Variación de Parámetros y Operador Anulador
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Part I
METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS USANDO UN ANULADORResuelva la siguiente ecuacion diferencial: y 00 + 2y 0 = 3 + 4sen(2x) Primero se resuelve la ecuacin diferencial homogenea. Para resolver la EDH se supone que una solucin es: y = emx y, y 0 = memx y 00 = m2 emx Entonces nuestra EDH: m2 emx + 2(memx ) = 0 emx (m2 + 2m) = 0 Una ecuacin exponencial nunca puede ser cero; la expresin que ser cero es: (m2 + 2m) = 0 m(m + 2) = 0 Cuyos valores para m sern: m1 = 0 m2 = 2
Y la solucin complementaria de la EDH ser: yc = C1 + C2 e2x
Para encontrar la solucion particular de nuestra ED, primero se cambia la notacin:
1
y 00 + 2y 0 = 3 + 4sen(2x)2 Dy + 2Dy = 3 + 4sen(2x)
(D2 + 2D)y = 3 + 4sen(2x) Se encuentra el factor anulador que anula la expresin del miembro derecho de la ecuacin. Luego se multiplica este factor por ambos miembros de la ED D(D2 + 4)(D2 + 2D)y = D(D2 + 4)[3 + 4sen(2x)] D(D2 + 4)(D2 + 2D)y = 0 D(D2 + 4)(D2 + 2D) = 0 D2 (D2 + 4)(D + 2) = 0 m2 (m2 + 4)(m + 2) = 0 m1 = 0 m2 = 0 m3 = m5 = 2 2i2x
m4 = +2i y = C1 + C2 e y = y c + yp yp = C3 x + C4 Cos(2x) + C5 Sen(2x) Para evitar confusiones se va a notar de una manera diferente a las constantes yp = Ax + BCos(2x) + CSen(2x)0 yp = A 00 yp
+ C3 x + C4 Cos(2x) + C5 Sen(2x)
2BSen(2x) + 2CCos(2x) 4BCos(2x) 4CSen(2x)
=
La solucin particular nos dar la ecuacin particular:00 0 yp + 2yp = 3 + 4sen(2x)
[ 4BCos(2x) 4CSen(2x)] + 2[A 3 + 4Sen(2x) + 0Cos(2x) 4BCos(2x) 4CSen(2x) + 2A 4Sen(2x) + 0Cos(2x) 2A + Sen(2x)[ 4C 0Cos(2x) 2A = 3 4B 4C = 4 4B + 4C = 0 2
2BSen(2x) + 2CCos(2x)] = 4BSen(2x) + 4CCos(2x) = 3 +
4B] + Cos(2x)[ 4B + 4C] = 3 + 4Sen(2x) +
De las tres ltimas ecuaciones: A= B= C=3 2 1 2 1 2
yp = Ax + BCos(2x) + CSen(2x)3 yp = 2 x 1 2 Cos(2x) 1 2 Sen(2x)
Entonces la solucin general de la ecuacin es: y = C1 + C2 e2x
+ 3x 2
1 2 Cos(2x)
1 2 Sen(2x)
Part II
METODO DE VARIACIN DE PARMETROSDada la ecuacion diferencial: y 00 y0 2y = 2ex
Primero se resuelve la ecuacin diferencial homogenea. y 00 y0 2y = 0
Para resolver la EDH se supone que una solucin es: y = emx y, y 0 = memx y 00 = m2 emx Entonces nuestra EDH: m2 emx emx (m2 es: memx m 2emx = 0
2) = 0
Una ecuacin exponencial nunca puede ser cero; la expresin que ser cero
3
(m2 (m
m
2) = 0
2)(m + 1) = 0
Cuyos valores para m sern: m1 = 2 m2 = 1
Y la solucin comomplementaria de la EDH ser: yc = C1 e2x + C2 ex
para hallar la solucin particular por el mtodo de variacin de parmetros se separa las soluciones de la parte homogenea, as: y1 = e2x y2 = ex
De la solucin complementaria se supone la solucin particular de la ED como: yp = u(y1 ) + v(y2 ) yp = ue2x + vex 0 yp = 2ue2x + u0 e2x
ve
x
+ v0 e
x
Un paso muy importante es la suposicin de la siguiente ecuacin: u0 e2x + v 0 e Por lo cual:0 yp = 2ue2x x
=0
(1)
ve
x x
00 yp = 4ue2x + 2u0 e2x + ve
v0 e
x
Al reemplazar en la ecuacin original se tendr:00 yp 0 yp
2yp = 2e
x x x x
4ue2x +2u0 e2x +ve 4ue2x +2u0 e2x +ve 2u0 e2x v0 ex
v0 e v0 e
x x
(2ue2x ve 2ue2x +ve
x
) 2(ue2x +ve 2ue2x 2ve
x
) = 2e = 2e
x x
x
x
= 2e
(2)
Con lo cual se ha obtenido un sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas (1) u0 e2x + v 0 e x = 0 (2) 2u0 e2x v 0 e x = 2ex
4
Al usar el mtodo de eliminacin para el sistema, y multiplicar por -2 a la primera ecuacin se tiene: 2u0 e2x 2v 0 e v0 =x 2 3
2v 0 e v0 e
x x
+ 2u0 e2x = 2ex
v0 e
x
= 2e
x
Al reemplazar v 0 en (1) :2 u0 = 3 e 3x
Al integrar respecto x se obtiene: u= v=2 3x 9e 2 3x
Y como: entonces yp : yp = u(y1 ) + v(y2 ) yp = yp =2 3x 2x (e ) 2 x(e x ) 9e 3 2 2 e x 3 xe x 9
y = y c + yp y = C1 e2x + (C2 e y = C1 e2x + C2 ex x 2 x ) 9e 2 x 3 xe 2 x 3 xe
5