Versiones Definibles en Teorıa Combinatoria de

Conjuntos

Diana Carolina Montoya AmayaDirigido por:

Andres Villaveces Nino

June 2, 2008

Abstract

Se presentan algunas versiones definibles de propiedades combinatoriasinfinitas, tales como la propiedad del arbol y el teorema de Ramsey,entre otras. Ademas se prueba la equiconsistencia de “Todo ω1- arbolque sea definible en primer orden sobre (Hω1 , ε) tiene una rama cofinal”con la existencia de un cardinal Π1

1 reflejante.

1 Introduccion

Es posible probar que el cardinal ℵ1 no tiene la propiedad del arbol, es decir,es posible construir un ω1- arbol que no tiene ramas de cardinalidad > ω(Arbol de Aronszajn); basados en el artıculo de Amir Leshem “On the Con-sitency of the Definable Tree Property”, estudiamos la propiedad definibledel arbol y vemos que para ℵ1 es consistente con la existencia de un car-dinal Π1

1 reflejante, el cual resulta ser una version definible de un cardinaldebilmente compacto.

Para esto presentamos primero las definiciones necesarias acerca de arboles,cardinales y extensiones de forcing que seran necesarias para las pruebasposteriores. A continuacion definimos cardinales Π1

1- reflejantes y damosuna caracterizacion en terminos de una version definible de la propiedad deKeisler para cardinales debilmente compactos. Tambien acotamos la con-sistencia de la existencia de un cardinal Π1

1- reflejante respecto a la de uncardinal de Mahlo.

1

Luego mostramos que si colapsamos un cardinal Π11- reflejante a ℵ1, en la

extension generica vale la propiedad definible del arbol para ℵ1; como coro-lario vemos las consecuencias si ademas vale el axioma de constructibilidadV = L. Tambien se muestra la propiedad definible de Ramsey para ℵ1. Yque si en L(Universo constructible) vale la propiedad definible del arbol paraℵ1, se tiene que en L, ℵ1 es un cardinal Π1

1- reflejante.

Por ultimo inspirados en el trabajo de J.Nido, P.Mendoza y L.Villegas en [5];utilizamos la propiedad de extension definible que tienen los cardinales Π1

1

reflejantes para probar una afirmacion acerca de modulos libres de torsiony κ libres de torsion.

2 Preliminares

2.1 Arboles

Definicion 1. • Un arbol es un conjunto parcialmente ordenado (T,<T) tal que para cada x ∈ T , el conjunto {y ∈ T | y <T x} de todos lospredecesores de x es bien- ordenado por <T y existe una raız r ∈ T talque para cada x ∈ T , tal que x 6= r, r <T x.

• El α- esimo nivel de T , Tα consiste de todos los x ∈ T tal que {y ∈T | y <T x} tiene tipo de orden α.

• Una rama es un conjunto maximal linealmente ordenado por <T . Unarama cofinal es una rama que intersecta todo nivel T .

• Un arbol (T,<T ) es un κ- arbol si |T | = κ, para cada α, |Tα| < κ ysup{α | Tα} = ∅.

Ejemplo 1. • Sea ρ un ordinal y A un conjunto no vacıo. DefinamosA<ρ =

⋃δ<ρA

δ el conjunto de todas las sucesiones de elementos de Ade tamano menor que ρ y consideremos el arbol (T,≤) donde T = A<ρ

y f ≤ g si y solo si f ⊆ g; el α- esimo nivel de T , Tα es el conjunto Aα.Las ramas en T son funciones inyectivas de λ en A, ademas resultanser ramas cofinales.

En particular si tomamos λ = ω = A, tenemos el arbol (T = ω<ω,≤)que consta de todas las sucesiones finitas en ω, si consideramos solo lassucesiones crecientes en T y llamamos a este nuevo arbol T ′, tenemosque la altura de T ′ es ω, pero T ′ no tiene ramas cofinales.

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• Lema de Konig: Si T es un arbol de altura ω y todos los niveles de Tson a lo mas finitos, entonces T tiene una rama de longitud ω

• Arboles de Suslin: Decimos que un arbol T es de Suslin si la altura deT es ω1, toda rama es alo mas contable y toda anticadena en T es alo mas contable; donde una anticadena es un subconjunto de T tal quetodos sus elementos son dos a dos incomparables.

Ahora introducimos varias definiciones de κ- arboles definibles.

Definicion 2. • Un κ- arbol es definible en el sentido estricto si sudominio es κ, y <T es Σω((Hκ, ε))

• Un κ- arbol es definible en el sentido amplio si su dominio es T , yT ,<T son ambos Σω((Hκ, ε)) y T tiene cardinalidad definible κ, esdecir existe una biyeccion f : κ→ T la cual es Σω((Hκ, ε)).

• Un κ- arbol es definible en el sentido muy amplio si su conjunto fun-damental es T , y <T son Σω((Hκ, ε))

Claramente definible en el sentido estricto implica definible en el sentidoamplio, y, este a su vez implica definible en el sentido muy amplio. Acontinuacion vemos que ser definible en el sentido estricto y en el sentidoamplio son equivalentes.

Proposicion 1. Si (T,<T ) es un κ- arbol definible en el sentido amplio,entonces existe un arbol (κ,<T ′) isomorfo a (T,<T ) que es definible en elsentido estricto.

Prueba:Sea (T,<T ) es un κ- arbol definible en el sentido amplio; sea f : κ → T labiyeccion definible y ψ(x, y, z) la formula que define <T con parametro z, esdecir α <T β ⇐⇒ |= ψ(α, β, z).Definamos <T ′ como sigue: α <T ′ ⇐⇒ ψ(f(α), f(β), z), claramente (κ,<T ′

) es definible en el sentido estricto.

Definicion 3. Un arbol de Aronszajn es un arbol de altura ω1, tal quetodos sus niveles son de cardinalidad a lo mas contable y no tiene ramas decardinalidad no contable.

Teorema 1 (Aronszajn). Existe un arbol de Aronszajn.

Prueba: Ver Jech[2] pag116

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Hecho: Si T es un arbol de Aronszajn tal que existe una funcion f : T → Qtal que f(x) < f(y) cuando x < y, decimos que T es un arbol de Aronszajnespecial.

Definicion 4. Decimos que un cardinal regular no contable κ tiene la propiedaddel arbol si todo arbol de altura κ cuyos niveles tienen cardinalidad < κ tieneuna rama de cardinalidad κ.

Nota: Es claro que ℵ0 tiene la propiedad del arbol (Lema de Konig) mientrasque ℵ1 no (Existencia del arbol de Aronszajn).

2.2 Cardinales

Definicion 5. Un cardinal κ es un cardinal lımite fuerte si 2λ < κ paracada λ < κ.

Definicion 6. Un cardinal κ es inaccesible si es no contable, regular y lımitefuerte.

Definicion 7. Sean κ y λ cardinales infinitos , sea n un numero natural ysea m un cardinal (finito o infinito), escribimos:

κ→ (λ)nmpara denotar la siguiente propiedad de particion: Toda particion de [κ]n enm piezas tiene un conjunto homogeneo de tamano λ, en otras palabras, todaF : [κ]n → m es constante sobre [H]n para algun H ⊂ κ tal que |H| = λ.

Usualmente omitimos m cuando m = 2

Definicion 8. Un cardinal κ es debilmente compacto si es no contable ysatisface la propiedad de particion κ→ (κ)2

A continuacion una caracterizacion de cardinales debilmente compactos enterminos de la propiedad del arbol y una en terminos de la propiedad deextension.

Lema 1. (i) Si κ es debilmente compacto, entonces κ tiene la propiedaddel arbol.

(ii) Si κ es inaccesible y tiene la propiedad del arbol, entonces κ es debilmentecompacto.

Prueba: Ver Jech[2] pag120

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Teorema 2 (Keisler). κ es debilmente compacto si y solamente si tienela propiedad de extension: Para cada R ⊆ Vκ existe un conjunto transitivoX 6= Vκ y S ⊆ X tal que (Vκ, ε, R) ≺ (X, ε, S)

Prueba: Ver Kanamori[3] pag39

Definicion 9. Un cardinal inaccesible κ es llamado un cardinal de Mahlosi el conjunto de todos los cardinales regulares bajo κ es estacionario.

2.3 El Modelo (Hκ, ε)

En esta seccion definimos un modelo que satisface los axiomas de ZF aexcepcion del axioma de partes, que sera fundamental en los desarrollosposteriores.

Definicion 10. H(κ) = Hκ = {x ∈ V | |trcl(x)| < κ} donde trcl(x) =⋂{z | x ⊂ z y z es transitivo }

Nota: En la definicion anterior si κ = ω decimos que Hω es el conjunto delos hereditariamente finitos y si κ = ω1, Hω1 es el conjunto de los heredi-tariamente contables.

A continuacion mencionamos algunas de sus propiedades mas importantes:

Proposicion 2. Dado un cardinal infinito κ:

1. Hκ es transitivo

2. Hκ ⊂ Vκ

3. (AC) para κ > ω, Hκ = Vκ ⇐⇒ κ = iκ

Prueba: Ver Kunen[4]

2.4 Indescriptibilidad

Sea n > 0 un numero natural y consideremos el calculo de predicados den-esimo orden. Hay variables de ordenes 1, 2, . . . , n, y los cuantificadoresson aplicados a variables de todos los ordenes. Una formula de n- esimo or-den contiene, ademas simbolos de primer orden y cuantificadores de ordenesaltos, predicados X(z) donde X y z son variables de orden k+1 y k respec-tivamente (para cada k < n). Validez para una formula de n- esimo ordenen un modelo A = (A,P, . . . , f, . . . , c, . . .) se define como sigue: Variables de

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primer orden son interpretadas como elementos del conjunto A, variables desegundo orden como elementos de ℘(A) etc.; variables de orden n son in-terpretadas como elementos de ℘n−1(A). El predicado X(z) es interpretadocomo z ∈ X.

Una Πnm formula es una formula de orden n+ 1 de la forma:

∀X∃Y . . .︸ ︷︷ ︸m cuantificadores

ψ

donde X, Y , . . . son variables de orden n+1 y ψ es tal que todas las variablescuantificadas son de orden a lo mas n, similarmente se definen las formulas∑n

m, la unica diferencia es que los cuantificadores estan intercalados.

Definicion 11. Un cardinal κ es∏nm indescriptible si cuando U ⊂ Vκ y σ

es una sentencia Πnm tal que si (Vκ, ε, U) |= σ, entonces para algun α < κ,

(Vα, ε, U ∩ Vα) |= σ

A continuacion presentamos un resultado que muestra que los cardinalesdebilmente compactos son exactamente los Π1

1 indescriptibles.

Teorema 3 (Hanf - Scott). Un cardinal κ es Π11- indescriptible si y solo

si es debilmente compacto.

Prueba: Ver Jech[2]pag 297

2.5 Forcing

Enunciamos los conceptos basicos de forcing y casos particulares que seranutilizados en los teoremas principales.

Sea M un modelo transitivo de ZFC, en M consideramos un conjunto novacıo parcialmente ordenado (P,<) al que llamaremos una nocion de forcing,y a sus elementos condiciones de forcing. Decimos que p es mas fuerte queq si p < q; dos consiciones p, q son compatibles si existe r ∈ P tal que r ≤ qy r ≤ p, en otro caso diremos que son incompatibles.Un subconjunto A ⊂ Pes una anticadena si todos sus elementos son dos a dos incompatibles. Unsubconjunto D ⊂ P es denso en P si para cada p ∈ P existe q ∈ D tal queq ≤ p.

Definicion 12. Un subconjunto F ⊂ P es un filtro sobre P si:

(i) F es no vacıo

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(ii) Si p ≤ q y p ∈ F entonces q ∈ F

(iii) Si p, q ∈ F , existe r ∈ F tal que r ≤ p y r ≤ q

Definicion 13. Un conjunto de condiciones G ⊂ P generico sobre M si:

(i) G es un filtro sobre P

(ii) Si D es denso en P y D ∈M entonces G ∩D 6= ∅

Enunciamos los teoremas mas importantes sobre forcing:

Teorema 4 (Teorema del Modelo Generico). Sea M un modelo tran-sitivo de ZFC y sea (P,<) una nocion de forcing en M . Si G ⊂ P esgenerico sobre P , existe un modelo transitivo M [G] tal que:

(i) M [G] es un modelo de ZFC

(ii) M ⊂M [G] y G ∈M [G]

(iii) OrdM [G] = OrdM

(iv) Si N es un modelo transitivo de ZFC tal que M ⊂ Ny G ∈ N ,entonces M [G] ⊂ N

Teorema 5 (Teorema de Forcing). Sea (P,<) una nocion de forcing enel modelo M . Si σ es una sentencia del lenguaje de forcing, entonces paracada G ⊂ P generico sobre M ,

M [G] |= σ si y solo si (∃p ∈ G)p σ

Ahora nos concentramos en un ejemplo de forcing y estudiamos algunas desus propiedades:

2.5.1 El Colapso de Levy

Una de las tecnicas basicas mas importantes de forcing es precisamente lade colapsar cardinales, la idea es que si tenemos dos cardinales regulares κy λ el colapso hace que en la extension generica tengamos κ = λ+.

Sea S ⊆ On y λ un cardinal regular

Coll(λ, S) = {p | p es una funcion ∧ |p| < λ ∧ dom(p) ⊆ S × λ ∧ ∀(α, ξ) ∈dom(p)(α > 0 → p(α, ξ) ∈ α)}

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ordenado por: p ≤ q si y solo si p ⊇ q. Ahora listamos algunas de suspropiedades:

Lema 2. (i) Coll(λ, S) es λ-cerrado, es decir cuando γ < λ y {pα | α <γ} ⊆ Coll(λ, S) con pβ ≤ pα para α < β < γ, existe p ∈ Coll(λ, S) talque p ≤ pα para cada α < γ.

(ii) Si κ es regular, κ > λ y κ es inaccesible o λ = ω entonces Coll(λ, κ)tiene la κ-condicion de cadena.

(iii) Si Coll(λ, κ) tiene la κ-condicion de cadena, entonces forcing conColl(λ, κ) preserva cardinales menores o iguales que λ y mayores oiguales que κ.

3 Cardinales Π11 reflejantes

Definicion 14. Sea κ un cardinal. Decimos que κ es Πmn reflejante, si κ es

inaccesible y para cada A ⊆ Vκ definible sobre Vκ (con parametros) y paracada Πm

n sentencia Φ, tal que:(Vκ, ε, A) |= Φ

existe α < κ tal que(Vα, ε, A ∩ Vα) |= Φ

Claramente los cardinales Πmn reflejantes son la version definible de los car-

dinales Πmn indescriptibles. A continuacion probamos el siguiente lema:

Lema 3. Sea κ un cardinal de Mahlo, entonces para cada n y m

S = {α < κ| α esΠmn reflejante}

es estacionario.

Prueba: Sea C un club, queremos ver C ∩ S 6= ∅, es decir encontrar µ ∈ Ctal que µ es Πm

n reflejante.

Consideremos el conjunto S de las triplas (Φ, ψ, a) dondeΦ es Πm

n

ψ(x, a) es una formula de primer orden en la variable xa ∈ Vκ

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Claramente S es un conjunto de cardinalidad κ, ası podemos considerar unaenumeracion de e : {(Φ, ψ, a)} → κ.

Como a ∈ Vκ, si consideramos γ = ran(α) sabemos que a ∈ Vγ+1 yγ es mınimo, entonces podemos suponer sin perdida de generalidad quea ∈ Ve(Φ,ψ,a) y e(Φ, ψ, a) < (ran(a))[ donde α[ es el menor inaccesible mayorque α y que e es una biyeccion.

Ahora para cada tripla (Φ, ψ, a) definamos:

g(e(Φ, ψ, a)) =

el mınimo ρ tal que e(Φ, ψ, a) < ρ y(Vρ, ε, S) |= (x ∈ S sii ψ(x, a)) ∧ Φ si existee(Φ, ψ, a) + 1 si no

Tenemos que g(α) > α para cada α < κ ya que existe una tripla (Φ, ψ, a) talque α = e((Φ, ψ, a)); ahora, si existe ρ tal que e(Φ, ψ, a) < ρ y (Vρ, ε, S) |=(x ∈ S siiψ(x, a))∧Φ se tiene que g(α) = ρ > e((Φ, ψ, a)) = α, y en caso deque ρ no exista, g(α) = g(e(Φ, ψ, a)) = e(Φ, ψ, a) + 1 = α+ 1 > α. Y comoκ es de Mahlo el conjunto de inaccesibles bajo κ es estacionario, entoncesexiste µ ∈ C tal que µ es inaccesible y µ < κ.

Ademas se tiene que g′′µ ⊆ µ; para esto veamos que D = {µ < κ | g′′µ ⊆ µ}es un club.

(i) D es no acotado:Sea α < κ y definamos la sucesion 〈βn : n < ω〉 de la siguiente manera:β0 = sup(g′′α)βn+1 = supγ<βn

g′′(γ)Sea β = supn<ωβn; claramente β < κ pues κ es inaccesible, veamosque β ∈ D, es decir g′′β ⊆ βSea α ∈ g′′β entonces existe λ < β tal que g(λ) = α > λ. Como λ < βexiste n < ω tal que λ < βn < β, entonces λ < supγ<βn−1

g′′(γ) ≤ β,dedonde λ < g′′(λ) < β asi α < β.

(ii) D es cerrado:Sea λ < κ un punto lımite de D, es decir sup(D ∩ λ) = λ hay que verque λ ∈ D, es decir g′′λ ⊆ λ.Sea ζ ∈ g′′λ entonces existe ξ < λ tal que g′′ξ = ζ; como sup(D∩λ) =λ, existe ξ < µ < λ tal que g′′µ ⊆ µ entonces g(ξ) ∈ µ y ζ < µ < λ dedonde ζ ∈ λ.

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Afirmamos que µ es Πmn reflejante; ya se tiene que µ es inaccesible. Tomemos

S ⊆ Vµ definido por “x ∈ S si y solo si Vκ |= Φ(S) ”.

Como µ ∈ C existe ρ ∈ C tal que (Vρ, ε, S ∩ ρ) |= Φ y S ∩ ρ esta definidopor ψ(x, a), (si tomamos ρ = µ se tiene).

Entonces g(e(Φ, ψ, a)) esta definido en el primer caso; ademas como g′′µ ⊆ µy e(Φ, ψ, a) < µ, se tiene que g(e(Φ, ψ, a)) < µ

entonces (Vg(e(Φ,ψ,a)), ε, S ∩ g(e(Φ, ψ, a))) |= Φ, µ es Πmn reflejante.

Definicion 15. κ tiene la propiedad de extension definible si para cada n ypara cada A ⊆ Vκ definible en primer orden sobre Vκ con parametros de Vκ,existen un conjunto transitivo X y AX ⊆ X tal que κ ∈ X y (Vκ, ε, A) �n(X, ε,AX)

Proposicion 3. κ tiene la propiedad de extension definible si y solo si paracada n existe una Σn− extension elemental final de Vκ, que tiene a κ, estoes κ ∈ X y (Vκ, ε) �n (X, ε)

Prueba: (i) Suficiencia. Supongamos primero que κ tiene la propiedadde extension, y sea n ∈ N. Sea A = ∅, entonces para ese n y eseA existen un conjunto transitivo X y AX ⊆ X tal que κ ∈ X y(Vκ, ε, A) �n (X, ε,AX) de donde (Vκ, ε) �n (X, ε)

(ii) Necesidad: Sea n ∈ N y A ⊆ Vκ definible por ψ(x, a) donde a ∈ Vκ,por hipotesis para ese n, existe una extension Σn− elemental finaltransitiva de Vκ tal que κ ∈ X y (Vκ, ε) �n (X, ε); sea AX = {x ∈X|(Vκ, ε) |= ψ(x, a)}, claramente (Vκ, ε, A) �n (X, ε,AX).

Teorema 6. Un cardinal κ es Π11 reflejante si y solo si κ es inaccesible y

tiene la propiedad de extension definible.

Prueba: (i) Suficiencia. Supongamos que κ es inaccesible y tiene lapropiedad de extension y veamos que es Π1

1 reflejante, para esto seaA ⊆ Vκ definible sobre Vκ. Sea Φ una formula Π1

1, entonces Φ esde la forma ∀Y φ(Y ), donde φ(Y ) es una formula de primer orden enlos predicados Y y A, ahora supongamos que (Vκ, ε, A) |= Φ. Sean suficientemente grande de tal manera que la sentencia ∃α(∀Y ∈Vα+1((Vα, ε, A ∩ Vα) |= φ(Y ))) sea Σn en Lε(A), el lenguaje ambiente

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de (Vκ, ε, A); ahora sea (X, ε,A) el modelo dado por la propiedad deextension, esto es:

(Vκ, ε, A) ≺n (X, ε,A)

donde X es un conjunto transitivo y κ ∈ X. Por consiguiente AX ∩Vκ = A. Ademas se tiene que V X

κ = Vκ pues ∀α < κ V Xα = Vα

y Vκ =⋃n<ω Vα =

⋃n<ω V

Xα = V X

κ ; y que V Xκ+1 ⊆ Vκ+1 porque si

x ∈ V Xκ+1,existe y ∈ V X

κ tal que x ⊆ y por lo anterior y ∈ Vκ y x ⊆ yentonces x ∈ Vκ+1.

Ahora como (Vκ, ε, A) |= Φ se sigue que:

∀X ⊆ Vκ(Vκ, ε, A) |= φ(X)

entonces,

(X, ε,AX) |= ∀Y ∈ Vκ+1((V Xκ , ε, AX ∩ V X

κ ) |= φ(Y ))

de donde,

(X, ε,AX) |= ∃α(∀Y ∈ Vα+1((Vα, ε, AX ∩ Vα) |= φ(Y )))

Ahora, como (Vκ, ε, A) ≺n (X, ε,A),

(Vκ, ε, A) |= ∃α((Vα, ε, A ∩ Vα) |= Φ)

ası; (Vα, ε, A ∩ Vα) |= Φ, entonces κ es Π11− reflejante.

(ii) Necesidad. Sea κ un cardinal Π11− reflejante y fijemos n < ω. Sea σ

la formula Π11− expresando que κ tiene la propiedad de extension rela-

tiva al n que se habıa fijado, es decir que no existe una Σn− extensionelemental transitiva X de Vκ que tenga a κ, ası:

σ : ∀A ∈ Vκ+1∃X ∃AX ⊆ X ψ(A,X) donde ψ(A,X) : ∃φ(a, x) tal que(X, ε,AX) |= φ(a, x) y (Vκ, ε, A) 2 φ(a, x)

Sea τ la formula que expresa la inaccesibilidad de κ

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Sea C = {α < κ | (Vα, ε) ≺n (Vκ, ε)}

Afirmacion: C es un club en κ.Para ver que C es cerrado tomemos αun punto lımite de C es decir sup(C ∩α) = α, hay que ver que α ∈ C,esto es:

(Vα, ε) ≺n (Vκ, ε)

Sea ψ una formula Σn, e.d., ψ = ∃xϕ y supongamos que (Vκ, ε) |= ψsea γ < α, entonces existe γ < λ < α tal que (Vλ, ε) ≺n (Vκ, ε), en-tonces se tiene que (Vλ, ε) |= ψ(x, a) de donde (Vα, ε) |= ψ(x, a)

Ahora para ver que C es no acotado, consideremos α < κ y con-struyamos funciones de Skolem h para Vκ; sea h(a1, ..., an) = x dondex = {a ∈ x | ∀zran(a) ≤ ran(z)} y x = {a | ϕ(a, a1, ..., an)}Claramente h es una funcion de Skolem;si∃a ∈ Vκ (Vκ, ε) |= ϕ(a, a1, ..., an)(Vκ, ε) |= ∃xϕ(x, a1, ..., an)(Vκ, ε) |= ϕ(h(a1, ..., an), a1, ..., an)

Ahora, definamos la sucesion (αn) como sigue:α0 = ααn+1 < κ tal que h(Vαn) ⊂ Vαn+1 para cada h

Sea β = limn→∞ αn, se tiene que (Vβ, ε) ≺ (Vκ, ε)Ahora, sea ρ la formula que dice que C es un club, entonces se tiene que:

(Vκ, ε, C) |= σ ∧ τ ∧ ρ

Como κ es Π11− reflejante, existe α < κ tal que (Vα, ε, C∩α) |= σ∧τ∧ρ,

entonces α es inaccesible y es punto lımite de C, de donde α ∈ C e.d.(Vα, ε) ≺n (Vκ, ε).

Sea X0 = Vα∪{Vα} y construyamos un submodelo elemental (X ′, E) ≺(Vκ, ε) que tenga a X0 y sea de cardinalidad κ.

Consideremos (X ′, E) la cobertura de Skolem de X0 en (Vκ, ε), es de-cir la clausura de X0 por funciones de skolem, y sea (X, ε) el colapso

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transitivo de (X ′, E), se sigue que (Vα, ε) ≺n (X, ε) y Vα ∈ X entonces:

(Vα, ε) |= ¬σlo cual es una contradiccion.

Lema 4. Sea κ un cardinal Π11− reflejante. Sea T un κ−arbol definible en

el sentido muy amplio, entonces T tiene una rama cofinal.

Prueba: Como κ es inaccesible Vκ = Hκ; sea T un κ−arbol definible en elsentido muy amplio, ademas sea n suficientemente grande tal que la afir-macion ”∀α T tiene una rama de longitud α” sea Σn sobre (Vκ, ε, T ); por elteorema anterior existe una estructura transitiva (X, ε, TX) tal que:

(Vκ, ε, T ) ≺n (X, ε, TX)

Como V Xκ = Vκ ∈ X se sigue que TX ∩ V X

κ = T ; ahora como T es unκ−arbol tenemos que:

(Vκ, ε, T ) |= ∀αT tiene una rama de longitud α.

Por lo tanto,

(X, ε, TX) |= ∀αTX tiene una rama de longitud α.

Como κ ∈ X vemos que (X, ε, TX) |= TX tiene una rama b de longitud κ.Como TX ∩ V X

κ = T , resulta que b es realmente una rama cofinal de T .

4 La construccion de forcing

Describimos la construccion de forcing, y probamos que en la extensiongenerica se satisface la propiedad del arbol para ω1- arboles definibles enprimer orden sobre (Hω1 , ε).

Sea κ un cardinal Π11 reflejante en V . Ademas sea

P = Coll(ω,< κ)

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el Colapso de Levy de κ a ω1, y para cada α < κ sea

Pα = Coll(ω,< α)

un segmento inicial de P y sea G un filtro P- generico.

Definicion 16. ℵ1def−−→ (ℵ1)mα si y solo si para cada particion de [ℵ1]m en α

conjuntos que sea definible en primer orden sobre (Hω1 , ε) (con parametrosde Hω1), tiene un conjunto homogeneo de tamano ℵ1.

A continuacion probamos la version definible del teorema de Ramsey.

Lema 5. V [G] |= ℵ1def−−→ (ℵ1)22

Prueba. Sea F : [ℵ1]2 → 2 una particion definible en V [G] definida por:

F ({α, β}) = i ⇐⇒ Φ(x, α, β, i)

donde Φ es una formula Σn relativizada a (Hω1)V [G] y el parametro x ∈

(Hω1)V [G], entonces |trcl(x)| < ω1, es decir trcl(x) es contable, en particular

x es un conjunto contable el cual se puede ver como un real, es decir unafuncion x : ω → ω.Ahora por la κ- condicion de cadena del Colapso de Levy (e.d. toda anti-cadena en P es de cardinalidad menor que κ); para cada x ∈ V [G] existeε < κ tal que x ∈ V [Gε] donde Gε es un segmento inicial de G, que resultaser generico para Pε.

Para verlo, sea x ∈ V [G] un real y sea x un nombre canonico para x tal quexG = x. Para cada α < γ sea Aα ⊆ Coll(ω, κ) una anticadena maximal talque para cada p ∈ Aα exista ζ tal que p x(α) = ζ; como Coll(ω, κ) tienela κ condicion de cadena |Pα| < κ para cada α < γ, entonces

|⋃α<γ

Pα| < κ

.Como κ es regular existe ε < κ tal que si

p ∈⋃α<γ Pα entonces dom(p) ⊆ ε× ω

Sea Gε = G∩Pε; entonces x es definible en Gε por x(α) = ζ sii p x(α) = ζ

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para el unico p ∈ G ∩ Pα, de donde x ∈ V [Gε].

Mas aun, por el siguiente resultado de Solovay V [G] = V [Gε][H] donde Hes generico para P.

Proposicion 4. Suponga que κ > ω es regular y G es Coll(ω, κ)- generico.Entonces para cada x ∈ V [G] con x : ω → On, existe un H el cual esColl(ω, κ)- generico sobre V [x] tal que V [G] = V [x][H].

Ademas por la homogeneidad del Colapso de Levy todo conjunto de ordi-nales definible en V [G] con parametros en V [Gε] es definible en V [Gε] y paracada formula Ψ podemos calcular otra formula Φ tal que:

V [G] |= Ψ(x, α, β, i) ⇐⇒ V [Gε] |= Φ(x, α, β, i)

para cada α, β < κ e i ∈ {0, 1}.

P es debilmente homogeneo si para cada p, q ∈ P existe un automorfismo ede P tal que e(p)‖q.

Sea X ⊆ On tal que X es definible en V [G] con parametros de V [Gε], esdecir existe σ(x, a) tal que:

α ∈ X ⇐⇒ V [G] |= σ(α, a) a ∈ V [Gε]

entonces existe p ∈ Coll(ω,< κ) tal que p P σ(α, ¯a)

Sea q ∈ Coll(ω,< ε) entonces por la homogeneidad existe e ∈ Aut(P) talque e(p)‖q, de donde existe r ∈ Coll(ω,< ε) tal que r ≤ q y r ≤ e(p),ademas e(p) Pε σ(α, ¯

e(a)) de donde V [Gε] |= σ(α, ¯e(a))Sea ε fijo y sea σ un Pε- nombre para x, ahora definimos un κ- arbol T elcual es definible en Vκ. Para cada α < κ definimos el nivel α como sigue:

h ∈ Tα ⇐⇒h es un Pε- nombre para una funcion de α en {0, 1} y

∃µ0∀µ∃δ > µ∀β < α∀p ∈ Pεp Pε Φ(σ, β, µ0, h(β)) ⇐⇒ p Pε Φ(σ, β, δ, h(β))

y seaT =

⋃α<κ

Tα

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diremos hα para denotar que h ∈ Tα, el orden de T es:

hα ≤ hβ ⇐⇒ Pε hα ⊂ hβ

Veamos que, efectivamente T es un κ- arbol, para probar esto primero ob-servemos que para cada α < κ Tα 6= ∅ dado que, para cada α existen alomas 22α+|Pε| Pε nombres para tales funciones; por lo tanto estamos particio-nando κ en menos de κ subconjuntos de acuerdo a los posibles valores de〈F ({β, δ}) : β < α〉.

Ahora, |Tα| ≤ 2α < κ (κ es inaccesible), y T es definible en el sentido muyamplio sobre Hκ.Por el lema anterior T tiene una rama cofinal 〈hα < ω1〉.

Trabajamos ahora en V [G], sea hα(Gε) la realizacion del nombre hα enV [Gε] y sea

h =⋃α<κ

hα(Gε)

entonces h es una funcion de κ = ℵV [G]1 a {0, 1}. Definamos:

Aα = {α < γ < ℵ1 | ∀β < αF ({β, γ}) = h(β)}

Para cada α, |Aα| = ℵ1 por la definicion de hα; ademas 〈Aα : α < ℵ1〉 esuna sucesion decreciente de conjuntos; es decir si α1 < α2 < ℵ1 entoncesAα2 ⊆ Aα1 , en efecto, sea γ ∈ Aα2 entonces, α2 < γ < ℵ1 y para cadaβ < α2 F ({β, γ}) = h(β), ahora como α1 < α2 se tiene que α1 < γ < ℵ1 ysi β < α1 claramente F ({β, γ}) = h(β) de donde γ ∈ Aα1 .

Construimos H0 por induccion en α < ℵ1; sea

β0 = 0βα = minAγα donde γα = sup{βi : i < α}

Sea H0 = {βα.α < ℵ1}

Por la definicion de H0 se tiene que para cada α < β ∈ H0 F ({α, β}) = h(α)

Sea l minimal tal que |h−1(l) ∩H0| = ℵ1 y por ultimo definamos H = {α ∈H0 | h(α) = l}, claramente este es el conjunto homogeneo que se buscaba.

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Lema 6. Supongamos que V = L, sean h y A ∈ V [G] tal que |A| = ℵ1 yh : [A]2 → 2 es una particion de [A]2 en dos conjuntos, donde A y h sondefinibles en primer orden (con parametros) sobre (Hω1 , ε)

V [G]. Entoncesexiste B ⊆ A homogeneo para h y |B| = ℵ1.

Teorema 7. V [G] |= “todo ω1- arbol definible T tiene una rama cofinal ”.Mas aun si V = L V [G] |= “todo ω1- arbol T definible en el sentido muyamplio sobre (Hω1 , ε) tiene una rama cofinal ”.

Prueba:

Sea (ℵ1, <T ) un arbol definible sobre ℵ1, es decir, existe una formula Ψ(α, β, z)tal que:

α <T β ⇐⇒ (Hω1 , ε) |= Ψ(α, β, z)

Extendemos el orden parcial <T a un orden total ≺ como sigue:α ≺ β si ysolo sı:

(i) α <T β, o

(ii) α, β son incomparables y si ζ es el primer nivel donde los predecesoresde α, β, αζ , βζ son distintos, entonces αζ < βζ

≺ es definible en primer orden sobre (Hω1 , ε) usando la definicion de <T .

Ahora definamos una particion de [ℵ1]2 por:

F ({α, β}) = 1 ⇐⇒ α < β coincide con α ≺ β

Como ≺ y <T son definibles, F resulta serlo tambien; por lo tanto existeH ⊆ ℵ1 el cual resulta ser homogneo para F y ademas |H| = ℵ1. Sea

B = {x ∈ ℵ1 | |{α ∈ H | x <T α}| = ℵ1}

Puesto que, todo nivel es contable (T es un ℵ1- arbol), hay elementos enB de cada nivel; si probamos que cualesquiera dos elementos de B son <T -comparables, B serıa la ℵ1- rama que necesitamos.

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Supongamos que no, es decir, existen x, y ∈ B que son <T - incomparables,podemos suponer sin perdida de generalidad que x ≺ y.

Tanto x como y tienen ℵ1 <T - sucesores en H, entonces podemos encontrarα, β, µ ∈ H tal que:

α < β < µ, x <T α, µ y y <T β

Por la definicion de ≺ debemos tener que α ≺ β y ademas µ ≺ β; entonces,

F ({α, β}) = 1 y F ({β, µ}) = 0

lo cual contradice que H sea homogeneo.

Finalmente, note que si forzamos sobre L, el teorema puede ser adaptadopara arboles definibles en el sentido muy amplio. La prueba es identica soloque usa el lema inmediatamente anterior.

5 La cota inferior

Ahora probamos que la propiedad definible del arbol implica la consistenciade un cardinal Π1

1- reflejante, desde ahora ℵ1 es ℵV1 .

Teorema 8. Si ℵ1 tiene la propiedad definible del arbol, entonces:

L |= ℵ1 es un cardinal Π11 reflejante

Prueba. Veamos primero que

L |= ℵ1 es inaccesible

Supongamos que no, es decir, ℵ1 es no inaccesible en L, entonces existex ∈ ωω tal que ℵ1 = ℵL[x]

1 .

Entonces dentro de L[x] hay un arbol de Aronszajn Especial T el cual esdefinible desde el buen orden de (Hω1 , ε)

L[x], el cual es Σ1 definible sobre(Hω1 , ε)

L[x].

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Ahora, T no puede tener una rama cofinal en V porque esto implicarıa queℵL[x]

1 < ℵ1 ya que una rama cofinal en V es alo mas contable. Similarmentepor relativizacion. para cada real x, ℵ1 es inaccesible en L[x].

Ahora probamos que ℵ1 es una cardinal Π11- reflejante en L. Para ello

utilizamos la equivalencia dada anteriormente para la propiedad de ex-tension. Como ℵ1 es inaccesible en L tenemos que (HℵV

1)L = LℵV

1= (VℵV

1)L.

(L |= V = L) Sea 〈Aα | α < ℵ1〉 una enumeracion definible de ℘L(ℵ1) ∩ Σn

(subconjuntos Σn definibles de ℵ1) de tipo de orden ℵ1. Definamos un arbolT de funciones por:

f ∈ T ⇐⇒ f : τ → {0, 1}, τ < ℵ1 y |⋂α<τ A

f(α)α | = ℵ1

donde A0 = A y A1 = ℵ1 \ A. El nivel Tτ del arbol T consta de todas lasfunciones f : τ → {0, 1} que tienen la propiedad anterior y T =

⋃τ<ℵ1

Tτ yel orden de T es, f <T g si y solo si f ⊆ g.

Como ℵ1 es inaccesible en L, T es un ω1- arbol; |T | ≤ 2τ < ℵ1 pues τ < ℵ1;ademas la verdad de Σn formulas es Σn+1 definible (Si M |= ψ donde ψes una formula Σn entonces la formula ∃x(M |= ψ) es Σn+1), entonces Tresulta ser Σk definible sobre (Hω1 , ε) para algun k.

Por la propiedad definible del arbol tenemos que T tiene una rama cofinal〈bα : α < ℵ1〉, sea b =

⋃α<ω1

bα, entonces b es una funcion b : ℵ1 → {0, 1};ademas b define un ultrafiltro U sobre ℘L(ℵ1) ∩ Σn por:

Aα ∈ U ⇐⇒ b(α) = 0

Veamos que efectivamente U es un ultrafiltro. Primero veamos que es filtro.

Si Aα ∈ U (b(α) = 0), Aα ⊆ Aβ y b(β) = 1, se tiene que existe δ < ℵ1

tal que bδ(β) = 1, ademas bδ : δ → {0, 1} es tal que |⋂γ<δ A

f(γ)γ | = ℵ1,

podemos suponer sin perdida de generalidad que α < β ; como b(β) = 1 setiene que:

|⋂γ<δ A

f(γ)γ | = ℵ1

|Abδ(1)1 ∩ . . . ∩Abδ(α)

α ∩ . . . ∩Abδ(β)β ∩ . . . | = ℵ1

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|Abδ(1)1 ∩ . . . ∩Aα ∩ . . . ∩ (ℵ1 \Aβ) ∩ . . . | = ℵ1

|Abδ(1)1 ∩ . . . ∩Aα ∩ (Aβ)C ∩ . . . | = ℵ1

|Abδ(1)1 ∩ . . . ∩ ∅ ∩ . . . | = ℵ1

Lo cual es contradictorio, entonces b(β) = 0 de donde Aβ ∈ U . Ahoraveamos que U es cerrado bajo intersecciones finitas:

Sean Aα y Aβ ∈ U , entonces existe γ < α, β tal que Aγ = Aα ∩ Aβ pues lainterseccion de conjuntos Σn definibles es Σn definible. Ahora, si b(γ) = 1,existe δ < ℵ1 tal que bδ(γ) = 1, ademas bδ : δ → {0, 1} y |

⋂τ<δ A

f(τ)τ | = ℵ1,

entonces:

|Abδ(1)1 ∩ . . . ∩Abδ(γ)

γ ∩ . . . ∩Abδ(α)α ∩ . . . ∩Abδ(β)

β ∩ . . .)| = ℵ1

|Abδ(1)1 ∩ . . . ∩ (ℵ1 \Aγ) ∩ . . . ∩Aα ∩ . . . ∩Aβ ∩ . . .)| = ℵ1

|Abδ(1)1 ∩ . . . ∩ (Aα ∩Aβ)C ∩ . . . ∩Aα ∩ . . . ∩Aβ ∩ . . .)| = ℵ1

|Abδ(1)1 ∩ . . . ∩ ∅ ∩ . . . | = ℵ1

Lo cual resulta ser de nuevo contradictorio, entonces b(γ) = 0, Aα∩Aβ ∈ U .Por ultimo supongamos que U no es maximal, entonces existe F ⊃ U quees filtro, ası existe η < ℵ1 tal que Aη ∈ F pero Aη /∈ U de donde b(η) = 1

Mas aun, el ultrafiltro U resulta ser contablemente completo sobre ℘L(ℵ1)∩Σn (la prueba es identica a la del caso finito). Ahora definimos la ”ultrapo-tencia” como sigue:

f ∈ ult(Lℵ1 , U) ⇐⇒ f : ℵ1 → Lℵ1 , f ∈ L y f es Σn definible sobre (Hω1 , ε)

f ≡ g ⇐⇒ {α | f(α) = g(α)} ∈ U

fEg ⇐⇒ {α | f(α) ∈ g(α)} ∈ U

La ”ultrapotencia” esta bien fundamentada por la completez del ultrafiltroy existe una Σn inmersion elemental j : Lℵ1 → ult(Lℵ1 , U) definida porj(x) = [fx]U donde fx : ℘L(ℵ1)∩Σn → {x} es la funcion constante de valor

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x, de tal manera que Lℵ1 ≺n ult(Lℵ1 , U).

Ahora como Lℵ1 |= V = L si n es suficientemente grande, se tiene que

ult(Lℵ1 , U) |= V = L

de ahı su colapso transitivo es realmente Lα para algun α > ℵ1, entoncesLℵ1 ≺n Lα, de donde obtenemos la propiedad de extension deseada y por laequivalencia de la propiedad de extension y Π1

1 reflexion, tenemos que ℵ1 esΠ1

1 reflejante en L; finalmente por relativizacion obtenemos para cada realx, que ℵ1 es Π1

1 reflejante en L[x].

6 Una aplicacion: Modulos libres de torsion y κ-libres de torsion

En esta seccion damos una aplicacion de la propiedad de extension definibleque tienen los cardinales Π1

1- reflejantes a modulos libres y κ-libres de torsioninspirados en los trabajos del profesor Luis Miguel Villegas Silva en [5].

Definicion 17. Un R-modulo M se dice libre de torsion si para cada m ∈M , m 6= 0M existe un R-homomorfismo f : M → R tal que f(m) 6= 0R.

Definicion 18. Sea κ un cardinal regular y M un R-modulo; decimos queM es κ-libre de torsion si todo submodulo de cardinalidad < κ es libre detorsion.

Veamos que el concepto de “ser libre de torsion ”es expresable mediante unaformula, para esto seguimos los siguientes pasos:

Claramente los conceptos de ordinal, ordinal lımite, funcion, dominio y rangoson expresables por una formula; sean Or(x), Lim(x), Fun(f), dom(f) yran(f) las formulas que definen estos conceptos respectivamente.

Ahora describirmos un R- homomorfismo de modulos:

Hom(f,R,N) ⇐⇒ Fun(f) ∧ dom(f) = R ∧ ran(f) ⊆ N ∧ [∀n1, n2 ∈N(f(n1 + n2) = f(n1) + f(n2)) ∧ ∀r ∈ R∀n ∈ N(f(rn) = rf(n))]

por ultimo la formula que dice “ser libre de torsion ”Φ es:r

21

∀x(x ∈M ∧ x 6= 0M → ∃f(Hom(f,R,M) ∧ f(x) 6= 0R))

Nota: Es claro que si M es libre de torsion, entonces es κ-libre de torsion. Lapregunta natural es saber si tambien se tiene el recıproco. Valencia, Mendozay Villegas en [5] muestran que si κ es un cardinal debilmente compacto setiene el recıproco; a continuacion damos una version mas debil utilizandocardinales Π1

1- reflejantes.

Teorema 9. Sean κ un cardinal Π11 reflejante, y M un R-modulo κ libre de

torsion tal queM =

⊕α<κMα y |Mα| < κ

donde Mα es definible (posiblemente con parametros) sobre Vκ para cadaα < κ, entonces M es libre de torsion.

Prueba: Podemos suponer sin perdida de generalidad que R ∈ Vκ y queM ⊆ Vκ, ahora consideremos la siguiente sucesion de R- modulos.

M0 = M0

Mα+1 = Mα⊕Mα+1

Mγ =⋃δ<γ Mδ

Sea ψα(x, aα), aα ∈ Vκ la formula que define a Mα, veamos que cada Mα

tambien resulta ser definible sobre Vκ:

Claramente M0 = M0 es definible por ψ0(x, a0); ahora supongamos por in-duccion que Mα es definible por ϕα(x, bα), bα ∈ Vκ y veamos que Mα+1

tambien resulta ser definible (en Vκ).

Sea x ∈ Mα+1, entonces x ∈ Mα⊕Mα+1, por lo tanto x = (m,n) donde

m ∈ Mα y n ∈Mα+1, entonces la formula:

ϕα+1(x, bα+1) : x = (m,n) ∧ ϕα(m, bα) ∧ ψα+1(n, aα+1)

define a Mα+1.

Ahora consideremos el predicado M = {(α,Mα) : α < κ} y la estructura

(Vκ, ε, M)

Tenemos que M resulta ser un predicado definible.

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Ahora utilizamos la propiedad de extension definible. Como κ es Π11- refle-

jante, existen X un conjunto transitivo y A ⊆ X tal que κ ∈ X y

(Vκ, ε,M) ≺n (X, ε,A)

Ademas, M = Mκ =⋃α<κMα y por hipotesis tenemos:

(Vκ, ε,M) |= ∀αMα es libre de torsion

de donde:(X, ε,A) |= ∀αMα es libre de torsion

y como κ ∈ X(X, ε,A) |= Mκ = M es libre de torsion

Bibliografıa

[1] AMIR LESHEM, On the Consistency of the Definable Tree Property onℵ1, The Journal of Symbolic Logic, Vol 65, No. 3 (Sept 2000)

[2] THOMAS JECH, Set Theory, The Third Millennium Edition, Springer(2002).

[3] AKIHIRO KANAMORI, The Higher Infinity, Perspectives in Mathe-matical Logic, Springer- Verlag, 1994.

[4] KENNETH KUNEN, Set Theory. An Introduction to IndependenceProofs, Studies in logic and the foundations of mathematics v102 (1983).

[5] JUAN NIDO, PABLO MENDOZA, LUIS MIGUEL VILLEGAS, WeaklyCompact Cardinals and κ- torsionless modules, En preparacion.

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