Redimensionado de Vigas y ViguetasEl redimensionado de vigas y viguetas est gobernado por la teora de la flexin.Esta teora relaciona la geometra del miembro estructural y las fuerzas aplicadas (anlisis estructural) con el comportamiento de su seccin transversal debido a la aplicacin de cargas (anlisis del miembro).Viga - Vigueta: en un elemento estructural lineal (generalmente en posicin horizontal) donde dos de sus dimensiones (seccin transversal: base y altura) son mucho menores a su tercera dimensin (longitud).Anlisis Estructural: consiste en encontrar los efectos de las cargas en una estructura en particular, en la forma de Fuerza Cortante (FC) y Momento Flector (MF). Depende de la geometra de la estructura (forma y tamao generales), de los tipos y localizacin de los apoyos y de los tipos y localizacin de las cargas actuantes. Se obtienen funciones que representan las variaciones de las magnitudes (a lo largo del elemento) de Fuerza Cortante y de Momento Flector.Anlisis del Miembro: relaciona las magnitudes de la Fuerza Cortante (FC) y el Momento Flector (MF) con los esfuerzos producidos en los diferentes planos transversales (secciones transversales) del miembro estructural. Se obtienen esfuerzos variables dentro de las secciones transversales que deben ser resistidos por el material que conforma el miembro estructural (viga/vigueta).Fuerza Cortante: es la suma algebraica de las componentes que actan transversalmente al eje de la viga, de todas las cargas y reacciones aplicadas a la parte de la viga de uno u otro lado de esta seccin transversal. (Norris y Wilbur, 1969)Momento Flector: es la suma algebraica de los momentos, tomados respecto a un eje por el centro de la seccin, de todas las cargas y reacciones aplicadas a la parte de la viga de uno u otro lado de esta seccin transversal. (Norris y Wilbur, 1969)Seccin Transversal: es una seccin perpendicular al eje del elemento, con un espesor infinitesimal.EXPLICACIONAnlisis estructural:con este procedimiento se estiman las variaciones de la Fuerza Cortante y el Momento Flector, originadas por la geometra general del elemento, las cargas actuantes y los tipos y localizacin de los apoyos. En las figuras siguientes se muestran ejemplos de resultados de anlisis estructural de varias vigas, donde varan las cargas actuantes y los tipos de apoyos.

Esta comparacin analtica ser ilustrativa de los fenmenos que gobiernan la flexin, por lo que se deben leer con atencin.Caso 1:Viga simplemente apoyada (Isosttica) con carga puntual en el centro de la luz.

Las reacciones son idnticas, debido a la posicin simtrica de la carga respecto de los apoyos (que adems actan de igual manera, es decir, absorbiendo cargas verticales), recibiendo cada una de ellas la mitad de la carga puntual.

Ntese como los diagramas son lineales en ambos casos (FCyMF), esto es debido al tipo de carga (puntual).El diagrama deFCes una funcin lineal constante, con expresin:

V(x) =P/2 = 0,5PHasta la mitad de la luz; de ah en adelante y debido a la posicin y magnitud de la cargaP, se produce una discontinuidad de la funcin deFC, que seguir siendo constante pero con con signo negativo, segn la expresin:V(x) = -P/2 = -0,5PEl diagrama deMF, es una funcin lineal discontinua por tramos, con discontinuidad enx=L/2, donde hay un cambio de signo de la pendiente (de 0,5 a -0,5). La pendiente de la recta ser positiva en la mitad izquierda de la viga y negativa en la derecha, con las expresiones:M(x) =Px/2 = 0,5Px(mitad izquierda)M(x) = -Px/2 = - 0,5Px(mitad derecha)

En el punto de cambio de signo de la pendiente se produce un mximo valor de la variableMF, que ser el mayor en toda la longitud de la vigaAB, y tiene el valor:Mmax=PL/4 = 0,25PL

Caso 2:Viga con empotramiento y rodillo (Hiperesttica de Grado 1) con carga puntual en el centro de la luz.

Es notable cmo al cambiar uno de los apoyos (en este caso el empotramiento enB), las reacciones verticales no son iguales entre s. El empotramiento, por tener ms capacidad de absorcin de carga, toma un 68,75% de la carga total (carga puntual en centro de luz), mientras el rodillo slo toma un 31,25% de la carga total (menos de la mitad de lo que toma el empotramiento).

Los diagramas son lineales, tanto paraFCcomo paraMF, pero se diferencian delCaso 1, en que las cantidades son diferentes. Analizando la variacin de la Fuerza Cortante, es evidente que la funcin constante en la primera mitad de la viga (mitad izquierda) tiene la expresin:V(x) = 5P/16 = 0,3125PEsta funcin constante tiene menor valor que la producida en el mismo tramo de la viga en elCaso 1.Al entrar en juego la carga puntualP, la funcin de la cortante tiene la expresin:V(x) = -11P/16 = -0,6875PEl valor absoluto de laFCes mayor en la mitad derecha de la viga, y adems ser tambin mayor (en valor absoluto) que la funcin deFCen su homlogo delCaso 1.

Con respecto al diagrama deMF, se puede observar que el empotramiento introduce un momento negativo en el extremo, que ser mayor (en valor absoluto) que el momento en el centro de la luz. Sin embargo, la diferencia entre los dos valores (absolutos) deMFno es muy grande. Al comparar con el mayor valor absoluto deMFen la viga delCaso 1, es evidente que el mayor valor absoluto delCaso 2, es una fraccin de este:[MF1]=PL/4 = 0,25PL[MF2]= 3PL/16 = 0,1875PLDonde:

[MF1] es el mximo valor absoluto del momento en elCaso1, y[MF2]es el mximo valor absoluto del momento en elCaso2De manera que:

[MF2]= 0,75[MF1]

Esto significa que el momento flector mximo absoluto en el Caso 2es un 25% menor que el momento flector mximo absoluto en elCaso 1.

La conclusin inmediata de esta comparacin es que:

La inclusin de apoyos con mayores restricciones, disminuye en momento flector mximo de una viga.

Caso 3:Viga biempotrada (Hiperesttica de Grado 2) con carga puntual en el centro de la luz.

Al tener en ambos extremos el mismo tipo de apoyo, la simetra vuelve a la distribucin de las reacciones y a los diagramas deFCyMF.Ntese cmo las reacciones verticales son idnticas a las del Caso 1. As mismo, en los empotramiento enAyB, existen sendos momentos reaccionantes de igual magnitud.El diagrama deFCser idntico al delCaso 1. Por otro lado, el diagrama deMFes algo distinto, pues aunque mantiene la misma forma, es decir, idnticas pendientes para cada tramo, con punto de discontinuidad enx=L/2, el diagrama se ha desplazado sobre el eje deM= 0 (hacia arriba), una distancia igual a la magnitud del momento en los extremos, es decir, PL/8.

Si comparamos estos valores con aquellos delCaso 2, es notable que los valores mximos (absolutos) del momento son menores. Aplicando relaciones similares a las delCaso2, tenemos:

[MF2]= 3PL/16 = 0,1875PL[MF3]=PL/8 = 0,125PLDonde:

[MF2] es el mximo valor absoluto del momento en elCaso2, y[MF3]es el mximo valor absoluto del momento en elCaso3De manera que:[MF3]= 0,6667[MF2]

Esto significa que el momento flector mximo absoluto en el Caso 3es una tercera parte menor que el momento flector mximo absoluto en elCaso 2.

La conclusin inmediata de esta comparacin es nuevamente:

La inclusin de apoyos con mayores restricciones, disminuye en momento flector mximo de una viga.

TABLA 1: COMPARATIVA DE LOS MXIMOS VALORES ABSOLUTOS DEMFPARA LOS CASOS 1, 2 Y 3

Casos[MFN][MFN]/[MF1]

Caso 10,25PL1

Caso 20,1875PL0,75

Caso 30,125PL0,5

En laTABLA 1se presentan los valores mximos absolutos deMomentoFlectorpara cada uno de los casos, y en la columna de la extrema derecha, la relacin normalizada de los momentos flectores con respecto al mximo valor absoluto delCaso 1.

Queda claro entonces, que los tipos de apoyo juegan un papel importante en la variacin del momento flector a lo largo de una viga.As mismo, la inclusin de apoyos tipo empotramiento reducen considerablemente los mximos valores absolutos de momento flector en una viga. Podemos ver entonces cmo el mximo valor absoluto deMFen elCaso 2es un 75% de aquel delCaso 1:[MF2]/[MF1] = 0,75y el delCaso 3un 50%:[MF3]/[MF1] = 0,5

Caso 4:Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida.

En este caso, al igual que en elCaso 1las reacciones, as como los diagramas deFCyMFpresentan simetras, es decir, las reacciones verticales son idnticas enAy enB(ya que los apoyos reaccionan de igual manera, es decir, absorbiendo cargas verticales), en el diagrama deFCse verifica una simetra central respecto de un punto en el centro de la luz de la viga, y en el deMFuna simetra respecto de un eje vertical por el centro de la luz de la viga.

Las funciones deFCyMFson, respectivamente, lineal (de primer grado) y cuadrtica (de segundo grado). Dichas funciones tienen la forma:V(x) =qL/2 -qx (Fuerza Cortante)M(x) =qLx/2 -qx2/2 (Momento Flector)

Es importante hacer notar que laFCtiene dos mximos absolutos: enAy enB, mientras que elMFslo tiene un mximo en el centro de la luz.

Caso 5:Viga con empotramiento y rodillo con carga uniformemente distribuida.

Las reacciones verticales no sern idnticas puesto que el empotramiento tiene la capacidad de tomar ms carga que el rodillo, se verifica entonces como el apoyo enBreacciona tomando 62,5% de la carga total sobre la viga, mientras el apoyo enAtoma un 37,5%. Al comparar con las reacciones delCaso 4, es notable como la reaccin enBes mayor que la de su homloga y la reaccin enAes menor. Adems se debe tener en cuenta que por el empotramiento enBse genera una reaccin en forma de momento.Vemos nuevamente (similar alCaso 2) cmo la introduccin de un empotramieno (en el extremoBde la viga) induce asimetra en los diagramas deFCyMF.Los mximos valores absolutos deFCyMFse encuentran en el extremoB(empotramiento),Caso 6:Viga biempotrada con carga uniformemente distribuida.

Al tener en ambos extremos el mismo tipo de apoyo, la simetra vuelve a la distribucin de las reacciones y a los diagramas deFCyMF.Ntese cmo las reacciones verticales son idnticas a las delCaso 4. As mismo, en los empotramiento enAyB, existen sendos momentos reaccionantes de igual magnitud.El diagrama deFCser idntico al delCaso 4. Por otro lado, el diagrama deMFes algo distinto, pues aunque mantiene la misma forma, el diagrama se ha desplazado sobre el eje deM= 0 (hacia arriba), una distancia igual a la magnitud del momento en los extremos, es decir,QL/12.Si comparamos estos valores con aquellos de losCasos 4 y 5, es notable que los valores mximos (absolutos) del momento (en esta viga:Caso 6) son menores. Aplicando relaciones similares a las delCaso 5, tenemos:

[MF5]=qL/8 = 0,125qL[MF6]=qL/12 = 0,0833qLDonde:[MF5] es el mximo valor absoluto del momento en elCaso 5, y[MF6]es el mximo valor absoluto del momento en elCaso 6De manera que:[MF6]= 0,6667[MF5]

Esto significa que el momento flector mximo absoluto en elCaso 6es una tercera parte menor que el momento flector mximo absoluto en elCaso 5.La conclusin inmediata de esta comparacin es nuevamente:

La inclusin de apoyos con mayores restricciones, disminuye en momento flector mximo de una viga.

https://www.youtube.com/watch?v=xb60oSPaKB8