4.4 VALORES EXTREMOS Le sugerimos al lector, estudiar detenidamente la sección 4.2 del texto guía: Cálculo de Stewart. Como vimos en la sección 3.1, la existencia de la derivada de una función en un punto C de su dominio, significa geométricamente, que la gráfica de ( )xfy = tiene una recta tangente en el punto y además ( )( cfc, ) ( )cfmT '= . Este hecho permite determinar entre otros, aquellos puntos de la gráfica en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación . ( )' xf 0= Una mirada atenta a la fig. 4.7, permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte como son los siguientes. 1. es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a

c( )1cf

1. Se dice entonces que es un máximo relativo de f (x). ( )1cf

Nótese además, que en el punto ( )( )111 , cfcP , la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es, . ( ) 01

' =cf Igualmente, es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c

( )3cf3. Asi que es otro máximo relativo de f (x). ( )3cf

Sin embargo, en el punto ( )( )333 , cfcP , la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto de máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada.

2. es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a

c( 2cf )

2. Se dice, entonces que ( )2cf es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que en el caso anterior en el punto ( )( )222 , cfcP , ( ) 02

' =cf . 3. Si se comparan ahora, todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo [a,

b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que es el mayor valor. f (a) y se llaman respectivamente el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f (x) en [a, b].

( )3cf( )3cf

Los conceptos antes mencionados, serán presentados aquí en forma sencilla, así como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos. Al final, se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado (Método del intervalo cerrado).

Definiciones: Sea f una función de variable real y sea c ∈ Df (Dominio de f). Entonces: i. f(c) es un VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto

I que contiene a c tal que: para todo x ∈ I )()( xfcf ≥ ii. f(c) es un VALOR MÍNIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto

I que contiene a c tal que: )()( xfcf ≤ para todo x ∈ I iii. f(c) es un VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, abierto

o cerrado, si: para todo x ∈ I )()( xfcf ≥ iv. f(c) es un VALOR MÍNIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, abierto o

cerrado, si: )()( xfcf ≤ para todo x ∈ I v. A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama:

EXTREMOS RELATIVOS. A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama:

EXTREMOS ABSOLUTOS.

Observaciones: i. Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo, como

sucede por ejemplo con ( )3cf en la fig. 4.8. ii. El llamado “teorema de los valores extremos” enunciado al final de la sección,

garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo. (Ver el ejercicio de la sección 9.10).