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MC. Luis Alberto Morales Alias

Vibraciones Mecnicas

Unidad 1. Cinemtica de la vibracin


1.1. Grados de libertad.

Es el nmero de coordenadas linealmente independientes que se requieren paradescribir su movimiento.

Sistemas de 1 GDL


1.1. Grados de libertad.

Sistemas de2 GDL

Sistemas de3 GDL


1.2. Movimiento armnico y su representacin.

Movimiento peridico

Al observar la naturaleza nos damos cuenta de que muchos procesos fsicos son repetitivos,sucedindose los hechos cclicamente tras un intervalo de tiempo fijo. En estos casoshablamos de movimiento peridico y lo caracterizamos mediante su perodo, que es eltiempo necesario para un ciclo completo del movimiento, o su frecuencia, que representa elnmero de ciclos completos por unidad de tiempo


1.2. Movimiento armnico y su representacin.Movimiento oscilatorio

Un caso interesante de movimiento peridico aparece cuando un sistema fsico oscilaalrededor de una posicin de equilibrio estable. El sistema realiza la misma trayectoria,primero en un sentido y despus en el sentido opuesto, invirtiendo el sentido de sumovimiento en los dos extremos de la trayectoria. Un ciclo completo incluye atravesar dosveces la posicin de equilibrio



Movimiento Armnico simple

Es el caso ms sencillo de movimiento oscilatorio y se produce cuando la fuerza resultante queacta sobre el sistema es una fuerza restauradora lineal.



PERIODO (): es el tiempo necesario paraun ciclo completo del movimiento.

AMPLITUD (A): Mximo desplazamientorespecto a la posicin de equilibrio.

FRECUENCIA (f): representa el nmero deciclos completos por unidad de tiempo.


Problemas

1.- Un movimiento armnico tiene una amplitud de 0.20 cm y un periodo de 0.15 segundos.Halle la mxima velocidad y aceleracin.

2.- Un acelermetro indica que una estructura esta vibrando armnicamente a 82 cps con unaaceleracin mxima de 50 g. Halle la amplitud de la vibracin.

3.- Un movimiento armnico tiene una frecuencia de 10 cps y su velocidad mxima es de 4.57m/seg. Halle su amplitud, periodo y aceleracin mxima.


1.2.1.Uso de fasores para la suma, resta, multiplicacin y divisin de movimiento armnico.

Un fasor es un vector en rotacin bidimensional que seutiliza para representar una onda en movimientoarmnico simple. Una forma de representarlo esmediante nmeros complejos.

1 2 = + 1 2 = + + 1 + 2 = + + +

12

= + + 2 + 2

Suma:

Resta:

Multiplicacin:

Divisin:

Reglas de operaciones. Considere z1=a+bi ; z2=c+di


1.2.1.Uso de fasores para la suma, resta, multiplicacin y divisin de movimiento armnico.

Para transformar de forma binonica a polar. = + = A = 2 + 2 = 1 z = a + bi = A(cos + )Para transformar de forma polar a binomica.

Para transformar de forma polar a exponencial. =

= 1 = 1 1 2 = 12 1+2Multiplicacin:

Divisin:

Potencias:

Reglas de operaciones.

Considere 12

= 12

12

1 = 11 2 = 22


Problemas.

4.- Exprese el vector 4 + 3 en la forma .5.- Sume los vectores 2 + 3 y 4 y exprese el resultado en la forma .6.- Halle la suma de los vectores 5 6 y 4 3 y determine el ngulo entre la resultante y el primer vector.


1.3 Series de Fourier

= 02 + =1

( cos + sen)Donde:w = 2

=

0 = 2 + = 2 + cos = 2 +


Problema

2 4 -2 0

2

t

f(t)

Expanda: = (0 < < 2)Solucin

= + =1

2

sen

= 2 sin + sin2 + 23 sin3 + + 2 sinExpandida:


Problema

Encuentre la expansin de la serie de Fourier:

= (0 12 )12 (1

2 )

1

2 ( 2)

Solucin

/2 2

/2

f(t)

0 = 58 = 221

21 2 1

= 01 1 22


Funcin Par

Si f(t) es una funcin par, entonces f(t)=f(-t) para todo t, y la grafica de la funcin essimtrica con respecto al eje vertical.

= 20

t

f(t)

a-a

Si f(t) es una funcin peridica PAR de periodo entonces:

= 4 0/2 cos = 0 = 12 0 +

=1

cos


Funcin ImparSi f(t) es una funcin impar, entonces f(t)=-f(-t) para todo t, y la grafica de la funcin essimtrica con respecto al origen, esto es hay una simetra cuadrante opuesto.

= 0

Si f(t) es una funcin peridica IMPAR de periodo entonces:

= 4 0/2 sen = 0 =

=1

sen

t

f(t)

a-a


Problema

Una funcin peridica f(t) con periodo 2 estadefinida por:

= 1 ( 0)1 (0 )

Solucin

= 2 1 (1) = 0 4

= 4

sin + 43 sin 3 + 45 sin5 + = 4

sin + 13 sin 3 + 15 sin5 +

= 4=1

sin 2 1 2 1

t

f(t)

-


Problema


= 2 ( )Solucin

0 = 223 = 42 (1) = 23 +

=1

42

(1)cos

- t

f(t)


Serie exponencial de FourierLa serie de Fourier puede representarse tambin en trminos de la funcin exponencial, sustituyendo

sen = 12 cos = 12 + Se obtiene:

= 120 + =1

+ 2 +

=1

2

= 120 + =1

12( + ) + =1

12 ( )

= 12 0 + =1

12 + 12 + Escribiendo:

0 = 12 0, = 12 ( ), = = 12 ( + )


Serie exponencial de Fourier

Se convierte: =

=

= 1 + Se puede regresar a la forma trigonomtrica:

0 = 20 = + = ( )

Podemos graficar los coeficientes de Fourier contra , lo que da como resultado una serie de lneasdiscretas que constituyen el llamado espectro de Fourier o espectro de frecuencias.

Generalmente se grafican el valor absoluto. 2 = 2 + 2 y la fase = tan1


Problema

2 4 -2 0

2

t

f(t)

Expanda con forma exponencial: = (0 < < 2)

Solucin = 1

= + =

1

= 0 , = 2Comprobacin:


Problema


= 2 ( )Solucin

- t

f(t)

= 22 (1) = 23 +

=

22

(1)

= 42 (1) = 0

Comprobacin:


Cada mquina rotativa presenta una vibracin caracterstica que la diferencia de forma nica, y se conocecomnmente como firma de vibracin. Esta seal est totalmente condicionada por su diseo, fabricacin, usoy desgaste de cada uno de sus componentes. Si el mecnico o ingeniero de mantenimiento al cargo de unequipo industrial invierte su tiempo y esfuerzo en conocer la naturaleza de la vibracin que esta presenta, notardar mucho tiempo en lograr un importante ahorro de costes de operacin y mantenimiento.

En trminos muy simples una vibracin es un movimiento oscilatorio de pequea amplitud. Todos los cuerpospresentan una seal de vibracin en la cual plasman cada una de sus caractersticas. De acuerdo a esto, lasmquinas presentan su propia seal de vibracin y en ella se encuentra la informacin de cada uno de suscomponentes. Por tanto, una seal de vibracin capturada de una mquina se compone de la suma de lavibracin de cada uno de sus componentes.

Diagnstico de fallas en la maquinaria rotatoria a partir del registro de la vibracin


Vibracin compuesta

Una vibracin compuesta es la suma de varias vibraciones simples. La vibracin de una mquina es unavibracin compuesta de una serie de vibraciones simples asociadas a sus componentes internos enmovimiento. Teniendo esto en cuenta, se deduce que la forma de onda de vibracin de una mquina no es unaseal sinusoidal sino que puede llegar a ser muy compleja. Como se puede ver en la figura, dos seales devibracin de diferente frecuencia se suman formando una vibracin compuesta. Incluso en casos tan sencilloscomo este, no resulta fcil obtener las frecuencias y amplitudes de las dos componentes a partir de la forma deonda resultante. La gran mayora de las seales de vibracin son mucho ms complejas que esta y puedenllegar a ser extremadamente difciles de interpretar.



Hasta ahora slo se ha visto vibraciones en el dominio del tiempo, que son las seales capturadas directamentede la mquina. En estas seales se encuentra plasmada toda la informacin acerca del comportamiento de cadacomponente de la mquina. Sin embargo, existe un problema a la hora de realizar un diagnstico: estas sealesestn cargadas de mucha informacin en forma muy compleja, la cual comprende las seales caractersticas decada componente de la mquina, por lo cual prcticamente resulta imposible distinguir a simple vista suscomportamientos caractersticos.

Existen otras formas para realizar un estudio de vibraciones, entre las cuales se encuentra analizar las seales enel dominio de la frecuencia. Para ello se emplea la grfica de amplitud frente a frecuencia que es conocida con elnombre de espectro. Esta es la mejor herramienta que se tiene actualmente para el anlisis de maquinaria.

Fue el matemtico francs Jean Baptiste Fourier (1768 - 1830) quien encontr la forma de representar una sealcompleja en el dominio del tiempo por medio de series de curvas sinusoidales con valores de amplitud yfrecuencia especficos. Entonces lo que hace un analizador de espectros que trabaja con la transformada rpidade Fourier es capturar una seal de una mquina, calcular todas las series de seales sinusoidales que contienela seal compleja y por ltimo mostrarlas de forma individual en una grfica de espectro.




En la figura puede verse la seal de vibracin compuesta, capturada desde una mquina. A dicha seal sele calculan todas las seales sinusoidales en el dominio del tiempo que la componen y por ltimo semuestra cada una de ellas en el dominio de la frecuencia. Por tanto, empleando la transformada de Fourier,se puede retomar la suma de vibraciones simples y representar exactamente la misma operacin en eldominio de la frecuencia, con la particularidad de que en este caso resulta obvio obtener las frecuencias yamplitudes de las dos componentes originales a partir del espectro resultante.


Diagnstico de fallas en la maquinaria rotatoria a partir del registro dela vibracinLa grfica en el dominio del tiempo se llama la forma de onda, y la grfica en el dominio de la frecuencia se llamael espectro. El anlisis del espectro es equivalente a transformar la informacin de la seal del dominio de tiempoen el dominio de la frecuencia.

Un ejemplo claro de la equivalencia en ambos dominios es un horario, se puede decir que sale un tren a las 6:00,6:20, 6:40, 7:00, 7:20, o que sale un tren cada 20 minutos comenzando a las 6:00 (representando este ltimodato la fase). Lo primero sera la representacin en el tiempo y lo segundo la representacin en frecuencia. Larepresentacin de la frecuencia supone una reduccin de datos con respecto a la representacin del tiempo. Lainformacin es exactamente la misma en ambos dominios, pero en el dominio de frecuencia es mucho mscompacta.

Vibraciones Mecnicas1.1. Grados de libertad. 1.1. Grados de libertad. 1.2. Movimiento armnico y su representacin.1.2. Movimiento armnico y su representacin.1.2. Movimiento armnico y su representacin.1.2. Movimiento armnico y su representacin.1.2. Movimiento armnico y su representacin.Problemas1.2.1.Uso de fasores para la suma, resta, multiplicacin y divisin de movimiento armnico.1.2.1.Uso de fasores para la suma, resta, multiplicacin y divisin de movimiento armnico.Problemas.1.3 Series de FourierProblemaProblemaFuncin ParFuncin ImparProblemaProblemaSerie exponencial de FourierSerie exponencial de FourierProblemaProblemaNmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28

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