vigasdef.pdf

7/25/2019 vigasdef.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/vigasdefpdf 1/25

Fórmulas de deformación de vigas www.vaxasoftware.com

Simbolo Magnitud Unidades

E·I Rigidez a flexión N·m2, Pa·m4

y Deflexión, deformación, flecha m

θ Pendiente, giro -

x Posición del punto de estudio (distancia desde el origen) m L Longitud de la viga (sin vano lateral) m

M Momento flector, flector, momento aplicado N·m

P Carga puntual, carga concentrada N

w Carga distribuida N/m

R Reacción N

V Esfuerzo cortante, cortante N

Viga simple apoyada - Carga uniforme en todo el vano

Deflexión )2(24

3230AB x Lx L EI

xw

y +−

−

=

EI

Lw y

384

5 4

0MAX

−= para

2

L x =

Pendiente )46(24

3230AB x Lx L

EI

w+−

−=θ

EI

Lw

24

3

0BA

−=−= θ θ

Momento )(2

0AB x L

xw M −=

8

20

MAX

Lw M = para

2

L x =

Cortante )2(2

0AB x L

wV −=

Reacciones2

0BA

Lw R R ==

http://www.vaxasoftware.com/indexes.html




Viga simple apoyada - Carga uniforme en la mitad del vano

Deflexión )16249(384

3230AC x Lx L

EI

xw y +−

−=

)17248(384

32230CB L x L Lx x

EI

Lw y −+−

−=

Pendiente )64729(384

3230AC x Lx L

EI w +−−=θ

)174824(384

220CB L Lx x

EI

Lw+−

−=θ

EI

wL

128

3 3

A

−=θ

EI

wL

384

7 3

B =θ

Momento )43(8

20AC x Lx

w M −= )(

8

20CB Lx L

w M −=

Cortante )83(8

0AC x L

wV −=

8

0CB

LwV

−=

AA RV = BB RV −=

Reacciones8

30

A

Lw R =

8

0B

Lw R =

Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial en un lado

Deflexión:

)4244(24

322222340AC

LxaLx xa La Laa LEI

xw y +−++−

−=

)264(24

322222

0CB x Lx xa x L La

LEI aw y +−++−−=

Pendiente:

)412644(24

322222340AC LxaLx xa La Laa

LEI

w+−++−

−=θ

)6124(24

2222

0CB x Lxa L

LEI

aw+−+

−=θ

Momento:

)2(2

220AC LxaLx xa

L

w M +−

−= )(

2

2

0CB x L

L

aw M −=

Cortante:

)22(2

20AC LxaLa

L

wV +−

−=

L

awV V V

2

2

0BCCB

−===

Reacciones )2(2

0A a L

L

aw R −=

L

aw R

2

2

0B =



Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial

Deflexión x EI

x R y α +=

6

3

AAC xa x

EI

w

EI

x R y α +−−= 40

3

ACD )(

246

L

x L

EI

x L R y

)(

6

)( 3

BDB

−+

−=

β

Pendiente: α θ += EI

x R

2

2A

AC α θ +−−= 30

2A

CD)(

62a x

EI

w

EI

x R

L EI

x L R β θ −

−−=

2

)( 2

BDB

Momento x R M AAC = 20ACD )(

2a x

w x R M −−=

)(BDB x L R M −=

Cortante ACAAC RV V V === )(0ACD a xw RV −−=

BBDDB RV V V −===

Reacciones )2(2

0A bc

L

bw R += )2(2

0B ba

L

bw R +=

Siendo:

LEI

ba L R Lc R EI Lbw

6

)(336 2

A

2

B

3

0 +−−−=

β α

EI

c R Lc Rba Rbwabw

24

812)(834 3

B

2

B

3

A

4

0

3

0 +−+−+= β

Viga simple apoyada - Cargas uniformes parciales dist intas a cada lado

Momento2

2

1AAC

xw x R M −=

)2(21

ACD a xaw

x R M −−= 2

)()(

2

2BDB

x Lw x L R M −

−−=

Cortante:

xw RV 1AAC −= aw RV 1ACD −= )(2BDB x Lw RV −+−=

Reacciones:

L

cwa Law R

2

)2( 2

21A

+−=

L

awc Lcw R

2

)2( 2

12B

+−=



Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente en todo el vano


42240AB x x L L

LEI

xw y +−

−=

EI

Lw y

4

0MAX 00652,0−= para x = 0,5193L

Pendiente )15307(360

42240AB x x L L

LEI w +−−=θ

EI

Lw

360

7 3

0A

−=θ

EI

Lw

45

3

0B =θ

Momento )(6

320AB x x L

L

w M −=

Cortante )3(6

220AB x L

L

wV −=

Reacciones

6

0A

Lw R =

6

2 0B

Lw R =

Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente hacia el centro

Deflexión 2220

AC )45(960

x L LEI

xw y −

−=

2220CB ))(45(

960

)( x L L

LEI

x Lw y −−

−−=

EI

Lw y

120

4

0MAX

−= para

2

L x =

Pendiente )4)(45(192

22220

AC x L x L LEI

w−−

−=

θ

))(4)()(45(192

22220CB x L L x L L

LEI

w−−−−=θ

EI

Lw

192

5 3

0BA

−=−= θ θ

Momento )43(12

320AC x x L

L

w M −=

))(43(12

)( 220CB x L L

L

x Lw M −−

−=

Cortante )4(4

220AC x L

LwV −= ))(4(

4220

CB x L L LwV −−−=

Reacciones4

0BA

Lw R R ==



Viga simple apoyada - Carga senoidalmente dist ribuida

Deflexión L

x

EI

Lw y

π

senπ

4

4

0AB

−=

EI

Lw y

4

4

0MAX

π

−= para

2

L x =

Pendiente L

x

EI

Lw π

cosπ

3

30

AB−=θ

EI

Lw3

30

BAπ

−=−= θ θ

Momento L

x Lw M

π

senπ

2

2

0AB =

Cortante L

x LwV

π

cosπ

0AB =

π

0BA

LwV V =−=

Reaccionesπ

0BA

Lw R R ==

Viga simple apoyada - Carga puntual en el centro

Deflexión )43(48

22

AC x L EI

Px y −

−=

))(43(48

)( 22

CB x L L EI

x LP y −−

−−=

EI

PL y y

48

3

CMAX

−== para

2

L x =

Pendiente:

)4(16

22

AC x L EI

P −−=θ )384(16

22

CB L Lx x EI

P +−−=θ

EI

PL

16

2

BA =−= θ θ

Momento 2

AC

Px M =

2

)(CB

x LP M

−=

Cortante2

AAC

PV V ==

2BCB

PV V −

==

Reacciones

2

BA

P R R ==



Viga simple apoyada - Carga puntual en cualquier punto

Deflexión )(6

222

AC xb L LEI

Pbx y −−

−=

[ ]222

CB )(6

)( x La L

LEI

x LPa y −−−

−−=

Pendiente:

)3(6

222

AC xb L LEI

Pb−−

−=θ [ ]222

CB )(36

x La L LEI

Pa−−−=θ

LEI

b LPb

6

)( 22

A

−−=θ )(

6

22

B a L LEI

Pa−=θ

Momento L

Pbx M =AC

L

x LPa M

)(CB

−=

Cortante L

PbV V == AAC

L

PaV V −

== BCB

Reacciones L

Pb

R =A L

Pa

R =B

Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente

Deflexión )33(6

22

AC xaaL EI

Px y −−

−=

)33(6

22

CD a x Lx EI

Pa y −−

−=

[ ]22

DB )(336

)( x LaaL

EI

x LP y −−−

−−=

)43(24

22MAX a L

EI Pa y −−= para

2 L x =

Pendiente )(2

22

AC xaaL EI

P−−

−=θ )2(

2CD x L

EI

Pa−

−=θ

[ ]22

DB )(2

x LaaL EI

P−−−=θ

EI

aaLP

2

)( 2

BA

−−=−= θ θ

Momento Px M =AC Pa M =CD )(DB x LP M −=

Cortante PV =AC

0CD

=V PV −=DB

Reacciones P R R == BA

Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas asimétricamente

Momento x R M AAC = )(ACD a xP x R M −−=

)(BDB x L R M −=

Cortante AAC RV = P RV −= ACD BDB RV −=

Reacciones L

ba LP R

)(A

+−=

L

ab LP R

)(B

+−=



Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales desiguales situadas asimétricamente

Momento x R M AAC = )(1ACD a xP x R M −−=

)(BDB x L R M −=

Cortante AAC RV = 1ACD P RV −= BDB RV −=

Reacciones L

bPa LP

R21

A

)( +−

= L

aPb LP

R12

B

)( +−

=

Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado derecho

Deflexión )(6

220AB x L

LEI

x M y −

−=

Pendiente )3(6

220AB x L

LEI

M −

−=θ

EI

L M

6

0A

−

=θ EI

L M

3

0B =θ

Momento L

x M M 0

AB =

Cortante L

M V 0

AB =

Reacciones L

M R 0

A = L

M R 0

B

−=

Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado izquierdo

Deflexión )32(6

220AB x Lx L

LEI x M y +−=

EI

L M y

39

2

0MAX = para L x ⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

3

33

Pendiente )362(6

220AB x Lx L

LEI

M +−=θ

EI

L M

3

0A =θ

EI

L M

6

0B

−=θ

Momento )(0AB x L

L

M M −

−=

Cortante L

M V 0

AB =

Reacciones L

M R 0

A = L

M R 0

B

−=



Viga simple apoyada - Momento horario en el extremo izquierdo

Deflexión )32(6

220AB x Lx L

LEI

x M y +−

−=

EI

L M y

39

2

0MAX

−= para L x ⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=

3

33

Pendiente )362(6

220AB x Lx L

LEI

M +−

−=θ

EI

L M

3

0A

−=θ

EI

L M

6

0B =θ

Momento )(0AB x L

L

M M −=

Cortante L

M V 0

AB

−=

Reacciones L

M R 0A

−= L

M R 0B =

Viga simple apoyada - Momento antihorario en el centro

Deflexión )4(24

220AC x L

LEI

x M y −

−=

))(4(24

)( 220CB x L L

LEI

x L M y −−

−=

Pendiente )12(

24

220AC x L

LEI

M −

−=θ

))(12(24

220CB L x L

LEI

M −−=θ

)3(6

220A b L

LEI

M −

−=θ )3(

6

220B a L

LEI

M +−=θ

Momento L

x M M 0

AC = )(0CB x L

L

M M −

−=

Cortante L

M V 0

AC = L

M V 0

CB =

Reacciones L

M

R0

A = L

M

R0

B

−

=



Viga simple apoyada - Momento antihorario en cualquier punto

Deflexión )3(6

2220AC xb L

LEI

x M y −−

−=

))(3(6

)( 2220CB x La L

LEI

x L M y −−−

−=

Pendiente )33(6

2220AC xb L

LEI M −−−=θ

))(33(6

2220CB x La L

LEI

M −++−=θ

)3(6

220A b L

LEI

M −

−=θ )3(

6

220B a L

LEI

M +−=θ

Momento L

x M M 0

AC = )(0CB x L

L

M M −

−=

Cortante L

M V 0

AC = L

M V 0

CB =

Reacciones L

M R 0

A = L

M R 0

B−=

Viga simple apoyada - Dos momentos dis tintos antihorario + horario en los extremos

Deflexión [ ] L M M x M M LEI

x L x y )2()(

6

)(2121AB +−−

−−=

Pendiente:

[ ])2)(2()23)((

6

1 2

21

2

21AB L Lx M M Lx x M M

LEI

−+−−−=θ

Momento [ ]121AB )(1

LM x M M L

M −−=

Cortante L

M M V 21

AB

−=

Reacciones L

M M R 21

A

−=

L

M M R 12

B

−=

Viga simple apoyada - Dos momentos dis tintos antihorario en los extremos

Deflexión [ ] L M M x M M LEI

x L x y )2()(6

)(2121AB −−+−−=

Pendiente:

[ ])2)(2()23)((6

1 2

21

2

21AB L Lx M M Lx x M M LEI

−−−−+=θ

Momento [ ]121AB )(1

LM x M M L

M −+=

Cortante L

M M V 21

AB

+=

Reacciones L

M M

R21

A

+

= L

M M

R21

B

−−

=



Viga simple apoyada - Dos momentos iguales horario + antihorario en los extremos

Deflexión )(2

0AB x L

EI

x M y −

−=

EI

L M y

8

2

0MAX

−= para

2

L x =

Pendiente )2(2

0AB x L

EI M −−=θ

EI L M

2

0BA −=−= θ θ

Momento 0AB M M =

Cortante 0AB =V

Reacciones 0BA == R R

Viga en voladizo - Carga uniforme en todo el vano

Deflexión )64(

24

22340AB x L Lx x

EI

w y +−

−=

EI

Lw y y

8

4

0BMAX

−== para x = L

Pendiente )33(6

2230AB x L Lx x

EI

w+−

−=θ

EI

Lw

6

3

0B

−=θ

Momento 20

AB )(2

x Lw

M −−

= 2

2

0AMAX

Lw M M −

==

Cortante )(0AB x LwV −=

Reacciones Lw R 0A =

Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado empotrado

Deflexión )46(24

43220AC xax xa

EI

w y +−

−=

)4(24

3

0CB a x

EI

aw y −

−=

)4(24

3

0BMAX a L

EI

aw y y −

−==

Pendiente )33(6

3220AC xax xa EI

w

+−−

=θ

EI

aw

6

3

0BCCB

−=== θ θ θ

Momento 20

AC )(2

xaw

M −−

= 0BCCB === M M M

2

2

0AMAX

aw M M −

==

Cortante )(0AC xawV −= 0BCCB === V V V

Reacciones aw R 0A =



Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado libre

Deflexión )233(12

2

0AC xa L

EI

bxw y −+

−=

)464(24

4322340CB a xa x L Lx x

EI

w y +−+−

−=

Pendiente )(2

0AC xa L

EI bxw −+−=θ

)33(6

32230CB a x L Lx x

EI

w−+−

−=θ

)(6

330B a L

EI

w−

−=θ

Momento )2(2

0AC xa L

bw M −+

−= 20

CB )(2

x Lw

M −−

=

Cortante bwV V V 0CAAC === )(0CB x LwV −=

Reacciones bw R0A

=

Viga en voladizo - Carga uniforme parcial

Deflexión

)236(12

2

0AC xba

EI

bxw y −+

−=

)4)(6)(4(24

4322340CD a xa xba xba x

EI

w y +−+++−

−=

))(])([4(24

44330DB abaaba x

EI

w y ++−−+

−=

Pendiente )2(2

0AC xba

EI

bxw−+−=θ

))(3)(3(6

32230CD a xba xba x

EI

w−+++−

−=θ

))((6

330DB aba

EI

w−+

−=θ

Momento )22(2

0AC xba

bw M −+

−=

20CD )(

2

xbaw

M −+−

= 0BDDB === M M M

Cortante bwV V V 0CAAC === )(0CD xbawV −+=

0BDDB === V V V

Reacciones bw R 0A =



Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado libre en todo el vano


3232

0AB x x L L

LEI

xw y +−

−=

EI

Lw y

120

11 4

0MAX

−= para x = L

Pendiente )68(24

3230AB x x L L

LEI

xw +−−=θ

EI

Lw

8

3

0B

−=θ

Momento )32(6

3230AB x x L L

L

w M +−

−=

Cortante )(2

220AB x L

L

wV −=

Reacciones

2

0A

Lw R =

Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado empotrado en todo el vano


32232

0AB x Lx x L L

LEI

xw y −+−

−=

EI

Lw y

30

4

0MAX = para x=L

Pendiente )464(24

32230AB x Lx x L L

LEI

xw−+−

−=θ

EI

Lw

24

3

0B

−=θ

Momento 30AB )(

6 x L

L

w M −

−=

Cortante 20AB )(

2 x L

L

wV −=

Reacciones2

0A

Lw R =



Viga en voladizo - Carga cosenoidalmente decreciente hacia el lado libre en todo el vano

Deflexión ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

−= 332333

4

0AB ππ348

2

π

cos48π3

x Lx L L

x L

EI

Lw y

)24π(3π

2 3

4

4

0MAX −

−=

EI

Lw y para x = L

Pendiente ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −−−=

L

x L x Lx

EI

Lw

2

π

sen8ππ2π

2222

3

0ABθ

)8π(π

2

3

3

0B −

−=

EI

Lwθ

Momento ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

−=

L

x L x L

Lw M

2

π

cos2ππ

π

22

0AB

Cortante ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

L

x LwV

2

π

sen1π

2 0AB

Reacciones π

2 0

A

Lw

R =

Viga en voladizo - Carga puntual en el extremo libre

Deflexión )3(6

32

AB x Lx EI

P y −

−=

EI

PL y y

3

3

BMAX

−==

Pendiente )2(

2

2

AB x Lx

EI

P−

−=θ

EI

PL

2

2

BMAX

−==θ θ

Momento )(AB x LP M −−= PL M M −== AMAX

Cortante PV V V === BAAB

Reacciones P R =A

Viga en voladizo - Carga puntual en cualquier punto

Deflexión

)3(6

32AC xax

EI P y −−= )3(

6

2

CB a x EI Pa y −−=

)3(6

2

BMAX a L EI

Pa y y −

−==

Pendiente )2(2

2

AC xax EI

P−

−=θ

EI

Pa

2

2

BCCB

−=== θ θ θ

Momento )(AC xaP M −−= 0BCCB === M M M

Pa M M −== AMAX

Cortante PV V V === CAAC 0BCCB === V V V

Reacciones P R =A



Viga en voladizo - Momento horario en el extremo libre

Deflexión

EI

x M y

2

2

0AB

−=

EI

L M y

2

2

0MAX

−= para x = L

Pendiente EI

x M 0AB

−=θ

Momento 0BAAB M M M M −===

Cortante 0BAAB === V V V

Reacciones 0A = R

Viga en voladizo - Momento horario en cualquier punto

Deflexión

EI x M y

2

2

0AC −= )2(

20

CB a x EI

a M y −−=

)2(2

0MAX a L

EI

a M y −

−= para x = L

Pendiente EI

x M 0AC

−=θ

EI

a M 0BCCB

−=== θ θ θ

Momento 0AAC M M M −== 0BCB == M M

Cortante 0CAAC === V V V 0BCCB === V V V

Reacciones 0A = R

Viga empotrada - Carga uniforme en todo el vano

Deflexión 22

0AB )(

24 x L

EI

xw y −

−=

Pendiente )23(12

220AB x Lx L

EI

xw+−

−=θ

Momento )66(12

220AB x Lx L

w M +−

−=

Cortante )2(2

0AB x L

wV −=

Reacciones2

0BA

Lw R R ==



Viga empotrada - Carga uniforme en la mitad del vano

Deflexión )124(24

AA

2

0

2

AC M x R xw EI

x y −−

−=

EI

Lx LR M LR M L

EI

x R x LR M y

6

)2(3)3(

6

)(3

BBBB2

3

B

2

BBCB

+−++

+−+

=

Pendiente )63(6

AA

2

0AC M x R xw EI

x−−

−=θ

[ ])2()(22

1BBBB

2

BCB LR M L x LR M x R EI

+++−−

=θ

Momento2

2

0AAAC

xw M x R M −+= BBCB )( M x L R M +−=

Cortante xw RV 0AAC −= BCB RV −=

Reacciones L

M M Lw R BA0A

83 −−=

L M M Lw R BA0

B8

−+=

Siendo192

11 2

0A

Lw M

−=

192

5 2

0B

Lw M

−=

Viga empotrada - Carga uniforme parcial en un lado

Deflexión )124(24

AA

2

0

2

AC M x R xw EI

x y −−

−=

EI

Lx LR M LR M L

EI x R x LR M y

6

)2(3)3(

6)(3

BBBB

2

3

B

2

BBCB

+−++

+−+=

Pendiente )63(6

AA

2

0AC M x R xw EI

x−−

−=θ

[ ])2()(22

1BBBB

2

BCB LR M L x LR M x R EI

+++−−

=θ

Momento2

2

0AAAC

xw M x R M −+= BBCB )( M x L R M +−=

Cortante xw RV 0AAC −= BCB RV −=

Reacciones L

M M

L

ab Lw R BA0

A2

)( −−

+=

L

M M

L

aw R BA

2

0B

2

−+=

Siendo )386(12

22

2

2

0A a La L

L

aw M +−

−=

)34(12 2

3

0B a L

L

aw M −

−=



Viga empotrada - Carga uniforme parcial

Deflexión )3(6

AA

2

AC x R M EI

x y +=

[ ]2

A

3

A

4

0CD 124)(24

1 x M x Ra xw

EI y −−−

−=

EI

Lx LR M LR M L

EI x R x LR M y

6

)2(3)3(

6)(3

BBBB

2

3B2BBDB

+−++

+−+=

Pendiente )2(2

AAAC x R M EI

x+=θ

[ ] x M x Ra xw EI

A

2

A

3

0CD 63)(6

1−−−

−=θ

[ ])2()(2

2

1BBBB

2

BDB LR M L x LR M x R

EI

+++−−

=θ

Momento x R M M AAAC += 2

)( 2

0AACD

a xw M x R M −

−+=

)(BBDB x L R M M −+=

Cortante AAC RV = )(0ACD a xw RV −−= BDB RV −=

Reacciones L

M M bbcw R

2

22)2( BA0A

+−+=

L

M M bbaw R

2

22)2( BA0B

−++=

Siendo [ ]22

2

0A )2)(36()362(24 bcbabc Lb L

bw M +++−−

−

=

[ ]22

2

0B )2)(36()362(

24babcba Lb

L

bw M +++−−

−=

Viga empotrada - Carga puntual en el centro

Deflexión )43(48

2

AC x L EI

Px y −

−= )4(

48

)( 2

CB L x EI

x LP y −

−−=

Pendiente )2(8

AC x L EI

Px−

−=θ )23(

8

22

CB x Lx L EI

P+−

−=θ

Momento )4(8

AC x LP M −−= )43(8

CB x LP M −=

Cortante2

AC

PV =

2CB

PV

−=

Reacciones2

BA

P R R ==



Viga empotrada - Carga puntual en cualquier punto

Deflexión )33(6 3

22

AC bxaxaL EIL

xPb y −−

−=

)3(6

)(3

22

CB axaLbx EIL

x LPa y +−

−−=

Pendiente )32(2 3

2

AC bxaxaL EIL

xPb−−−=θ

[ ]2

3

2

CB )3(2

)( Lab x

EIL

x LPa−+

−=θ

Momento )3(3

2

AC bxaxaL L

xPb M −−

−=

)2( 2

3

2

CB bx LxbL L L

Pa M −−+=

Cortante )2(3

2

AC a L L

Pb

V +=

)2(3

2

CB b L L

Pa

V +

−=

Reacciones )2(3

2

A a L L

Pb R += )2(

3

2

B b L L

Pa R +=

Viga empotrada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente

Deflexión )33(6

22

AC LxaaL EIL

Px y −−

−=

)33(6

22

CD

aL x Lx EIL

Pa y −−

−=

))(33(6

)( 22

DB x L LaaL EIL

x LP y −−−

−−=

Pendiente )22(2

2

AC LxaaL EIL

Px−−

−=θ )2(

2

2

CD x L EIL

Pa−

−=θ

[ ])(222

)( 2

DB x L LaaL EIL

x LP−−−

−=θ

Momento )( 2

AC aaL Lx L

P M +−=

LPa M

2

CD = )( 22DB a La Lx L

LP M +−−=

Cortante PV =AC 0CD =V PV −=DB

Reacciones P R R == BA



Viga empotrada - Momento antihorario en el centro

Deflexión )2(8

2

0AC L x

LEI

x M y −=

)425(8

32320CB L x L x Lx

LEI

M y +−−

−=

Pendiente )3(4

0AC L x

LEI x M −=θ )4610(

8

220CB L x Lx

LEI M −−−=θ

Momento )6(4

0AC L x

L

M M −= )65(

4

0CB x L

L

M M −

−=

Cortante L

M V

2

3 0AB =

Reacciones L

M R

2

3 0A =

L

M R

2

3 0B

−=

Viga empotrada - Momento antihorario en cualquier punto

Deflexión:

)22(2 3

2

0AC bLaxaL

EI L

bx M y −−

−= )2(

2

)(3

2

0CB aLbx

EI L

x La M y −

−=

Pendiente:

)32(3

0AC bLaxaL

EI L

bx M −−

−=θ )3(

)( 2

3

0CB bx L

EI L

x La M −

−=θ

Momento:

)62(3

0AC bLaxaL

L

b M M −−

−= )46(

3

0CB aLbLbx

L

a M M −−=

Cortante30

AB 6 L

ab M V =

Reacciones3

0A

6

L

ab M R =

3

0B

6

L

ab M R

−=

Siendo )2(2

0A ba

L

b M M −

−= )2(

2

0B ab

L

a M M −=

Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme en todo el vano

Deflexión )253(48

222

0

AB x Lx L EI

xw

y +−

−

=

Pendiente )8156(48

220AB x Lx L

EI

xw+−

−=θ

Momento )45(8

220AB x Lx L

w M +−

−=

Cortante )85(8

0AB x L

wV −=

Reacciones8

5 0A

Lw R =

8

3 0B

Lw R =



Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado empotrado

Deflexión:

EIL

b L x Law xa Lw x L L R y

48

)3)(()(2)(8 3

0

4

0

3

BAC

+−−−−−=

EIL

b L x Law x L L R y

48

)3)(()(8 3

0

3

B

CB

+−−−=

Pendiente:

EIL

b Law xa Lw x L L R

48

)3()(8)(24 3

0

3

0

2

BAC

++−+−−=θ

EIL

b Law x L L R

48

)3()(24 3

0

2

BCB

++−−=θ

Momento2

)()(2 2

0BAC

xaw x L R M

−−−= )(BCB x L R M −=

Cortante )(0BAC xaw RV −+−= BCB RV −=

Reacciones L

M ab Lw R2

2)( A0A −+=

L M aw R

22 A

2

0B +=

Siendo2

22

0A

8

)(

L

ab Lw M

+−=

Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado apoyado

Deflexión )3(6

AA

2

AC M x R EI

x y +=

EIL

aabbL x Lbw

EIL x L Lw x L L R y

48

)63)((

24)()(4

22

0

4

0

3

BCB

++−−+

+−−−=

Pendiente )2(2

AAAC M x R EI

x+=θ

EIL

aabbLbw

EIL

x L Lw x L L R

48

)63(

6

)()(3 22

0

3

0

2

BCB

+++

−+−−=θ

Momento AAAC M x R M +=

2

)()(2 2

0BCB

x Lw x L R M

−−−=

Cortante AAC RV = )(0BCB x Lw RV −+−=

Reacciones L

M bw R

2

2 A

2

0A

−=

L

M bbaw R

2

2)2( A0B

++=

Siendo [ ]2

2

2

0A ))(2(

16ba Lb L

L

bw M −++

−=



Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial

Deflexión )3(6

AA

2

AC M x R EI

x y +=

[ ] EIL

babcbab Lb x Lbw

EI

c x Lw x L R y

96

)2)(2(3)2(32)(

24

)()(4

2220

4

0

3

BCD

++++−−−+

+−−−−

=

[ ] EIL

babcbab Lb x Lbw

EI

x L R y

96

)2)(2(3)2(32)(

6

)(

222

0

3

BDB

++++−−−+

+−

=

Pendiente )2(2

AAAC M x R EI

x+=θ

[ ] EIL

babcbab Lbbw

EI

c x Lw x L R

96

)2)(2(3)2(326

)()(3

222

0

3

0

2

B

CD

++++−+

+−−+−−

=θ

[ ] EIL

babcbab Lbbw

EI

x L R

96

)2)(2(3)2(32

2

)(

222

0

2

BDB

++++−+

+−−

=θ

Momento AAAC M x R M +=

2

)()(2 2

0B

CD

c x Lw x L R M

−−−−=

)(BDB x L R M −=

Cortante AAC RV = B0CD )( Rc x LwV −−−= BDB RV −=

Reacciones L

M bcbw R

2

2)2( A0A

−+=

L

M bbaw R

2

2)2( A0B

++=

Siendo[ ]

2

2

0A

16

)2)(22()2)(2(

L

bbabc Lbbabcw M

−+++++−=



Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en el centro

Deflexión:

)119(96

2

AC x L EI

Px y −

−= ))(53(

96

)( 22

CB x L L EI

x LP y −−

−−=

Pendiente:

)116(32

AC x L EI Px −−=θ )5104(

3222

CB x Lx L EI P +−−=θ

Momento )113(16

AC x LP

M −−

= )(16

5CB x L

P M −=

Cortante16

11AC

PV =

16

5CB

PV

−=

Reacciones16

11A

P R =

16

5B

P R =

Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en cualquier punto

Deflexión )333(12

2223

3

2

AC xb x L Lb L EIL

Pbx y +−−

−=

)))(2(3(12

)( 22

3

2

CB x Lb LbL EIL

x LPa y −+−

−−=

Pendiente )322(4

2223

3AC xb x L Lb L EIL

Pbx+−−

−=θ

)2242(4

2223

3

2

CB bx LxbLx x L L EIL

Pa++−−

−=θ

Momento:

)3(2

2223

3AC xb x L Lb L L

Pb M +−−

−= )2)((

2 3

2

CB b L x L L

Pa M +−=

Cortante )3(2

22

3AC b L L

PbV −= )2(

2 3

2

CB b L L

PaV +

−=

Reacciones )3(2

22

3A b L L

Pb R −= )2(

2 3

2

B b L L

Pa R +=



Viga empotrada / apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas s imétricamente

Deflexión:

[ ])33(2))(233(12

2222

2

2

AC LaLa L x L LaLa EIL

Px y +−+−−−=

[ ]2

222

2

223

CD

12

2))((312

))(6))((3(

EIL

a L x La L LPa EIL

x L L x La LPa y

−−+−+

+−−−−−

=

[ ])(3))(233(12

)( 2222

2DB a LaL x L LaaL EIL

x LP y −+−−−

−−=

Pendiente:

[ ])33(4)32)(233(12

2222

2AC LaLa L x L LaLa EIL

Px+−+−−−=θ

[ ])()(4))((34

222

2CD a L L x L L x La L EIL

Pa+−−+−−−

−=θ

[ ])())(233(4

2222

2DB a LaL x L LaaL EIL

P−+−−−=θ

Momento [ ])332(332

2222

2AC aaL L xaL La L

P M −++−=

[ ]2

2CD 2))((32

L x La L L

Pa M −−−

−=

)233(2

)( 22

2DB LaaL L

x LP M −−

−−=

Cortante )332(

2

22

2AC aaL L

L

PV −+=

2CD

2

)(3

L

a LPaV

−=

)233(2

22

2DB LaaL L

PV −−=

Reacciones )332(2

22

2A aaL L L

P R −+=

)323(2

22

2B aL La L

P R −+=



Viga empotrada / apoyada - Momento horario en cualquier punto

Deflexión: [ ]))((24

222

3

2

0AC b L x L Lb

EIL

x M y −−−

−=

[ ]))(3)((44

)( 223

3

0CB b L L x L L

EIL

x La M y +−−−−

−−=

Pendiente [ ]))(32(44

222

3

0AC b L x L Lb

EIL x M −−−−=θ

[ ])2)((344

23

3

0CB Lx xb L L

EIL

a M −+−

−=θ

Momento [ ]))(3(22

222

3

0AC b L x L Lb

L

M M −−−

−=

))((2

33

0CB x Lb L

L

a M M −+=

Cortante )(2

33

0AB b L

L

a M V +

−=

Reacciones )(2

33

0A b L

L

a M R +

−= )(

2

33

0B b L

L

a M R +=

Viga empotrada / apoyada - Momento horario en el lado apoyado

Deflexión EIL

x L x M y

4

)(2

0AB

−=

Pendiente EIL

x L x M

4

)32(0AB

−=θ

Momento L

x L M M 2

)3(0AB −=

Cortante L

M V

2

3 0AB

−=

Reacciones L

M R

2

3 0A

−=

L

M R

2

3 0B =



Viga con vano lateral - Carga uniforme en todo el vano

Deflexión )222(24

222232240AB xa La Lx x L L

LEI

xw y +−+−

−=

)464(24

3

1

2

11

23210BC xax xa L La

EI

xw y +−+−

−=

Pendiente )6246(24

222232240AB xa La Lx x L L

LEI w +−+−−=θ

)412124(24

3

1

2

11

2320BC xax xa L La

EI

w+−+−

−=θ

Momento )(2

220AB a Lx L

L

xw M −−= 2

10

BC )(2

xaw

M −−

=

Cortante )2(2

220AB a Lx L

L

wV −−= )( 10BC xawV −=

Reacciones )(2

220A a L

L

w R −= 20

B )(2

a L L

w R +=

Siendo L x x −=1

Viga con vano lateral - Carga uniforme sobre el saliente

Deflexión )(12

222

0AB x L

LEI

xaw y −=

)464(24

3

1

2

11

2210BC xax xa La

EI

xw y +−+

−=

Pendiente )3(12

222

0

AB

x L LEI

aw−=θ

)33(6

3

1

2

11

220BC xax xa La

EI

w+−+

−=θ

Momento L

xaw M

2

2

0AB

−= 2

10

BC )(2

xaw

M −−

=

Cortante L

awV

2

2

0AB

−= )( 10BC xawV −=

Reacciones L

aw R

2

2

0A

−=

L

aa Lw R

2

)2(0B

+=

Siendo L x x −=1



Viga con vano lateral - Carga puntual en el extremo saliente

Deflexión )(6

22

AB x L LEI

Pax y −= )32(

6

2

111

BC xaxaL EI

Px y −+

−=

Pendiente )3(6

22

AB x L LEI

Pa−=θ )362(

6

2

11BC xaxaL EI

P−+

−=θ

Momento LPax M −=AB )( 1BC xaP M −−=

Cortante L

PaV

−=AB PV =BC

Reacciones L

Pa R

−=A

L

a LP R

)(B

+=

Siendo L x x −=1

Viga con vano lateral - Carga puntual entre los apoyos

Deflexión )(6

222

AC xb L LEI

Pbx y −−

−

=

)2(6

)( 22

CB xa Lx LEI

x LPa y −−

−−=

)(6

1BD a L

LEI

Pabx y +=

Pendiente )3(6

222

AC xb L LEI

Pb−−

−=θ

)362(6

222

CB xa Lx L LEI

Pa++−

−=θ

LEI

a LPab

6

)(BD

+=θ

Momento LPbx M =AC )(CB x L

LPa M −= 0BD = M

Cortante L

PbV =AC

L

PaV

−=CB 0BD =V

Reacciones L

Pb R =A

L

Pa R =B

Siendo L x x −=1

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