VIBRACIONESPresenta: Dr. Ing. Ángel Francisco Villalpando Reyna

Ingeniería Mecatronica

Tema 1. Antecedentes

Objetivo

• Antecedentes de los fenómenos de vibración

• Definición e importancia de la vibración en los sistemas mecánicos.

• Aplicación de las vibraciones

Antecedentes

El interés en la vibración surge cuando se crean los primeros instrumentos musicales, probablemente silbatos o tambores. Desde entonces, tanto músicos como filósofos han buscado las reglas y las leyes de la producción del sonido, las han utilizado para mejorar los instrumentos musicales, y las han pasado de generación en generación. Ya en el año 4000 a.C. [1.1], la música había alcanzado un desarrollo notable en muchas culturas de oriente y occidente

Uno de los instrumentos de cuerda más primitivos, la nanga, se parece a un arpa de tres o cuatro cuerdas, y cada cuerda produce sólo una nota; en el Museo Británico se encuentra un ejemplar que data de 1500 años a.C. Ahí mismo se exhibe un arpa de 11 cuerdas, decorada en oro y con caja de resonancia en forma de cabeza de toro, la cual se encontró en Ur en una tumba real que data de aproximadamente 2600 años a.C.

• Nuestro sistema musical actual tiene sus bases en la civilización griega antigua. Se considera que el filósofo y matemático griego Pitágoras (582-507 a.C.) fue la primera persona que investigó el sonido musical con una base científica (figura 1.1). Entre otras cosas, Pitágoras realizó experimentos con una sola cuerda por medio de un aparato sencillo llamado monocordio.

En el ejemplo que se muestra en la figura 1.2, los puentes de madera 1 y 3 están fijos. El puente 2 es movible en tanto que la tensión en la cuerda se mantiene constante mediante el peso colgante.

Pitágoras observó que si se someten a la misma tensión dos cuerdas similares de diferentes longitudes, la más corta emite una nota más alta; además, si la cuerda más corta es de la mitad de la longitud de la más larga, la más corta emitirá una nota una octava arriba de la otra.

Se considera que Galileo Galilei (1564-1642) es el fundador de la ciencia experimental moderna.

Galileo genero estudios del comportamiento de un péndulo simple, debido a su observación de los movimientos de vaivén de una lámpara en una iglesia de Pisa. En esa ocasión capto su atención y comenzó a medir el periodo los movimientos de péndulo de la lámpara con su pulso, y para su sorpresa se dio cuenta de que el tiempo era independiente de la amplitud de las oscilaciones.

Esto lo llevó a realizar más experimentos con el péndulo simple. En su obra Discorsi e dimostrazione matematiche in torno a due nuove scienze (Diálogos sobre dos nuevas ciencias), publicada en 1638, Galileo analizó los cuerpos vibratorios. Describió la dependencia de la frecuencia de la vibración en la longitud de un péndulo simple, junto con el fenómeno de vibraciones simpáticas (resonancia).

Se sabe desde hace mucho tiempo que los problemas básicos de mecánica, entre ellos los de las vibraciones, son no lineales. Aun cuando los tratamientos lineales adoptados son bastante satisfactorios.

Hasta hace aproximadamente 40 años, los estudios de vibración, incluso los que tienen que ver con sistemas de ingeniería complejos, se realizaron utilizando modelos brutos, con sólo unos cuantos grados de libertad. Sin embargo, el advenimiento de computadoras de alta velocidad en la década de1950 hicieron posible tratar sistemas moderadamente complejos

El desarrollo simultáneo del método del elemento finito permitió a los ingenieros utilizar computadoras digitales para realizar el análisis de vibración numéricamente detallado de sistemas mecánicos, vehiculares y estructurales que despliegan miles de grados de libertad [1.14].

Importancia del estudio de vibracionesLa mayoría de las actividades humanas implican vibración en una u otra forma. Por ejemplo, oímos porque nuestros tímpanos vibran y vemos porque las ondas luminosas vibran. La respiración está asociada con la vibración de los pulmones y el caminar implica el movimiento oscilatorio (periódico) de piernas y manos. El habla humana requiere el movimiento oscilatorio de la laringe (y la lengua)[1.17].

En años recientes, muchas aplicaciones de la vibración en el campo de la ingeniería han motivado a los investigadores, entre ellas el diseño de máquinas, cimientos, estructuras, motores, turbinas y sistemas de control.

La mayoría de los propulsores principales experimentan problemas vibratorios debido al desequilibrio inherente en los motores. El desequilibrio puede deberse al diseño defectuoso o a una fabricación deficiente. El desequilibrio en motores diesel, por ejemplo, puede provocar ondas terrestres suficientemente poderosas como para provocar molestias en áreas urbanas.

En turbinas, las vibraciones provocan fallas mecánicas espectaculares. Los ingenieros aún no han sido capaces de evitar las fallas a consecuencia de las vibraciones de aspas y discos en turbinas.

En todas estas situaciones, el componente de la estructura o máquina sometido a vibración puede fallar debido a fatiga del material producida por la variación cíclica del esfuerzo inducido.

Además, la vibración provoca un desgaste más rápido de las partes de la máquina como cojinetes y engranes e incluso produce ruido excesivo. En máquinas, la vibración puede aflojar los sujetadores, como las tuercas. En procesos de corte de metal, la vibración puede provocar rechinidos, lo cual conduce a un acabado deficiente de la superficie.

Siempre que la frecuencia natural de la vibración de una máquina o de una estructura coincide con la frecuencia de la excitación externa se presenta un fenómeno conocido como resonancia, el cual conduce a deflexiones y fallas excesivas. La literatura abunda en relatos de fallas de sistemas provocadas por resonancia y vibración excesiva de los componentes y sistemas (vea la figura 1.7).Debido a los devastadores efectos que las vibraciones pueden tener en máquinas y estructuras, las pruebas de vibración [1.18] se volvieron un procedimiento estándar en el diseño y desarrollo de la mayoría de los sistemas de ingeniería (vea la figura 1.8).

La vibración y el ruido generados por motores molestan a las personas, y en ocasiones producen daños a las propiedades. La vibración de los tableros de instrumentos puede provocar su mal funcionamiento o dificultad para leer los medidores [1.19]. Por lo tanto, uno de los propósitos importantes del estudio de la vibración es reducirla mediante el diseño apropiado de máquinas y sus montajes.

En este sentido, el ingeniero mecánico trata de diseñar el motor o máquina de modo que se reduzca el desequilibrio, mientras que el ingeniero estructural trata de diseñar la estructura de soporte de modo que el efecto del desequilibrio no sea dañino [1.20].

A pesar de los efectos perjudiciales, la vibración puede utilizarse con provecho en varias aplicaciones industriales y comerciales. De hecho, las aplicaciones de equipo vibratorio se han incrementado considerablemente en años recientes [1.21].

Por ejemplo, la vibración se pone a trabajar en transportadoras vibratorias, tolvas, tamices, compactadoras, lavadoras, cepillos de dientes eléctricos, taladros de dentista, relojes y unidades de masaje eléctricas. La vibración también se utiliza en el hincado de pilotes, pruebas vibratorias de materiales, proceso de acabado vibratorio y circuitos electrónicos para filtrar las frecuencias indeseables (vea la figura 1.9).

Conceptos Básicos

Vibración Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se llama vibración u oscilación.El vaivén de un péndulo y el movimiento de una cuerda pulsada son ejemplos comunes de vibración. La teoría de la vibración tiene que ver con el estudio de los movimientos oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos.

Conceptos Básicos

Partes Elementales de Sistemas VibratoriosPor lo común un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energía potencial (resorte o elasticidad), un medio para conservar energía cinética (masa o inercia) y un medio por el cual la energía se pierde gradualmente (amortiguador).

La vibración de un sistema implica la transformación de su energía potencial en energía cinética y de ésta en energía potencial, de manera alterna. Si el sistema se amortigua, una parte de su energía se disipa en cada ciclo de vibración y se le debe reemplazar por una fuente externa para que se mantenga un estado de vibración estable.

Conceptos BásicosCantidad de grados de libertadEl mínimo de coordenadas independientes requerido para determinar por completo todas las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo define la cantidad de grados de libertad del sistema. El péndulo simple que se muestra en la figura 1.10, así como cada uno de los sistemas de la figura 1.11, representa un sistema de un solo grado de libertad. Por ejemplo, el movimiento del péndulo simple (figura 1.10) se puede formular o en función del ángulo θ o en función de las coordenadas cartesianas x y y.

Conceptos BásicosCantidad de grados de libertadAlgunos ejemplos de sistemas de dos y tres grados de libertad se muestran en la figuras 1.12 y 1.13, respectivamente. La figura 1.12(a) muestra un sistema de dos masas y dos resortes descrito por las dos coordenadas lineales x1 y x2. La figura 1.12(b) indica un sistema de dos rotores cuyo movimiento puede especificarse en función de θ1 y θ2. El movimiento del sistema que se muestra en la figura 1.12(c) puede describirse por completo con X o θ, o con x, y y X.

Clasificación de las vibraciones

La vibración se puede clasificar de varias maneras. Algunas de las clasificaciones importantes son las siguientes.

Vibración libre. Si se deja que un sistema vibre por sí mismo después de una perturbación inicial, la vibración resultante se conoce como vibración libre. Ninguna fuerza externa actúa en el sistema. La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre.

Vibración forzada. Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza repetitiva), la resultante se conoce como vibración forzada. La oscilación que aparece en máquinas como motores diésel es un ejemplo de vibración forzada.

Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condición conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente grandes.

Vibración amortiguada y no amortiguada Si no se pierde o disipa energía por fricción u otra resistencia durante la oscilación, la vibración se conoce como vibración no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energía se llama vibración amortiguada. En muchos sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede ser ignorada en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. Sin embargo, la consideración del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios próximos a la resonancia.

Vibración Lineal y No LinealSi todos los componentes básicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador, se comportan linealmente, la vibración resultante se conoce como vibración lineal. Pero si cualquiera de los componentes básicos se comporta de manera no lineal, la vibración se conoce como vibración no lineal. Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de sistemas vibratorios lineales o no lineales son asimismo lineales o no lineales, respectivamente.

Vibración determinística y aleatoriaSi el valor o magnitud de la excitación (fuerza o movimiento) que actúa en un sistema vibratorio se conoce en cualquier tiempo dado, la excitación se llama determinística. La vibración resultante se conoce como vibración determinística.

En algunos casos la excitación es no determinística o aleatoria; el valor de la excitación en un momento dado no se puede pronosticar. En estos casos, una recopilación de registros de la excitación puede presentar cierta regularidad estadística.

Ejemplos de excitaciones aleatorias son la velocidad del viento, la aspereza del camino y el movimiento de tierra durante sismos. Si la excitación es aleatoria, la vibración resultante se llama vibración aleatoria.

Procedimiento del análisis de la vibración

Un sistema vibratorio es dinámico si variables como las excitaciones (entradas) y respuestas (salidas) dependen del tiempo. La respuesta de un sistema vibratorio suele depender tanto de las condiciones iniciales como de las excitaciones externas. La mayoría de los sistemas vibratorios prácticos son muy complejos, y es imposible considerar todos los detalles para un análisis matemático. En el análisis sólo se consideran los detalles más importantes para predecir el comportamiento del sistemaen condiciones de entrada específicas. A menudo se puede determinar el comportamiento total del sistema por medio de un modelo simple del sistema físico complejo.

Por lo que el análisis de un sistema vibratorio suele implicar el modelado matemático, la derivación de las ecuaciones rectoras, la solución de las ecuaciones y la interpretación de los resultados.

Paso 1: Modelado matemático. El propósito del modelado matemático es representar todos los detalles importantes del sistema con el objeto de derivar las ecuaciones matemáticas (o analíticas) que rigen el comportamiento del sistema. El modelo matemático puede ser lineal o no lineal, según el comportamiento de los componentes del sistema.

veces el modelo matemático se mejora gradualmente para obtener resultados más precisos. En este método primero se utiliza un modelo muy rústico o elemental para tener una idea del comportamiento total del sistema. Luego se refina el modelo con la inclusión de más componentes o detalles, de modo que se pueda observar más de cerca el comportamiento del sistema.

Para ilustrar el procedimiento de refinamiento utilizado en el modelado matemático, consideremos el martillo de forja de la figura 1.16(a).

Paso 2: Derivación de las ecuaciones rectoras. Una vez que el modelo matemático está disponible, utilizamos el principio de dinámica y obtenemos las ecuaciones que describen la vibración del sistema.

Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar de una forma adecuada trazando los diagramas de cuerpo libre de todas las masas que intervienen. El diagrama de cuerpo libre de una masa se obtiene aislándola e indicando todas las fuerzas externamente aplicadas, las fuerzas reactivas y las fuerzas de inercia.

Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio suelen ser un conjunto de ecuaciones diferenciales comunes para un sistema discreto y de ecuaciones diferenciales parciales para un sistema continuo.

Paso 3: Solución de las ecuaciones rectoras. Las ecuaciones de movimiento deben resolverse para hallar la respuesta del sistema vibratorio. Dependiendo de la naturaleza del problema, podemos utilizar una de las siguientes técnicas para determinar la solución: métodos estándar de solución de ecuaciones diferenciales, métodos de transformada de Laplace, métodos matriciales y métodos numéricos. Si las ecuaciones rectoras son no lineales, rara vez pueden resolverse en forma cerrada.

Se pueden utilizar métodos numéricos que implican computadoras para resolver las ecuaciones.

Paso 4: Interpretación de los resultados. La solución de las ecuaciones rectoras proporciona los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las diversas masas del sistema. Estos resultados deben interpretarse con una clara visión del objetivo del análisis y de las posibles implicaciones de diseño de los resultados.

La figura 1.17(a) muestra una motocicleta con un motociclista. Desarrolle una secuencia de tres modelos matemáticos del sistema para investigar la vibración en la dirección vertical. Considere la elasticidad de las llantas y el amortiguamiento de los amortiguadores (en dirección vertical), las masas de las ruedas y la elasticidad, amortiguamiento y masa del motociclista.

Solución: Comenzamos con el modelo más simple y lo refinamos gradualmente. Cuando se utilizan los valores equivalentes de la masa, rigidez y amortiguamiento del sistema, obtenemos un modelo de un solo grado de libertad de la motocicleta con un motociclista como se indica en la figura 1.17(b). En este modelo, la rigidez equivalente (keq) incluye la rigidez de las llantas, amortiguadores y motociclista. La constante de amortiguamiento equivalente (ceq) incluye el amortiguamiento de los amortiguadores y el motociclista. La masa equivalente incluye las masas de las ruedas, el cuerpo del vehículo y al motociclista.