VARIABLES ALEATORIAS - personales.unican.espersonales.unican.es/gonzaleof/Itop/variables.pdf ·...

1

ESTADISTICAVARIABLES ALEATORIAS

Alberto LucenoFrancisco J. Gonzalez

Directorio

Tabla de ContenidoInicio Artıculo

Copyright c© 2000Actualizado el: 11 de noviembre de 2003 Version 2.00

mailto:

Tabla de Contenido

3. Variables aleatorias3.1. Variables aleatorias discretas3.2. Variables aleatorias continuas3.3. Cambio de variableSoluciones de Ejercicios

Seccion 3: Variables aleatorias 3

3. Variables aleatorias

3.1. Variables aleatorias discretas

Ejercicio 39. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se eligeuno de los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuacion se lanzan tresdados. Si el numero elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3veces lo apostado, y se recupera este. Si no aparece el numero elegido,se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona laganancia. Obtener E(X).

Ejercicio 40. Una variable aleatoria tiene la siguiente funcion deprobabilidad,

x 1 2 3 4 5P (x) 0,05 0,20 0,05 0,45 0,25

1. Comprobar que es una funcion de probabilidad.

2. Calcular P (x ≤ 3).

3. Calcular P (x > 3).

Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I


4. Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5).

5. Calcular E(X).

6. Representar la funcion de distribucion FX(x).

Ejercicio 41. Fiabilidad de un componente. Para una componentede un sistema, sea A el suceso “la componente funciona”. Se define lafuncion indicatriz del suceso A como aquella funcion IA tal que IA = 1si A es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Que indica E(IA)?



Ejercicio 42. A partir la figura

1. Determinar la funcion indicatriz de los sistemas.

2. Determinar la fiabilidad de los sistemas.

3. Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de lossistemas y compararlos.

3. VARIABLES ALEATORIAS

3. Variables aleatorias

3.1. Variables aleatorias discretas

39.En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6. Acontinuacion se lanzan tres dados. Si el numero elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veceslo apostado, y se recupera este. Si no aparece el numero elegido, se pierde lo apostado. Sea X lavariable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X).

I E[X] = −0, 078

40.Una variable aleatoria tiene la siguiente funcion de probabilidad,

x 1 2 3 4 5P (x) 0,05 0,20 0,05 0,45 0,25

a) Comprobar que es una funcion de probabilidad.

b) Calcular P (x ≤ 3).

c) Calcular P (x > 3).

d) Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5).

e) Calcular E(X).

f ) Representar la funcion de distribucion FX(x).

I b) 0,3 c) 0,7 d) 0,35 e) 3,65

41.Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componentefunciona”. Se define la funcion indicatriz del suceso A como aquella funcion IA tal que IA = 1 si Aes cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Que indica E(IA)?

42.A partir la figura 3.1

a) Determinar la funcion indicatriz de los sistemas.

b) Determinar la fiabilidad de los sistemas.

c) Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de los sistemas y compararlos.

1

3

2

(a) Circuito1

1 2

(b) Circuito2

1 2

3

(c) Circuito3

Figura 3.1: Funcion indicatriz y fiabilidad

I a) 1− (1− I1)(1− I2)(1− I3), I1I2, 1− (1− I1I2)(1− I3) b) 1− q1q2q3, p1p2, 1− (1− p1p2)q3

Universidad de Cantabria. Alberto Luceno y Fco. Javier Gonzalez 25



Ejercicio 43. Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cadauno de los sistemas de la figura


43.Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2

1 2

3 4

(a) Circuito4

1

2

1

2

(b) Circuito5


Ia) I = 1− (1− I1I2)(1− I3I4), R = 1− (1− p1 p2)(1− p3 p4)

b) I = [1− (1− I1)(1− I2)][1− (1− I3)(1− I4)], R = (1− q1 q2)(1− q3 q4)


1 2

4 5

3

(a) Circuito6

1

2

3

4

(b) Circuito7


Ia) I = 1− (1− I1I2)(1− I3)(1− I4I5), R = 1− (1− p1 p2)(1− p3)(1− p4 p5)

b) I = I1 + I2(1− I1)(I3 + I4 − I3 I4), R = p1 + p2(1− p1)(p3 + p4 − p3 p4)

45.Sea una variable aleatoria definida por su funcion de distribucion:

F (x) =

0 x < −20,4 −2 ≤ x < 0,50,8 0,5 ≤ x < 31 x ≥ 3

a) Representar F (x) y calcular la funcion de probabilidad de esta variable.

b) Calcular E(X).

I a) P (−2) = 0,4, P (0,5) = 0,4, P (3) = 0,2 b) E(X) = 0

46.Se lanza una moneda tres veces; sea X el numero de caras obtenidas. Hallar la funcion de probabi-lidad y de distribucion de X.

I P (0) = 1/8, P (1) = 3/8, P (2) = 3/8, P (3) = 1/8 ; F (0) = 1/8, F (1) = 4/8, F (2) = 7/8, F (3) = 1


Ejercicio 44. Determinar la funcion indicatriz y la fiabilidad de cadauno de los sistemas de la figura



1 2

3 4

(a) Circuito4

1

2

1

2

(b) Circuito5


Ia) I = 1− (1− I1I2)(1− I3I4), R = 1− (1− p1 p2)(1− p3 p4)

b) I = [1− (1− I1)(1− I2)][1− (1− I3)(1− I4)], R = (1− q1 q2)(1− q3 q4)


1 2

4 5

3

(a) Circuito6

1

2

3

4

(b) Circuito7


Ia) I = 1− (1− I1I2)(1− I3)(1− I4I5), R = 1− (1− p1 p2)(1− p3)(1− p4 p5)

b) I = I1 + I2(1− I1)(I3 + I4 − I3 I4), R = p1 + p2(1− p1)(p3 + p4 − p3 p4)

45.Sea una variable aleatoria definida por su funcion de distribucion:

F (x) =

0 x < −20,4 −2 ≤ x < 0,50,8 0,5 ≤ x < 31 x ≥ 3

a) Representar F (x) y calcular la funcion de probabilidad de esta variable.

b) Calcular E(X).

I a) P (−2) = 0,4, P (0,5) = 0,4, P (3) = 0,2 b) E(X) = 0

46.Se lanza una moneda tres veces; sea X el numero de caras obtenidas. Hallar la funcion de probabi-lidad y de distribucion de X.

I P (0) = 1/8, P (1) = 3/8, P (2) = 3/8, P (3) = 1/8 ; F (0) = 1/8, F (1) = 4/8, F (2) = 7/8, F (3) = 1




Ejercicio 45. Sea una variable aleatoria definida por su funcion dedistribucion:

F (x) =

0 x < −2

0,4 −2 ≤ x < 0,50,8 0,5 ≤ x < 31 x ≥ 3

1. Representar F (x) y calcular la funcion de probabilidad de estavariable.

2. Calcular E(X).

Ejercicio 46. Se lanza una moneda tres veces; sea X el numero decaras obtenidas. Hallar la funcion de probabilidad y de distribucionde X.

Ejercicio 47. El numero medio de personas que acuden a un local esde 1000 con una desviacion tıpica σ = 20. ¿Cual es el numero de sillasnecesarias para asegurar que todos los asistentes puedan sentarse, conuna probabilidad de 0,75? (Usar la desigualdad de Chebyschev.)



Ejercicio 48. Sea X variable aleatoria cuya distribucion de proba-bilidad viene dada por

P (X = r) =32

1r! (4− r)!

r = 0, 1, 2, 3, 4

P (X = r) = 0 para otros valores

Hallar P (X = 3); P (1 ≤ X ≤ 2,5) y P (X ≤ 2,5).

Ejercicio 49. Los artıculos en venta en unos grandes almacenes sesometen al control diario y , se estima que la probabilidad de que en

un dıa sean vendidos r artıculos defectuosos es23

(13

)r

. Determinar

la probabilidad de que en un dıa de los artıculos vendidos:

1. Dos o mas sean defectuosos.

2. Cinco sean defectuosos.

3. Tres o menos sean defectuosos.

4. Determinar la esperanza.



3.2. Variables aleatorias continuas

Ejercicio 51. Sea X una variable aleatoria que tiene como funcionde densidad de probabilidad f(x) = a(1 + x2) si x ∈ (0, 3) y f(x) = 0en los demas casos. Se pide:

1. Hallar a y la funcion de distribucion de X.

2. Hallar la probabilidad de que X este comprendido entre 1 y 2.

3. P (X < 1).

4. P (X < 2|X > 1).

5. Calcular P (|X − µ| ≥ k σ), con k = 2.



Ejercicio 52. Sea Y una variable aleatoria con funcion de densidaddada por:

pY (y) =

0,2 −1 ≤ y ≤ 00,2 + k y 0 < y ≤ 10 en el resto

1. Determinar el valor de k.

2. Determinar la funcion de distribucion, FY (y).

3. Calcular P (0 ≤ Y ≤ 0,5).

4. P (Y > 0,5|Y > 0,1).



Ejercicio 53. La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una per-sona en un mes sigue una ley de probabilidad dada por:

F (x) =

0 x < 0x2 0 ≤ x < 112 1 ≤ x < 2x4 2 ≤ x < 41 4 ≤ x

donde x viene expresado en cientos de euros. Determinar la probabil-idad de que, en un mes la cantidad de dinero ahorrado:

1. Sea superior a 200 euros.

2. Sea inferior a 450 euros.

3. Sea superior a 50 euros y menor o igual a 250 euros.

4. Calcular el ahorro mensual medio.



Ejercicio 54. Con objeto de establecer un plan de produccion, unaempresa ha estimado que la demanda aleatoria de sus potencialesclientes se comportara semanalmente con arreglo a la ley de probabil-idad definida por la funcion de densidad

pX(x) ={

38 (4x− 2x2), 0 ≤ x ≤ 2

0, en el resto

donde x viene expresada en millones de unidades. ¿Que cantidad Cdebera tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, parapoder satisfacer la demanda en dicho periodo con una probabilidadde 0,5?

Ejercicio 55. Cierta aleacion se forma con la mezcla fundida de dosmetales. La aleacion que resulta contiene cierto porcentaje de plomoX, que puede considerarse como una variable aleatoria. Suponiendoque X tiene la siguiente funcion de densidad de probabilidad:

pX(x) = 10−5 3x(100− x)5

, 0 ≤ x ≤ 100,

y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleacion, es una



funcion del porcentaje de plomo: G = A + BX, se pide calcular elbeneficio esperado.

Ejercicio 56. Si la duracion en horas de cierto tubo de radio es unavariable aleatoria continua X con funcion de densidad

pX(x) =100x2

, x > 100,

SE PIDE:

1. Probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabeque el tubo funciona todavıa despues de 150 horas de servicio.

2. Si se instalan tres de estos tubos en un conjunto, probabilidadde que exactamente uno tenga que ser sustituido despues de 150horas de servicio.

3. ¿Cual es el numero mınimo de tubos n que se pueden poneren un sistema en paralelo, de modo que haya una probabilidad0,999 de que despues de 150 horas de servicio funcione todavıael sistema?



Ejercicio 57. El tiempo de vida (en cientos de horas) de un transistores una variable aleatoria Z con funcion de distribucion

FZ(z) ={

0 z < 01− e−z2

0 ≤ z

SE PIDE:

1. Demostrar que FZ(z) es una funcion de distribucion.

2. Obtener la funcion de densidad de probabilidad pZ(z).

3. Calcular la probabilidad de que un determinado transistor duremas de 200 horas.

Ejercicio 58. Una estructura metalica puede sufrir, debido al calor,una dilatacion que (medida en cm) es una variable aleatoria X confuncion de densidad de probabilidad dada por:

pX(x) =

ax 0 ≤ x ≤ 3b 3 < x < 5

b3 (8− x) 5 ≤ x ≤ 8



1. Sabiendo que la funcion de densidad de probabilidad es unafuncion continua de x, determinar a y b.

2. Calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatacion seainferior a 3.

3. Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatadomas de 3 cm, ¿con que probabilidad la dilatacion estara entre 3y 5 cm?

Ejercicio 59. Sea una variable aleatoria X, que tiene como funcionde densidad:

pX(x) =

{x + 650

−6 ≤ x ≤ 4

0 resto

1. Calcular la funcion de distribucion de X.

2. Hallar k, si P (k ≤ x ≤ k + 1) = 0,09.



Ejercicio 60. La demanda, expresada en toneladas, de un determi-nado producto es una variable aleatoria cuya funcion de densidad es:

pX(x) =x

62 ≤ x ≤ 4

¿Cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda?El fabricante del producto sabe que cada kilo vendido reporta unbeneficio de 12 euros, y cada kilo que queda sin vender supone unaperdida de 6 euros. Es por tanto, importante para el establecer cual esla cantidad a fabricar. Si el criterio para establecer dicha cantidad esel maximizar la ganancia esperada, determinar cual es la fabricacionoptima.



3.3. Cambio de variable

Ejercicio 61. Sea X una variable aleatoria con E(X) = 2 y V ar(X) =0,5. Sea Y = 3X − 8. Hallar E(Y ) y V ar(Y ).

Ejercicio 62. Supongamos que una variable aleatoria X tiene funcionde densidad de probabilidad:

pX(x) = 2x 0 < x < 1

Determinar la funcion de densidad de probabilidad de las variables

1. Y = H1(X) = 3X + 1,

2. Z = H2(X) = e−X

3. W = H3(X) = X2

Ejercicio 63. Para medir la velocidad del aire se usa un tubo quepermite medir la diferencia de presion. Esta diferencia esta dada porR = 1

2d V 2, con d la densidad del aire (supuesta constante) y V lavelocidad del viento (en km/h). Si V es una funcion de densidad de



probabilidad uniforme en (10, 20), encontrar la funcion de densidadde probabilidad de R.

Ejercicio 64. La tabla siguiente representa la distribucion de proba-bilidad conjunta de la variable aleatoria discreta (X, Y ). Determinar

Y \X 1 2 3

1 112

16 0

2 0 19

15

3 118

14

215

1. Calcular P (X = 2, Y = 1); P (X = 2); P (Y = 1) y P (X =3|Y = 2).

2. Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ).



Ejercicio 65. Dos lıneas de produccion fabrican artıculos. Supongaseque la capacidad es de 5 artıculos para la lınea I y de 3 artıculospara la lınea II. Sea (X, Y ) la representacion de la variable aleatoriabidimensional que da el numero de artıculos producidos por la lınea Iy por la lınea II:

Y \X 0 1 2 3 4 50 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,091 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,082 0,01 0,03 0,05 0,05 0,05 0,063 0,01 0,02 0,04 0,06 0,06 0,05

1. Determinar la probabilidad del suceso: la lınea I produce masartıculos que la lınea II.

2. Hallar las distribuciones marginales.

3. Calcular P (X = 3) y P (Y = 1).

4. Calcular E(X) y E(Y ).

5. Calcular P (X = 2|Y = 2).


Soluciones de Ejercicios 20

Soluciones de Ejercicios

Ejercicio 39. Sea x la variable aleatoria que proporciona la ganancia

x −1 1 2 3P (x) 125

21615216

75216

1216

E[X] = −1× 125216

+ 1× 15216

+ 2× 75216

+ 3× 1216

= −0,078

Ejercicio 39



Ejercicio 40.

1. Se verifica que P (xi) ≥ 0,∀i y∑n

i=1 P (xi) = 1

2. P (x ≤ 3) = Fx(3) = 0,3

3. P (x > 3) = 1− P (x ≤ 3) = 1− Fx(3) = 0,7

4. P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5) = P (x = 1) + P (x = 3) + P (x = 5) =0,35

5. E[X] = 1× 0,05 + 2× 0,20 + · · ·+ 5× 0,25 = 3,65

Ejercicio 40



Ejercicio 41. Sea IA la variable aleatoria definida como

IA(x) =1 x ∈ A0 x 6∈ A

}E[IA] = 1× P (A) + 0× P (A) = P (A)

luego E[IA] indica la probabilidad de que la componente funcione.Ejercicio 41



Ejercicio 42.

1. Funcion indicatriz

a) 1− (1− I1)(1− I2)(1− I3)

b) I1I2

c) 1− (1− I1I2)(1− I3)

2. Fiabilidad

a) 1− q1q2q3,

b) p1p2

c) 1− (1− p1p2)q3

Ejercicio 42



Ejercicio 43.

1. Circuito 4I = 1− (1− I1I2)(1− I3I4)R = 1− (1− p1 p2)(1− p3 p4)

2. Circuito 4I = [1− (1− I1)(1− I2)][1− (1− I3)(1− I4)]R = (1− q1 q2)(1− q3 q4)

Ejercicio 43



Ejercicio 44.

1. Circuito 6I = 1− (1− I1I2)(1− I3)(1− I4I5)R = 1− (1− p1 p2)(1− p3)(1− p4 p5)

2. Circuito 7I = I1 + I2(1− I1)(I3 + I4 − I3 I4)R = p1 + p2(1− p1)(p3 + p4 − p3 p4)

Ejercicio 44



Ejercicio 45.

1.p(−2) = P (x = −2) = F (−2)− F (−2−) = 0,4− 0 = 0,4p(0,5) = P (x = 0,5) = F (0,5)− F (0,5−) = 0,8− 0,4 = 0,4p(3) = P (x = 3) = F (3)− F (3−) = 1− 0,8 = 0,2

2. E[X] = −2× 0,4 + 0,5× 0,4 + · · ·+ 3× 0,2 = 0

Ejercicio 45



Ejercicio 46. Sea x la variable aleatoria, numero de caras obtenidas:

funcion de probabilidad

p(0) =18

p(1) =38

p(2) =38

p(3) =18

funcion de distribucion

F (x) =

0 x < 018 0 ≤ x < 148 1 ≤ x < 278 2 ≤ x < 3

1 x ≤ 3

Ejercicio 46



Ejercicio 47. Sea x la variable aleatoria, el numero de personas queacuden. Nos piden hallar n con

P (x ≤ n) ≥ 0,75 =⇒ P (x > n) ≤ 0,25

restando µ = E[X] = 1000

P (x− µ > n− µ) ≤ 0,25

Comparando con la desigualdad

P (|x− µ| > kσ) ≤ 1k2

1k2

= 0,25 =14

=⇒ k = 2 n− µ = 2× 20

Se obtienen = 1040

Ejercicio 47



Ejercicio 48. Hallamos primero:

P (X = 0) =32

10! 4!

=116

P (X = 4) =32

14! 0!

=116

P (X = 1) =32

11! 3!

=14

P (X = 3) =32

13! 1!

=14

P (X = 2) =32

12! 2!

=38

P (X = 3) =14

P (1 ≤ X ≤ 2,5) = P (X = 1) + P (X = 2) =58

P (X ≤ 2,5) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =1116

Ejercicio 48



Ejercicio 49. Sea x el numero de artıculos defectuosos vendidos enun dıa:

P (X = r) = p qr p =23

q =13

Es util hallar P (X > r) = qr+1. Pues:

1. P (X > 1) = q2.

2. P (X = 5) = p q5.

3. P (X ≤ 3) = 1− P (X > 4) = 1− q5.

4. Por ser x geometrica E[X] = 3

Ejercicio 49



Ejercicio 51.

1.∫ 3

0a (1 + x2) dx = 1 =⇒ a = 1

12 .

F (x) =∫ x

0

a (1 + s2) ds = a

[s +

13s3

]x

0

=112

(x +13x3)

2. P (1 < X < 2) = F (2)− F (1) =518

.

3. P (X < 1) = F (1) =19.

4. P (X < 2|X > 1) =P (1 < X < 2)

P (X > 1)=

F (2)− F (1)1− F (1)

=45144

.

Ejercicio 51



Ejercicio 52.

1. ∫ 0

−1

0,2 dy +∫ 1

0

(0,2 + ky) dy = 1 =⇒ k = 1,2

2.

F (y) =

0,2y + 0,2 −1 ≤ y ≤ 00,6y2 + 0,2 y + 0,2 0 < y ≤ 10 en el resto

3. P (0 ≤ Y ≤ 0,5) = F (0,5)− F (0) = 0,25.

4. P (Y > 0,5|Y > 0,1) =P (Y > 0,5)P (Y > 0,1)

=1− F (0,5)1− F (0,1)

= 0,71.

Ejercicio 52



Ejercicio 53.

1. P (X > 2) = 1− F (2) = 0,5.

2. P (X < 4,5) = F (4,5) = 1.

3. P (0,5 < X ≤ 2,5) = F (2,5)− F (0,5) = 3/8.

4. E[X] =∫ 4

0x f(x) dx = 1,75

Ejercicio 53



Ejercicio 54. Nos piden C de forma que

P (X < C) ≥ 0,5 ⇐⇒ FX(C) ≥ 0,5

luego ∫ C

0

38(4x− 2x2)dx ≥ 0,5

34C2 − 1

4C3 ≥ 0,5

3C2 − C3 − 2 ≥ 0 ⇐⇒ (C − 1)(C2 − 2C − 2) ≤ 0Como 0 ≤ C ≤ 1, C = 1.

Ejercicio 54



Ejercicio 55.Hallamos la E[X]

E[X] =10−5

5

∫ 100

0

3x2(100− x)dx = 50

luegoE[G] = A + 50 B

Ejercicio 55



Ejercicio 56.La funcion de distribucion es

FX(x) = 1− 100x

1.

P (x < 200|x > 150) =P (150 < x < 200)

P (x > 150)=

14

2. Sea Y el numero de tubos a sustituir de los tres, con p =FX(150) = 1/3 la probabilidad de que dure menos de 150 horas

P (Y = 1) =(

31

)p q2 =

49

3. Para el tiempo TP del sistema en paralelo dure menos de 150horas, es necesario que las n componentes duren menos de 150horas, luego:

P (TP > 150) = 1− pn ≥ 0,999 =⇒ n ≥ − log 0,001log 3

= 6,29

Ejercicio 56



Ejercicio 57.

1. Comprueba que se cumplen las propiedades dadas en la pagina84 del libro de teorıa.

2.

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2ze−z2

z > 0

3.P (Z > 2) = 1− P (Z < 2) = 1− (1− e−4) = e−4

Ejercicio 57



Ejercicio 58.

1. Por continuidadf(3−) = f(3+) =⇒ 3a = bf(5−) = f(5+) =⇒ b = b∫

f(x)dx = 1 = a

∫ 3

0

xdx + 3a

∫ 5

3

dx + a

∫ 8

5

(8− x)dx = 1

a =115

b =15

2.

P (X < 3) =115

∫ 3

0

xdx =310

3.

P (3 < x < 5|x > 3) =P (3 < x < 3)

P (x > 3)=

47

Ejercicio 58



Ejercicio 59.

1.FX(x) =

∫ x

−6

x + 650

dx =150

(12x2 + 6x + 18)

2.

P (k ≤ x ≤ k + 1) = FX(k + 1)− FX(k) = 0,09 =⇒ k = −2

Ejercicio 59



Ejercicio 60.Sea c la cantidad a fabricar y G(c, x) la ganancia

G(c, x) ={

12x− 6(c− x) 2 ≤ x ≤ c12c c < x ≤ 4

E[G(c, x)] =∫ c

2

(18x− 6c)x

6dx +

∫ 4

c

12cx

6dx

E[G(c, x)] = −12c3 + 18c− 8

dE[G(c, x)]dc

= −32c2 + 18 = 0 =⇒ c =

√12

Ejercicio 60



Ejercicio 61.

E(Y ) = E(3X − 8) = 3E(X)− 8 = −2V ar(Y ) = V ar(3X − 8) = 9V ar(X) = 4,5

Ejercicio 61



Ejercicio 62.Calculamos la funcion de distribucion de X:

FX(x) =∫ x

0

f(s)ds =∫ x

0

2sds =[s2]x0

= x2

1.

FY (y) = pY (Y ≤ y) = pX(3X + 1 ≤ y) = pX(X ≤ y − 13

) =

= FX

(y − 1

3

)=(

y − 13

)2

1 < y < 4

f(y) =23

(y − 1

3

)1 < y < 4



2.

FZ(z) = pZ(Z ≤ z) = pX(e−X ≤ z) = pX(X > − ln z) == 1− FX(− ln z) = 1− ln2 z e−3 < z < e−1

f(z) = −2ln z

ze−3 < z < e−1

3.

FW (w) = pW (W ≤ w) = pX(X2 ≤ w) = pX(−√

w ≤ X ≤√

w) == FX(

√w)− 0 = w 0 < w < 1

f(w) = 1 0 < w < 1

Ejercicio 62



Ejercicio 63.Calculamos la funcion de distribucion de v:

fV (v) =110

FV (v) =v − 10

1010 < v < 20

FR(r) = pR(R ≤ r) = PV

(12d V 2 ≤ r

)= PV

(0 ≤ V ≤

√2r

d

)=

= FV

(√2r

d

)=

√2rd − 10

1050d < r < 200d

fR(r) =1

10√

2dr50d < r < 200d

Ejercicio 63



Ejercicio 64.

Y \X 1 2 3 P (y)

1 112

16

0 312

2 0 19

15

1445

3 118

14

215

67180

P (x) 536

1936

13

1

1.

P (X = 2, Y = 1) =16

P (X = 2) =16

+19

+14

=1936

P (Y = 1) =112

+16

+ 0 =14

P (X = 3|Y = 2) =P (X = 3, Y = 2)

P (Y = 2)=

914



2. Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ).

E(X) =1 · 536

+ 2 · 1936

+ 3 · 1236

=7939

E(Y ) =1 · 312

+ 2 · 1445

+ 3 · 67180

=358180

Cov(X, Y ) =1 · 1 · 112

+ 2 · 1 · 16

+ · · ·

= + · · ·+ 2 · 3 · 14

+ 3 · 3 · 215− E[x]E[y]

=0,7879

Ejercicio 64



Ejercicio 65.

1.

p(X > Y ) = p(X,Y )(1, 0) + p(X,Y )(2, 0) + · · ·+ p(X,Y )(5, 3)= 0,01 + 0,03 + 0,04 + · · ·+ 0,05 = 0,13

2. En la tabla figuran, la distribucion conjunta, y las distribucionesmarginales pX(x) y pY (y) de X e Y .

Y −X 0 1 2 3 4 5 pY (y)0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.251 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.262 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.253 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24

pX(x) 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1

3. Con la marginal de X, pX(x = 3) = 0,21. Con la marginal deY , pY (y = 1) = 0,26.



4.

E[X] = x1 · p(x1) + x2 · p(x2) + · · ·+ x5 · p(x5)= 0 · 0,03 + 1 · 0,08 + · · ·+ 5 · 0,28 = 3.39

E[Y ] = y1 · p(y1) + y2 · p(y2) + y3 · p(y3) + y4 · p(y4)= 0 · 0,25 + 1 · 0,26 + 2 · 0,25 + 3 · 0,24 = 1.48

5. p(X = 2|Y = 2) =p(X,Y )(x = 2, y = 2)

pY (y = 2)=

0,050,25

=15

Ejercicio 65

VARIABLES ALEATORIAS - personales.unican.espersonales.unican.es/gonzaleof/Itop/variables.pdf ·...

Documents

Transcript of VARIABLES ALEATORIAS - personales.unican.espersonales.unican.es/gonzaleof/Itop/variables.pdf ·...