VALORACION Y COBERTURA CON OPCIONES - uv.es · si es ventajoso o no el ejercicio anticipado. ......
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VALORACION DE OPCIONESCON ARBOLES BINOMIALES
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Modelo Binomial Simple
• Precio actual de la acción $20• Dentro de tres meses será $22 o $18
Precio Acción = $22
Precio Acción = $18
Precio Acción = $20
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Precio acción = $18Precio opción = $0
Precio acción = $20Precio opción =?
Una opción de compra
Una opción de compra a 3 meses sobre la acción tiene unprecio de ejercicio de 21.
Precio acción = $22Precio opción =$1
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• Considerar la cartera: larga ∆ accionescorta 1 opción de compra
• La cartera es libre de riesgo cuando 22∆ – 1 = 18∆o ∆ = 0.25
22∆ – 1
18∆
Construir una cartera libre deriesgo
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Valorar la cartera(Tipo de interés libre de riesgo 12%)
• La cartera libre de riesgo es:larga 0.25 accionescorta 1 opción de compra
• El valor de la cartera dentro de 3 meses es 22×0.25 – 1 = 4.50
• El valor de la cartera hoy es 4.5e – 0.12×0.25 = 4.3670
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Valorar la opción• La cartera es
larga 0.25 accionescorta 1 opción
su valor 4.367• El valor de las acciones es
5 (= 0.25×20 )• Por lo tanto, el valor de la opción es
0.633 (= 5 – 4.367 )
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Generalización
• Un derivado con vencimiento en elmomento T y que depende de una acción
Su ƒu
Sd ƒd
Sƒ
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Generalización(continuación)
• Considere la cartera larga en ∆ acciones y corta en 1derivado
• La cartera es libre de riesgo cuando Su∆ – ƒu = Sd ∆ – ƒdo
∆ =−−
ƒ u dfS u S d
Su∆ – ƒu
Sd∆ – ƒd
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Generalización(continuacion)
• Valor de la cartera en el momentoT es Su ∆ – ƒu
• Valor de la cartera hoy es (Su ∆ –ƒu )e–rT
• Otra expresión para el valor de lacartera hoy es S ∆ – f
• De manera queƒ = S ∆ – (Su ∆ – ƒu )e–rT
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Generalización(continuacion)
• Sustituyendo por ∆ obtenemos ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT
donde
p e du d
r T
=−
−
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Valoración Riesgo-Neutral
• ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e-rT
• Las variables p y (1 – p ) pueden ser interpretadas comolas probabilidades riesgo-neutral de movimientos al alza oa la baja, respectivamente. El valor de un derivado es suresultado esperado en un mundo neutral al riesgodescontado al tipo de interés libre de riesgo.
Su ƒu
Sd ƒd
Sƒ
p
(1 – p )
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Irrelevancia de la rentabilidadesperada de la acción
Cuando estamos valorando una opción entérminos de la acción subyacente larentabilidad esperada de la acción esirrelevante.
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Ejemplo
• Dado que p es una probabilidad riesgo-neutral20e0.12 ×0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523
• Alternativamente, podemos usar la fórmula:
p du d
rT=
−−
=−
−=
×e e0.12 0.25 0 911 0 9
0 6523.. .
.
Su = 22 ƒu = 1
Sd = 18 ƒd = 0
S ƒ
p
(1 – p )
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Valorar la Opción
El valor de la opción es e–0.12×0.25 [0.6523×1 + 0.3477×0]
= 0.633
Su = 22 ƒu = 1
Sd = 18 ƒd = 0
Sƒ
0.6523
0.3477
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Un ejemplo con dos pasostemporales
• Cada paso temporal es 3 meses
20
22
18
24.2
19.8
16.2
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Valorar una opción de compra
• Valor en el nodo B = e–0.12×0.25(0.6523×3.2 + 0.3477×0) = 2.0257
• Valor en el nodo A = e–0.12×0.25(0.6523×2.0257 + 0.3477×0)
= 1.2823
201.2823
22
18
24.23.2
19.80.0
16.20.0
2.0257
0.0
A
B
C
D
E
F
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Ejemplo de una opción de venta;X=52
504.1923
60
40
720
484
3220
1.4147
9.4636
A
B
C
D
E
F
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Qué sucede cuando una opción esde estilo americano
505.0894
60
40
720
484
3220
1.4147
12.0
A
B
C
D
E
F
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Parámetros del árbol: acciónque no paga dividendos (1)
• Nosotros elegimos los parámetros p, u, y d tal queel árbol proporcione los valores correctos de mediay desviación típica de los cambios en el precio de laacción en un mundo neutral al riesgo.
er ∆t = pu + (1– p )d σ2∆t = pu 2 + (1– p )d 2 – [pu + (1– p )d ]2
• Otra condición impuesta: u = 1/ d
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Elegir u y d
Una forma de ajustar la volatilidad esestablecer
donde σ es la volatilidad y ∆t es la longituddel paso temporal. Esta es la aproximaciónusada por Cox, Ross, and Rubinstein
u e
d e
t
t
=
= −
σ
σ
∆
∆
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Parámetros del árbol: acciónque no paga dividendos (2)
• Cuando ∆t es pequeño una solución a lasecuaciones es
u e
d e
p a du d
a e
t
t
r t
=
=
=−−
=
−
σ
σ
∆
∆
∆
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El árbol completo
S0
S0u
S0d S0 S0
S0u 2
S0d 2
S0u 2
S0u 3 S0u 4
S0d 2
S0u
S0d
S0d 4
S0d 3
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Inducción hacia atrás
• Partiendo del valor de una opción enlos nodos finales.
• Trabajamos hacia atrás a lo largo delárbol usando la valoración riesgo-neutro para calcular el valor de laopción en cada nodo, comprobandosi es ventajoso o no el ejercicioanticipado.
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Ejemplo: Opción de venta
S0 = 50; X = 50; r =10%; σ = 40%;T = 5 meses = 0.4167;∆t = 1 mes = 0.0833
Los parámetros implicanu = 1.1224; d = 0.8909;a = 1.0084; p = 0.5076
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Ejemplo (continuacion)89.07
0.0079.35
0.0070.70 70.70
0.00 0.0062.99 62.99
0.64 0.0056.12 56.12 56.12
2.16 1.30 0.0050.00 50.00 50.00
4.49 3.77 2.6644.55 44.55 44.55
6.96 6.38 5.4539.69 39.6910.36 10.31
35.36 35.3614.64 14.64
31.5018.50
28.0721.93
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Delta
• Delta (∆) es el ratio de cambio en elprecio de una opción sobre unaacción respecto el cambio en elprecio de la acción subyacente.
• El valor ∆ varía de un nodo a otronodo.
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Cálculo de Delta
Delta se calcula entre nodos conincremento temporal ∆t
Delta =−−
= −2 16 6 96
56 12 44 550 41. .
. ..
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Gamma
Mide la tasa de variación de la Delta conrespecto a la variacion del activosubyacente
Sδδ Γ≈∆
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Calculo de Gamma
Gamma se calcula entre nodos conincremento temporal 2∆t
∆ ∆
∆ ∆
1 2
2
0 64 37762 99 50
0 24 377 10 3650 39 69
0 64
11650 03
=−
−= − =
−−
= −
−=
. ..
. ; . ..
.
..Gamma= 1
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Theta
Tasa de variacion del valor de una opcion conrespecto al paso del tiempo
tC δδ Θ≈
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Cálculo de Theta
Theta se calcula apartir de nodos centralescon incrementos temporales de 0 y 2∆t
díapor .-
añopor =Theta
0120
3.41667.0
49.477.3−=
−
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Vega
Tasa de variacion del valor de una opcion conrespecto a la volatilidad del subyacente
δσδ Θ≈C
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Cálculo de Vega
• Podemos proceder como sigue:• Construir un nuevo árbol con una
volatilidad de 41% en lugar de 40%.• Valor de la opción es 4.62• Vega es
idaden volatil cambio 1%por 13.049.462.4 =−
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Rho
Tasa de variacion del valor de una opcion conrespecto al tipo de interes
rC δδ Θ≈
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Árboles y DividendosContinuos
• Cuando una acción paga dividendos continuos alratio q nosotros construimos el árbol de la mismaforma pero estableciendo a = e(r – q )∆t
• Como con Black-Scholes:– Para opciones sobre índices de acciones, q es
igual a la rentabilidad por dividendo del índice– Para opciones sobre divisas, q es igual al tipo
de interés libre de riesgo de la divisa– Para opciones sobre contratos de futuros q = r
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Árbol Binomial para accionesque pagan dividendos
• Procedimiento:– Dibujar el árbol para el precio de la acción
menos el valor actual de los dividendos– Crear un nuevo árbol añadiendo el valor actual
de los dividendos en cada nodo• Esto asegura que el árbol combina y hace las
asunciones similares a las impuestas por elmodelo de Black-Scholes
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Árbol Binomial Alternativo
• En vez de establecer u = 1/d podemosestablecer cada una de las dosprobabilidades en 0.5 y
u e
d e
r t t
r t t
=
=
− +
− −
( / )
( / )
σ σ
σ σ
2
2
2
2
∆ ∆
∆ ∆
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Árbol Trinomialu d u
p t r
p
p t r
t
u
m
d
= =
= −
+
=
= − −
+
e σ
σσ
σσ
3
2
2
2
2
1
12 216
23
12 216
∆
∆
∆
/
S S
Sd
Su
pu
pm
pd