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22/04/2023 VALORES EXTREMOS 1

Obsérvese las colinas y los valles en la grafica de f mostrada. Hay dos puntos (a,b) donde f tiene un máximo local, El mayor de estos valores es el máximo absoluto. Asimismo, f tiene dos mínimos locales. El menor de estos valores es el mínimo absoluto.

Mínimo absoluto

MáximoAbsoluto


Una función de dos variables, z=f(x,y), tiene un mínimo relativo o local en

(a,b) si se cumple que para todos los puntos (x,y) en un algún círculo abierto con centro en (a,b).

( , ) ( , )f x y f a b


Si

para todo (x,y) en dicho disco, entonces f(a,b) es un valor máximo relativo o local . ( , ) ( , )f x y f a b


.

Si las desigualdades de la definición anterior se cumplen para todos los puntos (x,y) en el dominio de f (es decir en D), entonces f tiene un máximo absoluto, o un mínimo absoluto, en (a,b).

.


( , ) 0xf a b ( , ) 0.yf a b

Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existen allí, entonces

;

( , , ( , ))a b f a b

( , , ( , ))a b f a b

( , )a b ( , )a b

0

( , )f a bx

0

( , )f a bx

0

( , )f a by

0

( , )fa b

y


( , ) 0xf a b ( , ) 0,yf a b

PUNTOS CRITICOSUn punto (a,b) se llama punto crítico o punto estacionario de f si

; o si una de estas derivadas parciales no existen en (a,b). Hallar los puntos críticos o estacionarios de la función:

Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a,b) entonces (a,b) es un punto crítico de f

2 2 2 2( , ) 5 8 5f x y x y x xy y


Un punto crítico de f(x,y) que no es ni máximo ni mínimo relativo se denomina punto de silla o punto de ensilladura

La grafica tiene la forma de una silla de montar y por eso se llama punto de silla de f.


110128363218),( 22 yxyxyxf

1122),( 22

yxyxyxf

f x y x y xy( , ) 3 3 18

)1)((),( xyyxyxf

Hallar los puntos críticos o estacionarios de las siguientes funciones:


2:f D R R 2DR

( , ) 0f a bx

( , ) 0f a by

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADACONCEPTOS INTRODUCTORIOS

Sea , definida en un conjunto abierto , de tal modo que las primeras y segundas derivadas de f sean continuas en la región abierta D en el que el punto de tal modo que: ;

Para determinar si en el punto (a,b) existe un extremo relativo de f, definimos la cantidad

Se considera al valor de como el determinante de la matriz Hessiana.

22 2 2

2 2( , ) ( , ) ( , )f f fa b a b a bx y x y


2 2

2

2 2

2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

f fa b a bx y x

f fa b a bx y y

2 2

( , ) ( , )f fa b a bx y y x

Siendo


CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

A) Si y , entonces en f(a,b) existe un

valor mínimo relativo.

B) Si y , entonces en f(a,b) existe un

valor máximo relativo.

C) Si , entonces en f(a,b) existe un punto silla.

D) Si , entonces el criterio de la segunda derivada falla.

2

2 ( , ) 0f a bx

0

2

2 ( , ) 0f a bx

22 2 2

2 2( , ) ( , ) ( , )f f fa b a b a bx y x y

0

0

0


VALORES EXTREMOS ABSOLUTOS

Si z=f(x,y) es una función continua en una región D cerrada y acotada, f alcanza sus valores extremos absolutos.Estos valores se alcanzarán en:1º) Puntos frontera de D2º) Puntos críticos de f (puntos interiores de D en los

que fx=fy=0, o alguna de ellas no exista).Calculando f en todos ellos y eligiendo los valores mayor y menor tendremos los valores máximo y mínimo absoluto respectivamente.

VALORES EXTREMOS 13

MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.

Método de los multiplicadores de LaGrange

Para maximizar ó minimizar una función f(x,y) sujeta a la restricción g(x,y) = 0, se construye la función auxiliar

H(x,y, ) = f(x,y) - g(x,y)

Luego se hallan los valores x, y, para los cuales son

nulas las derivadas parciales de H :

Hx = fx - gx = 0

Hy = fy – gy = 0

H = g = 0

22/04/2023


Método de los Multiplicadores de LaGrange. Para determinar los valores máximos y mínimos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z)=k

A) Determine todos los valores de x,y,z y tal que y

B) Evalué f en todos los puntos (x,y,z) que resulten en el paso (a). El más grande de estos valores es el valor máximo de f ; el más pequeño es el valor mínimo de f.

( , , ) ( , , )f x y z g x y z ( , , )g x y z k


4 2 2( , ) 6 35f x y y xy x

4 2 2( , ) 6 35f x y x x y y

1) Hallar los valores extremos y puntos de ensilladura de la función:f(x,y) = x2(x2 – 2) + y2(y2 – 2) + 4xyf ( x,y ) = 2x2 + xy2 – y4 f (x,y) = x² + y² - xy + 2x + 2y + 1f (x,y) = x² + y² - xy -3x + 3y -2f (x,y) = 3x² + 2y² -3xy + 3x + 3y + 2f (x,y) = 4xy – x 4 - y 4 f (x,y) = x3 + 3xy2 – 15x – 12yf (x,y) = y3 + 3x2y – 15y – 12x


2) Necesitamos construir cajas de plástico, pero con la tapa de metal. Cada cm² de plástico cuesta dos nuevos soles, cada cm² de metal cuesta seis nuevos soles y las cajas deben tener una capacidad de 2000 cm³.¿Cuáles son las dimensiones de la caja más barata posible y cual es costo mínimo de cada caja 3) Una empresa de cartonaje fabrica cajas rectangulares de manera que la suma de la altura de la caja y el perımetro de la base es de 96 cm. Hallar las dimensiones de la caja de máximo volumen que puede ofrecer dicha empresa.4) La temperatura en un punto (x, y) de una placa de metal es T(x,y) = 4x2 - 4xy + y2. Una hormiga camina sobre la placa alrededor del círculo de radio 5 con centro en el Origen. ¿Cuáles son las temperaturas mayor y menor que encuentra la hormiga, en qué puntos?5) Una placa circular de ecuación E se calienta de manera que su temperatura está dada por la función T(x, y). Hallar (x,y) tal que la temperatura T(x, y) sea máxima y/o mínima en el borde de la placa.

2 2 2 2-T(x, y) = x +2y x;E: x + y =1


6)Un edificio con la forma de una caja rectangular debe tener un volumen de 12,000 pies cúbicos. Se estima que los costos anuales por calefacción y enfriamiento serán de $2 por pie cuadrado para el techo, $4 por pie cuadrado para el frente y la parte posterior y $3 por pie cuadrado para los lados. Halle las dimensiones del edificio que produzcan los gastos anuales por calefacción y enfriamiento mínimos. ¿Cuál es el gasto mínimo anual por calefacción y enfriamiento?7) Hay que construir una caja rectangular abierta con un área de la superficie igual a 300 pulgadas cuadradas a partir de una hoja de metal. Encuentre las dimensiones de la caja si el volumen de la caja debe ser lo más grande posible. ¿Cuál es el valor máximo?


8) Un investigador agrícola estimo que el beneficio anual de un cultivo es B (x, y) = 1600x + 2400y − 2x² − 4y² − 4xy ; donde x es el numero de hectáreas cultivadas con algodón e y la cantidad de Hectáreas cultivadas con maíz. Hallar cuantas hectáreas conviene cultivar con cada producto para maximizar el beneficio y cual sería el beneficio máximo.9) Se trata de fabricar un deposito con tapa de 18 m³ de volumen, con piso, techo y paredes rectangulares. Suponiendo que los precios por m² son un 50% mas caros para las paredes que para el techo y el suelo, calcular las dimensiones del deposito de mínimo costo.11) Necesitamos construir cajas de cartón, pero con la tapa de plástico. Cada cm² de cartón cuesta un céntimo, cada cm² de plástico cuesta tres céntimos y las cajas deben tener una capacidad de 2000 cm³.¿Cuales son las dimensiones de la caja mas barata posible?12) Una pirámide esta limitada por los planos coordenados y el plano x + 2y + 3z − 6 = 0. Calcular su volumen mediante una integral doble.13) La densidad de población de una ciudad admite como modelo aproximado f (x, y) = 4000 e−0,01(x² +y² ), x² + y²≤ 49, donde x e y se miden en millares. Integrar la función de densidad sobre la región circular indicada para estimar la población de esa ciudad.


.,...,2,1,0)(

.)( Pr

extre )(

.),()( min )( )2

.),()( max )( )1

)(),...,,(/: .

Re

0

0

21

niaxf

ncesen a, ento relativo extremovalorun tiene fSiRfDom punto arno de unen un ento erenciable Sea f difoposicion.

fderelativomovalorunesafqueDiremoss casos de los docualquieraEn

UxxfafquetaladeUentornounsifdeimovalorunesafqueDiremos

UxxfafquetaladeUentornounsifdeimovalorunesafqueDiremos

fDomaaaaRRfSeaDefinicion

lativosExtremosEXTREMOSVALORES

i

n

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:

.,...,2,1,0)(

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: ,

: .

21

2

2

2

1

2

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2

2

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22

2

12

21

2

21

2

21

2

21

2

Entonces

niaxf

tal queDom(f)),...,a,a(a aun puntoorno U de en un entse Cion de claR una funcRfSeaoposicion

ax

faxxfa

xxf

axxfa

xfa

xxf

axxfa

xxfa

xf

afH

Simetricaiz a la matrf en assiana de matriz HeLlamaremosDom(f).),...,a,a(a a

un puntoorno U de en un entse Cion de claR una funcRfSeaDefinicion

i

n

n

nnn

n

n

n

n


. extremo n o existencia la sobre nadaasegurar podemos )( Si )

. )( Si ).max )( Si )

.min )( Si )

apuntoen eldeoinida noes semidefafHD

asilla en un puntoees f tienida entonces indefinafHCvo de fimo relati valor f(a) es un entonces a negativaes definidafHB

vo de fimo relati valor f(a) es un entonces a positivaes definidafHA

egativos.ente estrictamloress y autovae positivotrictamentvalores estiene autoy solo si ida sies indefinE

j/λ,...n. y ,i,λ r), es deciero (ellos es c deunostivos y as son negaautovaloretodos sus y solo si tiva siinida negaes semidefD

j/λ,...n. y ,i,λ r), es deciero (ellos es c deunostivos y as son posiautovaloretodos sus y solo si tiva siinida posies semidefC

ni sia negativaes definidBni sia positivaes definid

toncesalores. en sus autovλ y sean etrica nxnmatriz simSea H una oposicion

ji

ji

nii

n H )

0210,0 lg H )

0210,0 lg H )

.,...2,1,0 si soloy H ).,...2,1,0 si soloy H A)

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i

1


. H entonces 0det(H) y anteriores scondicione dos las de ninguna verificase no Si ).,...2,1,01- si soloy H )

.,...2,1,0 si soloy H A)

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SYLVESTER.

k

k

idaes indefinC

nk sia negativaes definidB

nk sia positivaes definidncesde H. Ento

s as columnas k primerfilas y la primerask de las elementosforman losden k que ante de orer elλnxn y sea

etrica matriz simSea H una DECRITERIO

k

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