ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES VARIABLES

ALUMNO: VILLANUEVA TOLEDO, Jaime Edwin CODIGO: 20041070H SECCION: A

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES

Las ecuaciones diferenciales de orden n, de coeficientes variables son de la forma:

Donde a0(x), a1(x),, an(x) y f(x) son funciones

de variables real y continuas en un intervalo

xfxadx

dyxa

dx

ydxa................

dx

ydxa

dx

ydxa

dx

ydxa 012

2

22n

2n

2-n1n

1n

1-nn

n

n

:0a que suponiendo n x

..........bbb................bb n1-n22

2-n2

2

21

1

1 xgxdx

dyx

dx

ydx

dx

ydx

dx

ydx

dx

ydn

n

n

n

n

n

La solucin de la ecuacin () es la suma de las

soluciones particulares y la solucin general de la

ecuacin homognea correspondiente

Variacin de Parmetro Wronskiano.- Si y1,y2,.,yn son soluciones de la

ecuacin diferencial L(D)y=f(x), se define el

Wronskiano de dicha solucin como:

nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21

nyyyW ,......,, 21

nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21

nyyyW ,......,, 21

nyyyW ,......,, 21

nyyyW ,......,, 21

nnnnn

nnnnn

n

n

n

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

13

12

11

1

23

22

21

2

321

321

321

.......

.......

...........

...........

...........

...........

...........

...........

''.......''''''

'.......'''

.......

nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21 nyyyW ,......,, 21

Si W[ y1,y2,.,yn ]0, entonces y1,y2,.,yn , son

linealmente independientes

Sea la ecuacin diferencial L(D)y=f(x), si y1,y2,.yn, son las soluciones entonces la

solucion ser:

nnnn yxCyxCyxCyxCy 112211 ..........

Donde:

n

ii

yyyW

xVxfxC

,......,,

.

21

Donde Vi(x) se obtiene del

Wronskiano reemplazando la

columna i por el vector columna

unitaria

1

0

.

.

0

0

0

nnnnn

nnnnn

n

n

n

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

13

12

11

1

23

22

21

2

321

321

321

.......

.......

...........

...........

...........

...........

...........

...........

''.......''''''

'.......'''

.......

xVi

Ejemplo:

Resolver xtgyy 2'' xtgyD 22 1

012 yD xsenCxCyc 21 cos. La solucin general de la ecuacin diferencial dada es:

xsenxCxxCyc 21 cos

Donde C1(x), C2(x) son funciones incgnitas de x. Para

hallarlas, formamos los sistemas:

xsenx

senxx

xxtg

senx

cos

cos

cos

02

senxdxxsenxdxxtgxC 1sec.22

1

senxxtg .2 xC 1'

11 cossec)sec.( CxxdxsenxxtgxxC

dxxxxdxxtgxC cosseccos.2

2

2224

ln Csenxx

tgxC

xsenx

senxx

xtgsenx

x

cos

cos

0cos2

xtgx 2.cos xC 2'

224

ln..cos. 21

x

tgsenxsenxCxCy

senxCsenxxtgxCxxy

21

24lncoscossec

Respuesta:

REDUCCION DE ORDEN

Se puede reducir el orden de una ecuacin diferencial.

Si se conoce una solucin Y1 de dicha ecuacin

diferencial.

Haciendo: 1.yxCyG

022''12 yxyyxEjemplo:

Resolver

es una solucin

xCxxCy G .''

02'2''.'212 xxCxCxxCxxCxxCx

xy xxCyG .

xxCxCy G .'''2''

Entonces:

022212'1 222 xxxCxxxCxxxC''

dx

dtxCtxC '''

0)24(1 22 txdx

dtxx

0)1(

)24(2

2

dx

xx

x

t

dt

0)1(

)24(ln 12

2

Cxx

xt

Hacemos:

0')24(''1 22 xCxxCxx

122 )1( Ctxx

)1( 221

xx

Ct

)1(

'22

1

xx

CxC

222

1

)1(Cdx

xx

CxC

0ln1ln)1ln(ln2ln 1 Cxxxt

xxCyG .

211

1ln

2xCC

x

xxyG

211)1ln()1ln(2

1C

x

CCxxxC

Respuesta:

ECUACION DIFERENCIAL

DE EULER

Son de la forma:

Ria

tex

dx

dtet .1

xfyaxyayxa................xayxa 0122

2

11

1-nn nnnn y

Haciendo el cambio de variable:

2

2

.''dt

yde

dt

dyeey ttt

dt

dt

dyed

edx

dt

dt

dy

dx

dyy

t

t

''''

dt

dye

dx

dt

dt

dy

dx

dyy t .'

dx

dtey t .'

dt

dt

dy

dt

yded

edx

dt

dt

dy

dx

dyy

t

t

2

22

..''''

'''

2

2

3

32

2

22 .2'''

dt

yd

dt

yde

dt

dy

dt

ydeey ttt

dt

dy

dt

ydey t

2

22''

yDDDey t )2)(1(''' 3

yDDDDey tIV )3)(2)(1(.4

ynDDDDey ntn )1)........(2)(1(.

dt

dy

dt

yd

dt

ydey t 23'''

2

2

3

33

)()1(................

...)1)........(2)(1(

12

xfyDaDDa

nDDDDan

)()1(.............

.....)1)........(2)(1(

1

22

2

xfyDeeaDDeea

nDDDDeea

tttt

ntnt

n

Ecuacin diferencial con variables constantes

Ejemplo:

Resolver

tex

tyDyeeyDDee tttt 34)1(2 22

tyDDtyDDD

362

34)1(2

2

xydx

dyx

dx

ydx ln342

2

22

tyD

4

3)

2

3( 2

)

2

3()

2

3cos( 21

2

3

tsenCtCeyt

c

0'';' ppp yByBtAy

2)

2

33( 2

tyDD

32

3)

2

3()

2

3cos( 21

2

3

ttsenCtCey

t

G

xt ln

tBtAB )(36

3

2;

3

113

036

ABB

AB

0'';' pp yByDe las condiciones:

Donde:

Respuesta: