x2} = 8
3 5 8
35
8
mín{x1,x2} = 5
mín{x1,x2} = 3
W(x1,x2) = mín{x1,x2}
![Page 53: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/53.jpg)
x2
x1
45o
mín{x1,x2} = 8
3 5 8
35
8
mín{x1,x2} = 5
mín{x1,x2} = 3
Todas son ángulos rectos con vertices en el rayoque parte del orígen.
W(x1,x2) = mín{x1,x2}
![Page 54: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/54.jpg)
◆ Una función de utilidad de la forma
U(x1,x2) = f(x1) + x2
es líneal en x2 y se conoce como cuasi lineal.
◆ Por ejemplo: U(x1,x2) = 2x1
1/2 + x2.
![Page 55: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/55.jpg)
Curvas de indiferencia cuasi linealesx2
x1
Cada una de las curvas es una copia verticalmente desplazada de las otras.
![Page 56: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/56.jpg)
◆ Cualquier función de utilidad de la forma
U(x1,x2) = x1a x2
b
con a > 0 y b > 0 se conoce como función de utilidad Cobb-Douglas.
◆ Por ejemplo: U(x1,x2) = x1
1/2 x21/2 (a = b = 1/2)
V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)
![Page 57: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/57.jpg)
Curvas de indiferencia Cobb-Douglasx2
x1
Todas las curvas sonhipérbolas, asintóticaspero nunca tocan los ejes.
![Page 58: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/58.jpg)
Utilidd Marginal
◆ Marginal significa “incremental”.◆ La utilidad marginal de un bien es la tasa
de cambio de la utilidad total cuando la cantidad del bien i cambie. Por ejemplo:
ii x
UTUMg
∂∂=
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◆ Por ejemplo si U(x1,x2) = x11/2 x2
2 entonces
22
2/11
11 2
1xx
x
UTUMg −==
∂∂
![Page 60: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/60.jpg)
◆ Por ejemplo, si U(x1,x2) = x11/2 x2
2 entonces
22
2/11
11 2
1xx
x
UTUMg −==
∂∂
![Page 61: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/61.jpg)
◆ Por ejemplo, si U(x1,x2) = x11/2 x2
2 entonces
22/1
12
2 2 xxx
UTUMg ==
∂∂
![Page 62: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/62.jpg)
◆ Por ejemplo, si U(x1,x2) = x11/2 x2
2 entonces
22/1
12
2 2 xxx
UTUMg ==
∂∂
![Page 63: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/63.jpg)
◆ Así, si U(x1,x2) = x11/2 x2
2 entonces
22/1
12
2
22
2/11
11
2
2
1
xxx
UTUMg
xxx
UTUMg
==
== −
∂∂∂∂
![Page 64: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/64.jpg)
Utilidd Marginal y Tasa Marginal de Sustitución
◆ La ecuación general para una curva de indiferencia es U(x1,x2) ≡ k, donde k es una constanteLa diferencia total de esta identidad es:
022
11
=+ dxx
Udx
x
U
∂∂
∂∂
![Page 65: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/65.jpg)
022
11
=+ dxx
UTdx
x
UT
∂∂
∂∂
11
22
dxx
UTdx
x
UT
∂∂
∂∂ −=
Reordenando:
![Page 66: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/66.jpg)
11
22
dxx
UTdx
x
UT
∂∂
∂∂ −=
reordenando
y
./
/
2
1
1
2
xUT
xUT
xd
xd
∂∂∂∂−=
Ésta es la TMgS.
![Page 67: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/67.jpg)
Utilidad Marginal y Tasa Marginal de Sustitución, un ejemplo.
◆ Supongamos que U(x1,x2) = x1x2. entonces
112
221
)1)((
))(1(
xxx
UT
xxx
UT
==
==
∂∂∂∂
./
/
1
2
2
1
1
2
x
x
xUT
xUT
xd
xdTMgS −=−==
∂∂∂∂
![Page 68: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/68.jpg)
1
2
x
xTMgS −=
TMgS(1,8) = - 8/1 = -8 TMgS(6,6) = - 6/6 = -1.
x1
x2
8
6
1 6U = 8
U = 36
U(x1,x2) = x1x2;
![Page 69: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/69.jpg)
Tasa Marginal de Sustitución para funciones de utilidad cuasi lineales
◆ Una función de utilidad cuasi lineal es de la forma U(x1,x2) = f(x1) + x2.
)( 11
xfx
UT ′=∂∂
12
=x
UT
∂∂
).(/
/1
2
1
1
2 xfxUT
xUT
xd
xdTMgS ′−=−==
∂∂∂∂
![Page 70: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/70.jpg)
◆ La TMgS = - f (x1) no depende de x2 en consecuencia, la pendiente de las curvas de indiferencia para una función de utilidad cuasi lineal es constante a lo largo de cualquier de cualquier líneal para la cual x1 es constante.¿Cómo es el mapa de curvas de indiferencia en este caso?
′
![Page 71: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/71.jpg)
x2
x1
Cada una de las curvas es una copia verticalmente desplazada de las otras.
TMgS es una constante a lo largo de la línea para la cual x1 es constante.
TMgS =- f(x1’)
TMgS = -f(x1”)
x1’ x1”
![Page 72: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/72.jpg)
Transformaciones Monotónicas y Tasa Marginal de Sustitución
◆ Aplicar una transformación monotónica a una función de utilidad crea otra función de utilidad que representa a la misma relación de preferencias.
◆ ¿Pero, qué sucede con la TMgS cuando se aplica una transformación monotónica?
![Page 73: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/73.jpg)
◆ Para U(x1,x2) = x1x2 la TMgS = - x2/x1.
◆ Creamos V = U2; V(x1,x2) = x12x2
2. ¿Cuál es la TMgS para V?
que es la misma TMgS para U.
1
2
221
221
2
1
2
2
/
/
x
x
xx
xx
xV
xVTMgS −=−=−=
∂∂∂∂
![Page 74: Utilidad](https://reader033.fdocuments.es/reader033/viewer/2022052316/559a4b9f1a28ab2f5d8b474b/html5/thumbnails/74.jpg)
◆ De manera más general, si V = f(U) donde f es una función estríctamente creciente, entonces
2
1
2
1
/)('
/)(
/
/
xUUf
xUUf
xV
xVTMgS
∂∂∂∂
∂∂∂∂
××′
−=−=
= − ∂ ∂∂ ∂U xU x//
.12
En consecuencia, la TMgS no cambia por una transformación monotónica Positiva.