DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL APROXIMACIÓN LA CURVA NORMAL

• Juan José Hernández Ocaña

DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL

• Variable discreta.- Es aquella que casi siempre asume solamente un conjunto finito de valores y que también toma por lo general sólo valores enteros no negativos. Tales valores difieren unos de otros en cantidades finitas no infinitesimales.

• De manera general podemos decir que pueden asociarse al proceso de conteo de variables cualitativas.

• La distribución probabilística discreta más común es la binomial

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

• Esta distribución debe cumplir con los siguientes requisitos

• Los ensayos deben de ser independientes

• La probabilidad de éxito, p , es la misma de una prueba a otra

• En cada intento o ensayo son posibles solo dos resultados.

• Uno se llamará éxito y otro se llamara fracaso

• Las probabilidades deben de mantenerse constante para cada ensayo, esto es, la probabilidad de éxito no cambia de un intento o ensayo a otro.

ENSAYOS DE BERNOULLI

• Este modelo probabilístico se basa en que solo cuenta con dos eventos simples en el espacio muestral, por ejemplo:

• Respuestas a Preguntas cerradas en una encuesta como: si o no

• En los procesos de inspección que den como resultado solo dos posibilidades: como defectuoso o no defectuoso ( rayado, roto, etc.)

• Aquellos experimentos que llegan sólo a uno de dos posibles resultados se denominan ensayos de Bernoulli

DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL

Reglas de la distribución Los valores de una distribución deben ser números del intervalo 0 a

1

La suma de todos los valores de una distribución de la probabilidad debe equivaler a 1

Éxito y fracaso denotan las dos categorías posibles de todos los resultados

p es la notación para éxito

q es la notación para fracaso

n es el número fijo de ensayos

X es el número específico de éxitos en n ensayos

P(x) es la probabilidad de lograr x éxitos en los n ensayos

• De manera general podemos denominar a uno de los dos posibles resultados de un solo ensayo de Bernoulli como éxito y al otro fracaso

• Se requiere convertir estos eventos cualitativos a valores numéricos

• El valor de 1 se le asigna al evento éxito

• El valor de 0 se le asigna al evento fracaso

Si una variable w P (w)

0 “ fracaso” 1- p = q

1 “ éxito” p

TOTAL 1 = p +q

APROXIMACIÓN A LA CURVA NORMAL

• Conforme el tamaño de n se incrementa, una distribución binomial se aproxima cada vez más a una distribución normal

• Se puede emplear una distribución continua para calcular una distribución discreta si ajustamos los valores discretos en forma de un intervalo • por ejemplo si se calcula el valor de 54 , se puede calcular

empleando el intervalo de 53.5 a 54.5 y así sucesivamente en el caso de una serie de datos

FACTOR DE CORRECCIÓN

• 1.- Para una probabilidad de que ocurra por lo menos x, • se utiliza el área por encima de ( x - 0.5)

• 2.- Para la probabilidad de que ocurra más que x, • se utiliza el área por encima de ( x + 0.5)

• 3.- Para la probabilidad de que ocurra x o menos, • se utiliza el área por debajo de ( x + 0.5)

• 4.- Para la probabilidad de que ocurra menos que x , • se utiliza el área debajo de ( x – 0.5)

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

• Las observaciones muestrales son una muestra aleatoria simple.

• Se satisfacen las condiciones para una distribución binomial

• si np ≥ 10

• y nq ≥ 10

• Si se cumple lo anterior se considera que el tamaño de la muestra es grande y que los valores de p y de q no se desvían mucho de 0.5

• . Entonces la variable aleatoria binomial tiene una distribución de probabilidad que puede aproximarse a una distribución normal

• Media

• µ = np

• Desviación estándar

• σ = √ npq

• En un estudio de una compañía de seguros se encontró que ninguno de los bienes robados fue recuperado por los dueños en 80% de los robos que se reportaron • A .- Durante un período en el que ocurrieron 200 robos, ¿ cuál es la

probabilidad de que los bienes robados no se recuperen en 170 o más casos?

• b.- Durante un período en el que ocurrieron 200 robos, ¿ cuál es la probabilidad de que no se recuperen los bienes robados en 150 o más casos?

• Una compañía en el área de medicamentos sabe que aproximadamente el 5% de sus tabletas para el control natal tiene un ingrediente que está por debajo de la dosis mínima, lo que las hace ineficaces • calcula la probabilidad de que más de 30 tabletas en una muestra

de 1000 sean ineficaces.

• calcula la probabilidad de que menos de 40 en una muestra de 1000 sean ineficaces

• Un cierto tipo de tornillo se fabrica con probabilidad de 0.05 de ser defectuoso, calcula la probabilidad de que en los siguientes 400 tornillos existan menos de 25 defectuosos • ¿ Cuál es la probabilidad de que en los siguientes 500 tornillos se

encuentren mas de 40 defectuosos?

• Una fábrica de tapones para botellas de licor tiene 20% de productos defectuosas. Los productores de licor están preocupados por este hecho por lo que deciden inspeccionar aleatoriamente un lote de 200 tapones y si encuentran más de 25 tapones regresaran el lote recibido. • ¿Cuál es la probabilidad de que se regrese el lote?

• ¿ cuál es la probabilidad de encontrar mas de 20 tapones en una muestra de 200?

• ¿ cuál es la probabilidad de encontrar menos de 30 tapones en una muestra de 200 ?

• ¿ cuál es la probabilidad de encontrar más de 50 tapones ?

• La administración de un empresa de reconocido prestigio ha decidido ofrecer una agresiva política de servicio a clientes. El número promedio de clientes que regresan una mercancía es el 10%; si se elige una muestra de 70 clientes, ¿ cuál es la probabilidad de que más de 5 clientes regresen la mercancía?

• X= 5 ajuste a 5.5

• Una empresa realiza un estudio de mercado para saber si es viable la introducción de un nuevo tinte para el pelo en el mercado. El estudio reporta que el 75% de las mujeres opina que el tinte es bueno. De las siguientes 80 personas entrevistadas, • ¿ cuál es la probabilidad de que al menos 50 ( 50 o más) sean de la

misma opinión?

• ¿ cuál es la probabilidad de que más de 56 personas sean de la misma opinión?

• X= 50 ajuste 49.5

• x= 56 ajuste 56.5

• Se ha observado que cuando un representante de ventas contacta de manera personal a un cliente se tiene una probabilidad de compra del 30%. Si un representante de ventas conecta a 30 prospectos, determine la probabilidad de que 10 o más realicen una compra

• x= 10 ajuste a 9.5

• Una tienda de deportes efectuó un estudio donde se determino que el 70% de lo clientes que acuden por las tardes realizan al menos una compra. E n un muestra de los últimos 50 clientes que han ingresado en el turno vespertino, ¿ cuál es la probabilidad de que al menos 40 personas realicen una compa o más cada uno’

• x= 40 ajuste a 39.5